和
，分别用于表征列车与站点之间因距离差异产生的动态电阻值，从而在模型层面完整仿真列车移动过程中与变电站间电阻的时变特性。各牵引降压混合变电站（Combined Station, CS）内部采用标准化设计，集成24脉波整流机组、IEFE、车站动力照明负载与FESE，其拓扑结构如图2所示。摘要 再生制动能量回收利用是城市轨道交通供电系统设计的重要问题。现有方法主要包括储能和逆变能馈两种技术路线，然而目前研究缺乏对二者在容量匹配、能流交互层面的深度协同机制分析，尤其在离散设备配置参数与连续电压阈值的混合变量优化问题中，难以实现系统级能效与经济性的综合最优。针对上述缺陷，该文提出飞轮储能与逆变能馈的协同优化配置方法：首先，建立了城轨交通交直流混合潮流分析模型；其次，考虑离散的设备容量配置参数以及连续的电压阈值参数，构建面向离散-连续混合变量优化问题的双层框架；然后，提出层组粒子群优化（LGPSO）算法，以总成本与静态回收周期构建综合代价指标；最后，通过分层解耦与分组进化策略实现多维参数的协同优化。在优化求解方面，与传统差分进化算法和粒子群优化算法相比，LGPSO算法的迭代次数分别减少18.75%和13.33%，且求解质量分别提升8.5%与18.3%。典型案例计算结果表明，协同优化方案的静态回收周期比飞轮储能方案降低43.2%，节能率比逆变能馈方案提高6.9%，在投资成本、再生制动能量回收效能和静态回收周期等方面的综合指标占优。
关键词：轨道交通供电系统 混合变量优化问题 飞轮储能 逆变能馈
城市轨道交通牵引供电系统的节能降耗是实现交通领域“双碳”目标的核心环节。据统计，再生制动能量占列车总牵引能耗的30%～55%[1-3]，然而传统方案中再生能量利用率较低[4]，待消纳能量占比较高。近年来，飞轮储能设备（Flywheel Energy Storage Equipment, FESE）与逆变能馈设备（Inverter Energy Feedback Equipment, IEFE）的协同应用已成为该领域的研究热点。
对于城轨交通供电系统制动能量回收装置的优化配置问题，现有研究主要聚焦单一类型装置的性能提升与独立优化。例如，曾佳欣[5]针对双向变流装置与二极管整流机组的协同供电场景，建立了精细化供电计算模型，并提出基于改进粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）算法的控制参数优化方法；张丹等[6]则专注于FESE的充放电控制策略，通过网压阈值控制实现再生制动能量的回收。在储能系统配置方面，赵紫薇[7]提出车载-地面混合储能系统的容量协同优化算法；周铭栀[8]针对锂电池-超级电容组成的车载混合储能系统开展容量配置与控制策略研究；而毛润前[9]进一步探讨了车载储能系统在质量体积约束下的容量配置，以及基于车地信息交互的协调控制策略。此外，国外研究如A. Di Pasquale等[10]提出车载储能系统的集中式协同控制框架，通过分布式代理管理实现能量传输优化；M. Lelas等[11]设计超级电容储能系统的机会约束优化模型，结合Levy飞行改进模拟退火算法，以最大化再生能量利用率。上述工作虽然在诸如变流装置控制、储能系统配置、局部协调策略等设备级优化方面取得了显著进展，但需指出的是，当前研究主要集中于孤立子系统或单一类型装置的优化，缺乏对城轨供电系统中多类型装置的全局协同配置与集成优化。尤其针对FESE与IEFE的混合部署场景，现有成果尚未系统地考虑二者在容量匹配、能流交互层面的深度协同机制，难以实现系统级能效与经济性的综合最优。
混合变量优化问题（Mixed-Variable Optimiza-tion Problems, MVOP）的核心挑战在于如何协同高效地处理具有不同空间分布特性的连续与离散决策变量。现有研究主要着眼于设计专门的进化算法框架及其核心操作策略。例如，Peng Hu等[12]提出了多策略协同进化差分进化算法，其核心是设计了一种混合变量协同进化方案，并且融合了动态自适应选择机制以及多种变异策略和交叉算子，旨在适应MVOP中复杂多变的情景，同时特别为离散变量优化设计了基于统计的局部搜索。Wang Feng等[13]则聚焦PSO框架，提出了一种改进的PSO算法，该算法采用混合变量编码方案，并在此基础上分别为连续变量和离散变量设计了对应的更新方法，同时引入了自适应机制以提升算法性能。Wang Feng等[14]还针对混合变量报贩问题，开发了基于直方图模型的分布估计算法，其特点在于分别采用自适应宽度直方图模型处理连续变量和可自我学习的直方图模型处理离散变量。这些工作通过设计特定的编码协同机制，变量类型专属的诸如繁殖、变异、局部搜索、概率模型等操作策略，以及自适应技术，有效地提升了进化算法求解MVOP的能力。但是，现有方法大多侧重于对连续变量和离散变量分别或并行地施加不同的处理策略，往往未能利用连续变量与离散变量之间可能存在的复杂相关性。针对城轨交通供电系统中飞轮储能与逆变能馈的配置优化问题这一特定场景，其中的离散决策变量与连续决策变量之间往往存在强耦合关系，设备配置方案会直接影响后续电压参数优化的可行域。
在现有研究基础上，本文提出一种FESE与IEFE协同优化的技术路径。该路径基于再生制动能量的时空分布特性，构建了包含离散、连续变量决策层的双层协同优化架构。在该架构内，离散变量决策层专注于FESE与IEFE的设备数量优化，建立多目标约束下的总成本-静态回收周期优化模型；连续变量决策层则通过引入电压寻优机制，允许不同储能单元的充放电电压阈值、逆变装置的并网电压阈值进行独立调节，打破传统静态电压预设策略的刚性约束。针对MVOP，本文设计了层组粒子群优化（Layer-Grouped Particle Swarm Optimization, LGPSO）算法。该算法通过分层解耦策略，将上述架构中的离散与连续变量分离优化，并结合分组寻优机制，对FESE与IEFE的电压阈值控制参数进行分组迭代优化。最后基于城轨交通供电系统交直流混合潮流迭代算法构建仿真验证平台，对所提协同优化方案的效果进行评估。
城市轨道交通供电系统具有典型的交直流混合供电特征，其潮流计算需同时考虑交流配电网的稳态特性与直流牵引网的动态负载特性。传统求解方法大多仅针对直流牵引网部分进行建模分析，难以准确地反映交直流子系统间的能量交互机理，导致网压波动预测偏差较大。本文提出基于双层闭环架构的交直流混合迭代算法，通过交替求解交流电网潮流方程与直流牵引网非线性方程，实现系统全局能量流的协调优化。该算法突破了传统方法在动态负载适应性与计算效率方面的局限性，为多设备协同优化提供了精确的数学模型基础。
直流牵引网作为城轨供电系统的能量传输核心，其建模需综合考虑整流机组、逆变回馈装置、列车负载及储能系统的动态特性。同时，列车作为移动负荷，其与变电站之间的电阻值会随运行距离实时变化。图1展示了单站单车的等效电路拓扑结构，为精准地刻画上述电阻值的时变特性，拓扑中引入可变电阻和，分别用于表征列车与站点之间因距离差异产生的动态电阻值，从而在模型层面完整仿真列车移动过程中与变电站间电阻的时变特性。各牵引降压混合变电站（Combined Station, CS）内部采用标准化设计，集成24脉波整流机组、IEFE、车站动力照明负载与FESE，其拓扑结构如图2所示。
图1 直流牵引网模型
Fig.1 DC traction net model
1.1.1 24脉波整流机组动态外特性模型
整流机组外特性建模依据相关IEEE标准[15]，采用分段线性化黑盒模型框架，将机组工作状态划分为恒压调节区与过载下垂区，通过空载电压、额定电流、下垂斜率等工程参数表征输出特性。其中，空载电压计算、分区电压电流关系及参数取值均遵循标准中关于24脉波整流器的典型建模方法，确保模型符合电力系统仿真的简洁性与工程实用性要求。综上所述，本文设计电压外特性如式（1）所示的两段式24脉波整流器模型。
图2 牵引降压混合变电站拓扑结构
Fig.2 Combined station’s structure
（1）
式中，
为整流机组直流侧电压；
为整流机组空载电压；
为下垂斜率，表征负载电流对输出电压的调节特性；
为直流侧输出电流；
为整流机组额定电流；
为额定工况直流输出电压。
1.1.2 列车恒功率负载模型
为平衡模型精度与计算效率，列车负载模拟主要采用恒流源（Constant Current Source, CCS）与恒功率源（Constant Power Source, CPS）两种模型。本文基于CPS模型构建电压自适应的非线性负载特性，该模型通过分段函数动态表征列车不同运行状态下的负载特性。当列车处于牵引工况时，模型依据机电转换效率
将机械功率转换为电能需求。在再生制动工况下，模型通过反向电流描述能量回馈过程，可触发逆变回馈装置与储能系统的协同响应机制。列车CPS模型电流-电压关系可表述为
（2）
式中，
为列车电流，＞0表示牵引取流，＜0表示再生馈能；
为受电弓处牵引网电压；
为列车机械功率，＞0表示牵引功率，＜0表示制动功率。
1.1.3 飞轮储能系统五段式运行模型
飞轮储能系统模型按照相关IEEE标准[16]进行设计，其伏安特性曲线包含五个工作区域，如图3所示。图3中，
为放电截止电压；
为放电动作电压；
为充电动作电压；
为充电截止电压；FG段代表恒功率飞轮储能放电模式（MFWDP）；EF段代表恒电压飞轮储能放电模式（MFWDU）；BE段代表飞轮储能关断模式（MFWOFF）；BC段代表恒电压飞轮储能充电模式（MFWCU）；CD段代表恒功率飞轮储能充电模式（MFWCP）。
图3 飞轮储能装置伏安特性
Fig.3 FESE V-A characteristic
1.1.4 逆变能馈装置多模式切换模型
逆变能馈装置模型依据相关IEEE标准[16]搭建，其逆变能馈外特性与飞轮储能装置充电模式保持一致，能够将列车再生制动能量从直流牵引网回馈至交流供电网络。逆变能馈装置伏安特性如图4所示，其运行状态根据直流网压动态切换。图4中，
为逆变能馈截止电压；
为逆变能馈动作电压；AB段代表逆变能馈关断模式（MINVOFF）；BC段代表恒压逆变模式（MINVU）；CD段代表恒功率逆变模式（MINVP）。
图4 逆变能馈装置伏安特性
Fig.4 IEFE V-A characteristic
交流供电网建模采用改进的牛顿-拉夫逊法实现动态潮流计算，系统拓扑由两所主变电站（Main Station, MS）与n个CS构成双电源分区供电结构。交流供电系统网络拓扑如图5所示。
图5 交流供电系统网络拓扑
Fig.5 AC power supply system
交直流潮流混合迭代计算流程如图6所示，具体分三阶段：首先，进行系统参数初始化，以预设初始值对关键变量进行赋值；其次，交直流交替求解，交流侧采用改进牛顿法修正节点导纳矩阵并更新相关参数，将其传至直流模块，直流侧结合列车负载求解网络方程确定功率需求，通过功率双向映射完成耦合修正；最后，进行收敛判定，每轮迭代后检测交流侧功率残差与电压波动，并且在到达最大迭代次数后，再次进行收敛制定，此时若仍不满足收敛条件，则强制终止整个迭代流程并记录瞬态参数。
图6 交直流潮流混合迭代计算流程
Fig.6 Hybrid AC/DC power flow calculation
FESE与IEFE的协同优化策略通过差异化的能量通路设计，实现再生制动能量的高效利用。从技术特性看，两种设备的功能互补是其中核心：FESE具备高效的动态缓冲能力，可实时储存再生制动能量并直接用于列车牵引，节能效果显著，但设备成本高昂；IEFE技术成熟且扩容灵活，能将电能快速回馈至交流电网，但其能量利用依赖电网侧负载需求，若能量回馈时相邻CS无车辆牵引需求，或动力照明负载无法完全消纳逆变馈能，则可能引起向城市电网的反送电或能量环流现象，导致能量损耗。同时，传统静态电压预设控制模式限制了其动态调节潜力[17]，本文提出的电压优化机制允许各设备动作电压独立寻优，相较于静态电压预设策略，电压优化策略可进一步提升能量回馈效率。
城轨供电系统功率流动示意图如图7所示，展示了基于协同优化策略的再生制动能量流动路径及其两级分配机制。一级分配中，再生制动功率
首先进入直流牵引网再优先供给邻近牵引负载（
）。剩余能量进入二级分配环节，根据设备投入状态及电压阈值动态决策：或通过FESE以充电功率
存储能量，并在需要时以放电功率
回馈至直流牵引网；或由IEFE转换为逆变能馈功率
，部分供应CS动力照明负载（
），部分回馈至城市电网。图7中，
为城市电网输入城轨交流供电系统的总电能；
为城轨交流供电网反送城市电网的总电能；
为整流机组总功耗；
为总牵引功耗；
为制动电阻总功耗。
图7 城轨供电系统功率流动示意图
Fig.7 Energy flow of power supply system
1.3.1 仅FESE投入场景
当FESE母线电压高于充电阈值时，再生制动能量首先进行一级分配，优先供给邻近牵引负载（
）。剩余能量进入二级分配环节，FESE进行充电，能量通过飞轮的机电转换实现暂态存储。当母线电压低于放电阈值时，将存储能量回馈至牵引网络，形成闭环能量流动路径。
1.3.2 仅IEFE投入场景
在IEFE独立运行的电压区间，再生制动能量在满足相邻负载需求后，未被吸收的部分通过IEFE转换为逆变能馈功率，回馈至中压电网。此场景下能量直接通过电能转换装置实现电网侧回收，其中部分用以提供
。相较FESE而言，同等容量的IEFE价格更低，但其工作特性决定了易造成电能反送甚至产生能量环流，存在能量利用瓶颈。
1.3.3 FESE与IEFE协同工作场景
协同优化即可避免单一设备的功能局限性，其核心优势在于：FESE的“储能-释能”特性与IEFE的“回馈-调节”能力形成闭环，既规避了飞轮储能的高成本冗余，又解决了逆变能馈的能量利用率瓶颈，实现了设备投资与运行效率的帕累托优化。基于上述分析，两种设备可形成“本地缓冲+电网回馈”的复合能量通路，最大化地提升能量回收效率。
城轨供电系统配置优化属于典型的高维混合变量非线性规划问题。以包含
座CS的城轨交通供电系统为例，其解空间可被定义为
（3）
式中，
和
分别为各站点配置的FESE所设置的充、放电阈值；
为各站点配置的IEFE所设置的动作电压阈值；
和
分别为各站点配置的FESE和IEFE设备数量。
在面对此类问题时，传统算法存在以下瓶颈：
1）维度灾难。PSO、差分进化（Differential Evolution, DE）等算法在高维解空间中搜索效率急剧下降，迭代次数随维度增加呈指数级增长。
2）变量耦合。离散设备数量与连续控制参数间存在强非线性耦合，例如，飞轮数量增加需同步调整其充放电阈值，传统单阶段优化易陷入局部最优解。
3）资源分配低效。传统PSO算法采用均匀搜索策略，不适用于城轨交通供电系统设备配置这一具体细分领域，无法区分解空间潜力区域，导致大量计算资源消耗于低收益区域。
本文提出的LGPSO算法可通过分层解耦与分组进化策略突破上述局限，算法流程如图8所示，其具体实现流程将在2.6小节通过伪代码的形式呈现。
城轨交通供电系统的协同优化需以明确的目标函数与约束条件为基础，通过量化指标引导设备配置与参数寻优。本文的优化目标聚焦经济性与能效性的综合平衡，同时需满足系统安全运行约束。本文目标函数由城轨交通供电系统每日运营电能消耗及电气设备损耗成本构成的日总成本与静态回收周期这两项技术指标构建，归一化综合代价指标J表达式为
图8 LGPSO算法流程
Fig.8 LGPSO algorithm flow chart
（4）
式中，x为混合连续-离散搜索空间变量；C(x)为日总成本函数；T(x)为静态回收期函数；
(·)为归一化函数；
、
分别为总成本与静态回收周期在目标函数中的权重系数。
日总成本C集成了运营电费成本
、设备配置成本
以及设备运维成本
；静态回收周期T是指以投资项目经营净现金流量抵偿原始总投资所需要的全部时间，一般以年为单位，其表达式为
（5）
式中，
和
分别为FESE与IEFE的非线性成本函数；
为基值方案总电能开销。
2.1.1 运营电费成本
本文使用1.2节所述交直流潮流混合迭代算法，以城轨交通供电系统模型为依托，计算日总运营电费，表达式为
（6）
式中，
为电价；
为供电系统中所有MS的数量；
为各MS消耗的电能。
2.1.2 设备配置成本
本文将所有设备配置成本均摊，以计算其全生命周期内的日均设备成本，表达式为
（7）
式中，
、
分别为FESE和IEFE的全寿命周期。
本文在设备成本建模中考虑规模经济效应引发的边际成本非线性衰减特性，设备购置成本与配置数量的关系需通过二次规划或经验模型进行量化表征。考虑工程实用性，直接使用各设备对应容量的价格经验值作为成本计算基准，避免复杂数学建模带来的额外计算负担。
2.1.3 设备运维成本
设备运维成本采用全生命周期年均维护费用模型进行计算，并折算到日均设备运维成本，表达式为
（8）
式中，
为设备运维成本系数，其值根据经验可选定为2%～5%。
2.1.4 目标函数约束体系
本文优化框架通过多维度运行约束确保系统的稳定性与设备的安全性：牵引变电站直流侧电压被严格限制在安全区间，以防止设备过电压损伤；FESE的荷电状态（State of Charge, SOC）设定于20%～100%范围，在避免轴承低速磨损的同时避免了SOC过低时飞轮加速吸收能量的响应延迟，确保有基础储能支撑的瞬时充放电能力[18-20]。本文采用梯度化的阈值设计，通过设定不同的动作电压阈值来明确各设备的动作优先级及顺序，从而保障能量按预设路径有序交互。具体表现为：将设定为最高动作阈值，次之，最低，且均处于直流侧电压的安全运行区间内。此外，系统中各站点可配置FESE与IEFE的数量亦受到约束。
为实现优化维度缩减与收敛速度提升，需将离散决策变量与连续决策变量解耦，由此提出分层优化框架。进一步地，在确定FESE与IEFE的配置方案后，仅需聚焦于已部署设备站点的电压阈值参数优化。该策略通过剔除未配置站点的冗余变量，使优化变量维度进一步降低。
1）离散决策层
优先优化离散变量，包括FESE与IEFE的配置数量。此阶段固定连续变量，通过整数规划确定设备布局方案。
2）连续决策层
基于最优设备配置结果，在连续变量的解空间继续进行优化，包括FESE充、放电阈值与IEFE动作电压阈值，此阶段聚焦于设备安装站点的关键参数，忽略未配置设备的冗余变量，缩减优化问题的维度。
2.3.1 初始分组
基于站点负荷波动强度先验知识将粒子群划分为G个子群，为每个子群g设置不同的设备配置总数约束
，同一子群中粒子的设备配置数量一定，但设备配置站点位置不确定，分别探索解空间的不同区域。
2.3.2 资源重分配
粒子群分组策略采用性能驱动的资源分配方式，即分配给每个组的粒子数量Ng与该组计算出的最小适应度值Fg成反比。这种机制能确保成本值较低、优化潜力更大、更接近最优解的组获得更多的计算资源。首先进行组间权重计算，再进行基础粒子数量分配，之后进行余数计算，最后通过排序得到权重最大的组，将余数再分配，具体过程如下：
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
式中，
为第g组分配权重，反映该组解的质量相对于基准的优劣程度；
为无FESE及IEFE配置时的优化基准场景适应度值；
为第g组当前最优解对应的适应度值；
为第g组初始分配的基础粒子数；
为粒子群中粒子总数；R为首次分配后的剩余粒子数；
为各组权重序列向量；
为按权重降序排列后的组索引序列向量；argsort(·)为按降序排列函数；I1为排序后权重最高的组索引；
为最优组最终分配的粒子数。
2.3.3 协同进化
本文提出的算法针对引领粒子和跟随粒子实施差异化更新策略，旨在同步提升算法的全局探索能力与局部开发能力。该策略对两类粒子赋予不同的更新规则。
1）引领粒子
通过融合个体最优与全局最优位置信息更新速度，驱动粒子群向全局最优解区域定向搜索，表示为
（14）
式中，w为惯性权重；
为第t次迭代时粒子i在维度d上的速度；
、
为学习因子；
、
为单位区间内的随机数；
为第t次迭代时粒子i在维度d上的位置；
为粒子i在维度d上的个体最优位置；
为维度d上的全局最优位置。
2）跟随粒子
基于个体最优与组内最优位置的协同引导更新速度，促使粒子围绕局部优质解空间进行精细开发，表示为
（15）
式中，
为维度d上的组内最优位置。
针对不同粒子采取不同的位置更新策略，使得算法既能在更广泛的解空间内搜索潜在的优质区域，又能对已识别的有价值区域进行精细化挖掘，从而在全局优化与局部优化之间实现更优平衡。
在算法初始化阶段，将每个粒子群的首个粒子设定为引领粒子。这一设定为粒子群的初始搜索方向提供了明确的起点，使算法能够快速启动对解空间的探索过程。进入后续迭代过程后，算法采用周期性更新机制对引领粒子进行动态调整。具体而言，每完成一定次数的迭代，算法会对所有子群内粒子的当前解进行评估，将其中拥有最优解的粒子重新指定为引领粒子，其余粒子则归类为跟随粒子。这种动态更新机制确保了引领粒子始终代表当前粒子群中的最优搜索方向，从而为跟随粒子的搜索路径提供更具参考价值的引导。
所提算法针对连续型和离散型优化变量分别实现不同的变异机制，以符合其数学特性和工程约束。
2.4.1 连续变量变异
对于连续参数，采用有界扰动策略，即
（16）
式中，
为维度d的特定扰动尺度；N(·)表示正态分布。
2.4.2 离散变量变异
对于离散配置，为确保获得的可行解中设备总数仍等于该组的设备配置总数限制，在完成离散变量的变异操作后，还需进行数量限制。离散变异算子M(·)通过两种策略保持组配置约束，有
（17）
式中，
为粒子解向量中的离散变量部分；Swap(·)为设备位置交换操作；Crossover(·)为配置向量交叉操作；Ni和Nj分别为粒子解向量中第i个与第j个站点所配置的设备数量；NL和NC分别为引领粒子与跟随粒子的完整离散配置向量，其每个维度元素对应一个站点的设备数量；
和
为执行对应变异操作的概率。
1）设备位置交换操作表示为
（18）
2）组内继承
对两个粒子的配置信息向量在交叉点k做交叉处理，k点保持动态调整。交叉点选择策略采用梯度引导的概率分布。选择维度m作为交叉点的概率遵循以最敏感参数为中心的指数衰减分布，即
（19）
（20）
式中，
为选择维度m作为交叉点的概率；
为维度d的适应度梯度；D为总维度数；
为交叉变异后得到的新粒子解向量离散变量部分；[1:k]表示取该向量第1～k个元素；[k+1:]表示取该向量从第k+1个至其末尾的所有元素。该机制优先在表现出最大成本敏感性的关键维度附近进行参数的交叉互换。指数项确保自适应探索广度，分母D自动调整衰减率以匹配问题复杂度。
2.4.3 自适应参数变化策略
本算法采用时变参数自适应策略，惯性权重w随着迭代进行线性递减以逐步收窄搜索范围；认知系数c1呈指数衰减，社会系数c2呈指数增长，共同驱动搜索行为从全局探索向局部开发自适应过渡。具体参数随迭代次数的变化为
（21）
（22）
（23）
式中，下标“max”和“min”分别表示对应变量的最大值和最小值。
针对连续变量和离散变量所对应的不同物理特性，此处提出一种混合约束处理策略，确保物理可行性和配置要求。
2.5.1 连续决策变量约束处理
针对电压参数，采用弹性边界反射策略确保物理有效性，即
（24）
式中，
和
分别为约束处理前、后粒子在维度d上的取值；
为能量阻尼系数，控制弹性反射的力度；
和
分别为维度d的下界和上界。
该机制通过带有能量阻尼的弹性反射将越界值反弹回可行域，相较于硬边界约束，该弹性反射机制能更好地保持解空间内的探索性，避免解停滞于边界。
2.5.2 离散决策变量约束处理
确保严格遵守每个分组子群内所有粒子的预设设备数量等于分组设备总数约束
，即
（25）
式中，
为第g组中牵引变电站数量；
和
分别为第g组中第i个变电站配置的FESE和IEFE数量。
若不满足约束条件，则针对违反组约束的粒子进行随机站点设备数量的增删操作。该约束强制要求同一组内的粒子总设备配置数严格等于
，确保分组的有效性。
本文所提LGPSO算法伪代码见表1。
表1 LGPSO算法伪代码
Tab.1 LGPSO algorithm pseudocode
算法1：LGPSO算法伪代码 输入：粒子数Np，最大迭代次数tmax，站点数Ns，分组数G，基准情况适应度值 输出：全局最优解1. 根据先验优化知识设置每组设备总数约束、每组粒子数，对所有粒子按各维度约束条件初始化式（3）所示所有决策变量；2. 标记每组首个粒子为引领粒子，其余为跟随粒子；3. #阶段1：离散决策层for t1=1 to T1 # T1为离散决策层最大迭代次数4. 按式（21）～式（23）计算w、c1、c2；5. 固定连续决策变量，评估所有粒子适应度值，更新粒子个体最优以及全局最优；6. 对所有粒子按式（14）和式（15）分角色进行粒子速度与位置的离散决策变量部分更新；7. 对所有粒子按式（17）～式（20）依据概率执行变异操作；8. 对所有粒子按式（25）进行离散决策变量约束处理；9. #每进行T0次迭代，重新分配计算资源if t1 % T0 == 0 then10. for g = 1 to G11. 各组内粒子适应度排序，其中适应度最低的粒子标记为引领粒子，其余标记为跟随粒子；12. 按式（9）～式（13）重新计算本组粒子数；13. end for14. if适应度值变化量＜离散决策变量适应度变化阈值 then break15. end for16. #阶段2：连续决策层for t2= 1 to T2 # T2为连续决策层最大迭代次数17. 按式（21）～式（23）计算w、c1、c2；18. 固定离散决策变量，评估所有粒子适应度值，更新粒子个体最优以及全局最优；19. 对所有粒子按式（14）和式（15）分角色进行粒子速度与位置的连续决策变量部分更新；20. 对所有粒子按式（16）执行有界扰动；21. 对所有粒子按式（24）执行连续决策变量约束处理；22. if适应度值变化量＜连续决策变量适应度变化阈值 then break23. end for24. 返回全局最优解
本案例构建了基于实际工程参数的城轨供电系统仿真模型，系统架构如下：交流侧采用35 kV/ 50 Hz供电结构，配置2座MS，6座CS；直流侧构建1 500 V牵引网络，在站间以上、下行方向为区分，各接入5辆列车模拟动态负荷。线路长度为6.32 km，全线共设置车站6个，牵引变电站6个，各车站与牵引变电站位置示意图如图9所示。车辆参数与FESE与IEFE参数见表2。上、下行列车的速度-位置与功率-位置曲线如图10所示。仿真结果表明，未配置FESE与IEFE时，系统日耗电量为25.3 MW·h，制动电阻能耗为4.2 MW·h，下文将以该值作为系统基值对优化结果进行评估分析。
图9 各车站与牵引变电站位置示意图
Fig.9 Location of stations and traction substations
表2 仿真系统参数设置
Tab.2 Parameter settings of the system
参数数值（类型） 编组列车总质量/t列车总长度/m结构速度/(km/h)最大速度/(km/h)4M2T218140100100 最大加速度/(m/s2)最大减速度/(m/s2)FESE容量/MJFESE额定功率/kWFESE生命周期/年IEFE额定功率/MWIEFE生命周期/年1.21.21025020220
图10 上、下行列车运行曲线
Fig.10 Operation curves of up trains and down trains
为验证所提LGPSO算法的有效性，本节以FESE和IEFE协同优化配置为案例，与DE算法及PSO算法的优化性能进行对比。各算法优化性能对比如图11所示，可见LGPSO算法在解的质量与计算效率上均显著优于对比算法。
图11 各算法优化性能对比
Fig.11 The comparison among different algorithms
图11展示了各算法的收敛曲线，LGPSO算法在26次迭代时达到稳定最优，迭代次数较DE算法和PSO算法分别减少了18.75%和13.33%，且解的质量分别提升8.5%与18.3%。基于LGPSO算法得到的具体设备配置及动作电压优化结果见表3，飞轮储能系统集中于负荷波动较大的S3、S5、S6站点，而逆变能馈装置则部署在再生能量富集的S2、S3站点。关键电压阈值参数呈现空间差异性，S3站点因承担枢纽功能，其UC取值与UD取值较其他站点更趋近安全区间边缘，以实现能量时空转移效能的最大化。
表3 协同优化场景下设备配置及动作电压优化结果
Tab.3 Optimization results of equipment configuration and operating voltage
参数S1S2S3S4S5S6 NFESE/台NIEFE/台UC/VUD/V0010101 7531 615101 7431 614 0—1—11 7530— ——1 611— UINV/V—1 7571 756———
城轨供电系统优化方案可分为三类：飞轮储能孤立优化（FESE-ONLY）方案、逆变能馈孤立优化（IEFE-ONLY）方案以及飞轮与能馈协同优化（CO-OP）方案。由于传统的电压配置通常局限于静态电压预设策略，导致未能完全开发设备潜能，而CO-OP方案融合FESE和IEFE二者特性，结合电压优化机制，构建能量流动互补框架，形成时空互补的能量流动机制。各方案的优化配置结果如图12所示。
图12 各方案配置优化结果
Fig.12 Optimization results of configuration in each case
3.2.1 综合代价指标对比
各方案经济指标对比见表4。以日总成本与静态回收周期构成的综合代价指标参数J为评价指标，CO-OP方案的表现显著优于FESE-ONLY方案与IEFE-ONLY方案。该机制的优势直接体现在表4中。表4中，设备投资参数指将总设备投资分摊至其全生命周期后折算的等效日投资成本。
各方案经济性的差异本质上源于设备物理特性与能量管理策略的差异。在设备投资维度，FESE-ONLY方案因FESE的高功率密度特性而需精密机械结构支撑，导致投资成本较高；IEFE-ONLY方案则受益于电力电子器件的规模化生产优势，投资成本较低；而CO-OP方案在保证节电量的同时通过优化FESE与IEFE的容量配比，将投资成本显著降低，实现经济性折中，其静态回收周期较FESE-ONLY方案减少43.2%。耗电量指标进一步揭示了系统能量管理效率：IEFE-ONLY方案因缺乏储能缓冲单元，当再生制动能量超出本地负荷需求时，待消纳的再生制动能量需强制馈入交流供电系统，导致直流网侧取电量较高；反观CO-OP与FESE-ONLY方案，凭借FESE的实时能量吞吐能力有效地平抑了负荷波动。CO-OP方案的核心突破在于两者技术优势的有机融合：一方面继承了IEFE的低投资特性；另一方面，FESE对瞬态能量的就地消纳抑制了馈网现象。这种协同机制使节电量达到3 388 kW·h，与FESE-ONLY方案基本持平。
表4 各方案经济指标对比
Tab.4 Economic benefits of cases
参数CO-OPFESE-ONLYIEFE-ONLY 设备投资/万元耗电量/(kW·h)反送电量/(kW·h)节电量/(kW·h)日总成本/元340.821 9131 0543 38820 063573.621 78903 51220 18454.824 3691 56493221 987 静态回收周期/年2.524.441.40 综合代价指标0.710.790.73
各方案的经济性优势也在不同电压控制策略下呈现系统性提升规律。引入电压优化机制后各方案经济指标对比如图13所示。相较于静态电压预设模式，电压优化使协同方案在设备投资与长期收益间达成更优平衡：通过各设备的差异化电压阈值协同，其综合代价指标达到所有方案中的最低值，验证了电压优化机制的增益作用。值得注意的是，即使在电压优化条件下，单一设备方案的综合代价指标仍显著高于协同方案，表明电压优化的价值需依托设备间的功能互补才能充分释放。
图13 引入电压优化机制后各方案经济指标对比
Fig.13 Comparison of economic benefits for each scheme before and after introducing the voltage optimization mechanism
总体而言，协同优化方案克服了静态电压预设模式下设备动作电压阈值刚性耦合导致的效率损失。该机制有效地规避了单一设备的固有缺陷，即FESE的造价瓶颈与IEFE的能量利用瓶颈，最终通过电压阈值的自适应匹配实现协同效益最大化。
3.2.2 再生能量回收效能综合对比
为进一步衡量各方案的再生能量回收效能，本文采用再生制动能量回收率与节能率共同构成系统能量回收效能的评价体系[21-25]，两类指标的协同分析可全面评估技术方案的综合性能。
1）再生制动能量回收率
该指标聚焦制动能量向可用能源的转化效率。忽略牵引网网损时，根据能量守恒可得
（26）
式中，
为全线列车再生制动总能量；
为制动电阻消耗总能量；
为邻近站间牵引工况列车吸收的再生制动能量；
为被FESE与IEFE回收利用的能量。故再生制动能量回收率可定义为如式（27）所示，各方案再生制动能量回收率对比见表5。
（27）
表5 各方案再生制动能量回收率对比
Tab.5 Comparison of regenerative braking energy recovery rates for each scheme （%）
模式CO-OPFESE-ONLYIEFE-ONLY 静态电压预设96.894.384.3 电压优化98.399.387.3
2）节能率
该指标用于评估配置节能装置后，线路总体能耗的减少量，可以表征牵引净能耗削减程度，其计算公式为
（28）
式中，
为参考系统全线区间MS总输出能耗；
为配置节能装置后全线区间MS总输出能耗。各方案节能率对比见表6。
通过分析表5和表6中各方案的再生制动能量回收率及节能率数据可知：FESE-ONLY方案在能量回收与节能效果方面均展现出优异的性能；然而，该方案因自身技术特性，存在价格高昂的问题，在实际工程应用中经济性欠佳。相比之下，IEFE-ONLY方案受限于自身机理，其能量回收与节能效果均不理想。CO-OP方案则呈现出良好的综合性能，节能率比IEFE-ONLY方案提高6.9个百分点，且在经济性方面实现了有效平衡，充分体现了协同优化机制在兼顾性能与成本方面的显著优越性。
表6 各方案节能率对比
Tab.6 Comparison of energy-saving rates for each scheme （%）
模式CO-OPFESE-ONLYIEFE-ONLY 静态电压预设12.612.16.0 电压优化13.413.86.5
为探究发车时间间隔对再生制动能量回收系统优化配置方案的影响，本文基于某日实际运行数据，依据列车发车频次将全天划分为高峰、低谷及平峰时段[26-27]。列车启停频率时间分布如图14所示，可见各时段列车启停频率呈现显著差异。
图14 列车启停频率时间分布
Fig.14 Frequency and time distribution of train start and stop intervals
在获取真实运行数据的基础上，本文重设列车发车间隔，并重新运行优化算法求解FESE与IEFE的最佳配置方案。6站点系统不同发车间隔下的优化配置方案如图15所示。结果分析表明，改变发车间隔可通过改变再生制动能量的时空分布，对FESE-IEFE协同策略产生显著影响。当发车间隔较小时，再生能量呈现高能量密度特性且总量激增，优化模型在S3、S5、S6站点构建双重配置网络，FESE与IEFE形成时空协同缓冲机制。在中等发车间隔区间，协同策略呈现动态适配特征：250 s间隔时，S2站点的IEFE与S3站点的FESE形成跨站点功能互补；350 s和450 s间隔时，则呈现S3站点的FESE与S4站点的IEFE的协同分工。这种协同模式表明，优化算法能够精准识别不同能量密度下的最佳技术组合，从而避免单一装置的冗余配置。当发车间隔较大时，再生能量呈现低能量密度特征且经济效益显著降低，协同优化模型收敛至精简配置，体现出经济性约束对协同策略的主导作用。
图15 6站点不同发车间隔协同配置方案
Fig.15 Differentiated configuration schemes of different headways under the 6-station scenario
为深入验证协同优化策略的适应性，本节在原有6站点系统基础上拓展构建12站点系统案例，该案例线路全长30.64 km，12站点与牵引变电站位置示意图如图16所示。该线路具有显著的空间异质性特征：前段站点站间距较短，中后段站点进入郊区，站间距相对较长。在此案例情形下，不同发车间隔下的优化配置结果如图17所示。
图16 12站点与牵引变电站位置示意图
Fig.16 Location of 12 stations and traction substations
图17 12站点不同发车间隔协同配置方案
Fig.17 Differentiated configuration schemes of different headways under the 12-station scenario
从图17分析得知：当发车间隔较小时，高密度列车运行可以实现牵引-制动行为的高效时空匹配，从而降低设备配置需求；当发车间隔增大至中段区间时，邻站牵引列车取能减少，此时需要配置更多节能设备以应对仍处于高位的再生制动总能量及功率冲击；当发车间隔较大时，再生能量总量衰减，设备需求随之递减。
相较而言，12站点系统前密后疏的站间距结构和更高的总能量吞吐，导致其配置行为更符合理论规律，而结构均匀且总长度较短的6站点系统则呈现简化特征。首先，首尾站点的FESE配置数量显著提高，12站点系统中尾站点因受单侧能量交互限制且线路中总能量较高，其飞轮配置强度远超6站点系统；其次，中段发车间隔的敏感性在12站点系统中尤为突出，长站间距区段能量互借窗口收缩引发设备需求峰值，在6站点系统中，受线路较短影响，列车间能量传递更为频繁，该现象被平滑过渡。
上述配置演化规律在图18所示的静态回收周期分析中得到了进一步的经济性印证。对于6站点系统，其静态回收周期在较小发车间隔下即达到较优值，随后波动下降。而对于12站点系统，其静态回收周期在发车间隔增大过程中呈现更显著的先升后降趋势，其峰值出现在中段发车间隔处，这与该间隔下设备需求达到峰值的配置规律一致。值得注意的是，在较小发车间隔下，12站点系统的静态回收周期小于6站点系统，凸显了大规模线路在密集运营下通过高效能量交互实现更优投资回报的潜力。
图18 发车间隔与静态回收周期关系
Fig.18 The relationship between departure intervals and static recovery cycles
本文围绕城轨交通供电系统的飞轮储能与逆变能馈协同优化问题，通过理论建模、算法设计与仿真验证，得出以下核心结论：
1）LGPSO算法展现出高维优化优势。通过分层解耦离散变量与连续变量，结合分组进化与动态资源分配策略，LGPSO算法在26次迭代即收敛至最优解，较DE算法和PSO算法迭代次数分别减少18.75%和13.33%，且解的质量分别提升8.5%与18.3%。该算法的高维解耦能力尤其适用于含储能与变流设备协同优化下的复杂供电系统。
2）跨设备协同机制显著地提升了系统综合效能。CO-OP方案通过“储能缓冲+电网回馈”的能量互补通路，在电压优化策略下取得最优综合代价指标0.71，表明协同机制通过设备功能互补，在效率与经济性间取得了更优平衡。
3）线路特征与发车间隔驱动差异化配置。12站点线路中设备配置随发车间隔提升呈现“总量先增后减，首尾强化、中部自适应”特征：首尾站点需强化配置FESE应对能量单侧交互限制；中段长站间距对间隔变化敏感，需部署IEFE抑制波动。同时，设备协同策略分三阶段演化：小间隔时FESE-IEFE双重叠加以应对能量洪峰；中间隔时跨站分工避免配置冗余；大间隔时收敛至精简配置体现经济性。本质而言，上述配置是协同优化模型对能量时空分布、设备性能及经济约束的综合响应。
综上所述，本文提出的协同优化框架与LGPSO算法为城轨供电系统的低碳化改造提供了理论支撑与实现路径，相关成果可推广至其他含多类型储能与变流设备的电力系统优化场景。
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Abstract Efficient recovery and utilization of regenerative braking energy, which constitutes 30%～55% of total train traction energy consumption, is a key challenge in urban rail transit power supply system design. Traditional schemes suffer from low utilization rates of such energy, with a high proportion remaining unabsorbed. Existing technologies mainly rely on energy storage and inverter energy feedback, but they lack in-depth analysis of collaborative mechanisms in capacity matching and energy flow interaction. Particularly, in the mixed-variable optimization problem involving discrete equipment configuration parameters, such as the number of flywheel energy storage equipment (FESE) and inverter energy feedback equipment (IEFE) and continuous voltage thresholds, including charge-discharge voltage thresholds of FESE and grid-connection voltage thresholds of IEFE, achieving the comprehensive optimal system-level energy efficiency and economy remains a significant challenge.
To address these limitations, this study proposes a collaborative optimization configuration method for FESE and IEFE. First, an AC-DC hybrid power flow analysis model for urban rail transit was established. This model integrates the steady-state characteristics of the AC power grid and the dynamic load properties of the DC traction network, enabling accurate simulation of energy interaction between AC and DC subsystems and overcoming the limitations of traditional models that focus solely on DC traction networks. Second, a two-layer framework for discrete-continuous mixed-variable optimization was constructed. The discrete variable decision layer focuses on optimizing the quantities of FESE and IEFE to determine the optimal equipment layout, while the continuous variable decision layer introduces a voltage optimization mechanism. This mechanism allows independent adjustment of FESE charge-discharge thresholds and IEFE grid-connection thresholds, breaking the rigid constraints of traditional static voltage preset strategies. Third, a layer-grouped particle swarm optimization (LGPSO) algorithm was developed. This algorithm constructs a comprehensive cost index using total cost and static payback period, and realizes collaborative optimization of multi-dimensional parameters through hierarchical decoupling and grouped evolution strategies.
In optimization performance, compared with traditional differential evolution (DE) algorithm and particle swarm optimization (PSO) algorithm, LGPSO showed significant advantages: it reduced iteration counts by 18.75% and 13.33% respectively, while improving solution quality by 8.5% and 18.3% respectively, demonstrating high efficiency in handling high-dimensional mixed-variable problems. Typical case calculations verified the effectiveness of the proposed method. The collaborative optimization scheme (CO-OP) achieved a 43.2% lower static payback period than the FESE-only scheme and a 6.9% higher energy-saving rate than the IEFE-only scheme. In economic indicators, CO-OP reduced equipment investment compared to the FESE-only scheme, with daily total cost lower than both single-equipment schemes, and its regenerative braking energy recovery rate and energy-saving rate also showed comprehensive advantages.
The collaborative optimization scheme integrates the technical strengths of both devices: inheriting IEFE’s low investment characteristics while utilizing FESE’s efficient dynamic buffering to suppress energy feedback issues in IEFE operation. Meanwhile, the voltage optimization mechanism further enhances energy recovery efficiency compared to static voltage strategies. These results indicate that LGPSO excels in high-dimensional optimization, and the collaborative mechanism significantly improves system comprehensive performance, providing theoretical support and practical paths for low-carbon transformation of urban rail transit power supply systems.
keywords：Urban rail transit power supply system, mixed-variable optimization problem, flywheel energy storage system, inverter energy feedback system
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.251064
中图分类号：TM922.3
东湖实验室科技创新专项资助项目（DH-20231101）。
收稿日期 2025-06-18
改稿日期 2025-08-16
陈浩然 男，2000年生，硕士研究生，研究方向为城轨交通供电系统配置优化。E-mail：22310161@zju.edu.cn
王瑞田 男，1987年生，副研究员，硕士生导师，研究方向为大容量直流变换器、电力电子磁元件、智能微网优化配置及调度。E-mail：wangrt123@nue.edu.cn（通信作者）
（编辑 李 冰）