图1 两种不同形状的平面变压器磁心内部绕组结构
Fig.1 Winding structures inside planar transformer cores of two different shapes
摘要 平面变压器的绕组设计与铜损计算往往基于传统一维模型，然而，对于大多数平面变压器绕组具有的环形的绕组结构，其电磁场并非一维分布的。此外，传统模型还忽视了平面变压器励磁电流的存在，使得铜损的计算具有偏差。该文通过建立柱坐标系下的磁准静态场方程，得到了适用于环形绕组的交直流电阻比公式，证明了在满足同一层各匝绕组直流电阻相等条件时，环形绕组的交直流电阻比与一维模型的结果相同。并且，通过使用相量的形式表示电磁场，将励磁电流对交流电阻的影响也包含在内。基于改进的模型，该文对多层绕组层叠结构以及励磁电流对铜损的影响进行了系统分析，某些传统交错结构此前被认为是铜损相当，但实际却存在差异，并且提出了考虑励磁电流的铜损优化方法。最后通过有限元仿真以及实验验证了所提模型以及分析的正确性。
关键词：平面变压器 环形绕组 励磁电流 层叠结构 铜损模型
随着电力电子设备向高功率密度方向快速发展，平面变压器凭借其剖面结构低、散热性能良好、寄生参数可控、设计自由度高和可重复制造性等优点，在消费电子、服务器电源、新能源汽车及航空航天电源系统等领域中得到了广泛应用[1-8]。随着宽禁带半导体器件的发展和应用，变换器的频率向着MHz级推进，在这种情况下，磁件的发展成为了限制变换器效率与功率密度提升的关键因素。在一些高功率密度应用场景中，绕组导体损耗（即变压器铜损）成为了变换器损耗中占比最大的部分[9-11]，这使得铜损的精确建模与优化变得至关重要。
平面变压器的铜损研究主要分为解析法和有限元法[12-14]两大类。在实际设计中，由于其需要消耗大量的计算资源和时间，这使得有限元法难以作为常规设计手段，通常仅用于结构的最终验证而非初步设计。相比之下，解析法在初步设计方案筛选方面具有重要价值，能够为设计提供理论指导，并为后续的设计优化节省大量时间。解析模型研究主要针对占主要部分的磁心内部绕组，可追溯至经典Dowell模型[15]。该模型通过在磁准静态场下将磁心内的绕组等效为一维模型，获得以铜厚为自变量的绕组交直流电阻比模型。之后，J. A. Ferreira等将模型进一步改进[16]，提出了将临近损耗与趋肤损耗解耦的概念，获得了更加简洁直观的表达式，为高频绕组损耗预测提供了重要框架。许多模型在Dowell模型的基础上进一步发展，其中包括考虑了变铜厚的设计思想[17]、考虑电流谐波分量的频域叠加模型[18]，绕组并联的等效模型[19]以及考虑边缘效应的模型[20]。这些模型共同构成了当前平面变压器铜损研究的方法论体系。大量的平面变压器基于Dowell和Ferreira模型进行铜损计算与绕组结构设计[21-25]。
尽管已有研究取得了显著成果，以Dowell和Ferreira模型为基础的理论仍存在两个关键缺陷：第一，未充分考虑平面变压器特有的环形绕组结构。平面变压器绕组可根据形状分为直型和环形两种绕组形状，如图1所示。直型绕组的电场和磁场被认为在绕组宽度方向是均匀分布的，这种绕组结构通常在直角坐标系中建模，并且往往简化为一维模型。与直型绕组不同，环形绕组电场和磁场在宽度方向上不是均匀分布的。越靠近中心，场越集中。因此，环形绕组需要在柱坐标系中建模，无法简化为一维问题。尽管有许多文献将直型绕组交直流电阻比应用于环形绕组中[19, 21-22]，但是没有文献提供这样做的理论依据。第二，Dowell和Ferreira模型没有考虑平面变压器中励磁电流的影响。励磁电流的存在会使一、二次电流产生的磁动势无法完全抵消。当励磁电流很小时，忽略其影响是合理的，但是当励磁电流较大时，忽略其影响会产生巨大的误差[26-29]。而目前大量的平面变压器设计基于不考虑励磁电流的Dowell模型进行，亟需更加准确的考虑励磁电流影响的新模型。
图1 两种不同形状的平面变压器磁心内部绕组结构
Fig.1 Winding structures inside planar transformer cores of two different shapes
目前，有一些文献尝试对变压器的环形绕组结构以及考虑存在励磁电流这两点进行研究，但是仍存在一些不足。在考虑绕组的环形结构方面，文献[30]提出了柱坐标系下铜箔式绕组的铜损计算方法。然而，尽管铜箔式绕组与平面变压器绕组均为环形结构，但铜箔式绕组平行于中心轴，而平面变压器的印制电路板（Printed Circuit Board, PCB）绕组垂直于中心轴，因此铜箔式绕组的模型不适用于平面变压器。文献[31]将平面变压器环形绕组结构的电磁场方程等效为传输线模型但未进一步求解，绕组的交直流电阻比及总损耗仍需通过电路仿真软件对“传输线”结构进行仿真确定。文献[32]针对环形结构平面电感值计算提出了一种将直流磁场和交流磁场解耦的思想，通过假设交流下的磁场边界条件等于直流下的磁场边界条件进行求解。然而，文献中的观点存在错误，因为直流磁场方向和交流磁场方向都是径向方向，并不是互相垂直的。在考虑励磁电流的影响方面，文献[33]分析了单层绕组结构边界磁场相位差的影响，但在多层绕组分析中仍忽略了该相位差，回归到传统Dowell模型框架。文献[34]提出了一种两层绕组的电阻矩阵提取方法，可用于计算一、二次电流存在相位差时的绕组损耗。然而，该电阻矩阵在文献中仍以积分形式表示，未显式化，且仅讨论了两层绕组的情况，未扩展到多层绕组，因此不适用于指导平面变压器多层绕组设计。文献[35]在文献[33]的基础上提出了考虑一、二次电流相位差的多层绕组损耗公式，但未得到更具指导意义的交直流电阻比与多层结构的集总电阻。更重要的是，上述考虑励磁电流影响的文献其推导都是基于直型绕组进行的，而非环形绕组。
鉴于上述提到的问题，本文提出了一种同时考虑励磁电流以及环形绕组结构的平面变压器解析铜损模型。通过在柱坐标系下的磁准静态场（Mag- netoquasistatic, MQS）建模，得到了二维的电磁场分布，进一步得到了单层绕组的交直流电阻比，给出了多层绕组损耗公式以及特定结构下的集总参数表达式。本文严格证明了，在满足单层内各匝直流电阻相等的条件时，环形绕组交直流电阻比与直型绕组表达式一致。本文还研究了励磁电流对多层绕组损耗的影响，同时提出了可以快速确定最佳层叠结构的设计方法——最优路径法。最后通过仿真和实验验证了所提模型的正确性。
本文所研究的平面磁件铜损问题属于电磁场中的MQS问题，在kHz～MHz频率下，导体内的传导电流远大于位移电流，麦克斯韦方程组中位移电流项可以忽略[14]。基于二维轴对称截面的物理问题抽象如图2所示。平面磁件柱坐标系中，r轴对应绕组宽度方向，z轴对应绕组厚度方向，j轴对应绕组长度方向。由于基板和阻焊材料的电导率和磁导率均较小，可将其等效为空气介质。考虑到绕组宽度通常远大于间隙尺寸，可以近似认为绕组之间以及绕组与磁心在半径方向上不存在间隙。气隙位于绕组下方，假设边缘效应可忽略不计。磁心的相对磁导率远大于1，可视为理想磁导体。此外，分析中不考虑三维结构中的过孔和进出端部等影响因素，模型沿j轴是不变的。综上所述，平面变压器的铜损问题可抽象为如图2下方所示的物理问题。具体而言，在空气中，电磁场满足柱坐标系下的拉普拉斯方程；在铜绕组内部，电磁场满足柱坐标系下的亥姆霍兹方程。边界条件如下：上、左、右三处边界的切向磁场为零，而下边界满足第一类边界条件。
本文模型和传统Dowell、Ferreira模型的主要区别在于以下两点：
图2 基于二维轴对称截面的物理问题抽象
Fig.2 Abstraction of physical problems based on two-dimensional axisymmetric cross-sections
（1）环形中柱PCB绕组的特殊性。与方形中柱PCB绕组或环形中柱铜箔式绕组不同，环形中柱PCB绕组的电磁场沿绕组宽度方向不再均匀分布。
（2）磁动势的不完全抵消。在变压器中，存在一定的励磁电流，导致一次、二次侧的磁动势无法完全抵消。这一现象在传统模型中被忽略，但在本文模型中得到了充分考虑。
在同层PCB设计中，可能存在单匝或多匝绕组结构，如图3所示。首先探讨多匝绕组在何种条件下可等效为单匝绕组，以为后续的研究建立统一的模型。考虑一个包含n匝的绕组系统，各匝的内径分别为r11、r12、…、r1n，各匝电流相等且铜箔厚度为h。在直流条件下分析可知，当各匝绕组的直流电阻相等时[22]，即满足条件
（1）
即
（2）
式中，rin、ro分别为磁心的内、外层；i为绕组从内到外所在匝数。
此时，电流密度在半径方向呈现连续变化，且总损耗达到最小。基于此，多匝绕组可视为一个整体，简化为等效的单匝绕组模型。
在交流条件下，如果各匝绕组仍满足上述关系，那么多匝绕组仍可视为一个整体，且总损耗依然保持最小。该结论的验证见2.1节与5.1节。而当同一层中各匝绕组不满足上述条件时，损耗会显著增加[36]，将不再研究此类情况。在后文中，如果没有特殊说明，每一层绕组将视为整体的一匝。
图3 同一层PCB内可能具有单匝或多匝绕组
Fig.3 One layer of PCB may contain windings with either a single turn or multiple turns
对于单层绕组，其电流为I1，以其上表面定义为z=0平面，绕组方向为j，磁心中心轴定义为r=0，其内部电磁场分布满足麦克斯韦方程组。在环形绕组中，由于对称性以及边界条件的限制，电磁场分布具有以下特点。
（3）
（4）
式中，E、J、B以及H分别为电场、电流密度、磁感应强度以及磁场强度的三维矢量；s为导体电导率；m为导体磁导率。
将式（3）、式（4）代入麦克斯韦方程组中可得
（5）
（6）
式中，w为角频率。从式（5）中可以得到，Hr(r, z)可以表示为
（7）
式中，f为关于z的函数。
结合式（6）、式（7）可以得到，绕组内部的磁场强度可以表示为
（8）
其中
式中，d为趋肤深度。结合电磁感应定律的微分形式和式（8），绕组内部的电场强度为
（9）
式中，f(0)和f(h)分别为绕组上、下表面磁场需满足的边界条件。由于f和r无关，f可以通过安培定律沿绕组上、下表面对H积分求得
（10）
（11）
式中，I0为绕组上表面上方电流之和；Ih为绕组下表面上方电流之和，即Ih等于I0加上绕组内的电流I1。由式（9）可验证，在同一层内，有
（12）
式中，r11、r12、…、r1n满足式（2）。因此，该层绕组可视为内径分别为r11、r12、…、r1n，且每匝电流为I1/n紧密排布的n匝绕组；反之，根据电磁场解的唯一性，如果该层绕组由内径分别为r11、r12、…、r1n且每匝电流为I1/n紧密排布的n匝绕组组成，则可将这n匝绕组等效为一个具有总电流I1的整体。因此，第2节关于多匝绕组在满足式（1）条件下可等效为单匝绕组的结论得证。
绕组的交流电阻Rac可以根据坡印廷定理进行计算得
（13）
式中，具体表达式见附录；A为绕组的表面，如图4所示。电磁场能流只在上、下表面产生，而在内侧面和外侧面能流为零。
图4 绕组表面电场、磁场以及面法向量方向
Fig.4 The electric field, magnetic field, and surface normal vector directions on the winding surface
为了进一步推导交流电阻与直流电阻之比的解析表达式，对f(0)和f(h)之间的关系进行定义。在传统的一维模型中，假设电磁场沿绕组宽度方向均匀分布，在一维模型中用H而不是f来表示边界条件，并定义了一个实数m作为比例系数[16]，有
（14）
然而，只有当I0和Ih具有相同或者相反的相位时，m才是一个实数。实际上，当考虑励磁电流的影响时，f(0)和f(h)之间（H(0)和H(h)之间）的相位关系需要用复数来定义。定义为
（15）
式中，g为绕组上下表面f的幅值差；q为相位差。通过将绕组上下表面磁场、电场表达式代入式（13）并除直流电阻，可以得到单层绕组的交、直流电阻之比为
（16）
（17）
其中
式中，x为铜厚与趋肤深度之比，具体推导过程见附录。式（16）描述的是绕组交流电阻和直流电阻之比；式（17）描述的是绕组交流电阻和铜厚取单位趋肤深度时的直流电阻之比。
对于电感，有q=0。通过式（14）和式（15），可以得到本文的g和Dowell模型中的m的转换关系为
（18）
因此，式（17）在q=0时退化为传统一维Dowell模型。
（19）
综上所述，本文得到以下两个重要结论：
（1）环形绕组影响。本文严格证明了对于环形绕组的电感或一、二次电流相位差为0的变压器，仍然可以使用一维Dowell模型的交直流电阻之比公式来计算。但需要注意的是：单层内多匝绕组需要满足直流电阻相等的条件，即各匝宽度需满足式（2），而非在一维模型中假设的宽度相等。
（2）励磁电流影响。在计算一、二次电流具有相位差的变压器中的铜损时，需要使用本文所提模型式（17）而非传统Dowell模型式（19）。这是因为式（17）更准确地反映了在考虑励磁电流的情况下变压器中电磁场的相位特性及其对铜损的影响。
式（17）的物理含义是，当考虑励磁电流时，单层绕组交流电阻不再是一个以m和x为双变量的函数，而是一个以g、θ和x为三变量的函数。交流电阻和单位趋肤深度直流电阻之比（见式（17））在不同g和q下随x变化如图5所示。图5表明，绕组电阻随x变化趋势仍和传统模型类似，随着x增加先减小，之后进行一次振荡，最后保持不变。在减小阶段，所有曲线重合，此时还没有趋肤效应，电阻是直流电阻，随厚度增加线性减小。在振荡阶段，不同参数开始振荡的x和振荡的幅度都不相同。在某些参数下，如当g=0.5/3，q=135°以及g=0.5/3，q=180°时，振荡的幅度很小，可以近似认为绕组电阻随着x增加先减小，之后就保持不变。对于任意的g和q，存在一个铜厚值使电阻最小。容易得出，当q=90°时，x取p时电阻最小；当q=180°，g=1时，x取2p时电阻最小。可以观察到，在振荡阶段以后，曲线之间保持不相交，这是由式（17）的函数特性所致：g、q相乘的部分sinhx-sinx在x＞0时没有零点。
图6的等高线图表示了当x=10时，交流电阻和单位趋肤深度直流电阻之比（见式（17））的常用对数值，即lg(Rac/Rdc|x=1)，与g和q的关系。尽管在实际设计中x通常不会达到这么大，但由于图5曲线之间保持不相交，因此x=10时g和q对电阻大小的影响就代表了g和q对图5中曲线高低的影响。取f(0)=1，图中点的坐标即代表geiq。可以证明，(-1, 0) 是最小值点，即g=1，q=180°时，此时Rac/Rdc|x=1=0.5，对应Dowell模型中m=0.5。(1, 0) 是最大值点，即g=1，q=0°时，此时电阻会趋于无穷，对应Dowell模型中m=∞。Dowell模型整体对应图中的实轴，除了实轴上的情况外，本模型还描述了整个平面中的情况，使得在任意上下表面磁场相位差下的损耗都可得以计算。可以发现，在左半平面时，绕组电阻较小，在0.5～1倍的单位趋肤深度直流电阻之间，而在右半平面时电阻变大，并且越接近 (1, 0) 点时电阻增加越快，达到几倍甚至几十倍的单位趋肤深度直流电阻。一个特殊情况是，当q等于90°或270°时，交流电阻值始终等于1倍的单位趋肤深度直流电阻，与g的取值无关。
图5 交流电阻和单位趋肤深度直流电阻之比在不同g和q下随x变化
Fig.5 The variation of the ratio of AC resistance to DC resistance at unit skin depth with respect to x under different values of g and q
图6 交流电阻和单位趋肤深度直流电阻之比的常用对数值 (lg) 随g和q变化（当x=10时）
Fig.6 The variation of the common logarithm (lg) of the ratio of AC resistance to DC resistance at unit skin depth with respect to g and q when x=10
多层绕组结构与对应的层电流矢量如图7所示。考虑n层绕组结构如图7a所示，上方为磁心，下方为气隙。由于各层电流可能存在相位差，用相量形式表示从上至下的层电流分别为
、
、…、
。各层电流矢量叠加后这些矢量的端点依次记为v0、v1、…、vn-1及vn。对每一层绕组利用式（17）计算损耗之后再求和，可以得到多层绕组的损耗为
（20）
（21）
（22）
其中
（23）
（24）
图7 多层绕组结构与对应的层电流矢量
Fig.7 Multilayer winding structure and its corresponding layer current vectors
具体推导过程见附录。损耗为两部分之和。第一部分Pskin，即式（21），代表趋肤损耗，等于各层绕组在g=0时的损耗之和。其物理含义是假设磁心中每一层绕组单独存在时，由自身趋肤效应产生的损耗，和其他层绕组的影响无关。第二部分Pprox，即式（22），代表邻近损耗，其物理含义是在磁心中各层绕组受到其他层电流影响而产生的额外损耗之和。式（20）是在已知各层电流大小及相位情况下，计算得到的多层绕组总损耗。对于多层绕组，由于层之间的连接方式尚未确定，无法像单层绕组那样直接写出交直流电阻之比。在第4节中，将针对某些特定层叠结构，推导其等效电阻表达式。
基于式（20），可分析不同层叠结构下的变压器（含多端口）在任意波形下的铜损。鉴于任意波形的电流经傅里叶分解后，其铜损为各次谐波之和。为聚焦于基本原理，本节以二端口变压器为例，假设一次、二次及励磁电流均为标准正弦波，从而建立分析基础。
以一个4层PCB电压比为2
2的变压器为例，考虑以下几种层叠结构：属于交替式交错结构的一次-二次-一次-二次（P-S-P-S）、二次-一次-二次-一次（S-P-S-P）；属于对称式交错结构的一次-二次-二次-一次（P-S-S-P）以及二次-一次-一次-二次（S-P-P-S）。根据传统模型，由于忽略了励磁电流的影响，这四种层叠方式的铜损被认为是相等的。
然而，根据本文提出的多层绕组损耗模型式（20），这些层叠方式下的绕组损耗在励磁电流存在时实际并不相同。假设一次电流
A、二次电流
。四种层叠方式的层电流矢量如图8所示。这四种交错结构的层电流矢量端点分别为(v1v2v3)、(v1v2 
)、(
v2v3)及( v2 )。按照式（20）分别写出这四种结构的损耗，可以发现，损耗的差异在式（22）中的
（
）项，而其他部分在这四种结构中是完全相同的。（）代表了这些层电流矢量端点（除了起点和终点外）到原点的距离二次方和，这些矢量端点到原点的距离越近，则这一项损耗越小；到原点的距离越远，损耗越大。因此，可以通过观察层电流矢量图中中间点的位置，直观地判断不同层叠结构的损耗大小。四层PCB 22平面变压器的四种交错结构对应的层电流矢量如图8所示。从图8中可以看到，由于一次电流幅值大于二次电流幅值，根据几何关系易证
以及
。因此，层电流矢量经过点的结构比经过v1点的结构实现了更小的损耗，这代表前两层采用二次-一次（S-P）结构比采用一次-二次（P-S）结构损耗更小；同样地，经过点比经过v3点实现了更小的损耗，这代表后两层仍然是采用二次-一次（S-P）结构比采用一次-二次（P-S）结构损耗更小。整体而言，二次-一次-二次-一次（S-P-S-P）结构的损耗最小，而一次-二次-一次-二次（P-S-P-S）结构的损耗最大。这个结果可以这样理解：除了与二次侧磁动势抵消的电流外，一次侧层电流还包含少量用于励磁的额外电流，而在保证交错结构的前提下，将这部分层电流安排在更靠近气隙的层中可以使损耗更小。
图8 四层PCB 2
2平面变压器的四种交错结构对应的层电流矢量
Fig.8 The layer current vectors corresponding to the four interleaving structures of a 4-layer PCB 22 planar transformer
通过判断层电流矢量图中距离原点的路径来判断邻近铜损大小，可以直观地区分趋肤损耗相等的结构其不同的邻近损耗。在已知PCB层数以及层电流大小和相位的情况下，可以快速设计出具有最小邻近效应的最佳层叠结构，与传统利用Dowell模型设计最优磁动势的方法类似，但不同之处在于，这里的设计对象从标量变为矢量。
对于电压比非11的情况，例如，一个四层PCB（一次侧两层、二次侧两层）电压比为23的变压器，需要设计一种层叠结构以实现最小铜损。假设
A，
。考虑所有情况时有12种交错结构。图9中展示了其中的五种结构。根据电流的大小以及几何关系，易得
、
及
。因此，可以判断出最小铜损结构为经过路径
对应的层叠结构S-P-SS-P，如图9d所示。此外，需要注意的是，同一层内绕组的半径需要满足各匝直流电阻相等的条件。
图9 四层PCB 2
3平面变压器的五种交错结构对应的层电流矢量
Fig.9 The layer current vectors corresponding to the five interleaving structures of a 4-layer PCB 23 planar transformer
第3节的分析从微观层面明确了各PCB层对邻近损耗的贡献；此外，亦可根据第2节的铜损公式建立等效电阻模型，以描述变压器的宏观特性。变压器的等效T型阻抗网络如图10所示，Rp+jwLp为一次侧漏抗，Rs+jwLs为二次侧漏抗，Rm+jwLm为励磁电抗。由3.1节分析可得，对于常规的一、二次侧具有相同PCB层数的二端口平面变压器，取决于一次侧层电流以及二次侧层电流大小，最优层叠结构可能为以一次-二次（P-S）式交错为基本单元的层叠结构（二次侧层电流更大）或以二次-一次（S-P）式交错为基本单元的层叠结构（一次侧层电流更大）。一次侧是n1匝/层，二次侧是n2匝/层，PCB共有2k层的一次-二次（P-S）式层叠结构的损耗易得
（25）
其中
（26）
（27）
式中，
为二次侧折算到一次侧的电流；Rskin和Rprox见式（23）和式（24）。因此，可以求出等效电阻网络中的各电阻为
（28）
（29）
（30）
总损耗等于
（31）
图10 变压器T型等效阻抗网络
Fig.10 The T-type equivalent impedance network of a transformer
而对于二次-一次（S-P）式交错结构，其等效电阻网络中的电阻可以通过将式（28）和式（29）中的下标p和s交换得到，同时Rm保持不变。可以看出，一次-二次（P-S）式交错结构中Rp＞Rs，而二次-一次（S-P）式交错结构中Rp＜Rs。因此，如果一次电流Ip大于折算到一次侧的二次电流
，采用二次-一次（S-P）式交错结构能够实现更小的损耗，这和3.1节中的分析一致。
通过集总参数更易计算励磁电流对总损耗的影响。以一次-二次（P-S）式交错这种常规结构为例，假设变压器二次侧连接的是阻性负载，而变压器励磁电抗在高频下呈感性，此时励磁电流滞后二次电流90°左右。图11展示了在励磁电流滞后二次电流90°，二次电流等于1 A时，总损耗与励磁电流大小的关系。k代表的是一次-二次（P-S）式基本单元的数量，即PCB层数的一半。对于不同的k值，损耗均按照其k值以Im=0时的损耗值进行归一化。可以看到，随着励磁电流的增大，损耗也逐渐增大;并且k越大，励磁电流的影响也越大。
图11 励磁电流滞后二次电流90°时一次-二次（P-S）式交错损耗随励磁电流大小变化情况
Fig.11 The variation of losses in P-S interleaving with respect to the magnitude of magnetizing current when the magnetizing current lags the secondary current by 90°
本次仿真基于COMSOL二维仿真实现，几何类型为二维轴对称，物理场为磁场，此时无位移电流，在频域下进行仿真。首先验证在第2节中的猜想：当同一层内各匝绕组的直流电阻相等时，各匝绕组可视为一个整体。验证单层多匝绕组可视为整体的条件如图12所示。建立单层3匝绕组结构，绕组与绕组间、绕组与磁心间没有间隙，绕组远离气隙，磁心视为理想磁导体，符合本文的模型假设图2中的条件。磁心的内径rin=4 mm，外径ro=12 mm。电流为1 A。图12中左上方曲线代表在z=40 mm时r方向磁场强度rHr随r的变化，下方云图是电流密度分布，右方是磁场向量。在图12a中，各匝绕组半径满足直流电阻相等的条件，即
，而在图12b中，各匝绕组半径不满足该条件。容易发现，图12a中的电流密度分布和将该层视为一个整体时的电流密度分布相同，磁场只有r方向分量；而图12b中的绕组电流密度在相邻匝边界处会急剧增大，磁场不仅具有r方向分量还具有z方向分量，此时的损耗也急剧增大。综上所述，通过2.1节的理论推导以及图12的仿真结果，充分说明了柱坐标系下同一层的多匝绕组具有相等直流电阻是设计与分析都必须满足的必要条件。图12中， 1 oz≈351 mm。
图12 验证单层多匝绕组可视为整体的条件
Fig.12 Verification of the conditions under which a single-layer multi-turn winding can be treated as a whole
建立如图13所示仿真模型，模型设置同5.1节，PCB层数为4，考虑非理想情况，包括磁心与绕组间隙、绕组与绕组间隙、气隙等影响，此时磁场流线（图13中灰线）同时具有r和z方向分量。模型的几何参数见表1。第1、3层为一次绕组，一次绕组每层具有3匝，各匝半径满足直流电阻相等条件，第2、4层为二次绕组，每层具有1匝。
图13 仿真模型
Fig.13 The simulation model
图14给出了传统模型、本文所提模型与在不同参数条件下仿真的损耗随频率变化对比。损耗按照xc2w=0 mm，xw2w=0 mm时的直流损耗为单位1进行归一化。在图14a中，一次电流为1 A，二次电流为-3+j0.9 A；在图14b中，一次电流为1 A，二次电流为-3+j3 A。可以看出，传统模型无法计算励磁电流带来的额外损耗，因此会产生相当大的误差，在二次电流等于-3+j3 A时，1 MHz下传统模型和仿真误差达到了18%。传统模型的误差会在PCB具有更多层数、铜厚更大、励磁电流更大的情况下更显著。图14中不同参数下直流电阻有少许不同是由水平间隙导致的，绕组宽度没有发生变化，但增大间隙时，绕组整体向外移动，直流电阻增大。而本文所提模型在准理想情况下（xc2w=0 mm，xw2w= 0 mm，zw2g=10 mm）和仿真完美吻合。在受到额外因素的影响时（xc2w=0/0.2 mm，xw2w=0/0.2 mm，zw2g=2/10 mm），模型和仿真的误差仍保持在2.5%以内，验证了本文模型的有效性和准确性。
表1 模型几何参数
Tab.1 Geometric parameters of the model
参 数数 值 磁心-绕组横向间隙xc2w/mm0～0.2 绕组-绕组横向间隙xw2w/mm0～0.4 磁心-第一层绕组纵向距离zc2w/mm0.3 绕组层间距s/mm0.2 最后层绕组-气隙纵向距离zw2g/mm0.5～2 气隙长度lg/mm0.5～2 铜厚h/oz2 绕组铜宽w1, w2, w3/mm1.6, 2, 2.5 磁心内径rin/mm6
图14 损耗随频率变化模型与仿真对比（lg=2 mm）
Fig.14 Comparison of loss variation with frequency between the model and simulation (lg=2 mm)
图15～图18分别给出了当一次电流为1 A，二次电流为-3+j0.9 A时，本文所提模型的损耗计算偏差随磁心与绕组间隙xc2w占总铜宽比、绕组与绕组间隙xw2w占总铜宽比、气隙长度lg以及绕组到气隙距离zw2g的变化情况。总铜宽固定为w1+w2+w3= 6 mm。在所有参数中，xc2w对损耗影响较小，随着xc2w的增大，损耗略有增加，这是由于间隙的存在使得绕组的边缘处存在竖直方向的磁场，造成了少量额外损耗；xw2w对损耗几乎没有影响；lg和zw2g对损耗影响较大，损耗的增加主要是由边缘效应导致的。文献[20]已经给出了在直角坐标系下边缘效应的建模，而柱坐标系下边缘效应的建模将在后续的研究中完成。当气隙较短（意味着气隙产生的磁场较强）并且靠近绕组时，边缘效应明显，损耗增加较多，而当气隙较长（lg＞2 mm）或气隙远离绕组（zw2g＞1 mm）时，边缘效应减弱，此时模型和仿真的误差保持在10%以内。以上结果充分说明了，所提模型在考虑多种非理想因素时仍具有普适性。
图15 损耗计算偏差随绕组磁心间隙占铜宽比变化
Fig.15 The deviation in loss calculation with respect to the ratio of winding-core gap to copper width
图16 损耗计算偏差随绕组间间隙占铜宽比变化
Fig.16 The deviation in loss calculation with respect to the ratio of winding-winding gap to copper width gap
图17 损耗计算偏差随气隙长度变化
Fig.17 The deviation in loss calculation with respect to the air gap length
图18 损耗计算偏差随绕组-气隙垂直距离变化
Fig.18 The deviation in loss calculation with respect to the vertical distance between the winding and the air gap
图19给出了在一次电流为1 A，二次电流为-3+j3 A，频率为1 MHz时，四种不同层叠结构通过传统模型、本文所提模型与仿真得到的损耗对比情况。仿真的准理想条件为xc2w=0 mm，xw2w=0 mm，lg=2 mm，zw2g=10 mm，仿真的非理想条件为xc2w= 0.2 mm，xw2w=0.2 mm，lg=1 mm，zw2g=1 mm。可以看出，本文所提模型得到了和仿真一致的损耗大小排序结果，和第3.1节、第4节的理论分析一致，而传统模型无法实现这一点。在准理想仿真条件下，不同层叠结构的损耗值与理论完全一致，没有误差，验证了所提模型的准确性；在非理想仿真条件下，传统模型在不同层叠结构下的损耗预测误差达到了43%～62%，而本文所提模型在不同层叠结构下的损耗预测误差仅为12%～20%。和传统模型相比，本文所提模型成功区分了不同层叠结构损耗大小顺序，证明了其优越性。
图19 模型与仿真关于不同层叠结构的损耗对比
Fig.19 Comparison of losses between the model and simulation for different interleaving structures
平面变压器采用罐型磁心GU59，材料为PC40，磁心窗口内径为12.75 mm，外径为24.5 mm，绕组-绕组间隙为0.2 mm，变压器电压比为8
8，PCB层数为4，如图20所示，其中第1、3层为一次绕组，每层4匝，第2、4层为二次绕组，每层4匝。同一层4匝绕组的内径分别为13.1、15.2、17.8、20.9 mm，外径分别为15、17.6、20.7、24.1 mm，保证了每一匝绕组的直流电阻相等。铜厚为2 oz，板材为FR4。为了排除边缘损耗的影响，实验中磁心为单个GU59而非一对。
图20 PCB各层绕组
Fig.20 The windings in each PCB layer
采用开路短路法进行测试，测试装置为阻抗分析仪E4990A，测试频率从20 Hz～1 MHz，扫描点数为200。两种绕组结构分别为P-S-P-S和S-P-S-P，均进行二次开路一次测试、一次开路二次测试以及二次短路一次测试三组测试，共6次测量。测试变压器绕组的等效阻抗如图21所示，含磁心、外部绕组、内部绕组三部分。图中，RFe为磁心的铁损等效电阻，Rout为磁心外部绕组电阻，Rin为磁心内部绕组电阻，L为电感，Cs为内部绕组等效寄生电容，Rin、L、Cs组成的网络阻抗为Z。测试电阻为
（32）
图21 测试变压器绕组的等效阻抗
Fig.21 The equivalent impedance of measuring transformer windings
除了RFe的其余部分均可以通过实验测量得到，通过将端部短接测量可得Rout，通过测量低频下的电感值可得L，通过L和谐振频率计算可得Cs。由于无法测量铁损的等效电阻RFe，无法直接验证式（32）的准确性，本实验采用间接验证的思想，对于同样匝数、同样测试条件的两次开路测试，两次测量结果分别为
和
，两次测量对应的Z分别为Z1、Z2。两次测量其铁损相等，因此有
（33）
通过做差可以将公共的铁损部分消除，因此，若有两次开路测试值之差随频率变化与理论相同，即可验证模型的准确性。而对于短路测试，由于一、二次侧磁动势相消，因此L=0，同时RFe=0。当二次侧开路时，测量一次侧电阻Rin对应图14中Rp+Rm；当一次侧开路时，测量二次侧电阻Rin对应图14中Rs+Rm；当二次侧短路时，测量一次侧电阻Rin对应图14中Rp+Re(Rs//Lm)。
测试平面变压器以及测试装置如图22所示。经测试，P-S-P-S结构的电感为12.46 mH，谐振频率为7.24 MHz，S-P-S-P结构的电感为13.05 mH，谐振频率为7.1 MHz。计算可得，P-S-P-S的寄生电容为38.8 pF，同样可得S-P-S-P的寄生电容为38.5 pF。平面变压器电阻的理论与实验对比结果如图23所示。磁心内绕组有限元仿真结果和理论误差小于10%。4次开路测试的电阻差与理论一致，因此可以反求出铁损随频率变化的曲线。从图23中可以看出，4次开路实验的铁损相同，而经过铁损以及外部绕组、电感电容等补偿后的电阻值与实验结果一致；2次短路测试经过外部绕组补偿后的电阻值与实验结果一致。实验测量电阻误差见表2，在1 MHz以内，测量值与模型的最大相对误差不超过4.2%，实验结果验证了本文所提模型的准确性。
图22 实验用平面变压器以及测试装置
Fig.22 Experimental planar transformer and testing apparatus
本文提出了一种考虑环形绕组结构与励磁电流影响的平面变压器铜损模型。该模型基于磁准静态场在柱坐标系以相量形式进行数学建模，不仅充分考虑了环形绕组半径的影响，还深入研究了励磁电流造成一、二次电流相位差的影响，得到以下结论：
1）本文严格证明了平面变压器环形绕组在单层内多匝绕组满足各匝直流电阻相等条件时，其交直流电阻比与直型绕组一致。该结论为环形绕组的设计提供了重要的理论指导，弥补了环形绕组铜损理论研究的空白。
图23 平面变压器电阻的理论与实验对比结果
Fig.23 Comparison between theoretical and experimental results of planar transformer resistance
表2 实验测量电阻误差
Tab.2 Error in experimental resistance measurement
f/MHz0.250.50.751 P-S-P-S(%)一次测量、二次开路-4.2-3.7-1.6-0.8 二次测量、一次开路2.23.23.12.8 一次测量、二次短路00.30.40.8 S-P-S-P(%)一次测量、二次开路-1.4-0.7-0.3-0.6 二次测量、一次开路3.51.5-0.8-1.1 一次测量、二次短路0.1-0.2-0.2-0.8
2）在上述理论基础上，本文进一步得到了考虑励磁电流的平面变压器环形绕组损耗公式，相比传统模型，更能准确描述励磁电流对损耗的影响。同时，本文提出了一种考虑励磁电流的层叠结构设计方法，可以实现最优邻近铜损的快速设计。此外，本文还推导了特定结构平面变压器的集总参数。
3）在理想条件下，仿真结果与铜损模型完全吻合，验证了环形绕组交流电阻表达式及励磁电流损耗公式的准确性；在非理想条件（如绕组间隙、磁心间隙等）下，实验结果仍保持较高精度，最大误差小于4.2%，进一步证明了模型的普适性和优越性。
附 录
重要公式的推导如下。
（A1）
（A2）
绕组上表面以及下表面的磁场强度为
（A3）
（A4）
将式（A1）～式（A4）代入式（13）可得单层绕组的交流电阻为
（A5）
继续去除式（A5）中的实部符号，根据定义有
（A6）
可得
（A7）
（A8）
结合式（A5）～式（A8），有
（A9）
电流可以表示为
（A10）
环形绕组的直流电阻可以表示为
（A11）
因此，通过式（A9）～式（A11）最终可以得到和Dowell模型类似的单层绕组交直流电阻比为
（A12）
下面是多层绕组总损耗的推导。考虑第i层绕组，其电阻为
（A13）
其损耗为
（A14）
根据电流与磁场的关系，损耗可以写为
（A15）
因此，n层绕组的损耗为
（A16）
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Abstract The winding design and copper loss calculation of planar transformers are generally based on conventional one-dimensional models. However, for most planar transformers with toroidal windings, the electromagnetic field distribution is inherently non-one-dimensional. Traditional models assume a uniform electromagnetic field along the winding width. However, in toroidal windings, the field distribution is noticeably non-uniform due to differences between the inner and outer radii. Furthermore, conventional models often neglect the influence of the magnetizing current and assume that the primary and secondary magnetomotive forces (MMFs) cancel completely. In topologies such as flyback and LLC converters, magnetizing current cannot be ignored. The MMF does not fully cancel out, resulting in significant limitations in copper-loss estimation and structural design using traditional approaches.
This paper derives an analytical solution for the electromagnetic field in toroidal windings by establishing the magneto-quasistatic field equations in cylindrical coordinates and applying appropriate boundary conditions. Expressions for the AC resistance and the AC-to-DC resistance ratio are derived when the magnetic field on the winding's upper and lower surfaces is known. The proposed model shows that, under the condition that the DC resistance per turn is equal within the same layer, the AC-to-DC resistance ratio of the toroidal winding matches that of the conventional one-dimensional model. By representing the electromagnetic field in phasor form, the model incorporates the magnetizing current's influence on AC resistance. Then, multilayer winding stacking structures and the impact of magnetizing current on copper loss are analyzed. Both the magnitude and phase of the magnetizing current significantly affect copper loss, which increases with increasing magnetizing current. Moreover, a copper-loss-optimization strategy for magnetizing current is proposed. By analyzing the phasor diagram of layer currents in multilayer windings, the influence of different stacking configurations on proximity loss can be conveniently evaluated. Specifically, the path with the shortest distance to the origin in the phasor connection corresponds to the stacking structure with the minimum proximity loss. In contrast, the path with the farthest distance corresponds to the structure with the maximum proximity copper loss.
Finally, the proposed model is validated through finite element simulations and experiments. Using COMSOL 2D analysis, simulations under ideal conditions agree with the established copper-loss model. Different proximity-loss behaviors of traditional interleaved structures can be distinguished when magnetizing current is included. Under non-ideal conditions, such as winding gaps and core air gaps, the conventional model's error reaches 18%, whereas the proposed model's error remains below 2.5%. Two planar transformer prototypes with different stacking structures were fabricated, and the primary and secondary resistances were measured through open-circuit and short-circuit small-signal tests. The experimental data are highly consistent with the model predictions, with a maximum error of less than 4.2%.
keywords：Planar transformer, circular winding, magnetizing current, interleaving structure, copper loss model
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.250998
中图分类号：TM401
收稿日期 2025-06-09
改稿日期 2025-08-29
魏吉文 男，1997年生，博士研究生，研究方向为高频高功率密度电源设计。E-mail: wjw020216@stu.xjtu.edu.cn（通信作者）
杨 旭 男，1972年生，教授，博士生导师，研究方向为大功率开关电源技术、电力电子集成技术、电力系统中的电力电子装置等。E-mail: yangxu@mail.xjtu.edu.cn
（编辑 崔文静）