图1 应力下硅钢片磁致伸缩特性实验平台
Fig.1 Measurement platformfor magnetostrictive properties of silicon steel sheets under stress
摘要 硅钢片的磁致伸缩特性与电气设备的振动与噪声密切相关。硅钢片在叠装及运行过程中不可避免地受到应力作用，应力改变了其原本的磁致伸缩特性且应力对硅钢片磁致伸缩特性具有复杂的非线性影响，可能会导致更严重的振动与噪声。该文从热力学角度将应变表示为吉布斯自由能对应力的微分。首先，通过泰勒级数展开吉布斯自由能，然后根据磁致伸缩特性进行简化，最终得到考虑机械应力的磁致伸缩的一般表达式。其中，考虑应力影响的磁致伸缩能够表示为无外施应力下的磁致伸缩与应力引起的附加磁致伸缩之和。无应力下的磁致伸缩可表示为与磁化强度M相关的偶数阶项的叠加，应力引起的附加磁致伸缩计算，综合考虑相同应力对不同磁化强度时磁致伸缩的非线性影响，以及在相同磁化强度下，不同应力对磁致伸缩的非线性影响。最后，建立了考虑磁-应力耦合效应的硅钢片磁致伸缩模型。通过将模型计算结果与实验测量结果进行比较，验证了所提模型对取向硅钢片和无取向硅钢片的有效性。
关键词：磁致伸缩 逆磁致伸缩 机械应力 硅钢片
硅钢片的磁致伸缩效应是造成电气设备振动和噪声的原因之一。硅钢片在叠装及运行过程中不可避免地会受到机械应力的作用[1-2]。磁致伸缩源于硅钢片内部磁畴的转动，而机械应力会影响硅钢片的内部原本的晶体结构和磁畴排列[3-6]，从而改变材料原有的磁致伸缩特性[7-8]，可能导致更严重的振动和噪声。因此，建立考虑应力影响的硅钢片磁致伸缩模型，对于研究电气设备的减振降噪具有重要意义。
国内外学者围绕磁性材料的磁致伸缩特性已开展了部分研究工作。A. Belahcen等将亥姆霍兹自由能表示为二阶应变张量e和磁通密度矢量B的函数，并基于克劳修斯-杜亥姆不等式推导出了磁致伸缩应变的表达式[9]。然而，其研究对象仅为无取向硅钢片，且磁致伸缩应变表达式过于复杂，难以应用于工程实际。Zhu Lihua等考虑了高磁场强度下磁畴转动机制，对原始J-A模型进行了改进，并结合磁致伸缩的二次磁畴转动模型，最终推导出硅钢片的磁致伸缩模型[10]。其所提出的模型对无取向硅钢片和取向硅钢片均具有较高的拟合精度，但所提磁致伸缩模型未考虑应力的影响。周浩淼等基于热力学第一定律，将应变表示为吉布斯自由能对应力的微分形式，进而推导出机械应力下的磁致伸缩应变的计算方法[11-12]，但研究对象并非硅钢片。而后，张黎等仅验证了该方法对取向硅钢片拉应力时磁致伸缩计算的有效性[13]。贲彤等拓展了该模型以模拟应力下无取向硅钢片的磁致伸缩蝴蝶曲线，然而，模型中的参数依赖应力的大小，不同大小应力下模型参数辨识结果不同，严重依赖实验结果[14-15]，难以应用于工程中。Zhang Yanli等基于改进的组装磁畴结构模型（Assembled Domain Structure Model,ADSM），同时引入磁滞能量来描述无取向硅钢片磁致伸缩的滞回行为[16]，然而，由于ADSM模型各向同性假设，所提模型对取向硅钢的适用性有待商榷。D. Singh等提出磁致伸缩可表示为两个不同函数的乘积（两个函数分别与磁化强度和应力相关）[7]，所提出的模型形式简洁，对无取向硅钢片具有良好的适用性。然而，由于取向硅钢片具有负磁致伸缩特性，该模型对取向硅钢片的适用性仍有待进一步验证。
取向硅钢与无取向硅钢具有不同的磁致伸缩特性，即取向硅钢具有典型的正磁致伸缩特性，而无取向硅钢在非饱和情况下具有典型的负磁致伸缩特性，这是由于两者本身磁畴结构不同造成的。外施机械应力对两者磁畴结构的影响也不相同，因此不同应力下取向硅钢与无取向硅钢磁致伸缩特性变化也不相同，但应力对硅钢片磁致伸缩特性均具有复杂的非线性影响，主要体现在两个维度：相同应力对不同磁化强度时磁致伸缩的非线性影响，以及在相同磁化强度下，不同应力大小对磁致伸缩的非线性影响。因此，为准确模拟应力下取向硅钢片与无取向硅钢片的磁致伸缩特性，需要针对应力在两个维度的非线性影响开展相关研究工作并提出适用于取向硅钢片与无取向硅钢片的磁致伸缩模型，为便于工程应用，所提模型中待辨识参数不应依赖应力大小。
本文从热力学角度将磁场和应力作用下的应变表示为吉布斯自由能对应力的微分。首先通过泰勒级数展开吉布斯自由能，并根据磁致伸缩特性进行简化，从而得到考虑机械应力的磁致伸缩一般表达式。随后，将应力作用下的磁致伸缩表示为无外施应力下的磁致伸缩与应力引起的附加磁致伸缩之和。无应力下的磁致伸缩可表示为与磁化强度M相关的偶次项的叠加，应力引起的附加磁致伸缩计算，综合考虑了应力在两个维度的非线性影响。最后，建立了考虑磁-应力耦合效应的磁致伸缩模型。通过将模型计算结果与实验测量结果进行对比，可以验证本文所提模型对取向和无取向硅钢片不同应力下磁致伸缩计算的有效性。
IEC标准中建议使用激光多普勒测振仪来测量硅钢片的磁致伸缩特性[17]。与传统的应变计相比，激光多普勒测振仪满足非接触、高分辨率和高重复性测量的要求。应力下硅钢片磁致伸缩特性实验平台如图1所示。实验平台由自行设计的能够对样品施加指定大小应力的单片测试仪（SST）、激光多普勒测振仪（LDV）和天恒TS3300磁致伸缩测量系统组成。常见的硅钢片磁致伸缩在mm级别，实验中使用的激光多普勒测振仪位移分辨率高达50 fm，满足IEC标准中规定的0.01 mm精度要求，其中磁致伸缩系数测量重复性为(2%+0.02) mm/m。测量时，主机PC首先通过数据采集卡控制单片测试仪中的施力单元对测试样品施加应力，力传感器将测试样品的当前应力实时发送到主机，以实现对测试样品施加指定大小的应力。完成对测试样品的应力施加后，主机PC通过控制TS3300磁致伸缩测量系统对样品施加激励，同时读取激光多普勒测振仪测得的振动信号。实验中取向硅钢牌号为30QG105，无取向硅钢牌号为35WW270，尺寸均为350 mm×50 mm。实验中采用了激光多普勒测振法，激光多普勒测振仪接收到的信号强度反映了从被测表面反射回来的光能量大小，当样品平整时，激光多普勒测振接收到的信号强度在80%以上，表明测量结果稳定且精度高，过低的信号强度将影响测量结果的准确性。若样品在压应力下发生明显弯曲，信号强度将大幅下降，根据信号强度可判断样品有无弯曲，因此，为了实验的严谨性，当激光多谱勒测振仪接收到的信号强度低于50%时停止进一步施加压应力。关于处理滞回曲线不对称的情况，由于实验中采用了天恒TS3300测量系统，系统会通过反馈算法进行矫正，并通过多次测量取均值的方式来减小滞回曲线不对称的情况。本文中外施应力方向与磁场方向相同，均沿着样品轧制方向，此外，施加的应力均在弹性限度内且不论是拉应力还是压应力，测量过程中均为从小到大逐步施加，确保了外施应力不会引起额外的残余应力，而导致每次测量的初始磁化状态不同，引起测量误差。此外，需要补充说明的是：无取向硅钢片各向异性较弱，各个方向性能较为均匀，而取向硅钢片具有极强的各向异性，沿着轧制方向具有优越的磁性能，垂直轧制方向磁性能显著下降。因此，取向硅钢片主要利用了其轧制方向上的特性，常用于变压器等电工装备中。实际上，为了更充分地评估应力的影响，还需要考虑应力与磁场方向不一致的情况，模拟应力与磁场方向不一致情况下的磁致伸缩特性，这其中包含应力在轧制方向上而磁场与应力方向不同的情况，为考虑此种情况，需要搭建更加复杂的应力磁导计以及测量系统。这将是未来进一步的研究工作。
图1 应力下硅钢片磁致伸缩特性实验平台
Fig.1 Measurement platformfor magnetostrictive properties of silicon steel sheets under stress
需要说明的是，实验过程中首先确保了对样品施加指定应力，而后测量该应力下的磁致伸缩特征，因而所测结果中不包含施加应力引起的弹性形变。此外，由于较大压应力下，硅钢片会出现弯曲，导致实验测量结果出现偏差，为保证实验的严谨性，本文并未施加过大的压应力。
峰峰值和零峰值是磁致伸缩蝴蝶曲线的重要特征。磁致伸缩曲线的峰峰值lp-p定义为蝶形曲线幅值，磁致伸缩零峰值l0-p定义为蝴蝶曲线最大磁化强度时的磁致伸缩瞬时值。磁致伸缩蝶形曲线的峰峰值和零峰值的示意图如图2所示。
图2 磁致伸缩蝶形曲线的峰峰值和零峰值的示意图
Fig.2 Schematic diagram of peak-to-peak value and zero-peak value of magnetostrictive butterfly curves
硅钢片磁致伸缩蝶形曲线的面积并不像磁滞回线的面积那样具有明确的物理意义（与损耗相关）。因此，在工程以及数值计算中，通常使用单值磁致伸缩曲线来表征硅钢片的磁致伸缩特性，考虑滞回效应将是未来进一步工作的内容。为了获得单值磁致伸缩曲线，常见的方法是测量不同磁化强度时的蝶形曲线，得到峰峰值或零峰值关于磁化强度的单值曲线。峰峰值因其表示的是磁致伸缩的幅值，无法准确反映取向硅钢具有的负磁致伸缩特性，而零峰值能够准确反映取向硅钢具有的负磁致伸缩特性以及磁致伸缩曲线的整体变化趋势。因此，本文中采用零峰值关于磁化强度的单值曲线作为磁致伸缩单值曲线，通过不同磁化强度下所测蝴蝶曲线求取磁致伸缩单值曲线如图3所示。
图3 磁致伸缩单值曲线示意图
Fig.3 Schematic diagram of magnetostrictive single value curve
根据上述磁致伸缩单值曲线的定义，可以得到无外施应力下硅钢片的单值磁致伸缩曲线，如图4所示。从图4中可以看出，无取向硅钢具有正磁致伸缩，且磁致伸缩绝对值远大于取向硅钢片，这是由于无取向硅钢内部晶体取向相对无序，磁化过程中磁畴向磁场方向旋转使其表现出正磁致伸缩。而取向硅钢具有负磁致伸缩，并且随着磁化强度的增加，取向硅钢片的负磁致伸缩出现一个拐点，不再进一步减小，而是呈现出反向增长的趋势。下文将从磁畴的角度解释取向硅钢的磁致伸缩现象，将有助于理解取向硅钢在不同应力下的磁致伸缩变化。
图4 硅钢片单值磁致伸缩曲线
Fig.4 Single-value magnetostrictive curves of silicon steel sheet
退磁状态下取向硅钢片的表面磁畴理想分布如图5所示。从图5中可以看出，在退磁状态下，取向硅钢片表面的条状磁畴与轧制方向平行和反平行。理想情况下，取向硅钢片的磁化过程中主要发生磁畴壁移，但磁畴壁移并不是磁致伸缩的主要原因。受晶体缺陷的影响，取向硅钢片表面会存在“匕首”磁畴和“短扭结”现象，这使得取向硅钢内部出现垂直于表面的横向磁畴，如图6所示。横向磁畴的存在是取向硅钢片出现负磁致伸缩的原因。
图5 退磁状态下取向硅钢片表面磁畴理想分布
Fig.5 Ideal surface magnetic domain distribution of GO silicon steel sheet in the demagnetized state
图6 “匕首”磁畴和“短扭结”现象示意图
Fig.6 The schematic “lancet” magnetic domain and short kinks phenomena
取向硅钢片在磁化过程中磁畴变化的示意图如图7所示。从退磁状态开始，随着磁化强度的增加，磁畴壁开始移动，“匕首”磁畴的密度增加，即横向磁畴随密度增加逐渐增加，使得取向硅钢片在轧制方向上收缩[18]，因此，取向硅钢片表现出负磁致伸缩。当取向硅钢的磁化接近饱和时，磁畴的旋转逐渐占主导地位，“匕首”磁畴逐渐减少并消失，取向硅钢片内部的横向磁畴开始逐渐减少。因此，当磁化强度进一步增加时，负磁致伸缩不再进一步增加，而是出现了拐点。
取向硅钢片在不同应力下的单值磁致伸缩曲线如图8a所示。图中正值表示拉应力，负值表示压应力。从图8a可以看出，随着拉应力的增加，取向硅钢片的磁致伸缩逐渐从负磁致伸缩变为正磁致伸缩，然而，随着压应力的增加，取向硅钢片的负磁致伸缩更加明显。能够从应力对磁畴影响的角度来解释应力对取向硅钢片磁致伸缩的影响。由于拉伸应力不利于磁化过程中“匕首”磁畴的形成[5, 19]，因此，随着拉应力的增加，“匕首”磁畴所表现出的负磁致伸缩逐渐减弱；相反，磁畴旋转相较于无应力状态下提前出现。随着拉伸应力的进一步增加，这种趋势将变得更加明显，使得取向硅钢片最终将表现出正磁致伸缩。然而，压应力有利于磁化过程中“匕首”磁畴的形成，这意味着在取向硅钢片磁化过程中，内部会出现更多的横向磁畴。另一方面，随着压缩应力的增加，横向磁畴的旋转过程逐渐受到抑制，需要更高的磁化强度才能引起磁畴旋转过程。因此，随着压应力的增大，取向硅钢片负磁致伸缩逐渐变得明显。
图7 取向硅钢片磁化过程中磁畴变化示意图
Fig.7 Schematic diagram of magnetic domain changes during magnetization of GO silicon steel sheets
图8 不同应力下硅钢片的单值磁致伸缩曲线
Fig.8 Single-value magnetostriction curves of silicon steel sheets under different stresses
无取向硅钢片在不同应力下的单值磁致伸缩曲线如图8b所示。从图8b可以看出，压应力使无取向硅钢片的正磁致伸缩逐渐增大，而拉应力使正磁致伸缩逐渐减小，且随着拉应力的增大出现负磁致伸缩。无取向硅钢片难以通过观察表面磁畴来分析其内部磁畴排列情况，进而明确应力作用下无取向硅钢片磁致伸缩变化的原因。因此，尚无法从磁畴角度解释无取向硅钢片在不同应力作用下磁致伸缩的实验结果，但本文中应力对无取向硅钢片磁致伸缩的影响趋势与文献[7]结果一致。
磁致伸缩可以表示为应力s与磁化强度M的函数l(s, M)。无外施应力，磁致伸缩可以表示为l(0, M)。定义应力为sm时，不同磁化强度下磁致伸缩的变化量为Dl(sm, M)为
（1）
由此可以得到应力，对不同磁化强度时磁致伸缩的影响，如图9所示。从图9中可以看出，随着磁化强度的增大，应力对于硅钢片磁致伸缩的影响逐渐增大且呈现出非线性的特征。需要说明的是，图9b中，压应力对无取向硅钢片磁致伸缩的影响在磁化强度较高时，出现了一定程度的下降趋势，这可能是由于高磁化强度时，测量系统磁通密度正弦反馈控制效果较差以及测量误差带来的影响，但总体趋势依然表现为，随磁化强度增大，应力对于其磁致伸缩的影响逐渐增大。相同磁化强度、不同应力时磁致伸缩瞬时值如图10所示。从图10中可以看出，应力对相同磁化强度时磁致伸缩的影响也呈现出非线性的特征。
图9 应力对不同磁化强度时磁致伸缩的影响
Fig.9 The influence of stress on magnetostriction at different magnetization intensities
应力对于硅钢片的影响均具有复杂的非线性影响的特征，具体表现在两个维度：随着磁化强度增大，应力对磁致伸缩的影响愈发明显，呈现非线性的特征。在相同磁化强度下，拉、压应力对磁致伸缩影响不同，且应力对磁致伸缩的影响呈现明显的非线性特征。关于应力对硅钢片磁致伸缩非线性影响的原因，需要借助磁光克尔效应显微镜以及电子背散射衍射仪，并对磁畴以及晶体取向进行更加细致的观测与分析，这些工作有待将来进一步开展。
图10 相同磁化强度不同应力时磁致伸缩
Fig.10 Magnetostriction under the same magnetization intensityat different stresses
首先推导磁致伸缩的一般表达式。单轴应力下材料单位体积内能U的全微分[20]表示为
（2）
式中，e为应变；m0为真空中的磁导率；H为磁场强度；T为温度；S为熵密度。
单轴应力下材料单位体积的吉布斯自由能G的全微分[12]表示为
（3）
结合式（2）和式（3），可以得到
（4）
忽略温度变化，即dT=0时，应变
可以表示为吉布斯自由能G关于应力的偏微分[11]，即
（5）
吉布斯自由能G(s, M) 在 (s, M)=(0, 0) 处进行泰勒展开，可以得到
（6）
式中，G(s, M) 关于和M的各阶的偏导数在 (s, M)= (0, 0) 处求得，其中G0为常数，在计算偏导数时被忽略，将式（6）代入式（5），可以得到
（7）
式（7）可进一步简化为
（8）
在热力学中，系统达到平衡状态时，吉布斯自由能对所有状态变量的一阶偏导数都为零。通过使用高阶偏导数来表示应变，并在平衡状态附近进行泰勒展开，隐含了吉布斯自由能最小化的条件。
考虑到当s=0, M=0即材料不受任何激励时，应变e=0，因此，式（8）中
=0。式（8）中仅与应力有关的项反映了材料的弹性变形，剩余的项与s、M或两者都有关，反映了材料的磁致伸缩和逆磁致伸缩效应。考虑到材料的磁致伸缩与磁化强度M具有偶函数关系，而逆磁致伸缩与应力s既不是偶函数也不是奇函数关系。因此，上述方程中关于磁化强度M的奇次项应略去，而关于应力s的奇次项和偶次项都需要保留。式（8）可以进一步简化为
（9）
式（9）中与s、M或两者都相关的项，反映了材料的磁致伸缩和逆磁致伸缩效应，可以改写为
（10）
需要说明的是，式（9）到式（10）过程中，忽略了弹性形变项，即不含有应力引起的弹性应变。同时，测量过程中，首先施加应力到指定大小，而后测量测点的磁致伸缩，同样不包含弹性应变。
式（10）可以进一步被表示为
（11）
其中
（12）
（13）
式（11）中l(0, M)仅与磁化强度M相关，表示磁致伸缩应变。因此，l(0, M)可以表示为
（14）
式中，p为多项式的项数；aj为待提取参数。
式（11）中ls(s, M)与应力s和磁化强度M都有关，反映了应力对磁致伸缩的影响，可将ls(s, M)作为应力引起的附加磁致伸缩。从式（11）中可以看出，应力引起的附加磁致伸缩不仅与应力的大小有关，还与磁化强度有关，对应1.4小节中根据实验结果分析得到的应力对磁致伸缩曲线影响的特征。应力对磁致伸缩的影响与应力对磁滞回线的影响相似，应力改变了硅钢片的磁畴结构，从而引起其原有磁滞特性与磁致伸缩特性的变化。因此，可以根据应力引起的附加磁场强度的求解方法来确定应力引起的附加磁致伸缩。
O. Perevertov观测了不同应力下硅钢片的磁畴变化，并分析了不同应力下的磁滞特性[21]。在此基础上，O. Perevertov提出了不同应力下硅钢片磁场强度之间的关系，该关系可以表示为
（15）
式中，Ha(s, M)和H(s0, M)分别为应力为s和s0时的磁场强度；k(s)一般表示为s，f(M)可表示为
（16）
式中，s1和s2是满足|s2|＞|s1|≥0条件的任意拉应力或压应力值，式（16）物理含义为单位应力引起的材料磁场强度变化值。令s0=0且s1=0，可以得到
（17）
式中，Hs(s, M)为应力引起的附加磁场强度。逆磁致伸缩效应是指软磁材料在外部机械应力作用下，其磁特性（如磁化强度、磁导率、剩磁）发生变化的物理现象。这一现象的本质原因是因为应力改变了硅钢片原本的磁畴结构，而磁滞特性与材料的磁畴结构有关，Hs(s, M)项考虑了应力对磁场强度的影响。
为了考虑应力对磁滞回线影响的非线性效应，改善该模型对取向硅钢片和无取向硅钢片的适用性，k(s)可以进一步表示[22-23]为
（18）
式中，k0、a、b、c均为待提取参数。
式（17）中应力下的磁场强度可表示为无应力下的磁场强度与应力引起的附加磁场强度之和。正如上文中所述，式（11）与式（17）具有相似的形式。应力对磁致伸缩的影响与应力对磁滞回线的影响具有类似的形式。因此，将应力引起的附加磁致伸缩定义为
（19）
式中，l(ss, M)与l(0, M)分别表示应力为ss和无外施应力、磁化强度为M时的磁致伸缩。考虑到拉应力与压应力对磁致伸缩影响不同，ls(s, M)在拉应力与压应力下并不相同。在拉应力下，ss取满足|ss|≥|s|的任意拉应力，而在压应力下，ss取满足|ss|≥|s|的任意压应力。将式（14）和式（19）代入式（11）中，得到考虑应力影响的磁致伸缩计算公式为
（20）
为考虑相同磁化强度时，不同应力的非线性影响，将式（20）中参数k(s)表示为
（21）
式中，k0、a、b、g为待提取参数。考虑到拉应力与压应力对于磁致伸缩的影响并不相同，因此，这些参数在拉应力与压应力下也不相同，但这些参数并不依赖所施加应力的大小。
本文中所提模型参数包括aj（j=1～p），以及式（21）中的四个参数k0、a、b、g。其中，参数aj（j=1～p）可以从无外施应力条件下的磁致伸缩曲线中辨识得到。考虑到取向硅钢片在高磁化强度下的磁致伸缩曲线存在拐点的特性，当p=5时，所提模型与实验测量结果具有较好的拟合效果。进一步增加项数p并不会显著提高模型的精度；相反，过多的参数会使得参数辨识更加复杂，因此，项数p被选定为5。本文中采用差分进化算法进行参数识别，最终可以得到取向与无取向硅钢片模型参数aj（j=1～5），见表1。无应力下硅钢片磁致伸缩模型计算结果与实验测量结果的对比如图11所示。从图11中可以看出，当项数p=5时，计算结果与实验测量结果拟合较好。
表1 取向硅钢片与无取向硅钢片参数aj（j=1～5）辨识结果
Tab.1 Identification results of parameters aj (j=1～5) of GO and NO silicon steel sheets
参 数数 值 30QG105(GO)a1/[m/m/(A/m)2]2.845 6´10-19 a2/[m/m/(A/m)4]-9.249 0´10-31 a3/[m/m/(A/m)6]1.034 5´10-42 a4/[m/m/(A/m)8]-7.026 8´10-55 a5/[m/m/(A/m)10]1.818 6´10-67 25WW230(NO)a1/[m/m/(A/m)2]1.973 9´10-18 a2/[m/m/(A/m)4]-4.658 2´10-30 a3/[m/m/(A/m)6]1.141 2´10-41 a4/[m/m/(A/m)8]-1.171 5´10-53 a5/[m/m/(A/m)10]4.598 6´10-66
图11 无应力下磁致伸缩的模型计算结果与实验结果对比
Fig.11 Comparison figures between the model calculated results and the experimental results of the magnetostriction under zero stress
不同应力下硅钢片磁致伸缩曲线示意图如图12a所示，最大磁化强度时不同应力下磁致伸缩值如图12b所示。由于拉/压应力对硅钢片磁致伸缩的影响并不相同，因此，拉/压应力下，式（21）中参数k0、a、b、g并不相同，但均不依赖应力大小。为有效提取拉/压应力时的参数，最少需要测量四条不同拉/压应力下的磁致伸缩曲线。本文中ss取所测的最大拉/压应力值，使用最小二乘法拟合图12b中的曲线，可以得到（21）中的参数k0、a、b、g，见表2与表3。
图12 所测最大磁化强度时磁致伸缩与应力关系示意图
Fig.12 The schematic diagram of magnetostriction versus stress at the measured maximum magnetization
表2 取向硅钢片参数k0、a、b、g辨识结果
Tab.2 Identification results of parameters k0、a、b and g of GO silicon steel sheets
k0/MPaab/MPag/MPa 拉应力-21.449 5´10-6-2.208 8-9.093 521.608 6´10-6 压应力-2.364 2´10-60.567 8-1.805 4-1.198 4´10-6
表3 无取向硅钢片参数k0、a、b、g辨识结果
Tab.3 Identification results of parameters k0、a、b and g of NO silicon steel sheets
k0/MPaab/MPag/MPa 拉应力-23.311 5´10-60.380 6-6.170 7-8.468 2´10-6 压应力-24.379 8´10-61.667 5-6.154 8-22.706 7´10-6
不同应力下取向硅钢片磁致伸缩模型计算结果与实验测量结果对比如图13所示，图13a与图13b左侧是磁致伸缩模型计算结果，右侧是实验测量结果。从图13a与图13b可以看出，本文所提考虑应力影响的磁致伸缩模型都具有较强的适应性。需要说明的是，参数辨识过程中，并未使用拉应力12 MPa、压应力-1 MPa的实验结果，但由于本文所提模型中参数并不依赖应力大小，因此，本文所提模型能够对未测量工况条件下的磁致伸缩进行计算。
为了定量评估所提模型的精度，引入方均根误差（Root Mean Square Error, RMSE）进行评估。磁致伸缩模型的方均根误差可以表示为
图13 不同应力时硅钢片磁致伸缩模型计算结果与实验结果对比
Fig.13 Comparison of magnetostriction between model calculated results and experimental results of silicon steel sheet under stress
（22）
式中，N为在磁致伸缩曲线上选取点的数量；lm和le分别为磁化强度为M(i)时的磁致伸缩模型值和实验值。
本文所提模型计算不同应力下磁致伸缩的方均根误差见表4。从表4可以看出，所提模型对计算不同应力下取向硅钢片磁致伸缩的方均根误差在 0.28 mm/m以下，且在大多数应力下方均根误差在0.1 mm/m以下。所提模型对计算不同应力下无取向硅钢片磁致伸缩的方均根误差均在0.4 mm/m以下，本文所提模型对于不同应力下的取向硅钢片与无取向硅钢片磁致伸缩的计算均具有较高的准确性。
本文所提模型对取向硅钢以及无取向硅钢在不同应力下磁致伸缩的计算均具有较高精度，为了充分说明本文所提出模型的优势，将本文所提模型与D. Singh所提磁致伸缩模型（以下简称对比模型）进行了对比。D. Singh等所提模型将磁致伸缩l表示为两个函数f(M)和g(s)的乘积[7, 24]，即
（23）
式中，f(M)与应力无关，仅依赖磁化强度M；g(s)仅与应力s有关。参数di（i=1～p）和bi（i=1～4）是待拟合的参数。
表4 不同应力时硅钢片磁致伸缩模型计算值的方均根误差
Tab.4 RMSEs of calculated value of magnetostriction forsilicon steel sheets under different stress
应力/MPaRMSE/(mm/m) GO (取向)-30.041 1 -20.274 6 -10.063 0 -0.50.140 7 00.031 7 50.090 9 100.080 9 120.047 8 15.50.022 0 190.002 8 NO (无取向)-40.266 2 -30.311 6 -20.399 9 -10.272 5 06.308 7×10-5 50.087 7 100.040 7 120.026 3 150.025 6
对比模型选取压应力下的磁致伸缩曲线进行参数di的辨识，本文中，选取-2 MPa压应力下的磁致伸缩曲线进行参数di的辨识，项数p选择为5。参数bi（i=1～4）可通过与图12b所示的磁致伸缩与应力的特性曲线进行参数辨识得到。最终得到对比模型对于取向硅钢以及无取向硅钢的参数辨识结果分别见表5与表6。
表5 取向硅钢片对比模型参数
Tab.5 Parameters of the comparative model of GO silicon steel sheets
参 数数 值 d1/[m/m/(A/m)2]1.666 0´10-19 d2/[m/m/(A/m)4]-6.289 0´10-31 d3/[m/m/(A/m)6]-1.590 8´10-42 d4/[m/m/(A/m)8]1.7225´10-54 d5/[m/m/(A/m)10]-4.939 3´10-67 b198.37 b20.996 4 b3/MPa-18.59 b4/MPa6.476
表6 无取向硅钢片对比模型参数
Tab.6 Parameters of the comparative model of NO silicon steel sheets
参 数数 值 d1/[m/m/(A/m)2]3.158 3´10-18 d2/[m/m/(A/m)4]-7.895 0´10-30 d3/[m/m/(A/m)6]1.972 1´10-41 d4/[m/m/(A/m)8]-2.166 5´10-53 d5/[m/m/(A/m)10]8.688 5´10-66 b11.007 b20.594 5 b3/MPa0.759 2 b4/MPa5.51
不同应力下，对比模型对于取向硅钢和无取向硅钢片磁致伸缩的计算结果与实验测量结果的对比图分别如图14a和图14b所示。图14a和图14b的左侧为对比模型结果，右侧图为实验测量结果。从图14a和图14b可以看出，对比模型无法模拟取向硅钢片在高磁化强度下磁致伸缩拐点的现象，也无法准确模拟硅钢片在拉应力下的磁致伸缩特性。
图14 对比模型结果与应力作用下硅钢片实验结果的磁致伸缩对比
Fig.14 Comparison of magnetostriction between comparative model results and experimental results of silicon steel sheet under stress
对比模型在不同应力下计算磁致伸缩的方均根误差见表7。从表7可以看出，对比模型对于无取向硅钢片的方均根误差最大达到0.52 mm/m。在大多数应力下，对比模型对于取向硅钢片磁致伸缩计算的方均根误差均在0.2 mm/m以上，尤其在拉应力下，方均根误差超过0.38 mm/m，远大于本文所提模型计算误差。随着磁化强度以及拉应力的增大，对比模型对于取向硅钢磁致伸缩计算的最大误差达48.19%，模型误差难以接受。
表7 不同应力下硅钢片的对比模型磁致伸缩计算值的方均根误差
Tab.7 RMSEs of calculated value of magnetostriction of comparative model for silicon steel sheets under different stress
应力/MPaRMSE/(mm/m) GO (取向)-30.355 1 -20.202 7 -10.069 7 -0.50.136 8 00.142 6 50.290 2 100.348 2 120.100 3 15.50.060 9 190.381 0 NO (无取向)-40.517 0 -30.232 4 -20.084 7 -10.040 8 00.066 1 50.129 4 100.253 7 120.279 1 150.244 5
需要说明的是，当前模型尚未考虑滞回效应，这将是下一步重点开展的工作之一。本文所提考虑应力的磁致伸缩模型对无取向硅钢及取向硅钢均具有较好的适用性。但针对超薄硅钢、非晶/纳米晶等材料的适用性有待进一步研究。此外，本文所提模型适用于单轴应力情况，对于多轴及更复杂应力情况仍有待进一步研究。
本文中，使用激光多普勒法代替传统的应变计方法测量并分析了取向硅钢及无取向硅钢在不同应力下磁致伸缩特性，建立了考虑应力非线性影响的磁致伸缩模型，得出以下结论：
1）无取向硅钢具有典型的正磁滞伸缩特性，压应力使无取向硅钢片的正磁致伸缩更加明显。拉应力抑制了取向硅钢片的正磁致伸缩并随着拉应力的增大，逐渐出现负磁致伸缩特性。取向硅钢片具有典型的负磁致伸缩特性，压应力使取向硅钢片的负磁致伸缩更加明显。拉应力抑制了取向硅钢片的负磁致伸缩并随着拉应力的增大，逐渐出现正磁致伸缩特性。取向硅钢负磁致伸缩特性来源于其内部的横向磁畴，应力对横向磁畴形成的促进与抑制，造成了不同应力下取向硅钢磁致伸缩特性的上述变化。
2）从热力学角度出发，将不同应力下磁致伸缩的一般表达式表示为无应力下的磁致伸缩与应力引起的附加磁致伸缩之和。本文中所提出的应力引起的附加磁致伸缩计算方法，综合考虑了随着磁化强度的增加，应力对磁致伸缩的非线性影响，以及在相同磁化强度下，不同大小应力对磁致伸缩的非线性影响。
3）本文提出的模型可以准确地模拟不同应力下硅钢片的磁致伸缩特性。待辨识参数只与应力是拉应力还是压应力有关，不依赖应力大小，且由于考虑了应力在两个维度对磁致伸缩特性的非线性影响，因此，本文提出的模型可以准确地模拟不同应力下取向硅钢片以及无取向硅钢片的磁致伸缩特性。
4）不论是取向硅钢还是无取向硅钢，压应力均极大地增加了材料原本的磁致伸缩特性。因此，虽然难以精确控制叠装过程中受到的应力大小且铁心可能存在受力不均匀的情况，完全消除材料的磁致伸缩效应难以实现，但电工装备铁心在叠装过程中应尽可能地避免受到压应力；相反，可使铁心整体受到一定大小的拉应力，以减小磁致伸缩引起的振动，但又需要避免过大的拉应力，引起铁心振动加剧。
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Abstract The magnetostrictive effect of silicon steel sheets is a major causes of vibration and noise in electrical equipment. Silicon steel sheets inevitably experience mechanical stress during stacking and operation. Magnetostriction arises from the rotation of magnetic domains within silicon steel sheets, and mechanical stress alters the material's original internal crystal structure and magnetic domain arrangement, thereby changing its magnetostrictive properties and potentially leading to more severe vibration and noise. Therefore, establishing a magnetostrictive model of silicon steel sheets that accounts for stress effects is significant for research on vibration and noise reduction in electrical equipment.
In this paper, from a thermodynamic point of view, the strain is expressed as a differential of the Gibbs free energy with respect to the stress. The Gibbs free energy is expanded in a Taylor series and then simplified to account for magnetostriction. As a result, the general expression of magnetostriction considering mechanical stress is obtained. Subsequently, the magnetostriction considering stress is expressed as the sum of the magnetostriction under zero stress and the stress-induced additional magnetostriction. The magnetostriction under zero stress can be represented as a superposition of even-order terms concerning the magnetization strength M. The calculation of stress-induced additional magnetostriction comprehensively accounts for the nonlinear effects of the same stress on magnetostriction at different magnetization intensities and of different stresses on magnetostriction at the same magnetization intensity.Finally, the magnetostriction model incorporating stress has been established. The effectiveness of the model for grain-oriented (GO) and non-oriented (NO) silicon steel sheetsis verified by comparing model calculations with experimental measurements.
The parameters to be identified depend on whether the stress is tensile or compressive and are independent of its magnitude. Moreover, the proposed model accurately simulates the magnetostrictive properties of GO and NO silicon steel sheets across different stress levels. The root-mean-square error of the proposed model for GO silicon steel sheets is below 0.28 mm/m and, under most stresses, below 0.1 mm/m. The root-mean-square error for NO silicon steel sheets is all below 0.4 mm/m.
Compressive stress greatly enhances the material's original magnetostrictive properties. However, it is difficult to precisely control the stress magnitude during the stacking process, and the iron core, subjected to uneven stress, does not fully eliminate the material's magnetostrictive effect. Thus, compressive stress should be avoided when stacking iron cores in electrical equipment. Instead, the iron core can be subjected to tensile stress to reduce magnetostriction-induced vibrations. However, excessive tensile stress should be avoided because it can exacerbate iron-core vibration.
keywords：Magnetostriction, inverse magnetostriction, mechanical stress, silicon steel sheets
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.251046
中图分类号：TM271
国家重点研发计划（2021YFB2401700）和国家自然科学基金（52177005）资助项目。
收稿日期 2025-06-16
改稿日期 2025-10-11
付裕恒 男，1998生，博士研究生，研究方向为软磁材料磁弹性耦合特性测量及模拟与变压器铁心磁力耦合计算方法研究。E-mail: yh.fu@ncepu.edu.cn（通信作者）
李 琳 男，1962生，教授，博士生导师，研究方向为电磁场理论及应用与先进输变电技术。E-mail: lilin@ncepu.edu.cn
（编辑 郭丽军）