0 引言
为了缓解气候变化的不利影响，发展可再生能源是必然趋势[1]，然而可再生能源的利用受到间歇性和地理条件的限制，其发电量需要即时消耗或通过储能装置存储。储能能够有效提升新能源供电系统的可靠性，减少配电损耗并降低总体生产成本[2]。储能系统除了能够储存多余的能源以外，还具有以下功能：平衡能源供需关系、平抑可再生能源间歇性波动、改善电能质量、削减峰值负荷、提升电厂整体运行效率、降低长期运营成本，并为电力供应不足的偏远地区提供便利[3]。
与其他储能系统相比，重力储能系统（Gravity Energy Storage Systems, GESS）的容量在每个循环中都不会衰减，从而确保了长期稳定的性能；其功率容量与能量容量相互独立，可实现灵活高效的能量管理；且其高能量效率、对环境影响极小以及良好的经济可行性，使得GESS成为一种可持续且可扩展的储能解决方案[4-5]。其中，山地重力储能与先进轨道储能是两种新型的干式重力储能技术。这类系统通过在不同海拔的储能点之间移运岩石或混凝土等重物，利用势能变化实现能量的存储与释放，克服了传统抽水蓄能对水资源的依赖。但山地重力储能与先进轨道储能的实施受特定地形条件制约，依赖高差较大的山地地形[6-7]。
卷扬提升装置技术成熟，广泛应用于电梯和矿井等领域，该装置通过卷筒收放钢丝绳，由旋转电机驱动重物沿垂直或倾斜轨道升降[8]。与之相比，文献[9]在 2019年提出的直线电机重力储能系统（Linear Electric Machine Gravity Energy Storage System, LEM-GESS）采用直线电机直接驱动重物运动，省去了齿轮箱、钢丝绳和提升卷筒等中间转换环节，显著提升了系统往返效率与运行可靠性。根据地理条件不同，LEM-GESS有多种布置形式：在废弃矿井或深竖井中构建矿井式储能系统，可充分利用现有地下空间建造长轨道系统；在山谷等具备自然高差的地区建设高塔式地上结构，可减少轴体高度需求并便于多轨道并联布置。文献[10]进一步研究了基于直线电机的 LEM-GESS，对于轴高约100 m的单轴单活塞系统，可储能约13.6 kW·h，活塞质量约50 t，系统总储能可通过轴长、每轴活塞数与轴数线性扩展。该工作还基于不同轴高和活塞数对系统经济性进行了系统性分析，为LEM-GESS的可行性评估提供了参考。
应用于重力储能系统的直线电机需具备长行程重载驱动能力，在储能与发电双模式下均能保持高效能量转换和稳定输出特性。尽管LEM-GESS凭借维护需求低、使用寿命长、控制精度高等优势成为研究热点，但针对重力储能应用场景的最优直线电机拓扑结构仍有待探索[11]。直线开关磁阻电机（Linear Switched Reluctance Motor, LSRM）因其次级的无永磁体、无绕组特性，具有结构简单、坚固耐用以及材料和制造成本低等优势[12-13]。该电机基于自感变化产生推力，低互感特性使其具有高容错能力和可靠性，是一种适用于长行程应用的驱动装置[14-16]。文献[17]基于旋转开关磁阻电机，提出了一种传统双凸极LSRM设计方法。然而，传统LSRM受齿宽与极距比例限制，存在推力不足的问题，且当电机的凸极部分用作次级侧时，还易出现温升过高和功率密度偏低等问题。文献[18]提出的互耦型LSRM在波浪能发电中表现出色，其磁路优化设计大大提升了电磁推力，验证了LSRM在双向能量转换场景的潜力。文献[19]提出一种应用于船舶升降机的双定子结构LSRM，两个定子中间为无轭的动子。文献[20]则系统地阐述了分段定子型直线开关磁阻电机（Linear Switched Reluctance Motor with Segmental Stator, LSRMSS）的完整设计方法，该设计采用无轭部梯形铁磁块构成模块化定子，形成模块化磁路结构，能够实现不同动子单元的独立运行。文献[21]提出应用于长行程轨道的分段双边LSRM及无位置传感器控制策略，结果表明，分段定子与动子结构能够显著提升推力输出并简化控制系统。文献[22]对四种可能的LSRMSS拓扑结构进行了详细对比研究，所有方案均采用分段式定子。最终选定具有更高推力密度与载荷比的齿对型动子结构作为1 m长垂直推行器的原型，实验验证了该拓扑在高推力直线驱动应用中的适用性。
现有研究多聚焦于单一工况分析，或仅关注电动机驱动性能，或仅研究发电机发电特性。为兼顾电动与发电双模式性能，同时提升推力密度并解决推力脉动过大的问题，本文针对LEM-GESS系统设计了一种分段定子型直线开关磁阻电机，其动子采用M型齿结构替代传统平齿设计。首先，介绍LEMGESS工作原理及新型电机拓扑设计准则；其次，选取兼顾电动/发电性能的优化目标，详细论述所提多层多目标优化设计方法；然后，进行电机静态和动态性能分析，通过有限元分析和仿真验证了优化设计的有效性；最后，制造LEM-GESS样机并进行实验测试，验证电机的可行性。
1 LEM-GESS 工作原理
本文提出的LEM-GESS结构如图1所示，以双凸极直线电机为例，对两类典型拓扑进行了对比。在短初级/长次级方案中，带有励磁绕组的短初级安装在重物块上，轨道部分由覆盖井深的长次级铁心构成，可显著减少材料消耗和制造成本。相比之下，在短次级/长初级方案中，励磁绕组分布在长初级铁心上，重物块上仅安装短次级铁心，对大规模绕组布置和绝缘的要求显著增加，制造与运维成本也随之提高。综合考虑制造可行性与经济性，本文采用短初级/长次级拓扑作为LEM-GESS的基本结构，并支持在重物块单侧或多侧布置多个初级单元以提升输出功率，或在单一竖井内布置多个重物块以扩展储能容量。
图1 所提LEM-GESS示意图
Fig.1 The schematic diagram of the proposed LEM-GESS
1.1 LEM-GESS 的工作机理
假设储能块在上升和下降过程中不受除了空气摩擦力以外的其他阻力，理想情况下LEM-GESS在储能和释能阶段的受力分析分别如图2和图3所示。
图2 LEM-GESS储能阶段受力分析
Fig.2 Force analysis of LEM-GESS during the energy storage phase
图3 LEM-GESS释能阶段受力分析
Fig.3 Force analysis of LEM-GESS during the energy release phase
在储能阶段，重物块受到向上的牵引力而上升，直至到达矿井的顶层而停止，矿井的整体高度为h，此时电能转化为重力势能被存储起来。重物块在上升的加速阶段的具体受力如图2a所示，此时向上的加速度a1＞0，重物块受力分析为
式中，m为质量；FM为重物块所受牵引力；g为重力加速度；f1为重物块上升过程所受的摩擦力；C为空气阻力系数，与物体的迎风面积、物体光滑程度和整体形状有关；ρ 为空气密度；S为物体的迎风面积；v1为储能阶段物体与空气的相对运动速度。当重物块加速到v1达给定速度vup后，重物块达到匀速运动的稳态状态，此时受力如图2b所示，a1=0时，其受力分析为
电动机的输出功率为
假设稳定运行的高度为h1，则摩擦损耗Wf为
考虑到动子在上升过程中存在电损耗和磁滞损耗，用两个阻值确定的电阻来等效运行过程中线路和绕组产生的损耗，其损耗We为
式中，I为母线电流；Re为电损耗；Rφ 为磁滞损耗；ts为重物块完成整个储能动作所需的时间。
重物块在上升至矿井顶层之前要减速至0，假设重物块加速和减速的加速度曲线一致，则在整个上升的过程中，系统存储的能量Wr为
获得的重力势能W=mgh，可得储能效率为
在释能阶段，直线电机工作在发电状态，将存储的重力势能转换为电能。假设重物块从矿井顶层h开始向下落，下降的初始速度为0，当向下的加速度a2＞0时，重物块处于向下加速的阶段，受力如图3a所示，重物块受力分析为
式中，Fg为重物块所受牵引力；f2为重物块下降过程所受的摩擦力；v2为释能阶段物体与空气的相对运动速度。在加速的过程中，发电机的输出功率不稳定，此时不进行并网。重物块逐渐开始加速，下降到一定高度h2后，到达稳定速度vdown。
此时，a2=0，具体的受力分析如图3b所示。重物块保持该恒定速度开始匀速运动，发电机的输出电能稳定，可以可靠地进行并网操作，重物块的受力表达式为
发电机的功率为
同理可得释放的重力势能W=mgh，输出的电能为Ws，整个释能过程中的能量转换效率为
1.2 LEM 的拓扑结构
LEM拓扑的选择及其重要，应用于LEM-GESS的电机需要满足长行程、垂直运动的需求，要求能够在低速、高推力工况下满足电动和发电状态兼顾，并保持高效运行。LSRM结构简单、坚固耐用，具有较高的容错能力和可靠性，能够在复杂工况下长时间稳定运行，是LEM-GESS的合适选择。所提三相LSRMSS的本体结构如图4所示。
图4 LSRMSS结构
Fig.4 The topology of the LSRMSS
LSRMSS的动子与定子均由硅钢片叠压而成。LSRMSS的定子采用模块化分块设计，由数个独立的梯形铁磁块构成，每段定子在电动和发电工况下均能与上下移动的动子保持均匀的磁耦合。LSRMSS的动子各极上绕有全节距三相绕组，每相线圈都跨越三个相邻的动子齿，其磁通路径更短，相电感更大，使LSRMSS具有更高的推力。不同于传统的平齿型，LSRMSS的动子齿采用M型动子齿，即一个齿的表面包含两个对称的突出弧形，构成M型结构。M型的中点和两侧极靴顶点处于同一水平线上，中点位于极靴的中点，以确保两侧弧形的长度和高度一致，有利于磁场的均匀分布和气隙的对称性。而bmtl和bmtr则为M型极靴两侧顶点与动子极中线之间的长度。图5为LSRMSS绕组电感随动子位置x的变化曲线。当位移为0时，对应于动子极中心线与定子槽中心线对齐的位置，此时的磁阻最大，电感为最小值Lmin。随着位移x的增加，磁阻逐渐减小，电感值逐渐增大，当动子移动半个定子极距至xa时，动子极中心线和定子磁铁块中心线对齐，电感达到最大值Lmax。
图5 相绕组电感曲线
Fig.5 Inductance curves of phase windings
电磁力方向只受电感随动子位置变化情况的影响。如图5a所示，LSRMSS在上升时利用电感的上升区域[x2, x3]，相绕组中有电流流过会产生正方向的电动力，电机处于电动阶段。如图5b所示，LSRMSS在下降时利用电感的下降区域[x2, x3]，相绕组中有电流流过会产生反方向的制动力，此时若有机械力维持电机运动，电机处于发电状态。
相比采用水平动子齿的传统LSRMSS，本文提出的M型动子齿的LSRMSS能够有效优化电感随位置的变化特性，相比之下其最大最小电感值比值更大，电感在动子和定子齿逐渐对齐或脱离时的变化率增大。电机处于电动阶段时，导通区域的电感值更小，关断区域的电感值更大，能够产生更大的推力。电机处于发电状态时，导通区域内的电感更小，可以对电机进行充分励磁，关断区域的电感更大，能够有足够强的续流电流将机械能转换为电能。因此，M型齿动子的设计能够使电机更好地兼顾重力储能系统的电动和发电两种工况需求。
1.3 设计准则
采用所提LSRMSS的LEM-GESS局部结构示意图如图6所示。本文在重物块相对的两侧各安装一个动子，随着重物块在电机的充放电过程上下移动，这种配置方式方便了储能块的进入和退出，也确保系统在运行过程中受力的均衡分布，减少因不平衡负载而产生的振动和磨损，保证了系统的稳定性和可靠性。模块化分段定子固定在竖直非磁导框架上，并覆盖整个井深的长度，以满足长行程重力储能系统的运行需求。
图6 采用所提LSRMSS的LEM-GESS结构示意图
Fig.6 Schematic diagram of the LEM-GESS structure employing LSRMSS
在实际工程应用中，重力储能系统通常具有很大的储能容量和功率等级。若在同一轴上布置多个储能块，并通过合理的调度使其交替升降，可显著提高系统的功率输出能力，多轴并联布置也能够进一步扩展总储能容量，从而满足大规模电网调峰或可再生能源消纳的需求。对于轴高为500 m、单个储能块质量为50 t的LEM-GESS，其单轴单储能块的储能容量可达约68 kW·h。将装配有两个动子的重物块视作一个储能块整体，表1给出了此系统下的设计需求，并提出了相应的电机关键性能指标。为了模拟长行程重力储能系统在充放电过程中升降过程的运行速度，将电动状态的额定速度设置为0.35 m/s，发电状态的额定速度设置为0.85 m/s，并且电机额定电压为1 500 V，系统的额定功率为180 kW。
表1 LEM-GESS 实际应用设计指标
Tab.1 Specifications of the LEM-GESS
参 数 数 值额定功率P/kW 180额定电动速度Vm/(m/s) 0.35额定发电速度Vg/(m/s) 0.85额定电压U/V 1 500电机叠厚L/mm 5 800电流密度J/(A/mm2) ＜6.5
在得到 LSRMSS的所提电机的拓扑和关键设计指标后，通过LSRMSS的功率方程，得到动子有效长度lms的表达式[19]为
式中，η 为效率；AS为电负荷；Bg为气隙磁通密度；δ 为最大电感与最小电感的比值；ks为定子宽度bst与定子极距τs之比；Ns与Nm分别为定子极数和动子极数。为得到LSRMSS的初始设计，对上述常系数作出假设，取η=0.5，AS=27 500 A/m，Bg=1.4 T，δ=2.5，ks=0.83。通过式（15）可以计算出动子有效长度lms为5 430 mm，叠厚为5 800 mm，在确定LSRMSS的两个主要参数lms和L后，其他设计参数使用通用设计准则来确定。在实际应用中LSRMSS的初始设计参数见表2。通过仿真得到，采用初始电机结构的系统在电动模式的推力大小为700 kN，在发电模式的发电功率为 182 kW，所提LSRMSS能够满足实际储能工况对大功率、长行程电机的需求。
表2 新型LSRMSS 初始设计参数
Tab.2 Initial design parameters of the LSRMSS
电机参数 大尺度电机 小尺度原型机定动子极数比Ns/Nm 4/6 4/6相数q 3 3每相绕组匝数N 225 225电机叠厚L/mm 5 800 90气隙厚度Lg/mm 1.5 0.3定子极距τs/mm 1 357.5 21动子极距τm/mm 905 14定子宽度bst/mm 1 130.75 17.5定子间距bss/mm 226.25 3.5定子斜宽bs/mm 290 4.5定子高度hs/mm 452.5 7动子轭高hmy/mm 452.5 7动子高度hm/mm 3125 46动子左极靴宽bmtl/mm 678.75 5.25动子右极靴宽bmtr/mm 678.75 5.25动子齿间距bms/mm 226.25 3.5动子齿尖宽度bos/mm 113.125 1.75动子极宽bm/mm 452.5 7动子凸齿高度hct/mm 0.4 0.4动子极靴高度hmt/mm 130 2
受限于场地与测试条件，180 kW等级的大尺度电机暂不具备实验可行性，因此本文选取单轴、单储能块的小尺度原型进行进一步研究，该原型机在结构拓扑、绕组布局均与大功率电机保持一致，仅在功率等级和几何尺寸上进行缩比。表3给出了此LEM-GESS原型机的关键设计指标，系统轴高为3 m、储能块质量为12 kg，总功率等级为60 W，该小尺度电机的初始设计参数见表2。通过对小尺度原型机的仿真与实验，可以有效验证新型LSRMSS拓扑及优化方法的可行性，同时为大功率直线电机的实际应用提供参考和设计依据。
表3 LEM-GESS 原型机设计指标
Tab.3 Design criteria of the proposed LEM-GESS prototype
参 数 数 值额定功率P/W 60额定电动速度Vm/(m/s) 0.35
（续）
参 数 数 值额定发电速度Vg/(m/s) 0.85额定电压U/V 24电机叠厚L/mm 90电流密度J/(A/mm2) ＜6.5
2 多目标优化电机结构
本文提出一种针对LEM-GESS的多层多目标优化方法，通过将两侧动子视为整体进行协同优化。优化设计流程如图7所示，该方法首先明确LSRMSS的优化目标与设计变量：选取电动推力密度、电动推力脉动、发电功率密度及发电推力脉动作为优化目标。为提升优化效率，采用单参数扫描法进行设计参数灵敏度分析，将参数划分为强敏感参数与弱敏感参数两类。针对强敏感参数，基于Box-Behnken实验设计（Box-Behnken Design, BBD）构建响应面模型，采用二阶多项式拟合各优化目标的数学模型，进而构造多目标优化函数，并应用多目标灰狼优化（Multi-Objective Grey Wolf Optimizer, WOGWO）算法求解帕累托最优解集以获得参数最优解。对于弱敏感参数，则采用田口正交试验法进行优化。特别地，为有效抑制推力脉动，提出将双侧定子在垂直方向进行特定距离的错位布置，并通过单参数扫描法确定最优错位距离。
图7 优化设计流程
Fig.7 Flowchart of the optimization method
2.1 灵敏度分析
为提高直线电机的整体运行性能，使其更满足重力储能系统下电动与发电的双重性能需求，选定能够兼顾电动和发电两种状态需求的优化目标。在电动模式电机需要在有限空间内提供足够推力以克服重力，同时平稳地推动重物上升，选取电动推力密度Fρ 和电动推力脉动Frm作为优化目标。而在重物下降进行发电时，将储存的势能转化为电能，高功率密度支持高效的能量转化，低推力脉动有助于平稳的发电过程，选取发电功率密度Pρ 和发电推力脉动Frg作为优化目标。优化目标函数式为
式中，T为动子电周期；Favg为一个电周期内的平均推力值；Pg为发电功率；mFe为电机动子铁心的质量；Fr为推力脉动，采用统一计算公式，在电动阶段表示为Frm，发电阶段表示为Frg；Fmax和Fmin分别对应推力的最大值和最小值。
除了叠厚L、气隙厚度Lg、动子高度hm、定子极距τs和动子极距τm等固定参数以外，选取其余八个几何参数定子宽度bst、定子斜宽bs、定子高度hs、动子轭高hmy、动子左极靴宽bmtl、动子右极靴宽bmtr、动子极宽bm和动子极靴高度hmt为设计变量。设计变量数量过多会大幅增大优化成本，通过灵敏度分析识别上述八个设计参数对电机性能的影响，将设计参数分为强敏感参数和弱敏感参数，以降低多目标优化复杂度，提高优化效率。引入灵敏度指标和综合灵敏度指标来综合衡量设计变量对四个优化目标的敏感性[23-24]，综合灵敏度指标 G(ni)可表示为
式中，SFρ、SFrm、SPρ和SFrg分别为电动推力密度、电动推力脉动、发电功率密度和发电推力脉动的灵敏度指标；ω1、ω2、ω3和ω4分别为SFρ、SFrm、SPρ和 SFrg的权重值，满足ω1+ω2+ω3+ω4=1。由于LSRMSS对电动和发电两种状态的优化目标的需求同等重要，同时在多目标优化后会采用定子错位的方法对推力脉动进一步降低，将四个权重因子值分别设定为0.3、0.2、0.3和0.2。
通过有限元分析，对八项设计变量与四项关键优化目标之间的灵敏度关系进行了系统评估，并计算了综合灵敏度指数，具体结果见表4。设计变量对优化目标的灵敏度参数如图8所示，柱状图直观呈现了各变量的灵敏度对比情况。分析表明，bst、bmtl、bm作为强敏感设计变量，其综合灵敏度指数均超过0.4；而bs、hs、hmy、bmtr和hmt五个参数对四个优化目标的影响相对较弱，故归类为弱敏感设计变量。
表4 设计变量的灵敏度
Tab.4 Sensitivity of design variables
变量 SFρ SFrm SPρ SFrg G(ni)bmtl 0.208 0.631 0.590 0.504 0.466 bmtr 0.034 0.050 0.051 0.127 0.061 bs 0.091 0.024 0.070 0.022 0.057 bst 0.695 1.032 1.015 0.504 0.820 bm 0.935 0.079 1.311 0.086 0.707 hmt 0.061 0.033 0.057 0.029 0.048 hmy 0.051 0.045 0.023 0.008 0.034 hs 0.136 0.085 0.122 0.041 0.103
图8 设计变量对优化目标的灵敏度参数
Fig.8 Sensitivity indices of optimization objectives to design variables
2.2 响应面模型
响应面分析方法可定量评估设计变量间的交互作用，既能预测目标函数值，又能优化电机参数组合，从而显著提高优化效率[25]。其中，BBD是一种常用的实验设计方法。相较于中心复合设计和全因子设计，BBD方法不会超出设计变量的优化范围，能够减少实验次数，提高实验效率，同时有效地探索变量之间的非线性关系。因此，本文选用 BBD方法为响应面模型选取样本点。对强灵敏度变量设置三个水平进行优化，设计变量水平值见表5。采用BBD方法仅需进行17组实验，而全因子设计则需33=27组实验，实验效率提升显著。
表5 设计变量水平值
Tab.5 Level of design variables（单位: mm）
水平值变量-1 0 1 bmtl 5.25 5.75 6.25 bst 17.0 18.0 19.0 bm 4.0 5.0 6.0
通过有限元仿真，记录各实验点对应的性能，并利用Design-Expert对所取样本点的电机仿真结果进行了分析，对设计变量和四个优化目标进行二次回归函数拟合。通过拟合实验数据，得到描述设计变量与优化目标间关系的二次多项式方程，由此建立了三个主要设计变量与四个优化目标的响应面模型。以电动推力密度为例，其拟合回归方程为
其余优化目标的回归方程具有相似的结构形式。
四个优化目标的响应面模型均表现出较高的梯度变化特征，说明了三个关键设计变量对优化目标具有显著影响。本研究采用多重相关系数R2评估模型对电机实际性能的拟合优度，根据统计学理论，R2值越接近1，表明模型对电机性能的描述越精确。R2的计算公式为
式中，n为测试样本数； y i、
和
分别为响应面模型的响应值、预测值和平均值。四个响应面模型的R2值分别为0.999 4、0.993 9、0.999 7和0.951 9，均大于0.95，表明模型的拟合效果良好。
采用多目标灰狼优化算法对显著变量进一步优化，以得到LSRMSS在电动和发电两种工况下的最优性能。为了同时考虑多个目标函数，在灰狼算法中引入外部种群Archive，用于存储非支配最优解并剔除大量相似解，并采用领导者选择策略，从外部种群Archive选择捕食过程中的领导者，最终收敛到一组最优的帕累托前沿解[26]。设置初始种群和Archive种群数为100，迭代次数50次，得到的Pareto解集如图9所示，图9a为基于Pρ、Frm和Fρ 的最优解集空间分布，图9b为基于Pρ、Frm和Frg的最优解集空间分布。根据对LEM-GESS性能的追求，从解集中选取了三个较优点，三个优化点求得的性能见表6。通过比较可知，虽然设计2的推力脉动相对较大，但是其电动推力密度和发电功率密度都是最优的。最终选取设计2作为最优设计，即强灵敏度变量的取值为bst=18.10 mm，bmtl=5.30 mm，bm=4.30 mm。
表6 所选较优点的性能比较
Tab.6 Performance comparison of selected points
变量 初始设计 设计1 设计2 设计3 bst/mm 17.50 17.80 18.10 17.9 bmtl/mm 5.25 5.50 5.30 5.40 bs/mm 7.00 4.40 4.30 4.60 Fρ/(N/kg) 56.10 72.83 73.10 71.97 Frm(%) 145.50 131.52 135.12 134.31 Pρ/(W/kg) 8.18 12.57 12.78 12.22 Frg(%) 242.74 230.58 234.53 233.73
图9 四个优化目标的最优解集
Fig.9 Optimal sets of four optimization objectives
2.3 田口正交法
田口方法通过正交表设计实验方案，可系统分析多因素影响，在较少实验次数下高效确定最优设计方案，已广泛应用于电机参数优化领域[27-28]。本文采用田口方法对五个弱灵敏度变量bmtr、bs、hs、hmt和hmy进行优化。在变量合理范围内选取了四个水平值，仅需16组实验，显著降低了实验成本。为综合评估弱敏感变量的影响，建立如下目标函数。
式中，Fρmax和Pρ max分别为电动推力密度和发电功率密度的最大值；Frm min和Frm min分别为电动推力脉动和发电推力脉动的最小值；α1、α2、α3和α4分别为Fρ、Frm、Pρ和Frg的权重值，满足α1+α2+α3+α4=1，将四个权重因子的值分别设定为0.3、0.2、0.3和0.2。通过有限元分析依次求解16组参数组合，获得各变量在不同水平下对各优化目标的平均值，并基于式（23）计算出各设计变量的多目标函数值Fobj。图10展示了不同水平下的Fobj变化趋势，因素A、B、C、D和E分别表示五个变量bmtr、bs、hs、hmt和hmy。
图10 不同水平下的多目标函数值
Fig.10 Objective function for different factors and levels
目标函数值越大，说明电机的综合性越好，由图15可见，参数组合选择为A1B2C2D3E1时Fobj值最大，即弱灵敏度变量bmtr、bs、hs、hmt和hmy的值分别为5.0、5.0、5.0、2.2和5.5 mm。
2.4 降低推力脉动
在完成对本文所提M型动子齿LSRMSS的结构优化后，为了进一步降低LEM-GESS整个系统在电动和发电状态下的推力脉动，采取将固定在两侧的定子块错位安装的方法，即两侧的定子在垂直方向上错位hss，两侧定子垂直错位安装的储能模块示意图如图11所示。
图11 两侧定子垂直错位安装的储能模块示意图
Fig.11 Schematic of the energy storage block with vertically offsetting stators
由于对称安装在重物块两侧的动子的磁路完全独立，不存在电磁耦合，各自磁通变化和电磁推力不会相互影响，定子错位仅通过机械方式改变两侧推力波形的相位差，从而实现合成推力脉动的互补，因此可以通过单参数扫描确定hss的最优值。图12为不同错位距离下系统推力曲线的对比结果。可以看出，当hss=3.5 mm时，推力脉动最小：电动工况下由134.63%降至48.41%，发电工况下由234.27%降至72.90%。同时，不同错位距离下整个系统的平均推力基本保持一致，说明错位操作对两侧电机的电磁结果无显著影响。
图12 在不同错位距离下的推力曲线对比
Fig.12 Comparison of thrust curves at different stator offset distances
最终，应用所提多层多目标优化方法后得到了LSRMSS的最优尺寸，具体性能对比见表7。可以看出，LSRMSS在电动推力密度和发电功率密度分别提高了44.4%和67.1%，电动推力脉动和发电推力脉动分别降低了66.7%和67.0%，验证了所提优化方法的有效性。
表7 优化前后性能比较
Tab.7 Performance comparison of initial and optimal design
变量 初始结构 最优结构Fρ/(N/kg) 56.10 81.00 Frm(%) 145.50 48.41 Pρ/(W/kg) 8.18 13.67 Frg(%) 242.74 72.90
3 LSRMSS 性能分析
本小节将分析优化后的单个LSRMSS静态和动态特性，并与传统平齿型LSRMSS进行了性能对比。
3.1 静态特性分析
基于优化后的结构参数，在Altair FLUX中建立了有限元模型，其网格划分的面元数为18 508个，99.14%的网格质量评价为优。仿真铁心材料选用和样机材料一致的50DW470，并对气隙及齿端区域进行了局部加密，以提高计算精度。图13展示了在B相绕组通入3 A电流时，LSRMSS在不对齐位置与对齐位置下的磁通密度分布。可以看出，各线圈的磁通路径仅通过两个相邻动子极与一个定子段，这种结构设计能有效提升电机出力。在不对齐位置，动子极的磁通密度为0.7 T，对齐位置时磁通密度值约为1.5 T，符合设计要求。
图13 磁通密度分布
Fig.13 Flux density distributions
静态特性如图14所示。图14a为B相绕组电流从1 A增至10 A（间隔1 A）时的静态电磁力特性曲线。随着电流增大，静态电磁力也相应增大。图14b为电流从1 A增加到10 A（间隔1 A）时B相绕组的电感曲线。可以看出，不同的电流下的电感在不对齐位置几乎相等，在对齐位置达到最大值，而随着电流的增加，电感逐渐减小。当通入2 A电流时，LSRMSS的最大电感和最小电感分别为130.4 mH与40.4 mH。由于该电流下电感未达饱和状态，其不饱和最大最小电感比为3.2。
图14 静态特性
Fig.14 Static characteristic
3.2 动态特性分析
为验证所提新型 LSRMSS在重力储能系统中应用的可行性，基于Matlab/Simulink平台开展了动态特性仿真研究。将有限元分析获取的磁链特性与静态推力特性数据导入Simulink建立的直线电机系统模型，分别对电动与发电两种工作模式进行仿真分析。在电动模式下，设定 LSRMSS运行速度为0.35 m/s，额定工作电压为24 V，图15a展示了该模式下角度位置控制时的电流与推力波形。在发电模式下，运行速度提升至0.85 m/s，额定工作电压为24 V，图15b则呈现了发电模式角度位置控制下的电流与推力特性曲线。
图15 电流和推力曲线
Fig.15 Current and thrust curves
3.3 性能对比
为了验证所提出的M型动子齿型的优越性，将其与传统平齿LSRMSS进行了对比。除动子极齿形状差异外，两款电机的其他几何尺寸均保持完全一致。值得注意的是，由于M型的弧形曲面特性，定子和动子之间的气隙厚度不均匀，两侧极靴顶点的最大气隙厚度为0.7 mm，而弧形顶点的最小气隙厚度为0.3 mm，因此将平齿型LSRMSS的气隙厚度取为平均值0.5 mm，图16直观对比了两种设计的动子齿形结构差异。
图16 动子齿型结构对比
Fig.16 Comparison of the mover tooth shapes
在图17中比较了电流分别为1 A和3 A时两种电机的相电感特性。可见，M型齿LSRMSS的对齐电感明显更大，特别是在不饱和电流下具有更大的最大最小电感比。在1 A和3 A的电流下，M型齿LSRMSS的最大、最小电感比分别为3.4与2.6；平齿LSRMSS的最大、最小电感比分别为3.0与2.5。
图17 两种齿型电机在不同电流下相电感对比
Fig.17 Comparison of phase inductance of the two motors with different currents
4 实验验证
为验证本文所提电机结构及优化方法的可行性，研制了高度为3 m的LSRMSS原理样机，其定子块和动子均采用50DW470硅钢片制成，具体结构如图18所示。该样机通过质量块沿导向轨道的垂直运动实现系统能量的存储与释放。安装过程中需确保两侧定子与动子间保持0.3 mm的最小气隙，以避免气隙不均对电机性能产生影响。另搭建了实时测试样机静态和动态特性的实验平台，包括PC、示波器、负载电阻、控制器、不对称半桥拓扑的功率变换器、电流采样电路和电压采样电路，如图19所示。
图18 LSRMSS样机结构
Fig.18 Prototype structure of the LSRMSS
图19 LSRMSS实验平台
Fig.19 Experimental platform of the LSRMSS
4.1 静态特性测试
图20 给出了采样电路在不对齐和对齐位置采集到的相电流、相电压波形。然后利用实测的相电压和相电流，根据计算磁链曲线的方程，将测得的磁链-电流曲线与有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）结果进行比较，如图21所示。由图21可知，实测磁链特性与仿真结果基本一致。
图20 相电流和相电压曲线
Fig.20 Phase current and voltage curves
图21 磁链的仿真与测量结果
Fig.21 Simulation and measured results of flux linkage
4.2 动态特性测试
图22 展示了角度位置控制模式下LSRMSS在电动与发电状态下的相电流、相电压及推力波形。示波器通道1、2、3分别为三相电流iA、iB、iC波形，通道4显示B相电压uB波形，通道5显示推力F波形。图22a为电动模式下的测试结果，工作电压24 V，上升速度0.35 m/s，导通位置0 mm，关断位置7 mm；图22b为发电模式下的测试结果，工作电压24 V，下降速度0.85 m/s，导通与关断位置分别为9 mm和17 mm。
图22 相电流与相电压的动态测量结果
Fig.22 Dynamic measured results of phase current and phase voltage
图22 表明，实测推力波形与仿真结果比较一致，处于合理的误差范围内。电动状态下的平均推力实测值为150.85 N，和仿真相比误差为8.49%；发电状态下的平均推力为64.23 N，和仿真值相比误差为7.03%。产生误差的主要原因包括以下几个方面：①机械损耗。导轨摩擦、轴承阻力和空气阻力等机械损耗在仿真中难以完全准确建模。通过在轨道不同位置进行测试，测得储能块在运行过程中所受的平均库仑摩擦力约为41 N，仿真与实际摩擦损耗的差异会导致结果出现偏差。②装配误差。实际装配过程中，定子块的表面平整度、定子块间、定子与动子间的配合公差、轨道安装垂直度以及结构件的受力变形都会导致气隙出现微小的不均匀分布。当气隙略增大或出现局部不均匀时，会导致平均推力下降并改变推力波形等。③测量误差。电流传感器的固有精度限制会引入测量不确定度，其量程精度通常在±0.5%左右；采样测量电阻也存在约±0.5%的阻值误差和温漂；此外采样率、电磁干扰等也可能引起波形偏差。④模型误差。仿真过程中未考虑直线电机的端部效应，导致气隙磁场在端部区域畸变，使部分相电流波形较理论结果偏小；同时相邻相之间的互感作用可能引起电压曲线出现波动；局部铁损和温升等在仿真中也未能完全考虑，会引入一定误差。
5 结论
本文提出了一种适用于重力储能系统的新型LSRMSS，通过采用多层次多目标优化方法显著提升了电机在电动与发电两种工况下的综合性能，通过静态、动态特性分析和实验验证，并与相同尺寸和材料的传统型 LSRMSS进行对比，得出了几点结论：
1）LSRMSS的定子为模块化梯形铁磁块，动子齿为M型结构并采用全节距绕组，二维有限元分析表明，每个线圈的磁通路径只经过相邻的两个动子极并通过一个定子块，短磁通路径能够减少铁耗，提高效率。
2）提出一种多层多目标优化策略，在减少优化时间的同时，显著提升了电机在两种工况下的性能。优化后，电动推力密度和发电功率密度分别提高了44.4%和67.1%，电动推力脉动和发电推力脉动分别降低了66.7%和67.0%。
3）将所提M型齿LSRMSS的性能与相同尺寸的传统平齿LSRMSS进行比较。对比了不同电流下的电感特性，所提M型齿LSRMSS具有更大的最大最小电感比。因此，M型齿LSRMSS电动推力密度和发电推力密度都有显著提升。
最后，研制了高3 m的LEM-GESS样机，通过静态和动态实验验证了有限元分析和 Matlab/Simulink仿真的结果，所提电机更契合中长时段、大功率的重力储能应用需求，可用于电网调峰、可再生能源并网消纳与应急备用等场景。尽管本研究通过优化已将推力脉动显著降低，但较高的脉动仍可能导致储能块在运行过程中振动，影响控制精度进而损坏机械结构，减少使用寿命，未来将进一步研究降低电机推力脉动的方法，同时所提电机结构在大规模重力储能系统中的应用也是未来将要开展的工作。
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