（1）
摘要 提升配电网弹性是电网抵御台风灾害的根本手段，而精准定位故障区段是实施灾中和灾后配电网弹性提升方案的重要前提。现有面向常规灾害的配电网区段故障定位方法难以有效应对台风灾害下出现的复杂多重故障，为此，该文提出一种适用于复杂多重故障的配电网故障区段定位混合整数线性规划方法。首先，分析传统开关函数的不足，根据开关函数构建机理，提出一种适用于复杂多重故障的改进开关函数；其次，结合智能电表（SM）和微型同步相量测量装置（μPMU）的信息，构建基于多源信息的配电网故障区段定位逻辑模型；最后，利用逻辑关系和代数关系的三个转换原则，将配电网故障区段定位逻辑模型等价转换为混合整数线性规划模型。算例分析表明，所提配电网故障区段定位方法准确可靠，容错性高，10节点模型平均计算时间为0.4 s，33节点模型为2.1 s，且适用于复杂多重故障场景，可为台风灾害下配电网故障区段定位提供理论支撑。
关键词：台风灾害 弹性配电网 区段定位 复杂多重故障 改进开关函数
配电网作为连接输电系统和用户的重要枢纽，其弹性与故障响应能力直接关系到配电网的供电可靠性和用户供电安全[1]。故障区段定位作为灾中阶段故障隔离和重构[2]、灾后阶段供电恢复的前提[3-4]，是提升配电网弹性的关键技术。对于故障定位方法，国内外学者已对此开展了深入研究，其涉及的类型主要为定段类法[5]。随着分布式电源（Distributed Generation, DG）的高渗透率接入，配电网从单电源辐射型网络结构转变为多电源供电的复杂网络[6]。台风灾害会造成多重故障电流方向不确定，导致现有故障区段定位模型在复杂多重故障下难以准确定位故障区段[7]。因此，提升台风灾害下复杂多重故障区段的定位准确性和容错性，是增强配电网弹性的核心问题。
随着配电网自动化系统的持续发展，馈线终端单元（Feeder Terminal Unit, FTU）、微型同步相量测量装置（micro-Phasor Measurement Unit, μPMU）、智能电表（Smart Meter, SM）在实际工程中日益普及。文献[8-9]通过构建开关函数描述馈线区段与FTU信息的逻辑关系，基于最小集原理建立评价函数并优化求解，实现故障区段的准确定位。文献[10]利用FTU监测的电流特征，结合正序电流幅值比与相邻区段相似性分析，实现故障的精确定位。文献[11-12]基于SM量测数据，通过电网故障特征与网络参数的内在关联性实现故障定位。文献[13-14]通过μPMU直接测量的瞬态电气信息来定位故障。文献[15-16]则基于稳态电气参数特征的故障区段估计方法，通过μPMU测量的电气参数与主网络节点的阻抗（或导纳）矩阵相结合，采用迭代计算进行故障定位。尽管这些方法从信息融合角度增强了模型对复杂灾害场景的适应能力，但在多源信息缺失或精度不足时仍面临定位准确性下降的问题。为此，本文构建了一种同时融合SM断电信息与μPMU故障信息的故障区段定位优化模型，在提升故障识别准确性的同时增强模型对信息缺失的容错性。
在该优化模型中，决定模型适用范围和故障特征的关键在于开关函数的构建。开关函数是根据区段状态和配电网拓扑结构计算配电网节点期望状态的逻辑函数，决定着故障区段定位模型的适用故障类型[17]。文献[18-19]采用的开关函数只描述了单电源配电网发生单重故障时的故障电流方向特征，其只适用于单电源配电网单重故障；文献[20-21]提出的改进开关函数只适用于多电源配电网单重故障；文献[22-23]中，多电源配电网简单多重故障的区段定位模型被陆续提出，但这些故障区段定位模型的开关函数难以完全描述多重故障电流方向特征，导致现有故障区段定位模型难以适用于复杂多重故障。此外，传统故障区段定位方法一般采用逻辑关系构建优化模型，只能用智能优化算法对其求解，也因此产生了不稳定与速度慢的缺点。文献[19]率先利用代数“+”建立了二次非线性定位模型，并利用基于扰动因子的光滑算法求解模型。文献[20]也构建了基于代数“+”的故障区段定位模型，不同的是，其仅从右侧逼近最优值，将逻辑定位模型转换为线性整数规划模型。文献[21]利用辅助变量去除绝对值符号，实现了目标函数的线性化，并且利用DG投切系数和拓扑结构构建了线性开关函数，从而实现了整个模型的线性化。这些线性化的故障区段定位方法虽然实现了较高的求解效率和数值稳定性，但是从根本上只对开关函数进行了简化，并利用代数“+”代替逻辑“或”来达到线性化的目的，因此只适用于单重故障。
综上所述，现有配电网故障区段定位难以适用于台风灾害下复杂多重故障的根本原因在于：①开关函数不能准确地反映复杂多重故障下故障电流方向的分布；②基于逻辑运算构建的开关函数及故障区段定位模型不能等价线性化。对此，本文提出一种面向台风灾害的配电网故障区段定位混合整数线性规划方法。首先，根据故障区段定位容错机理，分析多重故障下故障电流方向的形成逻辑，提出一种可完全准确地反映复杂多重故障下故障电流方向分布的逻辑开关函数，并构建基于多源信息的故障区段定位逻辑模型；同时，利用逻辑关系和代数关系的三个转换原则，将逻辑开关函数和故障区段定位模型等价线性化。本文所提配电网故障区段定位混合整数线性规划方法定位准确可靠、容错性好，且适用于复杂多重故障，可为台风灾害下配电网故障区段定位提供理论支撑。
故障区段定位容错原理为：通过开关函数计算节点期望状态，并根据FTU采集节点实际状态，利用最小集理论构建节点期望状态和节点实际状态之间的逼近模型，进而实现故障区段的容错定位[17]。根据故障区段定位容错原理，开关函数是根据区段状态和配电网拓扑结构计算配电网节点期望状态的逻辑函数，决定着故障区段定位模型的适用故障类型。
传统开关函数通常采用式（1）～式（3）进行表述。
（1）
（2）
（3）
式中，
、
分别为节点
的正向和反向节点期望状态；
为节点的期望状态；
和
分别为区段(i)和区段(l)的状态；
和
分别为节点j到其上游电源u和下游电源d的区段集合；
和
分别为节点j上游和下游总区段集合；
、
分别为电源u和电源d的接入情况，电源接入时，其值为1，否则为0；“
”表示逻辑“或”。
下面分三种情况对“开关函数”与“适用故障类型”之间的影响进行分析。
1）单重故障
当配电网发生单重故障时，如图1所示的区段(7)故障，变电站（Substation，Sub）作为主电源与DG一起分别向故障点提供故障电流，规定电流正方向为从主电源流向负荷或DG，因此，各节点故障电流方向分布如图1所示。
图1 区段(7)故障下电流方向分布
Fig.1 Current direction distribution under sections (7) faults
根据开关函数式（1）～式（3），计算所有节点的期望状态可得
（4）
对比图1和式（4）可以看出：该开关函数计算的节点期望状态与各节点故障电流方向分布一致，因此，该开关函数可以正确计算所有节点的期望状态。此时，对于共享支路上的节点7，主电源提供的故障电流和分布式电源提供的故障电流都从节点流向线路，两者同向且为正向故障电流。
2）简单多重故障
当配电网发生简单多重故障时，如图2中的区段(7)和(9)故障，各电源分别向故障点提供故障电流，参考规定的电流正方向，各节点故障电流方向分布如图2所示。根据开关函数式（1）～式（3），计算所有节点的期望状态可知
（5）
图2 区段(7)和(9)故障下电流方向分布
Fig.2 Current direction distribution under sections (7) and (9) faults
对比图2和式（5）可以看出：该开关函数计算的节点期望状态与各节点故障电流方向分布一致，因此，该开关函数可以正确计算所有节点的期望状态。此时，主电源提供的故障电流与DG提供的故障电流之间被故障点阻断，没有共享支路，两者之间互不影响。
3）复杂多重故障
当配电网发生复杂多重故障时，如图3中的区段(3)和(7)故障，各电源分别向故障点提供故障电流，参考规定的电流正方向，各节点故障电流方向分布如图3所示。根据开关函数式（1）～式（3），计算所有节点的期望状态可得
（6）
图3 区段(3)和(7)故障下电流方向分布
Fig.3 Current direction distribution under sections (3) and (7) faults
对比图3和式（6）可以看出：该开关函数计算的节点期望状态与各节点故障电流方向分布不一致，主要在于该开关函数无法正确计算节点5和6的期望状态。此时，对于共享支路上的节点3和7，主电源提供的故障电流和DG提供的故障电流都从节点流向线路，两者同向且为正向故障电流。对于共享支路上的节点5和6，主电源故障电流从节点流向线路，DG故障电流从线路流向节点，两者反向，故障电流方向无法确定。
综合以上三种情况，可以得出以下结论：当配电网发生复杂多重故障时，若主电源提供的故障电流和DG提供的故障电流在共享支路上反向，则传统开关函数无法正确计算该部分节点的期望状态。
在分析开关函数构建机理前需做出以下假设：以连接在节点j上的FTUj为分界点，将整个配电网划分成两个部分：包含变电站的部分为上游网络，不含变电站的部分为下游网络。同时规定电流正方向为从主电源流向负荷或DG。
假设配电网中的FTUj在故障时检测到正向故障电流，则该FTUj必须同时满足以下三个条件：①在FTUj的上游网络中至少有一个电源；②从FTUj到上游网络中每个电源的路径中，至少有一条路径保持通路；③在FTUj的下游网络中至少有一个区段故障。图4展示了FTUj流过正向电流的三个条件。
图4 FTU流过正向电流的条件
Fig.4 Conditions for FTU to flow through forward current
根据正向故障电流形成的三个条件，得出FTUj的正向节点期望状态构建机理为
（7）
式中，
为FTUj上游网络中的电源数量；
为FTUj到上游电源
的路径上的区段集合；
为FTUj下游网络中全部区段的集合；“
”表示逻辑“与”；“
”表示逻辑“非”。对比式（1）和式（7）可以发现，两者构建机理吻合。
假设配电网中的FTUj在故障时检测到反向故障电流，则该FTUj必须同时满足以下三个条件：①在FTUj的下游网络中至少有一个电源；②从FTUj到下游网络中每个电源的路径中，至少有一条路径保持通路；③在FTUj的上游网络中至少有一个区段故障。图5展示了FTUj流过反向电流的三个条件。
图5 FTU流过反向电流的条件
Fig.5 Conditions for FTU to flow through reverse current
根据反向故障电流形成的三个条件，得出FTUj的反向节点期望状态构建机理为
（8）
式中，
为FTUj下游网络中的电源数量；
为FTUj到下游电源
的路径上的区段集合；
为FTUj上游网络中全部区段的集合。对比式（2）和式（8）可以发现，两者构建机理吻合。
复杂多重故障下多源配电网故障电流分布示意图如图6所示。当发生如图6所示的复杂多重故障时，共享支路上节点会同时流过主电源故障电流和DG故障电流。若两者同向，节点期望状态为正向；若两者反向，节点期望状态取正向还是反向，取决
图6 复杂多重故障下多源配电网故障电流分布示意图
Fig.6 Diagram of fault current distribution in multi-source distribution network under complex multiple faults
于主电源故障电流和DG故障电流的大小。若主电源故障电流大，则节点期望状态为正向；若DG故障电流大，则节点期望状态为反向；若主电源和DG故障电流刚好相等，则节点期望状态为0。
传统开关函数中的式（3）直接利用正向期望状态叠加反向期望状态，难以正确计算主电源和DG提供的故障电流反向时的节点期望状态，导致现有故障区段定位模型难以适用于台风灾害下的复杂多重故障。
本文通过分析开关函数的构建机理，解决开关函数是否适用于复杂多重故障的关键是解决复杂多重故障下共享支路上主电源故障电流和DG故障电流的大小问题。下面对其进行具体分析：
本文所采用的DG是逆变型DG，逆变型DG一般通过逆变器接入电网，如图7所示。而逆变型DG提供的短路电流一般按1.5倍额定电流计算[24]，如果其输出电流过大，逆变器会启动限流措施，将电流控制在限定值范围内[25]，而主电源提供的短路电流较大。因此，本文假设主电源提供的故障电流通常大于DG提供的故障电流[22]。当主电源提供的故障电流和DG提供的故障电流反向时，共享支路上故障电流方向为正。FTU期望状态可能的组合见表1。
图7 分布式发电系统接入电网示意图
Fig.7 Schematic diagram of distributed generation system integration into the grid
表1 FTU期望状态可能的组合
Tab.1 Possible combinations of FTU expected states
IjuIjdIj说明 101FTU探测到正向故障电流 0-1-1FTU探测到反向故障电流 000FTU没有探测到故障电流 1-11FTU探测到正向故障电流
根据表1可知，开关函数式（3）可以改进为
（9）
将式（7）～式（9）整合在一起，得到适用于多重故障的配电网故障区段定位开关函数为
（10）
根据配电网故障区段定位原理，基于逻辑关系的配电网故障区段定位模型的目标函数可以表示为
（11）
式中，
为FTU期望状态和真实状态的接近程度；
为配电网运行中心收到的FTU期望状态；
为配电网运行中心收到的FTU实际状态；
为防止出现误判的权重系数，通常设置为0.5；
为区段(i)状态；
为配电网中接入FTU的节点集合；
为配电网中区段构成的集合。
1）μPMU支路约束
μPMU是一种高精度的电力系统监测设备，能够以极高的时间同步精度实时测量和记录电网的电气参数。因此，合理配置有限数量的μPMU，可以实现对网络状态的有效监测，并支持多重故障条件下的区段定位与恢复决策。
通过分析μPMU采集的故障数据，可以准确地识别故障所在支路，此时故障区段必然位于该支路上。这一方法为故障诊断提供了可靠的支持。
（12）
式中，
为由μPMU采集的故障信息确定的故障支路上的区段集合。
μPMU一般采用光纤通信实现高精度时间同步[26]，本文假设在台风灾害下，μPMU无漏报和误报。
2）停电区域约束
在配电网中，当保护装置动作导致断路器跳闸时[27]，可以判定故障区段一定位于该动作断路器下游，故障区段一定在动作保护设备的保护范围之内，于是停电区域的约束可以表示为
（13）
式中，
为保护设备
所设定保护范围内的区段构成的集合。
断路器动作状态在台风灾害下易发生漏报和误报，因此，参考文献[22]，结合SM的断电报告等多源数据，构建更可靠的断路器状态辨识方法。智能电表的断电报告可为断路器状态判断提供冗余依据。具体规则分为两种情况：
（1）断路器直接连接SM：若下游仅连接SM（无其他断路器），则任意一个SM的断电报告即可判定该断路器位于停电区域，并触发断电报告上传。
（2）断路器下游连接其他断路器：需至少两个下游断路器上报断电，才能判定该断路器位于停电区域。这一规则可避免单一断路器误报引发的级联误判，提高容错性。
以图8中的故障场景为例，说明该方法如何实现精准定位：在配电变压器T2上游、断路器Qm2下游设置故障f1，在断路器Qk和Ql上游设置故障f2。由断路器上传逻辑可知，图8中断路器Qm2、Qk1、Qk2、Qb在停电区域内并将断电报告上传。根据断路器上传逻辑，断路器Qb跳闸，由此可确定停电区域2。
图8 断电报告上传逻辑示意图
Fig.8 Power outage report upload logic diagram
3）故障重数约束
即使在台风灾害下，三重及以上故障出现的概率十分小，因此，一般限定台风灾害下的故障重数最大为3；同时，所有定位模型的变量都采用二进制0-1编码方式。其约束表示为
（14）
式中，
为最大故障重数。
4）FTU期望状态约束
（15）
5）FTU实际状态约束
（16）
综上所述，可得配电网故障区段定位模型为
（17）
为将式（11）中的目标函数线性化，首先要去掉等式右侧的绝对值符号。根据FTU期望状态和实际状态的定义规则，FTU实际状态与期望状态之间存在差异的情况有9种。对于每种情况，根据式（11）中目标函数计算每种情况的函数值，并给出中间变量
和
可能的所有组合，具体见表2。
表2 目标函数运算分析
Tab.2 Operational analysis of the objective function
案例IjIj*min|Ij-Ij*|(pj, qj)可能的组合min(pj+qj) 1110(0,0), (1,1), (2,2)0 2101(0,1), (1,2)1 31-12(0,2)2 4011(1,0), (2,0)1 5000(0,0), (1,1), (2,2)0 60-11(0,1), (1,2)1 7-112(2,0)2 8-101(1,0), (2,0)1 9-1-10(0,0), (1,1), (2,2)0
根据表2可以将逻辑关系目标函数转换为线性目标函数式（18）和约束条件式（19）。
（18）
（19）
将逻辑关系转换为代数关系的原则有三个，如式（20）～式（22）所示。根据这三个转换原则，可以将所有非线性逻辑关系约束条件转换为线性代数关系约束。
（20）
（21）
（22）
式中，
为逻辑代数转换过程中的辅助变量；
为第s个基本事件状态的0-1变量。
根据式（20）的线性转换原则可将非线性逻辑关系式（12）和式（13）转换为线性代数关系式，即
（23）
（24）
引入中间变量
、
、
、
、
和
，令
（25）
于是，FTU的期望状态式（9）可以转换为
（26）
FTU的正向期望状态式（7）可以转换为
（27）
FTU的反向期望状态式（8）可以转换为
（28）
综上所述，得到故障区段定位混合整数线性规划模型为
（29）
本文线性故障区段定位方法通过融合SM信息（断路器动作信息）、FTU故障电流方向及μPMU信息，构建非线性逻辑定位模型后转换为线性代数模型，最终在Matlab环境下利用GUROBI求解器求解得到故障区段，并同步得到FTU误报漏报情况。其核心流程可概括为：多源故障信息采集→逻辑模型构建→线性代数转换→模型求解与状态校验，具体求解框架如图9所示。
简单10节点双端供电网如图10所示，其具有10个带方向性的元件FTU，分别安装在每个节点上，3个断路器分别安装在节点1、2和6上，3个μPMU分别安装在节点4、8和10上，DG接在节点10处，两个相邻的FTU之间的线段为馈线区段。对该混合整数线性规划模型在Matlab R2021a环境下采用GUROBI 10.0.2求解器求解。
图9 求解框架
Fig.9 Solution framework
图10 10节点双端供电网
Fig.10 10-node double-ended power supply network
4.1.1 单重故障下的区段定位
当配电网发生单重故障时，如图11中区段(7)发生故障，设置FTU5、FTU8、FTU10发生漏报和误报，规定电流正方向为从主电源流向负荷或DG，因此，FTU期望状态和故障电流方向分布如图11所示。
图11 区段(7)故障时FTU期望状态和故障电流方向分布
Fig.11 Expected FTU states and fault current direction distribution diagrams under fault in section (7)
对于共享支路上的节点7，主电源和DG提供的故障电流都从节点流向线路，两者同向且为正向故障电流，因此，配电运行中心接收节点7处的FTU期望状态为1。
配电运行中心在定位过程中实际接收到的FTU期望状态数据见表3。表3中，“+”代表FTU期望状态为1，“-”代表FTU期望状态为-1，“0”表示FTU期望状态为0。
表3 运行中心接收到的FTU的期望状态
Tab.3 The expected state of the FTU received by the operation center
根据FTU实际状态的定位规则，配电运行中心接收到的FTU实际状态为
（30）
区段(7)有4个供电分支，其中供电分支l和k的内部结构如图12所示。供电分支k中有4个SM向上发送的断电报告，根据断路器的上传逻辑，断路器Qk和Ql被判定为在停电区域内并将断电报告上传。因此，由断路器的上传逻辑可知，图11中Q3被判定为在断电区域内。于是，Q3对所有断电报告负责，并判定为断开状态。同时根据图10所示拓扑结构可知，P2和Q3共同作用可以得到故障区域的线性代数约束为
图12 供电分支m, k, l的内部结构
Fig.12 Internal structure of power supply branches m, k, l
（31）
将FTU实际状态代入线性定位模型，并使用GUROBI求解，解出的结果为
（32）
从求解结果可以推断出区段(7)发生故障。结合SM的断电报告，区段(7)的故障位于供电干线上。根据定位结果，将FTU期望状态与运行中心收到的FTU真实状态进行比较，可以发现FTU5的状态从1漏报为0，FTU8的状态从0误报为-1，FTU10的状态从-1漏报为0，与设定的前提一致。
为验证本文所提方法在单重故障下的有效性，设置不同区段发生故障，考虑FTU信息漏报误报的情况进行仿真验证，仿真结果见表4。
表4 不同故障区段和畸变位置下的仿真结果
Tab.4 Simulation results under different fault sections and distortion positions
情况故障区段漏报位误报位定位结果 1(1)(1) 2(3)(2)(3) 3(5)(4)(5) 4(7)(1)(8)(7) 5(8)(2), (6)(3)(8) 6(9)(2)(4), (7)(9)
表4仿真结果表明，在单重故障场景下，本文所提的混合整数线性规划模型能够准确地识别故障区段。进一步测试表明，当FTU存在0～3位漏报或误报时，模型仍能保持准确的定位能力，未出现误判或漏判。这一结果验证了所提方法在单重故障下的强容错性，其容错能力可覆盖实际应用中常见的FTU通信异常情况。
4.1.2 双重故障下的区段定位
当配电网发生双重故障时，如图13中的区段(3)和(7)故障，设置FTU4、FTU5、FTU9发生漏报和误报。参考规定电流正方向，各节点FTU期望状态和故障电流方向分布如图13所示。
根据FTU实际状态的定位规则，配电运行中心接收到的FTU实际状态为
图13 区段(3)和(7)故障时FTU期望状态和故障电流方向分布
Fig.13 Expected FTU states and fault current direction distribution diagrams under faults in sections (3) and (7)
（33）
区段(3)有三个供电分支，其中供电分支m的结构如图12所示。5台智能电表SM1～SM5将断电报告上传到运营中心。根据断路器的断电报告，F1和F2被判定为在停电区域内并将断电报告上传，Qm被判定为在停电区域内并将断电报告上传。根据SM的断电报告和上传逻辑，区段(3)上的其他分支都没有向上发生断电报告，又根据断路器的上传逻辑，Qm上游的Q2被判定为没有在断电区域内。于是，Qm对所有断电报告负责，并判定为断开状态。
区段(7)故障部分中，断路器动作信息则与4.1.1节中一样，断路器Q3对所有断电报告负责，并判定为断开状态。于是根据图13拓扑结构可知，故障区域的线性代数约束为
（34）
将FTU实际状态代入线性定位模型，使用GUROBI求解，解出的结果为
（35）
从结果可以推断出区段(3)和(7)故障。根据定位结果，将FTU期望状态与运行中心接收到的FTU实际状态进行比较，可以发现FTU4的状态从0误报为-1，FTU5的状态为从1误报为-1，FTU9的状态从-1漏报为0。
将本文所建故障区段定位混合整数线性规划模型在不同双重故障、漏报和误报位置下进行仿真，以进一步验证本文所提方法的容错性能。仿真结果见表5。
表5 不同故障类型和畸变位置下的仿真结果
Tab.5 Simulation results under different fault types and distortion positions
故障类型故障区段漏报位误报位定位结果 简单多重故障(1), (5)(1), (5) (1), (7)(4)(1), (7) (3), (5)(10)(3), (5) (5), (7)(9)(3), (8)(5), (7) (1), (3)(6), (10)(4)(1), (3) 复杂多重故障(4), (8)(4), (8) (4), (8)(2)(7)(1), (9) (4), (7)(1)(4), (7) (4), (7)(3)(8)(4), (7) (3), (8)(10)(1), (7)(3), (8)
从表5的仿真数据可以看出，本文所提方法在双重故障场景下仍能保持较高的定位准确性。针对不同类型双重故障（包括简单双重故障和复杂双重故障）的测试结果表明，在混合整数线性规划模型中结合μPMU信息与SM信息，可有效地约束故障搜索范围，从而准确识别故障区段，即使FTU存在漏报或误报（≤3位），模型仍能维持较高的准确率，验证了其在信息畸变条件下的强容错能力。
4.1.3 与传统开关函数对比
为进一步验证本文所提方法的优势，以图10所示简单10节点双端供电网模型为例进行仿真。主电源和DG提供的故障电流只有在共享支路（支路(5)和(6)）上才可能反向，因此，分析不同故障类型及畸变位置下，本文与传统开关函数在节点5和6处FTU的期望状态及定位结果。
无信息畸变时开关函数和定位结果对比见表6。表6表明，本文改进的开关函数在故障区段定位性能上显著优于传统方法。在无信息畸变情况下，虽然两种方法对单重故障和简单多重故障都能准确定位，但在复杂多重故障时，传统方法会错误计算节点5和6处FTU期望状态均为0，而本文方法能够准确描述电流方向特征，计算出节点5和6处FTU期望状态均为1，从而实现了准确定位。
进一步得到有信息畸变时开关函数和定位结果对比见表7。可见在FTU信息发生畸变时，传统方法即使能准确地计算FTU期望状态，但仍会出现定位错误。相比之下，本文方法通过融合SM信息和μPMU信息确定的故障区域，不仅能准确地计算FTU状态，还能保证故障区段的精确定位。这一对比充分证明了本文所提方法在复杂故障场景和信息畸变条件下的优越性。
表6 无信息畸变时开关函数和定位结果对比
Tab.6 Comparison of switching functions and location results without information distortion
故障类型故障区段节点5和6处FTU期望状态定位结果 本文传统本文传统 单重故障(1)-1, -1-1, -1√√ (4)-1, -1-1, -1√√ (7)1, 11, 1√√ (8)1, 11, 1√√ 简单双重故障(1), (7)0, 00, 0√√ (5), (7)1, -11, -1√√ (1), (3)-1, -1-1, -1√√ 复杂双重故障(3), (7)1, 10, 0√× (3), (8)1, 10, 0√× (4), (7)1, 10, 0√×
表7 有信息畸变时开关函数和定位结果对比
Tab.7 Comparison of switching functions and location results with information distortion
故障类型故障区段漏报位误报位节点5和6处FTU期望状态定位结果 本文传统本文传统 单重故障(1)(3)-1, -1-1, -1√× (4)(10)(7)-1, -1-1, -1√√ (7)(1)(8)1, 11, 1√√ (8)(2), (6)(3)1, 11, 1√√ 简单双重故障(1), (7)(4)0, 00, 0√√ (5), (7)(9)(3), (8)1, -11, -1√√ (1), (3)(6), (9)(7)-1, -1-1, -1√× 复杂双重故障(3), (7)(8)1, 10, 0√× (4), (7)(3)(8)1, 10, 0√× (3), (8)(10)(1), (7)1, 1, 0, 0√×
为进一步验证本文所提故障区段定位混合整数线性规划方法的有效性，对具有多个DG的复杂配电网进行仿真，系统仿真示意图如图14所示。该系统中，33个FTU分别安装在每个节点上，3个断路器分别安装在节点1、8、28，7个μPMU分别安装在节点2、3、6、18、22、25和33，同时在节点18和33处各接入一个DG，以此为例验证不同故障类型和畸变位置下本文所提方法的有效性和容错性，并与卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）故障定位模型进行对比，仿真结果见表8和表9。
图14 33节点配电系统仿真示意图
Fig.14 33-node distribution system simulation diagram
表8 不同故障类型和畸变位置下仿真结果
Tab.8 Simulation results for different fault types and distortion positions
故障类型故障区段漏报位误报位定位结果 单重故障(2)√ (24)(15)(21)√ (30)(8), (13)(24), (27)√ 简单双重故障(1), (3)√ (4), (19)(13)(22)√ (5), (24)(15)(21), (22)√ 复杂双重故障(19), (24)√ (24), (29)(4)(21)√ (10), (25)(1), (8)(23)√ 简单三重故障(1), (4), (26)√ (2), (24), (28)(9), (13)(20)√ (8), (15), (27)(3)(13), (21)√ 复杂三重故障(10.16), (19)√ (17), (24), (29)(2)(25)√ (19), (24), (30)(1), (11)(21)√ 四重及以上复杂故障(3), (7), (19), (24)(12)(28)√ (10), (16), (20), (25), (30)(28), (33)(13)√ (5), (22), (23), (28), (32)(3)(13), (16)√
表9 模型性能对比分析
Tab.9 Comparative analysis of model performance
模型是否准确规模平均时间/s 训练测试 本文是33节点2.1 CNN故障定位模型否33节点30～400.03～0.09
表8仿真结果表明，本文方法展现出良好的适应性和容错性。针对不同故障类型和畸变位置的测试结果显示，即使在存在FTU信息漏报和误报的情况下，所提出的配电网故障区段定位混合整数线性规划模型仍能保持较高的定位准确性。该方法通过有效地整合μPMU信息与SM信息，克服了DG接入导致的潮流方向不确定性问题，不仅适用于常规单重故障场景，在台风灾害引发的复杂多重故障情况下也表现出可靠的故障区段定位能力，验证了其在配电网中的实用价值。更多的量化算例结果见附表1。
由表9对比结果可知，本文在33节点系统中的定位准确性和计算效率均优于CNN故障定位方法。CNN故障定位方法主要依赖大量样本学习，在FTU发生畸变时可能导致两种故障类型的FTU实际状态相同（如区段(10)故障时，节点19处FTU发生畸变，以及区段(10)和区段(19)同时发生故障），此时CNN故障定位方法失效。而本文所提故障区段定位方法融合多源信息、拓扑结构与节点状态，通过混合整数线性规划依然能够准确地定位故障区段。
为充分验证本文所建立混合整数线性规划模型及其求解算法的优越性，将其与文献[8, 17]中提出的模型进行对比分析。通过比较不同故障类型下的求解效果，评估本文方法在计算精度、求解效率及适用性等方面的优势。表10展示了不同故障类型和求解算法的性能对比。
表10 不同故障区段定位方法的性能对比
Tab.10 Performance comparison of different fault section location methods
模型规模模型类型求解算法是否准确平均时间/s 本文10节点线性GUROBI求解器是0.4 文献[8]10节点非线性遗传算法否0.9 文献[17]10节点非线性粒子群算法否0.8 本文33节点线性GUROBI求解器是2.1 文献[8]33节点非线性遗传算法否3.7 文献[17]33节点非线性粒子群算法否4.2
测试结果表明，本文提出的混合整数线性规划模型在求解效率和定位准确性方面均显著优于传统非线性方法。相较于依赖智能优化算法的非线性模型容易陷入局部最优而导致定位不准，本文方法通过GUROBI求解器实现了稳定高效的求解，在各类测试场景下均能获得准确的故障区段定位结果，展现了更好的工程适用性。
现有面向常规故障的配电网故障区段定位方法难以有效地应对台风灾害下的复杂多重故障，为此，本文提出一种适用于复杂多重故障的配电网故障区段定位混合整数线性规划方法。经过算例验证，得出以下结论：
1）当配电网发生复杂多重故障时，主电源和DG提供的故障电流在共享支路上存在反向的现象，传统开关函数无法正确计算该部分节点的期望状态，导致其难以适用于台风灾害下的复杂多重故障。
2）本文改进的开关函数能真实描述复杂多重故障下故障电流方向分布特征，保证了复杂多重故障下配电网故障区段定位的准确性。
3）逻辑关系和代数关系的三个转换原则能够将包括开关函数在内的配电网故障区段定位逻辑模型等价线性化，这不仅保证了求解速度，还保留了模型对复杂多重故障的适应性。
本文未考虑DG提供的故障电流大于主电源提供的故障电流的极端情况，因此，研究考虑动态开关函数的配电网故障区段定位方法是下阶段需要开展的工作。
附 录
附表1 不同故障区段和畸变位置下的仿真结果
App.Tab.1 Simulation results across varying fault sections and distortion positions
故障区段畸变位置定位结果故障区段畸变位置定位结果 (1)√(1),(10),(27)√ (3)√(1),(10),(16)√ (4)1,8√(1),(5),(16)√ (5)9,31√(10),(16),(19)21,24,25√ (6)2,10,32√(14),(19),(28)1,6,17√ (7)3,28,22√(17),(24),(29)4,10,21√ (8)3,18,23√(19),(24),(30)3,7,18√ (1),(2)14√(3),(7),(20)10,15,25√ (1),(10)18√(4),(13),(33)1,17,31√ (1),(30)5,26,31√(1),(3),(10),(12)√ (1),(20)4,12,24√(5),(11),(22),(25)√ (1),(25)8,13,20√(9),(13),(26),(29)33√ (4),(20)5,9,25√(1),(5),(28),(32)10,17√ (10),(20)4,7,23√(4),(8),(11),(21)1,18√ (19),(23)10,20,32√(1),(22),(28),(31)8,9,13√ (22),(25)2,18,33√(12),(15),(20),(23)8,18,25√
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Abstract Typhoon disasters often cause complex multiple faults in distribution networks, including simultaneous faults across multiple lines or regions. These situations pose significant challenges to power supply reliability and fault diagnosis. Most fault section location methods are developed under the assumptions of a single power source and a single fault, typically relying on fixed fault current direction. However, with the integration of distributed generation (DG), fault currents under multi-source conditions may flow in various or even opposite directions along shared branches. Existing models fail to accurately capture this behavior, leading to location errors and reduced effectiveness in disaster response and post-disaster restoration. To address this problem, a fault section location method was proposed, incorporating multi-source information and formulated as a mixed-integer linear programming problem.
The method began with an analysis of the limitations of traditional switching functions. These functions assume a fixed current flow from the main source and cannot accurately represent node states on shared branches with multiple interacting sources. An improved switching function was constructed to address this issue. It redefined current direction by comparing the fault current contributions from the main source and DG, enabling a more realistic representation of current flow under multi-source fault conditions. To further improve location performance, the model integrated data from smart meters (SMs) and micro-phasor measurement units (μPMUs). These sources help reduce the fault search space and suppress interference caused by false or missed alarms from feeder terminal units (FTUs). A logic-based section location model was developed based on the improved switching function, SM and μPMU constraints, and additional system constraints. Using three transformation principles between logical and algebraic relations, the model was linearized and transformed into a mixed-integer linear programming problem solvable in Matlab with the GUROBI optimizer.
Simulation tests were conducted on a 10-node system and an IEEE 33-node distribution network with dual power sources. Test scenarios included single faults, simple double faults, and complex multiple faults. FTU false and missed alarms were introduced to simulate real-world measurement disturbances. The proposed method successfully identified fault sections under all test conditions. In a typical case where the main source and DG generated opposing fault currents on a shared line, traditional switching functions incorrectly computed the expected FTU state as zero, resulting in location failure. The improved function correctly calculated the expected state. With SM and μPMU data incorporated, the model maintained accurate fault localization even under distorted FTU measurements. For the 10-node and 33-node systems, the average solution times were 0.4 and 2.1 seconds, respectively. These were much faster than those of convolutional neural networks (CNNs) or intelligent optimization algorithms. The latter were more sensitive to false or missed alarms from FTUs.
The simulation results lead to the following conclusions: (1) Traditional switching functions cannot accurately compute the expected FTU state on shared branches with multiple sources. (2) The improved switching function reflects the directional distribution of fault current under complex multiple faults. It ensures accurate fault section location in distribution networks with complex multiple faults. (3) The three transformation principles enable equivalent linearization of the logic-based section location model, ensuring efficient computation while maintaining adaptability to complex multiple fault scenarios.
Keywords：Typhoon disasters, resilient distribution network, section location, complex multiple faults, improve switch function
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.250535
中图分类号：TM73
国家自然科学基金资助项目（52307109）。
收稿日期 2025-04-04
改稿日期 2025-06-05
王秋杰 男，1988年生，博士，硕士生导师，研究方向为综合能源系统优化调度、弹性配电网等。E-mail：wangqiujie@ctgu.edu.cn
谭 洪 男，1991年生，博士，硕士生导师，研究方向为综合能源系统优化运行与规划。E-mail：tanhong@ctgu.edu.cn（通信作者）
（编辑 李 冰）