（1）
摘要 风电场大规模接入电网后，电力系统次/超同步振荡问题日益突出，准确地提取次/超同步振荡参数对于保障电力系统设备安全和系统稳定运行意义重大。但现有辨识方法普遍存在噪声鲁棒性较弱、模态混叠等问题。为此，该文提出一种改进同步重分配变换分解方法（ISRT），并结合Hilbert变换（HT）实现次/超同步振荡模态参数辨识。首先，将广域量测数据进行短时傅里叶变换（STFT），获取信号对应的时频系数矩阵；其次，通过模式能量权重筛选并剔除噪声伪模态；然后，通过三步选择规则从时频矩阵中提取系统次/超同步振荡模态的瞬时频率轨迹，并实现各模态的准确分离与时域重构；进一步地，结合Hilbert变换准确提取各振荡模态的特征参数，识别其振荡频率、衰减因子、幅值等参数；最后，通过自合成信号、电磁暂态仿真信号以及某电网实测数据对所提方法的有效性进行验证，与其他主流算法仿真结果相比，所提方法具有较高的辨识精度和噪声鲁棒性。
关键词：风电场 次/超同步振荡 模态参数辨识 改进同步重分配变换 Hilbert变换
近年来，可再生能源在电力系统中的占比逐步提升，大量电力电子设备接入并网，由具有多时间尺度的电力电子设备与电网之间相互作用所引发的次/超同步振荡问题日益突出[1-2]。近年的振荡事故表明，次/超同步振荡呈现由局部向全局发散的广域传播特征，给事故分析与振荡抑制带来了巨大挑战。因此，及时准确地辨识电力系统次/超同步振荡参数，有助于振荡溯源及抑制策略的制定，对于电力系统的稳定运行具有重要意义[3-4]。
近年来，随着同步相量量测装置（Phasor Measurement Unit, PMU）的不断完善，电力系统中次/超同步振荡现象得以被精准捕捉，基于量测数据的次/超同步振荡参数辨识已成为振荡分析的重要手段[5]。受电力电子设备的动态特性以及新能源出力波动等外部因素的共同影响，电力系统次/超同步振荡信号通常呈现明显的非线性、非平稳及多模态耦合特性。目前，常用的次/超同步振荡参数辨识方法主要分为频域法、时域法和时频域法。频域法的核心是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）频谱分析，分析过程计算量少，能够快速得到振荡模态[6-7]。但其缺点是频率分辨率受限于数据窗长度，且易受频谱泄漏和栅栏效应的影响。时域法以常见的基于模型的参数辨识方法和模态分解方法为主。前者主要是对基于量测信号构建的模型进行参数估计来辨识次/超同步振荡参数，常见方法有矩阵束算法（Matrix Pencil Method, MPM）[8]、特征值系统实现算法（Eigenvalue system Realization Algorithm, ERA）[9]、Prony算法[10]等；后者是将振荡信号分解为多个不同频率尺度的分量，进而辨识各模态分量参数，代表性方法有变分模态分解法（Variational Mode Decomposition, VMD）[11]、希尔伯特黄变换（Hilbert-Huang Transform, HHT）[12]等。然而，此类方法需要先验参数，预设参数设置的合理性对辨识结果影响较大。此外，尽管频域法和时域法在参数辨识中取得了一定成效，但电力电子设备广泛接入背景下次/超同步振荡机理复杂，且振荡信号非线性、非平稳特征显著，单纯依赖频域或时域方法难以准确、全面地刻画其关键特征。
时频域法主要基于信号的时频联合特性进行振荡参数辨识。此方法通常通过构建时频分布函数，实现对信号特征参数的提取，代表性方法有短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）[13]、连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）[14]等。尽管该方法能够反映信号频率随时间变化的趋势，但根据海森堡不确定性原理，其难以同时兼顾良好的时间和频率分辨能力，导致振荡参数辨识精度降低。为了解决上述时频域法分辨率低的问题，相关学者开展了大量的研究工作以提升方法的时频能量聚集性。文献[15]提出了同步提取变换（Synchroextracting Transform, SET）方法，该方法利用同步提取算子对STFT时频结果进行处理，筛选出与信号特征最相关的STFT系数，从而提升时频分布的能量聚集性；文献[16]提出了傅里叶同步挤压变换（Fourier Synchrosqueezed Transform, FSST）方法，该方法通过将STFT变换后的时频系数压缩至中心频率，显著提升了分解结果的时频分辨率；在文献[16]基础上，文献[17]进一步提出了多重同步压缩变换（Multisynchrosqueezing Transform, MSST）方法，其是在FSST基础上进行多次迭代，使得信号时频能量在其瞬时频率附近得到进一步压缩，从而获得能量聚集性更高的时频分布；文献[18]提出了同步压缩小波变换（Synchrosqueezed Wavelet Transform, SWT）方法，其是在CWT的基础上，压缩某一瞬时频率附近的小波系数，将能量集中于中心频率附近，从而提升时频分辨率。上述方法虽然实现了次/超同步振荡参数的准确提取，但易受噪声影响，在噪声环境下难以获取准确的辨识结果；且以上方法较少考虑超同步分量的影响，实际发生的次同步振荡通常会伴随超同步耦合分量，耦合分量的相互叠加进一步加剧了参数辨识的难度。
Li Miaofen等于2022年提出同步重分配变换（Synchro-Reassigning Transform, SRT）方法，是一种针对非线性非平稳信号的有效分析方法[19]。该方法以传统时频重分配技术为基础，通过利用信号瞬时频率信息，将时频能量重新分配至更精准的频率轨迹上，从而提升时频表示的能量聚集度与分辨率，同时具备优良的抗噪性能。目前，SRT方法已在机械故障诊断[20]、地质勘探[21]等领域得到了良好的应用效果。然而，其在电力系统振荡参数辨识中的应用尚未见相关报道。鉴于此，本文首次将SRT方法引入电力系统次/超同步振荡参数辨识领域，旨在充分发挥其高时频聚集性与强抗噪性优势，实现对非线性非平稳振荡信号模态参数的高精度提取与辨识。同时，本文在传统SRT方法的基础上，进一步引入平均模式能量计算模式能量权重，有效剔除噪声伪模态，从而在保证高时频分辨率的同时，进一步增强SRT方法的抗噪性和稳健性。
为此，本文提出了一种结合改进同步重分配变换（Improved Synchro-Reassigning Transform, ISRT）和Hilbert变换（Hilbert Transform, HT）的次/超同步振荡参数辨识方法。该方法首先进行STFT变换，得到对应的时频系数矩阵；其次，引入平均模式能量计算模式能量权重，筛选并剔除噪声伪模态的时频系数；然后，采用三步选择规则进一步筛选时频系数矩阵中表征各次/超同步振荡分量轨迹的时频系数；进一步地，利用筛选得到的时频系数重构得到次/超同步振荡模式时域分量，实现各次/超同步模态分量的分离与提取；随后，利用HT方法辨识各单模态分量的振荡频率、衰减因子和幅值；最后，通过自合成信号、暂态仿真信号及某电网实测数据对所提方法的准确性和有效性进行验证。
同步重分配变换（SRT）是在短时傅里叶变换（STFT）的基础上，引入频率重分配策略，依据局部瞬时频率信息，将模糊分布的时频能量重新迁移并聚集至真实频率附近，从而显著增强信号能量在时频域的聚集性，以抑制频谱能量扩散导致尺度模糊而影响次同步振荡模式辨识的效果。进一步地，本文在传统SRT方法的基础上，引入平均模式能量计算模式能量权重，剔除噪声伪模态，在保证SRT方法进行精准时频分析的同时，增强其噪声鲁棒性。其基本原理及分析步骤如下所示。
对电力系统次同步振荡期间的单模态振荡信号x(t)进行STFT，有
（1）
式中，g(·)为窗函数；Sx(t, ω)为时域信号x(t)在t时刻、频率ω处的STFT时频系数矩阵。
在t时刻窗口内进行STFT分析，可将式（1）转换为
（2）
式中，Δu为窗口长度的一半，u∈[t-Δu, t+Δu]。
在采用STFT进行时频分析时，窗函数的选择对时频分辨率至关重要。结合本文研究目的，选取高斯窗函数作为窗函数[22]。
进一步根据卷积定理，式（2）可表示为
（3）
式中，“∗”表示卷积运算；
和
分别为x(t)和g(t)的傅里叶变换。
在某时间窗内，单模态时域信号x(t)可表示为x(t)≈Atcos(ωtt+φ0)，则其对应的傅里叶变换为
（4）
式中，At和ωt分别为信号在t时刻的幅值和频率；δ(⋅)为狄拉克函数；φ0为固定相位。
将式（4）代入式（3），得到
（5）
对于多模式耦合的电力系统次同步振荡信号，式（5）可进一步表示为
（6）
式中，n为模态数量；At,i和ωt,i分别为t时刻第i个模态的幅值和频率。
由式（6）可知，谱函数|Sx(t,ω)|可通过在频率方向和幅值方向上，分别用一组中心频率ωt,i与其对应幅值At,i/2对窗函数谱函数||进行移动和缩放获得。t时刻STFT频谱图|Sx(t,ω)|如图1所示。
图1 t时刻STFT频谱图|Sx(t,ω)|
Fig.1 The STFT spectrum |Sx(t,ω)| at time t
从图1可以看出，信号的时频域能量主要围绕各固有模式频率分量ωt,i分布，但其附近呈能量扩散特征，并在ωt,i处达到局部最大值
。然而，由于STFT本身存在频域模糊现象，该能量扩散使得信号的瞬时频率特性难以被精确刻画。理想情况下，STFT频谱中每个分量的瞬时频率均应等于其对应的中心频率ωt,i。因此，若能够从|Sx(t,ω)|中准确提取各时刻的局部最大值所对应的频率，则可有效估计出时域信号的瞬时频率轨迹。基于此，SRT方法的核心思想在于有效提取|Sx(t,ω)|的局部最大值，从而获得高精度的瞬时频率估计，实现对非平稳的次同步振荡信号时频特征的精准提取。
由1.1节分析可以看出，在振荡信号中噪声微弱的情况下，可以从计算获得的STFT频谱|Sx(t,ω)|中清晰地识别出其所包含的各振荡模态，表现为|Sx(t,ω)|频谱中清晰的峰值，如图1所示。然而，在实际应用中，量测信号常会受到噪声干扰，尤其是当量测信号受到较强的干扰噪声时，频谱中将出现明显的由噪声引起的伪模态。这些伪模态表现为零散、非连续、无物理意义的频率成分，如图2所示。需要指出的是，SRT方法依赖从STFT频谱图|Sx(t,ω)|中提取局部最大值来实现瞬时频率的精准估计。然而，噪声引发的伪模态同样会形成局部极值，从而被SRT方法误识别并提取，最终导致模态轨迹偏离真实频率轨迹，从而降低振荡参数的辨识精度。因此，为确保后续局部最大值识别的准确性，有必要在时频矩阵中剔除伪模态成分，避免噪声伪模态等对后续局部最大值识别结果的影响。
图2 强噪声下t时刻STFT频谱图|Sx(t,ω)|
Fig.2 The STFT spectrum |Sx(t,ω)| at time t under strong noise
鉴于STFT时频系数矩阵数值在一定程度上反映了信号在各频带的能量分布特性，本节引入平均模式能量与模式能量权重，旨在量化各频带内模式能量的贡献，从而有效地识别并剔除时频系数矩阵中伪模态对应的系数[23]。
根据式（2）对量测信号x(t)进行STFT，得到时频系数矩阵，表示为
（7）
式中，Sx(tl,ωv)为量测信号x(t)在tl时刻、频率ωv处的STFT系数；v为频带总数；l为时间点总数。
进一步地，时频系数矩阵Sx(t,ω)在频带k处的平均模式能量
可定义为
（8）
式中，Sx(ti,ωk)为Sx(t,ω)在ti时刻、频带k处的STFT系数。
Sx(t,ω)在频带k处的相对模式能量权重γ(k)为
（9）
通过计算各频带对应的平均模式能量及能量权重可知：有效的次/超同步振荡模态能量集中于少数频带内，其能量权重显著高于其他频带；而噪声伪模态由于其模式能量较低，则对应的能量权重较低。基于上述能量分布特性，本节通过设置能量权重阈值的方式有效剔除伪模态，即若频带k处的相对模式能量权重γ(k)小于阈值γ0，则将其判定为伪模态，从而将其频带处对应的STFT时频系数置零，进而分离并剔除信号中的伪模态。
值得注意的是，为有效剔除由环境噪声等引入的伪模态，进而准确提取表征系统次/超同步振荡的模态参数，相对模式能量权重阈值γ0的选择尤为关键。若γ0设置较大，可能会导致系统部分真实的次/超同步振荡模态被误判为伪模态而被剔除；反之，若γ0取值过小，则可能导致噪声引入的伪模态无法被有效剔除，从而降低振荡参数辨识的准确性。因此，综合考虑次/超同步振荡参数辨识精度与噪声抑制效果，本文将相对模式能量权重阈值γ0设置为0.02，该阈值在仿真信号分析与实测算例中均表现出良好的噪声伪模态剔除能力。阈值选取的合理性验证详见附录。此外，在实际应用中，考虑到系统次/超同步振荡模态通常不超过3～4个，根据量测数据的相对模式能量权重分布，选取相对模式能量权重的90%或95%分位数作为阈值，以适应不同的噪声水平和系统运行工况。
剔除伪模态后的时频系数矩阵
表示为
（10）
式中，
为剔除伪模态后的时频系数矩阵在tl时刻、频率ωp处的STFT系数；ωp和ωq分别为次/超同步振荡模式对应的频率。
剔除伪模态后的STFT频谱
对应图2中黑色实线部分，而黄色虚线部分为被剔除的伪模态。综上所述，本节提出的模式能量权重能够有效剔除噪声伪模态，从而为后续局部最大值的提取和瞬时频率轨迹估计提供更加可靠的时频系数矩阵。
由1.1节分析可知，通过准确提取t时刻谱函数|Sx(t,ω)|的局部最大值，可获得每个模态对应的幅值及其瞬时频率。为此，本节在1.2节剔除伪模态后的时频系数矩阵基础上，通过三步选择准则，精确提取中包含的局部最大值，从而实现瞬时频率的可靠估计。
与式（1）类似，剔除伪模态后的时频系数矩阵的表达式为
（11）
式中，
为矩阵进行STFT逆变换得到的时域信号。
对式（10）的谱函数计算其对频率ω的一阶偏导数，得到
（12）
式中，
和
分别为
的实部和虚部；
和
的表达式由式（11）计算关于频率ω的一阶偏导数
得到，即
式中，
和
分别为的实部和虚部。
将式（13）代入式（12），得到
（14）
为了获取频谱
中各中心频率对应的局部最大值点，在得到式（10）的谱函数和式（14）的离散形式后，根据SRT方法中的三步选择准则提取局部最大值。需同时满足以下三个条件：①离散时频点(τ, η)处的幅值为其邻域内的局部最大值，即满足式（15）；②该点在频率方向的一阶导数
应等于零，考虑到实际分析中的数值误差，仅需满足其近似为零的条件，即式（16）；③在满足式（16）基础上，该点频率方向上一阶导数需呈单调递减趋势（等价于二阶导数小于零），即满足式（17），保证谱函数在该方向上具有局部凸性。
（15）
（16）
（17）
式中，τ和η分别为离散时间和频率；ecal为误差量。
通过式（15）～式（17），即可准确获取所有时刻下各频率方向的频谱最大值，从而得到信号的瞬时频率轨迹，实现对非平稳信号时频特性的精确刻画。
因此，针对剔除伪模态后的矩阵
的谱函数通过保留满足式（15）～式（17）所确定的理想瞬时频率轨迹上的时频点，而将其余位置的系数置零，可进一步得到仅包含次同步模式的稀疏时频矩阵SRTx(t,ω)，如式（18）所示。如果原始量测信号x(t)中次/超同步振荡模式对应的频率分别为ωp和ωq，则仅包含次/超同步振荡模式的稀疏时频矩阵SRTx(t,ω)可表示为式（19）。
（18）
（19）
对比式（10）中与式（19）中SRTx(t,ω)可以看出，式（19）中经过三步选择重分配得到的时频系数为在式（10）剔除伪模态时频系数矩阵的基础上，进一步置零其余系数，即仅保留了次/超同步模式对应的关键系数，显著提升了时频能量聚集性与频率分辨率。因此，本文所提ISRT方法通过引入模式能量计算模式能量权重，有效地剔除了噪声伪模态，并进一步通过三步选择规则准确筛选次/超同步振荡模式对应的时频系数，提升算法的时频分辨率。
ISRT方法将时频能量重新分配至其真实的时频位置，从而获得更为清晰、集中的时频表示。基于1.3节获得的时频矩阵SRTx(t,ω)，本节进一步推导各次/超同步振荡模式对应的时域分量。
对于多模态耦合的振荡信号xm(t)，其可表示为
（20）
式中，
、
和
分别为第i个模态的瞬时幅值、瞬时频率和固定相位。
进一步，信号xm(t)的STFT表达形式[24]为
（21）
将1.3节中获得的各局部极大值对应的瞬时频率代入式（21）中，对应的稀疏时频系数矩阵
表示为
对比式（20）和式（22），得到
（23）
其中，第i个重构的模态分量xi(t)对应的时频系数矩阵
可表示为
（24）
式中，
为多模态耦合的振荡信号xm(t)在tl时刻、频率ωi处的SRT系数。由此可知，式（24）为将式（19）中SRTx(t, ω)时频矩阵对应于振荡模式ωi的时频系数全部保留，其余行时频系数全部置0而得到。
利用ISRT可以将多模态耦合的次/超同步振荡信号xm(t)分解为n个模态，对其中任意模态xi(t)进行Hilbert变换，得到[25]
（25）
式中，P为柯西主积分值。
进而得到xi(t)的解析信号
为
（26）
式中，
为瞬时相位。
对φi(t)求导得到瞬时频率fi(t)，则Ai(t)、φi(t)和fi(t)分别表示为
（27）
对于频率成分固定的振荡模态，其可以表示为
（28）
式中，Ai0、αi、fi、φi0分别为第i个振荡模态的初始幅值、衰减因子、振荡频率和初相位。
对比式（26）和式（28）得到
（29）
进一步利用最小二乘法对式（29）进行线性拟合，求得该振荡模态下的初始幅值Ai0、衰减因子αi以及振荡频率fi。
综上所述，本文首先利用ISRT从多模态耦合的次/超同步振荡信号中提取各振荡模态，进而利用Hilbert变换方法辨识各模态特征参数。基于ISRT的次/超同步振荡参数提取流程如图3所示。详细分析步骤如下：
1）量测信号预处理。针对PMU采集的系统关键节点的电压或电流瞬时量测数据（振荡录波数据），对其进行去趋势分量、去直流分量等预处理。
2）基于ISRT的时频分析。对步骤1）预处理后的振荡信号进行STFT分析，获取对应的STFT时频系数矩阵，如式（7）所示；并通过设置模式能量权重阈值剔除伪模式，得到时频系数矩阵式（10）；进而利用式（15）～式（17）的三步选择准则进行频率重分配，获取仅包含次/超同步模式的稀疏时频系数矩阵SRTx(t, ω)，如式（19）所示。
3）次/超同步振荡模态重构。基于获取的稀疏时频系数矩阵SRTx(t, ω)，按照式（23）对系统各振荡模态分量进行重构，得到对应的次/超同步振荡模式时域分量信号，实现各次/超同步单模态分量的分离与提取。
图3 基于ISRT的次/超同步振荡参数提取流程
Fig.3 Flow chart of sub/super-synchronous oscillation parameter extraction based on ISRT
4）基于Hilbert变换的振荡参数辨识。针对步骤3）中得到的单模态时域信号，利用式（29）进行Hilbert变换分析，提取系统各振荡模式的模态参数，包括振荡频率fi、衰减因子αi和幅值Ai0，实现次/超同步振荡模态参数的准确辨识。
为了验证本文所提方法在电力系统次/超同步振荡参数提取方面的准确性与有效性，分别采用自合成信号、暂态仿真信号及某电网次同步振荡实测数据进行验证。此外，引入相对误差（Relative Error, RE）来评估辨识结果的准确性，其定义为
（30）
式中，
为相对误差；
为辨识值；r为理论值。
含多个振荡分量的电力系统次/超同步振荡数学模型可表示为
（31）
根据式（31）构建自合成次/超同步振荡信号，具体参数见表1。自合成信号包括两对耦合的次/超同步模态，其中模态1与模态4耦合，模态2与模态3耦合。为了模拟实际振荡情况，在自合成信号中加入50 Hz工频分量，以及信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）为40 dB的高斯白噪声。自合成信号波形如图4所示。其中，采样频率为1 kHz，仿真时长为4 s。
表1 自合成信号参数
Tab.1 Self-synthesized signal parameters
模态幅值/kA衰减因子频率/Hz相位/rad 10.20.310π/2 20.30.230π/2 30.40.270π/3 40.30.390π/3
图4 自合成信号波形
Fig.4 Waveform of the self-synthesized signal
对图4所示信号进行ISRT，时频图如图5所示。由图5可知，ISRT通过对STFT瞬时频率轨迹上的时频系数进行重新分配，仅保留振荡信号STFT时频系数矩阵中次/超同步模式对应的系数，得到能量集中的瞬时频率，有效地改善了STFT能量发散的问题，使频率聚集在10、30、50、70、90 Hz，次/超振荡频率估计结果的准确性得到了极大提升。
图5 自合成信号ISRT时频图
Fig.5 ISRT time-frequency diagram of the self-synthesized signal
进一步，根据式（23）对各次/超同步振荡模态分量进行重构，图6选取各模态重构后时域信号的前0.5 s进行展示，并将重构分量与各原始模态分量进行对比。由图6可以看出，本文所提方法能够准确地分解得到4个主导模态，且各模态的重构信号与其对应原始信号的拟合精度较高。
图6 各模态重构信号与原信号对比
Fig.6 Comparison between the reconstructed signals and the original signals for each mode
为了量化各模态重构分量的准确度，引入相关系数概念，其定义[26]为
（32）
式中，yi(t)为各模态原始分量；cov[·]为协方差函数；σ[·]为标准差函数。
利用式（32）计算得到的各模态重构分量与其对应原始模态分量间的相关系数如图7所示。由图7可以看出，4个模态重构信号与原始信号的相关系数均在0.99以上，表明本文所提ISRT方法对次/超同步振荡信号具有较好的提取效果。
图7 各模态重构信号与原始信号之间的相关系数
Fig.7 Correlation coefficients between the reconstructed signals and the original signals of each mode
针对ISRT提取得到的4个次/超同步振荡模态分量，利用HT方法提取各模态振荡参数（振荡频率、衰减因子和幅值），结果见表2。从表2可以看出，本文方法辨识得到的4个模态的参数与理论值十分接近，幅值和衰减因子辨识的最大误差分别出现在模态3和模态2，相对误差分别为2.225%和2.35%；频率的辨识精度最高，最大误差出现在模态1，相对误差为0.033%，有效地验证了本文所提方法能准确地提取次/超同步振荡模态参数。
表2 自合成信号的参数辨识结果
Tab.2 Parameter identification results of the self-synthesized signal
模态参数理论值辨识值相对误差 1幅值/kA0.20.199 90.050 0% 衰减因子0.30.295 91.366 7% 频率/Hz109.996 70.033 0% 2幅值/kA0.30.298 40.533 3% 衰减因子0.20.195 32.350 0% 频率/Hz3029.998 50.005 0% 3幅值/kA0.40.391 12.225 0% 衰减因子0.20.203 11.550 0% 频率/Hz7069.999 70.000 3% 4幅值/kA0.30.294 91.633 3% 衰减因子0.30.300 70.233 3% 频率/Hz9090.002 00.002 3%
为了验证本文方法辨识结果在不同噪声情况下的鲁棒性，将图4所示信号的信噪比从初始40 dB依次降低至25、15、5 dB。利用本文方法对各模态分量进行参数提取，不同噪声水平下的辨识结果相对误差见表3。
表3 不同噪声水平下自合成信号参数辨识结果相对误差
Tab.3 Relative errors of parameter identification results under different noise levels
信噪比/ dB参数相对误差(%) 模态1模态2模态3模态4 25幅值0.250 00.633 32.425 02.000 0 衰减因子1.433 32.500 02.050 00.133 3 频率0.034 00.005 00.000 20.002 1 15幅值0.350 01.900 03.375 02.400 0 衰减因子2.200 03.250 02.400 01.400 0 频率0.061 00.007 30.000 10.001 7 5幅值0.550 02.366 73.975 02.666 7 衰减因子2.633 33.400 04.750 02.100 0 频率0.065 00.005 00.008 30.006 2
从表3可以看出，随着噪声水平不断增大，各模态分量参数辨识误差均逐渐增大。其中，在三种参数辨识结果中，幅值和衰减因子辨识结果受噪声影响更显著，噪声水平为5 dB时辨识误差最大，分别为3.975%和4.75%，但仍能满足实际工程要求。相比之下，频率辨识结果几乎不受噪声影响，即使在5 dB的噪声水平下，最大误差仅为0.065%。这主要得益于ISRT方法引入能量权重阈值有效地剔除了噪声伪模态，且在提取时频系数并进行重新分配的过程中，将时频能量充分聚集到真实频率轨迹附近，有效地削弱了噪声的时频扩散性，从而提高了噪声鲁棒性。
为了进一步验证本文所提方法在次/超同步振荡参数辨识方面的优越性，选择SET、FSST、MSST（根据文献[17]，本文中MSST的迭代次数设置为3）和STFT方法与本文所提ISRT方法进行对比。同时，为了对比分析不同方法的时频处理能力，引入Rényi熵[27]来刻画分解的模态分量时频能量聚集程度。Rényi熵值越小，表示能量聚集程度越高，即各分解所得模态分量时频结果越接近真实的瞬时频率。其中，参考文献[16]，将Rényi熵的阶数设置为3。
本节以1 dB为步长，对信号注入0～40 dB的高斯白噪声进行鲁棒性分析，不同噪声条件下5种方法的Rényi熵如图8所示。分析图8可以发现，随着信噪比逐渐减小，不同方法计算的Rényi熵值均逐渐增大，表明提高噪声强度均会减弱模态分解结果的能量集中度，从而降低时频曲线的精度。此外，与其他4种方法相比，不同信噪比下STFT方法计算的Rényi熵值最大，表明其分解的时频分量能量聚集程度最差。相较于STFT时频分析结果，FSST方法和SET方法能得到更准确的时频提取结果。FSST方法利用同步压缩算子估计瞬时频率，并通过将时频系数压缩至真实的瞬时频率处提高能量集中度。然而，在高噪声环境下噪声成分也可能会被错误地压缩，导致噪声残留，抗噪性较差。而SET方法通过同步提取算子估计瞬时频率，仅保留STFT结果中与信号时变特征高度相关的时频系数，能够剔除大部分噪声主导的模糊能量，提高能量集中度，一定程度地提升了抗噪性能。MSST方法的Rényi熵值整体小于FSST和SET方法，原因是MSST对FSST的结果进行多次迭代，在一定程度上提高了方法的准确性和抗噪性，但多次迭代势必会增加算法的计算复杂度。本文所提ISRT方法在不同噪声环境下的Rényi熵值始终最小，表明其模态分解结果能量聚集程度高，尤其是在高噪声环境下，本文方法的Rényi熵远小于其他方法，说明其具有更显著的噪声抑制能力。因此，上述结果有效地验证了本文方法在噪声环境下提取次/超同步振荡参数具有显著优势。
图8 不同噪声条件下5种方法的Rényi熵
Fig.8 Rényi entropy under different noise levels by five methods
为了测试各模态频率接近时本文方法的辨识效果，将表1中模态2的频率修改为14 Hz（与模态1相差4 Hz），模态3的频率修改为86 Hz（与模态4相差4 Hz），其余参数保持不变，形成含频率接近的次/超同步振荡信号。同样，对该振荡信号注入40 dB高斯白噪声。进而对振荡信号分别进行STFT、SET、FSST和ISRT分析，结果如图9所示。由图9a可以看出，当系统存在频率接近的模态时，STFT方法能量发散严重，各振荡模式能量间相互混叠，无法准确提取信号的频率特征，难以准确地获取各模式独立分量。图9b中，SET方法利用同步提取算子改善了STFT方法的能量发散问题，但是在处理频率接近的信号时，由于同步提取算子估计精度不足，存在模态间的相互干扰，也会出现模态混叠现象。图9c所示的FSST方法将时频系数压缩至瞬时频率附近，在一定程度上改善了模态混叠问题，但由于时频分辨率不足，时频曲线呈现不平滑特征，降低了参数辨识结果的精度。图9d中，由于本文所提ISRT方法根据三步选择准则筛选出最佳瞬时频率轨迹并构建对应的时频系数矩阵，从而有效地保证了在模态频率接近时依然能准确地估计各模态瞬时频率，频率分别集中在10、14、50、86、90 Hz。
图9 频率接近信号的时频分析结果对比
Fig.9 Comparison of time-frequency results for the signal with close spaced frequencies
根据ISRT方法筛选得到的对应于次/超同步振荡模式时频轨迹，重构4个振荡模式的时域分量，并利用HT方法提取频率、衰减因子和幅值参数，结果见表4。对比表2和表4辨识结果可知，由于存在频率接近的模态，导致4个模态的辨识误差均呈现不同程度的增大。其中，模态3的幅值误差最大，为3.175%；衰减因子最大误差出现在模态2，为2.3%；而频率辨识准确性相对较高，最大辨识误差为0.078%，上述结果满足实际工程对辨识结果的要求。因此，本文方法在模态频率相近时依然能保持较高的辨识准确性，有效地验证了本文方法在频率接近场景下的有效性。
进一步对比本文方法与FSST、SET和MSST方法的计算效率，各方法的计算复杂度[19]如下：FSST和SET方法为O(NtLlog(L)+NtNf)，MSST方法为O(NtLlog(L)+NrNtNf)，ISRT方法为O(NtLlog(L)+ Nt(Nf−2))，其中Nt和Nf分别为时间和频率上离散点的数量；Nr为MSST方法的迭代次数；L为窗口长度。4种方法的计算时间见表5。表5中，计算时间以20次的平均值作为最终结果。仿真在Matlab R2024a版本进行，计算平台配置为：CPU Intel Core i5-12450H，主频2 GHz，内存16 GB。由表5可知，FSST和SET方法计算耗时相当；MSST方法由于进行多次迭代计算时间最长；而本文提出的ISRT方法降低了矩阵阶数，在4种方法中计算时间最短。结果表明，本文所提方法计算效率高，更适合在线监测应用。
表4 频率接近情况下参数辨识结果
Tab.4 Parameter identification results for the signal with closely spaced frequencies
模态参数理论值辨识值误差 1幅值/kA0.20.198 10.950 0% 衰减因子0.30.294 21.933 3% 频率/Hz109.992 20.078 0% 2幅值/kA0.30.294 02.000 0% 衰减因子0.20.195 42.300 0% 频率/Hz1414.002 60.018 6% 3幅值/kA0.40.387 33.175 0% 衰减因子0.20.201 70.850 0% 频率/Hz8685.995 10.005 7% 4幅值/kA0.30.292 42.533 3% 衰减因子0.30.299 10.300 0% 频率/Hz9090.006 30.007 0%
表5 不同方法计算时间对比
Tab.5 Comparison of computation times for different methods
方法计算时间/s ISRT0.874 6 FSST0.944 9 SET0.942 4 MSST1.997 7
为分析本文方法在次/超同步频率范围内的性能，设置次同步频率在5～45 Hz范围内以1 Hz间隔变化（超同步频率按照与次同步频率耦合的方式对应变化），信号具体参数见表6，由此根据式（31）生成次/超同步振荡信号。同样，在信号中加入50 Hz工频分量以及信噪比为40 dB的高斯白噪声，对振荡信号进行ISRT、FSST、SET、MSST和STFT分析，并计算不同方法辨识结果对应的Rényi熵值，结果如图10所示。
表6 频率变化时自合成信号参数
Tab.6 Parameters of the self-synthesized signal under varying frequencies
模态幅值/kA衰减因子频率/Hz相位/rad 10.20.3[5, 45]π/2 20.30.3[55, 95]π/3
图10 频率变化时不同方法的Rényi熵
Fig.10 Rényi entropy of different methods under varying frequencies
从图10可以看出，在次/超同步频率范围内，ISRT方法的Rényi熵值始终小于其他方法，表明在次同步振荡频率变化情况下本文方法可更准确地提取各模态分量。此外，当次同步频率接近工频时，FSST、SET、MSST和STFT方法的Rényi熵值均有不同程度的增大，原因是当次同步振荡频率接近基
频时，由于频谱混叠会导致能量发散。对于本文方法，在次/超同步频率范围内，Rényi熵值几乎不发生变化。这是由于本文方法通过设置模式能量权重阈值剔除了噪声伪模态，并且采用频率重分配策略，有效地保证了时频能量聚集在真实频率附近，提升了模态参数提取结果的可靠性。上述结果表明，本文方法能够在次/超同步振荡频率在较大范围内变化时准确地提取振荡参数。
利用仿真信号对本文方法的有效性进行进一步验证。为此，在Matlab/Simulink平台上搭建如图11所示的双馈-串补风电场系统模型。等效风电场由66台双馈感应发电机（Doubly Fed Induction Generators, DFIGs）组成，每台额定功率为1.5 MW。双馈风电场经连接线并入电压等级为110 kV的串补电网。仿真模型关键参数见表7。
图11 电磁暂态仿真模型
Fig.11 Model in electromagnetic transient simulation
表7 仿真模型参数
Tab.7 Simulation model parameters
组件参数数值 串补线路系统电压/kV110 线路电阻/Ω5.12 线路电感/H1.32 串联电容/μF76.55 变压器出口变压器电压比/(V/kV)690/35 升压变压器电压比/(kV/kV)35/110 DFIG额定容量/MW1.5 频率/Hz50 摩擦系数(pu)0.01 极对数3 定/转子电阻(pu)0.023, 0.016 定/转子漏感(pu)0.18, 0.16 变流器直流母线额定电压/V1 200 直流母线电容/mF2 控制系统转子侧变流器（RSC）比例增益0.1 转子侧变流器（RSC）积分增益8.11 网侧变流器（GSC）比例增益9.01 网侧变流器（GSC）积分增益603.36 直流母线比例增益2.23 直流母线积分增益280.29
设置初始风速为11 m/s，串补度为10%。将扰动设置为：t=2 s时，串补度从10%增大至40%，激发次/超同步振荡。图12a展示了双馈风机A相电流波形，仿真时长为8 s，采样频率为1 kHz，其中2～4 s之间的数据用于分析，其窗口傅里叶变换（Window Fourier Transform, WFT）频谱如图12b所示。从图12a中时域波形可以看出，系统在2 s出现了扰动，且图12b频谱分析结果表明，除了工频分量（50 Hz）外，系统还包含一对次/超同步振荡模态，频率分别为20.5 Hz和79.5 Hz。
图12 仿真信号波形及其WFT频谱
Fig.12 Waveform and its WFT spectrum of the simulated signal
对选取的2～4 s的振荡数据进行ISRT，对应的时频图如图13所示。由图13可知，瞬时频率主要聚集在20.5、50、79.5 Hz，这与图12b中的WFT频谱结果一致。进一步地，确定20.5 Hz和79.5 Hz振荡模态的瞬时频率轨迹，并重构得到振荡模式对应的时域分量，进而利用HT方法提取两个模态的振荡参数，结果见表8。其中，参考值通过VMD方法结合Hilbert变换（VMD-HT）[11]计算得到。从表8可以看出，本文方法的辨识结果与VMD-HT方法结果十分接近，本文方法的有效性由此得到进一步验证。并且，VMD算法需要提前设置模态数K和惩罚因子α来获得较好的分解效果，而本文方法无需获取振荡信号的先验信息，自适应程度较高。
图13 仿真信号ISRT时频图
Fig.13 ISRT time-frequency diagram of the simulated signal
表8 仿真信号的参数辨识结果
Tab.8 Parameter identification results of the simulated signal
方法模态幅值(pu)衰减因子频率/Hz VMD-HT10.342 2-0.403 720.485 5 20.217 5-0.370 779.517 7 本文10.347 0-0.407 220.486 1 20.208 9-0.371 979.510 1
将WFT频谱的幅值和频率结果作为理论值，计算本文方法辨识结果相对于WFT频谱结果的误差，结果见表9。分析表9可知，本文方法幅值和频率辨识的最大误差分别为1.089%和0.012 7%，与WFT频谱结果十分接近，进一步验证了本文方法提取次/超同步振荡参数的准确性与有效性。
表9 仿真信号参数辨识误差
Tab.9 Parameter identification errors of the simulated signal
模态参数理论值辨识值相对误差 1幅值(pu)0.349 70.347 00.772 1% 频率/Hz20.520.486 10.067 8% 2幅值(pu)0.211 20.208 91.089 0% 频率/Hz79.579.510 10.012 7%
进一步对本文方法的噪声鲁棒性进行分析，同时与SET-HT、FSST-HT和MSST-HT方法的辨识结果进行对比分析。不同噪声水平下的参数辨识结果见表10。分析表10可知，与其他3种方法相比，本文方法在不同信噪比下均具有更好的辨识精度。同时为了直观地分析本文所提方法的噪声鲁棒性，对20 dB下各方法的幅值和频率辨识结果相对于WFT频谱结果的误差进行分析，结果如图14所示。可以看出，相比于频率辨识结果，幅值结果受噪声影响更大，且与其他3种方法相比，本文方法辨识的幅值和频率误差均最小，进一步验证了本文方法在噪声环境下提取振荡参数的有效性和鲁棒性。
表10 不同噪声水平下的参数辨识结果
Tab.10 Parameter identification results under different noise levels
方法参数模态1模态2 30 dB20 dB30 dB20 dB 本文方法幅值(pu)0.346 90.345 10.207 70.204 5 衰减因子-0.410 7-0.411 8-0.369 4-0.364 3 频率/Hz20.486 120.486 079.510 779.511 7 SET-HT幅值(pu)0.345 40.341 20.205 20.201 0 衰减因子-0.409 3-0.417 3-0.378 0-0.382 6 频率/Hz20.483 620.483 079.513 179.519 3 FSST-HT幅值(pu)0.356 70.339 20.204 70.200 5 衰减因子-0.404 0-0.400 3-0.369 0-0.364 2 频率/Hz20.484 420.481 379.610 579.522 5 MSST-HT幅值(pu)0.346 20.343 40.206 40.202 5 衰减因子-0.404 8-0.410 7-0.372 1-0.384 4 频率/Hz20.484 320.483 679.512 579.519 1
为进一步验证本文方法在实际电网应用中的可行性，本节利用华北电网某起次同步振荡事件的PMU实测数据进行验证[28]。该振荡事件由永磁直驱风机与弱电网相互作用引发，电网拓扑结构参考文献[28]。实测数据记录了次同步振荡事件发生后的A相电流数据，采样频率为1 kHz，波形如图15a所示；选取4～6 s的数据进行分析，对应的WFT频谱如图15b所示。从图15b频谱分析结果可以看出，实测信号包含一个频率为8.3 Hz的次同步分量以及工频分量。
图14 不同方法辨识误差对比
Fig.14 Comparison of identification errors using different methods
图15 实测信号波形及其WFT频谱
Fig.15 Waveform and its WFT spectrum of the measured signal
进一步对实测信号进行ISRT，得到的时频图如图16所示。从图16可以看出，ISRT可准确地提取信号中包含的两个模态的瞬时频率，且振荡频率聚集在8.3 Hz和50 Hz附近，结果与WFT频谱一致，有效地验证了所提方法在实测信号分析中的有效性。
图16 实测信号ISRT时频图
Fig.16 ISRT time-frequency diagram of the measured signal
进而根据三步选择准则提取各振荡模式的最优瞬时频率轨迹，并据此进行次同步振荡分量的重构，最终利用HT方法辨识各振荡模式的频率、衰减因子及初始幅值参数。同样地，将本文方法辨识结果与SET-HT、FSST-HT和MSST-HT方法辨识的结果进行对比。此外，将文献[29]中EWT-Yoshida方法的辨识结果作为参考值，各方法参数辨识结果及其与参考值间的相对误差见表11。
表11 实测信号参数辨识结果
Tab.11 Parameter identification results of the measured signal
方法幅值衰减因子频率 辨识值 (pu)相对误差(%)辨识值相对误差(%)辨识值/ Hz相对误差(%) 文献[29]——0.228 7—8.276 5— 本文0.045 3—0.226 50.962 08.277 40.010 9 SET-HT0.044 6—0.223 52.273 78.272 10.053 2 FSST-HT0.044 5—0.220 93.410 68.270 90.067 7 MSST-HT0.044 7—0.225 61.355 58.274 90.019 3
由表11可以看出，各方法辨识出的次同步振荡模式的衰减因子和频率结果与文献[29]基本一致，误差能够分别保持在3.410 6%及0.067 7%以下，但本文辨识结果的误差更小，表明本文方法具有更高的辨识精度。进一步地，以图15中WFT频谱的幅值结果作为理论值，计算各方法幅值辨识结果相对于理论值的相对误差。为对误差结果进行直观分析，将幅值相对误差与表11中频率和衰减因子相对误差均列于图17中。从图17中误差分析结果可知：与其他3种方法相比，本文方法辨识的幅值、频率以及衰减因子参数更准确，因此，本文方法对实测信号有较高的辨识精度，具有工程实用性。
图17 实测信号不同方法辨识误差对比
Fig.17 Comparison of identification errors of the measured signal by different methods
本文针对风电场大规模接入下次/超同步振荡参数辨识中的噪声鲁棒性差、模态混叠等问题，提出了一种改进同步重分配变换与Hilbert变换相结合的次/超同步振荡参数辨识方法，并通过自合成信号、电磁暂态仿真信号与电网次同步振荡实测信号进行验证，相关结论如下：
1）所提方法将一维时域信号扩展至二维时频域进行分析，通过模式能量权重阈值有效剔除噪声伪模态，并利用三步选择准则筛选和保留振荡模式对应的时频系数，有效地改善了传统时频分析方法分解时存在的尺度模糊现象，提高了量测信息的时频分解精度，提升了次/超同步振荡参数的辨识精度。
2）本文方法相较于其他方法（STFT、FSST、SET、MSST等）增强了时频分布聚集程度，具有更好的时频分辨能力，有效地改善了模态混叠现象及冗余信息干扰问题，且具有较强的噪声抑制能力，提升了强噪声环境下次/超同步振荡参数的辨识精度。
3）通过自合成信号、电磁暂态仿真信号及电网次同步振荡实测数据对所提方法进行测试，结果表明本文方法可以实现次/超同步振荡参数的准确辨识，为电力系统振荡溯源、振荡抑制策略制定等工作提供有益参考。
附 录
针对第3节中的自合成信号、电磁暂态仿真信号以及电网实测信号，对相对模式能量权重阈值γ0的选择进行分析讨论，γ0取值分别选择为0.01、0.02和0.03。
1. 自合成信号
自合成信号中包含两对次/超同步振荡模态（频率分别为10、30、70、90 Hz）以及工频模态。为模拟较为恶劣的噪声环境，在信号中附加了信噪比为5 dB的高斯白噪声。在该强噪声下，一是可能产生更多噪声伪模态，二是这些伪模态将占据较大的模式能量权重。基于此考虑，附录中仅展示5 dB噪声情况下阈值γ0的确定过程，若该阈值在5 dB强噪声环境下适用，则在低噪声环境下将具有更好的适用性。对自合成信号进行STFT变换，进而利用本文所提的平均模式能量计算各频带的相对模式能量权重，结果如附图1所示。
附图1 自合成信号各频率下相对模式能量权重
App.Fig.1 Relative modal energy weights at different frequencies of the self-synthesized signal
由附图1可以看出，自合成信号中除了次/超同步振荡模态和工频模态外，还包含若干噪声引起的伪模态，需合理设置相对模式能量权重阈值γ0，在剔除噪声伪模态的同时有效地保留系统真实的次/超同步振荡模态。将γ0分别设置为0.01、0.02和0.03，进行仿真验证分析。
1）当γ0=0.01时，伪模态3、4因能量权重高于阈值而未被剔除。
2）当γ0=0.02时，次/超同步振荡模态和工频模态均被准确识别，同时噪声伪模态均被有效剔除。
3）当γ0=0.03时，虽然噪声伪模态被完全剔除，但10 Hz次同步振荡模态被错误剔除。
因此，对于自合成信号，当能量权重阈值γ0设置为0.02时，次/超同步振荡模态能够被准确识别，且噪声分量引起的伪模态能够被有效剔除。
2. 电磁暂态仿真信号
由3.2节可知，激发的次/超同步振荡仿真信号中包含20.5 Hz、79.5 Hz的次/超同步振荡模态，以及50 Hz工频模态。同样加入5 dB的高斯白噪声，对仿真信号进行STFT变换得到时频系数矩阵，并计算各频带的相对模式能量权重，结果如附图2所示，不同阈值下的分析情况如下。
附图2 仿真信号各频率下相对模式能量权重
App.Fig.2 Relative modal energy weights at different frequencies of the simulated signal
1）当γ0=0.01时，伪模态1、3未被有效剔除。
2）当γ0=0.02时，次/超同步振荡模态和工频模态均被有效识别，且伪模态分量均被剔除。
3）当γ0=0.03时，虽然伪模态被完全剔除，但79.5 Hz超同步振荡模态被错误剔除。
因此，对于暂态仿真信号，当相对模式能量权重阈值γ0设置为0.02时，次/超同步振荡模态能够被准确识别，且噪声分量引起的伪模态能够被有效剔除。
3. 电网实测信号
根据电网实测信号分析，其包含一个频率为8.3 Hz的次同步振荡模态以及50 Hz工频模态。需要说明的是，由于受到量测装置精度限制以及系统中随机扰动等，获取的电网实测数据通常包含一定的噪声成分，因此本文在分析时未额外添加噪声。实测信号在不同相对模式能量权重下分析结果如附图3所示。分析结果表明，当γ0= 0.01、0.02和0.03时，系统所有的次/超同步振荡模态都能够被准确识别，且噪声分量引起的伪模态均被有效剔除。
附图3 实测信号各频率下相对模式能量权重
App.Fig.3 Relative modal energy weights at different frequencies of the measured signal
综上所述，通过对本文所采用的三个仿真算例进行分析，相对模式能量权重阈值最终确定为γ0=0.02，该阈值能够在三种场景下有效地剔除噪声伪模态，同时确保次/超同步振荡模式的准确识别，从而保证本文所提方法能够在准确地识别次/超同步振荡模式的同时具有较好的抗噪性能。
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Abstract With the large-scale integration of wind farms into power grids, the issues of sub-synchronous and super-synchronous oscillations have become increasingly prominent. Accurate identification of oscillation parameters is of great significance for ensuring the safe and stable operation of power system equipment. However, existing identification methods generally suffer from poor noise robustness and modal aliasing problems. To address these issues, this paper proposes an improved synchro-reassigning transform (ISRT)-based decomposition method, combined with the Hilbert transform (HT), for the identification of sub-synchronous and super-synchronous oscillation modal parameters.
Firstly, the wide-area measurement data are processed by short-time Fourier transform (STFT) to obtain the time-frequency coefficient matrix of the signal. Subsequently, noise-induced spurious modes are removed by applying mode energy weight. Then, a three-step selection rule is applied to extract the instantaneous frequency trajectories of the oscillation modes from the time-frequency matrix, enabling accurate separation and time-domain reconstruction of each mode. Subsequently, the Hilbert transform is employed to accurately extract the characteristic parameters of each oscillation mode, including oscillation frequency, damping factor, and amplitude. Finally, the effectiveness of the proposed method is validated through tests on synthetic signals, electromagnetic transient simulation signals, and field-measured power grid data. The simulation results demonstrate that the proposed method achieves higher identification accuracy and better noise robustness compared with STFT, SET, FSST and MSST algorithms.
The main conclusion of this paper can be summarized as follows:
(1) The proposed method extends one-dimensional time-domain signals to the two-dimensional time-frequency domain for analysis. By introducing a mode energy weight threshold, it effectively eliminates noisy pseudo-modes. Furthermore, a three-step selection criterion is applied to retain time-frequency coefficients corresponding to true oscillation modes. This approach significantly mitigates the scale ambiguity issue inherent in traditional time-frequency analysis methods, thereby improving the accuracy of time-frequency decomposition for measured signals and enhancing the precision of sub/super-synchronous oscillation parameter identification.
(2) Compared with existing methods, such as STFT, FSST, SET, MSST, the proposed approach achieves higher concentration in the time-frequency representation, offers superior time-frequency resolution, effectively alleviates mode mixing and redundant information interference, and exhibits strong robustness against noise. These advantages contribute to improved accuracy in identifying sub/super-synchronous oscillation parameters under high-noise conditions.
(3) The proposed method was validated using self-synthesized signals, electromagnetic transient simulation signals, and real-world power grid sub-synchronous oscillation data. The results demonstrate that the proposed method can accurately identify sub/super-synchronous oscillation parameters.
keywords：Wind farm, sub/super-synchronous oscillations, modal parameter identification, improved synchro-reassigning transform, Hilbert transform
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.251244
中图分类号：TM712
国家自然科学基金资助项目（52507083）。
收稿日期 2025-07-14
改稿日期 2025-08-18
王丽馨 女，1991年生，博士，副教授，研究方向为新能源电力系统稳定分析与控制。E-mail：wanglxnedu@163.com（通信作者）
张子晗 男，2000年生，硕士研究生，研究方向为新能源电力系统稳定分析与控制。E-mail：zzhzh0905@163.com
（编辑 李 冰）