0 引言
随着电机设计和制造工艺的持续进步，永磁电机电磁性能得到了快速提升[1-3]。无槽永磁电机因其控制性能优异、体积小和质量轻等优点，在新能源汽车、航空航天、医用呼吸机、电主轴和手术电锯等领域引起了广泛关注[4-7]。
在无槽永磁电机初始设计阶段需计算电机电磁性能。基于有限元计算的方法能够获得准确计算结果，但通常耗时且耗费资源，尤其是在常需要修改尺寸及材料参数时[8-10]。因此，快速、准确的解析法是解决上述问题的良好方案[11-12]。
基于精确子域模型的解析方法是求解电机电磁场的主要方法，其中各子域可划分为无源区和有源区，无源区一般使用标量磁位法，有源区一般使用矢量磁位法[13-14]。在矢量磁位法中，文献[15]研究了不同电枢电流对绕组的电感、反电动势（Electromotive Force, EMF）和电磁转矩的影响，并推导了显示表达式，为表贴式无槽永磁电机的电磁性能解析计算奠定了基础。文献[16]研究了不同充磁方式对反电动势及气隙磁通密度的影响。文献[17-19]使用标量磁位法计算电磁性能后对电机进行优化，得到性能更加优越的无槽永磁电机。文献[20]研究了不均匀气隙对气隙磁通密度的影响，并推导了反电动势的准确表达式。文献[21]虽然采用了矢量磁位法和磁路法共同建立了永磁电机的电枢负载磁场解析模型，但是磁路法漏磁无法准确计算导致计算结果不理想。
相比于矢量磁位法，标量磁位法求解更快且更易于理解。在标量磁位法中，文献[22]首次建立了基于标量磁位法的无槽永磁电机解析模型，简化了计算过程，推导了适用于内转子和外转子、径向充磁和平行充磁的气隙磁通密度的表达式。文献[23]在标量磁位法的基础上，通过对气隙磁通密度幅值、效率及质量限制提出了一种两极无槽永磁电机的简化设计方法，该方法能根据所需电磁参数快速生成给定规格的电机设计方案。文献[24]虽然提出了一种基于复频域谐波建模的二维子域半解析模型，该模型求解了电枢产生的磁场应用于电励磁电机，但是其仍然不能直接应用于永磁电机求解电磁性能。文献[25]提出了一个轴向磁通电机的复频域分析模型，采用标量磁势法考虑了4极10槽电机中电枢反应的影响。然而，在求解拉普拉斯方程时省略了对永磁体剩磁的分析，忽略了永磁体的特定解且无法直接求解径向磁通电机。
针对这些问题，本文首先提出一种基于标量磁位法的径向磁通电机复频域半解析模型，并在模型中考虑永磁体剩磁的影响；然后系统地解析了电枢反应对各种磁极对数、极弧系数、充磁方式和绕组分布下无槽永磁电机电磁性能的影响；最后通过有限元仿真及实验验证了所提方法的准确性。
1 电磁性能分析
表贴式无槽永磁电机的二维截面如图1a所示。图中，Rs为定子铁心内半径；Rc为绕组半径；Rm为永磁体外半径；Rr为转轴半径；α 为永磁体N极轴线与极轴的夹角；hm为永磁体厚度；g为气隙长度；θ 为原点与坐标系任意点连成的射线和极轴的夹角；r为坐标系内任意一点到原点的距离。为了便于加工制造，定子未开槽由圆环型硅钢片叠片而成；转子由铁心、表贴式永磁体组成；无槽电枢绕组位于气隙中，并采用漆包线、支架和黏合剂制成，其绝缘性和耐热性好且不易变形。
图1 无槽永磁电机二维结构
Fig.1 2D structure of slotless permanent magnet motor
为了求解电机的磁场分布，对模型做出了以下简化或假设：①使用二维极坐标系作为参考系；②逆时针方向是θ 的正方向；③假设永磁体的N极轴位于θ=0位置；④铁心的磁导率无穷大；⑤忽略磁饱和的影响。
1.1 气隙磁通密度分析
为了便于分析电枢反应及永磁体剩磁对磁通密度的影响，将气隙从内到外细分为区域Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ，其中区域Ⅰ指定为永磁区域，区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ为气隙区域，电枢绕组位于区域Ⅲ中，如图1b所示。气隙Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和永磁体Ⅰ中的磁通密度矢量与磁场强度矢量的关系为
式中， IB和HI分别为永磁体中的磁感应强度矢量和磁场强度矢量； iB和Hi分别为气隙域中的磁感应强度矢量和磁场强度矢量（i=Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）；μ0为真空磁导率；μr为相对磁导率；M为磁化强度矢量。
对于具有线性第二象限退磁曲线的永磁体，磁化强度矢量的幅值为
式中，Br为永磁体剩磁。
在二维极坐标系中旋度为零的向量场可以表示为标量场的梯度，有
式中，H为磁场强度矢量；Hr和Hθ 分别为径向、切向磁化强度标量；er和eθ 为二维极坐标系中的一组单位基向量；φ 为标量磁位。
根据时域和频域之间的关系，写成矩阵形式，遵循
式中，Hmr和Hmθ 分别为径向和切向磁场强度矩阵； mφ 为标量磁位矩阵，矩阵中每项为各阶次傅里叶级数；j为虚数单位；Nθ 为谐波阶次对角矩阵，有
式中，p为极对数；nmax为最高谐波阶次。
根据电磁场理论，在气隙和永磁体中有
式中， iφ 为气隙标量磁位。
因此，气隙及永磁体的控制方程为
式中， Iφ 为永磁体标量磁位。
磁化强度矢量由极坐标系中的一组基矢量表示为
对于径向充磁和平行磁化，磁化强度矢量的径向和切向分量Mr和Mθ 的波形如图2所示，图中αp为永磁体的极弧系数。
图2 永磁体剩磁分布
Fig.2 Distribution of residual magnetization of permanent magnets
上述波形可以用傅里叶级数的复数形式表示，有
式中，n为谐波阶次且 - n m ax ≤ n ≤ nmax 。将磁化强度矢量的径向和切向分量Mr和Mθ 利用傅里叶级数写成矩阵形式为
式中，Mmrn和Mmθ n分别为Mr、Mθ 的矩阵形式；Mrn和Mθ n为对应傅里叶级数中的第n项系数。
径向充磁傅里叶级数系数表示为
平行充磁傅里叶级数系数表示为
其中
式中，当n为偶数时，CM1(θ)和CM2(θ)都为0。
永磁体磁化强度矢量的散度为
其中
因此，无槽永磁电机中气隙和永磁体的控制方程写成矩阵形式为
式中，φmI为永磁体中的标量磁位矩阵；φmi为永磁体中的标量磁位矩阵。矩阵Mmn中的每一项Mn为
为了考虑电枢反应对模型的影响，将均匀分布的绕组电流等效表示为沿周向两个边界分布的薄电流片，如图3所示。图中，Rci和Rco分别为绕组的内、外半径。左上图说明了正常绕组中的电流分布，其中导体电流均匀分布在绕组中，N匝线圈的总电流为NI，I为电流有效值。右上图描述了沿周向上下边界的电流分布，上下边界的总电流都为NI/2。图3下图为薄电流片在这两个边界分布，沿周向的电流线密度大小为
图3 绕组电流等效
Fig.3 Winding current equivalence diagram
式中，rc为边界所在的半径；θw为绕组的跨度角。
电流等效后的绕组电流只分布在边界上，内部为无源区，磁场的旋度为零，因此可以使用标量磁位法进行解析计算。
三相集中绕组的电流线密度沿绕组周向分布如图4所示，图中，IA、IB、IC为三相对称电流瞬时值，θa为线圈组的间距角。
图4 三相绕组电流线密度圆周分布
Fig.4 Three-phase winding current line density circumferential distribution
将电流线密度写成傅里叶级数形式为
式中，J为沿圆周方向的电流线密度大小；CJn为电流线密度的第n阶傅里叶级数系数；ω 为角频率。
如图4分布的电流线密度的傅里叶级数每项为
求解傅里叶级数系数为
其中
式中，Rci、Rco分别为绕组的内、外半径。
求解矩阵方程式（17）可得永磁体及气隙中的标量磁位矩阵形式为
式中，矩阵C1、C2、C3i和C4i都是关于θ 的函数；E为单位矩阵，阶数与运算相匹配。
由式（25）可知，永磁体中的磁位表达式和谐波阶次及极对数的乘积有关，因此需要区分两种情况进行计算。
气隙区域i=Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中径向、切向磁场强度及磁感应强度的矩阵形式为
当np≠±1时，永磁体中径向、切向磁场强度及磁感应强度的矩阵形式为
其中
当np=±1时，Nθ1为
此时永磁体中径向、切向磁场强度及磁感应强度的矩阵形式为
其中
边界条件为
式中，Jmi和Jmo分别为绕组内、外边界上电流线密度的傅里叶级数构成的矩阵，是式（20）的矩阵形式。
求解边界条件即可得到各未知系数，再代入式（27）、式（28）、式（31）可求得切向磁通密度和径向磁通密度的矩阵形式，最后将矩阵中各项相加即可得到对应区域的切向磁通密度和径向磁通密度。本文计算中取 nmax=50，则傅里叶谐波阶次为-50～50。
1.2 反电动势及转矩分析
一对极高速无槽永磁电机主要采用三线圈组或六线圈组拓扑设计，如图5所示。图5中，⊗和⊙表示线圈的电流方向。指定图5b中A1线圈的绕组方向为正方向，如果绕组方向与预定的绕组参考方向一致，则将其归类为正绕组。3S2P和6S2P的含义为3个线圈2极和6个线圈组2极。
图5 一对极高速无槽永磁电机的两种拓扑结构
Fig.5 Two topological structures of two-pole high-speed slotless permanent magnet brushless motor
A相绕组的第k个线圈组的转矩可以表示为
式中，Cdk为绕组方向系数，正绕组Cdk=1；iA为A相对称电流；Nt为线圈组匝数；l为轴向长度；A+和A-分别为图5中⊗和⊙所在线圈边的截面区域；S为线圈组一个线圈边的截面积（积分区域中的A+或A-的面积）；B r (, r )θ 为积分区域内的磁感应强度。
根据电动机惯例，反电动势的参考方向与线圈的参考方向截然相反。因此，A相绕组的第k个线圈的反电动势表示为
假设每相中都有nc个线圈组，第k个线圈组中心位置角为αk（如图5b中A1线圈组的α1=0，A2线圈组的α2=π），并联支路数为1，则nc个线圈组之间的广义分布系数为
因此，A相绕组的总电磁转矩为
A相绕组的总反电动势为
施加三相对称电流为
式中，I为电流有效值，负载电流也可以是三相对称方波电流。
施加在转子上的总电磁转矩为
式中，twB、twC分别为B、C相电磁转矩；EB、EC分别为B、C相总反电动势。
此外，转矩的计算还可以由麦克斯韦张量法计算，有
其中
式（41）计算出的转矩来自气隙磁场的积分，该磁场受每个时刻的电枢反应的影响。
2 有限元法与解析法的对比分析
在第1节中，推导了表贴式内转子无槽永磁电机的气隙磁通密度、反电动势和电磁转矩。为保证解析计算的准确性，本节将验证解析法和有限元法求解结果的一致性。
2.1 气隙磁通密度验证
气隙磁通密度直接影响反电动势及转矩的大小，与电机的输出有密切关系，是电机设计的首要参数。首先，需验证使用解析法和有限元法求解得到的气隙磁通密度波形是否一致。由于磁极对数、谐波阶数、极弧系数、磁化方式等都会影响气隙磁通密度的幅度或波形，因此选择一对极和两对极电机进行验证。电机参数1见表1。
表1 电机参数1
Tab.1 Motor parameters 1
参 数 数 值永磁体剩磁Br/T 1.282 7永磁体相对磁导率μr 1转子内半径Rri/mm 2.8转子外半径Rro/mm 7.5绕组内半径Rci/mm 8.2绕组外半径Rco/mm 10.5匝数 40定子内半径Rsi/mm 10.7绕组跨度角θw/(°) 30 (p=1), 15 (p=2)绕组间距角θa/(°) 30 (p=1), 15 (p=2)
一对极和两对极电机的气隙磁通密度比较结果如图6和图7所示，其中一对极电机采用平行充磁，两对极采用径向充磁，验证位置设置在气隙的正中间rmid=(Rm+Rs)/2。有限元模型代表有限元法计算结果；电枢反应模型表示所提考虑电枢反应及剩磁的标量磁位法计算结果；无电枢反应模型是指忽略电枢反应对气隙磁场的畸变但是考虑剩磁的标量磁位法时的计算结果，具体指在计算气隙磁通密度时假设电枢电流为零。式（33）中，Jmi和Jmo都为0，通过该气隙磁通密度根据式（34）～式（40）计算电磁转矩。
图6 一对极电机径向磁通密度和切向磁通密度
Fig.6 A pair of pole motors in the middle of the air gap radial magnetic density and tangential magnetic density
图7 两对极电机的径向磁通密度和切向磁通密度
Fig.7 Radial magnetic density and tangential magnetic density in the middle of the air gap of two-pole motors
如图6所示，虽然极弧系数会影响气隙磁通密度的波形，但通常不会影响其幅值；一对极电机的磁通密度正弦性较好，但随着电枢电流的增加，气隙磁通的波形失真变得更加明显，当电流达到15 A时，气隙磁通量的正弦度较差。
图7 显示了两对极径向充磁电机的气隙磁通密度波形。随着电流的增加，径向气隙磁通密度的峰值趋于下降，而负峰值趋于平坦。切向气隙磁通密度变得不对称，正弦特性在受电流影响的位置恶化。总体而言，气隙中心的径向和切向磁通密度表现出极好的一致性，验证了解析方法的准确性。
2.2 电磁转矩和反电动势验证
由于np=±1和np≠±1时气隙磁通密度的解析表达式存在差异，因此选择极对数为1、2和4的电机进行对比验证。其中，两极电机采用平行充磁，4极和8极电机采用径向充磁。电机参数2见表2。
表2 电机参数2
Tab.2 Motor parameters 2
参 数 数 值永磁体剩磁Br/T 1.282 7永磁体相对磁导率μr 1转子内半径Rri/mm 2.8转子外半径Rro/mm 7.5绕组内半径Rci/mm 8.2绕组外半径Rco/mm 10.5定子内半径Rsi/mm 10.7轴向长度l/mm 38极弧系数αp 1绕组跨度角θw/(°) 21 (6S2P), 15 (6S4P), 11 (12S8P)绕组间距角θa/(°) 16 (6S2P), 10 (6S4P), 6 (12S8P)匝数 40转速/(r/min) 20 000
负载电流有效值为5 A条件下，6S2P、6S4P和12S8P配置的反电动势比较结果分别如图8a、图8b和图8c所示。在绕组匝数相同的情况下，6S4P电机的反电动势幅值大于6S2P电机。6S2P电机的反电动势波形是正弦波。对于6S4P和12S8P电机，由于气隙磁通密度的梯形波形，反电动势波形具有明显的3次谐波和5次谐波，导致非正弦波形，其中非正弦性在12S8P电机中更为明显。
图8 考虑电枢反应的反电动势对比结果
Fig.8 Back-electromotive force considering armature reaction
在三相对称交流电的负载电流有效值为 1 A时，图9显示了6S2P、6S4P和12S8P的无槽永磁电机的转矩比较结果，6S4P采用的是方波电流，6S2P和12S8P采用正弦电流。两种方法之间的偏差可以忽略不计，从而初步验证了分析方法的准确性。6S2P和12S8P电机的总转矩基本为一条直线，转矩波动较小，而6S4P电机通入方波电流谐波较多正弦性差，导致转矩脉动明显增大。
图9 三相转矩和总电磁转矩的比较
Fig.9 Comparison of three-phase torque and electromagnetic torque
2.3 不同负载电流下电枢反应对转矩的影响
如式（38）所示，当电流和角速度保持恒定时，转矩与反电动势的大小成正比。因此，转矩的变化反映了反电动势的变化。
为了进一步研究所提考虑电枢反应的电磁转矩分析方法的准确性，采用6线圈组4极（6S4P）电机进行验证。在这种情况下，为了便于计算，输入电流为三相正弦波形。图10说明了不同负载电流（有效值）下电枢反应对电磁转矩的影响。考虑电枢反应的模型转矩误差明显小于不考虑电枢反应的模型，与有限元结果更接近。随着电枢反应的加剧，考虑电枢反应的模型的性能变得更加优越。
图10 不同负载电流下的电磁转矩比较
Fig.10 Comparison of electromagnetic torques at different load currents
3 实验
为了验证解析法与有限元法的准确性，制造了一台6S4P的无槽永磁电机样机，其主要结构参数见表3。
表3 样机参数
Tab.3 Prototype parameters
参 数 数 值 (型号)定子外径/mm 94定子背轭厚度/mm 8转子外径/mm 52永磁体厚度/mm 11气隙长度/mm 13轴向长度/mm 52.8转轴材料 40Cr绕组支架 尼龙背轭材料 DW310-35匝数 40并联支路数 1相电流有效值/A 2转速/(r/min) 900永磁体材料 N45SH充磁方式 径向驱动方式 无刷直流额定功率/W 150
样机测试平台如图11所示。为方便样机制造和实验设计，绕组未定形，用尼龙固定在气隙中。
图11 样机测试平台
Fig.11 Prototype measurement platform
样机的气隙磁通密度如图12所示。当输入电流为2 A时，图12a所示的气隙磁通密度表现出轻微失真。当输入电流增加到20 A时，图12b所示的径向气隙磁通密度表现出明显的失真，从而验证在该电机上解析方法与有限元法的一致性。
图12 样机的气隙磁通密度
Fig.12 Air-gap magnetic flux density of prototype
反电动势测试平台如图11c所示。样机通过联轴器连接驱动电机，控制器控制驱动电机拖动样机到给定转速，同时用示波器测量空载反电动势。空载实验如图13所示。示波器界面如图13a所示。为了验证解析方法的准确性，将解析方法与有限元方法和实验结果进行比较，如图13b所示。实验结果与有限元结果和解析方法结果都非常接近，但反电动势的实测幅值偏小，这可能是由充磁加工误差和测量误差引起的。
图13 空载实验
Fig.13 No-load experiments
负载实验如图14所示。转矩测试平台如图14a所示。定子由分度盘固定，平衡杆固定在轴上，其末端压在精密电子秤上。定子可以通过调整分度盘来旋转。为了模拟无刷直流（Brushless Direct Current,BLDC）电机的理想运行，电机的两相绕组串联并由直流供电。绕组通电后，转子接收的转矩通过平衡杆施加到秤上。实验过程中，调整分度盘，找到换向前后转矩相等的位置，这个位置是换向的起始时刻。然后，定子电流每60°旋转换向一次。以一定的电角度间隔记录数据，处理后得到转矩波形。多次测量以求得平均值。
图14 负载实验
Fig.14 Load experiments
将实验转矩数据与有限元分析和分析方法的结果进行比较，结果如图14b所示。根据表3内容，输入方波相电流有效值为2 A时，测得的转矩结果与有限元计算和解析法基本一致。
反电动势和转矩幅值的误差分析见表4。表4中显示的误差来自实验数据对比，其中电枢反应模型的转矩采用麦克斯韦应力张量法计算的气隙内多个位置的幅值平均值。实验误差的潜在来源包括加工误差和测量误差。此外，由于BLDC控制，方波电流的脉冲分量会产生差异性。从表4中可以看出，空载反电动势在各种模型中误差较小，本文所提考虑电枢反应模型在预测负载转矩方面表现更加优越。
表4 误差分析
Tab.4 Error analysis
空载相反电动势幅值/V 误差(%) 转矩/(mN·m) 误差(%)实验 36.4 — 853.81 —无电枢反应模型 36.98 1.59 867.74 1.63电枢反应模型 36.98 1.59 864.59 1.26有限元模型 36.73 0.9 846.53 -0.85
4 结论
针对标量磁位法难以考虑电枢反应及剩磁影响的问题，本文提出了一种基于无槽永磁电机的改进标量磁位法解析模型。该模型不仅通过将绕组电流等效为在边界的电流薄片，平均分配电流并计算线电流密度作为边界条件，从而在模型中成功考虑了电枢反应的影响；还把磁化强度矢量纳入拉普拉斯方程考虑了剩磁对模型的影响。与此同时，分配电流后的绕组中部不含电流为真空，因此满足磁场的旋度为零，从而可以使用标量磁位法进行计算。本方法对多台电机进行仿真分析并制造了样机进行空载、负载测试，证明了其有效性。
通过有限元仿真与样机实验双重验证：在6S2P、6S4P等配置电机中，气隙磁通密度波形、反电动势及转矩特性与有限元结果吻合；针对 6S4P样机，空载反电动势误差小于1.6%，负载转矩解析值与实测值偏差仅1.26%，显著优于忽略电枢反应模型的1.63%。
该方法为无槽永磁电机的初始设计提供了高效解析工具，在频繁调整参数的优化阶段可代替有限元计算，实现电磁性能的快速精准预测，具有明显的工程应用价值。
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