图1 MC-WPT系统等效电路
Fig.1 MC-WPT system equivalent circuit
摘要 该文提出一种新型基于色散介质参数优化的磁耦合无线电能传输（MC-WPT）能效提升方法，通过优化色散介质改善磁场的分布，提升MC-WPT系统的传输性能。首先建立色散介质本构参数、电磁储能时间平均密度、耗散、磁场作用强度以及阻尼系数的一般数学模型。进而采用归一化方法，深入分析色散介质的频率特性以及阻尼特性，明确了介质本构参数实部和虚部对介质电磁储能以及介质耗散的作用机制。在此基础上，给出超材料色散介质板的频率调控方法以及阻尼调控方法，提出一种综合考虑近场耦合效应、避免谐振频率偏移、降低螺旋导体内阻的超材料设计方法，有效地克服了传统设计中仅关注磁导率实部和依赖单元表征整体性能的局限性。最后通过仿真与实验结果表明，所提方法在实现磁场高效汇聚的同时显著降低损耗，具有较高的可实现性与工程适用性。
关键词：磁耦合无线电能传输（MC-WPT） 超材料 色散介质 介质参数优化 能效改善
磁耦合无线电能传输（Magnetic Coupling Wireless Power Transfer, MC-WPT）技术，摆脱了导线的束缚，为运动设备不停机灵活供电及深海、深空、深地等无人环境下电气设备安全可靠供电提供了有效解决方案，具有广阔的应用前景，目前已成功应用到电动汽车、无人机、消费电子、家用电器等领域[1-4]。
MC-WPT的基本原理是通过电磁场耦合实现能量传输，电能首先被转换为电磁能，随后再次转换为电能供给负载[5-6]。这一能量转换过程不仅受系统电参数[7-8]的影响，同时还受传输通道介质参数的影响。
传统的认知中，传输通道介质的属性是很难改变的。不过近年来，有研究学者通过仿真及实验证实，将具有负介电常数或负磁导率的超材料引入无线电能传输系统中，能够在一定参数条件下有效提升MC-WPT系统的传输性能[9-10]。超材料实质是一类由亚波长局域共振单元（LC电磁环）组成的电磁微结构。其提升MC-WPT系统传输性能的实质就是利用人工电磁微结构局部电磁场相互作用改变介质吸收率实现的。超材料的出现表明，人为改变介质属性改善磁能传播特性是可能的。
目前无线电能传输超材料的相关研究，主要集中在以下三个方面：
（1）通过改变超材料的位置来引导空间磁场的分布，实现磁场的汇聚效应，从而提升系统的能效[11-13]。不同排列组合的结构材料在不同位置对系统能效的影响不同，摆放方式也有影响。目前大多依赖仿真或者实验确定超材料的位置及摆放方式[13]。
（2）对超材料的尺寸、层数、排列组合进行优化设计[14-19]。近年来，诸如多维结构[16]、混合超材料[17-18]和超材料双频段设计[19]等新结构被提出，进一步拓展了超材料的应用潜力。但现有的设计，大多是在已有结构的基础上，以能效为目标，对相关参数或者排列组合进行优化，很少分析超材料的内部电磁特性。目前电磁超材料内部损耗通常不低，因此优化效果比较有限。
（3）通过调节补偿电容、外加控制电路等方式提升系统性能[20-21]。调节补偿电容的实质是改变超材料的频率特性，即色散特性。色散特性是指电磁场在传播时速度随频率发生改变的现象。对于常见的电磁复合材料，其电磁响应和频率有很大的关系，不同频率下的作用机理不一样，介质吸收特性也不一样。
总结目前的国内外研究现状可知，目前无线传能超材料的研究，主要集中在应用层面以及现有结构的优化组合上，对超材料内部的电磁特性、影响介质损耗的关键参数及影响机制认识并不全面。
本文从“机理视角”出发，揭示超材料内部电磁特性，明确影响介质损耗的关键参数及影响机制，是大幅提升系统性能的基础，也是指导新型超材料设计的关键。鉴于此，本文深入分析了色散介质的内部电磁特性，构建了色散介质本构参数、电磁储能时间平均密度、耗散、磁场作用强度以及阻尼系数的一般数学模型，明确了在满足色散介质本构关系的条件下，磁导率实部影响能量的存储特性，而虚部直接反映磁损耗强度，且二者共同受超材料单元结构与组成参数调控。在此基础上，深入分析了超材料的频率特性及阻尼特性，给出了频率及阻尼的调节方法，提出了一种同时优化实部与虚部性能、兼顾单元特性与周期阵列整体响应的超材料设计方法，大幅度提升了系统的性能，也为后续超材料设计提供了相应的理论指导。
磁场耦合式无线电能传输系统利用电磁感应原理，对原边线圈施加交流电，生成交变的磁场，而副边线圈依据磁通量的变化感应出电流，简单来说原、副边线圈通过磁场耦合传递能量。为了研究优化MC-WPT系统传输性能的方法，有必要分析其传输特性及输出功效。
以最常见的SS拓扑MC-WPT系统为例，其等效电路如图1所示。图中，US为电源电压，L1、Rp1、C1分别为原边线圈自感、线圈内阻以及补偿电容，L2、Rp2、C2分别为副边线圈自感、线圈内阻和补偿电容，RL为负载电阻，M为互感，I1和I2分别为原边、副边电流。
图1 MC-WPT系统等效电路
Fig.1 MC-WPT system equivalent circuit
基于基尔霍夫定律，可得图1所示系统数学模型为
（1）
式中，R1、R2分别为发射回路和接收回路的总电阻，R1=Rp1，R2=Rp2+RL；X1、X2分别为原、副边的电抗，X1=wL1-1/(wC1)，X2=wL2-1/(wC2)。
当系统原、副边处于谐振状态时，即X1=0，X2=0，基于式（1）可得系统的负载功率PL以及传输效率h分别为
（2）
（3）
由式（2）和式（3）可知，两个线圈的耦合特性是实现能量传输的关键，也是影响系统传输性能的关键。优化传输通道之间的磁能特性，如增加超材料，可以有效地改善MC-WPT系统的传输性能。传统基于电路计算，将两个线圈直接的耦合直接用互感参数进行表征，如式（1）～式（3）所示，其难以分析传输通道中电磁能量传输特性，进而难以对其进行优化。
超材料提升MC-WPT系统的传输性能是利用磁负材料的汇聚磁场的效应，磁导率实部
为负数，能将电磁波的方向进行负折射，完成磁场折射汇聚作用。调控超材料的磁导率实部可以灵活改变电磁场传递特性实现磁场的分布调控。从介质角度出发，分析超材料内部电磁特性，明确影响电磁能平均时间密度及损耗的关键参数及机制，是优化磁能衰减特性的基础，也是后续指导超材料设计的关键。
在MC-WPT系统中，通过引入磁负超材料（Negative Metamaterials, NMM）可以有效改善磁场分布并优化能效特性。超材料的本构磁导率参数模型[22]满足式（4）所描述的关系。可以发现该磁导率随频率变化而变化，符合色散介质的典型特征，因此可判定NMM属于一类色散介质。
（4）
式中，
为磁偶极子的共振频率；
为极化率；
为阻尼系数；F为振荡器与磁场之间相互作用强度的参数。
通过本构参数式（4）可得出磁导率的实部与虚部分别如式（5）和式（6）所示。
（5）
（6）
基于文献[23-24]，对于这样一类色散介质，其电磁场储能密度的平均时间密度
和能量的耗散Ploss分别表示为
（7）
（8）
式中，
为真空磁导率；H0为外部磁场强度幅值；H为外部磁场强度。
根据式（7）与式（8）可知，电磁场储能密度的平均时间密度与磁导率实部密切相关，介质的能量耗散与磁导率虚部呈线性关系。而磁导率实部作为决定磁场汇聚与折射能力的关键参数[14]，其与虚部共同受到磁场相互作用强度系数F与阻尼系数G的影响。
在低频情况下，超材料基元可使用RLC串联电路进行近似等效，通过实际的电路参数可以推导出磁导率模型[25]，这种方法简单，准确率相对较高。本文使用的超材料的基元结构如图2所示。图中，dL为超材料的基元边长，dc为线圈的边长，ds为超材料的线间距，ro为螺旋线圈外边长的一半，ri为螺旋线圈内边长的一半。
通过RLC等效推导出的等效磁导率模型为
图2 超材料的基元结构
Fig.2 Schematic diagram of metamaterial unit cells
（9）
式中，n为螺旋线圈匝数；Leff为基元的等效电感；Vcell为基元的体积；Sk为第k匝线圈的围成的面积。对于低频超材料系统来说，超材料的固有频率为
，Cf为集总电容；QM为品质因数。
若采用本构参数的表达形式，对照式（4），磁场相互作用强度系数F与阻尼系数G可表示为
（10）
式（10）给出了影响F与G的相关参数，因此可通过调节相关参数实现对超材料磁导率实部与虚部的优化。在此过程中，需对色散介质的电磁特性进行深入分析。
对于NMM来说，使用其负磁导率特性完成系统的优化，而在等效负磁导率特定的频段范围内，通过调控介质参数可使磁导率实部的绝对值增大，获得更大的磁场折射能力，同时进一步减小磁导率虚部，减少NMM介质的能量损耗，以优化MC-WPT系统的传输性能。实现该目标需要分析色散介质具体特性以指导超材料介质板的设计。
NMM介质仅在特定的频率区间内表现出负磁导率属性，并且由于NMM本构参数的色散特性，会导致超材料损耗特性以及储能特性随频率发生相应变动。对超材料磁导率进行深入分析是至关重要的，以便准确理解和优化其在不同频率下的损耗特性。研究极化率的变化规律可以视为研究等效磁导率的变化规律。分离式（9）中极化率的实部和虚部，可以得到
（11）
（12）
基于式（11）求出
关于
的导数表示为
（13）
令dcre/dw=0，可以得到两个解
和
为
（14）
在0＜w＜wre1的范围内逐渐上升，在wre1＜w＜w0范围内下降；工作角频率在w=w0时，极化率为0，在w0＜w＜wre2范围内下降至负极化率绝对值的最大值，在w＞wre2逐步上升直到近似为0。将w=wre2代入式（11），得出负极化率实部的绝对值最大值
为
（15）
通过式（15）可知，阻尼系数G的减小会导致
的实际值增大，但同时该频率下的磁导率虚部
处于峰值点附近，表现出高损耗特性。分析磁导率虚部与分析实部相类似，通过求导极化率的虚部
得出其极值点。
（16）
令=0可以得到极化率的虚部的极值点所处角频率为wim，表示为
（17）
基于式（17），当G＜0.2w0时，wim可以被近似处理为
，此时wim≈w0，如式（18）所示。
（18）
将G＜0.2w0代入式（10），可得出此时需满足QM＞5。当w=wim时，极化率虚部的极大值
为
（19）
通过对超材料的极化率实虚部与频率变化的分析，超材料的虚部
极大值为Fw0/G，所处的频率为wim；而超材料的极化率实部cre的负极大值为
，所处的频率为wre2，两极大值频率存在差值，并且wim＜wre2。为了获得更大的负磁导率，将超材料的工作频率设置为wre2。但是在该频率下，磁导率虚部通常较大，同时伴随着的高损耗特性，导致超材料性能下降。因此，有必要进一步分析工作频率对超材料特性的影响，在利用足够大的负实部实现所需磁场调控能力的同时，尽可能地降低虚部以抑制能量损耗，以在负磁导率与损耗特性之间实现优化平衡。
由2.1小节可知磁导率的极化率虚部约在w0附近取得最大值Fw0/G，以固有频率w0的磁导率的虚部为基准，对w＞w0的频率进行分析，设工作频率为wop，将工作频率wop与谐振频率w0之比定义为m，以工作频率为w0时的极化率的虚部为基准值，将不同工作频率下极化率的虚部进行归一化处理，即极化率虚部归一化kim表达式为
（20）
通过式（20），可以绘制出如图3a所示的kim与频率比m、阻尼系数G的三维图。
从图3a可以看出，随着频率比m增大，极化率虚部显著减小，表明介质损耗降低；且阻尼系数G越小，虚部抑制效果越明显。具体而言，在低阻尼条件下，当m≥1.05时，虚部可降至初始值的30%左右；而在高阻尼系统中，需达到m≥1.2才能实现相近水平的损耗抑制。这说明将工作频率wop适当提高至1.5倍谐振频率（1.05w0）以上，可有效降低能量损耗。
图3 kim、kre与频率比m、阻尼系数G关系图
Fig.3 The relationship graph of kim and kre with m and G
基于式（15），当G＜0.2w0时，
可以近似等于-Fw0/(2G)，当以负极化率实部的绝对值最大值为基准值，其磁导率的极化率实部kre归一化为
（21）
通过kre表达式，可以绘制出如图3b所示的kre与频率比m、阻尼系数G的三维图。
从图3b所示kre的关系图可以观察到，在1.02w0～1.20w0范围内可获得较大的负磁导率实部。综合图3a和图3b，将工作频率控制在1.05w0～1.20w0范围内，不仅能够优化介质的负磁导率特性，显著提升色散介质的实际应用性能。这一发现为设计高性能色散介质提供了重要的理论指导。
需说明的是，该结论是在本文设定的超材料谐振频率条件下得出的，主要面向低频超材料应用。实际中超材料的谐振频率和阻尼系数会因其结构参数（如导体匝数、线宽、厚度、匝间距、内外径尺寸等）的不同而发生变化。因此，对于不同频段或结构设计的超材料，需根据其具体参数重新计算谐振频率与阻尼比，并通过类似方法确定适宜的工作频率范围。
对色散介质系统，参量F与阻尼系数G都会对磁导率产生影响，而参量F对磁导率实部与虚部的影响是相同的，无法通过调控F使其实部与虚部获得相反的影响效果。由于G在磁导率虚部分子分母中都存在，而磁导率实部仅存在于分母中，阻尼系数G对磁导率实部与虚部的影响程度是不同的。阻尼系数G作为影响介质能量损耗的关键参量，分析G对系统损耗能量的影响，可更有效地指导调控色散介质。以工作频率分别为固有频率的1.1倍（1.1w0）为例，磁导率的基准值为固有频率w0下的磁导率实际值，采用式（20）、式（21）对系统磁导率进行归一化处理，在400、450、500 kHz可以得到如图4所示归一化后的极化率实虚部, 随G的变化曲线。
（a）虚部
随G变化曲线
（b）实部
随G变化曲线
图4 归一化后的磁导率虚部
和实部
随G的变化曲线
Fig.4 Normalized curves of the imaginary and real parts of magnetic permeability with respect to G
由图4a可以得到，归一化后的磁导率虚部随系统内阻尼系数G的增大而增大，对于低频介质来说，若通过参数设计使介质的材料特性具有较低的G，可以有效地降低材料的超材料虚部值，从而有效地避免介质材料的能量损耗。
从图4b中可以看出，在G≥200×103的范围内，450 kHz下归一化极化率实部能够维持在最大值的3/4以上，保持较大的负磁导率。而阻尼系数G= 200×103时，频率f=400 kHz时，QM=12.56；频率f=450 kHz时，QM=14.13；当f=500 kHz时，QM= 15.71。因此，固有频率为450 kHz左右时，QM-max的取值上限位于15.71左右，磁导率实部绝对值|mre|能够保持较高的数值。
由第2节分析可知，超材料的最佳工作频率与其固有频率相关联，固有频率偏移可能导致磁导率实部与虚部显著偏离设计目标，从而引入非预期的损耗，降低系统整体性能。为抑制固有谐振频率的漂移，一种有效的途径是在设计过程中充分考虑相邻基元间的近场耦合效应。通过利用这种耦合作用，可以对超材料的等效电磁参数进行补偿与调控。
单层螺旋形电感Lself的计算公式[26]为
（22）
式中，davg为平均边长，即外边长2ro与内边长2ri和的一半，计算公式为
（23）
式中，z为螺旋基元的填充因子。填充因子z定义为螺旋外边长2ro与内边长2ri之差比上螺旋外边长2ro与内边长2ri之和，即
（24）
基元与其他基元之间会产生磁耦合，并互相影响各自的磁场特性，直接影响磁感应强度。因此对于周期性排列的超材料基元，基元间的磁耦合效应是非常有必要考虑的，多层线圈电感计算可依据文献[27]而得出。
（25）
式中，Lself为基元的自感；Meff为周围其他基元对该基元产生的互感影响，
，其中，x, y表示基元的位置坐标，a, b分别表示其他基元在该基元的x, y轴上的相对偏移距离。
考虑毗邻基元示意图如图5a所示，假定超材料的基元在周期排列的定位为x与y，以3×3超材料基元构成的介质板为例，位于中心的超材料基元命名为Qx, y，Qx, y+1代表在y轴上与之相邻的超材料基元，而Qx+1, y+1是对角线相邻的超材料基元。
图5 周期阵列示意图
Fig.5 Schematic diagram of metamaterial unit cells and their periodic arrays
假设考虑所有毗邻的超材料基元的影响，|a|max=|b|max=1，由于超材料呈现周期性与对称性排列，可以认为Mx+a, y+b=Mx-a, y-b，对于所有毗邻Qx, y的超材料基元，认为其互感近似相等（Mx, y+b= Mx+a, y+b），位于正中心的基元共有8个相毗邻的基元（红色基元）对编号为Qx, y的基元有影响，其互感可以近似表示为
（26）
其中，平面式周期排列的临近基元互感Mx, y+1近似为
（27）
式中，g=dc+ds；F0=ro/g；F1=ri/g。本模型中dL也可表示两基元中心之间的距离。
对于考虑非毗邻的超材料的基元的相互影响，如图5b所示，对于超材料基元阵列来说，其存在Max{a, b}≥2的情况，而更多的阵列单元，由于距离的扩大，其互感对于单一基元的影响降低。当Max{a, b}≥3时，影响可近似忽略。对于非毗邻的超材料基元，仅考虑Max{a, b}=2的情况，其dL相比毗邻的基元变为2倍，即近似为2dL，对称性可以近似认为Mx+a, y+b=Mx-a, y-b，此时Mx, y+2近似为
（28）
对于超材料介质板阵列无限多的介质板来说，仅是毗邻基元数量与非毗邻的基元数量发生改变，仅需改变式（29）变量前的系数A和B即可。
（29）
在实际的超材料介质板改善MC-WPT系统的应用中，不同位置的基元应采用不同大小的集总电容进行补偿。
根据第2节的分析，在一定范围内增大超材料的品质因数QM，可以保证低阻尼系数G，即在保证降低超材料虚部的同时实现超材料的实部的增大。而对于MC-WPT系统来说，超材料介质板工作在特定频段范围内，确定系统的固有频率后，通过调控阻尼系数G实现色散介质的操控，符合调控逻辑。
导体中的功率损耗根据其来源可分为两种不同类型——传导损耗Rcond和临近电阻Rprox。对于采用矩形导体的印制电路板（Printed Circuit Board, PCB）线圈，其单位长度的传导损耗电阻Rcond和单位长度临近损耗电阻Rprox[28]分别为
（30）
（31）
式中，s为导体的电导率；d为趋肤深度，d的大小与频率相关；w和h分别为导体的宽度与高度；
、
分别为与频率和几何形状相关的函数[28]；H为外部磁场强度。当PCB导体的宽度w、高度h和MC-WPT系统的工作频率确定后，Rcond即可根据式（30）确定，Rcond仅与导体的形状相关。根据式（31）可知，Rprox取决于外部磁场强度的二次方。换句话说，在外加磁场强度较强的导体中，单位长度的电阻值较高。通过对导体中心进行均匀切割，可降低外部磁场强度H，从而有效减小Rprox。导体切割示意图如图6所示。
因此，对PCB中外加磁场强度最强的导体进行分割，可以有效降低交流内阻。以5匝导体为例，判断分割导体对内阻的影响，对单层方形螺旋导体进行仿真，通过截取导体的磁场可以进一步判断不同厚度下的金属导体内部磁场的分布。
图7a与图7b分别为螺旋导体厚度为1 oz（1 oz=0.035 mm）与厚度2 oz的螺旋导体的磁场，可以发现，对于螺旋导体来说，每一匝导体都存在磁场分布不均匀的情况，相比较而言，厚度较大的螺旋导体的磁场分布更不均匀，其中间有更多的低磁场区域。相较而言，由于磁感应线多汇聚于螺旋导体内圈，使得内圈周围的空间磁场强度大于外圈的磁场强度，因此切割导体内圈更加适用。
图6 方形螺旋线圈导体及其切割仿真示意图
Fig.6 Square spiral coil conductor and its cutting simulation schematic diagram
（a）厚度1 oz
（b）厚度2 oz
图7 不同厚度的螺旋导体磁场
Fig.7 Magnetic fields of spiral conductors with different thicknesses
同时为了探究分割导体对线圈内阻以及自感的影响，分别对5匝螺旋导体进行了五组仿真：第1组为厚度1 oz的螺旋导体；第2组为厚度2 oz的螺旋导体；第3组为厚度2 oz的螺旋导体，分割内1导体；第4组为厚度2 oz的螺旋导体，分割内2与内2导体；第5组为厚度2 oz的螺旋导体，分割所有导体，其仿真结果如图8所示。
图8 不同仿真结果下的电阻与电感的对比
Fig.8 Comparison of resistance and inductance under different simulation results
从图8中可以发现，通过增大导体的横截面积可以有效减小系统的内阻，而对于强磁场区域进行导体分割，即使减小了导体面积，但是其内阻反而减小。而对弱磁场区域进行分割，由于导体横截面积较小，此时通过分割导体降低螺旋线圈内阻的效果微乎其微。因此，选择内圈的导体进行分割更加合理有效。
针对不同分割方式的导体分析，可得如图9所示的磁导率变化曲线。由图9可知，在合适的工作频段范围内，通过优化调控基元的内阻参数，可以有效降低超材料基元的阻尼系数G，从而减小磁导率虚部值，降低能量损耗；同时该方法还能增大负磁导率实部的绝对值，进而显著提升材料的磁场折射性能。这种双重优化机制不仅改善了材料的损耗特性，还增强了其对磁场的调控能力，为超材料在电磁场调控领域的应用提供了新的优化途径。
基于上文的分析，为实现超材料在kHz频段的应用，本文采用了一种常见的基元结构设计，该结构在基元的上下底面均设置了螺旋状导体，并通过双过孔实现电气连接，这种设计显著增大了基元的等效电感值。根据第2节超材料的理论分析，设计其工作频率为固有频率的1.05～1.2倍之间。优化后的超材料基元结构采用2 oz厚度的铜导体，并对最内层线圈导体进行了分割处理，完成对磁导率实虚部的预设计。
图9 不同结构下磁导率实虚部随频率变化曲线
Fig.9 The curves of the real and imaginary parts of permeability varying with frequency under different structures
为探究系统的负磁导率特性，本文先对优化后的超材料基元进行了系统的仿真分析，仿真参数见表1。通过建立相关模型，可得出等效磁导率随频率变化曲线如图10所示。
表1 仿真参数
Tab.1 Simulation parameters
参 数数 值 匝数5 基元边长dL/mm50 线圈边长dc/mm1 线间距ds/mm1 外半径ro/mm20 内半径ri/mm11 线圈厚度h/oz2
图10 优化前后的超材料等效磁导率变化曲线对比
Fig.10 The variation curves of the equivalent magnetic permeability of optimized metamaterials
本文采用的仿真方法和文献[15]类似，通过设置完美磁边界、完美电边界和波端口，具体边界条件如图11所示。通过仿真可得到优化后的超材料感应电流如图12所示。
从图12可以看出，超材料基元磁导率特性在频率接近426 kHz处出现明显的变化。当系统工作频率在420 kHz的情况下，其电流流向为逆时针；而工作频率高于426 kHz时，以440 kHz为例，其电流流向为顺时针。可以证明超材料在工作频率高于426 kHz的情况下等效为负磁导率。这一现象与理论预测结果高度吻合。
图11 仿真边界条件
Fig.11 Simulate boundary conditions
图12 不同频率下优化后超材料感应电流流向
Fig.12 The direction of current in optimized metamaterials varies across different frequencies
仿真模型中，发射线圈与接收线圈均设置为12匝，其中发射线圈施加100 mA的电流激励，接收线圈则设置为无源状态（未施加任何电流和电压激励）。在磁场仿真实验中，发射线圈与接收线圈间距设置为12 mm，基元阵列置于两线圈中心平面处。鉴于磁场对系统性能的改善具有空间全局性特征，本文考察了不同频段和接收线圈沿x轴方向偏移及其沿斜向偏移时的磁场分布特性。不同频段下的磁场分布如图13所示。
图13 不同频段接收线圈的磁场分布
Fig.13 Magnetic field distribution for different frequency band coils
结合图10与图13的仿真结果，在工作频率446 kHz（1.05w0）下，优化后的超材料磁导率虚部由1.32降至0.76（下降约45%），同时实部由-1.17减少至-1.77，不仅显著降低了磁损耗，还增强了磁场折射性能，完全符合理论预期，充分验证了本方法在1.05～1.20倍谐振频率范围内协同优化磁导率实部与虚部的可行性。
同时，为了准确评估超材料对磁场的改善效果，本文采用动态标尺设置方法，以10 mm为步长，在接收线圈偏移10～40 mm的范围内，分别设置相应的磁场强度标尺：当偏移10 mm时，标尺范围为0～31.0 A/m；偏移20 mm为1.04～28.78 A/m；偏移30 mm为0.68～19.37 A/m；偏移40 mm为0.28～14.30 A/m。同理，在斜向偏移时，设置的标尺范围为2.01～27.28 A/m、0.53～22.81 A/m、0.17～15.45 A/m和0.17～7.20 A/m。通过这种自适应标尺设置方法，可以更准确地对比分析添加超材料前后接收线圈的磁场分布特征。仿真结果如图14所示。
图14 有无超材料的接收线圈不同偏移距离下的磁场
Fig.14 Magnetic field distributions with/without metamaterials
从图14的仿真结果表明，在不引入超材料的MC-WPT系统中，无论是横向偏移还是斜向偏移，线圈间的磁耦合强度均显著降低。同时，引入经过优化后的磁负超材料阵列后，MC-WPT系统的耦合性能较优化前获得明显提升，表现出更优越的传输稳定性与偏移容差。
为验证本文提出NMM介质板优化方法的正确性，建立如图15所示的实验平台进行分析。采用型号为RiGol-PS1032的函数信号发生器供给逆变器的触发脉冲，实现高频交流电，两个直流电源用以供给逆变器驱动和作为系统整体电源。其超材料介质板摆放在两线圈之间，并使用型号为Keysight- DS0X3024G的示波器观测电压与电流结果，其中两个电流探头分别用于测量原边线圈电流I1和负载电阻电流I2，一个电压探头用于测量逆变器输出电压US。
图16分别为优化前后的超材料介质板，其介质板采用4×4相同的基元组成，线宽1 mm，线间距1 mm，外层线圈边长40 mm，内层线圈边长20 mm。优化前的超材料板其螺旋导体厚度采用1 oz，优化后的超材料板其螺旋导体厚度为2 oz，保持线宽1 mm的情况下，使用0.1 mm的空白将最内圈导体进行分割，分割后的导体变为两股线宽0.45 mm的导体。
图15 基于超材料介质的MC-WPT系统实验平台
Fig.15 The experimental platform for optimizing the MC-WPT system with metamaterial media
图16 优化前后的NMM介质板
Fig.16 NMM before and after optimization
对于4×4基板来说，不计入毗邻基元的影响时，NMM基元使用31.42 nF的集总电容，而考虑临近基元的影响会导致不同位置所使用的集总电容不一致。具体来说，对于NMM对角部分的基元可以视为周围3个基元对其产生影响，四周边缘的基元可以视为周围5个基元对其产生影响，而中心部分的基元则视为8个基元对其产生影响，其对角、边缘、中心基元的集总电容Cf分别为31.7、32.0、32.5 nF。实验中使用的具体参数详见表2。
表2 基于超材料的MC-WPT系统实验参数
Tab.2 Experimental parameters of MC-WPT system based on metamaterials
参 数数 值 逆变器输出电压US/V8 原边线圈电感L1/mH68.51 副边线圈电感L2/mH68.39 原边补偿电容C1/nF1.85 副边补偿电容C2/nF1.85 原边线圈内阻Rp1/W1.55 副边线圈内阻Rp2/W1.55 负载电阻RL/W10.05
为了验证本文所提出的NMM介质板频率调控以及阻尼调控方法的有效性，线圈间距为15 cm，NMM介质板插入在两线圈正中间。图17显示了在谐振频率为446 kHz时，无超材料板、优化前（未采用阻尼调控方法）超材料板以及优化后（采用阻尼调控方法）超材料板的实验测量结果，并且优化前后NMM基元的集总电容的选取考虑近场耦合的作用。
图17 不同状态下实验验证结果
Fig.17 Experimental verification results under different states
通过对比图17b与图17d可知，其负载电流分别为0.842 A与0.860 A，且优化后的NMM介质板相比优化前NMM介质板，系统的负载电流变大，系统输出功率变大。通过增大超材料的品质因数减小阻尼系数，可进一步减小磁导率虚部增大磁导率负实部绝对值，进而使得系统的功率以及效率得到提升。
通过对比图17c与图17d可知，可以验证提出频率调控方法的正确性，其负载电流分别为0.843 A与0.860 A，系统输出的功率分别为7.1 W以及7.4 W，效率从58%变为60%，可以发现不计入临近基元影响的情况下，系统输出功率虽有提升，但是提升效果明显弱于计入临近基元的影响。这是因为忽略临近基元之间的耦合作用会导致基元谐振频率发生漂移，进而引起超材料磁导率实部变化，影响超材料的磁场的汇聚效果。与理论分析结果相符合，通过增大超材料的品质因数和减小阻尼系数，可以使得系统的功率以及效率得到提升。
同时为了进一步探究两种方法对于MC-WPT系统能效提升的作用，测量发射线圈与接收线圈不同距离下的功率与效率，实验结果如图18所示。
实验结果表明，经过优化的超材料结构显著提升了系统的输出功率和传输效率。采用两种方法的MC-WPT系统的传输效率提升了4.1%～5.2%。相较于初始功率水平，提升幅度达到5%～7%。而仅采用临近频率的单一方法时，MC-WPT系统的传输效率提升了约2%，仅采用调控阻尼系数单一方法时，其传输效率也提升了约2%。可以得出，同时采用两种方法的NMM基元相较于只使用一种方法的NMM基元，具有更好的能效优化特性，与理论分析相符合。
图18 不同距离下功率、效率随距离变化的曲线
Fig.18 The curves of power and efficiency varying with distance under different distance
为了全面验证优化前后超材料对磁场的改善作用，分别对发生不同方位的偏移进行了相关的实验验证。固定接收线圈与发射线圈的间距为15 cm，对接收线圈发生x轴、y轴及其斜向偏移进行实验，偏移距离分别为（10 mm, 0 mm, 15 cm）、（0 mm, 18 mm, 15 cm）和（10 mm, 18 mm, 15 cm）。实验结果数据如图19所示。图19仅展示了优化前后的电流波形，同时将所有上述发射线圈和接收线圈电流（包括未加入超材料）信息统计如图20所示。
通过图20可知，x轴偏移时，未加入超材料、加入优化前超材料、加入优化后超材料，系统接收线圈电流分别为0.818、0.824、0.847 A；y轴偏移时，未加入超材料、加入优化前超材料、加入优化后超材料，系统接收线圈电流分别为0.793、0.813、0.838 A；x、y轴同时偏移时，未加入超材料、加入优化前超材料、加入优化后超材料，系统接收线圈电流分别为0.743、0.787、0.829 A；根据上述实验，将接收线圈的不同偏移距离下的实验功率与效率汇总于表3中。
图19 加入优化前后接收线圈电流值
Fig.19 The current values of the receiving coil before and after adding optimization
图20 不同类型偏移下的发射线圈和接收线圈电流
Fig.20 Transmit coil and receiver coil currents under different types of offsets
通过上述实验，可以得出当MC-WPT系统接收线圈发生偏移时，相较于未发生偏移的MC-WPT系统，传输效率分别降低了约14、19与26个百分点。加入NMM介质板后，传输效率提升5.42～8.6个百分点，输出功率增大0.21～0.68 W；使用优化后的NMM介质板的传输效率进一步提升了5.53～9.76个百分点，而功率进一步增大了0.39～0.71 W。优化后的超材料能够进一步降低线圈偏移产生的影响，提升了系统的抗偏移能力。
表3 不同偏移距离下的实验结果
Tab.3 Experimental results at different offset distance
工况x=10 mmy=18 mmx=10 mm, y=18 mm 无NMM功率/W6.676.275.49 效率(%)41.8137.1929.82 优化前NMM功率/W6.786.616.62 效率(%)47.2340.8638.42 优化后NMM功率/W7.177.016.88 效率(%)52.7649.5748.28
为了更加直观地显示本文的优势，将本文方法与现有方法进行了详细对比，见表4。
表4 与以前工作的比较
Tab.4 Comparison with previous work
文献频段考虑虚部损耗考虑基元耦合效率(%) [16]MHz否否＜40 [17]MHz否否41.7 (0 mm, 0 mm, 15 cm) [18]kHz是否41.41 (0 mm, 16 mm, 20 mm) [19]MHz否否26.05 (0 mm, 10 mm, 20 cm) 本文kHz是是49.57 (0 mm, 18 mm, 15 cm)
从表4可以看出，所提方法在多个方面均具备明显优势。现有研究中的超材料WPT系统大多工作于MHz频段，而本文与文献[18]均聚焦于kHz频段，拓展了超材料在低频WPT中的应用潜力。与所列参考文献相比，本文同时考虑了磁导率虚部引起的损耗以及超材料基元间的耦合效应，而以往研究未能全面涵盖这两个因素。在传输效率方面，本文在接收位置 (0 mm, 18 mm, 15 cm) 处实现了49.57%的最高效率，显著优于其他文献报道结果。综上所述，本文所提出的模型更全面地描述了实际物理机制，并在传输效率方面表现出显著提升，展现出优越的性能和良好的应用前景。
本文从“机理视角”出发，深入分析了无线传能超材料的内部电磁特性，明确影响介质损耗的关键参数及影响机制，并提出一种基于色散介质电磁场能量建模的协同优化设计策略。主要创新性工作包括：
1）构建了色散介质本构参数、电磁储能时间平均密度、耗散、磁场作用强度以及阻尼系数的一般数学模型。
2）明确了在满足色散介质本构关系的条件下，磁导率实部影响能量的存储特性，而虚部直接反映磁损耗强度，且二者共同受超材料单元结构与组成参数调控。
3）深入分析了超材料的频率特性及阻尼特性，给出了频率及阻尼的调节方法，提出了一种同时优化实部与虚部性能、兼顾单元特性与周期阵列整体响应的超材料设计方法。
本文提出的方法显著提升了超材料在磁耦合无线能量传输（MC-WPT）系统中的性能表现，特别是在考虑近场耦合效应并降低介质阻尼后，系统传输效率与功率均获得实质性改善。同时所提出的方法在接收端偏移场景下仍保持良好性能，显示出较强的鲁棒性和实用潜力，有助于增强MC-WPT系统在实际应用中的适应性。
不过本文的研究主要是针对低频无线传能超材料展开的。在高频段以及极端环境或多物理场耦合等条件下的适用性尚未经充分验证。未来研究可从以下两方面展开：一是将频率-阻尼协同调控策略推广至高频、多频段超材料设计；二是系统研究大偏移、多负载等复杂工况下超材料的稳定性。
参考文献
[1] 王得安, 张剑韬, 朱春波, 等. 海洋环境对水下无线电能传输系统的影响机理研究进展[J]. 电工技术学报, 2025, 40(3): 653-675.
Wang Dean, Zhang Jiantao, Zhu Chunbo, et al. Review of progress in the study of marine environment effects on underwater wireless power transfer systems[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2025, 40(3): 653-675.
[2] Kim S Y, Kwon N R, Ahn S H, et al. Three- dimensional wireless power transfer system using multiple orthogonal resonators for spatial freedom[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2023, 71(5): 4036-4044.
[3] Choi H H, Lee J R. Joint optimization of altitude and beamwidth for UAV-powered wireless sensor net- works[J]. IEEE Transactions on Vehicular Tech- nology, 2023, 72(1): 1279-1284.
[4] 辛本钊, 马秀娟, 蔡春伟, 等. 基于空间旋转磁场的全方向无人机无线电能传输系统[J]. 中国电机工程学报, 2023, 43(12): 4769-4779.
Xin Benzhao, Ma Xiujuan, Cai Chunwei, et al. Omnidirectional wireless power transfer system for unmanned aerial vehicle based on spatial rotating magnetic field[J]. Proceedings of the CSEE, 2023, 43(12): 4769-4779.
[5] 左志平, 李英杰, 彭博, 等. 基于共形式磁耦合机构的全方向偏移容忍性无人机无线电能传输系统[J].电工技术学报, 2025, 40(14): 4355-4368.
Zuo Zhiping, Li Yingjie, Peng Bo, et al. omnidire- ctional misalignment tolerant an unmanned aerial vehiclewireless power transfer system with conform magnetic coupler[J]. Transactions of China Electro- technical Society, 2025, 40(14): 4355-4368.
[6] 王思睿, 丘东元, 张波, 等. 宇称-时间对称磁耦合无线电能传输技术研究进展[J]. 电工技术学报, 2025, 40(12): 3787-3802.
Wang Sirui, Qiu Dongyuan, Zhang Bo, et al. A review of parity-time symmetric magnetic coupling wireless power transfer technology[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2025, 40(12): 4355-4368.
[7] Cai Jun, Li Bin, Hua Wei, et al. Magnetic coupled wireless motor driving systems–an overview[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2024, 39(6): 7375-7391.
[8] Deng Pengqi, Tang Chunsen, Sun Min, et al. EMI suppression method for LCC-S MC-WPT systems by parameter optimization[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2024, 39(9): 11134-11147.
[9] Xia Nenghong, Ma Huaqi, Yan Shuang, et al. Design of low-loss electromagnetic metamaterial with non- uniform linewidth for magnetic field convergence in WPT system[J]. IEEJ Transactions on Electrical and Electronic Engineering, 2024, 19(12): 2033-2043.
[10] Ma Hongshuai, Liu Ruikang, Zhang Juan, et al. Laminated miniaturized low-frequency metamaterial block for near-field wireless power transmission applications[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2024, 72(5): 4283-4297.
[11] Shaw T, Mitra D. Wireless power transfer system based on magnetic dipole coupling with high permittivity metamaterials[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2019, 18(9): 1823-1827.
[12] Lu Conghui, Huang Xiutao, Tao Xiong, et al. Com- prehensive analysis of side-placed metamaterials in wireless power transfer system[J]. IEEE Access, 2020, 8: 152900-152908.
[13] Lu Conghui, Rong Cancan, Huang Xiutao, et al. Investigation of negative and near-zero permeability metamaterials for increased efficiency and reduced electromagnetic field leakage in a wireless power transfer system[J]. IEEE Transactions on Electro- magnetic Compatibility, 2019, 61(5): 1438-1446.
[14] Ma Hongshuai, Zhang Penghui, Zhang Juan, et al. Laminated hybrid metamaterial block for enhanced efficiency and SNR in simultaneous wireless power and signal transmission system with dual-sided LCCL compensation networks[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2025, 40(7): 10077-10094.
[15] Chen Yuanxi, Zhao Xing, Niu Shuangxia, et al. A transmitter-embedded metasurface-based wireless power transfer system for extended-distance appli- cations[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2024, 39(1): 1762-1772.
[16] Li Wenwen, Ping Wang, Yao Chen, et al. Experi- mental investigation of 1D, 2D, and 3D metamaterials for efficiency enhancement in a 6.78MHz wireless power transfer system[C]//2016 IEEE Wireless Power Transfer Conference (WPTC), Aveiro, Portugal, 2016: 1-4.
[17] Cho Y, Lee S, Kim D H, et al. Thin hybrid metamaterial slab with negative and zero permeability for high efficiency and low electromagnetic field in wireless power transfer systems[J]. IEEE Transa- ctions on Electromagnetic Compatibility, 2018, 60(4): 1001-1009.
[18] 陈伟华, 侯海涛, 闫孝姮, 等. 基于混合磁负超材料的心脏起搏器无线供能系统[J]. 电工技术学报, 2023, 38(4): 865-878.
Chen Weihua, Hou Haitao, Yan Xiaoheng, et al. Wireless energy supply system for cardiac pacemaker based on hybrid mu-negative metamaterials[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(4): 865-878.
[19] Lu Conghui, Huang Xiutao, Rong Cancan, et al. A dual-band negative permeability and near-zero perm- eability metamaterials for wireless power transfer system[J]. IEEE Transactions on Industrial Elec- tronics, 2020, 68(8): 7072-7082.
[20] Zheng Zonghua, Fang Xin, Zheng Yitian, et al. A wireless power transfer system based on dual-band metamaterials[J]. IEEE Microwave and Wireless Components Letters, 2022, 32(6): 615-618.
[21] Shan Dongyong, Wang Haiyue, Cao Ke, et al. Wireless power transfer system with enhanced efficiency by using frequency reconfigurable meta- material[J]. Scientific Reports, 2022, 12: 331.
[22] Ziolkowski R W, Heyman E. Wave propagation in media having negative permittivity and permeabi- lity[J]. Physical Review E, 2001, 64(5): 056625.
[23] Cui Tiejun, Kong J A. Time-domain electromagnetic energy in a frequency-dispersive left-handed medium[J]. Physical Review B, 2004, 70(20): 205106.
[24] Webb K J, Shivanand. Electromagnetic field energy in dispersive materials[J]. Journal of the Optical Society of America B, 2010, 27(6): 1215.
[25] Cummer S A, Popa B I, Hand T H. Q-based design equations and loss limits for resonant metamaterials and experimental validation[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2008, 56(1): 127-132.
[26] Mohan S S, del Mar Hershenson M, Boyd S P, et al. Simple accurate expressions for planar spiral inductances[J]. IEEE Journal of Solid-State Circuits, 1999, 34(10): 1419-1424.
[27] Zhao J. A new calculation for designing multilayer planar spiral inductors[J]. Electrical Design News, 2010, 55(14): 37-40.
[28] Lope I, Carretero C, Acero J, et al. AC power losses model for planar windings with rectangular cross- sectional conductors[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2014, 29(1): 23-28.
Abstract Metamaterial-based magnetic-coupling wireless power transfer (MC-WPT) has
receivedwidespread attention and has become a research hotspot in electrical engineering. Current research primarily focuses on application-level implementations and the optimized combination of existing structures. However, the internal electromagnetic characteristics of metamaterials—particularly the key parameters that influence dielectric loss and corresponding mechanisms—are not yet fully understood. Revealing these fundamental properties and clarifying the key parameters affecting dielectric loss are crucial for enhancing system performance and guiding the design of novel metamaterials.
This paper conducts an in-depth analysis of the internal electromagnetic properties of metamaterials from a “mechanistic perspective”. First, the general mathematical models are established for the constitutive parameters of dispersive media, time-averaged electromagnetic energy storage, dissipation, magnetic interaction strength, and damping coefficient. Subsequently, using a normalization method, the frequency and damping characteristics of the dispersive media are analyzed. The mechanism of the real and imaginary parts of the constitutive parameters on electromagnetic energy storage and dissipation is clarified. Then, frequency and damping tuning methods are presented. Furthermore, a novel metamaterial design approach is proposed that comprehensively considers near-field coupling effects. It avoids resonance frequency drift and reduces the internal resistance of spiral conductors. This method overcomes the limitations of conventional designs, which often focus only on the real part of permeability and rely on unit-cell behavior to represent overall performance.
An experimental platformwas constructedfor a metamaterial-based MC-WPT system. The metamaterial structure, with collaborative frequency- or damping-optimization that considers coupling effects, significantly enhanced system performance. Under aligned coil conditions, applying frequency or damping control alone improved system efficiency by approximately 2%. In contrast, the synergistic optimization of both frequency and damping yielded an efficiency increase of 4.1%～5.2% and a power boost of 5%～7%. For misaligned coils, at three offset positions - (10 mm, 0 mm, 15 cm), (0 mm, 18 mm, 15 cm), and (10 mm, 18 mm, 15 cm) - the introduction of the NMM medium plate increased transfer efficiency by 5.42%, 3.67% and 8.6%, respectively, with power rising by 0.11 W, 0.34 W, and 0.68 W, respectively. By employing the optimized NMM slab, transfer efficiency was further enhanced by 5.53%, 3.35%, and 9.86%, and output power increased by 0.40 W, 0.39 W, and0.71 W, respectively. The optimized metamaterial was verified for enhancing the system's misalignment tolerance.
The main contributions and conclusions are as follows. (1) The general mathematical models are established for the constitutive parameters of dispersive media, time-averaged electromagnetic energy storage, dissipation, magnetic interaction strength, and damping coefficient. (2) The mechanisms by which the real and imaginary parts of the constitutive parameters influence electromagnetic energy storage and dissipation are elucidated. Under the constraints of the dispersive medium’s constitutive relations, the real part of permeability affects energy storage characteristics, while the imaginary part directly reflects magnetic loss intensity. (3) Methods for tuning frequency and damping are provided, and a metamaterial design strategy is proposed. The performance of real and imaginary parts is optimized.
keywords：Magnetic coupling wireless power transfer (MC-WPT), metamaterial, dispersive media, dielectric parameter optimization, energy efficiency improvements
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.250647
中图分类号：TM724
国家自然科学基金资助项目（52377019）。
收稿日期 2025-04-16
改稿日期 2025-08-20
廖志娟 女，1992年生，副教授，博士生导师，研究方向为电力电子和无线电能传输技术。E-mail: zjliao@cumt.edu.cn（通信作者）
易佳林 男，1998年生，硕士研究生，研究方向为电力电子和无线电能传输技术。E-mail: yjlcumt2022@163.com
（编辑 郭丽军）