）、频率最大变化率（RoCoFmax）及准稳态偏差（
）[11]。高比例新能源系统的惯量相对于传统电力系统更低，上述频率支撑强度量化指标更容易超出合理范围，从而触发低频减载等电力系统紧急稳控措施，造成大面积停电事故[12]。因此，对频率动态量化指标进行精确评估，可为电力系统频率抗扰动强度的量化表征提供关键的理论支撑。摘要 随着电力系统新能源设备的不断增加，调频资源的空间分布差异特性变得越发明显，系统中不同区域的电气耦合强度逐渐减弱，导致电网不同区域之间的频率差异日趋显著。基于传统全局频率响应模型的系统频率支撑强度量化指标及评估方法误差显著增大。为此，该文提出一种考虑空间分布差异特性的多区域频率支撑强度量化评估方法。首先，基于频率响应统一表征方法，利用频率特征模态分解技术推导出多种频率支撑设备协同参与的区域频率响应解析模型；其次，基于区域频率响应解析模型推导出区域频率支撑强度量化指标频率最低点偏差（Δfnadir）和频率最大变化率（RoCoFmax）的解析模型；最后，在三区域新能源电力系统中对所提多区域频率支撑强度量化评估方法进行数值仿真分析，证实所提方法与传统系统频率支撑强度量化评估方法相比具有更高的分析精度，且在广泛运行工况下具备一定保守性，因而更具工程实用价值。
关键词：区域频率 频率支撑强度 量化分析 频率变化率 频率最低点
近年来，在“双碳”目标的驱使下，电力系统中光伏、风电等新能源的占比不断上升[1-2]，导致系统调频资源越发稀缺，电网电气耦合强度逐渐减弱，频率分布特性显著改变，频率稳定成为制约高比例新能源电力系统稳定运行的关键因素之一[3]。现有研究表明，由于部分同步发电机（Synchronous Generator, SG）将逐步被新能源发电设备取代[4]，采用换流器并网的新能源发电设备的频率支撑特性显著劣于传统同步发电机[5]，系统普遍存在频率支撑能力缺失问题。因此，伴随着新能源的不断增多，系统的频率支撑强度逐渐降低[6-7]，面对负荷突变或发电机故障，频率更易失稳，出现大幅波动甚至频率崩溃[8]，严重威胁电力系统的安全可靠运行[9-10]。研究高比例新能源接入场景下的电力系统频率支撑强度量化评估方法，从而指导频率强度支撑资源的合理配置，是确保电力系统频率安全稳定的关键。
频率支撑强度的量化评估一直是电力系统相关研究的关注焦点。常见的频率支撑强度量化指标主要有频率最低点偏差（）、频率最大变化率（RoCoFmax）及准稳态偏差（）[11]。高比例新能源系统的惯量相对于传统电力系统更低，上述频率支撑强度量化指标更容易超出合理范围，从而触发低频减载等电力系统紧急稳控措施，造成大面积停电事故[12]。因此，对频率动态量化指标进行精确评估，可为电力系统频率抗扰动强度的量化表征提供关键的理论支撑。
为获取更高精度的频率稳定性量化指标，需建立更精确的频率动态响应模型。为简化分析过程，现有研究通常采用全局频率响应模型，忽略各母线节点间的频率动态差异[13]。在全局频率表征方法中，平均系统频率（Average System Frequency, ASF）模型作为最具代表性的建模方法[14]，得到了学术界和工业界的广泛应用，但是该模型的理论基础并不严谨。在此基础上，文献[15]提出一种全局频率响应模型——系统频率响应（System Frequency Response, SFR）模型。ASF和SFR两种模型的特点是选择惯性中心（Center of Inertia, COI）（COI频率是母线频率的惯性加权平均）作为电力系统频率动态的代表，将电力系统简化为一个聚合机组。此类建模方法能够在一定程度上反映实际系统的频率动态特性，但是COI频率的获取需要所有母线的频率，存在过度依赖仿真计算及分析过程繁琐的弊端。文献[16]采用频域分析方法提取各母线频率的共模部分，以表征系统的全局统一频率特性。基于此，文献[17-18]提出了一种从频率支撑设备出发的系统全局频率响应模型——共模频率（Common Mode Frequency, CMF）。从设备侧和网络侧出发，CMF模型利用频率模态分解的方法提取母线频率中相同的部分作为全局频率，在理论严谨性和模型精度方面具有显著优势，同时也证明了COI频率是CMF的一种特殊情况。这种从母线频率中分解出全局频率的频率模态分解方法为深入解析电力系统频率响应的动态机理提供了有效的理论工具和分析框架。
然而，这些全局频率模型聚焦于全局统一频率表征，普遍忽略了电力系统不同区域之间的频率动态特性差异，缺乏对区域频率差异的系统性研究。在实际电力系统中，尤其是对高比例新能源接入、相互间电气连接偏弱的多区域互联电力系统而言，当不同区域内的频率支撑资源分布不均时，会导致不同区域对扰动的频率响应特性各异[19]。在此场景下，若在系统频率强度支撑资源配置的过程中忽略频率空间分布差异特性，将会显著增加部分区域的频率安全风险，甚至引发停电事故[20-22]。因此，研究考虑空间分布差异特性的多区域频率支撑强度量化评估方法是目前学术界关注的焦点。
在区域级频率动态分析中，考虑到区域内各节点电气距离较近且惯量差异小，其频率响应差异可被忽略[23]。当区域发生较大扰动时，区域之间可以进行功率交互，但是由于各区域电气参数与惯量分布的空间差异，频率动态响应仍呈现明显的区域差异性[24]。在高比例新能源电力系统中，低惯量区域承受扰动的能力更弱[25]，因此区域惯量的评估成为区域频率支撑强度量化的一个重要因素。文献[23]提出了一种考虑区域间等效频率动态的区域级惯量在线估计方法，通过对区域惯量的估计量化区域频率的稳定性，但这种只针对区域惯量的量化评估存在一定局限性，因为系统的频率响应特性是由包括系统惯量、阻尼等多因素共同决定的。文献[26]针对两区域系统这一特例的频率动态，将区域频率分解成一个SFR和一个频率振荡分量，即表征系统频率动态的全局频率分量，以及反映区域频率动态差异特性的振荡分量。文献[16]研究全局频率之外频率振荡部分的偏差范数大小，这为后续的研究提供了一定的指导。文献[27]通过计及频率响应的空间分布特性，推导出电力系统受扰动初始时刻频率变化率（Rate of Change of Frequency, RoCoF）的解析表达式，但尚未建立扰动后
极值的解析式。文献[28]证明了任意给定区域内的故障后频率动态响应特性等于系统COI频率加上一定的区间振荡。文献[29]基于前述频率动态空间分布理论，采用多元线性回归的方法构建了多区域频率支撑强度量化指标和
的线性化解析模型，然而这种线性回归的方法过于依赖仿真，缺乏理论基础，同时该量化模型仅在临界频率稳定边界区域表现出较高的预测精度，但在非临界区域其预测性能显著下降。因此，如何计及多类型频率影响因素构建多区域频率支撑强度量化模型的问题尚未得到妥善解决。
综上所述，目前鲜有学者研究SG、换流器等计及多种频率支撑设备协同参与的区域频率响应模型，同时缺乏精确的区域频率时域解析表达式，以及区域频率支撑强度量化指标和的解析模型。为此，本文提出了一种高比例可再生能源条件下计及多类型频率支撑设备协同参与的多区域频率支撑强度量化模型，主要贡献如下：
1）计及频率的空间分布差异特征，基于频率特征模态分解的方法构建计及多类型频率支撑设备参与的多区域频率响应解析模型，该模型能够有效适应不同区域频率动态特征异构的真实场景。
2）基于所建立的区域频率响应解析模型，推导出区域频率支撑量化评估指标和的解析模型。
3）利用多场景三区域仿真算例验证多区域频率支撑强度量化模型在精度方面的有效性及其在广泛运行工况下的保守性特征。
本节首先构建多类型频率支撑设备协同参与的多区域频率响应解析模型，为多区域频率支撑强度的量化分析提供理论基础。
为简化分析，针对电力系统频率动态模型提出以下基本假设[30]。
假设1：不考虑发电机组电压的变化，重点研究频率与有功功率之间的关系。
假设2：忽略系统的非线性，如调速器死区、低频减载、潮流方程的非线性等。
基于上述假设条件，电力系统的频率动态响应模型可分为设备侧模型和网络侧模型。电力设备侧的传递函数模型为
（1）
式中，
为区域频率的偏差向量，其第
个元素对应第个区域的频率响应特性，n为区域总数，
；
为各个区域发电设备的功率输出变化，
；
为电力系统中不同类型设备的传递函数矩阵，其对角元素
(s)表征第个区域发电设备的频率动态传递函数，
。
为降低计算复杂度并保持主要动态特性，本文采用统一传递函数结构（Unified Transfer Function Structure, UTFS）对设备传递函数进行近似表征，其统一形式[17, 31-32]为
（2）
式中，
、
、
分别为区域i的惯量、阻尼和调频系数，
，
为区域集合。
UTFS具备可加优势，可将区域内所有设备的个体传递函数进行聚合，最终形成能够表征该区域整体动态特性的区域UTFS。区域UTFS的参数可通过区域内各设备传递函数的对应参数叠加计算，即
（3）
式中，
为区域i中的频率支撑设备集合，
；
、
、
分别为区域i中设备j的频率支撑参数。本文所研究的新能源电力系统中，参与频率支撑的设备涵盖同步机和换流器[33-34]等多类调频资源。基于UTFS模型，各区域的传递函数保持较低阶次，为后续区域频率解析模型分析提供了便利。
电力系统网络侧频率和有功功率之间的关系为
（4）
式中，
为网络侧受频率变化影响导致的节点注入电磁功率变化，
；
为约化拉普拉斯矩阵，由线路参数决定（具体可参考文献[35]），当电网不计及线路损耗时，是对称矩阵[36]；
为系统标称频率。
联立式（1）和式（4），推导得到多区域电力系统的闭环频率动态响应方程。电力系统闭环频率响应示意图如图1所示。基于此构建出功率扰动下电力系统频率响应的传递函数动态模型为
（5）
式中，
为功率扰动量，
。
图1 电力系统闭环频率响应示意图
Fig.1 Closed-loop frequency response diagram of a typical power system
为简化模型，便于后续理论推导，引入一个新的辅助矩阵H(s)，即
（6）
式中，I为适当维度的单位矩阵。将式（6）代入式（5）中得到
（7）
矩阵
的谱分解可以表示为
（8）
式中，
、
、
分别为的第
个特征值和对应的左、右特征向量。联立式（7）和式（8）可以得出电力系统频率响应的传递函数动态模型[17]为
（9）
（10）
式（9）表明，区域频率响应可表示为
个频率模态分量叠加构成，每个模态分量可由式（10）得到。基于该频率特征模态分解方法，系统各区域的频率动态特性可通过式（9）的列向量表征。具体而言，式（9）中列向量的每个元素对应第个区域的频率响应。
当系统的频率支撑功能主要由同步机提供时，各区域惯量、阻尼和调频系数的比值可看作近似相同[37]，由这样同比例设备构成的系统定义为“同构系统”。为简化分析过程，本文首先研究同构系统情形。在此条件下，系统模型复杂度显著降低，各区域设备的传递函数均可简化为统一的基准形式，即
（11）
（12）
式中，R为各区域设备传递函数的参数比例矩阵，其对角元素
表征第个区域设备的传递函数参数差异比例系数，
；
为系统内各区域统一的基准传递函数，反映各区域共有的动态特性；
、
、
分别为各区域统一基准传递函数UTFS形式下的惯量、阻尼和调频系数。在同构系统中，式（6）可简化为
（13）
在此模型框架下，可验证矩阵
与矩阵
的左右特征向量完全一致。设矩阵的特征值和左右特征向量分别为
、
、
（是一个由线路网络参数和区域差异比例系数确定的常数矩阵，其不包含复频率变量s），则
、
。同时可验证矩阵
的第个特征值为
（14）
基于上述简化条件，电力系统频率响应的传递函数动态模型式（9）和式（10）可简化为
（15）
式（15）与式（9）最关键的一个区别为特征值和矩阵
中无复频率变量
。通过上述处理，系统动态模型已具备解析求解条件。基于拉普拉斯反变换理论，可获得区域频率响应时域解析模型为
式（16）所得时域解
是一个维列向量，其每个元素对应各区域的频率响应。通过解析结果可以清晰地观察到区域频率由多个频率模态分量组成，而在这些模态分量中，存在一个具有特殊物理意义的分量：矩阵存在一个特征值0，对应的右特征向量为1（具体可以见文献[35]），左特征向量可以记作
，
。此时矩阵的对应特征值和特征向量分别为
、
、
。将零特征值以及对应的特征向量代入式（16），可分解出一个表征全局频率动态的特殊模态分量，即文献[17]中所提的共模频率分量。该全局共模频率分量的时域解析表达式由第一项频率模态分量表示为
（17）
令
,
，将共模分量式（17）简化为
（18）
基于模态分解理论，分解出各区域频率动态响应相同的部分用于表征全局频率，它能够描述系统频率的动态特性。而除共模分量之外的其余频率模态分量构成表征区域频率动态差异的差模分量。区域频率差异完全由频率差模分量决定，通过对共模分量和差模分量的独立分析，可分别研究系统的整体频率动态特性和空间分布差异特性。
结合共模分量和差模分量，区域频率响应的解析表达式为
在包含个区域的电力系统中，频率动态响应可分解为个独立的模态分量，其中第一项共模分量定义为共模频率（Common Mode Frequency, CMF），其余差模分量的和定义为差模频率（Differential Mode Frequency, DMF）。理论分析表明，CMF表征全局统一频率，DMF表征体现空间分布特性的区域间频率偏差，各区域实际频率动态频率为CMF与DMF的叠加，该叠加关系共同构成了能够反映多区域系统空间分布差异特性的区域频率动态响应模型。CMF与DMF解析模型的建立，为后续区域频率支撑强度量化评估的研究提供了严格的理论基础。
在电力系统动态分析中，不满足同构系统条件的多区域系统被定义为“异构系统”。1.2节所述理论推导均基于同构系统假设开展，在传统同步机主导的电力系统中，发电机组具有相似的结构参数和动态特性，采用同构系统假设具有一定合理性[37]，然而，随着高比例可再生能源大规模并网，同步机组、多类型电力电子变流器及不同类型新能源发电设备共同参与系统调频，各区域频率支撑参数比值差异显著扩大，电力系统异构特性急剧增强，1.2节假定的同构条件难以满足[38]。鉴于同构系统频率模型在可再生能源高渗透场景下的局限性，本节将重点针对异构系统的区域频率响应解析模型展开分析。
由式（9）和式（10）可知，异构系统场景下，、、是关于的函数，导致无法直接推导时域频率响应解析式。为此，本文采用一种近似化转换处理方法，通过异构系统参数向同构系统统一基准参数的近似化转换，来获取频率响应特性近似一致的同构系统模型[16]。
为此，本文首先将多区域电力系统的区域频率支撑特性近似转换为同构等效形式。其中，式（12）中的频率支撑参数可表示为
（20）
此外，同构等效形式还存在比例系数。据此，式（11）中参数比例矩阵
的构成元素为
（21）
依据式（20）和式（21）的参数转换方法，可将异构系统参数统一映射为同构系统参数，进而采用标准同构系统分析方法进行后续计算。后文将通过仿真算例验证所述近似转换的可行性。
在当前电力系统中，频率支撑强度的常用量化指标包括频率最大变化率（
）和最大频率偏差（
）[39]。是指当系统遭受功率扰动后，在频率动态响应过程中出现的瞬时变化速率极值。是指当系统受扰动后，频率动态响应曲线中的极小值与初始频率的差值。本文后续将重点针对
和
两个核心指标展开分析。
的量化评估首先，基于频率动态的时域解析表达式（19），可推导获得第个频率模态分量变化率的解析式为
式中，
。式（22）利用三角函数辅助角公式，将第个频率模态分量变化率解析表达式的正弦-余弦组合项转换为标准正弦函数形式。又因为
，
，两者都取1即可得到式（22）的最大值。如果对各个频率模态分量进行保守估计，电力系统最终的区域
为
（23）
式中，第一项为CMF的频率最大变化率，是一个简单的线性表达式，其余项表示差模分量的频率最大变化率。注意所求同样是一个列向量，列向量中的每一个元素
对应每一个区域。
的量化评估为便于分析，首先仍考查第个频率模态分量的最低点特性，针对单个频率模态分量，其最低点的时间可通过求解式（19）极值条件获得，有
（24）
基于式（24）确定的时间点
，当
时，即为CMF对应的频率最低点时，有
（25）
联立式（18）和式（25）可得CMF对应的频率最低点为
（26）
两区域下的共模频率分量与差模频率分量示意图如图2所示。通过观察图2并结合式（24）可知，共模分量和差模分量的极值时刻存在显著差异，两种分量的极值直接叠加会导致结果过于保守。同时就
的数值大小而言，共模分量的贡献度显著高于其余频率差模分量。上述分析为研究提供了新的思路：将共模分量极值对应时刻
作为总体频率最低点的时间基准，先计算该时刻其余差模分量的包络线数值再进行累加处理。这种方法通过聚焦关键时间节点的分量计算，有效减少因两种频率模态分量最低点对应时间不同所带来的误差，显著提升计算结果的可靠性。
图2 两区域下的共模频率分量与差模频率分量示意图
Fig.2 Common mode frequency component and differential mode frequency component diagram in two regions
差模分量处于一个振荡衰减的状态，其包络线数值可由式（19）解得
（27）
将代入式（27）中，即可得到共模频率最低点时刻差模分量的最低点数值为
（28）
联立式（26）和式（28）得到完整的时域解析表达式为
由此，构建出完整的区域频率支撑强度量化模型和的解析表达式。多区域频率支撑强度量化指标模型的推导流程与具体构建过程如图3所示。本文构建的解析表达式（23）和式（29），实现了对电力系统区域频率支撑强度的精准量化评估。相较于传统全局频率支撑强度量化模型，区域频率量化模型虽因模态分量的引入导致形式复杂度有所上升，但得益于解析模型的固有特性，其求解本质为基础数学代数运算，无需依赖耗时的时域仿真迭代。因此，模型计算成本的增幅几乎可以忽略不计，最终实现了计算精度与求解效率的双重保障。需要注意的是，本文在推导式（23）和式（29）时采取了一定的保守近似处理，鉴于频率支撑强度的量化指标直接关联系统安全稳定运行，这种保守估计在工程实践中具有充分合理性。在后文中会对该量化解析模型的误差进行定量评估，以验证保守估计的合理性。
图3 区域频率支撑强度量化指标分析计算流程
Fig.3 Analysis and calculation flow chart of quantification metrics for regional frequency support strength
为验证所提模型的有效性与适用性，本文设计三类典型算例进行系统性测试。
算例一：同构系统下多区域频率支撑强度量化解析模型分析。
算例二：异构系统参数转换成同构系统等效参数的误差分析。
算例三：高比例新能源异构系统多区域频率支撑强度量化解析模型分析。
本文选用典型三区域电力系统作为测试算例，为验证区域频率解析模型的正确性，首先构建一个基础三区域测试系统，三区域网络拓扑如图4所示[19, 40]。电力系统中各区域的UTFS标幺值参数的配置如下所示：
，
，
；
，
，
；
，
，
。据此区域设备参数矩阵
，统一基准传递函数中的参数
，
，
。功率扰动设置在区域3，大小为-0.3(pu)。线路参数矩阵设定为
。
图5对比分析了本文提出的区域频率响应解析模型结果与仿真结果。可见，本文推导的频率解析模型与仿真所呈现的响应曲线是一致的，验证了区域频率解析模型的正确性。同时，对比图5曲线可以发现，区域频率与系统CMF存在显著差异，这一现象进一步凸显了本文所建立区域频率响应模型的价值。本文的研究重点是区域频率支撑强度的量化评估，基于第2节推导的同构系统区域频率支撑强度量化指标和的解析表达式，本节将通过系统化仿真实验验证其准确性。验证方案设计如下：首先改变各区域的参数以获取各种场景下的和，然后利用模型值与仿真值的相对误差来分析评估区域频率支撑强度量化模型的可行性。各区域的标幺值参数变化范围为
、
、
。
图4 三区域网络拓扑
Fig.4 Three-region network topology
图5 同构系统三区域频率响应示意图
Fig.5 Three-region frequency response diagram in the homogeneous power systems
注意同构系统的各区域参数是按照一个固定比例变化的，本算例中设置
（参考文献[17]）。功率扰动同样设置在区域3，大小设定为-0.3(pu)，线路参数同上。
同构系统区域频率支撑强度量化模型的相对误差计算式为
（30）
式中，
、
分别为同构条件下量化指标的解析模型值与仿真值。传统全局频率模型与所提区域频率模型下，频率支撑强度量化指标
解析模型与仿真之间的相对误差分析结果如图6所示。误差对比分析结果表明：在传统全局频率模型下，频率支撑强度量化指标的误差幅值更大，且整体呈现负向偏差特征；而所提区域频率模型的量化误差表现更优，其绝大部分数据集的相对误差控制在5%以内且误差正向偏移。这一结果充分说明，所提区域频率量化模型不仅能够满足工程应用的误差精度要求，同时在绝大多数场景下具备适度的保守性，更契合实际系统的安全运行需求。
图6 频率最低点模型值与仿真值之间的相对误差
Fig.6 The relative errors between the model value and the simulation value of the Δfnadir
下一步将分析区域频率支撑强度量化指标
解析模型的相对误差。的幅值大小主要受惯量影响[40]，系统各区域的极值对应于该区域作为扰动源的故障场景。因此，区域频率的验证方案如下：将各个区域分别作为扰动源，并计算该扰动区域的用于误差分析。参数设置与验证的参数一致，扰动源分别设置在三个区域。
传统全局频率模型与所提区域频率模型下的误差对比分析结果如图7所示。由图7可直观观察到所提模型计算结果与仿真数据之间的相对误差保持在较低水平（1%以内），且误差分布呈现系统性正向偏移，表明区域量化指标模型兼具准确性与保守性。
图7 频率最大变化率模型值与实际值之间的相对误差
Fig.7 The relative errors between the model value and the simulation value of the RoCoFmax
综上所述，通过系统的算例实验分析，本文所提出的区域频率支撑强度量化模型在精度方面满足误差要求，在可靠性方面满足保守性工程要求。
针对1.3节提出的异构系统参数统一转换成为同构系统等效参数的方法，本节开展系统性验证，具体方案如下：与3.1节仿真方案类似，改变各区域的参数以模拟各种场景，基于仿真模型获取原始异构系统与转换后的同构系统两种情形下的和值，基于式（30）形式的相对误差计算方法，对该参数转换方法的可行性进行分析。具体标幺值参数变化范围为：J1=[8, 32](pu)，D1=[2, 10](pu)；J2=[8, 32](pu)，D2=[2, 10](pu)；J3=[8, 32](pu)，D3=[2, 10](pu)；K1=J1/12，K2=J2/12，K3=J3/12。
扰动同样设置在区域3，大小为-0.3(pu)，线路参数矩阵
的值同上。需特别强调的是，本节算例分析中系统各区域动态具有独立变化特性，不需要满足同构系统的固定比例关系。固定惯量与调频系数的比例是为了凸显惯量与阻尼之间的比例差别，同时便于后续的异构程度的量化。
异构系统参数转换成同构等效参数后区域频率指标和的相对误差如图8和图9所示。异构系统参数转换为同构系统参数后的频率指标误差随系统异构程度的提升呈现递增趋势。为量化系统异构程度，固定惯量与调频系数的比例，异构程度通过区域间阻尼比（惯量与阻尼的比值）的差异来定义。例如，各区域阻尼比相同时即为同构系统（阻尼比之间的比值为
），区域阻尼比之间的差异越大，意味着异构程度越强。
图8 异构系统参数统一转换成同构系统等效参数前后频率最低点的相对误差绝对值
Fig.8 The absolute relative errors of the Δfnadir following the transformation of heterogeneous parameters into homogeneous equivalents
图9 异构系统参数统一转换成同构系统等效参数前后频率最大变化率的相对误差绝对值
Fig.9 The absolute relative errors of the RoCoFmax following the transformation of heterogeneous parameters into homogeneous equivalents
异构系统参数统一转换成同构系统等效参数前后频率最低点和频率最大变化率的相对误差绝对值如图8和图9所示，横轴表示系统内阻尼比差异最大的两个区域阻尼比的比值。图示结果表明，当阻尼比之间的比值在
内，异构参数转换成同构参数后区域频率量化指标和的相对误差在1%以内；阻尼比之间的比值在
以内时，相对误差在4%以内。尤其是区域3（扰动发生区域）误差表现出极高的精度，误差几乎在0.1%以内。
综合上述分析，所提出的异构系统参数转换同构系统等效参数的方法在电力系统运行环境下，其误差在合理的范围内。
3.2节是基于仿真算例验证异构参数转换成同构参数方法的可行性，本节针对所提出的区域频率支撑强度量化模型分析其在异构系统场景下的有效性。
为验证异构系统多区域频率解析模型的可行性，同样先构建一个基础异构三区域测试系统，各区域的UTFS标幺值参数配置如下：J1=16(pu)，D1=10(pu)，K1=1(pu)；J2=12(pu)，D2=7(pu)，K2=1(pu)；J3=10(pu)，D3=4(pu)，K3=1(pu)。基于上述参数，依据式（20）和式（21）进行求解，可得统一基准函数参数为J=12.67，D=7，K=1，对应的参数比例矩阵
。扰动和线路参数同上。
将异构系统条件下区域频率响应解析模型与仿真结果进行对比分析，如图10所示，虽然与图5相比误差增大，但仍保持着较高精度。总的来说，本文推导的异构频率解析模型与仿真响应曲线呈现较高的重合度，验证了区域频率解析模型在异构系统条件下的正确性。
图10 异构系统三区域频率响应示意图
Fig.10 Three-region frequency response diagram in the heterogeneous power systems
通过异构系统参数向同构系统参数的转换，本文将区域频率强度量化理论模型的应用范围拓展至异构电力系统。下面进一步通过仿真值与模型值之间的相对误差来分析验证区域频率量化模型在多种运行场景下的有效性，各区域的参数设置与3.2节一致。
本节主要针对扰动区域进行分析。鉴于各区域参数具有独立随机变化特性，扰动区域的选取对模型的分析并无影响。本节将扰动设置在区域3，其量化模型相对误差分布如图11所示。仿真结果表明，所提区域频率支撑强度量化指标和始终维持较低的误差水平，尽管在部分场景中未体现保守性特征，但相较于传统全局频率量化指标误差幅值偏大且呈负向偏移的缺陷，所提模型的综合表现更为优异，其相对误差整体处于工程允许范围之内，且在绝大多数场景中仍具备适度的保守性。
图11 异构系统区域三频率量化模型的相对误差
Fig.11 The relative errors of the frequency quantification model of region three in heterogeneous systems
为进一步验证本文所提频率支撑强度量化模型的有效性，选取英国电网英格兰-苏格兰两区域实际算例开展分析，区域核心参数取值参考文献[29]。英国两区域电力系统量化模型误差对比见表1。无论扰动发生于英格兰还是苏格兰区域，本文所提量化模型的相对误差均低于传统全局频率量化模型。同时，如上述分析的一样，表1中传统全局量化模型呈负向误差，低估了和的数值，易引发工程误判。两类模型的误差差异在苏格兰区域尤为显著，原因在于该区域新能源装机占比高，属于典型的低惯量区域，其频率动态特性与其他区域差异突出，而传统全局模型难以精准刻画此类差异化特征，因此产生较大计算误差。
表1 英国两区域电力系统量化模型误差对比
Tab.1 Comparison of quantification model errors for the two-region power system in the UK
扰动区域量化模型Δfnadir(%)RoCoFmax(%) 英格兰传统全局模型-2.06-18.58 所提模型-0.020.12 苏格兰传统全局模型-26.93-81.32 所提模型2.100.18
综合仿真结果表明，多区域频率支撑强度量化模型的相对误差控制在允许范围内，验证了本文多区域频率支撑强度量化模型在高比例新能源异构系统中的有效性。通过本文的模型，可量化评估高比例新能源系统下的区域频率支撑强度，这为未来区域频率的研究提供了很大的帮助。
本文基于特征模态分解的方法提出了计及多类型频率支撑设备协同参与的多区域频率响应量化评估方法。主要结论如下：
1）本文建立了计及多类型频率支撑设备协同参与的多区域频率响应解析模型。研究表明，区域频率由共模分量与差模振荡分量组成，区域之间的差异受差模振荡分量影响。在调频资源分布不均情形下，系统共模频率与区域频率之间存在显著差异，表明区域频率研究具有更高的工程实用价值。
2）基于多区域频率响应解析模型构建同构系统（各区域设备参数同比例）下计及多类型频率支撑设备协同参与的多区域频率支撑强度量化评估模型。在模型推导过程中，引入合理的保守性设计原则，算例分析结果表明，该模型具备在精度方面的有效性及其在广泛运行工况下的保守性。
3）针对异构系统（各区域设备参数不同比例），本文采用一种异构系统参数转换成同构系统参数的方法，通过仿真算例验证了该转换方法的可行性。基于此构建异构系统下计及多类型频率支撑设备协同参与的多区域频率支撑强度量化评估解析模型。通过三区域系统化的算例仿真分析，并结合英国两区域实际算例进行验证，证明该模型的相对误差在合理的范围内，验证了该多区域频率支撑强度量化评估模型的有效性。
本文聚焦于区域频率的研究，相比于系统全局频率下的量化模型，考虑了区域之间的差异性，这对于未来研究调频资源分布不均的高比例新能源电力系统的频率安全稳定问题存在显著价值，未来的研究方向包括：①可将区域频率支撑强度量化模型应用到频率稳定的优化约束模型中，研究与区域频率有关的电力系统优化问题，如频率支撑装备规划以及计及区域频率安全约束的机组组合和经济调度等；②针对电力系统区域频率问题，可进一步基于多维度指标（如电气距离、动态响应特性、惯量分布等），研究分析新能源电力系统区域频率的优化分区策略。
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Abstract With the increasing penetration of renewable energy sources in power systems, the spatial heterogeneity of frequency regulation resources is becoming increasingly pronounced, while the inter-regional electrical coupling strength is gradually diminishing. Consequently, these factors lead to the increasingly significant frequency differences between different regions of the power grid. The estimation errors for quantitative metrics of system frequency support strength are significantly amplified under the traditional global frequency response model. Therefore, this paper proposes a quantitative evaluation method for multi-region frequency support strength considering the characteristics of spatial distribution differences.
First, this paper derives an analytical model of regional frequency responses utilizing the eigen-decomposition of frequency modes. Furthermore, based on the multi-region frequency response analytical model, a quantitative metric for evaluating multi-region frequency support strength is established. This strength is characterized by the frequency nadir (Δfnadir) and the maximum rate of change of frequency (RoCoFmax) in homogeneous power systems where the parameters of the equipment across regions maintain identical ratios. During the model derivation process, a reasonable conservative design principle is introduced to preserve accuracy while ensuring a sufficient safety margin, thereby facilitating practical engineering applications. Subsequently, in contrast to homogeneous cases, heterogeneous systems are characterized by disproportional equipment parameters across different regions. To analyze such systems, this paper employs a parameter transfer methodology that converts heterogeneous system parameters into homogeneous equivalents. Building on this foundation, the paper develops a quantitative analytical model for evaluating multi-region frequency support strength, incorporating the coordinated participation of multiple types of frequency support equipment in heterogeneous power systems.
The simulation results reveal that regional frequency can be decomposed into the common mode frequency (CMF), which represents the global system frequency dynamics, and the differential mode frequency (DMF), which captures inter-regional frequency deviations. With the non-uniform distribution of frequency regulation resources, a significant divergence occurs between the CMF and individual regional frequencies. Validation across multiple scenarios reveals that the proposed multi-region frequency support strength evaluation model demonstrates strong performance in homogeneous systems, with relative errors remaining within 5% while maintaining conservative characteristics. The relative errors of the heterogeneous-to-homogeneous parameter conversion method exhibit a positive correlation with the degree of system heterogeneity. Subsequent comprehensive validation in diverse heterogeneous systems confirms that the proposed analytical model consistently yields high numerical fidelity, maintaining relative errors well within 5% across a wide spectrum of operational scenarios. Finally, to further validate the proposed method, the proposed model is applied to the actual two-region England-Scotland power system. It demonstrates high accuracy and a desirable degree of conservatism, highlighting its practical engineering value.
The main conclusions are as follows: (1) The proposed multi-region frequency response model, incorporating coordinated operation of diverse frequency regulation resources, accurately captures the dynamic characteristics of regional frequency. (2) The frequency support strength evaluation model for homogeneous systems exhibits both highly accurate and conservative performance across diverse operating conditions. (3) This study validates the feasibility of heterogeneous-to-homogeneous parameter conversion methodology. Furthermore, the validation results confirm that the multi-region frequency support strength evaluation model maintains acceptable accuracy in heterogeneous systems, thereby verifying its practical effectiveness in power systems.
keywords：Regional frequency, frequency support strength, quantitative analysis, rate of change of frequency, frequency nadir
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.251271
中图分类号：TM712
国家电网有限公司科技项目资助（SGJL0000DKJS2400251）。
收稿日期 2025-07-18
改稿日期 2026-02-01
曹 徽 男，2002年生，硕士研究生，研究方向为新能源电力系统区域频率的稳定分析。E-mail：202421014828@mail.scut.edu.cn
刘 云 男，1988年生，副教授，博士生导师，研究方向为新能源电力系统稳定分析、运行与控制，稳定约束的电力电子化电力系统规划、运行与控制等。E-mail：liuyun19881026@gmail.com（通信作者）
（编辑 赫 蕾）