摘要 多直驱风电场系统模型维度高、动态耦合复杂，其模型简化问题受到广泛关注。然而，多机聚合方法在风速不一致场景下易出现模态漂移与频率响应失配等问题。为此，该文基于平衡截断理论，提出一种能够涵盖聚合模型的多机系统简化方法，通过可控性与可观性Gramian的协同分析，实现对系统主要动态能量通道的有序截断。首先，在系统平衡点附近进行线性化，构建标准状态空间模型；其次，不依赖物理结构和人工分区，对全阶小信号模型进行平衡变换，使可控性与可观性在状态空间中实现统一分布；随后，依据Hankel奇异值对状态变量进行排序，自动识别输入输出通道中动态贡献显著的部分，避免因结构划分不当造成的信息损失；然后，通过截断冗余状态方式，构建一个动态特性高度接近原系统的降阶模型；最后，采用李群对称性分析，验证所提模型在对称条件下可退化为传统聚合模型。应用该方法，降阶效率达到57.14%。仿真结果表明，当参数一致时，该方法自然退化为传统的聚合模型；而参数不一致时，降阶模型性能显著优于聚合模型，展现出更强的鲁棒性。该方法为解决异风速场景下多直驱风电场系统模型简化问题提供了有效的新途径。
关键词：模型降阶 风力发电 动态系统 电力系统稳定性 状态空间方法
风力发电作为一种可再生、环境友好型的能源形式，已成为世界各国能源结构转型的重要方向[1-2]。随着风电并网技术的快速发展，多直驱风电场（Direct Drive Wind Farm, DDWF）系统已成为现代可再生能源系统中的重要组成部分。多直驱风电场系统动态行为复杂，模型的高阶性及高度非线性导致运算过程中容易出现“维数灾”问题[3-5]，阻碍了在线环境下对控制策略进行快速、有效的理论优化与数值计算[6-8]。模型简化技术是解决“维数灾”问题的有效方案，通过模型简化，可以提高计算效率[9-11]，为区域自动电力控制系统的设计与优化提供更为可行、高效的途径。
对于多机系统，现有的模型简化方法主要包括多机聚合[12-13]和模型降阶[14-15]两种方式。多机聚合通过将多个机组或发电机的动态模型加权平均后，组合成一个等效的动态系统。该方法将多个机组合并为单一的等效机组，适用于简单的稳态分析或对高阶模式不敏感的场景[16-17]。然而，聚合方法无法精确地描述频率响应、阻尼特性及次同步振荡（Subsynchronous Oscillation, SSO）等小扰动下的动态特性[18-19]。相比之下，多机降阶方法通过保留系统的主要动态特性降低系统复杂度，因此降阶方法能够有效地保留系统的精细动态特性，尤其在控制和稳定性分析中具有更高的精度。在多直驱风电场系统中，工程上需要简化模型能够保留SSO模式和重要的动态特性以进行稳定性分析与控制器设计，因此降阶方法比聚合方法更适用于工程应用。
现有的电力系统线性模型降阶方法包括Krylov子空间方法[20-21]、本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition, POD）法[22-24]、平衡截断理论（Balanced Truncation theory, BT）[25-27]。其中，Krylov子空间方法通过矩阵与向量的乘积生成一个子空间，在该子空间上进行系统的降阶。该方法避免了直接计算整个系统的特征值和特征向量，从而大大减少了计算量。但Krylov子空间方法精度控制困难，Krylov方法的精度取决于迭代次数和初始向量的选择，实现高精度需要更多的迭代步骤，在实际应用中会增加计算负担[28-31]。POD通过将系统投影到能够最大化能量的正交基上实现降维。该方法利用扰动响应数据提取主模态进行系统建模，实现较为简单，在原理上也可用于非线性系统，但每次降阶都需要基于特定扰动下的响应样本构建基向量。由于POD基的选取依赖采集数据，不同扰动下得到的基有差异，从而影响降阶模型的适用性与精度。对于动态变化较为复杂或多运行状态切换的系统，单一扰动样本构建的POD基无法捕捉所有重要模式，导致模型误差较大，限制其在控制器设计和稳定性分析场景中的应用[32]。
平衡截断方法基于小信号线性化模型，通过平衡系统的可控性和可观性，截断对系统动态贡献较小的高阶模态，进而获得原系统的低阶近似。该方法避免了复杂的迭代过程，在处理大规模系统时计算效率更高；同时，该方法属于根据系统的能量特性进行降维，从原理上能够保留与电力系统稳定性和控制性紧密相关的模态，具有良好的工程应用潜力。现有基于平衡截断的模型降阶研究多集中于单机系统，如文献[33]，通过频域分析方法对单风机模型执行平衡截断，实现了在特定运行工况下对系统动态响应的有效保留；文献[34]基于平衡截断理论，通过将锁相环作为解耦子系统，随后将解耦子系统与降阶解耦主系统恢复耦合，对20台双馈机组实现锁相环完整结构的保留和系统降阶；文献[35]采用基于交替方向隐式的平衡截断方法对直驱风电场模型进行降阶分析，但仅根据降阶效果验证了平衡截断法相较于聚合模型的优势，未给出其数学原理的论证；文献[36]综合使用聚合方法、降阶方法和参数辨识技术，有效地实现模型简化与精度提升。现有基于平衡截断的降阶研究缺乏对方法适用性与理论基础的系统论证。因此，如何在理论层面揭示平衡截断与聚合模型的内在联系，并提出能够涵盖聚合模型且适用于参数对称与非对称多机系统的统一简化方法，仍缺乏深入研究。
针对多机聚合方法由风速差异导致的模态漂移与频率响应失配问题，为建立能够准确描述多直驱风电系统在不同风速状态的动态响应特性的简化模型，本文基于平衡截断理论，提出了一种能够涵盖聚合模型的多直驱风电场系统模型降阶方法。首先，在系统平衡点附近进行线性化，构建标准状态空间模型；其次，不依赖物理结构和人工分区，直接对全阶小信号模型进行平衡变换，使可控性与可观性在状态空间中实现统一分布；然后，依据Hankel奇异值对状态变量进行排序，自动识别输入输出通道中动态贡献显著的部分，通过适应性地选择保留重要能量模态，能够有效地捕捉风机间的交互效应，从而避免了参数不对称时刚性聚合导致的振荡模式丢失；最后，通过截断冗余状态，构建出一个动态特性高度接近原系统的降阶模型。该方法在风速一致时自然退化为经典聚合模型，而在风速差异显著时，降阶模型展现出更优的动态一致性与频率响应匹配能力，为复杂风电系统的简化建模提供了更通用、精度更高的解决方案。
直驱风电场并网系统由直驱风电场和电网系统构成，其拓扑结构如图1所示。
图1中，每个直驱风电场内部参数及电气量的下标为对应直驱风电场序号i，i∈{1,2,···,N}。电网系统由输电线路电阻
、电感
、并网点电容
、3 kV/35 kV变压器及35 kV/330 kV变压器构成。直驱风机等值模型参照文献[37-38]建立。其中每个直驱风电场系统由风力机、永磁同步发电机、机侧换流器（Machine-Side Converter, MSC）、网侧换流器（Grid-Side Converter, GSC）、锁相环（Phase-Locked Loop, PLL）、直流电容
及滤波电感
组成。为直流电容，Lgi为风机网侧滤波电感，
为直流电容电压，
、
分别为定子绕组电压和电流，
、igi分别为GSC出口处的电压和电流，ug为风机出口处的电压，
为交流输电线路上流过电流，
为并网电压。GSC采用直流电压外环、并网dq轴电流内环控制策略，实现控制直流电压稳定和定并网无功功率的功能；MSC采用转速外环、定子dq轴电流内环控制策略，实现对风力机的最大功率跟踪和控制发电机损耗最小的功能。
根据1.1节建立的N台直驱风电机组并网系统动态数学模型，在稳态工作点处，将其线性化，建立小信号模型为
图1 多DDWF并入电网系统结构
Fig.1 Schematic diagram of multiple DDWFs integrated into the power grid
（1）
式中，
为状态矩阵；
为输入矩阵；
为输出矩阵；
为线性化的状态变量；
为线性化的输出变量；
为线性化的输入变量。全阶直驱风电场并网系统小信号模型共12N+6阶，其中直驱风电机组12N+2阶，交流系统4阶。
在小信号模型中，由于锁相环参数一致，将锁相环视为一个共享的部分，从而将每台风机的阶数从14阶简化为12阶，所以直驱风电机组阶数为12N+2。多直驱风电场系统参数见附表1，各状态变量的含义见附表2。
多直驱风电机组并网系统由多个结构一致但运行状态可能异构的风电机组构成，整体呈现典型的耦合非线性特征[35]。在风速参数一致的工况下，各机组动态轨道具备李群对称性，使得系统满足轨道等价条件，此时可借助对称性平均实现有效的模型聚合[39-40]；然而在风速存在差异的情况下，此类对称性被打破，系统动态行为呈现轨道分离特性，聚合模型难以准确反映系统的频域响应与模态演化规律，尤其在中高频同步振荡模态上易导致动态特征丢失[41-42]。
鉴于此，工程上亟须一种不依赖结构对称假设、同时具备较强模态保留能力与稳健性的模型简化方法。平衡截断方法作为一种基于可控性与可观性Gramian协同对角化的经典线性系统降阶策略，能够在系统运行状态不一致的情形下，合理保留对动态特性贡献最大的状态变量，确保降阶模型在风速不一致场景下仍具有良好的动态一致性与频率响应精度。本节介绍该方法的基本原理，并基于李群对称性理论，将其与传统聚合方法进行对比。
对于式（1）所示的系统，其可控性Gramian 
矩阵和可观性Gramian 
矩阵满足Lyapunov方程，即
（2）
衡量了系统的可控性程度，它满足对于任意初始状态
，存在输入
使得系统在有限时间内转移到原点的能力。衡量了从系统输出
确定初始状态的能力。
由于原始系统中
，状态变量的重要性难以直接比较。为此，引入相似变换，使得新系统状态变量在可控性和可观性上对称，从而实现平衡化。
构建平衡变换矩阵T步骤如下。
1）对与进行奇异值分解
式中，UC、UO为正交阵；
、
为对角矩阵。
2）构建中间矩阵
（4）
对其进行奇异值分解
（5）
3）构造平衡变换矩阵
（6）
使用该变换矩阵对原系统进行状态变换，可得平衡系统模型为
（7）
式中，
为平衡坐标下的状态变量，
；
。
此时，平衡系统的可控可观Gramian均为对角矩阵，即
（8）
式中，
为Hankel奇异值，反映第i个状态对系统输入输出传递的综合能量贡献，且递减排列。状态变换矩阵
以及平衡坐标下的Gramian矩阵见附录，即
（9）
Hankel奇异值体现了平衡状态变量对系统动态特性的全局贡献度。因此，截断后仅保留前
个状态变量，即选择
，舍弃其余较小的奇异值所对应的状态分量。设
（10）
式中，
表示保留的状态子集；
为被截断的部分。舍去
，保留
，即可得到降阶系统为
（11）
该降阶系统不仅保留了最显著的能量通道，还具有严格的误差上界，即
（12）
式中，
为全阶系统的传递函数；
为降阶系统的传递函数；
为
范数。
对于阶数的选择，通过归一化Hankel奇异值并计算其累计贡献度，可视化判定截断点。例如，设总能量贡献目标为99%，则需满足
（13）
式中，
为能量保留阈值，
。由此确定合理的r值，构造对应的降阶系统。
李群对称性视角下多直驱风电场系统模型简图如图2所示，多直驱风电场系统本质上是由多个结构一致但运行状态异构的风电机组耦合构成的动态网络[43-44]。当三台风机风速一致，各风机运行在相似的动态轨道上，其状态空间结构具备李群对称性特征，此时采用多机聚合方法可以通过对称性平均实现降维建模；当风速异构，状态演化呈现轨道发散现象，导致聚合模型不能有效地反映系统的实际动态，尤其在次同步振荡模态中表现为模态漂移与模态丢失现象[41, 45]。本节针对此问题展开数学分析。
图2 李群对称性视角下多直驱风电场系统模型简图
Fig.2 Diagram of multi-direct-drive wind farm system model based on Lie Group symmetry
2.3.1 模型与对称性假设
考虑N台结构一致的直驱风机在某一稳态点处的小信号线性化。令单机模型
为
（14）
式中，
、
、
为系数矩阵；x、y、u分别为单机系统的状态向量、输出向量和输入向量。
全系统耦合后得到
式中，
，
,,
,
为子系统的状态向量；
为对称图拉普拉斯；I为单位矩阵；
为耦合相关的子块。完全对称假设包括：（H1）机组参数全同、运行点一致；（H2）输入为广播
，输出为汇聚
；（H3）
≥0，且
。
2.3.2 对称性分解与共模解耦
取L的正交分解为
（16）
式中，
为拉普拉斯矩阵L经正交分解后得到的特征值。
定义坐标变换为
（17）
式中，
为所有机组状态的归一化平均，本质上为线性组合。
在Z坐标下，系统可分解为
（18）
对k≥2的相对模态，有
（19）
由
，输入与输出信号仅作用于共模
，所有相对模态
与输入输出完全解耦。
2.3.3 Gramian 的群不变性与块零化
设
指数稳定，其可控Gramian矩阵和可观Gramian矩阵满足
（20）
由（H1）～（H3）与B、C的广播与汇聚结构可知，对于任意置换矩阵Π∈
，为N阶置换群，有
（21）
因此，P、Q与群作用可交换，即
（22）
Q同理。由舒尔引理，P、Q在
的基下呈同质分解，即
（23）
式中，
、
分别为
、
的Gramian。由式（18）可知，相对模态子块的Lyapunov方程退化为齐次方程，只能取零解，因此相对模态的Hankel奇异值全为零。
2.3.4 完全对称情形
N台直驱风机结构一致时，式（18）、式（19）表明，在图谱坐标下，全系统的 Gramians 矩阵呈块对角，只有共模块非零；对极小非零块还可以做平衡变换。然而，共模已在平衡坐标下，再进行平衡变换只会做极小的坐标微调，不会带来进一步的阶次简化。
由式（23）可知，相对模态的可控和可观 Gramian为零，故其Hankel奇异值为零；按平衡截断准则仅保留共模块，即式（18），所以单机聚合模型的传递函数为
（24）
由此得到以下结论：
设（H1）～（H3）成立且稳定，则的平衡实现中，除共模子块外的N-1个相对子块的Hankel奇异值均为0。令降阶阶数为单机阶数，则平衡截断得到的
与单机聚合传递函数完全一致。更进一步，若将输入和输出按总量度量，则有
（25）
此外，完全对称下，18阶BT模型的
误差上界为零，说明其降阶结果与原系统完全一致。这一结论符合聚合模型等效于代表元模型的物理解释，从而表明BT方法在完全对称情形下与聚合方法等效。
此外，需要注意的是，在对称情形下，变换矩阵
满足
（26）
式中，
为稠密非置换矩阵。因此，
并非带符号置换，故平衡变换后的状态变量不再与原始的物理状态分量一一对应，而是原状态的线性组合。这一特性是平衡截断方法的固有属性，其意义在于保留了系统在外部激励与输出响应上的主要动态行为，而不局限于具体的物理状态描述。
2.3.5 近似对称情形
设存在小扰动
、
、
，有
（27）
则、Q与Hankel奇异值对小扰动连续。原本为零的相对子块奇异值变为
的小量。据此给出阶数选择准则为令
为平衡奇异值，取最小r使
，其中
与式（13）一致，即可满足
（28）
这说明当对称性轻度破坏时，BT方法能够在共模块与少量相对块之间自适应扩展，优于刚性聚合。一旦破坏对称性，能量驱动的BT方法更加稳健，而结构驱动的聚合方法则会丢失动态特性。
以三DDWF系统为算例，从以下三个方面验证平衡截断降阶方法的有效性。
1）全阶系统与降阶系统的时域暂态响应特性应尽可能吻合。
2）多DDWF降阶系统应含有全部SSO模式。
3）应用于降阶系统中时，DDWF控制参数对各SSO模式的影响机制应尽可能保持不变。
为验证本文所提降阶模型对不同风速条件的适用性，在以下三种风速工况下，针对以上三个方面,分别进行时域和频域仿真验证。降阶模型参数见附录B2。五种测试工况风速参数见表1。
表1 测试工况风速参数
Tab.1 Wind speed parameters under test conditions
工况v1/(m/s)v2/(m/s)v3/(m/s)扰动情况 一8.08.08.0电压抬升1% 二7.98.08.1电压跌落1% 三2.03.05.0电压抬升1% 四15.017.020.0电压抬升1% 五2.010.020.0电压跌落1%
为评估多直驱风电系统在不同风速条件下的动态特性及模型降阶的适用性，本文以三台直驱风电机组并网系统为例，选取表1所示的五种典型工况，计算系统的Hankel奇异值分布，计算结果如图3所示。
根据图3得到以下结论：
1）在工况一中，Hankel奇异值在第18阶前保持较高幅值，此后迅速衰减，体现出明显的能量集中特性，表明系统的有效动态维度集中于前18阶，与单机聚合模型的阶数完全一致。从结构上看，由于风速一致，三台风机构成对称结构，满足李群对称性，可简化为单机等效模型。结果表明，在系统对称条件下，物理聚合和数学降阶方法产生的两种简化模型，其本质上刻画的是同一组系统主要动态特征。换言之，聚合模型与平衡截断模型分别从物理结构与系统响应角度出发，但在完全对称风况下，所得结果在数学形式与动态响应上完全一致，实质上是对同一低阶系统行为的等效描述。
图3 五种工况下Hankel奇异值分布图
Fig.3 The Hankel singular value distribution diagram under five operating conditions
2）随着风速差异程度的增加，Hankel奇异值的衰减趋势逐渐趋缓，18阶之后的奇异值不再快速下降，反映出系统对称性削弱，相对模态能量占比上升，状态冗余减少。此时，传统的聚合模型因未能捕捉风机间的动态差异而存在局限，难以准确描述多机系统的实际行为。相比之下，平衡截断方法可根据系统实际动态特征自适应地保留能量占优的状态，提升模型精度与适应性，弥补聚合建模在异构风况下的不足。
3）在五种工况中，前18阶奇异值占据了绝大部分能量，18阶之后的奇异值快速衰减。结合式（13），18阶可视为能量占优状态与能量次要状态的分界点，后续阶次对应的状态对系统整体响应的影响较小。
为了验证平衡截断降阶模型的准确性和鲁棒性，在表1所示的五种典型工况下进行时域仿真，结果如图4～图8所示。
图4 工况一暂态响应曲线
Fig.4 Transient response curves of working condition 1
图5 工况二暂态响应曲线
Fig.5 Transient response curves of working condition 2
图6 工况三暂态响应曲线
Fig.6 Transient response curves of working condition 3
在图4～图8中，相较于多机聚合系统，多DDWF降阶系统中各变量的暂态响应变化过程与全阶系统呈现出更好的吻合效果。在阶跃发生后的时段内，多DDWF全阶系统与降阶系统的振荡变化过程近乎重合，二者从阶跃发生至恢复稳定状态消耗的时间基本相同。在多DDWF降阶系统中，各变量振荡过程结束后，其稳态值均能与全阶系统对应变量的稳态值完全一致，表明本文所提降阶系统在暂态特性表征上的高精度与可靠性。
为量化降阶模型与聚合模型的响应误差，本文采用均方误差（Mean-Square Error, MSE）作为误差计算指标，即在仿真时间内，计算降阶模型与全阶模型电气量响应误差的二次方并求平均值来评估两者之间的差异。计算方法为
图7 工况四暂态响应曲线
Fig.7 Transient response curves of working condition 4
图8 工况五暂态响应曲线
Fig.8 Transient response curves of working condition 5
（29）
式中，
为均方误差的计算值；
为全阶模型暂态响应；
为简化模型暂态响应；n为时间点个数。MSE计算结果见表2。
表2表明，相对于聚合系统，本文建立的降阶系统在不同风速下，对不同状态量的时域响应误差降低了99%以上，具有良好的鲁棒性和适应性。
表2 不同风速下降阶系统与聚合系统时域响应误差对比
Tab.2 Comparison of time-domain response errors between reduced-order system and aggregated system under different wind speeds
工况一工况二工况三工况四工况五 降阶聚合降阶聚合降阶聚合降阶聚合降阶聚合 udc13.25×10-316.00×10-291.57×10-107.75×10-601.68×10-61.45×10-130.003 191.02×10-113.49×10-5 Ilx13.72×10-314.51×10-307.29×10-133.17×10-76.43×10-221.66×10-66.12×10-141.97×10-44.21×10-124.35×10-4 Ily19.85×10-332.08×10-304.67×10-100.004 9101.74.75×10-120.9876.42×10-112.02×10-5 ugx11.06×10-298.07×10-285.68×10-90.004 664.99×10-180.002 384.7×10-100.072 65.63×10-102.07 ugy17.91×10-302.88×10-286.36×10-73.82×10-52×10-153.22×10-72.98×10-100.009 721.40×10-106.66×10-3 P11.40×10-302.56×10-281.57×10-107.75×10-601.68×10-61.45×10-130.003 191.06×10-92.02×10-4
本节根据降阶系统和原系统的Bode图、降阶误差、SSO特性、阻尼特性从频域角度分析本文所提降阶方法对原系统动态响应特性和SSO模式的保留效果。其中降阶前后Bode图对比见附录C。
3.2.1 降阶系统SSO特性及降阶误差分析
表3为三种测试风速下，多DDWF系统降阶前后与聚合前后保留SSO模式对比。通过对比全阶、降阶及聚合系统的SSO模态特征根与频率可知，本文所提降阶方法在保留SSO模态方面较聚合方法更具优势。降阶系统的特征根和频率与全阶系统更为接近，能更好地反映原系统SSO模态特性。式（30）依据文献[46]定义的降阶系统平均误差，量化评估DDWF降阶系统在SSO模式保留方面的整体降阶效果。
表3 多DDWF系统降阶前后与聚合前后保留SSO模式对比
Tab.3 Comparison of the retained SSO modes before and after the order reduction of the multi-DDWF system and before and after aggregation
SSO模式全阶系统（42阶）降阶系统（18阶）聚合系统（18阶） 特征根频率/Hz特征根频率/Hz特征根频率/Hz 工况一λ9,10-25.96±j84.4713.45-25.96±j84.4713.45-25.96±j84.4713.45 λ11,12-25.73±j84.3813.42-25.73±j84.3813.42-25.73±j84.3813.42 λ13,14-56.76±j55.208.79-56.76±j55.208.79-56.76±j55.208.79 λ17,18-24.88±j16.662.65-24.88±j16.662.65-24.88±j16.662.65 平均误差——0.00—0.00— 工况二λ9,10-26.00±j84.6613.47-28.82±j86.6713.79-56.76±j54.078.59 λ11,12-25.79±j84.4213.44-25.83±j84.5513.46-3.85±j19.443.09 λ13,14-25.61±j84.1613.39-25.47±j84.1913.40-24.97±j16.612.64 λ17,18-24.88±j16.66 2.65-24.88±j16.662.65—— 平均误差（%）——1.05缺少SSO模态 工况三λ9,10-18.37±j76.7412.21-18.31±j76.6412.20-72.71±j39.226.24 λ11,12-21.16±j78.9212.56-21.14±j78.9112.56-7.03±j22.113.52 λ13,14-19.03±j77.2012.29-19.24±j77.4312.32—— λ17,18-24.99±j16.592.64-24.99±j16.592.64-24.99±j16.592.64 平均误差（%）——0.14缺少SSO模态 工况四λ9,10-27.70±j130.0120.69-27.76±j129.9320.68-62.02±j117.4718.70 λ11,12-31.86±j110.2017.54-31.59±j118.3017.18-22.99±j16.402.61 λ13,14-30.84±j118.4918.86-34.09±j107.9218.83-4.87±j17.592.80 λ17,18-24.06±j16.622.65-23.95±j16.672.65—— 平均误差（%）——4.22缺少SSO模态
（续）
SSO模式全阶系统（42阶）降阶系统（18阶）聚合系统（18阶） 特征根频率/Hz特征根频率/Hz特征根频率/Hz 工况五λ9,10-27.42±j129.9620.68-27.42±j129.9620.68-57.31±j70.9911.30 λ11,12-28.89±j90.4014.39-29.13±j90.2914.37-2.75±j18.262.91 λ13,14-18.37±j76.7412.21-19.05±j76.5912.19—— λ17,18-24.33±j16.852.68-24.34±j16.802.67-24.92±j16.642.65 平均误差（%）——0.33缺少SSO模态
（30）
式中，
为降阶系统的平均误差；
、分别为简化系统和全阶系统各保留模式下的特征值；n为全阶系统所含有保留SSO模式的数量。
3.2.2 SSO模式的阻尼特性分析
为探究降阶系统模型对多DDWF系统阻尼特性分析的适用性，本节通过调整控制器关键控制参数，考察SSO模式下振荡频率与阻尼比曲线的演变规律，进而评估降阶系统模型在不同场景下阻尼特性分析的有效性与可靠性。
计算表3中全阶系统SSO模式的状态变量参与因子，结果如图9所示。
图9 参与因子计算结果
Fig.9 Participation factor calculation results
图9体现了五种测试工况下，不同状态变量对SSO模式的参与程度。对每种SSO模式，参与因子位于前两位，且参与因子大于0.1[46]，称为该SSO模式的主导状态变量。根据图9，主导状态变量结果见表4。由表4可知，对于工况一和工况二，
模式的主导状态变量为
和
；对于工况三，模式的主导状态变量为和
；对于工况四，模式的主导状态变量为
和
；对于工况五，模式的主导状态变量为、
；上述主导状态变量主要受直流电容
、
、
和GSC电压外环控制环节的PI参数
、
控制。
表4 全阶系统SSO模式及其主导状态变量
Tab.4 SSO modes of the full-order system and their dominant state variables
SSO模式全阶系统（42阶） 特征根频率/Hz主导状态变量 工况一-25.96±j84.4713.45, -25.73±j84.3813.42, -56.76±j55.208.79, -24.88±j16.662.65, 工况二-26.00±j84.6613.47, -25.79±j84.4213.44, -25.61±j84.1613.39 -24.88±j16.66 2.65, 工况三-18.37±j76.7412.21, -21.16±j78.9212.56 -19.03±j77.2012.29, -24.99±j16.592.64, 工况四-27.70±j130.0120.69, -31.86±j110.2017.54, -30.84±j118.4918.86, -24.06±j16.622.65, 工况五-27.42±j129.9620.68, -28.89±j90.4014.39, -18.37±j76.7412.21, -24.33±j16.852.68,
图10为不同风速工况下，将从80以步长1增大至100后，模式振荡频率和阻尼比随的变化曲线。图10表明，降阶系统与全阶系统的SSO模式在振荡频率和阻尼比随控制参数变化的趋势上呈现出高度相似性。随着控制参数的逐步增大，两种模型的振荡频率均呈现出单调递增，而阻尼比的绝对值则表现为单调递减特性。结果表明，降阶系统模型能够准确复现全阶系统模型的阻尼特性。
图10 降阶前后阻尼特性对比
Fig.10 Comparison diagram of damping characteristics before and after order reduction
针对多直驱风电场系统详细模型阶数高、运行状态复杂多变导致的聚合建模困难与“维数灾”问题，基于平衡截断理论，提出一种能够涵盖多机聚合模型的多机系统简化方法。相较于传统聚合方法，该方法在风机参数不一致的情况下仍能更准确地保留原系统的振荡特性，并有效地反映控制参数变化对阻尼特性的影响。主要结论如下：
1）在风机参数一致的条件下，平衡截断方法所构建的降阶模型自然退化为传统聚合模型，二者在时域与频域响应上完全一致，动态等效。该结果验证了李群结构对称性理论，即两类模型本质上均为轨道下的代表元。
2）风机参数存在差异时，降阶模型的响应特性显著优于聚合模型。该方法基于可控性与可观性识别异构动态，有效保留主导信息，具备更强的鲁棒性。仿真结果显示，随着参数差异的增大，聚合模型误差的显著上升，而降阶模型保持较低的H∞误差。
3）根轨迹分析表明，降阶模型在关键频段内准确保留次同步振荡模态，其动态响应趋势与全阶模型一致，能有效地预测系统阻尼与稳定性边界。在保证精度的同时，降阶效率达57.14%，适用于控制器设计与小信号稳定性分析。
需要指出，本文针对直驱风电并网系统在平衡点线性化后的小扰动模型开展降阶研究，主要服务于振荡分析等小扰动场景，而暂态全过程建模等非线性场景不在本方法的适用范围内。
附 录
网盘链接：https://pan.baidu.com/s/1-RUtDdc61HlRu1FGY_ p3yg。
提取码：abcd。
参考文献
[1] 张丽英, 叶廷路, 辛耀中, 等. 大规模风电接入电网的相关问题及措施[J]. 中国电机工程学报, 2010, 30(25): 1-9. Zhang Liying, Ye Tinglu, Xin Yaozhong, et al. Problems and measures of power grid accommodating large scale wind power[J]. Proceedings of the CSEE, 2010, 30(25): 1-9.
[2] 叶林, 张慈杭, 汤涌, 等. 多时空尺度协调的风电集群有功分层预测控制方法[J]. 中国电机工程学报, 2018, 38(13): 3767-3780, 4018. Ye Lin, Zhang Cihang, Tang Yong, et al. Active power stratification predictive control approach for wind power cluster with multiple temporal and spatial scales coordination[J]. Proceedings of the CSEE, 2018, 38(13): 3767-3780, 4018.
[3] 李明节, 于钊, 许涛, 等. 新能源并网系统引发的复杂振荡问题及其对策研究[J]. 电网技术, 2017, 41(4): 1035-1042. Li Mingjie, Yu Zhao, Xu Tao, et al. Study of complex oscillation caused by renewable energy integration and its solution[J]. Power System Technology, 2017, 41(4): 1035-1042.
[4] 马凡, 马伟明, 付立军. 一种多时间尺度降阶原则及其在交直流电力系统中的应用[J]. 中国电机工程学报, 2009, 29(13): 41-47. Ma Fan, Ma Weiming, Fu Lijun. A multi-time scale order reduction principle and its application in AC/DC power system[J]. Proceedings of the CSEE, 2009, 29(13): 41-47.
[5] 李冰, 赵浩然, 江艺宝, 等. 风电场全过程耦合精细化建模及其高效并行仿真算法[J]. 电力系统自动化, 2025, 49(23): 119-128. Li Bing, Zhao Haoran, Jiang Yibao, et al. Refined coupling modeling of full-process and efficient parallel simulation algorithm for wind farms[J]. Automation of Electric Power Systems, 2025, 49(23): 119-128.
[6] 王丹, 刘崇茹, 李庚银. 直驱型风电并网系统建模及关键参数变化影响研究[J]. 华北电力大学学报(自然科学版), 2015, 42(6): 78-83, 100. Wang Dan, Liu Chongru, Li Gengyin. Research on modelling of direct-drive wind power integration system and influence of key parameters change[J]. Journal of North China Electric Power University (Natural Science Edition), 2015, 42(6): 78-83, 100.
[7] 张宏伟, 张振东. 大规模风电场并网系统次同步振荡研究综述[J]. 通信电源技术, 2020, 37(7): 267-269. Zhang Hongwei, Zhang Zhendong. A review of sub-synchronous oscillation in large-scale wind-electrical field grid-connected systems[J]. Telecom Power Technology, 2020, 37(7): 267-269.
[8] 潘晓达. 非线性电路系统的轨迹分段线性模型降阶方法研究[D]. 上海: 复旦大学, 2013. Pan Xiaoda. Research on trajectory-based piecewise linear model order reduction method for nonlinear circuit systems[D]. Shanghai: Fudan University, 2013.
[9] 刘禹彤, 任自艳, 迟连强, 等. 基于自适应模型降阶的三维非线性磁场快速计算方法[J]. 电工技术学报, 2025, 40(1): 1-12. Liu Yutong, Ren Ziyan, Chi Lianqiang, et al. Fast calculation method of 3D nonlinear magnetic field based on adaptive model order reduction[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2025, 40(1): 1-12.
[10] 刘刚, 胡万君, 刘云鹏, 等. 降阶技术与监测点数据融合驱动的油浸式变压器绕组瞬态温升快速计算方法[J]. 电工技术学报, 2024, 39(19): 6162-6174. Liu Gang, Hu Wanjun, Liu Yunpeng, et al. A fast calculation method for transient temperature rise of oil immersed transformer windings driven by fusion of order reduction technology and monitoring point data[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(19): 6162-6174.
[11] 田野, 卜凯阳, 李楚杉, 等. 用于IGBT模块温度观测的3-D降阶混合型热模型[J]. 电工技术学报, 2024, 39(16): 5104-5120. Tian Ye, Bu Kaiyang, Li Chushan, et al. A hybrid 3-D reduced-order thermal model for temperature observation of IGBT modules[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(16): 5104-5120.
[12] 李龙源. 直驱风电场动态等值建模方法研究[D]. 成都: 西南交通大学, 2022. Li Longyuan. Study of dynamic equivalent modeling methods of wind farm with DDPMSGS[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2022.
[13] 谭尚晨. 直驱风电场聚合等值对并网系统次同步振荡特性影响的研究[D]. 北京: 华北电力大学, 2023. Tan Shangchen. Study on the influence of aggregation equivalence of direct-driven wind farm on sub-synchronous oscillation characteristics of grid-connected system[D]. Beijing: North China Electric Power University, 2023.
[14] 蒋耀林. 模型降阶方法[M]. 北京: 科学出版社, 2010.
[15] Ugalde-Loo C E, Acha E, Licéaga-Castro E. Multi-machine power system state-space modelling for small-signal stability assessments[J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37(24): 10141-10161.
[16] Kundur P. Power system stability[J]. Power System Stability and Control, 2007, 10(1): 1-4.
[17] Anderson P M, Fouad A A. Power System Control and Stability[M]. New York: John Wiley & Sons, 2008.
[18] Kunjumuhammed L P, Pal B C, Oates C, et al. The adequacy of the present practice in dynamic aggregated modeling of wind farm systems[J]. IEEE Transactions on Sustainable Energy, 2017, 8(1): 23-32.
[19] Ruan Jiayang, Lu Zongxiang, Qiao Ying, et al. Analysis on applicability problems of the aggregation-based representation of wind farms considering DFIGs’ LVRT behaviors[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2016, 31(6): 4953-4965.
[20] Chaniotis D, Pai M A. Model reduction in power systems using Krylov subspace methods[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2005, 20(2): 888-894.
[21] Freund R W. Model reduction methods based on Krylov subspaces[J]. Acta Numerica, 2003, 12: 267-319.
[22] Malik M H, Borzacchiello D, Chinesta F, et al. Reduced order modeling for transient simulation of power systems using trajectory piece-wise linear approximation[J]. Advanced Modeling and Simulation in Engineering Sciences, 2016, 3(1): 31.
[23] Malik M H. Reduced order modeling for smart grids’ simulation and optimization[D]. Barcelona: Universitat politècnica de Catalunya-BarcelonaTech, 2017.
[24] Nadeem M, Taha A F. Structure-preserving model order reduction for nonlinear DAE models of power networks[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2025, 40(3): 2613-2625.
[25] Lan Xiaoming, Zhao Hongshan, Wang Ying, et al. Nonlinear power system model reduction based on empirical gramians[C]//2016 IEEE International Conference on Power System Technology (POWERCON), Wollongong, NSW, Australia, 2016: 1-6.
[26] 李珅, 颜云松, 李晗, 等. 基于平衡理论的双端柔性直流输电系统降阶小信号建模[J]. 电力建设, 2020, 41(9): 115-123. Li Shen, Yan Yunsong, Li Han, et al. Reduced-order small-signal model of double-terminal flexible DC transmission system applying equilibrium theory[J]. Electric Power Construction, 2020, 41(9): 115-123.
[27] 李正, 郝全睿, 尹晓东, 等. 模块化多电平换流器的降阶小信号模型研究[J]. 中国电机工程学报, 2018, 38(12): 3638-3650, 24. Li Zheng, Hao Quanrui, Yin Xiaodong, et al. Research on reduced-order small-signal model of modular multilevel converter[J]. Proceedings of the CSEE, 2018, 38(12): 3638-3650, 24.
[28] Barrett R, Berry M, Chan T F, et al. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods[M]. 2nd ed. Philadelphia: SIAM, 1994.
[29] Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems [M]. 2nd ed. Philadelphia: SIAM, 2003.
[30] Bergamaschi L. Iterative methods for sparse linear systems: the generalized minimal residual (GMRES) method[R/OL]. Padova: University of Padova, 2022. https://www.dmsa.unipd.it/～berga/Teaching/Phd/gmres_ slides.pdf.
[31] Carson E, Liesen J, Strakoš Z. Towards understanding CG and GMRES through examples[J]. Linear Algebra and Its Applications, 2024, 692: 241-291.
[32] Lu Kuan, Zhang Haopeng, Zhang Kangyu, et al. The transient POD method based on minimum error of bifurcation parameter[J]. Mathematics, 2021, 9(4): 392.
[33] 许建成, 孙建军, 钟佩军, 等. 基于平衡实现理论的变流器并网系统降阶模型[J]. 电工技术学报, 2021, 36(增刊1): 255-264. Xu Jiancheng, Sun Jianjun, Zhong Peijun, et al. Reduced-order model of grid-connected converter system based on balanced realization theory[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(S1): 255-264.
[34] 于潇寒, 王睿, 邹亮, 等. 基于平衡截断的锁相环完整结构保留双馈风电机组降阶模型构建[J]. 电工技术学报, 2026, 41(3): 898-911. Yu Xiaohan, Wang Rui, Zou Liang, et al. Construction of reduced order model of doubly-fed wind turbines with the preservation of complete phase-locked loop structure based on balanced truncation[J]. Transactionsof China Electrotechnical Society, 2026, 41(3): 898-911.
[35] 王进钊, 严干贵, 刘侃. 基于交替方向隐式平衡截断法的直驱风电场次同步振荡分析的模型降阶研究[J]. 发电技术, 2023, 44(6): 850-858. Wang Jinzhao, Yan Gangui, Liu Kan. Research on model reduction of direct drive wind farm subsyn-chronous oscillation analysis based on alternating direction implicit balanced truncation method[J]. Power Generation Technology, 2023, 44(6): 850-858.
[36] 饶日晟, 张亚丽, 叶林. 直驱式永磁同步风电机组的风电场降阶等值模型[J]. 广东电力, 2019, 32(6): 9-17. Rao Risheng, Zhang Yali, Ye Lin. Equivalent model of order reduction of wind power plant with DD-PMSG[J]. Guangdong Electric Power, 2019, 32(6): 9-17.
[37] 邵冰冰, 赵书强, 裴继坤, 等. 直驱风电场经VSC-HVDC并网的次同步振荡特性分析[J]. 电网技术, 2019, 43(9): 3344-3355. Shao Bingbing, Zhao Shuqiang, Pei Jikun, et al. Subsynchronous oscillation characteristic analysis of grid-connected DDWFs via VSC-HVDC system[J]. Power System Technology, 2019, 43(9): 3344-3355.
[38] 高本锋, 崔意婵, 邵冰冰, 等. 直驱风电机组全运行区域的次同步振荡特性分析[J]. 电力建设, 2020, 41(2): 85-93. Gao Benfeng, Cui Yichan, Shao Bingbing, et al. Sub-synchronous oscillation characteristics of direct-drive PMSG under all operation regions when wind farms connected to weak AC system[J]. Electric Power Construction, 2020, 41(2): 85-93.
[39] Han Ji, Li Li, Song Huihui, et al. An equivalent model of wind farm based on multivariate multi-scale entropy and multi-view clustering[J]. Energies, 2022, 15(16): 6054.
[40] Mlinarić P, Ishizaki T, Chakrabortty A, et al. Synchronization and aggregation of nonlinear power systems with consideration of bus network structures[C]//2018 European Control Conference (ECC), Limassol, Cyprus, 2018: 2266-2271.
[41] Zoghby P, Marinescu B, Rosse A, et al. Exhaustive classification and quantification of coupling modes in power systems with power electronics[J]. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2024, 138: 107-120.
[42] Wang Yun, Liang Mingkun, Xie Feilong, et al. Sub-synchronous oscillation analysis and suppression in hybrid wind farm[J]. Energies, 2025, 18(1): 140.
[43] Xing Chao, Xi Xinze, He Xin, et al. Interaction energy flow paths analysis of PMSG-based wind power integrated systems during LVRT and its parameter adjustment strategy[J]. Scientific Reports, 2024, 14: 13822.
[44] Wu Dan, Seo G S, Xu Lie, et al. Grid integration of offshore wind power: standards, control, power quality and transmission[J]. IEEE Open Journal of Power Electronics, 2024, 5: 583-604.
[45] Pepiciello A, Domínguez-García J L, Vaccaro A. The impact of frequency support by wind turbines on the small-signal stability of power systems[J]. Energies, 2022, 15(22): 8470.
[46] 高本锋, 王刚, 邵冰冰, 等. 基于主导度分析的直驱风电场奇异摄动降阶方法[J]. 中国电机工程学报, 2022, 42(7): 2449-2462. Gao Benfeng, Wang Gang, Shao Bingbing, et al. Singular perturbation approximation method based on the dominant degree analysis for direct drive wind farm[J]. Proceedings of the CSEE, 2022, 42(7): 2449-2462.
Abstract Accurate reduced-order modeling of large-scale Type-4 direct-drive wind farm systems is essential for small-signal stability analysis and controller design. However, existing aggregation-based simplification approaches become inadequate under heterogeneous wind speed conditions, often resulting in modal drift and mismatches in frequency response. To address these limitations, this study develops a unified model order reduction (MOR) framework based on balanced truncation theory. The proposed method preserves the essential dynamic characteristics of multi-machine wind farm systems without relying on symmetry assumptions or turbine aggregation, improving adaptability to diverse operating conditions.
The nonlinear model of a multi-machine direct-drive wind farm is first linearized around a steady-state operating point to derive a small-signal state-space representation. A balanced coordinate transformation is performed by jointly diagonalizing the controllability and observability Gramians, distributing controllability and observability uniformly across the transformed states. The Hankel singular values are calculated to quantify each state’s contribution to energy transfer between inputs and outputs. States with negligible energy influence are systematically truncated, yielding a reduced-order model that preserves the dominant dynamics of the original system. Unlike conventional techniques, this method does not require structural partitioning, participation factor analysis, or prior identification of dominant oscillatory modes, thereby enhancing automation and generality. Leveraging Lie group symmetry analysis, the study proves that under identical wind speeds, the reduced-order model degenerates into the traditional aggregated representation, while in non-uniform scenarios, it retains machine-level dynamics absent in conventional aggregation.
The effectiveness of the proposed approach is validated through simulations under five representative wind speed scenarios, covering both symmetric and asymmetric conditions. Time-domain comparisons show that the reduced-order model closely matches the transient responses of the full-order system, with root-mean-square errors below 1%. Frequency-domain analyses confirm that subsynchronous oscillation (SSO) modes are accurately preserved, with oscillation frequency deviations under 5%. The reduced-order model also captures the sensitivity of damping ratios to variations in controller parameters, ensuring accurate reproduction of control effects on small-signal stability. Across all scenarios, the method achieves a 57.14% reduction in model size while maintaining high consistency with the full-order system.
A comparative study against traditional aggregation-based models highlights several advantages of the proposed framework. First, the balanced truncation-based approach preserves dominant energy modes and avoids modal distortion under non-uniform wind speed conditions. Second, the method scales efficiently to wind farms with arbitrary numbers of turbines and layout configurations, making it suitable for large-scale systems. Third, the framework ensures robust dynamic retention across diverse operating conditions, maintaining accuracy in both global and local oscillatory behaviors. Finally, integrating Lie group symmetry theory provides a theoretical foundation for unifying model aggregation and reduction, offering a systematic perspective on simplifying multi-machine wind farm models.
In summary, this study proposes a balanced truncation-based MOR methodology that provides compact, accurate, and computationally efficient reduced-order models for multi-machine Type-4 direct-drive wind farm systems. The resulting models are suitable for small-signal stability assessments, subsynchronous oscillation analysis, and control system design. By bridging the gap between aggregation techniques and model order reduction through symmetry analysis, this framework offers a generalized and automated approach for simplified modeling under both symmetric and asymmetric wind conditions.
Keywords：Model order reduction, wind power generation, dynamic systems, power system stability, state-space methods
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.251268
中图分类号：TM71
国网冀北电力有限公司电力科学研究院科学技术项目资助（52018 K240006）。
收稿日期 2025-07-16
改稿日期 2025-08-25
周乐明 女，2002年生，硕士研究生，研究方向为新能源电力系统分析与控制。E-mail：a78919989@163.com
甄永赞 男，1985年生，副教授，研究方向为新能源电力系统保护与稳定控制。E-mail：zhenyongzan_001@126.com（通信作者）
（编辑 赫 蕾）