（
为目标频率间隔），低噪条件下，频率分辨率为及频率分辨率为
的高分辨率场景下，均能实现高精度参数提取，相对方均根误差小于4%。对于多密频闪变信号，能够检测多频调幅波波动参数，短时闪变值误差小于5%，满足闪变检测标准要求。在频谱主瓣干扰不明显时（频谱分辨率为
），AMD与加窗插值FFT算法效果相当。在检测密频信号时，相同条件与其他算法对比，该算法所需的预测点数更少，可以减小AR长时间预测导致的误差。摘要 针对多频闪变信号在分辨率不足或快速傅里叶变换（FFT）出现频谱主瓣干扰的情况，提出一种基于自回归-线性调频Z变换-解析模态分解（AR-CZT-AMD）的算法。该算法可有效提升数据点不足（更短的时间内）或需超分辨率检测场景下的信号分析性能。首先，通过实验验证自回归（AR）模型对数据预测的有效性。该模型能够基于已知数据预测未知数据点，其预测后处理效果优于未采用数据预测的加窗插值FFT（WFFT）及线性调频Z变换（CZT）等方法。其次，利用CZT算法细化感兴趣频段，并选择相邻信号频率的二分点作为细化中心频率，以缓解平均频率引入的误差，且无需预知待分解信号的具体频率值。最后，应用解析模态分解（AMD）进行信号分解，该步骤要求信号时长至少为目标频率间隔时间的两倍。通过五组实验进行测试，该算法在无噪条件下，频率分辨率为（为目标频率间隔），低噪条件下，频率分辨率为及频率分辨率为的高分辨率场景下，均能实现高精度参数提取，相对方均根误差小于4%。对于多密频闪变信号，能够检测多频调幅波波动参数，短时闪变值误差小于5%，满足闪变检测标准要求。在频谱主瓣干扰不明显时（频谱分辨率为），AMD与加窗插值FFT算法效果相当。在检测密频信号时，相同条件与其他算法对比，该算法所需的预测点数更少，可以减小AR长时间预测导致的误差。
关键词：自回归（AR）模型预测 线性调频Z变换（CZT） 解析模态分解（AMD） 密频参数检测 加窗插值快速傅里叶变换（WFFT）
新型电力系统中高比例新能源接入导致冲击性负荷增加[1]，引发电网电压波动与闪变等电能质量问题，除了影响其他用电设备的正常运行，还可能引起照明灯光的闪烁，严重影响工业生产和居民用电体验[2-3]。因此，如何准确地检测和分析电压闪变问题对电网的安全稳定运行具有重要意义。
传统国际电工委员会（IEC）闪变检测推荐的平方检测法对于稳定的单一频率调幅波分析较为准确，而对于时变波动信号和多频闪变信号，可能会存在误差[4]，其短时闪变值无法反映调幅波的频率与幅值特性；同时，数字滤波器的设计需依赖固定采样频率计算，导致闪变仪采样频率受限[5]。IEC闪变仪对于谐波、间谐波闪变成分检测，不同灯具的指标选取，以及电网基频偏移具有高敏感性，这些问题对现有IEC闪变检测仪构成新的挑战[6]。因此，开发适用于新型电力系统的高精度电压闪变参数检测算法至关重要。
为准确求解闪变参数，现有研究主要分为两步：包络提取与包络频谱分析。包络提取常用方法包括平方检波法、希尔伯特变换（Hilbert Transform, HT）和Teager-Kaiser能量算子（Teager-Kaiser Energy Operator, TKEO）。其中，平方检波法为IEC推荐算法，但在低频闪变参数检测中适用性受限，难以有效滤除高频分量[7]；HT方法对噪声敏感且易出现端点效应[8]；TKEO同样对噪声敏感，存在高频误差且高频信号辨识精度较低[9]。包络频谱分析常采用加窗插值快速傅里叶变换（Windowed interpolation Fast Fourier Transform, WFFT）方法，但其频谱分辨率有限，对密集频率分量产生主瓣干扰会产生较大误差，提高分辨率则需增加数据长度与计算量[10]。为克服上述局限，研究人员引入了更多先进的时频分析与信号处理技术，准确提取闪变包络及识别其参数。文献[11]提出短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）方法，虽不受高频分量的影响，但其性能比较依赖窗口函数的选取。文献[12-13]提出小波变换（Wavelet Transform, WT）及小波包分析方法，虽具有多分辨率优势，但小波基函数的选择不唯一，对于密集频率信号需要更多的分解层数。文献[14]提出盲信号分离（Second-Order Blind Identification, SOBI）算法，具有较好的多频分解性能，但频率成分过多会导致嵌入矩阵维度剧增，算法复杂度和计算稳定性面临挑战。文献[15]提出HT方法，能够分解非线性和非平稳信号，但是在分解时容易出现模态混叠和端点效应。文献[16]提出了S变换，结合了短时傅里叶变换与小波变换的特点，但计算量较大，运算时间长。大多数方法对算法对于关键参数的选取等要求敏感，往往需要较多的数据点与较大的计算开销，且以分析单频闪变和频率间隔较大的多频信号为主。
针对多频密集信号，当前密集频谱分析方法主要包括以下两种。
1）经典谱分析方法，如选带傅里叶变换（ZoomFFT）和线性调频Z变换（Chirp Z-Transform, CZT）细化算法。二者本质均为FFT改进算法：ZoomFFT虽降低了计算量，但仍需增加采样点数，并且通带两侧的频率成分测量结果会受到影响[17]；CZT可在选定频段内细化分析，但仍受限于频谱分辨率影响，在非同步采样时仍然存在频谱泄漏和栅栏效应问题[18]。
2）现代谱分析方法，如Prony和旋转不变子空间算法（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT），可实现超分辨率测量。但Prony算法抗噪能力弱[19]；ESPRIT易受噪声及模型阶数选择影响，导致误差增大并易产生虚假频率分量[20]。此外，多间谐波频谱分离与测量（Multi-interharmonic Spectrum Separation and Measurement, MSSM）法[21]亦被提出，但其分析区域有限，且模型阶数依赖经验设定，可能导致区域外频率成分被忽略。解析模态分解（Analytical Mode Decomposition, AMD）也可用于密频信号的分解和参数提取，但受限于数据点数和先验频率[22]。
因此，为实现新型电力系统下电压闪变参数的准确估计与分析，提升检测精度，本文提出一种改进AMD算法：首先，基于HT方法精确提取低噪及无噪条件下的电压闪变包络；其次，利用自回归（Auto Regressive, AR）模型进行数据外推，通过已知数据预测未知数据以增强频谱分辨信息；然后，采用CZT算法确定多个密集频率的二分频率点；最后，应用AMD算法[22]计算密集闪变信号的幅值与频率信息。据此，建立基于AR-CZT-AMD算法的闪变参数检测方法。通过搭建Matlab仿真实验平台，结合仿真与实测数据对所提方法进行验证。
当信号
中含
个单频信号分量时，每个信号对应的频率为
、相位为θi，则个单频信号的组合可以用
（
）表示，密集频谱信号的数学表达式为
（1）
当频率相近的信号、
出现主瓣干扰的情况时，称信号属于密集谱分布[23]。
主瓣干扰现象如图1所示。以合成信号为例，设目标信号频率间隔为
。当频率间隔
小于2倍频谱分辨率时，相邻信号主瓣将发生重叠干扰。换言之，需满足
大于k倍频谱分辨率（
）方能有效地减少相近频率间的频谱干扰。
图1 主瓣干扰示意图
Fig.1 Diagram of main lobe interference
在常见的窗函数中，矩形窗的主瓣宽度最窄，具有最高的理论频率分辨率，故其临界间隔要求（
）最小；而其他窗函数（如汉宁窗、海明窗等）因主瓣展宽，所需的临界间隔倍数
。因此，当应用加窗插值FFT以抑制频谱泄漏和非同步采样误差时，若信号中存在频率间隔小于所选窗函数临界值（k倍频分辨率）的分量，主瓣干扰问题仍易出现。
闪变是指人眼对特定频率电压波动引起照明异常所产生的主观视觉感知。依据扰动原因，闪变可分为周期性闪变与非周期性闪变，其中周期性电压闪变对生产生活的影响更为显著。周期性电压闪变可视为工频正弦电压受低频调制波调制的信号，其数学模型如式（2）所示[24]。多密集频率闪变信号（简称多密频闪变）即指调制波为密集频谱信号的闪变模型。
（2）
式中，
、
分别为工频载波电压幅值及对应频率；
为调幅波电压的幅值；的取值为人对电压波动的觉察范围，一般取0.05～25 Hz。
根据闪变信号调制波的幅值与频率范围特征，其本质是典型的低频调幅窄带信号，满足应用HT的理论前提[24]。
窄带信号
的HT[25]为
或
（3）
式中，
为Hilbert变换；“*”代表卷积运算；
为
信号的共轭；
为时间；
为积分变量。
HT不仅能有效提取信号的包络曲线，还可同时求解瞬时幅值A(t)、瞬时相位j (t)和瞬时频率f。
（4）
（5）
（6）
该方法不仅适用于平稳信号，亦能有效分析非平稳信号[26-27]及时变信号的相关参数。
信号的傅里叶变换处理，可以理解为Z变换在单位圆上进行等间隔采样。但是在很多场合中，并非整个单位圆上的频谱都有意义。对于窄带信号，往往只需要对信号所在的一段频域范围进行分析，在这种情况下，希望采样能够在这一频带内集中进行，不用处理频带以外的部分。此时，就可以使用CZT方法进行频谱分析。CZT方法可以选择特定感兴趣的频段进行细化处理[28]。
设
是有限长序列，
，其Z变换为
（7）
沿Z平面上的一段弧线进行M点抽样，得到以下抽样点
（8）
式中，C和W为复数，极坐标形式分别为
（9）
则
（10）
（11）
（12）
式中，
、
为起始点
的所处单位圆上的极坐标位置；
的值决定采样点的路径；
为相邻两个采样点之间的角度。当
，
时，
的采样点位于半径为r的单位圆上，当
时，CZT就相当于DFT变换。
将代入
得到
（13）
令
（14）
则
（15）
CZT变换原理如图2所示。
图2 CZT变换原理
Fig.2 Schematic diagram of CZT transformation
CZT与ZFFT的本质差异在于处理频率干涉的能力：ZFFT通过增大细化倍数、滤波和重抽样，将发生干涉的频率成分在细化前“拉开”，再进行局部频谱分析，从而具备分离重叠频率分量的潜力；而CZT仅是对选定分析频带进行局部频谱放大，当谱峰严重重叠时无法实现频率分离[29]。
此外，两者处理所需的原始数据长度不同。为确保采样点数恒定，本文选用CZT方法。
AR模型通过线性关系描述时间序列当前值与其历史值之间的依赖关系，其数学定义为
（16）
式中，
为常数项；
为平均值为0、标准差为
的随机误差值；
为每一项的自回归系数；p为模型阶数。
AR模型要求序列平稳；非平稳序列可通过差分转换为平稳序列后建模[30]。模型阶数
可借助自相关函数（Auto Correlation Function, ACF）和偏自相关函数（Partial Auto Correlation Function, PACF）确定。值得注意的是，平稳可逆的ARMA模型可等价表示为无穷阶AR或移动平均（Moring Aerage, MA）模型，故常用高阶AR/MA模型近似ARMA模型[31]。
选择频率分别为5 Hz/1(pu)、6 Hz/0.5(pu)的密频信号模型。利用AR模型进行前后预测，采样频率为200 Hz，采样点数为200，前后各预测300个点，频谱分辨率
，仿真实验结果如附图1所示。在无噪声的情况下，整体的方均根误差（Root Mean Square Error, RMSE）较低，可以有效地增加信号有效信息；但在有噪声和数据点数增加的情况下，RMSE显著增加。选择频率分别为5 Hz/1(pu)、5.8 Hz/0.5(pu)，在相同条件下进行仿真实验，频谱分辨率
，结果如附图2所示，RMSE数量级增长，虽然在有噪声的情况下RMSE增长较小，但在较近时间段预测效果不佳。
AMD作为一种新型信号分解方法，不仅能有效分解频率相近的平稳信号，对时变信号与非平稳信号亦具有优异的分解能力[22]。鉴于电力谐波信号中可能存在密集频率成分，本文将AMD应用于多密集频率信号及多密集频率闪变信号的分解与参数提取。
具体信号数学模型见式（1）和式（2），每两个单频分量信号之间的二分频率如图3所示。
图3 AMD二分频率示意图
Fig.3 AMD dual-frequency diagram
若一个时间序列
能被二分频率
分成两个信号和，则
（17）
（18）
、
、
的傅里叶变换分别为
、
、
，假设信号的二分频率为
，根据Parseval定理有
（19）
（20）
因此，
,
都是勒贝格空间
的实函数，对
进行HT，得到
（21）
根据HT中Bedrosian定理，可以将式（21）写为
（22）
令
分别为
和
，
，
求得
（23）
（24）
根据
（25）
（26）
（27）
将
、
代入式（23）、式（24）得
（28）
（29）
可得
（30）
（31）
通过式（30）、式（31）可以得出
经AMD后的s1(t)、
两个分量。
对于含多个频率信号叠加的谐波信号，只要知道信号中的频率成分，并找到分解的二分频率，就能将多频信号分解成多个单一信号。
对于多频组成的时间序列x(t)=x1(t)+x2(t)+…+ xn(t)，其频率分别为f1, f2,…, fn且f1＜f2＜…＜fn。如果提取
频率成分的信号，只需取和
之间的值作为二分频率分解即可；如果提取频率成分的信号，只需将信号分解成
和
，然后将第一部分减去之前提取到的频率部分，后面依此类推；如果提取
频率成分的信号，只需取和
之间的值作为二分频率分解即可。多频AMD信号分解示意图如图4所示[32]。
图4 多频AMD信号分解示意图
Fig.4 Schematic diagram of multi-frequency AMD signal decomposition
基于AR-CZT-AMD检测密集频谱流程如图5所示。
图5 基于AR-CZT-AMD检测密集频谱流程
Fig.5 Improved AR-CZT-AMD detection of dense spectrum schematic diagram
具体流程步骤如下。
1）数据采集与初步频谱估计。通过硬件装置采集闪变源或谐波信号数据，对于闪变源数据先通过HT提取包络，并利用FFT或CZT算法进行初步频谱分析判断是否为多密频闪变信号。
2）AMD条件判断。判断采集数据点数是否满足AMD条件：采样时长
需大于密集频率最小间隔
时间的两倍（即
）。例如，若最小频率间隔=0.5 Hz，则需频谱分辨率小于或等于0.25 Hz，对应采样时长≥4 s，方能有效分离相邻频率分量。
3）数据不足时的AR外推处理。若数据点数不足或存在丢失的情况，则应用AR模型进行数据前后向预测以扩展数据序列。但需注意AR预测能力有限，且容易受到噪声影响，过度外推会导致结果漂移；模型阶数p需合理选择，经验表明
（N为原始采样点数）较合适，阶数过高亦会引入误差。
4）CZT细化与频率定位。若采样时长满足步骤2）条件，则应用CZT算法对目标频段进行高分辨率细化分析，精确识别并定位发生主瓣干扰的相邻频率之间的二分频率点。
5）HT分解与参数后处理。应用HT解算各分量的瞬时频率与幅值。对于理想无噪平稳信号，可选用瞬时参数中位数作为最终估计值；针对实际电网噪声环境，采用滑动窗口滤波对瞬时参数进行平滑处理。此过程虽会引入一定误差，但相比于仅使用中位数能显著提升结果的稳定性。
6）参数输出。输出经分解得到的各信号分量的频率与幅值参数。
二分频率的定位过程如图6所示。AMD相较于FFT的一个局限性在于：需预先获知信号频率成分及其相邻频率间的二分频率，方能实现密集相邻信号的有效分解。文献[22]采用各频率平均值作为二分频率（后文简称mean方法）。然而，当频率未知时，二分频率的确定成为关键问题。此时，可先利用CZT的频谱细化能力对目标频段进行分析，准确识别二分频率，再将其输入AMD以求解参数。
图6 CZT细化频率示意图
Fig.6 Schematic diagram of CZT frequency refinement
图6分析表明：在无主瓣干扰情况下，使用FFT查找二分频率具有较高精度；当存在主瓣干扰时，采用CZT变换定位二分频率则更为准确。
仿真信号如式（1）所示，具体参数见附表1。实验分为三组（Part1、Part2、Part3）：首先分析由随机频率分量构成的二频及三频信号（Part1 &Part2）；其次考察等间隔频率信号（Part3）。实验综合考虑噪声水平（信噪比为20～50 dB）及数据点数量（对应频率分辨率为
、
、
、
的情况）。
误差计算公式使用相对方均根误差
进行计算和结果评估。
（32）
式中，
为理论设定值；
为算法测量值。本文频率和幅值参数均作为测量指标进行RMSE计算，所以需要采用相对方均根误差。
当频率分辨率为
时，采样率为200 Hz，采样点数为800点，此分辨率下（对应实际充分数据）主瓣干扰已不显著。在此条件下，本文算法与WFFT、CZT效果相近。Part3（三频随机频率信号）的分解结果示例见表1、图7、图8，因其分解效果与现有方法相当，后文不再展开实验分析。
本文后续实验将聚焦分析存在主瓣干扰及数据点数不足（即、、）的情况。需注意，所有对比方法（WFFT、CZT）均基于AR模型数据预测后进行参数提取。
表1 
条件下不同方法提取到的参数对比
Tab.1 Comparison of parameters extracted by different methods under 
conditions
实验方法频率成分测量频率/Hz测量幅值(pu)εr(%) AMDf13.828 40.023 30.195 6 f24.945 80.010 7 f36.020 70.014 3 WFFTf13.829 50.023 40.265 6 f24.946 90.010 7 f36.001 40.014 2 CZTf13.826 90.023 22.764 1 f24.940.011 4 f36.0280.014 2
注：表1、表3、表4使用相对方均根误差εr，对比多个频率和波动值的相对误差。
表示在数据点足够的情况下各种方法的对比（未使用AR进行预测）。
图7 AMD信号分解示意图
Fig.7 AMD signal decomposition diagram
图8 AMD信号分解瞬时参数示意图
Fig.8 Schematic diagram of instantaneous parameters of AMD signal decomposition
图7a、图7b、图7c分别代表分解后三组频率（f1、f2、f3）信号与实际真实信号的对比。图8a、图8b分别代表通过分解的三组信号经过HT求解的瞬时频率和瞬时幅值，其中瞬时频率和瞬时幅值2代表未分解成单一信号的复合信号。
图7中信号两端因HT端点效应存在小幅波动。虽可通过镜像延拓改善端点效应，但文献[22]指出其对分解精度提升有限且可能引入累积误差。由图8可以看出，瞬时频率与幅值在信号中段趋于稳定（接近理论值）。对于闪变等平稳信号，本文选用瞬时参数的中位数作为测量估计值（后文简称median）。
对于第一组实验（Part1），两组随机频率信号，频率间隔约等于1 Hz，采样频率fs=200 Hz。
1）A条件：采样点数为100，AR预测点数300，理论频谱分辨率为2 Hz；B条件：采样点数为200，AR预测点数为200，理论频谱分辨率1 Hz；C条件：采样点数为400，不进行预测，理论频谱分辨率为0.5 Hz；D条件：采样点数400，AR预测点数为400，理论频谱分辨率为0.5 Hz。
2）添加20～50 dB噪声。
3）比较五种方法：mean（文献[22]方法）、median（本文方法，未加窗滤波）、本文方法（AR-CZT-AMD算法）、WFFT（Blackman-Harris窗，四谱线插值）和CZT。
4）重复步骤1）直至所有条件结束。
对于第二组实验（Part2），三组随机频率信号，频率间隔约等于1.1 Hz，采样频率为200 Hz，后续步骤同上。
对于第三组实验（Part3），三组等分信号，选择闪变信号频率，间隔为0.5 Hz，采样频率为100 Hz，后续步骤同上。
三个实验组、四种条件下不同噪声的五种方法误差对比如图9所示。所有实验结果如附图3～附图5所示。
1）噪声影响：所有方法在噪声环境下误差均增大，信噪比为20 dB时误差最显著。其中，WFFT与CZT 表现出较好的抗噪稳定性。本文算法在含噪条件下结果存在小幅波动（源于AR模型对含噪数据预测的敏感性），但总体精度优于WFFT和CZT。
2）本文方法：在
下，无噪声下能准确提取密集频率信号的幅值与频率参数，WFFT会出现漏检现象（漏检指代频谱在某一频率下未出现峰值）。在
下，能够在低噪情况下准确提取密频参数，WFFT能检测出信号参数但误差较大。
图9 所有实验条件下的误差对比
Fig.9 Error comparison charts under all experimental conditions
3）横向对比：数据点数增加，理论分辨率提高，主瓣干扰减弱，所有方法误差减小。AR预测有效性验证（C条件和D条件）：C条件（N=400，无预测）与D条件（N=400，AR预测400点）理论分辨率相同（0.5 Hz）。D条件所有方法的总体误差普遍低于C条件。特别地，C条件中WFFT因主瓣干扰导致参数提取偏差，而D条件无此现象。这充分证明AR数据预测的有效性。Part 1和Part 2的A、B条件结果也印证了AR预测在数据不足时的积极作用。
将本文方法与现有密频算法进行对比，对比结果见表2。由表2可知，本文方法及基于AR预测的WFFT和CZT方法均能较准确地提取信号参数。WFFT在此条件下表现更优的原因在于：AR预测显著增加了数据点数，有效地减弱了主瓣干扰，且原始仿真信号未添加噪声，但AR预测存在点数限制，点数过多，预测出现失真，而其他预测点数（＜1 920）会出现漏检现象，同时真实情况存在噪声干扰。对于本文方法，能够在较少预测点数的情况下得出信号频率和频率成分，进一步验证了AR数据预测的有效性。
表2 与其他文献提取到的参数对比
Tab.2 Comparison of the parameters extracted table from other papers （%）
方法相对误差（3 200/640） 1(pu)(A1)4(pu)(A2)2(pu)(A3)122 Hz (f1)128 Hz (f2)132 Hz (f3) MSSM[33]11.800 0 22.500 0 34.000 0 0.754 1 0.687 5 0.030 3 文献[33]12.800 0 0.750 0 1.500 0 0.114 8 0.031 3 0.015 2 本文方法0.510 0 0.632 5 1.185 0 0.019 5 0.008 4 0.015 8 AMD(nopre)27.9959.0017.330.203 60.173 90.413 1 WFFT0.240 0 0.072 5 0.025 0 0.007 1 0.019 5 0.084 0 WFFT（nopre）29.250.709 CZT9.360 0 2.389 5 2.800 0 0.251 6 0.007 8 0.075 8
注：表2使用相对误差，
代表不同频率，
代表不同幅值。（3 200/640）代表采样率3 200 Hz，理论采样点数640，剩下方法为选择利用AR预测1 920点数的结果，nopre代表未预测，空白代表未检测出参数。
仿真信号如式（2）所示，具体参数见附表1。实验分为两组（Part4、Part5）。
针对实验Part4，对闪变信号进行仿真测试，选择
、
和
三个频率的调幅波进行测试。鉴于电网噪声信号不超过40 dB[33]，大于40 dB噪声会显著增加HT包络提取误差。对比五种方法（mean、median、本文方法、WFFT、CZT），同时评估不进行AR预测的基准情况。采样率为250 Hz，采样点数为1 024，因为HT存在端点效应，故选择1 424个采样点，HT后将两端各舍去200点，结果见表3。
从表3可以看出，在不进行数据预测的情况下WFFT会出现信号漏检的情况；同时虽然CZT能够检测出信号频率，但误差较大。本文涉及的三种方法（Mean、Median、本文方法）均能在低噪声或者无噪声的仿真情况下准确检测出多密频闪变信号参数，相对方均根误差小于4%。
对比现有算法多频闪变检测算法结果（WT、SOBI、STFT、WFFT、AMD、CZT）和本文方法，采样率1 600 Hz，理论采样点数1 600，幅值和频率参数与文献[14]设定一致，误差对比结果见表4。本文方法能够较好地分离混叠的多频调幅波闪变信号。
表3 不同方法下多密频闪变信号仿真参数提取
Tab.3 Simulation parameter extraction for multi-density flashing variations signals under different methods
实验方法A1(pu)A2(pu)A3(pu)f1/Hzf2/Hzf3/Hzεr(%) Mean(inf)0.023 40.014 40.010 80.497 61.000 01.500 00.26 Mean(50 dB)0.023 60.013 60.010 90.499 80.999 01.513 22.16 Mean(nopre)0.023 40.014 50.010 80.496 31.000 91.497 70.57 Median(inf)0.023 40.014 40.010 80.498 71.000 71.500 00.21 Median(50 dB)0.023 50.013 60.010 90.499 60.998 71.513 32.10 Median(nopre)0.023 40.014 50.010 80.495 71.000 81.497 60.64 本文方法(inf)0.023 40.014 40.010 80.498 71.000 61.500 80.25 本文方法(50 dB)0.023 50.013 60.010 90.499 40.998 61.502 21.95 本文方法(nopre)0.023 40.014 50.010 80.495 51.000 71.497 70.65 WFFT(inf)0.023 40.014 00.010 40.500 40.984 41.481 31.90 WFFT(50 dB)0.023 60.013 90.010 30.500 10.982 41.480 42.40 WFFT(nopre)0.020 80.010 20.482 31.342 658.14 CZT(inf)0.023 00.014 10.010 60.501 50.996 61.491 71.31 CZT(50 dB)0.023 20.013 10.010 50.504 60.993 41.498 13.58 CZT(nopre)0.023 10.014 10.011 00.514 20.983 91.453 62.07
注：inf代表无噪，50 dB代表噪声强度为50 dB，nopre代表无噪条件下未进行AR数据预测的情况。
表4 与其他文献闪变信号提取到的参数对比
Tab.4 Comparison of the parameters extracted from flicker signals in other papers
实验方法A1(pu)A2(pu)A3(pu)f1/Hzf2/Hzf3/Hzεr(%) 0.10.0750.057.142 81016.667 FFT[14]0.097 9 0.071 1 0.044 5 7.000 1 10.000 0 17.000 0 5.173 2 8层WT[14]0.050 0 17.188 0 81.659 6 SOBI[14]0.100 3 0.074 4 0.050 3 7.174 9 10.063 0 16.842 0 0.682 5 STFT+WFFT0.091 1 0.060 7 0.039 9 7.073 2 9.751 7 16.666 5 11.957 6 WFFT0.100 2 0.075 6 0.049 9 7.145 7 10.016 0 16.666 0 0.360 9 CZT0.102 7 0.074 0 0.051 4 7.106 8 10.055 0 16.675 7 1.690 6 本文方法0.100 0 0.074 6 0.049 9 7.125 9 9.994 5 16.665 0 0.248 3
在实验Part5中，本文将同时考虑瞬时闪变值误差Perror和短时闪变值误差Pst-error进行分析。瞬时闪变值P可以通过闪变信号各频率电压波动值（测量值）除以对应频率下1个单位瞬时闪变波动值（参考文献[19]中各频率下单位瞬时闪变值对应的电压波动值所给出）的二次方和得到[9]。
（33）
式中，
为某频率下的波动值；
为瞬时闪变值为1时频率
对应的电压波动值d(%)；
为调幅波项数。
利用瞬时闪变值P，可得短时闪变值为
（34）
式中，
、
、
、
和
分别为在此时间段内瞬时闪变视感离散计算值超过0.1%、1%、3%、10%和50%统计量时的瞬时闪变值。由于是平稳闪变信号，考虑瞬时闪变值稳定不变。可以通过式（34）计算短时闪变值误差值。根据IEC《闪烁仪的功能和设计规范》中的误差要求，短时闪变值的测量范围为
，
为理论短时闪变值[34]。
实验通过实测信号对理论方法进行验证和测试，通过电能质量采集装置采集OMICRONPQ信号发生器产生的闪变测试信号。将信号导入Matlab，通过文中所提算法，先利用HT对信号提取包络；然后通过AR方法对包络进行预测，利用CZT查找二分频率；最后利用AMD对多频信号参数进行提取。因受设备限制，将多个同相位单频闪变信号直接叠加，合成多密频闪变信号。实测信号装置采样如图10所示。
图10 实测信号装置采样
Fig.10 Measured signal sampling diagram
少采样点条件下的仿真和实测实验结见表5、表6。
表5 少采样点条件下的实测数据实验
Tab.5 Experimental data under the condition of reduced sampling points
方法（200/200）A1(pu)A2(pu)f1/Hzf2/Hz(%) Mean0.023 3 0.010 5 0.505 4 1.516 3 1.60 3.165 61.60 Median0.023 3 0.010 6 0.504 6 1.516 1 1.18 2.261 11.14 本文方法0.023 1 0.010 6 0.498 6 1.509 8 1.18 3.108 51.57 WFFT0.022 2 0.507 0 70.76 54.996 732.92 CZT0.024 1 0.012 3 0.568 7 1.333 0 11.34 17.889 68.58 方法（200/50）A3(pu)A4(pu)A5(pu)f3/Hzf4/Hzf5/Hz(%) Mean0.002 3 0.006 8 0.010 3 8.737 4 19.902 9 25.565 9 3.64 7.635 53.95 Median0.002 3 0.006 7 0.010 7 8.661 7 20.146 9 25.320 2 3.96 6.100 43.09 本文方法0.002 3 0.006 8 0.010 4 8.752 5 19.901 0 25.279 1 3.51 7.125 43.628 5 WFFT0.002 2 0.011 7 8.723 6 23.407 9 58.22 32.161 017.63 CZT0.002 0 0.007 1 0.011 1 8.660 0 20.100 0 25.160 0 8.63 6.548 33.32
表6 少采样点条件下的仿真实验
Tab.6 Experimental data under the condition of reduced sampling points
方法（200/200）A1(pu)A2(pu)f1/Hzf2/Hz Mean0.023 1 0.011 1 0.491 0 1.490 9 1.729 1 1.369 2 0.682 3 Median0.023 5 0.010 9 0.507 1 1.507 9 0.912 9 1.358 5 0.676 9 本文方法0.023 5 0.010 8 0.507 2 1.509 4 0.813 8 0.428 3 0.213 9 WFFT0.023 5 0.525 3 70.756 2 49.593 2 29.002 2 CZT0.023 4 0.011 7 0.503 8 1.608 8 5.605 6 8.892 9 4.351 8 方法（200/50）A3(pu)A4(pu)A5(pu)f3/Hzf4/Hzf5/Hz Mean0.002 5 0.007 3 0.010 7 8.820 0 20.118 5 24.884 4 2.089 8 4.733 9 2.34 Median0.002 5 0.007 1 0.010 3 8.570 0 19.979 7 25.013 0 1.304 6 0.195 9 0.098 本文方法0.002 5 0.007 2 0.010 4 8.710 0 20.007 8 25.036 2 1.242 9 1.804 1 0.90 WFFT0.002 5 0.011 0 8.764 0 23.447 6 57.835 6 29.519 2 16.05 CZT0.002 4 0.007 3 0.010 7 8.360 0 20.060 0 24.920 0 3.272 7 2.305 4 1.14
注：（200/200）表示采样率为200 Hz，理论采样点数为200，预测点数为200。（200/50）表示采样率为200 Hz，理论采样点数为50，预测点数为50。对于闪变实验（表5、表6），实际采样点数均大于理论采样点数，用于减少HT产生的端点效应。
仿真和实测信号均采集五组信号，将0.5 Hz、1.5 Hz作为一组密频闪变信号，8.8、20、25 Hz作为另一组密频闪变信号，分为两组实验进行检测和分析，同时对比、Perror和Pst-error误差。对比表5、表6分析发现，仿真误差基本小于实测数据误差，可能是因为闪变实测信号装置中存在高频谐波噪声等干扰，HT包络提取出现误差，从而导致AR数据出现预测误差。结果显示本文方法能在数据点较少的情况下准确检测出密频闪变信号参数，瞬时闪变值误差基本小于5%，短时闪变值误差小于5% ，符合IEC标准要求。
针对密集频谱检测，传统方法存在明显局限性：
1）提升频谱分辨率需增加采样点数（如CZT、ZFFT），但计算量大且难以适应闪变信号的非稳态特性。
2）超分辨率算法（如MSSM、ESPRIT、Prony）虽能以少量数据获取高分辨率，却受模型参数敏感性与噪声抑制能力的制约。
本文提出融合AR预测、CZT细化与AMD的解决方案，在检测密频信号时，相同条件下与其他算法对比，本算法所需的预测点数更少，可以减小AR长时间预测导致的误差。AR模型有效扩展数据序列，优于未采用数据预测的WFFT等方法；CZT定位目标频段的二分频率，缓解主瓣干扰造成的二分频率查找问题；AMD实现密集频率信号的鲁棒分解。经五组实验验证（含20～50 dB噪声）：在数据稀缺及主瓣干扰场景下，参数提取相对方均根误差小于4%，对于多密频闪变信号，短时闪变值误差小于5%，满足IEC闪变检测标准；方法可推广至多密集频率谐波/闪变信号的参数辨识。
附 录
附图1 频谱分辨率不大于目标信号频率间隔时，AR预测示意图
App.Fig.1 Schematic diagram of AR prediction when the frequency resolution is not greater than the frequency spacing of the target signals
附图2 频谱分辨率大于目标信号频率间隔时，AR预测示意图
App.Fig.2 Schematic diagram of AR prediction when the frequency resolution is greater than the frequency spacing of the target signals
附图3 实验组1四种条件下四组噪声五种方法性能对比
App.Fig.3 Performance comparison of four groups of noise using five methods under four conditions in the experimental group 1
附图4 实验组2四种条件下四组噪声五种方法性能对比
App.Fig.4 Performance comparison of four groups of noise using five methods under four conditions in the experimental group 2
附图5 实验组3四种条件下四组噪声五种方法性能对比
App.Fig.5 Performance comparison of four groups of noise using five methods under four conditions in the experimental group 3
附表1 五组实验理论参数设定值
App.Tab.1 Set values for five groups of experimental theoretical parameters
实验组数信号成分设定频率/Hz设定幅值(pu) 二频随机频率信号（Part1）f1/A11.920.023 4 f2/A23.050.010 7 三频随机频率信号（Part2）f1/A13.830.023 4 f2/A24.950.010 7 f3/A36.020.014 3 三组等间隔信号（Part3）f1/A10.50.023 4 f2/A210.014 3 f3/A31.50.010 8
（续）
实验组数信号成分设定频率/Hz设定幅值(pu) 多密频闪变信号（Part4）f1/A10.50.023 4 f2/A210.014 3 f3/A31.50.010 8 实测/仿真信号（Part5）f1/A10.50.023 4 f2/A21.50.010 8 f3/A38.80.002 5 f4/A4200.007 0 f5/A5250.0104 2
注：Part1、Part2、Part3三组实验按照式（1）随机设定频率参数，幅值按照文献[19]进行设置；Part4、Part5两组实验按照式（2）设定幅值和频率参数，按照文献[19]进行设置。由于本文提出的是一种通用方法，其他频率均可适用。
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A Method for Extracting Multi-Density Frequency Flicker Signal Parameters Based on AR-CZT-AMD
Abstract Modern power systems face power quality issues such as voltage fluctuations and flicker due to high penetration of renewable energy. Conventional IEC flicker meters, which perform well for stable single‑frequency amplitude‑modulated waves, may introduce errors when analyzing time‑varying or multi‑component flicker signals and are constrained by fixed sampling rates. To overcome these drawbacks, this paper proposed an algorithm based on autoregressive–chirp Z‑transform–analytical mode decomposition (AR‑CZT‑AMD). The method enables accurate flicker parameter detection without being constrained by fixed sampling rates.
The procedure included five steps. First, data were acquired and a preliminary spectrum was estimated using FFT or CZT. Second, whether the data length met the AMD requirement was checked. Third, if data were insufficient, AR modeling was applied for forward and backward prediction to extend the sequence. Model order was carefully selected to avoid noise‑induced drift. Fourth, when data were sufficient, CZT refined the frequency band of interest. Bisection points between adjacent frequencies were used as refinement centers to avoid errors from averaging. This step did not require prior knowledge of exact frequencies. Finally, Hilbert transform resolved instantaneous parameters. Median values were used for ideal signals, while sliding‑window filtering was applied in noisy cases.
The algorithm was validated through simulations tests. Tests showed that at a resolution of 
conditions( representing dense frequency intervals), both WFFT and AMD perform similarly, while the proposed method maintains high accuracy. Under the three specified resolution scenarios—
, in noise-free conditions, in low-noise conditions, and 
for high-resolution requirements—the method consistently achieved high-precision parameter extraction. In all these cases, the relative root-mean-square error remained below 4%. Furthermore, simulations and practical measurements on multi-component dense flicker signals confirmed that the algorithm effectively detects parameters of multi-frequency amplitude-modulated waves. The short-term flicker error was less than 5%, meeting IEC standards.
The following conclusions are drawn: (1) The proposed algorithm requires fewer data points (in a shorter period of time) than other methods, reducing error accumulation from prolonged AR prediction. (2) AR‑based data extension outperforms non‑predictive approaches such as WFFT, AMD, and CZT. (3) CZT accurately locates bisection frequencies, avoiding mainlobe interference and enabling robust AMD decomposition. (4) The method is also applicable to multi‑component harmonic and flicker signal analysis.
keywords：Autoregressive (AR) model prediction,chirp Z-transform (CZT algorithm), analytical mode decomposition (AMD), frequency parameter detection, windowed interpolation fast Fourier transform (WFFT)
中图分类号：TM930.1
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.251510
国家自然科学基金资助项目（52077089）。
收稿日期2025-08-27
改稿日期 2025-12-25
徐奥傲 男，2001年生，硕士研究生，研究方向为电能质量扰动装置研究、深度学习在电能质量扰动缺陷识别与定位等。
E-mail：xaa@hust.edu.cn
李开成 男，1962年生，教授，博士生导师，研究方向为电磁测量及仪器、电能质量分析等。
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