，第二部分为最小化火电机组发电成本
，第三部分为最小化新能源弃风量
。由于各优化目标的量纲不同，需采用加权的方式进行归一化处理[21]，归一化后的目标函数表示为摘要 全球气候变化背景下，极端自然灾害频发导致大面积停电事故显著增加，研究科学高效的灾后恢复策略对于保障电力可靠供应具有重要意义。然而，随着集中式与分布式新能源大规模接入电力系统，其固有的随机波动特性会给灾后恢复带来新的挑战。为此，该文提出一种考虑集中式与分布式新能源不确定性的输配协同负荷恢复方法。首先，在计及输配电线路抢修进度的同时考虑智能软开关灵活调节特性与网络重构策略，建立输电网负荷恢复模型与配电网负荷恢复模型；其次，采用模糊机会约束方法对输配电网双侧新能源出力进行建模，构建考虑不确定性的输配协同负荷恢复模型；然后，在此基础上，提出一种基于Peaceman-Rachford分裂的自适应正则化交替方向乘子法，将所提模型分解为输配电网子优化模型进行分布式求解；最后，以改进的T30D2输配系统和T118D30输配系统为算例进行仿真分析，验证所提恢复方法与求解算法的有效性和优越性。
关键词：输配协同 负荷恢复 模糊机会约束 分布式优化 Peaceman-Rachford分裂交替方向乘子法
近年来，极端天气、自然灾害和网络攻击等小概率高风险事件频发，由此引发的大规模停电事故不仅严重威胁电力的可靠供应，还会造成巨额经济损失，成为新型电力系统亟须解决的重大问题[1]。2021年，美国得州遭遇极端雪灾，导致14 GW的风力和光伏发电机组停运，超450万户居民用电受到影响[2]。2024年，超强台风“摩羯”在海南文昌登陆，造成大量电力线路及设备损毁，直接经济损失达约327亿元[3]。此外，随着新能源装机占比的持续攀升，输配电网的规模和复杂性显著增加，这进一步加剧了极端事件下的系统运行风险。在新能源大规模接入的背景下，其固有的不确定性特征使得传统负荷恢复方法难以满足实际需求。传统负荷恢复策略依赖精准的新能源出力预测，在风速、光照等气象因素随机变化的制约下，输电网（Trans-mission Network, TN）侧集中式风电与配电网侧分布式光伏（Distributed Photovoltaic, DPV）无法持续稳定出力，给电力系统负荷恢复决策带来了更多的不确定性因素。处于负荷恢复阶段的电力系统相对脆弱，若新能源出力偏离预测值，具有较大的随机波动，可能导致其计划出力无法匹配实际调度需求，造成功率供需失衡，显著增加二次停电风险并延缓恢复进程。因此，研究考虑新能源不确定性的负荷恢复方法，制定科学合理的负荷恢复策略，对于提升系统灾后保底安全性、降低停电损失并加速系统恢复进程，具有重要的理论价值和现实意义。
当前，负荷恢复研究主要集中在输电网和配电网两个层面。文献[4]以最大化负荷恢复量为目标，提出了一种基于交流潮流的输电网负荷恢复方案优化计算方法。随着新能源的快速发展，大量风电接入输电系统。风电机组因其起动功率小、爬坡速率快的特点，启动后能迅速提供功率支撑[5]。文献[6]综合考虑风电及常规机组的恢复特性，建立了系统恢复决策优化的混合整数线性规划模型。与输电网相比，配电网直接与用户相连，其运行环境更加复杂，在极端事件下表现出更高的脆弱性。现有研究已从灵活性资源协同、应急抢修调度等多个方面探讨了配电网负荷恢复问题。文献[7]将分布式光伏、分布式储能系统（Distributed Energy Storage System, DESS）及电动汽车等多种灵活性资源纳入考虑，提出了一种适用于城市交直流混合配电网的供电恢复策略。文献[8]则通过建立灾后维修人员（Repair Crew, RC）调度和负荷快速恢复的联合决策模型，有效地提升了系统韧性水平。然而上述研究仅聚焦输电网或配电网的独立恢复过程，未能充分考虑两者之间的相互影响，因而无法充分挖掘输配协同恢复的潜力。
随着分布式电源（Distributed Generation, DG）的大规模接入，传统配电网已逐步演进为主动配电网（Active Distribution Network, ADN）。ADN具有一定的主动恢复能力，可以为输电网提供功率支撑，改变了以往被动等待上级输电网送电的局面。这种转变凸显了输配电网协同在整合系统资源、促进负荷恢复方面的重要价值。例如，文献[9]提出一种去中心化恢复方案，实现了输电系统运营商（Trans-mission System Operator, TSO）和配电系统运营商（Distribution System Operator, DSO）的协调决策；文献[10]则通过将输配电系统恢复问题分解为多个子问题，并发挥柴油发电机（Diesel Engine Generator, DEG）等多类型DG的功率支撑作用，加快系统恢复进程。在大型输配电系统中，输电网侧存在以远距离输送为主的集中式风电和集中式光伏新能源，配电网侧存在以就近就地消纳为主的分布式光伏新能源。集中式新能源通常具有大规模、集中式的建设特点，接入电源侧；分布式新能源一般规模相对较小，采用分散式的方式布局，接入用户侧。尽管上述文献探讨了输配协同负荷恢复问题，但未能充分考虑输配电网集中式与分布式可再生能源（Renewable Energy Sources, RES）出力的不确定性。目前，针对RES不确定性的建模主要采用随机规划[11]、鲁棒优化[12]等方法。前者通过构建典型场景进行确定性优化，但其鲁棒性不足，难以抵御极端场景，易引发二次停电；后者虽然考虑了鲁棒性，但其设定往往趋于保守，无法真实反映系统的鲁棒性能，从而降低了恢复效率。值得注意的是，RES出力具有明显的模糊特性，其预测本质上属于模糊问题[13]。在这一背景下，模糊机会约束方法展现出独特的优势：只需少量分布参数即可实现成本和风险的权衡，在描述RES出力不确定性上具有潜在的应用价值。
此外，ADN内部蕴藏的海量灵活性资源展现出巨大的调节潜力。为了提高负荷恢复水平，基于联络开关（Tie Switch, TS）的网络重构（Network Recon-figuration, NR）策略在负荷恢复中得到了广泛应用。文献[14]采用NR策略缩小故障区域，进行负荷供电恢复。然而，传统TS的调节能力存在明显的局限性，制约了负荷恢复效果的提升。随着电力电子技术的发展，智能软开关（Soft Open Point, SOP）逐步取代传统TS已成为必然趋势。SOP可连续调节有功潮流与无功补偿，在故障时的负荷转供和电压支撑方面表现出显著的优势。文献[15]通过建立基于SOP的配电网负荷恢复模型，研究了SOP对负荷恢复的积极作用。然而，SOP较高的成本使得全面替换所有TS并不经济。为此，文献[16]采用SOP和基于TS的NR联合恢复负荷，旨在实现最大化的恢复水平。然而，上述文献多聚焦二者联合对配电网自身恢复水平的直接影响，而忽略了其对整个输配电系统恢复性能的间接提升作用。
对于规模庞大的输配电系统，输电网与配电网在物理上呈现紧密的耦合连接关系，并分别由TSO和DSO独立控制。这种结构特征带来了两方面挑战：①TSO与DSO之间存在信息隐私保护需求，私有数据的直接交换并不现实；②DSO侧“数量多、分布广、量级低”的数据特征导致全局输配协同模型呈现高维特征，求解成本和计算复杂度显著增加[17]。因此，鉴于上述挑战，传统的集中式优化方法已不再适用，分布式优化方法成为解决输配协同优化问题的必然选择。目前，目标级联分析（Analytical Target Cascading, ATC）法[18]、Peaceman-Rachford分裂法（PR Splitting Method, PRSM）[19]、交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）[20]等分布式优化方法相继被提出。ATC能够方便地处理层次结构较为复杂的大型系统，但需要较多的迭代次数和协调时间来达成全局最优解。PRSM在某些对称性较强的问题上收敛效果较优，但其收敛性对参数的选择较为敏感，需要精细调参。与ATC和PRSM相比，ADMM的收敛性能和鲁棒性大幅提升，在解决多变量、多约束的输配协同负荷恢复问题上优势明显。然而，现有ADMM及其改进算法存在以下问题：①不同主体间信息交互效率低，计算速度仍有较大的提升空间；②在线计算成本高，难以确保优化方案的公平性；③收敛性过度依赖参数选择，自适应能力有限。因此，亟须对ADMM进行进一步改进，以提升其计算效率和适应性，从而确保实现输配协同负荷恢复模型的高效求解。
总体而言，现有研究对解决输配协同负荷恢复问题具有参考价值，但仍需在以下三个方面开展深入研究：①在输配协同负荷恢复中，如何对RES出力不确定性进行精细化建模，在提升系统恢复效率的同时规避不确定性带来的风险；②亟须充分发掘配电网内部的灵活调节资源，将SOP的灵活调节特性与基于TS的NR策略有机结合，以间接增强输配电系统整体恢复性能；③针对现有ADMM及其改进算法面临的信息交互效率低下、计算公平性缺失与自适应能力不足三重瓶颈，亟须开展研究高效的求解算法。
针对现有研究的不足，本文提出一种考虑集中式与分布式新能源不确定性的输配协同负荷恢复方法。首先，在计及输配电线路抢修进度的同时考虑智能软开关灵活调节特性与网络重构策略，建立输电网负荷恢复模型与配电网负荷恢复模型；其次，采用模糊机会约束方法对输配电网双侧新能源出力进行建模，构建考虑不确定性的输配协同负荷恢复模型；然后，在此基础上，提出一种基于Peaceman-Rachford分裂的自适应正则化交替方向乘子法（Peaceman-Rachford splitting-embedded Adaptive Regularized Alternating Direction Method of Multipliers,PR-AR-ADMM），将所提模型分解为输配电网子优化模型进行分布式求解；最后，以改进的T30D2输配系统和T118D30输配系统为算例进行仿真分析，验证所提恢复方法与求解算法的有效性和优越性。
输电网负荷恢复需统筹兼顾负荷削减量、运营商成本及能量损耗最小化的多目标优化。输电网负荷恢复模型的优化目标包含三个部分：第一部分为最小化加权负荷削减成本，第二部分为最小化火电机组发电成本，第三部分为最小化新能源弃风量。由于各优化目标的量纲不同，需采用加权的方式进行归一化处理[21]，归一化后的目标函数表示为
（1）
式中，
为输电网负荷恢复模型的目标函数；
、
和
分别为优化前、和的初始值；
、
和
分别为、和的权重系数，且
；
为输电网节点集合；
为输电网中接有火电机组的节点集合；
为输电网中接有风电场的节点集合；
为恢复时步集合；
为输电网节点i的负荷削减单位成本；
为输电网节点i的负荷权重系数；
为t时步输电网节点i的负荷有功削减量；
为t时步输电网节点i所连接的火电机组输出的有功功率；
和
分别为t时步输电网节点i所连接的风电场输出的有功功率及其预测值；
、
和
为输电网节点i所连接的火电机组的耗量特性系数[22]。
1.2.1 风电场运行约束
输电网各节点接入的风电场在运行中需满足的约束为
（2）
式中，
为t时步输电网节点i所连接的风电场输出的无功功率，其出力可在允许范围内自由调节；
为输电网节点i所连接的风电场运行在最小功率因数下时对应的功率因数角。
1.2.2 负荷削减约束
为保障电网的安全运行并满足用户的正常需求，要求负荷削减量不超过其额定值，有
（3）
式中，
为t时步输电网节点i的负荷无功削减量；
和
分别为t时步输电网节点i的额定有功负荷和无功负荷。
考虑到负荷恢复过程中需保证供电区域内用户的满意度，定义输电网负荷恢复率
并加以约束。计算式如式（4）所示，表示t时步负荷恢复优化求解得到的有功负荷恢复量占总额定有功负荷量的比例，在一定程度上可以反映恢复效果；式（5）表示随着恢复进程的推进，负荷恢复率应逐步提升，恢复效果应逐渐向好。
（4）
（5）
式中，
为T中去除第1时步后，剩余时步组成的恢复时步集合。
1.2.3 输电网潮流约束
在负荷恢复优化问题求解过程中，由于涉及输配电网的多次迭代计算，为提升运算效率，本文基于线性化交流潮流模型构建输电网潮流约束。式（6）和式（7）为节点基尔霍夫电流定律（Kirhhoff’s Current Law, KCL）约束，用以确保节点有功、无功功率平衡；式（8）为线路潮流约束。
式中，h为节点j的下游节点；
和
分别为t时步流经输电网线路
的有功功率和无功功率；
和
分别为输电网线路的电导和电纳；
为输电网线路的并联电纳；
和
分别为t时步注入输电网节点j的有功功率和无功功率；
和
分别为t时步输电网节点j所连接的储能电站充、放电功率；
为t时步输电网节点j所连接的火电机组输出的无功功率；
和
分别为t时步输电网节点j与其所连接配电网k的有功交互功率和无功交互功率；
为t时步输电网节点i电压相位；
为t时步输电网节点i电压幅值；
为指示t时步输电网线路连通状态的0-1整数变量，线路连通取1，断开则取0；M为一个极大的正实数；
为引入的辅助变量；
为输电网支路集合；
为配电网编号集合。
1.2.4 输电网安全运行约束
为确保系统恢复过程的安全性和稳定性，可行的恢复策略设计需满足核心安全约束条件如式（9）～式（11）所示。其中，式（9）用于约束支路传输功率不超过允许的传输容量限值；式（10）和式（11）则用于确保节点电压和支路相位差均处于安全运行区间。
（9）
（10）
（11）
式中，
和
分别为允许流经输电网线路的有功功率和无功功率最大值；
和
分别为输电网节点i电压上、下限；
和
分别为输电网线路运行所允许的相位差上、下限。
1.2.5 RC调度约束
维修资源调度问题可建模为扩展型车辆路径问题，即维修队从维修站出发，沿预设路径依次抢修受损元件，完成所有任务后返回所属维修站。首先，在确定受损元件位置信息后，定义一个无向图
，用来表示输电网受损元件的网络拓扑[23]。其中，
为输电网受损元件和维修站的节点集合，
为连接中每两个节点的边集合，
。然后，引入RC调度约束用于在每个时刻对维修队的运行状态进行约束，并实现故障修复过程中维修队的合理分配，具体如下：式（12）表示每支维修队均从各自所属的维修站出发，最终返回出发站点；式（13）用于确保路径的连续性，这意味着每支维修队仅在修复完当前故障点后，才继续前往下一个故障点；式（14）确保每个受损元件仅由一支维修队进行维修；式（15）用于计算维修队到达受损元件节点的时间；式（16）用于计算受损元件修复完成时间。
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
式中，
为输电网中维修队
所属的维修站节点；s为输电网中维修站节点编号；S为输电网中维修站节点集合；R为输电网中维修队集合；
为指示输电网中维修队是否从受损元件节点u到受损元件节点v的0-1整数变量，若维修队从受损元件节点u到受损元件节点v，则取1，反之取0；
为指示输电网中维修队
是否从其所属维修站节点
到受损元件节点u的0-1整数变量；
为指示输电网中维修队是否从维修站节点
到受损元件节点u的0-1整数变量；
为输电网中维修队到达受损元件节点u的时间；
为输电网中维修队修复节点u处受损元件所需时间；
为输电网中维修队从受损元件节点u到受损元件节点v所需时间；
为输电网中节点u处受损元件修复完成时间。
1.2.6 故障修复顺序约束
在灾后抢修工作中，科学地制定故障修复顺序能够有效地提升供电恢复效率，降低停电损失。式（17）表示线路连通需至少一端母线带电；式（18）表示若线路处于连通状态，则其两端母线均已带电；式（19）表示受损线路将保持断开状态直至修复完成；式（20）表示线路修复完成后不会再次受损。
（17）
（18）
（19）
（20）
式中，
为指示t时步输电网节点i通电状态的0-1整数变量，节点i已带电取1，未带电取0；
为输电网受损线路集合；
为输电网受损线路修复完成时间。
1.2.7 输配边界潮流交互约束
输配电网边界潮流交互需满足的约束为
（21）
式中，
和
分别为t时步输电网与其所连接配电网k的有功交互功率和无功交互功率；
和
分别为输电网与配电网k边界有功交互功率最大值和无功交互功率最大值。
除上述约束条件外，还包括：火电机组运行约束，具体见文献[24]；储能电站运行约束，具体见文献[25-26]。限于篇幅，此处不再赘述。
大停电后，配电网恢复的主要目的是尽可能地恢复更多的负荷，并在多源协同作用下减少恢复过程中不必要的能量损耗[27]。基于此，配电网负荷恢复模型优化目标包含三个部分：第一部分为最小化加权负荷削减成本
，第二部分为最小化DPV有功削减量
，第三部分为最小化线路有功损耗
。
（22）
式中，
为配电网k负荷恢复模型的目标函数；
、
和
分别为优化前、和的初始值；
、
和
分别为、和的权重系数，且
；
为配电网k的节点集合；
为配电网k中接有DPV的节点集合；
为配电网k的支路集合；
为配电网k节点i的负荷削减单位成本；
为配电网k节点i的负荷权重系数；
为t时步配电网k节点i的负荷有功削减量；
和
分别为t时步配电网k节点i所连接的DPV输出的有功功率及其预测值；
为t时步流经配电网k线路的电流幅值的二次方；
为配电网k线路的电阻。
2.2.1 配电网拓扑约束
在故障场景下，为了维持配电网中带电节点之间的连通性和辐射状结构，引入图论中的生成树概念，添加约束确保网络仍能保持有效的拓扑结构，从而避免形成环路或孤岛。
（23）
（24）
（25）
（26）
式中，
和
为t时步配电网k线路两端节点间连接关系的0-1整数变量，若节点j是节点i的父节点，则取1，反之取0，若节点i是节点j的父节点，则取1，反之取0；
为指示t时步配电网k线路连通状态的0-1整数变量，线路连通取1，断开则取0；
为指示t时步配电网k节点i通电状态的0-1整数变量，节点i已带电取1，未带电取0；
为配电网k中变电站节点集合。
式（23）用来描述、及三者之间的关系，其可确保对于连通线路，或中只有一个等于1，而对于故障线路，和均为0；式（24）表示每个节点最多有一个父节点；式（25）表示变电站节点无父节点；式（26）表示只有当某一节点带电时，该节点才会有父节点。
2.2.2 分段开关动作次数约束
分段开关的频繁动作会缩短开关使用寿命，为降低负荷恢复过程中因网络重构引发的分段开关频繁动作所造成的不利影响，对分段开关动作次数加以限制，描述为
（27）
式中，
为调度周期内分段开关所允许的最大动作次数；
为配电网k分段开关所在支路集合。
2.2.3 DPV运行约束
配电网各节点接入的DPV在运行中需满足的约束为
（28）
式中，
为t时步配电网k节点i所连接的DPV输出的无功功率，其出力可在允许范围内自由调节；
为配电网k节点i所连接的DPV运行在最小功率因数下时对应的功率因数角。
2.2.4 DEG运行约束
DEG作为一种重要的应急供电资源，广泛用于灾后负荷恢复，其运行约束为
（29）
式中，
和
分别为t时步配电网k节点i所连接的DEG输出的有功功率及其上限；
为t时步配电网k节点i所连接的DEG输出的无功功率；
为配电网k节点i所连接的DEG运行在最小功率因数下时对应的功率因数角；
为配电网k中接有DEG的节点集合。
2.2.5 SOP运行约束
在负荷恢复中，基于背靠背电压源型变流器的SOP通过动态调节多端潮流与快速切换供电路径，灵活实现故障隔离和负荷最优分配，提升恢复效率与供电可靠性。SOP稳态运行约束为
（30）
（31）
（32）
式中，
和
分别为t时步配电网k中SOP注入端口i和j的有功功率；
和
分别为t时步配电网k中SOP注入端口i和j的无功功率；
和
分别为配电网k中SOP无功输出功率上、下限；
和
分别为配电网k中SOP端口i和j的配置容量；
为配电网k中SOP端口节点集合。
式（32）作为非凸非线性约束定义了圆形可行域，直接引入该约束将显著增加求解难度。为此，本文采用多边形内逼近（Progressive Iterative Approximation, PIA）法[17]将其线性化为
式中，
、
和
为多边形内逼近法的线性约束系数，取值详见文献[28]；c为内接多边形各边索引。
2.2.6 配电网潮流约束
在配电网负荷恢复场景中，考虑到网络拓扑的动态变化，本文采用DistFlow模型来描述配电网潮流[29]，具体为
（34）
（37）
式中，
和
分别为t时步流经配电网k线路
的有功功率和无功功率；
为配电网k线路的电抗；
和
分别为t时步注入配电网k节点j的有功功率和无功功率；
和
分别为t时步配电网k节点j所连接的DESS充、放电功率；
为t时步配电网k节点j的负荷无功削减量；
和
分别为t时步配电网k节点j的额定有功负荷量和无功负荷量；
和
分别为t时步配电网k节点j与其所连接输电网的有功交互功率和无功交互功率；
为引入的辅助变量；
为t时步配电网k节点i电压幅值的二次方。
式（34）和式（35）为节点KCL约束，用以确保节点有功、无功功率平衡；式（36）基于欧姆定律变形而来，为交流线路压降计算公式；式（37）为线路传输功率表达式的变形。
2.2.7 配电网安全运行约束
配电网安全运行约束为
（38）
（39）
（40）
式中，
和
分别为允许流经配电网k线路的有功功率和无功功率最大值；
和
分别为配电网k节点i电压上、下限；
为允许流经配电网k线路的最大电流。
2.2.8 输配边界潮流交互约束
输配电网边界潮流交互需满足的约束为
（41）
式中，
和
分别为t时步配电网k与其所连接输电网的有功交互功率和无功交互功率；
和
分别为配电网k与输电网边界有功交互功率最大值和无功交互功率最大值。
除上述约束条件外，还包括：DESS运行约束、负荷削减约束、RC调度约束、故障修复顺序约束。这些约束条件与输电网相关约束相同或类似，此处不再赘述。
风光发电功率受气象条件影响显著，呈现随机波动特性，通常仅能预测大致的出力范围而难以精确表征。新型电力系统发展背景下，大量风光新能源接入输配电网，当风电和光伏参与负荷恢复过程中时，需重点考虑风光出力不确定性对系统恢复进程的影响。为此，本节采用模糊机会约束规划方法对输电网中集中式风电出力和配电网中分布式光伏出力进行建模，并借助模糊机会约束的清晰等价转换技术完成含模糊变量数学模型的确定性求解。
模糊机会约束的核心思路是允许优化结果在一定程度上不满足约束条件，但要确保优化结果成立的可能性不低于预先设定的置信水平。基于此，对前述输电网负荷恢复模型中的功率平衡约束式（6）和配电网负荷恢复模型中的功率平衡约束式（34）进行处理，得到输配电网功率平衡的可信性机会约束，分别如式（42）和式（43）所示。
式中，
为t时步输电网节点j所连接的风电场输出的有功功率所对应的模糊参数；
为t时步配电网k节点j所连接的DPV输出的有功功率所对应的模糊参数；
为
中事件发生的可能性；
为置信水平。
需特别指出，鉴于新能源机组无功出力受有功出力约束，无功功率可直接纳入一般变量范畴建模分析，不必额外针对无功功率平衡约束进行处理。
由文献[17]可知，当置信水平
时，模糊机会约束可以进行清晰等价类转换。故将式（42）和式（43）转换为确定性的等价条件，即
式中，
和
为风光出力预测值的梯形隶属度参数，该值通常由风光历史数据确定。
综上所述，输配协同负荷恢复全局优化模型的完整形式为
（46）
集中式优化方法难以适用于大型输配电网系统，其庞大的规模会导致计算量和信息传输负担激增。此外，由于输电网与各配电网之间存在数据隐私保护需求，信息难以实现全面共享。为此，本节提出基于PR-AR-ADMM的输配协同负荷恢复分布式优化求解方法，通过半步动态乘子更新、二次正则化强凸改进以及自适应步长调节，实现高精度、高效率的输配协同负荷恢复独立决策与协调优化。
输配协同负荷恢复模型的分布式迭代求解关键在于精准构建区域间耦合约束。输配网络分解机制如图1所示，通过边界母线撕裂和复制边界变量的方法将原问题分解成包含上层输电网子问题和下层配电网子问题的双层架构。输电网层面，将输配边界交互功率
和
等效为虚拟负荷，从输电网获取功率；配电网层面，将输配边界交互功率
和
等效为虚拟电源，向配电网提供功率。分解后的各子系统在独立优化求解满足本区域运行约束的负荷恢复方案时，仅需通过与相邻系统交互少量的边界信息，且满足输配边界耦合变量一致性约束即可，具体为
（47）
式中，
为t时步输电网与配电网k的边界耦合变量；
为t时步配电网k与输电网的边界耦合变量。
图1 输配网络分解机制
Fig.1 Decomposition mechanism of transmission and distribution networks
上述处理方法基于分布式架构，在确保各子系统隐私性与决策独立性的同时，显著地简化了信息交互流程。此外，针对数值优化的需求，通常采用增广拉格朗日函数作为惩罚项，将一致性约束以罚函数的形式添加到输、配电网负荷恢复子问题的目标函数中，以提升计算稳定性[30]。综上所述，将输配协同负荷恢复全局优化模型分解为多个子优化模型，配电网k及输电网的子优化模型分别表示为
（48）
（49）
式中，
和
分别为添加一致性约束惩罚项后的输电网子优化模型目标函数和配电网k子优化模型目标函数；
为t时步的拉格朗日乘子向量；
为t时步的惩罚参数；
为t时步输电网需要优化的边界耦合变量，并传递给配电网k；
为t时步配电网k需要优化的边界耦合变量，并传递给输电网。
本文一方面将传统ADMM算法的一体式乘子更新策略分解为半步对偶乘子更新策略，并基于配电网子系统迭代状态动态调整对偶乘子的更新过程，有效地提升输配系统间信息交互效率；另一方面，针对传统ADMM算法计算成本较高且求解效率受限于增广拉格朗日函数计算复杂度的问题，在输配电网子问题优化中引入针对当前解的二次正则化项，增强子问题的强凸性特征，确保优化过程具有闭式解以提升算法的计算效率和收敛性能。
边界耦合变量和拉格朗日乘子的迭代更新方法为
（50）
（51）
（52）
（53）
式中，
为t时步第n次迭代时的拉格朗日乘子向量；
为t时步半步更新过程对应的二分之一项拉格朗日乘子向量；
为t时步第n次迭代时一致性约束对应的惩罚参数；
为t时步第n次迭代时输电网与配电网k的边界耦合变量；
为t时步第n次迭代时配电网k与输电网的边界耦合变量；
为正则化因子。
此外，针对传统ADMM算法中固定惩罚参数易导致迭代次数过多甚至无法收敛到局部最优的缺陷，本文设计了一种基于自然对数的自适应步长机制，使算法在迭代过程中能够根据原始残差与对偶残差的动态比例关系来更新惩罚参数，具体为
（54）
（55）
（56）
式中，
和
分别为t时步第n次迭代时的原始残差向量和对偶残差向量；
和
分别为原始残差阈值向量和对偶残差阈值向量，向量中的每一个元素都表示收敛阈值；
为调节参数，取μ=10。
PR-AR-ADMM算法求解步骤如下：
（1）获取输配电网故障状态，给定拉格朗日乘子向量、惩罚参数及输配边界耦合变量和的初始值，设置正则化因子
，原始残差收敛阈值
和对偶残差收敛阈值
为10-3，并令迭代次数n=0。
（2）配电网层并行求解各配电网负荷恢复子优化模型式（48），得到输配边界耦合变量并传递给输电网层，如式（50）所示。
（3）按照式（51）半步更新拉格朗日乘子向量，得到二分之一项拉格朗日乘子向量。
（4）输电网层将在步骤（2）中接收的输配边界耦合变量和步骤（3）中接收的二分之一项拉格朗日乘子向量作为已知信息，求解输电网负荷恢复子优化模型式（49），得到输配边界耦合变量，如式（52）所示。
（5）判断原始残差和对偶残差是否满足收敛条件式（57）。若满足，则迭代结束，输出输配协同负荷恢复优化决策结果；若不满足，则进入步骤（6）。
（57）
（6）按照式（53）和式（56）更新得到拉格朗日乘子向量
和惩罚参数
，并令迭代次数n=n+1，转到步骤（2）。
PR-AR-ADMM算法流程如图2所示。
图2 PR-AR-ADMM算法流程
Fig.2 Flow chart of the PR-AR-ADMM algorithm
本节基于改进的T30D2输配系统开展仿真测试，通过分析优化结果验证本文所提模型及方法的有效性，并进一步采用更大规模的改进的T118D30输配系统验证所提PR-AR-ADMM算法的优越性。模型和算法测试在配备AMD Ryzen 9 7900X3D CPU和32 GB RAM的计算机上进行，依托Matlab R2023b编程环境，采用Yalmip工具包进行建模，并调用Gurobi 11.0.3求解器进行求解。
5.1.1 算例参数设置
改进的T30D2输配系统拓扑如图3所示，由1个改进的IEEE 30节点输电系统（TN）和2个改进的IEEE 33节点配电系统（ADN1和ADN2）组成。输电网中共有6台火电机组、5座集中式风电场（单场装机容量为60 MW）、2个储能电站；各配电网中集成了8个分布式光伏电站（单站装机容量为5 MW）、1台柴油发电机、2套DESS。受极端自然灾害影响，凌晨4:00输电网线路4-12、12-16、27-28发生故障，同时2个配电网中各有4条故障线路亟待抢修。输电网中配置2组RC参与故障维修，每个配电网中各配置1组RC参与故障维修。输电网中一处线路故障抢修时间取为1 h，配电网中一处线路故障抢修时间取为0.5 h。在本算例中，将各配电网额定有功负荷和无功负荷修改为原来的5倍。设置输配电网负荷恢复时步总数为25，时步间隔为15 min。电压幅值安全运行范围为0.9～1.1(pu)，线路相位差安全运行范围为-p/6～p/6。输配边界功率波动范围为-5～5 MW(Mvar)。PR-AR-ADMM算法中的惩罚参数初始值为10，拉格朗日乘子和输配边界耦合变量初始值均为0。负荷削减单位成本为10元/(kW·h)。置信水平若无特殊说明，取为0.95。风光预测出力如附图1所示，梯形隶属度参数取值见附表1，其他参数详见文献[31]。
图3 改进的T30D2输配系统拓扑
Fig.3 Topology of modified T30D2 transmission and distribution systems
5.1.2 输配协同负荷恢复结果
采用本文所提方法求解得到的输配电网负荷恢复率如图4所示。从图4中可以看出，TN负荷恢复完成时间与ADN2相近，但明显滞后于ADN1。这主要是因为大停电发生在凌晨无光时段，DPV出力为0，TN在恢复初期优先为ADN提供紧急功率支援，需协调有限发电资源，延缓了自身负荷恢复。系统恢复中后期，随着DPV出力增加，ADN负荷恢复量增大甚至能返送功率，TN随后转向恢复本网络未恢复负荷，最终在第22时步完成恢复。此外，ADN2在恢复初期（第1～6时步）结束时负荷恢复率已超过40%，而ADN1负荷仍大量削减，这是因为ADN2负荷权重较大，系统优先恢复重要负荷。第9时步（上午6:00）后，DPV出力渐增，ADN1因DPV渗透率高于ADN2，充分利用本地DPV资源加速恢复，恢复效果优于ADN2，并在第15时步完成恢复。综合来看，输配电网在满足各类运行约束的前提下提前达成恢复目标，24个时步内即完成全系统负荷恢复，展现出优异的恢复性能。
图4 输配电网负荷恢复率
Fig.4 Load restoration ratio of transmission and distribution networks
以TN为例，其在负荷恢复阶段不同时步的节点电压如图5所示。从图5可以看出，恢复阶段TN节点电压最大值为1.079(pu)，最小值为0.908(pu)。无论网架结构如何变化，不同时步的节点电压都在其阈值范围内，满足安全要求。ADN1及ADN2节点电压变化情况如附图2和附图3所示。
图6展示了负荷恢复阶段ADN1内部DG出力情况。在ADN1中，DPV作为主力电源，承担主要的负荷恢复任务，其输出功率在内部DG中占比最大。DEG作为应急电源，在大停电后迅速出力，有效地弥补了无光时段的供电资源缺口，且出力水平始终维持在额定功率的80%以上。进一步分析发现，在第9～15时步期间，由于DPV刚开始出力且负荷恢复效率较高，DEG接近满发状态；但从第15时步之后，随着DPV出力的上升和负荷恢复完成，系统供电资源相对充裕，DEG的输出功率有所降低。
图5 负荷恢复阶段TN节点电压
Fig.5 Bus voltages of TN in the load restoration stage
图6 负荷恢复阶段ADN1内部DG出力情况
Fig.6 DG output of ADN1 in the load restoration stage
图7展示了输配电网RC调度策略，其中白色色块代表RC在行驶途中。从图7中可以看出，输配电网的11条故障线路均在调度周期内修复完毕。RC1优先修复输电网线路4-12，保障火电机组G1和G2的功率输送至重要负荷区域；随后修复线路12-16，缓解火电机组G3功率外送过程中的潮流阻塞。RC2修复输电网线路27-28，旨在降低线路25-27的负载率，使风电及火电机组G6的功率得以传输。配电网则综合考虑网络拓扑、维修时长与距离、负荷重要性等因素，调度RC抢修线路，使更多节点恢复供电，RC3和RC4的具体抢修过程此处不再赘述。进一步分析表明，修复故障线路对提高系统负荷恢复能力有积极作用。例如，配电网线路5-6在第54 min（约第3～4时步）由RC4修复后，ADN2负荷恢复率显著提升，如图4所示。综上所述，合理地调配有限的维修资源修复故障线路，可实现系统负荷逐步恢复，降低停电损失。
图7 输配电网RC调度策略
Fig.7 RC scheduling strategy in transmission and distribution networks
图8展示了第1时步和第15时步下TN与高DPV渗透率ADN1输配边界耦合变量的迭代交互过程。可以看出，随着迭代次数的增加，输配边界耦合变量一致性约束作用逐渐凸显，输配边界耦合变量值逐渐趋于一致，最终在5次迭代后收敛。第1时步下输配边界有功和无功耦合变量分别收敛到4.463 MW和2.571 Mvar，第15时步下输配边界有功和无功耦合变量分别收敛到-1.272 MW和-1.25 Mvar。这是因为第1时步ADN1中DPV出力为0，系统内部恢复资源不足，需由TN提供功率支援；而第15时步ADN1中DPV出力水平较高，系统内部恢复资源相对充裕，此时可向TN提供功率支援以帮助其恢复剩余负荷。综上所述，通过输配边界耦合变量的迭代交互与协调优化，各负荷恢复子问题最优解与全局最优解达成动态平衡，输配电网在系统恢复过程中充分发挥了相互支撑的能力。
图8 输配边界耦合变量迭代交互过程
Fig.8 Iterative interaction process of coupling variables at the transmission and distribution boundary
附图4给出了输配协同负荷恢复过程中各节点的恢复状态。可以看出，输配协同恢复过程中节点负荷一旦恢复便不再削减，这既保障了用户舒适度，又可最大限度地满足用户用电需求，有利于负荷恢复进程的稳步推进。
5.1.3 不同恢复方法对比分析
本节将本文所提出的分布式优化方法与集中式输配独立优化方法进行了比较，以进一步验证其有效性。不同优化方法下求解得到的输配电网整体负荷恢复率如图9所示。整体来看，分布式优化方法的负荷恢复速度比输配独立优化方法快。分布式优化方法在经过24个时步后恢复100%负荷，而输配独立优化方法在经过25个时步后仅能恢复83.18%负荷，这是因为在输配协同负荷恢复方法中，TN与ADN相互协调使得ADN充分发挥“主动”特性，以匹配整个输配电网的恢复需求。此外，分布式优化方法每一时步的负荷恢复率与集中式优化方法略有不同但大体接近。结果表明，本文所提分布式优化方法在现实中是高效可行的，可以有效地加速系统恢复进程。
图9 不同优化方法下输配电网整体负荷恢复率
Fig.9 Overall load restoration ratio of transmission and distribution networks under different optimization methods
5.1.4 考虑不同因素的输配协同恢复对比分析
为进一步验证本文所提输配协同负荷恢复方法的优势，设置4种场景进行对比分析，场景对比设置见表1。场景1未考虑SOP与基于TS的NR协调，场景3考虑SOP与基于TS的NR协调，场景2和场景4分别在场景1和场景3的基础上进一步考虑集中式和分布式新能源出力不确定性。
表1 场景对比设置
Tab.1 Scenario comparison setting
场景考虑的因素 SOP与基于TS的NR协调RES出力不确定性 1×× 2×√ 3√× 4√√
不同场景下负荷恢复优化决策结果对比见表2。整体来看，场景1下输配电网负荷削减量最大、负荷恢复总成本最高且恢复完成时间最晚，场景4下输配电网负荷削减量最小、负荷恢复总成本最低且恢复完成时间最早。场景2通过精确建模RES出力不确定性，在可接受的风险范围内充分利用RES的预期出力，相比场景1在相同恢复时步内恢复了更多负荷，从而减少了负荷削减量，降低了恢复成本。场景3相较于场景1，在基于TS进行NR以快速优化网络结构并恢复非故障区域供电的基础上，进一步引入SOP，通过TS与SOP的协同作用，精确调控馈线间的功率交换，使系统潮流分布进一步合理化，从而提升了供电质量与可靠性，有效地降低了恢复成本。场景4由于同时考虑SOP与基于TS的NR协调与RES出力不确定性，负荷恢复总成本为171.457万元，与场景1相比减少9.5%。场景3和4相较于场景1和2，恢复成本不仅有所降低，恢复完成时间还提前了1个时步，进一步说明SOP与基于TS的NR相协调的策略对故障恢复速度提升的重要性。场景2和4相较于场景1和3，恢复完成时间没有变化但恢复成本有所降低，可知RES出力不确定性对系统经济性的影响更大。综上可知，在输配协同负荷恢复中有必要考虑SOP与基于TS的NR协调以及RES出力不确定性，以缩短停电时间、降低停电成本。
表2 不同场景下负荷恢复优化决策结果对比
Tab.2 Comparison of optimal decision results of load restoration under different scenarios
场景TN负荷削减量/(MW·h)ADN1负荷削减量/(MW·h)ADN2负荷削减量/(MW·h)负荷恢复总成本/万元恢复完成时步 1155.16313.52815.307189.44825 2142.85710.58112.002178.02025 3148.09411.28613.954182.64324 4136.8308.02711.205171.45724
图10展示了场景2和场景4下TN与ADN1边界功率交互情况。从图10中可以看出，场景4相较于场景2，功率倒送阶段（第14～25时步）输配边界功率交互量更大。这是因为场景4中SOP的灵活功率调节能力可以实时缓解局部潮流阻塞，而基于TS的NR优化了潮流传输路径，使得输配子系统的网络潮流同时得到改善，线路传输裕度与互济能力显著增强，子系统之间可以传递更多的供电功率。由此可见，将SOP的灵活调节特性与基于TS的NR策略有机结合，有利于合理协调分配交互功率，增强输配电网的相互支援能力，从而提升系统的整体恢复性能。
图10 场景2和场景4下输配边界功率交互情况
Fig.10 Power interaction at the transmission and distribution boundary under scenario 2 and scenario 4
5.1.5 参数敏感性分析
为使出力具有强不确定性的RES参与输配协同负荷恢复，本文采用模糊机会约束建模风光预测功率的不确定性，但模糊机会约束中置信水平的大小会直接影响优化结果。为此，本节设置置信水平分别为0.55、0.65、0.75、0.85和0.95，以研究不同置信水平对负荷恢复效果的影响。
图11为不同置信水平下输配电网整体负荷恢复率。可以看出，当置信水平为0.55时，负荷恢复最快，仅用21个时步就完成了负荷恢复，恢复效率最高；当置信水平为0.85和0.95时，输配电网需要24个时步才能完成负荷恢复；而在置信水平为0.65和0.75时，输配电网提前2个时步完成负荷恢复。由此可见，置信水平取值越小，恢复速度越快、恢复效率越高。
图11 不同置信水平下输配电网整体负荷恢复率
Fig.11 Overall load restoration ratio of transmission and distribution networks under different confidence levels
图12为不同置信水平下输配电网负荷恢复总成本。可以看出，系统恢复总成本与置信水平成正比。这是因为较高的置信水平意味着负荷恢复过程对系统运行的安全性要求更高，将导致负荷恢复决策更加保守，单时步可恢复负荷量缩减，不可避免地提高了恢复总成本。
图12 不同置信水平下输配电网负荷恢复总成本
Fig.12 Total cost of load restoration of transmission and distribution networks under different confidence levels
综上所述，负荷恢复策略的风险对应恢复过程的安全性，收益则对应恢复过程的效率。高收益的负荷恢复策略虽能恢复大量负荷，提高恢复效率，但易导致显著的功率不平衡，引发系统安全指标越限。因此，对置信水平的取值需从安全性和经济性两方面综合考虑，以达到风险与收益的平衡。
5.1.6 极端场景下方法适用性分析
为验证本文所提输配协同负荷恢复方法在极端场景（如台风灾害或网络攻击）下的适用性，假设极端场景下TN节点16和节点18所接集中式风电场内部风电机组完全瘫痪脱网。在此条件下，采用本文所提方法求解得到的输配电网负荷恢复率如图13所示。从图13中可以看出，尽管TN中2座集中式风电场因瘫痪无法参与负荷恢复，但未受影响的风电机组与火电机组、DPV等电源通过多源协同支撑，仍使输配电网在规定的25个时步内实现全系统恢复，且最终恢复率可达100%。综上所述，本文所提方法在极端场景下仍能保持良好的恢复性能，具备一定的适用性。
图13 极端场景下输配电网负荷恢复率
Fig.13 Load restoration ratio of transmission and distribution networks under extreme scenarios
为验证本文所提PR-AR-ADMM算法的优越性，本节在更大规模的改进的T118D30输配系统上对算法的性能进行测试分析。改进的T118D30输配系统由1个改进的IEEE 118节点输电系统和30个改进的IEEE 33节点配电系统组成。输配系统电源、负荷数据及网络参数见文献[32]，其余参数参考5.1节算例。
表3从计算时间、迭代次数、优化间隙、负荷恢复总成本四个方面对比了PR-AR-ADMM与集中式优化算法、传统ADMM、自适应步长ADMM的计算性能。可以看出，PR-AR-ADMM的计算时间和迭代次数明显小于其他分布式优化算法。PR-AR-ADMM相较于传统ADMM，计算时间缩短了63.04%，迭代次数减少了19次；相较于自适应步长ADMM，计算时间缩短了43.54%，迭代次数减少了11次。此外，各类分布式优化算法与集中式优化算法所得优化结果非常接近，优化间隙均在5%的可接受范围内。其中PR-AR-ADMM的优化间隙最小，仅为0.48%。
表3 不同求解算法的性能对比
Tab.3 Performance comparison of different solving algorithms
算法计算时间/s迭代次数优化间隙(%)负荷恢复总成本/万元 集中式优化2 459.26170.634 传统ADMM1 848.38434.38178.116 自适应步长ADMM1 209.87352.99175.739 PR-AR-ADMM683.13240.48171.457
图14为不同分布式优化算法在迭代求解负荷恢复问题时原始残差和对偶残差的变化情况。可以看出，在迭代过程中传统ADMM、自适应步长ADMM与PR-AR-ADMM的原始残差和对偶残差均呈现逐渐减小趋势直至收敛，但PR-AR-ADMM经过24次迭代即可满足收敛精度要求，具有最优的收敛效果。综上所述，本文所提PR-AR-ADMM算法在大规模输配系统中具有良好的计算性能，能在提高计算速度的同时，满足计算精度的要求。
图14 不同求解算法的原始残差和对偶残差变化
Fig.14 Variation of primal residuals and dual residuals of different solving algorithms
本文针对极端灾害后输配电网的负荷恢复问题，提出了一种考虑集中式与分布式新能源不确定性的输配协同负荷恢复方法，通过算例分析，得到如下结论：
1）本文同时考虑输配电网双侧RES出力不确定性并采用模糊机会约束规划方法对其建模。通过对比分析可知，合理地设置置信水平可在利用RES改善恢复性能的同时控制恢复成本，实现安全性和经济性的平衡，为负荷恢复优化决策提供科学依据。
2）本文将SOP与基于TS的NR策略相结合，优化输配边界交互功率，增强输配系统相互支撑能力，提升系统整体恢复性能。相较于仅考虑基于TS的NR策略，在本文所提策略下恢复总成本减少了6.563万元，恢复完成时间提前了15 min。
3）本文所提PR-AR-ADMM算法可以高效地求解输配协同负荷恢复分布式优化模型，具有良好的求解效率和求解精度。PR-AR-ADMM算法相较于传统ADMM，计算时间缩短了63.04%，迭代次数减少了19次，优化间隙缩小至0.48%。
负荷恢复期间，输电网中大量风机快速起动会产生功率冲击，可能导致系统频率越限。因此，下一步将着重研究计及频率安全的输配协同负荷恢复策略。
附 录
附图1 风光功率预测曲线
App.Fig.1 Wind and DPV power prediction curves
附图2 负荷恢复阶段ADN1节点电压
App.Fig.2 Bus voltages of ADN1 in the load restoration stage
附图3 负荷恢复阶段ADN2节点电压
App.Fig.3 Bus voltages of ADN2 in the load restoration stage
附图4 输配电网负荷恢复状态
App.Fig.4 Load restoration status of transmission and distribution networks
附表1 梯形隶属度参数
App.Tab.1 Trapezoidal fuzzy parameters
风电0.60.91.11.4 光伏0.70.91.11.3
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Abstract In recent years, low-probability but high-risk events including extreme weather, natural disasters, and cyberattacks have been occurring with increasing frequency. The large-scale blackouts triggered by these incidents not only pose a grave threat to the reliable supply of electricity but also inflict enormous economic losses, emerging as a major issue that demands urgent resolution in the context of the new electricity system. Furthermore, with the continuous growth in the proportion of renewable energy sources installed capacity, the scale and complexity of the transmission and distribution networks have significantly increased, which further exacerbates the operational risks of the system under extreme events. In the context of large-scale integration of renewable energy sources, its inherent uncertainty makes it difficult for traditional load restoration methods to meet actual demand. Conducting research on load restoration methods that take into account the uncertainties of renewable energy sources and formulating scientific and rational load restoration strategies are of significant theoretical importance and practical relevance.
To address these issues, a coordinated load restoration method of transmission and distribution networks considering the uncertainties of centralized and distributed renewable energy sources is proposed. Firstly, taking into account the repair progress of transmission and distribution network lines, the flexible adjustment characteristics of soft open points and network reconfiguration strategies are considered to establish load restoration models for transmission and distribution networks. Secondly, the fuzzy chance constraint method is used to model the power output of renewable energy sources on both sides of the transmission and distribution networks, thereby constructing a coordinated load restoration model of transmission and distribution networks that accounts for uncertainties. On this basis, a Peaceman-Rachford splitting-embedded adaptive regularized alternating direction method of multipliers (PR-AR-ADMM) is proposed to decompose the proposed model into sub-optimization models for distributed solution of the transmission and distribution networks.
Simulation analyses are conducted using the modified T30D2 and T118D30 transmission-distribution systems as case studies, drawing the following conclusions: (1) The uncertainties of renewable energy sources output on both sides of the transmission and distribution networks are simultaneously considered and modeled using the fuzzy chance constraint method. Through comparative analysis, it can be concluded that setting a reasonable confidence level can improve restoration performance while controlling restoration costs using renewable energy sources, achieving a balance between safety and economy, and providing scientific basis for optimized decision-making in load restoration. (2) By integrating soft open points with the tie switch-based network reconfiguration strategy, the interactive power at the transmission-distribution boundary is optimized, enhancing the mutual support capability between the transmission and distribution networks and improving the overall restoration performance of the system. Compared to the strategy that only considered the tie switch-based network reconfiguration, the proposed strategy reduces the total restoration cost by 65 630 CNY and advances the completion time of restoration by 15 min. (3) The proposed PR-AR-ADMM can efficiently solve the distributed optimization model for coordinated load restoration in transmission and distribution networks, demonstrating good computational efficiency and solution accuracy. Compared to the traditional alternating direction method of multipliers, the PR-AR-ADMM reduces the computation time by 63.04%, decreases the number of iterations by 19, and narrows the optimization gap to 0.48%.
keywords：Coordination of transmission and distribution networks, load restoration, fuzzy chance constraint, distributed optimization, Peaceman-Rachford splitting alternating direction method of multipliers
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.250554
中图分类号：TM73
国家自然科学基金（U24B2083, 52407098）、中央高校基本科研业务费专项资金（2025JC001）和国家资助博士后研究人员计划（GZC20240463）资助项目。
收稿日期 2025-04-07
改稿日期 2025-05-30
陈艳波 男，1982年生，教授，博士生导师，研究方向为新能源电力系统优化与分析。E-mail：chenyanbo@ncepu.edu.cn
张 智 男，1994年生，博士，讲师，研究方向为新能源电力系统规划和运行。E-mail：zz_dqgc@163.com（通信作者）
（编辑 李 冰）