0 引言
永磁直线电机（Permanent Magnet Linear Motor,PMLM）凭借其刚度高、无中间传动环节、动态响应快等优势，在精密加工领域应用广泛[1-2]。然而，永磁直线电机振动问题（如法向电磁力波动、动子导轨耦合共振）会通过机械结构直接传递至负载端，导致加工表面波纹度恶化，严重制约了超精密加工精度的进一步提升。因此，在电机设计阶段建立高效的振动预测模型，揭示关键参数对振动特性的影响规律，对实现振动源头抑制具有重要意义[3]。
目前，永磁直线电机振动特性分析主要依赖有限元法：通过三维电磁-机械耦合仿真，将二维电磁场计算的法向力波映射至动子铁心模型，进而求解其谐波响应[4-5]。该方法虽然可以精确表征装配约束、材料非线性等复杂因素的影响，但建模周期长、结构参数敏感性分析效率低，难以支撑设计初期的快速迭代优化。相较而言，该解析法通过建立电磁-机械耦合的数学模型，能够直观地表达振动响应与结构参数的函数关系，为低振动电机设计提供理论指导。
在旋转电机振动研究领域，解析方法已形成较成熟的体系。在电磁激励方面，通过麦克斯韦应力张量法结合相对磁导函数，可解析计算定子齿槽效应下的电磁力谐波[6]。在结构动力学方面，大多将定子铁心等效成圆环模型对其固有频率进行解析计算[7-9]。为了使计算结果更加准确，一些学者在圆环模型的基础上建立了更加精确的定子等效模型。文献[10-11]考虑到机壳对固有频率的影响建立了电机定子的双环解析模型；文献[12-14]为了分析定子的轴向模态，将定子铁心等效为圆柱薄壳；文献[15]采用厚壳-梁耦合结构对定子铁心进行等效，该模型能够考虑定子齿对振动特性的影响。振动响应计算方面，在模态叠加理论框架下，通过构建电磁力-振动的传递函数，可实现多阶模态响应的频域合成[16]。上述成果为旋转电机振动抑制提供了重要的理论工具，但其方法论难以直接应用于直线电机振动研究中，因为二者的结构差异导致三个关键问题：①直线电机磁路开断引起的纵向端部效应会显著改变电磁力谐波；②动子-导轨的结构约束与旋转电机机壳的约束条件不同；③旋转电机的圆环/薄壳模型完全不适用于直线电机，亟须建立适用于直线电机动子结构的等效力学模型。
针对上述问题，本文利用结构力学相关知识建立了一种能快速准确计算永磁直线电机动子振动特性的解析模型，采用欧拉-伯努利梁的力学方程，求解永磁直线电机振动响应，分析结构参数对振动响应的影响，为降低永磁直线电机振动的优化设计提供理论基础。
1 基于欧拉-伯努利梁的振动解析模型构建
本文研究对象为单边平板型直线电机，其在高推力密度的直线进给系统上具有广泛应用。这种永磁直线电机由一个短的初级（动子）和一个长的次级（定子）组成，主要结构如图1所示。动子铁心与动子机壳通过卯榫结构或焊接的形式连接，没有相对位移，可以视作一体结构。整个动子通过滑块支撑在导轨上做直线运动。
图1 永磁直线电机结构示意图
Fig.1 Structural schematic diagram of PMLM
动子作为直线进给系统的执行部件，是永磁直线电机振动的最主要研究对象。永磁直线电机振动的主要原因是法向电磁力波通过齿部的传导使轭部以及机壳发生形变。永磁直线电机动子结构以及激振力特点包括：①动子等截面且发生小变形；②动子纵向长度大于厚度；③动子没有横向的剪切形变。因此，永磁直线电机动子满足欧拉-伯努利梁的适用性条件。
模型等效方法如图2所示，图中，l为动子总长度，h为总厚度，h1为铁心轭部厚度，h2为机壳厚度，FN1～FN6为各齿集中法向力。等效梁模型的厚度等于动子铁心轭部厚度与机壳厚度之和；等效梁模型的长度等于动子纵向长度；齿部传到轭部的力等效为梁模型受到的外部激振力。综上所述，图3展示了本文所提永磁直线电机振动解析建模流程。
图2 模型等效方法
Fig.2 Equivalent method of model
图3 永磁直线电机振动解析建模流程
Fig.3 Flowchart of vibration analytical modeling of PMLM
2 考虑端部效应的永磁直线电机电磁激振力分析
2.1 永磁直线电机法向电磁力波
根据Maxmell应力张量法，作用在永磁直线电机初级铁心的法向电磁力密度fN可以表示为
式中，BN为法向磁通密度；BT为切向磁通密度；μ0为真空磁导率。BN采用磁势乘磁导法计算，可进一步表示为
其中
式中，fPM(x, t)为永磁磁动势；fAM(x, t)为电枢磁动势；Λs(x)为相对磁导率；Λ0为气隙磁导函数的恒定分量；μ、ν、k为谐波阶数；Fμ 为永磁磁动势谐波幅值；Fν 为电枢磁动势谐波幅值；Λk为气隙磁导函数谐波幅值；z为槽数；V为直线电机运动速度；τ 为极距。
2.2 考虑端部效应的齿集中法向力计算
与永磁旋转电机不同，永磁直线电机因其端部铁心断开，会产生特有的纵向端部效应。永磁直线电机动子在运动过程中，其铁心两端的磁场会持续发生畸变，且畸变程度随端部与永磁体相对位置变化。图4展示了两种具有代表性的相对位置。对比图中的磁力线分布可以看出，当端部处于两磁极中心线位置时，穿过端部的磁通最大；而当端部位于距离两磁极中心线τ/2位置时，穿过端部的磁通最小。由此可见，端部磁场畸变是以极距τ 为周期发生周期性变化。因此，考虑端部效应情况下，端部磁导可以表示为
图4 纵向端部区域磁力线分布
Fig.4 Distribution of magnetic field lines in end area
式中，Λe0为端部位置磁导畸变幅值。
现有研究表明定子开槽结构会通过空间采样效应将较高阶次的电磁力波调制为低阶齿集中力，从而激发低阶结构模态振动[17]。齿集中法向力计算方法可表征端部齿因端部效应引起的局部力密度畸变，进而提高振动响应预测精度以及振动特性分析的准确性。
为了简化分析，将永磁直线电机划分为端部区域与耦合区域，如图5所示。定义2p极对应的铁心长度为耦合铁心长度lc，端齿部分铁心长度为le，则总体铁心长度为l=lc+2le。
图5 永磁直线电机区域划分
Fig.5 Area division of PMLM
通过对法向力密度在齿面进行积分，可以得到永磁直线电机一个齿的集中法向力。其中，耦合区域各齿集中法向力fNi可以表示为
式中，lt为齿顶宽；lef为铁心长度；i为齿号。
在分析计算端齿所受集中法向力时，需要额外叠加端部效应引起的端部法向电磁力谐波。因此，左、右端齿集中法向力fNL(t)和fNR(t)可以表示为
式中，fNl(t)与fNr(t)分别为左、右两端齿由齿槽效应产生的法向电磁力波；fL(t)与fR(t)分别为左、右两端由端部效应引起的法向力波；lt0为端齿齿顶宽。
本文以一台14极12槽永磁直线电机为例，计算得到各齿集中法向力的时域结果如图6所示。通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT），计算出样机各齿集中法向力波部分频率的幅值如图7所示。可以看出，由于两端齿的齿顶宽度小于其他齿部，其集中法向力的平均值较小。但受端部效应影响，端齿集中法向力的二倍频幅值较大。某一齿所受电磁激振力可以表示为
图6 各齿所受的集中法向力时域波形
Fig.6 The time-domain waveforms of the concentrated normal force acting on each tooth
图7 各齿所受的集中法向力FFT结果
Fig.7 The FFT results of the concentrated normal force acting on each tooth
式中，i为齿号；n为谐波次数；Fni为齿i第n次力波幅值；ωi为齿i力波角频率；αi为齿i相位。因此，各齿受到的集中法向力将以含有各次时间谐波力的形式，作为等效模型振动的外部激振力。
3 永磁直线电机动子固有频率解析
3.1 等效模型的振动方程
对于永磁直线电机动子结构，由于滑块需要在滑轨上运动，其内部包含滚珠与支撑架。相较于刚性连接，该约束方式的刚度较低，在结构力学中可将其等效为弹性支撑边界。弹性支撑梁的模态可近似视为弹性支撑刚体梁模型与简支梁模型的耦合，动子等效模型如图8所示，图中ls为两弹性支撑的距离，Kt为滑块与导轨接触面刚度。因此，对于弹性支撑梁模型的振动分析，其模态响应需综合考虑因支撑弹性所导致的刚体俯仰运动和结构本体产生的弯曲变形。
图8 动子等效模型
Fig.8 Equivalent model of moving
3.1.1 俯仰模态
俯仰模态是指梁整体绕其几何中心发生小角度的刚体转动。该运动由梁两端的弹性支撑提供限制力与回复力，其示意图如图9所示。
图9 俯仰模态示意图
Fig.9 The schematic diagram of pitching mode
由于永磁直线电机动子在纵向是中心对称结构，令β 为转角，则弹性支撑产生的恢复力矩Mk(t)为
因此，动子的俯仰模态动力学微分方程为
式中，J为转动惯量，梁模型对应的转动惯量为
式中，ρb为梁的密度（线密度）；A为梁的截面积。式（9）可以进一步整理为自由振动微分方程形式，有
式（11）为典型的二阶线性振动方程，由于系统表现为简谐振动，可以得到俯仰模态固有频率fpj为
3.1.2 弯曲模态
梁的弯曲模态在动力学响应中通常对应中高频率区间，模态振型呈现典型的波形弯曲分布。其固有频率受结构本身的几何参数与材料刚度影响，同时与弹性支撑边界条件耦合。
取梁模型中任意一微小单元段dx，其受力情况如图10所示，图中，Q为剪力，M为弯矩，p(x, t)为外部激振力，y为位移。
图10 梁模型内部一微段受力分析
Fig.10 Force analysis of a small section in beam
使微段处于假想的平衡状态，得到微段沿y方向的运动方程为
即
根据图10中微段右面的力矩平衡方程可得
由材料力学可知
式中，EI为抗弯刚度，其中E为材料的杨氏模量，I=bh3/12，b为直线电机横向长度。把式（15）和式（16）代入式（14）整理后得到等效梁模型的法向振动的运动微分方程为
当外部激振力p(x, t)=0时梁模型作自由振动，其运动微分方程可以写为
该方程为四阶偏微分方程，求其振动解采用分离变量法。将运动方程改写成简谐函数形式，有
式中，Y(x)为振型函数；ωbj为固有角频率；αbj为振型函数的相位。因此，式（18）可以进一步改写为
令特征根λ 满足
则式（20）为四阶常系数线性微分方程，引入双曲函数并利用欧拉公式，其通解可以表示为
式中，C1～C4为待定常数，需要由永磁直线电机动子边界条件以及振动初始条件来确定。根据简支梁力学相关知识，直线电机动子的边界条件为
y ′ ( x)、 y ′( x)分 别 表 示 弯 矩 和 剪 力。将 边 界 条件代入式（21）中可以求得固有频率为
3.2 固有频率计算结果有限元与实验验证
3.2.1 解析计算结果
本部分将永磁直线电机动子固有频率解析模型编程实现了相应的数值计算流程。代入表1所示样机参数从而获得各阶模态的固有频率及其相应的振型特征。
表1 永磁直线电机样机参数
Tab.1 The parameters of PMLM
参 数 数 值极数 14槽数 12动子长度/mm 186.0极距/mm 12.0气隙长度/mm 0.8轴向长度/mm 76.0
求得永磁直线电机动子的前四阶固有频率见表2。其中俯仰模态的固有频率计算结果为1 102 Hz，远小于固有频率为2 132 Hz二阶弯曲模态。现有研究表明，弹性支撑结构在低阶频率段主要由支撑刚度主导，而在较高阶频率段逐步转变为结构自身刚度与弹性边界耦合[18]。因此，定义俯仰模态为一阶模态，随后为各阶弯曲模态。图11所示为动子等效梁模型的前四阶法向模态振型。
表2 永磁直线电机样机各阶模态固有频率
Tab.2 The mode natural frequency of PMLM
模态阶次 固有频率/Hz一阶 1 102二阶 2 132三阶 4 564四阶 6 746
图11 动子梁模型各阶模态振型
Fig.11 The modes of each order of moving beam model
3.2.2 有限元验证
为了验证解析计算结果的准确性，本文建立了永磁直线电机的三维有限元模型，开展模态计算。有限元模型及约束设置如图12所示。
图12 有限元模型及约束设置
Fig.12 Finite element model and constraint setting
图13 给出上述有限元模型通过模态计算得到的各阶模态振型以及固有频率。可以看出，第一阶模态振型呈一端上翘、一端下沉的俯仰模式；第二阶振型呈现一个波腹、两个波节点，具有典型的弯曲特征；第三阶振型与第四阶振型则进一步复杂化，具备更多波节，反映出更高阶的结构弯曲模态。有限元模态分析结果与解析模型预测结果高度一致。
图13 动子模态有限元计算结果
Fig.13 Dynamic mode finite element calculation results
3.2.3 实验验证
本文搭建了永磁直线电机动子模态敲击实验，采用敲击法对动子结构进行模态激励与响应采集。实验平台如图14所示。
图14 永磁直线电机动子模态敲击实验
Fig.14 Modal tapping experiment of PMLM
图15 给出敲击实验获得的永磁直线电机动子固有频率频响函数结果。从图中可以观察到多个清晰的共振峰，现取前四阶模态固有频率实验测试结果与3.2节解析计算结果以及有限元仿真结果进行对比。对比结果见表3。从数据中可以看出，尽管解析方法所得固有频率与实测结果的误差略高于有限元仿真，但整体仍处于可接受范围内，尤其对前两阶模态的计算结果误差小于10%。
表3 永磁直线电机样机各阶模态固有频率
Tab.3 The mode natural frequency of prototype
阶次 实验结果/Hz 解析结果/Hz 误差(%) 仿真结果 误差(%)一阶 1 040 1 102 6.0 1 091 4.9二阶 2 280 2 132 6.5 2 226 2.4三阶 4 100 4 564 11.3 4 210 2.7四阶 5 740 6 746 17.5 5 157 10.2
图15 永磁直线电机动子固有频率频响函数
Fig.15 The natural frequency response function of PMLM
4 基于梁理论的振动响应解析研究
4.1 振动传递函数构建
在强迫振动研究中，通常利用主振型的正交性，使多自由度系统的振动响应转化为多个单自由度系统的模态振动响应问题，在得到各模态的振动响应后再叠加[19]。这种方法也被叫做模态振型叠加法。单自由度系统强迫振动的运动方程为
式中，F0为激振力；ω 为激振力频率；ωj为第j阶模态角频率；ζj为第j阶模态阻尼比；αs为响应与激励之间的相位。参照单自由度体系求解动子的第j阶模态振型对应的运动方程可得
式中，
为广义激励；
为广义质量。广义激励和广义质量可以表示为
式中，Yj(x)为第j阶模态振型函数。利用模态叠加法，永磁直线电机动子外表面振动位移可以表示为
通过以上方法可以得到动子在齿i位置xi处受到激振力fi(xi, t)时，动子外表面某一位置xm的振动位移响应ym(xm, t)，即式（25）～式（27）求解了激励到振动响应的传递关系，也称为传递函数。振动响应与激励的传递关系可以表示为
式中，xi为各齿中心线的相对位置；xm为动子外表面的响应计算点位置；N为齿数；Him为各齿的集中法向力到动子外表面xm位置的振动传递函数。
4.2 振动响应解析计算结果与有限元验证
为了验证振动响应计算方法的准确性，本文分别采用解析法和有限元谐响应分析对直线电机动子表面的振动响应进行计算。选择动子外表面中心以及靠近端部位置的两个点作为振动响应测试点，测试点位置如图16所示。解析方法和有限元法计算的振动响应结果分别如图17与图18所示。从振动响应结果可以看出，二倍电频率（10 Hz）振动位移幅值最大；四倍电频率、六倍电频率等低频区域内偶数倍频的振动位移幅值也相对较大；在一、二阶共振频率处也出现振动响应峰值，但幅值远小于低频区域。此外，根据两个测试点的响应结果对比可以看出，动子端部位置的二倍频振动响应要大于中间位置。有限元计算结果与解析计算结果在振动响应频率分布规律上一致。
图16 振动响应测试点位置
Fig.16 The location of vibration response test
图17 动子振动响应解析计算结果
Fig.17 Results of analytical calculation of vibration response
图18 动子振动响应有限元计算结果
Fig.18 Finite element calculation results of vibration response
图19 各齿以及响应点位置示意图
Fig.19 Schematic diagram of the positions of each tooth and response points
4.3 振动响应传递函数的影响因素
4.3.1 不同激励位置与振动响应的关系
在模态叠加法中，激励施加于结构的位置决定了结构各阶模态的响应激烈程度。具体来说，激励点处的振型值越大，该激励点对相应模态响应越强。
对于永磁直线电机，各齿的空间分布处于振型函数的不同位置，所产生的各阶振型位移不同。利用4.1节所建立的振动解析模型，分别计算得到图19所示1、3、5、7号齿对于动子外表面响应点1以及响应点2的前两阶模态振动位移传递函数，结果如图20和图21所示。
图20 各齿对响应点1的位移响应传递函数
Fig.20 The displacement response transfer function of each tooth to response point 1
图21 各齿对响应点2的位移响应传递函数
Fig.21 The displacement response transfer function of each tooth to response point 2
从各齿对响应点1的位移传递函数可以看出，越靠近端部位置的激励引起的一阶模态位移响应越大；而越靠近中间位移的激励引起的二阶模态位移响应越大。各齿对响应点2的传递函数也存在相同规律。这与永磁直线电机动子的振型函数相关，3.2节已经得到永磁直线电机动子一阶模态为俯仰振型，二阶模态为弯曲振型。对于俯仰振型，其端部位置为阵型的反节点（振型值最大位置），中心位置为振型的节点（振型值最小位置）。因此，幅值相同的激励施加在端齿位置对电机俯仰振动贡献最大。对于二阶模态弯曲振型，反节点位于电机中部，节点位于滑块位置（靠近3号齿）。因此，靠近中间位置的7号齿对2阶弯曲振动的贡献最大，靠近滑块的3号齿贡献最小。综上所述，对于永磁直线电机，端部齿引起的端部一阶俯仰振动最大，靠近中心位置的齿引起的二阶弯曲振动最大。
4.3.2 结构参数对振动传递函数的影响
由于4.3.1节分析得到端部1号齿对端部俯仰振动响应的贡献最大，中间位置7号齿对弯曲振动影响最大，接下来只分析这两组对应位置的传递函数。图22～图24给出滑块距离、动子轭部总厚度和滑块支撑刚度对前两阶模态位移传递函数的影响。
图22 滑块距离对传递函数影响
Fig.22 Influence of slider distance on transfer function
由图22可知，滑块距离对一阶模态位移传递函数基本没有影响，而滑块距离越大，二阶传递函数的幅值越大。由图23可知，随着轭部总厚度的增加，前两阶模态传递函数幅值均呈现降低趋势。由图24可知，滑块支撑刚度对二阶模态传递函数影响较小，而滑块刚度越大，一阶模态传递函数的幅值越小。
图23 动子轭部总厚度对传递函数影响
Fig.23 Influence of the total thickness of the moving yoke on the transfer function
图24 滑块支撑刚度对传递函数影响
Fig.24 Influence of slider support stiffness on transfer function
为了进一步体现结构参数与振动响应之间的定量关系，本文选取滑块间距、动子轭部厚度及支撑刚度三个关键参数，分别在一定变化范围内进行参数扫描，保持各齿激励不变，计算电流二倍频率的振动位移响应幅值，关键结构参数变化对振动响应影响如图25所示。结果表明，随着滑块间距的增大，两测试点的振动位移幅值均有所增加，且中间测试点的增幅更为显著；随着轭部总厚度的增加，两测试点的响应幅值均呈减小趋势；而当滑块支撑刚度增大时，两测试点的响应幅值均降低，其中端部测试点的降幅更为明显。
图25 关键结构参数变化对振动响应影响
Fig.25 Effect of structural parameters on vibration response
综上所述，在永磁直线电机设计初期，可以通过提升滑块支撑刚度的方式降低俯仰振动；通过增加轭部厚度，减小滑块之间距离的方式降低弯曲振动。
5 振动测试实验
5.1 振动响应实验验证
为了验证本文所提振动解析模型的准确性，搭建了永磁直线电机振动测试平台，如图26所示。平台包括表1所列参数的永磁直线电机样机、控制器、加速度传感器以及振动数据采集单元。
图26 永磁直线电机振动测试平台
Fig.26 Vibration test platform of PMLM
永磁直线电机的核心性能指标是运动精度（如μm级定位），其振动导致的动子位置偏移会直接降低直线电机系统精度，而位移响应能直观量化这种偏移量级。因此，永磁直线电机振动位移响应的测试具有重要的工程价值。由于光电位移传感器、高速数字摄像等位移测量设备价格昂贵且都属于非接触式测量方法，难通过简单的实验操作测量永磁直线电机动子这种移动设备。因此，本文采用一种振动信号处理方法间接得到振动位移测量结果[20]。振动信号具体处理流程如图27所示。图中，f为振动响应的频率。
图27 振动信号处理流程
Fig.27 Schematic diagram of vibration signal processing
图28 展示了供电频率为5 Hz时，获取的图16所示测试点的振动位移响应结果。可以看出，低频位移响应占主导地位，尤其是二倍频振动位移。而端部二倍频振动响应要大于中间位置，这与解析计算得到的结论一致，并且其他响应频率分布规律基本相同。上述对比结果表明，本文所提解析计算方法在PMLSM振动响应的快速预测和规律分析方面具有理论指导意义。
图28 实验测试振动位移频谱
Fig.28 The vibration displacement spectrum through experiments
5.2 误差分析与讨论
在解析计算与实验结果的对比中，尽管解析模型总体上能够较好地预测主要振动频率的分布规律，但在幅值上存在一定偏差。因此，本小节将对误差来源进行分析并进一步讨论模型的适用范围与局限性。
首先，解析模型在结构建模过程中采用了理想化的边界条件与简化的动子结构。例如，将动子机壳与铁心、滑块之间的螺栓连接简化为绑定；动子与定子之间的滑块与导轨连接简化为理想的线性弹性支撑；动子简化为二维梁结构。因此，本文模型适用于动子形状规则、结构连续性良好的直线电机，而对于存在局部加强筋、复杂三维结构、非接触支撑（磁悬浮）等结构的直线电机，模型计算精度会明显下降。此外，模型中阻尼的设置采用瑞丽阻尼系数的近似方法，难以准确设定结构在不同频率下的振动阻尼特性，导致振动响应的计算精度下降。以上两类误差均可通过开展模态实验获得实际的阻尼系数与固有频率，从而对解析模型中的相关参数进行修正，以提高计算精度。
在实验过程中，传感器的布置位置与安装方式可能对响应信号的测量结果产生干扰。为抑制此类误差，本文在测试中采用多传感器布置，并通过重复测量取平均值以提高数据可靠性。
6 结论
本文提出基于欧拉-伯努利梁理论的永磁直线电机振动解析模型，成功地实现了电机振动特性的快速、准确预测。该模型揭示了永磁直线电机电磁激振力、结构参数与振动响应之间的内在关系，为永磁直线电机设计初期的低振动优化提供理论基础。具体结论如下：
1）考虑端部效应的影响。通过齿集中法向力的计算将端部效应产生的法向力波动叠加到电磁激振力中，提高了模型的精度。
2）模态固有频率以及振动响应特征的准确预测。本文所提解析模型与实验结果对比，前两阶模态固有频率误差在10%以内；振动响应频率以及空间分布规律基本相同。表明该模型能够准确预测永磁直线电机动子的固有频率和振动响应特征。
3）结构参数影响。分析了动子滑块距离、滑块支撑刚度和轭部厚度对振动响应的影响。在电机设计初期，合理调整这些结构参数能够有效抑制振动。
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