（1）
摘要 针对永磁同步电机（PMSM）易受集总扰动影响而导致系统性能下降甚至不稳定的问题，该文提出一种结合有限时间扰动观测器（FTDOB）与新型非奇异终端滑模控制（NNTSMC）的方法。建立含有参数变化与负载转矩的集总扰动的数学模型，并转化为状态空间方程。设计时变缩放函数，确保扰动观测器的有限时间收敛性，实现对集总扰动的统一观测和动态补偿。将扰动估计量引入滑模面，增强系统对扰动的鲁棒性。对滑模面进行分段设计，远离平衡点时幂次项使系统状态快速趋近，平衡点附近切换为线性项进行平滑过渡，避免奇异性问题并有效抑制抖振现象。Lyapunov理论证明了FTDOB、NNTSMC和全局闭环系统的有限时间稳定性。实验结果验证了所提控制方案能对系统扰动进行准确估计和有效抑制，实现快速收敛，显著提高抗干扰能力和跟踪性能。
关键词：永磁同步电机 有限时间控制 扰动观测器 非奇异终端滑模控制 鲁棒性
永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）凭借其高功率密度、高效率及优异的动态响应特性，已成为工业伺服系统、新能源汽车驱动、食品机械等高精度运动控制领域的核心执行机构[1-2]。然而，在实际应用中，PMSM系统常面临参数变化、负载转矩等扰动的影响，导致系统的动态跟踪性能下降，甚至引发状态不稳定，严重影响系统在高精度场景下的可靠性[3]。为此，对扰动进行准确估计并有效抑制成为PMSM控制系统的核心问题。
研究人员探索了各种控制方法，解决跟踪控制系统的扰动问题。扰动观测器（Disturbance Observer, DOB）能够有效抑制负载突变、摩擦等非线性因素对系统的不利影响，通过实时估计并补偿扰动，显著减少稳态误差，保持稳定的控制性能[4-5]。文献[6]设计改进扰动观测器，提高了对电磁参数变化的鲁棒性，但观测器的收敛时间依赖初始状态。文献[7]设计了一种新型扰动观测器，实现了对齿槽效应、非线性摩擦等多源集总扰动进行准确估计，但该方法收敛速度较慢。对于PMSM运动控制系统，需要严格的时间约束和高精度控制，如何确保DOB的准确估计并提高收敛速度，成为DOB方法亟待解决的难题。同时，许多研究将DOB与先进的鲁棒控制相结合，从而提高非线性控制系统的控制精度和鲁棒性[8]。作为典型的鲁棒控制方法，滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）能够有效抑制扰动，有较强的鲁棒性能，与DOB相结合可提升系统的控制性能[9]。然而，SMC固有的高频切换特性会在滑模面附近引发抖振现象，影响稳态性能[10-12]。为削弱抖振，文献[13]设计了线性滑模面，提高了系统的稳态性能，但该方法仅能实现渐近收敛。文献[14]设计了终端滑模控制（Terminal Sliding Mode Control, TSMC），在滑模面中引入非线性项，使得系统状态能在有限时间内收敛到平衡点。然而，当状态接近平衡点时，非线性项的导数可能趋于无穷，该奇异性问题将导致控制量发散。
综上所述，应设计DOB准确估计系统的集总扰动，提高收敛速度以适应PMSM的快速响应需求，并改进TSMC的奇异性问题，对扰动进行有效抑制，实现PMSM高精度、高速度的运动控制。因此，本文提出了一种将有限时间扰动观测器（Finite- Time Disturbance Observer, FTDOB）与新型非奇异终端滑模控制（Novel Non-singular Terminal Sliding Mode Control, NNTSMC）相结合的控制方法。建立含有参数变化与负载转矩数学模型，将参数变化与负载转矩作为集总扰动，设计了基于时变缩放函数的FTDOB，可在收敛时间内精确调节，并准确估计系统集总扰动；将扰动估计值引入滑模面以实时补偿扰动，提出新型分段式非奇异终端滑模面，避免奇异性并有效抑制抖振，从而提高系统的鲁棒性，优化系统动态性能，实现系统的有限时间收敛。
假设PMSM忽略铁心饱和、涡流损耗和磁滞损耗，在dq轴坐标系下表贴式PMSM定子电压方程为
（1）
式中，
、
分别为d、q轴电压；
、
分别为d、q轴电流；
、
分别为d、q轴电感，表贴式PMSM满足
；
为定子电阻；
为永磁体磁链；
为转子电角速度。
PMSM电磁转矩方程为
（2）
式中，
为电磁转矩；
为电机极对数。
PMSM运动方程为
（3）
式中，
为机械角速度；
为负载转矩；
为转动惯量；B为摩擦系数。
考虑系统存在参数变化等非线性因素影响，则式（3）可表示为
（4）
式中，
、
为参数不确定性。
对式（4）进行整理，得
（5）
定义
为状态变量，代入式（5），则PMSM运动控制系统的状态空间方程为
（6）
式中，
为系统运行时所受到的集总扰动，表示为
（7）
基于FTDOB的NNTSMC速度跟踪控制系统框图如图1所示。由图1可见，FTDOB可对扰动进行精确估计，并补偿集总扰动对于系统的不利影响，保证观测器的有限时间收敛性；将扰动估计引入NNTSMC，实现精确补偿和速度实时跟踪，分段终端滑模面可避免奇异性问题并保证收敛性。因此，FTDOB与NNTSMC相结合的速度环控制方案，可兼顾较强的鲁棒性能与较好的瞬态性能。
为便于后续观测器的设计，假设集总扰动D的一阶导数是有界的[15]，则满足
（8）
式中，
为正常数。
为减少集总扰动对系统的影响，根据PMSM运动控制系统的状态空间方程，设计FTDOB在有限时间内实现精确的扰动估计，表示为
（9）
式中，
为
的估计值；
为的估计值；k1为观测器增益；
为状态变量的估计误差；k2为增长律；
为集总扰动的估计误差；
为时变缩放函数，通过调节k2，实现对系统状态变量的动态缩放，确保估计误差在TD内收敛，表示为
（10）
图1 基于FTDOB的NNTSMC速度跟踪控制系统框图
Fig.1 Diagram of NNTSMC speed tracking control system based on FTDOB
式中，l为收敛时间TD的幂指数，l＞2；t0为观测器的初始时刻。当
时，为递增函数，满足
，使得系统状态在TD时刻精确收敛[16]。因此，由式（9）可知，
项可以确保在有限时间内控制的一致性，误差较大时提供更强的阻尼，而在误差接近收敛时减小阻尼，从而实现了快速动态调节。
对式（9）进行整理，得
（11）
其中
（12）
式中，
为辅助变量；
为观测器积分项，可减小观测器稳态误差，实现对未知集总扰动的准确估计和补偿，并在有限时间TD内使集总扰动的估计误差收敛到零，即
。
为证明FTDOB的稳定性，构建Lyapunov函数为
（13）
对式（13）求导，并代入式（11），得
（14）
当
时，
，
，根据式（8）得
，则
；当
时，，
，
，则。为此，
且
，FTDOB的稳定性得证。
接下来，证明FTDOB的有限时间收敛性。设
，当
时，
满足
（15）
整理式（15），得
（16）
将式（16）两侧同乘
，得
（17）
整理式（17），得
（18）
对式（18）求解，得
（19）
当
时，有
（20）
由
，
和式（16），得
（21）
因此，对于状态估计误差满足
，进而证明集总扰动的估计误差
可在时间TD内收敛到零，FTDOB的有限时间收敛性得证。
为抑制系统集总扰动的影响，使PMSM系统实现精确的速度跟踪控制，弥补NTSMC的单一分数阶滑模面在接近系统平衡点时引起的收敛速度减慢、抖振现象和奇异性问题，设计了分段终端滑模面，确保滑模面及其导数在切换点处的连续性，并将FTDOB估计的集总扰动引入滑模面，从而形成NNTSMC。定义速度误差e1及其导数e2，表示为
（22）
式中，
为参考机械角速度。
设计滑模面为
（23）
其中
（24）
（25）
式中，
（
）为滑模面中切换项；
为分段式滑模面的切换边界；
、
、
、
、
、
为控制增益，且有
、
、
、
、
、
，
、
。设计分段结构可有效解决终端滑模在接近平衡点时奇异性问题，动态优化系统状态运动的收敛过程如图2所示。当误差较大时，幂次项
和
主导快速收敛；当误差较小时，切换为线性二次项
和
进行平滑过渡，避免传统终端滑模在接近平衡点时的奇异性问题，并确保滑模面及其导数在切换点处连续，抑制控制输入突变。
图2 系统状态运动轨迹
Fig.2 Diagram of system state motion trajectory
为了使系统在任意初始条件下都能收敛至滑模面，设计趋近律，表示为
（26）
其中
（27）
式中，
、
、
和
为切换增益，
。
对式（23）求导，得
（28）
式中，
为的导数，表示为
（29）
（30）
根据式（2）、式（4）、式（6）～式（10）、式（26）～式（30），则NNTSMC的控制律为
（31）
为证明NNTSMC趋近律的稳定性，建立Lyapunov函数为
（32）
对式（32）求导，代入式（26）和式（27），得
（33）
当
时，满足
；当
时，满足
。为了使系统状态保持在，系统轨迹必须在
上演变。由LaSalle不变性原理得，NNTSMC为全局渐近稳定，NNTSMC趋近律的稳定性得证。
为证明NNTSMC趋近律的有限时间收敛性，设
，
为全局渐近稳定。定义向量为
（34）
式中，
；
。
对于的零极限和无穷极限，即
、
，分别建立Lyapunov函数为
（35）
对式（35）求导，得
（36）
当时，满足
、
；当
时，满足
、
，
和
均为全局渐近稳定。同时，当
且
时，为齐次的；当
且
时，为齐次的。因此，当零极限和无穷极限均存在，且对应三元组分别为
和
时，为齐次的。因此，满足有限时间稳定。
设
，
，满足任意
，
都有
及
成立；存在连续且正定的函数
，
满足对于三元组
和
在零极限和无穷极限下是齐次的。函数
，存在正实数
满足
（37）
当
时，
。因此，系统状态在时间
内收敛到滑模面，并且满足
（38）
NNTSMC趋近律的有限时间收敛性得证。
当系统状态在滑模面上滑动时，令
并结合式（23），得
（39）
当
时，整理式（39），得
（40）
为证明滑模面有限时间收敛性，建立Lyapunov函数为
（41）
对式（41）求导，并结合式（23），得
（42）
式中，Ve1为一个连续且正定的函数。当时系统在滑模面上滑动时且在收敛时间
内，
收敛到
范围内，满足
（43）
式中，
；
。滑模面有限时间收敛性得证。
通过对扰动观测器、趋近律和滑模面的稳定性分析可知，对于任意初始条件，全局闭环系统状态将在有限收敛时间
内收敛到滑模面，因此全局闭环系统的有限时间收敛性得证。
为验证所设计的FTDOB与NNTSMC相结合控制方案的有效性，搭建PMSM实验平台，主要包括DSP28379D控制芯片、BOOSTXL-DRV8305EVM伺服驱动器以及永磁同步电机，如图3所示。PMSM通过增量式编码器获取速度的脉冲信号，DSP的QEP模块接收和处理脉冲信号；速度环控制频率为10 kHz；电流环采用PI控制，带宽为274 Hz，控制频率为20 kHz。实验电机参数为：p=4，yf=0.175 Wb，J=0.003 kg·m2，B=0.008 N·m·s/rad，R=0.985 Ω，Ld= Lq=0.008 5 H。设置电流环d、q轴PI控制参数：Kpd= 13.2，Kid＝1 053.8，Kpq=5.775，Kiq=1 053.8。
为验证控制方案的可行性，设计对比实验进行分析：
方法一：PI控制，设定参数为：Kp=0.3，Ki=8。
方法二：DOB+NTSMC，设定参数为：k0=50、p=5，q=3、b=1、k=10、h=5，q、h为增益。
方法三：FTDOB+NNTSMC，即本文所设计的控制方案，设定参数为：
=3，
=5.5，
=1.5，
= 3.52，
=0.35，
=600，
=600，
=0.6，
=1.3，
=2 000，
=10 000，
=0.6，
=1.3。
图3 PMSM实验平台
Fig.3 Experimental platform for PMSM
为了验证控制方案的抗扰性能，输入参考速度为1 000 r/min，并在第1 s时添加5 N·m的负载扰动，之后于第3 s时卸载，速度跟踪曲线如图4所示，加载过程的扰动观测曲线如图5所示，方法三的滑模面输出量、控制输出量、三相电流和dq轴电流实验曲线如图6所示。由图4a可知，方法一在加载和卸载时电机速度分别出现约±55 r/min的偏差，并需约0.15 s才能恢复至参考速度，系统速度环采用PI控制的动态性能不佳。由图4b可知，加载时电机速度误差约为31 r/min，卸载时电机速度误差约为-19 r/min，并于0.02 s后恢复至参考速度。由图4c可知，方法三展现了较好的抗扰性能和动态性能，其速度误差约为±14 r/min，经过0.01 s后系统达到稳态，表明FTDOB+NNTSMC方法可对扰动进行准确估计和补偿，并提高闭环控制系统的收敛性能。由图5a可知，DOB曲线经过约0.7 s实现收敛，稳态阶段的观测曲线波动较大，观测误差约为±0.5 N·m。由图5b可知，方法三曲线经过0.3 s达到稳态阶段，表明时变缩放函数实现了系统的快速动态调节，FTDOB的有限时间收敛性得到较好的体现；稳态阶段的观测误差约为±0.2 N·m，表明FTDOB的积分项可减小稳态误差，扰动估计更加准确。因此，FTDOB+NNTSMC可以快速准确地观测负载，并实现扰动抑制，具有较好的抗扰性能和快速跟踪性能。FTDOB+NNTSMC负载扰动实验结果如图6所示。
图4 负载扰动实验速度跟踪曲线
Fig.4 Speed tracking curves for load disturbance experiment
为验证系统的跟踪性能，输入参考速度为800、1 000、1 500 r/min并呈阶梯式递增，梯形波速度跟踪实验结果如图7所示。由图7a可知，方法一在速度突变时产生的超调量较大，最大速度误差分别为207、97和201 r/min，收敛时间分别为0.13、0.1、0.13 s，稳态阶段的速度误差约为±3 r/min。由图7b可知，方法二在速度突变时产生的最大速度误差分别为93、45、28 r/min，收敛时间分别为0.05、0.02、0.05 s，在稳态阶段，稳态误差约为±2 r/min。三次速度变化后，方法三收敛时间分别为0.04、0.02、0.04 s，其瞬态超调分别为2、1、2 r/min，在稳态阶段，稳态误差在±1 r/min以内。因此，方法一、方法二难以满足快速、精确的控制要求，方法二产生较为明显的抖振现象，速度出现高频分量。相较于前两种方法，方法三在瞬态阶段利用幂次项加速收敛，通过线性项抑制抖振、控制超调量，提高了稳态精度。
图5 扰动观测曲线
Fig.5 Curves for disturbance observation
图6 FTDOB+NNTSMC负载扰动实验结果
Fig.6 Experimental results of FTDOB+NNTSMC under load disturbance
图7 梯形波实验速度跟踪曲线
Fig.7 Speed tracking curves for trapezoidal wave experiment
为了进一步验证所提控制方法的可行性，输入参考速度1 000sin(2pt) r/min的正弦波，速度跟踪曲线如图8所示。在经过正弦一个周期变化后，方法一速度跟踪误差在-2～7 r/min之间，误差较大，跟踪性能不佳。方法二的跟踪误差约为6 r/min。方法三的跟踪误差约为±2 r/min。该方法通过NNTSMC中幂次项和线性项的协同切换，避免了输入量突变，实现了高精度跟踪控制。
图8 正弦波速度跟踪实验结果
Fig.8 Speed tracking curves for sine wave experiment
针对存在集总扰动的PMSM速度控制跟踪误差问题，本文提出了一种有限时间扰动观测器与新型非奇异终端滑模控制结合的控制方法。设计时变缩放函数，使扰动观测误差有限时间收敛，从而准确估计集总扰动；并通过调节增益实现有效扰动抑制。设计了分段式新型非奇异终端滑模面：远离平衡点时采用分数阶幂次项加速收敛；邻近平衡点时切换至线性项以规避奇点；并通过两者间的切换有效抑制滑模控制的抖振现象。Lyapunov理论证明了全局闭环系统的有限时间稳定性。实验结果表明，所提方法能有效抑制抖振并实现快速收敛，可在有限时间内显著减小集总扰动估计误差和速度跟踪误差，有效抑制扰动影响，增强系统鲁棒性。
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Abstract Permanent magnet synchronous motor (PMSM) has become a core component of modern high-performance motion control systems, especially suitable for industrial robots, electric vehicle power systems, and food machinery. PMSMs often encounter disturbances such as parameter uncertainties and load torque pulsations, which lead to increased tracking errors, reduced control accuracy, and system oscillation or instability under high-speed dynamic responses or heavy-load conditions. However, the sliding mode control method often lacks robustness.
This paper proposes a control strategy that integrates a finite-time disturbance observer (FTDOB) with a novel non-singular terminal sliding mode control (NNTSMC). This method constructs a PMSM system dynamics model, with parameter uncertainties and external load disturbances as lumped disturbance terms. The FTDOB achieves unified observation and dynamic compensation of the lumped disturbances by introducing a time-varying scaling function, ensuring that the estimation error converges to zero within a preset finite time. The integral term suppresses steady-state errors, improving observation accuracy in practical applications. Regarding the control strategy, NNTSMC uses a segmented sliding-surface structure. When the system state deviates from the equilibrium point, nonlinear power terms dominate the control process, accelerating state convergence. When close to the sliding surface, it smoothly switches to the linear segment, maintaining the continuity of the control action without sacrificing robustness or dynamic performance, avoiding singularity, and effectively suppressing chattering. Additionally, by feeding the disturbance estimation values from FTDOB into the sliding surface, active disturbance compensation is achieved, significantly enhancing the system's anti-disturbance performance.
An experimental platform is built using the DSP28379D digital signal processor, the BOOSTXL-DRV8305 gate drive module, and a three-phase surface-mounted PMSM. The control system adopts a high-frequency architecture of a 10 kHz speed loop and a 20 kHz current loop to ensure high-precision control. In a severe step test at 1 000 r/min with a 5 N·m load, the FTDOB+NNTSMC scheme limits speed fluctuations to ±14 r/min, reducing PI control by 75% and recovery time to 0.01 s. FTDOB converges within 0.3 s, with a steady-state observation error of no more than ±0.2 N·m, and the estimation accuracy is 60% higher than that of traditional disturbance observers. In a trapezoidal speed-tracking test from 800 r/min to 1 500 r/min, the proposed method produces only 1～2 r/min of overshoot, with a regulation time of 0.02～0.04 s and a steady-state accuracy of ±1 r/min. In a sinusoidal reference speed tracking test with an input of 1 000sin(2pt) r/min, the tracking error remains within ±2 r/min, demonstrating excellent dynamic tracking performance. Further analysis of the control output, current waveform, and sliding surface indicates that the system effectively suppresses chattering and achieves smooth and stable control performance.
The proposed FTDOB+NNTSMC framework addresses finite-time disturbance estimation, non-singular convergence, and chattering suppression. It significantly enhances the system's robustness while maintaining excellent dynamic and steady-state performance, providing a reliable solution for high-performance PMSM drive systems.
keywords：Permanent magnet synchronous motor, finite-time control, disturbance observer, non-singular terminal sliding mode control, robustness
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.251032
中图分类号：TM351
辽宁省教育厅高校基本科研项目（LJ212510152034）和大连工业大学引进人才科研启动经费项目（LJBKY2024058）资助。
收稿日期 2025-06-16
改稿日期 2025-07-11
高泽坤 男，2002年生，硕士研究生，研究方向为永磁同步电机控制系统。E-mail: GAO.Zekun@outlook.com
原 浩 男，1992年生，博士，讲师，硕士研究生导师，研究方向为交流伺服系统、非线性控制理论。E-mail: yuanhao@dlpu.edu.cn（通信作者）
（编辑 崔文静）