图1 三相GCI系统框图
Fig.1 Block diagram of three-phase GCI
摘要 在逆变器并网系统中，频率耦合效应使系统呈现“多输入多输出”特性，使系统稳定性分析复杂化。抑制频率耦合的核心目标是实现“主增耦减”，即在主对角线子系统增大或不变的同时减小耦合子系统，使后者远小于前者，从而实现解耦。然而，强耦合作用常导致两种子系统仅能发生同向变化。为此，该文提出利用频域卷积在正负序分量上的符号差异来实现“主增耦减”的思想：先后利用q轴电压、电流变量和q轴卷积运算在正负序分量上的符号差异，分别实现导纳矩阵中同一行和同一列子系统的反向变化，从而达到“主增耦减”的控制目标。基于这一思想，对直流电压环进行q轴补偿，设计基于改进电压控制的频率耦合抑制方法。该方法可在小幅提升主对角线子系统幅值的同时，大幅降低耦合子系统幅值，实现对频率耦合效应的强力抑制。此外，“主增耦减”效果不仅通过伯德图进行展示，还从数学机理层面进行了量化分析。最后通过实验验证所提方法的有效性。
关键词：并网逆变器 频率耦合 序导纳模型 频域卷积 解耦控制
随着全球传统化石能源日益匮乏，在“碳达峰、碳中和”目标的加持下，高比例新能源并网系统得到大力发展[1-3]。并网逆变器（Grid-Connected Inverter, GCI）作为分布式电源与电网之间的重要接口，其在高比例新能源并网系统中的渗透率也越来越高[4-5]。但由于GCI控制的非线性特性，其易与电网之间发生交互作用[6-7]，引发特殊频率范围的次/超同步振荡问题。如2013年河北沽源风电基地和2015年新疆哈密发生的次/超同步振荡[8-9]，这类次/超同步振荡中某一频率的谐波分量通常伴随着与另一频率谐波分量同时出现，且二者的谐波频率关于基频对称，具有镜像对称关系，这种现象被称为频率耦合效应[10-11]。频率耦合效应由GCI在dq轴上的控制结构不对称诱发[12]。由于频率耦合效应的强耦合作用，GCI系统呈现多输入多输出（Multiple- Input Multiple-Output, MIMO）特性，增加了机理研究的复杂性和稳定性分析的难度[13]。
为了更好地研究GCI模型的MIMO特性，阻抗分析法在建立GCI模型时受到学者们的青睐[14-15]。阻抗分析法主要包含dq阻抗建模法和序阻抗建模法[16-17]。相比于dq阻抗模型，序阻抗模型具有更加清晰的物理涵义，且可以反映出不同频率谐波之间的耦合关系[18]。序阻抗建模法是基于谐波线性化的思想，通过构建并网点电压谐波扰动量和并网电流谐波扰动量之间的关系，从而建立GCI的正负序阻抗模型[19]。研究考虑频率耦合效应的GCI系统时，应采用基于多谐波线性化的序阻抗建模方法[20]。在序导纳模型中，耦合子系统与主对角线子系统的导纳幅值相对大小可以反映频率耦合的程度[12]。耦合子系统幅值相比于主对角线子系统的越小，频率耦合程度越轻微。因此，抑制频率耦合效应的核心控制目标是在主对角线子系统幅值增大或维持不变的同时，减小耦合子系统，即“主增耦减”，实现两个子系统的反向变化。
为解决频率耦合效应可能带来的稳定性问题，文献[21]设计了一种自适应频率耦合振荡抑制装置，同时降低了导纳矩阵中主、耦合子系统的幅值，从而减小并网电流总谐波畸变率。文献[22]设计了一种基于线性自抗扰控制器的锁相环结构来增加系统阻尼，在该锁相环结构下主、耦合子系统幅值无明显变化。然而，文献[21-22]中所提出的方法虽然可以提高系统稳定性和电能质量，但是却无法实现主、耦合子系统之间的反向变化，无法实现解耦，仍需采用较为复杂的广义奈奎斯特判据进行稳定性分析，无法降低系统分析难度。
为了解决频率耦合引发的分析复杂化问题，文献[23]在电流内环和功率外环中引入解耦因子，在增大主对角线子系统的同时大幅减小耦合子系统，实现系统降阶。文献[24-25]通过对称锁相环（Symmetrical Phase-Locked Loop, SPLL）结构来实现两种子系统的反向变化，从而实现解耦。文献[23-25]均从本质上实现对频率耦合效应的抑制，然而却没有考虑引发频率耦合的另一重要因素，直流电压环不对称结构的影响。
文献[26]提出锁相环对称控制和直流电压环对称控制，可实现在维持主对角线子系统不变的同时，降低耦合子系统幅值，从本质上抑制了频率耦合效应。然而，文献[26]所提方法在基频50 Hz附近的抑制效果不佳，且需锁相环和直流电压环的对称控制同时作用才可完全抑制频率耦合现象。
基于上述研究现状，本文重点关注直流电压环控制结构不对称而引发的频率耦合问题，提出利用频域卷积符号差异来实现“主增耦减”的思路。在这一思路基础上，设计基于改进电压控制的频率耦合抑制方法。本文的主要工作和创新点归纳如下：
（1）基于频域建模的理论基础，提出一种新颖的实现主、耦合子系统反向变化思路：首先，利用并网点电压q轴分量vq和并网电流q轴分量iq中正负序扰动量的相反符号特性，实现导纳矩阵同一行子系统间的反向变化；然后，利用q轴卷积运算的相反号特性，再实现同一列子系统间的反向变化。通过变量相反号和卷积相反号两种符号差异的结合，进一步实现主对角线子系统与耦合子系统的反向变化。
（2）由（1）可得，为利用频域卷积符号差异实现反向变化，所提控制需以vq、iq为引入变量，并引入到q轴上。在此基础上，对直流电压环进行q轴补偿，设计基于改进电压控制的频率耦合抑制方法。该方法可在小幅增加主对角线子系统幅值的同时，大幅减小耦合子系统幅值，实现正负序导纳之间的解耦，强力抑制频率耦合效应。
三相GCI系统框图如图1所示。在图1a所示的主电路拓扑中，Cdc为直流母线电容，ipv和vdc分别为直流侧电流和直流电压，viabc、iabc和vabc分别为逆变器端口输出电压、并网电流以及并网点电压，Lf为滤波电感，Zg为电网阻抗，Yinv为GCI的导纳矩阵模型。
图1 三相GCI系统框图
Fig.1 Block diagram of three-phase GCI
图1b和图1c分别为锁相环和电压、电流双闭环控制结构，vdq和idq分别为公共耦合点电压和并网电流的dq分量，mdq和mabc分别为在dq坐标系和abc坐标系下的调制信号，Vdc0为直流电压参考值，Idr和Iqr为并网电流的dq分量的参考值，w为角频率，qPLL为锁相环输出相位，w0为基频角频率，w0=2pf1，GPLL(s)和Gdc(s)分别为锁相环和直流电压环的PI控制器，Hdi(s)和Hqi(s)则分别为交流电流环在d轴和q轴的PI控制器。
并网点电压和并网电流的频域表达式分别为
（1）
式中，
；
；
；
；
；
；V1、Vp和Vn分别为在基频f1、正序频率fp、负序频率fn下的相电压幅值；I1、Ip和In分别为在f1、fp、fn下的并网电流幅值；jvp、jvn、ji1、jip、jin分别为各自分量对应的初相角。
根据图1a所示的主电路结构，可以得到主电路平均模型为
（2）
（3）
式中，Ipv为直流侧电流的稳态值。
将式（2）代入式（3），可以得到直流电压vdc与并网点电压va、vb、vc和并网电流ia、ib、ic的关系。由于并网点电压、并网电流均存在扰动分量，交流侧扰动量通过电能转换过程传递至直流侧。因此，直流电压扰动量Vdcp的频域表达式为
（4）
式中，
为
的共轭。
由图1c的直流电压环控制结构可知，直流电压扰动量Vdcp将通过直流电压环传递至并网电流d轴分量参考值Idr中。
由图1b所示的锁相环结构可知，由于vq中存在谐波扰动量，vq中的扰动量将通过锁相环传递至锁相环输出相位qPLL中。此时，锁相环输出相位qPLL可表示为qPLL=q1+Dq，q1=2pf1t，Dq为输出相位扰动量。在考虑相位扰动量Dq后，用于派克变换及反变换中的正、余弦表达式可由sinqPLL=sin(q1+Dq)、cosqPLL=cos(q1+Dq)得到。在频域中，sinqPLL和cosqPLL具体表达式为
（5）
（6）
其中
（7）
式中，HPLL(s)为锁相环的传递函数，HPLL(s)= GPLL(s)/s，GPLL(s)为锁相环的PI控制器。
自然坐标系下的并网点电压vabc和并网电流iabc经过派克变换转换至dq坐标系。当忽略输出相位扰动量Dq的影响时，并网点电压和并网电流的d、q轴分量频域表达式分别为
（8）
当考虑输出相位扰动量Dq影响时，各变量在频率f=0下的表达式与式（8）一致。而各变量的扰动量仅在式（8）表达式基础上加入Dq的元素。
根据图1c中的交流电流环结构，可以得到调制信号dq轴分量。再根据派克反变换，即可得到自然坐标系下的调制信号，a相调制信号扰动量的频域表达式为
（9）
基于GCI端口输出电压via的调制关系，并将Vdc(f)和Ma(f)的频域表达式代入调制关系中，即可得到
（10）
式中，km为调制系数；M1为Ma的基频矢量，其表达式为
（11）
建立并网变换器输出导纳模型的核心目标是建立并网点电压谐波正、负序扰动量Vp、Vn与并网电流谐波正、负序扰动量Ip、In之间的关系。将上述模块化建模结果代入式（10），即可得到端口输出电压Via的扰动量关于Vp、Vn和Ip、In的关系式。再将该关系式代入式（2）的频域形式，即可消除式（2）中的端口输出电压via，从而得到并网点电压谐波扰动量Vp、Vn与并网电流谐波扰动量Ip、In之间的关系。在保证模型完整性的前提下，为了能在GCI的序导纳模型中更加清晰地表征各部分与各控制环间的从属关系，在建立Via的扰动量关于Vp、Vn和Ip、In的关系式时，分为以下步骤进行。
1.4.1 直流电压环相关矩阵
由直流侧及直流电压环产生的扰动量为Vdc[±(fp-f1)]。因此，当仅考虑直流电压环的影响时，Via扰动量与Vp、Vn和Ip、In的关系为
（12）
式中，
定义为电压系数矩阵；
定义为电流系数矩阵；Fp、Fn和Cvp、Cvn、Cip、Cin分别表示为
（13）
（14）
1.4.2 交流电流环、锁相环相关部分
同理，在分别考虑由交流电流环和锁相环产生的扰动量后，导纳矩阵中与交流电流环相关的部分为Z11、Z12、Z21、Z22，与锁相环相关的部分为S11、S12、S21、S22，相关部分的详细表达式将在附录中进行展开。
利用叠加定理，将分别考虑直流电压环、交流电流环、锁相环时得到的Via扰动量与Vp、Vn和Ip、In的关系表达式一同代入对应的频域表达式（2）中，即可建立考虑多耦合因素下的GCI输出导纳模型，即
（15）
式中，导纳矩阵的耦合子系统与主对角线子系统的幅值相对大小关系可以反映频率耦合的程度[27]。耦合子系统幅值相对于主对角线子系统越大，频率耦合程度越严重；反之，若耦合子系统幅值远小于主对角线子系统，耦合子系统可以忽略不计，此时系统可视为具有单输入单输出（Single-Input Single- Output, SISO）特性的一阶系统。
GCI导纳矩阵中四个子系统的伯德图如图2所示。为了能更直观地比较耦合子系统与主对角线子系统的幅值大小关系，在Ypn和Ynp耦合子系统的伯德图中，同时还绘制了考虑多耦合因素时的Ypp曲线用于辅助比较。由图2可知，耦合子系统Ypn和Ynp的幅值在绝大部分频段都与黑色曲线相近，表明耦合子系统相对于主对角线子系统不可忽略，频率耦合程度较高，此时GCI系统为MIMO系统。
图2 导纳模型伯德图
Fig.2 Bode plot of admittance model
为了对比不同控制环对频率耦合效应的影响，图2还绘制了单独考虑某一控制环时对应的伯德图曲线。仅考虑直流电压环时的幅频特性曲线在大部分频段中与考虑多耦合因素时的曲线接近甚至重合，这表明直流电压环对频率耦合有着较大的影响，是频率耦合效应的重要影响因素。因此，本文将重点解决由直流电压环引起的频率耦合问题。
直流电压环相关矩阵如式（12）所示。代入式（13）、式（14），并基于欧拉公式将有关变量进行展开，得到直流电压环相关矩阵的系数表达式为
（16）
（17）
从图2可知，耦合子系统与主对角线子系统的幅值相近，导致频率耦合不能忽略，正、负序导纳间相互耦合，GCI系统为具有MIMO特性的二阶系统。因此，抑制频率耦合的本质目标是使耦合子系统导纳幅值远小于主对角线子系统幅值，从而实现解耦。而通过“主增耦减”，实现主对角线子系统和耦合子系统的反向变化，即可拉大二者之间的幅值差距，是实现该目标的有效途径。
实现主对角线子系统和耦合子系统之间的反向变化，要求在耦合子系统导纳幅值减小的同时，使主对角线子系统增加或维持不变，即FpCvn、FnCvp、FpCin、FnCip减小，FpCvp、FnCvn、FpCip、FnCin增大或维持不变。由式（16）可知，直流电压环相关矩阵中，各子系统均由以K(s)为系数的相关项、以
和
为系数的相关项组成。和相关项由调制过程产生，难以通过直流电压环进行改变，而K(s)相关项则由直流电压环产生。且在K(s)相关项中，当GCI以单位功率因数运行时，正弦分量可以忽略不计。因此，实现“主增耦减”可先聚焦式（16）中K(s)相关项的余弦分量和V1/2分量。
要实现主、耦合子系统之间导纳参数的反向变化，需保证同一行子系统之间、同一列子系统之间均可发生反向变化。为实现主、耦合子系统之间的反向变化，基于频域建模的知识，提出利用频域卷积符号差异来实现“主增耦减”的思路。该思路包含两个步骤：
（1）首先利用并网点电压和并网电流q轴分量vq、iq的正序和负序扰动量之间的相反号，实现同一行子系统之间的反向变化。
（2）在步骤（1）的基础上，由于q轴卷积运算中在计算正序和负序分量时存在着相反号的差异，利用q轴卷积运算的正负序分量相反号来实现同一列子系统的反向变化，此时也已实现了主对角线子系统和耦合子系统间的反向变化。总体思路如图3所示，两个步骤的具体机理如下：
（1）引入vq和iq实现同一行子系统间的反向变化。要实现电压系数矩阵或电流系数矩阵中同一行子系统的反向变化，由图3可知，所引入变量的正序和负序扰动量应具有符号相反的特点，才有可能达到一增一减的效果。而从式（8）可知，并网点电压d轴分量vd及并网电流d轴分量id的正序和负序扰动量均为“+”号，若引入vd、id只能发生同向变化，不满足要求。而由图3可知，并网点电压q轴分量vq中的正序扰动量为
jVp，负序扰动量为
jVn，正负扰动量之间为符号相反关系；同样地，并网电流q轴分量iq中的正序扰动量为jIp，负序扰动量为jIn，二者符号也具有相反的关系。因此，只有以vq和iq为引入变量才可实现同一行子系统的反向变化。
（2）将变量引入直流电压环q轴以实现同一列子系统的反向变化。将式（9）代入式（10），即可得到dq轴调制信号与端口输出电压的关系式，如图3中的绿色框所示。由于引入位置为q轴，因此引入控制的影响首先体现在q轴调制信号的扰动量Mq[±(fp-f1)]上，然后再通过Mq[±(fp-f1)]与sinqPLL(±f1)的卷积将影响传递至端口输出电压扰动量Via(±fp)和Via(±fn)中，如图3中的绿色框所示。Mq[±(fp-f1)]与sinqPLL(±f1)的频域卷积过程如图3紫色框所示。Mq[+(fp-f1)]与sinqPLL(+f1)进行卷积可以得到Via(+fp)，而Mq[+(fp-f1)]则需与sinqPLL(-f1)进行卷积才可以得到Via(+fn)。由图3的黄色框可知，Via(+fp)和Via(+fn)分别代表直流电压环相关矩阵的第一行和第二行。且由式（5）可知，sinqPLL(+f1)与sinqPLL(-f1)为相反号关系，这将使得当引入控制的影响从Mq[±(fp-f1)]传递至矩阵的第一行与第二行时，需要乘以相反的运算符号，这即是利用q轴卷积运算的符号差异来实现同一列子系统间反向变化的核心要义。而若将变量引入d轴，由于cosqPLL(+f1)与cosqPLL(-f1)的符号是相同的，无法实现同一列子系统间反向变化的目标。
图3 基于频域卷积符号差异实现“主增耦减”思路
Fig.3 The thinking processes of utilizing the opposite signs of frequency convolution to achieve reverse change
因此，结合步骤（1）和步骤（2），通过将并网点电压q轴分量vq及并网电流q轴分量iq引入直流电压环q轴中，即可利用频域卷积过程的符号差异实现余弦分量和V1/2分量的“主增耦减”。
2.2节实现的是直流电压环相关矩阵中余弦分量和V1/2分量的“主增耦减”。当GCI以非单位功率因数运行时，还需考虑直流电压环相关矩阵中正弦分量的影响，针对正弦分量实现“主增耦减”，其过程同样可以分为两步进行：
（1）为实现正弦分量同一行子系统间的反向变化，由式（16）可知，同一矩阵同一行子系统之间的正弦分量本身就具备相反号，因此引入变量的正序和负序扰动量之间具有同号的关系即可利用正弦分量本身具备的相反号来实现同一行子系统的反向变化。由2.2节的步骤（1）可知，q轴变量vq、iq的正序和负序扰动量之间为相反号关系，而并网点电压d轴分量vd、并网电流d轴分量id的正序和负序扰动量之间则为同号关系。因此，引入的变量应为并网点电压d轴分量vd和并网电流d轴分量id。
（2）由式（16）可知，同一矩阵同一列子系统之间的正弦分量为同号关系。由2.2节的步骤（2）可知，此时需利用q轴频域卷积在正负序分量上的符号差异来实现正弦分量在同一列子系统间的反向变化。因此，为实现正弦分量的“主增耦减”，需将并网点电压d轴分量vd和并网电流d轴分量id引入直流电压环q轴。
基于利用频域卷积符号差异实现反向变化的思路，GCI以任意功率因数运行时频率耦合抑制方法的控制结构为：将并网点电压d轴分量vd、q轴分量vq和并网电流d轴分量id、q轴分量iq引入直流电压环q轴中。基于上述思路，对直流电压环进行q轴补偿，提出基于改进电压控制的频率耦合抑制方法，如图4所示。所提方法中，为实现余弦分量和V1/2分量的“主增耦减”，并网点电压q轴分量vq及并网电流q轴分量iq经过的控制环节与式（16）中K(s)相关项余弦分量和V1/2分量的系数相对应；为实现正弦分量的“主增耦减”，并网点电压d轴分量vd及并网电流d轴分量id经过的控制环节与式（16）中正弦分量的系数相对应。
施加所提方法后，直流电压环相关矩阵系数为
图4 基于改进电压控制的频率耦合抑制方法
Fig.4 Frequency coupling suppression method based on improved voltage control
（18）
式（18）中红色实线框表示施加方法后的增加部分，蓝色虚线框表示的则是减少的部分，而无标注部分为未施加所提方法时的原表达式。X和Y所代表的部分与图3中的相对应，其为所提方法为实现余弦和V1/2分量的“主增耦减”，而分别在电压系数矩阵和电流系数矩阵所引入的部分。由于“主增耦减”针对的是幅值的变化，因此施加所提方法后是增大还是减小应该根据施加所提方法所引入的部分与原表达式进行运算后，该部分的绝对值是增大还是减小来判断。以正弦分量的变化为例，施加所提方法后，虽然在主对角线(FpCvp)′子系统上引入的正弦分量是-j0.25DK(s)I1sinji1，但由于FpCvp的原表达式中正弦分量也为减号，原表达式中的正弦分量和施加所提方法后引入的正弦分量相叠加后，(FpCvp)′子系统中正弦分量的绝对值是增大的。由此可知，从数学机理层面分析，施加所提方法能够增大直流电压环相关矩阵中主对角线子系统的余弦分量、V1/2分量和正弦分量，并同时减小耦合子系统中的相应分量。所提方法可以同时实现余弦分量、V1/2分量和正弦分量的“主增耦减”，确保GCI在不同功率因数下运行时实现解耦。
以式（18）中(FnCvp)′子系统的余弦分量为例，阐述所涉及参数发生变化时，所提方法具备较强鲁棒性的理论机理：式（18）中，原表达式各分量的数值取决于参数的实际值，而所提方法引入部分的数值取决于其参数的设定值。当运行过程中基频电流幅值I1等参数的实际值与所提方法的设定值相等时，此时由所提方法引入的-0.25DK(s)I1cosji1与原表达式中的余弦分量0.25DK(s)I1cosji1在数值上相等、符号上相反，所提方法引入部分可完全抵消原表达式中的余弦部分，从而在该耦合子系统上实现余弦分量减小，其他分量亦同理。
当参数发生变化时，基频电流幅值I1等参数的实际值与所提方法中的设定值不相等。由式（18）可知，虽然此时所提方法引入的-0.25DK(s)I1cosji1与原表达式中的0.25DK(s)I1cosji1在数值上不完全相等，不能完全抵消。但由于二者仍具备相反的符号关系，二者运算后所提方法引入部分仍可以在该耦合子系统上实现余弦分量减小，其他子系统的分量亦同理。因此，当所涉及参数变化时，由于所提方法引入部分与原表达式中对应部分的符号关系不会改变，因此仍可以实现“主增耦减”，抑制频率耦合。并且，得益于所提方法可同时实现余弦分量、V1/2分量和正弦分量的“主增耦减”，当所涉及参数发生变化时，虽然单一分量的“主增耦减”效果有所削弱，但在多分量的“主增耦减”效果共同作用下，频率耦合抑制效果不会发生明显变化，具有较强鲁棒性。
在GCI以不同功率因数运行时，施加所提方法前后的GCI输出导纳伯德图如图5所示。图中，l为功率因数。由图5可知，在施加所提方法后，主对角线子系统中，不同功率因数对应的幅频特性曲线在低于30 Hz的频段均高于未施加方法时对应的曲线，而在大于30 Hz的频段，施加方法前后的幅频特性曲线几乎重合。这表明所提方法可以在不同功率因数下使主对角线子系统增大或维持不变。更重要的是，在耦合子系统中，相比于未施加方法时的幅频特性曲线，施加所提方法后，不同功率因数对应的耦合子系统幅值在全频段内均实现了大幅降低。综合两个方面，所提的频率耦合抑制方法在机理上利用频域卷积的符号差异、在控制结构上使直流电压环控制结构对称化的方式，能够使主对角线在增大或维持不变的同时，大幅度减小耦合子系统幅值，在不同功率因数下实现了“主增耦减”，从本质上抑制了频率耦合。在施加所提抑制方法后，GCI以单位/非单位功率因数运行时均可实现导纳矩阵中正序导纳与负序导纳之间的解耦，将GCI系统由MIMO系统降阶为SISO系统。
图5 施加方法前后的系统伯德图
Fig.5 System Bode plot with and without the proposed method
当GCI被视为MIMO系统时，系统等效输出阻抗模型中需考虑耦合子系统的影响，为准确化模型，其具体表达式[17, 26]为
（19）
当施加所提方法后，耦合子系统对系统的影响可忽略不计，将耦合子系统近似视为0，即为SISO模型时，SISO为近似处理模型。当GCI系统被解耦为SISO系统时，式（19）中的耦合子系统Ynp、Ypn可被视为0，此时系统等效输出系统模型的表达式变为
（20）
电网阻抗的表达式为
（21）
根据基于阻抗的系统稳定性判据可知，不管是MIMO系统还是SISO系统，系统稳定均需满足：在电网阻抗Zg的幅值大于系统等效输出阻抗Zeq幅值的所有频段中，Zg与Zeq的相位差在±180°相位线上的正穿越次数需等于负穿越次数，该判据即为对数频率稳定性判据[17]。
电网阻抗Zg及系统等效输出阻抗Zeq的伯德图如图6所示，系统工况为电网短路比（Short-Circuit Ratio, SCR）为1.47的弱电网。由图6可知，在施加所提抑制方法后，将GCI视为MIMO和SISO系统时的Zeq曲线在全频段完全重合。这表明在施加所提方法后，耦合子系统对系统的影响已经微乎其微，可以忽略不计，进一步论证了所提方法可以将MIMO系统降阶为SISO系统，实现系统解耦。
图6 阻抗伯德图
Fig.6 Bode plot of equivalent impedance
从稳定性分析角度来看，视为MIMO系统时的Zeq曲线与视为SISO系统时的Zeq曲线完全重合，即将系统视为MIMO系统与视为SISO系统的稳定性分析结果一致。这表明在施加所提方法后，可以将系统视为SISO系统进行稳定性分析，也可以得到准确的稳定性分析结果，降低了稳定性分析的复杂性。
由图6可知，在电网阻抗幅值大于未施加所提方法时的输出阻抗幅值的所有频段中，二者相位差正穿越±180°相位线3次，而负穿越次数只有2次，正、负穿越次数不相等。而在施加所提方法后，电网阻抗与输出阻抗相位差正、负穿越次数相等，表明在SCR=1.47弱电网工况下，施加所提方法，可将系统从不稳定系统变为稳定系统。
为验证所提频率耦合抑制方法的有效性，基于RT-Lab OP5707和DSP F28379D组成的硬件在环实验平台，搭建了图1所示的三相GCI系统。硬件在环实验平台如图7所示，系统参数见表1。
图7 硬件在环实验平台
Fig.7 Hardware-in-the-loop experimental platform
在并网点注入频率为fp1=80 Hz和fp2=90 Hz的三相正序电压谐波（幅值均为10%的基频电压幅值）。在施加传统控制方法下，实验波形如图8所示。在该实验组中，前6 s电网为强电网，在6 s时将电网切换至SCR=1.47的弱电网，整个过程都存在注入谐波。由图8c的并网电流快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）分析结果可知，80 Hz和90 Hz的电压谐波在并网电流中不仅引发了同频率的扰动谐波，还分别产生了20 Hz和10 Hz的耦合电流谐波，证明了频率耦合效应的存在。由图2的理论分析可知，在未施加所提方法时，耦合子系统导纳幅值与主对角线子系统幅值相近，导致在图8c的并网电流FFT分析中，10 Hz和20 Hz的耦合谐波电流含量分别为3.25%和3.73%，接近90 Hz时的3.69%和80 Hz的4.16%扰动谐波电流含量，理论分析与实验结论一致。在6 s时，电网切换至SCR=1.47的弱电网，由图8a可知，系统从稳定系统变为不稳定系统。
表1 系统参数
Tab.1 System parameters
参 数数 值 直流电流Ipv/A75 直流侧电压Vdc0/V700 直流电容Cdc/mF7 滤波电感Lf/mH7 基频频率f1/Hz50 调制系数km0.000 87 电网电压V1/V311 锁相环比例增益kpp0.015 8 锁相环积分系数kpi0.99 直流电压环比例增益kvp2.23 直流电压环积分系数kvi280.29 电流环d轴比例增益kdip0.48 电流环q轴比例增益kqip0.32 电流环积分系数kii603.36
图8 施加传统控制方法时的实验结果
Fig.8 Experimental results with the conventional control method
施加文献[24-25]所提SPLL控制方法后的实验波形如图9所示。实验2的工况设置与实验1的唯一区别在于电网切换时间为8 s，其他条件均与实验1一致。由图9c可知，施加SPLL控制方法后，80 Hz和90 Hz扰动电流谐波含量分别增大至4.87%和4.01%，相比于传统控制方法有所增加：另一方面，10 Hz和20 Hz的耦合电流谐波含量从传统控制方法下的3.25%和3.73%降低至1.01%和0.82%。这表明文献[24-25]所提出的SPLL控制方法使锁相环控制结构对称化，通过“主增耦减”的方式，对频率耦合效应进行了有效抑制。然而，由图9a可知，SPLL控制方法无法在SCR=1.47的弱电网条件下提升系统稳定性。
图9 施加文献[24-25]所提SPLL控制方法时的实验结果
Fig.9 Experimental results with the SPLL control method proposed in Ref.[24-25]
实验3的工况设置与实验2一致，在这种工况设置下，施加所提方法，对应的实验波形如图10所示。从图10d可知，在施加所提方法后，80 Hz和90 Hz的电流谐波含量分别上升至5.25%和4.55%，与理论分析中所提方法将使主对角线子系统幅值小幅增大的结论一致。更重要的是，10 Hz和20 Hz的耦合电流谐波含量则分别大大减小至0.03%和0.02%，远低于传统控制方法对应的3.25%、3.73%以及SPLL控制方法对应的1.01%、0.82%，与理论分析中所提方法可大幅减小耦合子系统幅值的结论相吻合。实验结果表明，所提方法能大幅降低耦合谐波含量，显著抑制频率耦合效应，其抑制效果明显优于传统控制方法和SPLL方法。在该方法作用下，单个电压谐波仅激发单个同频电流谐波，实现了系统解耦，系统可被近似视为SISO系统，与理论分析结论一致。
图10 施加所提方法时的实验结果
Fig.10 Experimental results with the proposed method
当电网切换至SCR=1.47的弱电网工况时，由图10a和图10e可知，系统为稳定系统且频率耦合现象仍可得到有效抑制，证明了所提方法在弱电网条件下的稳定提升能力。综上所述，与传统控制方法以及SPLL控制方法相比，所提方法具备更加有效的频率耦合抑制能力以及在弱电网下的稳定性提升能力。
将电网输出电压、直流侧电压、直流侧电流以及并网电流q轴参考值Iqr（利用Iqr来改变ji1）从表1中取值得：V1=480 V，I1=202 A，ji1=27.12°（对应的功率因数l=0.89），Ipv=87 A，Vdc0=1 150 V。在施加所提方法且不改变所提方法的情况下，新参数组对应的实验结果如图11所示，实验设置与实验3保持一致。由图11d可知，在强电网情况下，10 Hz和20 Hz耦合电流谐波含量分别为0.02%和0.03%。当电网由强电网切换至弱电网时，由图11a和图11c可知，在SCR=1.47的弱电网下，在所提控制方法作用下系统依然可以保持稳定，并且由图11e可知，此时10 Hz和20 Hz耦合电流谐波含量分别为0.01%和0.03%。上述实验结果表明，当参数发生变化时，在不改变所提方法的情况下，所提方法在强弱电网工况切换前后均可实现对频率耦合的有效抑制，并提升系统在SCR=1.47弱电网下的稳定性，与理论分析结论一致。因此，当所涉及的参数发生变化时，所提方法具备较强的鲁棒性，所提方法对某一特定工况或参数无依赖性。
图11 不同参数组下的实验结果
Fig.11 Experimental results under different parameters
该组实验对应的是GCI以非单位功率因数l= 0.89运行时的实验结果。结合实验3中单位功率因数下的实验分析结果可知，所提方法可在GCI系统以单位/非单位功率因数运行时，均实现频率耦合抑制和提升系统在弱电网下的稳定性，也验证了理论分析的正确性。
为进一步说明所提方法的应用场景，在实验前6 s注入电压扰动谐波，此时施加所提方法来抑制频率耦合效应，而在6 s后注入谐波消失，无需再对频率耦合进行抑制，6 s时切除所提方法，实验波形如图12所示。由图12f可知，在前6 s施加所提方法时，并网逆变器主要向电网输出无功功率，有功功率几乎为0。这是因为经过直流电压环q轴补偿方法后，所输出的q轴电流参考值Iqr远大于d轴电流参考值Idr所导致。所提出的直流电压环q轴补偿方法可使直流电压环控制结构对称化，通过增发无功功率更有利于抑制频率耦合效应和提供弱电网稳定性支撑能力。由图12f可知，在6 s时切除所提方法后，并网逆变器又将重新恢复向电网输出有功功率，无功功率为0 var。因此，当存在较大的并网点电压背景谐波时，施加所提方法可通过输出短时无功功率来对频率耦合效应进行抑制并提供电网支撑能力；在并网点扰动电压消失后，即可切除所提方法使并网逆变器恢复向电网输出有功功率。
图12 扰动电压工况切换下的实验结果
Fig.12 Experimental results under disturbance voltage switching conditions
本文提出一种改进电压控制的频率耦合抑制方法来解决由直流电压环结构不对称引发的频率耦合问题，得到以下结论：
1）通过将并网点电压和并网电流的q轴分量引入直流电压环q轴中，可以先后利用变量相反号和卷积相反号两种符号差异来实现主对角线子系统和耦合子系统的反向变化。
2）所提出的改进电压控制频率耦合抑制方法，可以在小幅增大扰动电流谐波含量的同时，大大降低耦合电流谐波含量，使得一个电压扰动只会产生一个电流谐波，从本质上抑制了频率耦合，实现了系统解耦。
后续研究工作中，可探讨本文所提解耦控制思想在采用不同控制结构的GCI系统中的推广应用效果，并进一步研究兼顾有功功率输出能力和耦合抑制能力的频率耦合抑制方法。
附 录
GCI导纳矩阵中变量具体表达式如下：
电流环相关部分Z11、Z12、Z11、Z12表达式分别为
（A1）
其中
（A2）
锁相环相关部分S11、S12、S11、S12表达式为
（A3）
参考文献
[1] 刘昊, 方天治, 张惠丽, 等. 弱电网下应对复杂稳定性问题的并网逆变器改进电压前馈通路研究[J]. 电工技术学报, 2024, 39(16): 4955-4967.
Liu Hao, Fang Tianzhi, Zhang Huili, et al. Research on an improved voltage feedforward path of grid- connected inverter coping with complex stability issues in weak grid[J]. Transactions of China Elec- trotechnical Society, 2024, 39(16): 4955-4967.
[2] 彭程, 徐建勇, 赵书琪, 等. 考虑分层碳排放的多时间尺度光储充一体站日前运行策略[J]. 电气技术, 2025, 26(1): 1-13, 63.
Peng Cheng, Xu Jianyong, Zhao Shuqi, et al. Day- ahead operation strategy for a multi-timescale inte- grated photovoltaic storage and charging station considering carbon emission stratification[J]. Elec- trical Engineering, 2025, 26(1): 1-13, 63.
[3] 张斌, 张学广, 徐殿国. 构网型与跟网型变流器混联并网系统配比关键影响因素分析[J]. 电力系统自动化, 2025, 49(1): 47-58.
Zhang Bin, Zhang Xueguang, Xu Dianguo. Analysis on key influence factors of ratio of grid-forming and grid-following converters in hybrid parallel grid- connected system[J]. Automation of Electric Power Systems, 2025, 49(1): 47-58.
[4] Hu Bin, Zhan Ling, Nian Heng, et al. PLL frequency stability enhancement under weak grid considering reactive current support[J]. CES Transactions on Electrical Machines and Systems, 2025, 9(1): 110- 114.
[5] 芮涛, 尹政, 汪凤翔, 等. 基于双矢量的并网逆变器无模型预测电流控制策略[J]. 电工技术学报, 2023, 38(14): 3759-3768.
Rui Tao, Yin Zheng, Wang Fengxiang, et al. Model- free predictive current control strategy of grid- connected inverter based on double-vector[J]. Transa- ctions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(14): 3759-3768.
[6] Sun Jian. Impedance-based stability criterion for grid- connected inverters[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2011, 26(11): 3075-3078.
[7] 高家元, 黄帅, 姜飞, 等. 弱电网下基于比例权重的控制环参数自适应调整并网逆变器稳定性提升方法[J]. 电工技术学报, 2024, 39(24): 7846-7859.
Gao Jiayuan, Huang Shuai, Jiang Fei, et al. Stability improvement method of grid-connected inverter based on proportional weight control loop parameters adaptive adjustment under weak grid[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(24): 7846-7859.
[8] 肖湘宁, 罗超, 廖坤玉. 新能源电力系统次同步振荡问题研究综述[J]. 电工技术学报, 2017, 32(6): 85-97.
Xiao Xiangning, Luo Chao, Liao Kunyu. Review of the research on subsynchronous oscillation issues in electric power system with renewable energy sources[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2017, 32(6): 85-97.
[9] 马宁宁, 谢小荣, 贺静波, 等. 高比例新能源和电力电子设备电力系统的宽频振荡研究综述[J]. 中国电机工程学报, 2020, 40(15): 4720-4731.
Ma Ningning, Xie Xiaorong, He Jingbo, et al. Review of wide-band oscillation in renewable and power electronics highly integrated power systems[J]. Pro- ceedings of the CSEE, 2020, 40(15): 4720-4731.
[10] 刘欣, 郭志博, 贾焦心, 等. 基于序阻抗的虚拟同步发电机并网稳定性分析及虚拟阻抗设计[J]. 电工技术学报, 2023, 38(15): 4130-4146.
Liu Xin, Guo Zhibo, Jia Jiaoxin, et al. Stability analysis and virtual impedance design of virtual synchronous machine based on sequence impe- dance[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(15): 4130-4146.
[11] 王震, 程鹏, 贾利民. 基于对称控制的三相并网变流器单输入单输出阻抗建模与分析[J]. 电工技术学报, 2024, 39(6): 1777-1791.
Wang Zhen, Cheng Peng, Jia Limin. Single-input single-output impedance modeling and analysis of three-phase grid-tied converter based on symmetric control[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(6): 1777-1791.
[12] 年珩, 徐韵扬, 陈亮, 等. 并网逆变器频率耦合特性建模及系统稳定性分析[J]. 中国电机工程学报, 2019, 39(5): 1421-1432.
Nian Heng, Xu Yunyang, Chen Liang, et al. Frequ- ency coupling characteristic modeling of grid-connected inverter and system stability analysis[J]. Proceedings of the CSEE, 2019, 39(5): 1421-1432.
[13] Wang Xiongfei, Blaabjerg F. Harmonic stability in power electronic-based power systems: concept, modeling, and analysis[J]. IEEE Transactions on Smart Grid, 2019, 10(3): 2858-2870.
[14] 刘威, 谢小荣, 王衡, 等. 基于频率耦合阻抗模型的并网变流器全工况小信号稳定性分析[J]. 中国电机工程学报, 2020, 40(22): 7212-7220.
Liu Wei, Xie Xiaorong, Wang Heng, et al. Frequency- coupled impedance model-based small-signal stability analysis of grid-tied converters under all operating conditions[J]. Proceedings of the CSEE, 2020, 40(22): 7212-7220.
[15] 年珩, 李萌, 陈亮, 等. 采用多正弦信号注入的宽频带并网逆变器频率耦合特性测量方法[J]. 中国电机工程学报, 2020, 40(22): 7408-7419.
Nian Heng, Li Meng, Chen Liang, et al. Measurement method for broadband frequency coupling characteri- stics of grid-connected inverter using multi-sine signal injection[J]. Proceedings of the CSEE, 2020, 40(22): 7408-7419.
[16] Wen Bo, Boroyevich D, Burgos R, et al. Analysis of D-Q small-signal impedance of grid-tied inverters[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2015, 31(1): 675-687.
[17] Xu Jinming, Zhong Jiufa, Kang Jiahua, et al. Stability analysis and robust parameter design of DC-voltage loop for three-phase grid-connected PV inverter under weak grid condition[J]. IEEE Transactions on Indu- strial Electronics, 2024, 71(4): 3776-3787.
[18] Wu Wenhua, Zhou Leming, Chen Yandong, et al. Sequence-impedance-based stability comparison between VSGs and traditional grid-connected inverters[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2019, 34(1): 46-52.
[19] Sun Jian. Small-signal methods for AC distributed power systems-a review[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2009, 24(11): 2545-2554.
[20] Sun Jian, Liu Hanchao. Sequence impedance modeling of modular multilevel converters[J]. IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics, 2017, 5(4): 1427-1443.
[21] 杨苓, 许家浩, 陈思哲, 等. 弱电网下三相并网系统自适应频率耦合振荡抑制装置的控制策略研究[J]. 中国电机工程学报, 2022, 42(19): 6995-7007.
Yang Ling, Xu Jiahao, Chen Sizhe, et al. Control strategy study of adaptive frequency coupling oscillation suppression device for three-phase grid-connected system under weak grid[J]. Proceedings of the CSEE, 2022, 42(19): 6995-7007.
[22] Xie Zhiwei, Chen Yandong, Wu Wenhua, et al. Admittance modeling and stability analysis of grid- connected inverter with LADRC-PLL[J]. IEEE Transa- ctions on Industrial Electronics, 2021, 68(12): 12272- 12284.
[23] 唐欣, 李珍, 李勇, 等. 并网变流器频率耦合振荡分析及解耦控制设计[J]. 中国电机工程学报, 2023, 43(8): 3127-3137.
Tang Xin, Li Zhen, Li Yong, et al. Frequency coupling oscillation analysis and decoupling control design of grid connected converter[J]. Proceedings of the CSEE, 2023, 43(8): 3127-3137.
[24] Hu Bin, Nian Heng, Li Meng, et al. Impedance-based analysis and stability improvement of DFIG system within PLL bandwidth[J]. IEEE Transactions on Indu- strial Electronics, 2022, 69(6): 5803-5814.
[25] Yang Dongsheng, Wang Xiongfei, Liu Fangcheng, et al. Symmetrical PLL for SISO impedance modeling and enhanced stability in weak grids[J]. IEEE Transa- ctions on Power Electronics, 2020, 35(2): 1473-1483.
[26] Zhang Xueguang, Fu Sida, Chen Wenjia, et al. A sym- metrical control method for grid-connected converters to suppress the frequency coupling under weak grid conditions[J]. IEEE Transactions on Power Electro- nics, 2020, 35(12): 13488-13499.
[27] Xu Yunyang, Nian Heng, Wang Tao, et al. Frequency coupling characteristic modeling and stability analysis of doubly fed induction generator[J]. IEEE Transa- ctions on Energy Conversion, 2018, 33(3): 1475- 1486.
Abstract In the grid-connected inverter (GCI) system, control asymmetry in the dq-axis of the inverter induces a frequency coupling effect. The frequency coupling effect results in comparable amplitudes between the coupling and diagonal subsystems, introducing multiple-input multiple-output (MIMO) characteristics and complicating stability analysis. Therefore, the core objective of suppressing frequency coupling is to increase or maintain the diagonal subsystems while reducing the coupling subsystems. The reverse changes of the two subsystems are used to enlarge the amplitude difference and achieve decoupling. However, the strong coupling effect often forces both subsystems to change unidirectionally.
Based on the established inverter’s sequence admittance model, the analysis results demonstrate that the DC-voltage loop (DVL) significantly influences frequency coupling. Focusing on the frequency coupling effect caused by the DVL asymmetric control structure, this paper utilizes the opposite signs of frequency-domain convolution in positive- and negative-sequence components to realize the reverse change of diagonal subsystems and coupling subsystems in the admittance matrix. Specifically, the opposite sign of the positive-negative sequence disturbances in the q-axis voltage and current achieves a reverse change in the same-row subsystems. Then, the opposite sign of the q-axis frequency convolution results in a reverse shift in the same-column subsystems. Thus, the reverse change of the diagonal and coupling subsystems is achieved.
Regarding the reverse change through the opposite signs of frequency convolution, the control structure for introducing the q-axis voltage and current must be implemented. Therefore, q-axis compensation is applied to the DC-voltage loop to design a frequency coupling suppression method based on improved voltage control. The results of the mathematical mechanism analysis correspond with the admittance Bode analysis, showing that the proposed method can increase the diagonal subsystems or remain unchanged. In contrast, the coupling subsystems are significantly reduced. The coupling subsystems are much smaller than the diagonal subsystems, illustrating that the frequency couplings are essentially suppressed. Based on the equivalent impedance analysis, the output impedance curves of the GCI are treated as either a MIMO or single-input single-output (SISO) system and overlap entirely across the entire frequency range. The influence of the coupling subsystem becomes negligible using the proposed method, reducing the MIMO system to a SISO system. The stability analysis indicates that the proposed method can enhance system stability under weak grid conditions, with a short-circuit ratio (SCR) of 1.47.
A hardware-in-the-loop experimental platform is established. The experimental results show that the proposed method can significantly reduce the coupling current harmonic while slightly increasing the disturbance current harmonic, thereby suppressing the frequency coupling. When the grid transforms from a stiff one to a weak grid, SCR=1.47, with the proposed method, the system remains stable, and the frequency coupling is still suppressed.
keywords：Grid-connected inverter, frequency coupling, sequence admittance model, frequency-domain convolution, decoupling control
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.250632
中图分类号：TM464
国家自然科学基金（52107185）、广东省基础与应用基础研究基金（2023A1515010061, 2023A1515240010, 2024A1515011018）、广州市基础与应用基础研究基金（2024A04J4673）和电能高效高质转化全国重点实验室开放基金（2024KF008）资助项目。
收稿日期 2025-04-17
改稿日期 2025-07-17
杨 苓 女，1992年生，博士，副教授，硕士生导师，研究方向为并网逆变器的建模与稳定性分析。E-mail: 1650148795@qq.com
罗坚强 男，1987年生，副教授，硕士生导师，研究方向为新能源电力系统稳定分析与控制。E-mail: jqluo@gdut.edu.cn（通信作者）
（编辑 陈 诚）