0 引言
随着可再生能源发电迅猛发展，大量电力电子设备正逐步接入电力系统[1]。相较于传统同步发电机，电力电子设备具有效率高、运行灵活、响应快速等显著优势[2-3]。其中，逆变器作为可再生能源与电网之间的关键接口，已在风电、光伏等新能源领域得到广泛应用[4-5]。然而，逆变器依赖控制策略实现并网同步，其固有的低惯量和强非线性特性与传统同步机电源截然不同，导致其在各类扰动下表现出更为复杂的动态行为。这使得传统电力系统分析方法不再适用，也对电力系统的安全稳定运行构成严峻挑战[6-7]。
电力系统中设备保持同步运行的能力是其稳定运行的关键。在传统电力系统中，暂态（同步）稳定性是指同步发电机在大扰动后仍能维持同步运行的能力[7]。逆变器主要通过锁相环或虚拟同步机等控制策略实现与电网同步运行[8]。当逆变器遭受电压或相角等大扰动时，系统可能偏离或失去原有平衡点，进而引发同步失稳。由于逆变器并网系统的多时间尺度耦合和高维非线性特性，其失稳现象尤为复杂，极端情况下甚至可能导致与电网断开连接[9-10]。例如，美国加利福尼亚州曾因输电系统故障导致900 MW光伏电源中断，其中部分光伏电源因逆变器同步失稳而脱网运行[10]。因此，深入研究逆变器并网系统的暂态同步稳定性并提出准确的稳定裕度评估指标，具有至关重要的理论与工程意义。
逆变器通过同步控制实现对电网相位的跟踪。为降低不同控制环路之间的耦合作用，同步控制的带宽往往设计得小于逆变器内部电流内环等快速控制环节[11]。因此，逆变器暂态同步稳定性的分析可聚焦于同步控制环节的动力学行为，从而将系统模型降阶为广义摇摆方程，以类比同步发电机的摇摆方程[12-14]。由于其在形式上与同步发电机的模型具有高度相似性，当前研究多借助同步机的经典稳定性理论来分析逆变器的暂态同步稳定问题[15-18]。
系统保持同步稳定需满足系统状态变量始终保持在稳定平衡点的稳定域范围之内[19]。因此，现有方法多深入研究平衡点的稳定域特性，主要包括等面积法、相平面法和李雅普诺夫直接法等。等面积法通过比较机械功率与电磁功率曲线下的加速面积和减速面积来判断系统的同步稳定性。文献[20]提出改进等面积法并将其应用于基于锁相环同步的逆变器并网系统，利用功率曲线交点评估暂态稳定性。文献[21]则利用等面积定则推导了暂态能量函数，并通过势能边界曲面确定临界能量值，以近似刻画稳定域边界。然而，受广义摇摆方程非线性时变阻尼项的影响，等面积法难以实现暂态同步稳定裕度的精确估计。相平面法通过分析系统状态量轨迹的动态行为，能够直观地揭示不同运行条件和参数变化对暂态稳定性的影响。文献[22]利用相平面法分析了逆变器并网系统平衡点特性，评估了大扰动下系统轨迹的收敛性。文献[23]通过相平面法分析了一阶和二阶锁相环的稳定性能及其暂态同步稳定性。但相平面法本质上属于数值模拟方法，其在面对多参数组合时的计算复杂度较高，限制了实用性与可推广性。李雅普诺夫直接法通过构建李雅普诺夫能量函数，可近似获得平衡点稳定域的解析表达[24-28]。文献[25]构建了逆变器并网系统的李雅普诺夫函数，并基于La Salle不变性原理得到了具有保守性的稳定域评估指标。文献[26]进一步考虑了锁相环非线性阻尼项的影响，通过改进李雅普诺夫函数降低了稳定域评估的保守性。此外，文献[27]利用平方和规划等数值方法构造李雅普诺夫能量函数，而文献[28]则基于线性矩阵不等式方法给出了稳定域的最大估计。然而，对于高维非线性逆变器并网系统而言，李雅普诺夫能量函数的构建十分困难，且其评估结果的保守性问题难以根本解决。综上所述，传统的暂态稳定裕度评估方法在精确描述逆变器并网系统的暂态同步稳定性方面仍存在局限性，亟需一种兼具准确性与实用性的稳定域边界识别与稳定裕度评估方法。
稳定域在非线性动力学分析中特指稳定平衡点的吸引域，即在时间趋于正无穷时所有收敛于该稳定平衡点的状态变量集合[19,29]。吸引域是非线性动力学分析的基础理论[30]，也是准确评估系统稳定裕度的有力工具。对于传统同步发电机并网系统来说，吸引域边界通常被认为是不稳定平衡点的稳定流形并集，可以通过不稳定平衡点的稳定流形来近似逼近其边界[31-32]。文献[31-32]深入分析了电力系统功角稳定域对应的相空间几何结构，并利用流形理论实现了高维电力系统吸引域分析。文献[33]指出吸引域边界依赖流形的几何拓扑结构，在同宿分岔作用下相空间流形会重新排列，进而导致吸引域结构发生变化。在二维系统中，同宿轨道在正向和反向时间上均收敛于鞍点，并与鞍点的稳定流形重合，从而构成了稳定平衡点的吸引域边界[34]。流形的拓扑结构对稳定域的边界条件具有决定性影响，对于电力系统暂态稳定分析具有重要意义。
然而，以锁相环为同步控制的逆变器并网系统的流形分布更为复杂，吸引域边界不仅限于闭合同宿轨道，不同分岔主导区域吸引域拓扑各异。现有研究表明，在暂态同步失稳期间系统可能存在多种分岔现象，例如广义鞍结分岔、Hopf分岔和同宿分岔[12-13]。文献[35]进一步分析发现，在特定参数下系统存在新型同宿分岔和两个额外的不稳定周期轨道。文献[36]分析了基于直接功率控制的跟网型逆变器并网系统持续振荡对应的分岔行为，研究了Hopf分岔产生的周期轨道特性，并分析了其导致吸引域突然收缩的原因。此外，文献[37]分析了系统由鞍结分岔导致的失步现象以及由Hopf分岔产生的振荡失稳现象。尽管已有大量分岔研究，但现有工作多侧重于对固定参数空间进行数值模拟，普遍为具体失稳现象的描述与观察。然而，不同参数条件下系统分岔特征和流形各异，分岔的动态变化使得系统吸引域不仅与单一分岔现象相关，任一分岔主导区域内的吸引域无法代表整个系统的稳定裕度。现有研究在吸引域演变过程分析方面仍显不足，尚未形成适用于暂态同步失稳过程中极限环、同宿轨道等非线性动力学行为的特征标度律定量分析方法。
因此，本文基于非线性动力学理论分析了逆变器并网系统暂态同步失稳所对应的分岔特性，并提出了不同分岔主导区域内定量刻画吸引域边界的方法，实现了暂态同步稳定裕度评估及主导分岔模式的识别。首先，建立了逆变器并网系统数学模型，并详细推导了跟网型和构网型逆变器对应的广义摇摆方程及其平衡点特征。其次，分析了系统平衡点引发的余维数为2的Bogdanov-Takens分岔条件，揭示了其产生的三种余维1分岔的特性，进而将参数空间划分为四类具有不同平衡点特征和流形结构的区域。然后，详细分析了不同分岔主导区域内的系统非线性动力学特性，基于Hopf正规型理论和复正规系数推导了极限环特征标度律解析式；揭示了不稳定极限环与鞍点流形碰撞从而发生同宿分岔的机理，并利用鞍点稳定流形的切空间实现了暂态稳定裕度的精确评估。在此基础上，提出了基于吸引域的系统主导分岔识别方法，有效地避免了逐点数值仿真求解吸引域所带来的计算负担。最后，通过PSCAD/EMTDC电磁暂态仿真软件进行算例研究，验证了本文所提理论分析方法的正确性和有效性。
1 逆变器并网系统暂态同步稳定分析模型
1.1 平衡点及流形定义
电力系统物理本质上为非线性系统，存在极限环、混沌等复杂非线性动力学行为，均会对系统稳定性产生重要影响。系统状态的数学表达式为
式中，f(·)为非线性函数，列向量x为n维状态变量。代数方程f(x)=0的解集即为系统平衡点xe。
系统状态的全局轨迹均与平衡点状态紧密相关。流形是指在平衡点附近由系统状态变量解集形成的、具有特定方向性的轨迹集合。这些流形能够将相空间划分为动力学性质显著不同的区域。稳定流形定义为 t →+∞时趋近于平衡点的初始状态集合，可将附近的轨迹均吸引至平衡点，如式（2）所示。不稳定流形为t →-∞时轨迹趋近于平衡点的初始状态集合，如式（3）所示。在对时间进行前向积分时，不稳定流形上的轨迹会从平衡点向外发散。
根据流形理论可知，type-k平衡点的k表示实部大于零的特征值数量。其中实部为正的特征值所对应的特征向量张成了k个不稳定流形。而稳定流形则由负实部特征值对应的特征向量张成，数量为n-k。在非线性系统中，局部的 W s 、 W u在平衡点处与线性系统对应的流形子空间切线一致。图1给出了平衡点及稳定/不稳定流形示意图。根据系统平衡点及流形分布可分析系统整体动力学行为。对于电力系统来说，稳定域指位于稳定平衡点吸引域范围内的状态变量集合。因此，通过求解稳定平衡点吸引域，即可实现系统稳定裕度评估[38]。
图1 平衡点及稳定/不稳定流形示意图
Fig.1 Schematic diagram of equilibrium points and stable/unstable manifolds
1.2 逆变器并网系统广义摇摆方程
本文首先构建逆变器并网系统暂态同步稳定性分析模型，逆变器并网系统拓扑结构如图2所示。逆变器经输电线路接入电网，其中跟网型逆变器采用锁相环实现相位同步，构网型逆变器采用虚拟同步机控制策略。图2中，Pin为直流侧输入功率，udc为直流电容电压，Cdc为直流电容，eabc为逆变器输出的三相电压，iabc为逆变器输出的三相电流，P和Q分别为逆变器输出的有功功率和无功功率，Lt为滤波电感，utabc为并网点三相电压，Lg为等效电感，Ug为无穷大母线电压幅值。具体控制环节中，θpll和θvsg分别为跟网型和构网型逆变器输出角频率的积分，id和idref分别为输出电流的d轴分量及其对应参考值，iq和iqref分别为输出电流的q轴分量及其对应参考值，udcref为直流电压参考值，utd和utdref分别为并网点电压d轴分量及其参考值，utq和utqref分别为并网点q轴分量及其参考值，xpll为锁相环PI控制的输出变量，ω0为基准角频率，Pe为电磁功率，Pref为有功功率参考值。此外，kpacc和kiacc分别为电流环PI控制的比例系数和积分系数，kpdvc和kidvc分别为直流电压环PI控制的比例系数和积分系数，kptvc和kitvc分别为端电压PI控制的比例系数和积分系数，kppll和kipll分别为锁相环PI控制的比例系数和积分系数，D为阻尼系数，M为惯量系数。
图2 逆变器并网系统拓扑结构
Fig.2 Topology of grid connected inverter system
根据图2中锁相环的控制结构，跟网型逆变器输出相角φ 为
式中，φ=θpll-ω0t。
直流电压环的功率平衡满足
直流电压环的微分方程为
式中，xdvc为直流电压环的积分输出。电流环的输入idref为
电流环经PI控制后输出电压参考值，逆变器输出电压的d、q轴分量ed、eq为
结合主电路动态，最终形成跟网型逆变器并网系统非线性状态方程。求解状态方程可得系统平衡点表示为
式中，下标“0”代表对应分量的稳态值；φ1和φ2分别为两个平衡点对应的输出相角；xacc1和xacc2分别为两个平衡点对应的电流环积分输出。
由式（9）可知，平衡点关键在于输出相角。跟网型逆变器在暂态过程中锁相环起主要作用[39]。由于 PWM开关频率及电流内环带宽远高于同步控制，因此在研究暂态同步稳定性时可以忽略快速控制环节的状态变量[7,20]。在忽略非主导的控制环节后，可以将系统模型化简为式（10），也称广义摇摆方程。t～为时间变量，其与后续广义摇摆方程标准形式中的时间变量t之间存在线性变换。
将其写为二阶微分形式，可得
其中
式中，Meq为等效惯性；Pm为等效机械功率；Deq为等效阻尼。这里需要注明，等效阻尼与系统状态相关，区别于同步发电机。
构网型逆变器并网系统模仿同步发电机的同步机制，以功率为输入实现相位同步。以虚拟同步机为例，其广义摇摆方程为
式中，ω 为逆变器输出角频率；Ut为并网点电压幅值。显然，式（12）与同步发电机的摇摆方程在数学上相互等价，但其惯量M及阻尼系数D均为控制参数，并无实际物理意义。其二阶微分形式为
其中
为不失一般性，这里给出以下垂控制为同步控制的构网型逆变器并网系统广义摇摆方程相应系数为
式中，ωp为低通滤波系数；Kp为下垂系数。
综上所述，跟/构网型逆变器并网系统广义摇摆方程具有相似的数学形式，构网型逆变器的广义摇摆方程是Pα=0时的特殊情况。因此，可将逆变器并网系统广义摇摆方程修正为标准形式为
式中，t为时间变量；PI、Pα 和PD为标准形式对应的独立分岔参数。对于跟网型逆变器，其等效系数为
构网型逆变器等效系数为
这里需要注明，标准形式的广义摇摆方程与原方程在拓扑结构上是完全等价的。相比于原方程，式（15）用三个独立的分岔参数来代表控制参数和电气参数对非线性动力学的影响。基于式（15）求解系统平衡点(φ0, ω0) 可知，在PI≥1时系统不存在平衡点。在PI＜1的条件下系统在 (-2π, π) 通常存在两个平衡点，分别定义为(φ1, ω1) = (arcsinPI, 0)和(φ2, ω2) =(π-arcsinPI, 0)。系统平衡点分布及轨迹如图3所示，图中参数设置为PD=1，Pα=1.4，PI=0.5。
图3 平衡点分布及轨迹
Fig.3 Distribution of equilibrium points and trajectories
值得注意的是，当相角不受限制时，系统存在无数个周期分布的平衡点，如图4所示。本文以(-π, π)范围内平衡点为例分析系统暂态同步稳定性，其余平衡点性质类似。
图4 相角无限制时平衡点分布及轨迹
Fig.4 Distribution of equilibrium points and trajectories with unrestricted phase angle
求解系统在平衡点(φ0, ω0)附近的雅可比矩阵J为
其对应的特征值λ1和λ2分别为
根据哈特曼-格罗布曼定理可知非线性系统在平衡点邻域内的相轨与其线性化系统同胚，因此可以通过特征值来判断系统在平衡点及其附近区域的动力学行为。雅可比矩阵的特征值决定了平衡点附近轨迹的收敛或发散行为。由式（19）可知，雅可比矩阵具有代数重数为2的零特征值，即 (φ1,0) =(φ2, 0)=(π/2, 0)，此时两个平衡点合并，系统发生余维数为2的Bogdanov-Takens分岔，该分岔受到两个独立的分岔参数控制。
2 逆变器并网系统分岔特性分析
平衡点相互重合时引发的Bogdanov-Takens分岔可能导致在分岔点附近出现三条典型的余维1分岔分支，分别为广义鞍结分岔、Hopf分岔和同宿分岔。分岔分支会将参数平面划分为若干区域，每个区域代表不同的系统动力学模式，例如从稳定平衡点变为不稳定平衡点，从稳定平衡点演化出周期极限环，以及复杂的同宿轨道生成。因此，本节将分别分析系统分岔特性及其边界条件。
Bogdanov-Takens分岔的特点是在分岔点处存在代数重数为2的零特征值，代入式（18）求解可得此时分岔参数满足特定条件为
求解可得 (PI,PD) = (1,0) 为Bogdanov-Takens分岔点对应参数。为揭示余维1分岔的生成条件，需要在临界分岔参数上引入微小扰动，以研究分岔点邻域内的系统特性。假设参数满足
式中，ε1与ε2为足够小的一阶参数偏移量（|ε1|, |ε2|≪1）。在此基础上，将系统在分岔点处进行中心流形约化和正规形式展开，可得简化模型为
在分岔点处进行泰勒一阶展开，可得
式中，Δφ 和Δω 分别对应相角和角频率的偏移量。通过分析 (ε1, ε2) 平面中各条分岔曲线可以完整刻画Bogdanov-Takens分岔点附近动态。
1）广义鞍结分岔
广义鞍结分岔表现为系统的一个或多个平衡点突然消失或产生，从而导致系统的动力学结构发生根本性改变。当系统参数接近Bogdanov-Takens分岔点时，由于平衡点稳定性的剧烈变化可能会出现广义鞍结分岔。广义鞍结分岔与系统平衡状态紧密相关，求解系统平衡点条件为
分析平衡点条件可知，当ε1＜0时，原坐标φ=π/2+Δφ 处存在两个平衡点且互为对称，平衡点可写为
分析参数可知：当ε1＞0时，系统无平衡点存在，当ε1=0时，两个平衡点合并，在π/2出现Bogdanov-Takens分岔点；当ε1从正穿过零变为负值时，系统产生两个平衡点。该现象在非线性动力学中被称为广义鞍结分岔。由此可以得到广义鞍结分岔边界条件为
2）Hopf分岔
Hopf分岔表现为周期轨道的出现或消失，通常发生在参数变化使得某一平衡点的线性化雅可比矩阵出现一对纯虚共轭特征值穿过虚轴的情形，此时在平衡点附近会发生极限环的产生或消失。极限环是自治系统中一个孤立闭轨道，它具有吸引性或排斥性，即相空间中除了该闭轨道本身外，没有与之相连的其他闭轨道。从初始点出发的轨迹随时间推进要么趋向此闭轨道（稳定极限环），要么远离此闭轨道（不稳定极限环）。在相平面中，极限环将相空间分成内外两部分。轨迹在时间演化过程中，如果其初值在稳定极限环的吸引域内，会最终被极限环所吸引而绕圈运动，表现为持续的周期振荡；若处于不稳定极限环之外，则会被推离该环。
Hopf分岔可分为超临界 Hopf分岔和亚临界Hopf分岔。超临界Hopf分岔会在分岔点处产生稳定极限环并表现出小振幅周期运动。当平衡点变为不稳定时，接近平衡点的轨迹会先被推离平衡点，进而被极限环吸引。亚临界Hopf分岔则在分岔点处产生大幅值的不稳定极限环。亚临界Hopf分岔对系统稳定性具有严重威胁，其可能导致参数缓慢变化至分岔点处时突然出现大幅振荡，同时参数逆向变化时需要回到更低值时才可恢复稳定。
Hopf分岔的必要条件是平衡点的雅可比矩阵在平衡点处特征根变为共轭虚数。雅可比矩阵为
特征值从实轴过渡至虚轴的标志为：tr(J)=0,det(J)＞0。由此可得Hopf分岔的条件为
3）同宿分岔
同宿分岔是指当参数发生微小变化时，一个同宿轨道消失或产生的现象。其通常与极限环或复杂的动力学行为（如混沌行为）相关，标志着系统全局拓扑的剧烈变化。同宿分岔通常发生在鞍点的稳定流形与不稳定流形相交时。为分析这一过程，可以基于Melnikov函数来计算鞍点的稳定流形与不稳定流形之间的距离。当Melnikov函数值为零时，稳定流形与不稳定流形相交，引发同宿分岔。
构建Melnikov函数的前提是将原系统转化为哈密顿形式。哈密顿系统的标准型可以表示为
式中，x和y为哈密顿系统的状态变量；H为哈密顿函数。哈密顿系统中存在一条同宿轨道，记为Γ0。为进一步研究同宿轨道性质，引入微小扰动，得到带有扰动的哈密顿系统为
式中，μ 为无穷小扰动量；f1、f2、g1、g2为哈密顿函数对不同状态变量的偏导。引入微扰后系统的行为发生改变。为了构建Melnikov函数，首先需要将原系统转化为哈密顿系统，即
式中
其中
和λ 分别为哈密顿系统中的时间变量和扰动参数。求得系统对应的哈密顿函数表示为
在哈密顿形式下，不同的H对应哈密顿系统中不同的闭合轨道，其最大值恰好对应于跨越鞍点的同宿轨道。图5展示了不同参数下的流形演变。当μ=0，λ=0时，系统中存在一条同宿轨道Γ0。随着微小扰动的引入（即μ ＞0），同宿轨道一般会消失。如果鞍点的稳定流形 W s与不稳定流形 W u再次相交，此时Melnikov函数等于零，意味着同宿轨道被重新生成，发生了同宿分岔。
图5 不同参数下的流形演变
Fig.5 Manifold evolution under different parameters
H的不同水平集代表不同的轨道。当H较小时，轨道为围绕平衡点的封闭曲线，解析解为
当增大到临界值时，轨道就会变为恰好从鞍点出发又返回鞍点的同宿轨道，求解得临界H为2/3。
根据此结果，可以进一步求解系统的Melnikov函数，即
可以得出在扰动参数λ=5/7时，Melnikov函数为零。
随着λ 逐渐减小， W s与 W u逐渐接近，直到λ=5/7时 W s与 W u相交，生成同宿轨道，标志着同宿分岔的发生，此时鞍点的稳定流形变为稳定平衡点的吸引域。由此得到同宿分岔的边界条件为
综上所述，已得Bogdanov-Takens分岔的发生条件，以及Bogdanov-Takens分岔附近区域内广义鞍结分岔、Hopf分岔和同宿分岔三种余维1分岔的边界条件解析式。图6和图7分别给出了跟网型逆变器在不同参数条件下的分岔图及相图，所用参数见表1。
表1 跟网型逆变器并网系统相图参数设置
Tab.1 Phase diagram parameter settings for grid connected grid following inverter systems
区域 PI PD Pα无平衡点区 1.1 0.05 1.4不稳定平衡点区 0.8 1.5 1.4极限环区 0.5 1.0 1.4同宿轨道区 0.9 0.2 1.4
图6 跟网型逆变器并网系统分岔图
Fig.6 Bifurcation diagram of grid connected gridfollowing inverter system
图7 跟网型逆变器并网系统相图
Fig.7 Phase diagram of grid connected gridfollowing inverter system
由图6可见，三种余维1分岔将相平面划分为四个区域：同宿轨道区、极限环区、不稳定平衡区和无平衡点区。其中同宿轨道区和极限环区内均存在小信号稳定的平衡点。极限环区中存在由 Hopf分岔生成的不稳定极限环，其构成了稳定平衡点吸引域的边界。随着系统参数变化，极限环逐渐向内收缩并最终与稳定平衡点重合，发生Hopf分岔，极限环消失，稳定平衡点转变为不稳定平衡点。不稳定平衡区中的平衡点小信号不稳定。由于PI=1时发生鞍结分岔，平衡点消失，产生无平衡点区。图7中平衡点及轨迹分布证实了上述分析结果。图7a展示了无平衡点区的相图，系统中不存在平衡点。图7b对应不稳定平衡点区，存在两个不稳定平衡点，轨迹均从平衡点处发散。极限环区对应图7c的相图，此时系统中存在一个不稳定极限环，极限环内部的轨迹均收敛于稳定平衡点。同宿轨道区对应图7d，该区域为同宿分岔发生后的轨迹，同样存在一个不稳定平衡点和稳定平衡点。
进一步分析实际物理参数对分岔边界的影响，图8展示了不同控制参数和电气参数下的分岔边界演化情况。可以看出，随着参数变化，Hopf分岔与同宿分岔边界在参数空间中的位置发生偏移，进而改变了极限环区、同宿轨道区等区域的范围。值得注意的是，尽管物理参数的变化会使分岔边界发生移动，甚至导致系统在不同工况下表现出多次同宿分岔现象，但其动力学拓扑本质保持不变。物理空间中观察到的多次分岔，实质上是不同参数条件下轨迹多次穿越了同一条无量纲同宿分岔边界，并未产生新的分岔分支或消除已有的分岔机制。这意味着，时间常数等物理参数的变化主要影响分岔点位置和对应参数区域面积变化，而不会改变逆变器并网系统固有的非线性动力学结构。因此，本文基于无量纲广义摇摆方程标准形式所揭示的分岔机理具有普适性，能够涵盖不同物理参数条件下的暂态失稳机制。
图8 不同物理参数条件下分岔边界
Fig.8 Bifurcation boundaries under different physical parameters
图9 给出了不同Pα 对应的分岔边界。图中表明，无论Pα 取何值，系统总存在三种余维1分岔。同时对于越小的Pα，同宿分岔边界与Hopf分岔边界越接近。此外，从图9中可以看出，三种分岔均从相同的参数 (PI, PD) = (1, 0) 出发，进一步证明了该处存在余维数为2的Bogdanov-Takens分岔。
图9 不同Pα 对应的分岔边界
Fig.9 Bifurcation boundaries corresponding to different Pα
对于构网型逆变器并网系统来说，Pα=0，此时Hopf分岔和同宿分岔边界重合，意味着系统仅存同宿分岔和鞍结分岔。理论上系统等价于约瑟夫森结模型，而约瑟夫森结模型已被证明存在唯一的同宿分岔边界。构网型逆变器并网系统相图如图10所示，PI和PD所用参数见表1。
图10 构网型逆变器并网系统相图
Fig.10 Phase diagram of gridconnected gridforming inverter system
为分析实际物理参数与分岔边界的关联性，选取四组不同的虚拟惯量与虚拟阻尼参数条件，其对应的分岔边界如图11所示。结果表明，随着虚拟惯量与阻尼的增大，同宿轨道主导区域在参数空间中的覆盖范围显著扩大。这意味着在更宽的参数与工况范围内，系统的暂态同步失稳机制由同宿轨道主导。同时功率参考值与等效电感等实际物理参数的变化可能会使系统跨越同宿分岔边界，从而发生同宿分岔现象。
图11 不同同步控制系数下分岔边界
Fig.11 Bifurcation boundaries under different synchronization control coefficients
此外，分析跟/构网型逆变器对应的广义摇摆方程可知，无量纲参数Pα 是导致两类逆变器模型差异的关键耦合项，可以直接量化两种逆变器的非线性动力学特性的差异程度。分析图9可知，随着Pα减小并趋近于0，Hopf分岔边界逐渐逼近同宿分岔边界。此时跟网型逆变器的动力学特性趋同于构网型逆变器，差异逐渐减小。为分析不同参数条件对两类逆变器模型差异的影响，图12给出了不同物理参数下Pα 的变化趋势。结果表明，在强电网、低电压条件下，或当PLL积分系数kipll较大、比例系数kppll较小时，Pα 较小。此时跟网型逆变器表现出接近构网型逆变器的动力学特征。而在弱电网或高电压条件下，Pα 显著增大，两者动力学行为区别明显。
图12 物理系数与Pα 的关联性
Fig.12 Correlation between physical parameter and Pα
3 基于吸引域的暂态同步稳定裕度评估及主导分岔识别方法
基于上述分析结果可知，仅极限环区和同宿轨道区具有稳定平衡点，因此Hopf分岔和同宿分岔是导致暂态同步失稳的主要机制。暂态同步稳定性取决于系统的初始状态与故障切除后的状态关系，本质上由平衡点及其吸引域共同决定。因此，通过判断故障切除后系统状态是否在吸引域内即可评估其暂态同步稳定性，同时平衡点与吸引域之间的距离可用于表征系统稳定裕度。然而，不同分岔主导区域内吸引域结构相异。Hopf分岔主导区域内极限环为平衡点的吸引域。而当极限环与鞍点的稳定流形碰撞并消失时，系统发生同宿分岔，其生成的同宿轨道构成了平衡点的吸引域。因此，系统存在两种情况的吸引域。一是Hopf分岔引发的不稳定极限环，其失稳表现为振荡发散；二是同宿分岔形成的同宿轨道，其失稳对应系统失步。基于此，本节提出了一种基于吸引域的暂态同步稳定裕度评估方法。
3.1 Hopf 分岔主导的稳定裕度评估
Hopf分岔的发生往往伴随着极限环的出现或消失。超临界Hopf分岔形成了稳定极限环，其周围的轨迹均会被吸引至极限环上。而亚临界 Hopf分岔会形成不稳定极限环，极限环内的点会被吸引至平衡点，而极限环外的点会远离极限环。图13给出了Hopf分岔主导下系统的非线性动力学行为。从图13中可以看出，系统发生Hopf分岔后产生了不稳定极限环，并构成了稳定平衡点的吸引域边界。这里假设在t=50 s发生电压跌落，Ugfault=0.5(pu)，即无穷大母线电压下降到0.5(pu)。记故障切除时间为tc，当tc=50.4 s时故障后轨迹在极限环内，最终轨迹收敛到平衡点。这意味着当初始状态或故障切除后状态位于极限环内部时，轨迹最终都会收敛至平衡点。而当tc=51.4 s时轨迹位于极限环外部，被极限环排斥。同时受到不稳定极限环特点的影响，位于极限环外部的状态点在被排斥后不会直接发散，而是沿环绕行若干圈后趋于不稳定平衡点的流形。这意味着系统失稳波形为振荡发散，并非直接失步。时域仿真结果验证了上述结论。
图13 Hopf分岔主导下非线性动力学行为
Fig.13 Nonlinear dynamic behavior dominated by Hopf bifurcation
数值仿真证明了分岔属于亚临界Hopf分岔。接下来基于理论推导验证上述仿真的正确性。设临界分岔参数处雅可比矩阵恰好存在一对纯虚数特征值±iω1。在适当的坐标变换下，系统可以化简为关于复变量z的二阶Hopf正规型，即
式中，C1为复正规型系数，其实部可用于判断分岔生成的极限环是否稳定，从而可以识别Hopf分岔类型，C1∈C，其虚部代表振幅对频率的二阶修正；λc为与临界分岔参数同阶的实展开量；ω1为临界分岔参数对应的固有频率。令q和
分别对应+iω1和-iω1的右特征向量，q∈ nC ，p对应于-iω1的左特征向量，p∈ C n，二者满足
同时定义雅可比矩阵为A，二阶、三阶多重线性映射分别为B和C，由二阶微分和三阶微分组成。由此可得复正规型系数为
广义摇摆方程建立在笛卡尔坐标系，因此需将式（35）转换为笛卡尔坐标系下的Hopf正规型，即
式中，u和v分别为复变量z在笛卡尔坐标系下对应的状态变量；f(u, v)和g(u, v)为笛卡尔坐标系下的Hopf正规型的非线性项。笛卡尔坐标系下复正规型系数C1的实部 ℜ ( C1)和虚部 ℑ ( C1)分别为
式中，fuv、fvv、fuu、guu、guv、gvv为f(u, v)和g(u, v)的二阶偏导数；fuuu、fuvv、fvuu、fvvv、guuu、guvv、gvvu、gvvv为相应的三阶偏导数。例如
进一步地，将广义摇摆方程化简为Hopf正规型。在平衡点进行三阶泰勒展开为
这里仅保留三阶和低阶项，其特征值为
求解复正规型系数如式（42）所示，其实部决定了分岔类型。其中 ℜ ( C1 )＞ 0对应亚临界，ℜ ( C1 )＜0则对应超临界。显然系统为亚临界Hopf分岔。
为求解极限环的振幅和频率，得到广义摇摆方程的极坐标Hopf标准型为
式中，r和θ 分别为复变量z在极坐标系下对应的状态变量。归一化分岔参数μnorm定义为
式中，PDc为分岔参数PD在Hopf分岔点处的临界值。由此可以解得极限环标度律如式（45）所示。极限环幅值即为Hopf分岔主导下的稳定裕度并记作Mos，频率记为Ωos。
式（45）表明，极限环的频率不仅取决于分岔点处的线性频率 ω 1，还会受到非线性效应（由 ℑ( C1)决定）的修正，其修正与幅值的平方成正比。如果ℑ ( C1)=0，则极限环的频率与幅值无关。
3.2 同宿分岔主导的稳定裕度评估
同宿轨道区中同宿轨道内部的轨迹均会收敛至稳定平衡点。而同宿轨道外部的轨迹则会沿不稳定平衡点的不稳定流形发散。吸引域的边界恰好由不稳定平衡点的稳定流形构成，因此可依据其在相平面中的位置来评估暂态同步稳定性。
设切除时间为tc，若切除故障后系统状态位于稳定平衡点的吸引域内，则系统在故障切除后将恢复同步运行。若状态位于吸引域之外，系统将沿着不稳定平衡点的不稳定流形发散，导致失步。图14展示了同宿分岔主导区域内的非线性动力学特性。
图14 同宿分岔主导下非线性动力学行为
Fig.14 Nonlinear dynamic behavior dominated by homoclinic bifurcation
与Hopf分岔产生的极限环相比，此处稳定平衡点的吸引域边界由鞍点的稳定流形构成。这一区别显著影响了系统状态变量的响应特性。以电压跌落故障为例，假设在t=50 s时，无穷大母线电压跌落至Ugfault=0.5(pu)。当故障切除时间tc=51.2 s时，故障后系统轨迹恰好位于吸引域内部，并最终收敛至稳定平衡点，表明系统保持稳定。当tc=51.7 s时，系统状态位于吸引域之外，轨迹沿着鞍点的不稳定流形发散至无穷远，系统失步。
鉴于同宿轨道区中吸引域的边界恰由不稳定平衡点的稳定流形构成，因此可以通过求解该稳定流形来获得吸引域的近似解析表达。在非线性动力系统中，任何平衡点附近的相空间流形均可近似为其在该点处的切空间，即通过系统的线性化描述获得。具体而言，稳定流形是指所有最终会收敛到该平衡点的轨迹所构成的曲线或曲面。在平衡点处，其切线方向恰由线性化系统的稳定子空间（由相应的特征向量决定）所确定。
为实现同宿分岔主导的稳定裕度评估，本文以鞍点处稳定流形的稳定方向与平衡点之间的几何距离作为暂态稳定裕度Mts。设稳定平衡点坐标为xe=(φ1, 0)，不稳定平衡点处坐标为xs=(φ2, 0)。在xs处将系统线性化，雅可比矩阵J的负特征值λs＜0对应的单位特征向量记为vs。基于线性化近似，稳定流形为在xs处切于vs张成的直线，因此可将鞍点处的稳定流形Ws(xs)视为过点xs且切向于vs的直线，即
该直线即为稳定流形在鞍点附近的第一阶切线近似，其中ξ 用于表征直线L上沿特征向量vs方向的任一点相对于鞍点的位移。由此，稳定平衡点 xe到该直线L的最短欧氏距离便可直接用作暂态稳定裕度，即
式中，I为单位阵。投影算子 
将向量投影至 v s方向，算子 I -
将向量投影至 v s的正交补上，从而提取 xe至L的正交距离。该方法仅依赖鞍点和稳态解处的局部线性化信息，避免了逐点数值仿真带来的计算负担，为大规模电力系统稳定裕度快速评估提供了理论支撑。
本文提出的稳定裕度评估方法与临界切除时间（Critical Clearing Time, CCT）或临界切除角度（Critical Clearing Angle, CCA）在机理上具有高度兼容性。具体而言，本文所提裕度指标在相空间中量化了稳定平衡点到吸引域边界距离；而CCT/CCA则量化了故障轨迹从平衡点出发，运动至吸引域边界所需的时间或角度。从动力学角度看，当系统的稳定裕度越大时，故障轨迹运动至边界所需的时间通常越长，表现为CCT的增大。为验证上述正相关性，本文对比了不同稳定裕度系统下的 CCT/CCA指标。保持故障严重程度不变，通过调整系统参数来改变系统稳定裕度，仿真设置见表2。图15展示了对应的相空间轨迹。
表2 不同稳定裕度系统相图参数设置
Tab.2 Phase diagram parameter settings for different stability margin systems
设置 PI Ugfault(pu) Mts CCT/s CCA/rad工况1 0.7 0.5 0.537 9 50.83 0.991 49工况2 0.58 0.5 0.677 5 51.55 1.140 25工况3 0.5 0.5 0.762 2 52.45 1.385 21
图15 不同参数条件下系统非线性动力学行为
Fig.15 Nonlinear dynamic behavior of the system under different parameter conditions
结果表明，随着稳定裕度Mts从0.537 9提升至0.762 2，系统的CCT随之从50.83 s显著增加至52.45 s。因此，在相同故障条件下，提高系统稳定裕度可以有效提升系统极限切除能力。
然而，CCT/CCA指标同时受到系统稳定裕度和故障严重程度的双重影响。发生更严重的故障时，尽管系统的稳定裕度不变，极限切除时间和角度会减小。为阐明这一点，本文进一步对比了不同故障程度下系统非线性动力学行为，如图16所示，参数设置见表3。仿真结果显示，在稳定裕度保持不变的条件下，电压跌落程度从0.5(pu)加剧至0.3(pu)后，CCT将从52.45 s缩减至50.85 s。因此，可以证明极限切除时间/角度同时受到稳定裕度和故障程度的影响。本文所提方法则独立于故障严重性，可以客观地反映系统的稳定性水平，更适用于系统参数设计优化。
表3 不同故障程度系统相图参数设置
Tab.3 Phase diagram parameter settings for systems with different fault severities
设置 PI Ugfault(pu) Mts CCT/s CCA/rad故障1 0.5 0.5 0.762 2 52.45 1.385 21故障2 0.5 0.4 0.762 2 51.42 1.059 41故障3 0.5 0.3 0.762 2 50.85 0.887 04
图16 不同故障程度下系统非线性动力学行为
Fig.16 Nonlinear dynamic behavior of systems under different fault severities
3.3 主导分岔模式识别方法
根据系统平衡点及流形分布规律，可将暂态同步稳定划分为以下几种模式：
1）同宿分岔之前
在此阶段，系统已历经Hopf分岔并产生一个幅值为Mos的极限环。在相平面上稳定平衡点与极限环的距离小于其与不稳定平衡点稳定流形的距离。此时，该极限环尚未与不稳定平衡点的稳定流形接触，且其振幅Mos必然小于暂态稳定裕度Mts。
当系统受扰后的状态轨迹落入极限环之外时，虽然会被极限环排斥，但亚临界Hopf分岔产生的不稳定极限环会使失稳表现为振荡发散，即系统状态并不会直接发散，而是会沿极限环绕行数圈后被排斥。因此，此阶段系统由Hopf分岔主导。
2）同宿分岔点
随着不稳定极限环的逐渐扩张，当其恰好与不稳定平衡点的稳定流形接触时，系统发生同宿分岔。此时，极限环的幅值Mos等于暂态稳定裕度Mts。
3）同宿分岔之后
在同宿分岔发生后，原有的不稳定极限环消失，系统的吸引域边界转变为同宿轨道。当系统受扰后的状态轨迹落入同宿轨道之外时，将直接发散并失去同步。因此，此阶段系统由同宿分岔主导。
综上所述，通过对比Mos与Mts的关系即可识别吸引域形态，进而实现对系统主导分岔模式的识别。
值得注意的是，本文所提稳定裕度评估方法对跟网型和构网型逆变器均具有良好的适配性。跟网型系统由于非线性阻尼的影响，仍需依据前述的主导分岔模式识别方法来确定系统稳定裕度指标；而构网型系统作为Pα=0的特例，其稳定边界仅由同宿轨道构成，可直接采用Mts进行量化。此外，本文推导的稳定裕度指标具有显著的工程应用价值。本文所提方法基于物理参数与稳定裕度显式解析表达式，建立了物理参数与系统稳定性之间的直接映射关系，可以通过针对性地调整参数以扩大吸引域，从根本上提升逆变器并网系统的抗扰动能力，为工程实践提供了参数优化参考。
4 算例研究
逆变器并网系统的暂态同步失稳主要源于Hopf分岔和同宿分岔，这两种分岔分别对应不同的吸引域特性。因此，本节利用PSCAD/EMTDC电磁暂态仿真平台，对系统分岔特性分析及所提稳定裕度指标进行验证。模型拓扑结构如图2所示，逆变器采用PSCAD官方模型，参数详见文献[40]。
4.1 系统参数与稳定裕度的关联性分析
系统相平面被三条余维1分岔曲线划分为四个区域，这些分岔行为受三个独立分岔参数PI、Pα、PD的影响。为了验证分岔特性并分析参数与稳定裕度指标的关联性，首先固定电网电感Lg=0.16(pu)和电流参考值 idref=0.7(pu)，改变锁相环的比例增益kppll和积分增益kipll参数，分析其与暂态稳定裕度Mts与极限环幅值Mos之间的关系，如图17和图18所示。
图17 同步控制参数与稳定裕度的关联性三维图
Fig.17 3D relationship between synchronization control parameters and stability margin
图18 同步控制参数与稳定裕度的关联性平面图
Fig.18 2D relationship between synchronization control parameters and stability margin
由图17和图18可知，随着锁相环比例、积分系数kppll、kipll的增加，Mts逐渐减小，表明系统的暂态稳定裕度降低，而Mos与这些参数之间并无单调关系。值得注意的是，系统的整体稳定裕度并非仅取决于Mos或Mts。当极限环幅值Mos超出同宿轨道范围时，将会引发同宿分岔，导致系统稳定特性发生本质变化。因此，系统的实际稳定裕度受Mos和Mts之间关系的制约。图19进一步对比了不同控制参数下Mos和Mts的大小。从图19中可以看出，随着锁相环比例系数的增大，同宿分岔更可能成为主导分岔模式；而随着积分系数的增加，系统则更倾向于表现出振荡失稳特性。
图19 不同同步控制参数下Mos与Mts的对比
Fig.19 Comparison of Mos and Mts under different synchronization control parameters
在此基础上，进一步分析系统电气参数对稳定裕度的影响。固定锁相环的比例增益kppll=20和积分增益kipll=10 000，研究电气距离和电流参考值与Mos和Mts之间的关系，结果如图20和图21所示。图20和图21中表明，随着电气距离和电流参考值的增加，两种裕度均呈现减小趋势。同理，仅依靠Mos或Mts任一指标，都无法全面衡量系统的稳定裕度。图22展示了系统参数变化下Mos与Mts之间的对比关系。可以看出，随着电气距离和电流参考值的增加，振荡失稳更可能成为系统的主要失稳形态。
图20 电气参数与稳定裕度的关联性三维图
Fig.20 3D relationship between electrical parameters and stability margin
图21 电气参数与稳定裕度的关联性平面图
Fig.21 2D relationship between electrical parameters and stability margin
图22 不同电气参数下Mos与Mts的对比
Fig.22 Comparison of Mos and Mts under different electrical parameters
4.2 分岔特性及主导分岔识别方法验证
为验证上述分岔分析的正确性及主导分岔模式识别方法的有效性，本节分别设置了Hopf分岔主导（振荡失稳）和同宿分岔主导（直接失步）两种典型场景进行仿真。
4.2.1 场景一：Hopf分岔主导
在此场景下，系统参数选择如图6所示的极限环区内，其中锁相环比例系数kppll设为20，积分系数 kipll设为 10 000，Lg=0.24(pu)，电流参考值为0.7(pu)。根据上述分析，此时系统失稳由Hopf分岔主导，稳定边界由不稳定极限环构成。在t=50 s时刻设置电压跌落故障（Ugfault=0.8(pu)），分别在tc=50.01 s和tc=50.02 s切除故障。相角、角频率以及三相电压和电流的时域波形分别如图23所示。
图23 场景一各电气量时域波形
Fig.23 Time domain waveforms of electrical quantities in Scenario 1
tc=50.01 s对应波形如图23a所示，系统波形经历“稳定—振荡收敛—稳定”三个阶段，故障切除后各电气量均恢复至稳态，表明系统保持稳定。tc=50.02 s情况如图23b所示，时域波形经历“稳定—振荡发散—等幅振荡”过程。当系统轨迹超出不稳定极限环范围时，虽然极限环无法将轨迹拉回稳定平衡点，但受其吸引，系统轨迹会围绕极限环绕行数圈，这在时域波形中表现为振荡发散。此外，由于逆变器内部存在限幅环节，在t=55 s时限幅环节被触发，导致波形变为等幅振荡。故障切除后，各电气量持续振荡，表现出明显的振荡失稳特性。
4.2.2 场景二：同宿分岔主导
根据图6的区域划分结果及稳定裕度评估分析，系统参数设置如下：锁相环比例系数kppll设为50，积分系数kipll设为3 000，Lg=0.16(pu)，电流参考值为0.6(pu)。根据上述分析，此时系统失稳由同宿分岔主导，稳定边界由同宿轨道（鞍点的稳定流形）构成。在t=50 s时刻设置电压跌落故障（Ugfault=0.1(pu)），分别在tc=51 s和tc=52 s切除故障。相角、角频率以及三相电压和电流的时域波形分别如图24所示。
图24 场景二各电气量时域波形
Fig.24 Time domain waveforms of electrical quantities in Scenario 2
tc=51 s情况对应图24a的仿真波形。图24中时域波形经历“稳定—收敛—稳定”三个阶段，故障切除后相角、角频率等电气量均恢复稳态，系统保持稳定。而当切除时间设置为52 s时，时域波形如图24b所示，此时系统轨迹已处于同宿轨道之外，导致相角与角频率均发散，同时三相电压和电流在故障切除后出现大幅度振荡，系统从稳定状态转变为非周期失步。
进一步验证构网型逆变器并网系统中所提方法的适用性。根据前文分析，构网型逆变器对应于标准形式中Pα=0的特例，其吸引域边界仅由同宿轨道构成。为验证构网型逆变器并网系统暂态同步失稳特性，系统参数设置如下：虚拟惯量M设为0.04，虚拟阻尼系数D设为0.16，功率参考值Pref设为0.8(pu)，等值电感Lg=0.24(pu)。设置相同电压跌落故障，故障时间选择为 50 s，电压跌落水平设置为Ugfault=0.1(pu)，分别选取故障切除时间tc=51 s和52 s进行对比分析，其时域响应如图25所示。
图25 构网型逆变器并网系统各电气量时域波形
Fig.25 timedomain waveforms of electrical quantities in gridconnected systems with gridforming inverters
仿真结果表明，当tc=51 s时，故障切除后系统状态轨迹位于同宿轨道包围的吸引域内，相角和频率经历短暂波动后收敛至平衡点，系统保持同步，如图25a所示。故障切除时间延长至tc=52 s时，系统轨迹将越过同宿轨道边界，时域波形如图25b所示，故障切除后相角和角频率持续发散，表现为典型的非周期性失步。同时，三相电压和电流在故障切除后出现大幅度振荡。由此证实了构网型逆变器并网系统的失稳动态符合理论分析结果，即系统失稳表现为轨迹穿越同宿轨道后的非周期性发散。
综上所述，本节进行了Hopf分岔主导和同宿分岔主导两种场景下的时域仿真，有效验证了本文所提出的主导分岔模式识别方法的准确性。同时，仿真结果也清晰地展示了在不同分岔机制下系统状态变量的响应特性，证实了本文分岔分析的正确性。
5 结论
本文分析了逆变器并网系统暂态同步失稳的分岔特性，并提出了适用于不同分岔主导区域的吸引域定量刻画方法，从而实现了系统暂态同步稳定裕度评估与主导分岔模式识别。主要结论如下：
1）不稳定极限环构成了Hopf分岔主导区域内稳定平衡点的吸引域边界，本文基于Hopf正规型理论及复正规型系数推导了极限环的特征标度律，作为Hopf分岔主导的暂态同步稳定裕度指标。
2）同宿轨道构成同宿分岔主导区域内吸引域边界，本文基于鞍点稳定流形切空间近似估计了同宿轨道与平衡点之间的几何距离，并将其作为同宿分岔主导的暂态同步稳定裕度指标。
3）根据逆变器并网系统平衡点及流形分布规律，本文提出了基于极限环标度律、平衡点与同宿轨道的几何距离数值大小关系的系统主导分岔模式识别方法。
本文提出的方法能够有效地反映参数变化引起的流形结构演化，并通过吸引域的解析表达实现稳定域边界的高效估计与主导分岔模式的精准识别，显著降低了逐点数值仿真求解吸引域的计算负担。
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