图1 浸油纸板内部的电树枝[13]
Fig.1 Electrical trees inside oil-impregnated pressboard[13]
摘要 在实验室绝缘材料内部局部放电试验中，缺乏对放电点的定位方法，制约了对绝缘材料中电树枝生长机理和诊断方法的研究。该文首先为局部放电试验中多层介质场景构建了简化的静电场计算模型，实现了静电场正向计算；其次，构造了空间搜索寻优问题，利用匹配点电场强度比值测量值和正向计算模型反演局部放电遗留电荷位置；然后，分析了寻优问题目标函数的特点，以及粒子群优化算法的准确度和抗随机噪声能力；进一步地，构建了分布在二维平面上的匹配点电场测量系统，并结合粒子群优化算法建立了放电点定位方法；最后，通过高压电晕放电试验和光栅尺，确定了该方法对于场源电荷定位的准确度。仿真结果表明，当白噪声小于3%时，各方向定位误差的理论值小于0.05 mm；试验结果表明，当高压电极尖端距离场源电荷2 mm时，定位结果的三维距离误差平均值约为0.19 mm。该方法为实验室高压试验中实时观测不透明绝缘材料内电树枝的生长过程提供了有效途径，为电树枝生长机理研究提供了新的检测手段。
关键词：静电场逆问题 局部放电 定位 粒子群优化算法
浸油纸板、交联聚乙烯、硅橡胶等固体绝缘材料广泛用于电力设备中。这些绝缘材料长期工作在强电场下，会逐步产生局部放电缺陷。局部放电会逐渐破坏固体绝缘材料，往往在材料中形成树枝状通道，最终导致绝缘材料被击穿，造成灾难性后果[1-3]。绝缘材料内电树枝的生长规律是绝缘局部放电现象研究领域的重要内容。揭示电树枝的生长规律有助于改进绝缘材料的抗局部放电性能，判断电力设备中电树枝的尺寸大小，进而诊断局部放电缺陷的严重程度，并预测绝缘结构的剩余寿命。现有电力设备局部放电监测与诊断技术成果主要集中在判断是否存在缺陷以及定性判断缺陷的严重程度[4]，几乎不能判断绝缘材料中电树枝的尺度，更不能预测绝缘材料的剩余寿命。因此，由局部放电缺陷导致的电力设备绝缘击穿事故仍时有发生。
近年来，我国政府和电力企业提出要以数字化、智能化电网支撑新型电力系统建设，加快基于人工智能的能源装备状态识别、可靠性评估及故障诊断技术的发展[5]。对局部放电缺陷进行准确诊断是实现设备智能化运维的重要技术支撑。同时，电力设备数智化发展反过来要求人们更加深刻地认识局部放电现象及其规律[6-7]。
电树枝生长过程的观测技术是制约研究者们揭示电树枝生长机制的重要因素。研究者们在实验室对固体绝缘材料中电树枝的生长进行了大量观测。对于透明绝缘材料，可通过光学成像技术观测薄片材料中的电树枝二维图像。清华大学学者利用荧光显微成像技术，观测到硅橡胶中的电树枝通道呈现由球状小腔连接而成的树枝状中空气隙通道[8-9]。R. Schurch等利用X射线断层扫描（X-ray Computed Tomography, XCT）三维成像技术对环氧树脂等聚合物中的电树枝进行了数字化建模，计算了电树枝的各种参数，定量地表征了灌木型和分支型两种类型电树枝拓扑[10-11]。
对于浸油纸板等不透明材料，虽然能够通过光学图像观测材料表面的电树枝，但是电树枝的绝大部分位于纸板内部，表面电树枝仅是冰山一角[12]。S. Okabe等曾利用透射光拍照观察到厚度为0.8 mm的薄纸板内部的电树枝（纸板表面上只能看到一点炭痕），如图1所示[13]。但对于较厚的纸板，这种透射光拍照方法无效。根据XCT三维成像技术原理和本团队的前期尝试，XCT技术难以用于检测纸板内部的电树枝，这是因为其难以区分纸板自身的众多孔洞与电树枝的孔洞。浸油纸板是油浸式电力变压器的主要绝缘部件，其中的局部放电缺陷是变压器运行状态的决定性因素之一[4]。因此，研究不透明材料中的电树枝观测方法尤为重要。
图1 浸油纸板内部的电树枝[13]
Fig.1 Electrical trees inside oil-impregnated pressboard[13]
基于可见光拍照技术观测电树枝的方法，虽然能够获得电树枝生长过程，但是不能确定每次放电的路径和具体位置，从而难以将电树枝的几何特性（如树枝的分叉机制和分形维数）与放电特征（如放电量、放电频率、放电位置、局部电场强度等）联系在一起。为了掌握放电量与放电点位置，Yi Xiao等利用放电通道光线折射率与变压器油存在差异的特点，通过透射光阴影成像技术等追踪了纸板沿面流注放电过程[14]。H. B. H. Sitorus等则直接拍摄纸板沿面放电流注的发光，粗略地记录了每次放电流注的几何形态[15]。显然，这些方法只能记录纸板表面的放电，不能监测纸板内部的放电。
程养春等提出了一种电树枝的电气量测量方案[16-18]，在局部放电试验中实时监测绝缘材料中每次放电点的具体位置，再将所有放电点位置连接起来，勾画出绝缘材料中电树枝的三维几何形态。每次局部放电均会在电树枝的某个部位（特别是树梢）留下空间电荷。首先检测这个遗留电荷所产生的静电场在地电极表面的边界电场数值，再利用场源电荷与边界电场之间的静电场关系来反演遗留电荷的位置。遗留电荷的位置可看作放电点具体位置。本团队已经通过一维测量电极（Measurement Electrode,MED）阵列测量地电极边界电场，对纸板条中的炭化痕迹进行定位，定位精度达到了0.35 mm[17]。但是用于检测边界电场的测量电极只有一列，使得场源电荷定位空间仅为二维空间，并且在垂直于测量电极阵列方向上的定位误差达到1 mm[18]。使用一维边界电场测量阵列重构二维电树枝示意图如图2所示。
图2 使用一维边界电场测量阵列重构二维电树枝示意图[18]
Fig.2 Reconstruct the two-dimensional electrical tree using a one-dimensional boundary electric field measurement array[18]
为了进一步提高定位精度，本文在现有的基于边界电场反演场源电荷技术基础上，开发了分布在二维平面的边界电场系统，探究了测量误差来源以及修正方法[19]，构建了基于粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）算法的静电场逆问题求解场源电荷方法，并利用高压电晕试验测定了该方法定位场源电荷的准确度。具体地，本文首先论述了多层电介质的简化镜像电荷法静电场计算模型，以实现静电场正向计算；其次，将静电场逆问题转换成空间搜索优化问题；然后，分析了粒子群优化算法用于求解场源电荷的准确度；最后，通过高压电晕试验，确定了测量系统结合算法之后的总体准确度。本文方法和技术可为监测电树枝实时生长过程提供一个不同于光学成像监测的途径，将极大地促进实验室中电树枝生长规律的研究。
静电场正向计算模型用于在已知场源电荷幅值和位置的条件下计算匹配点的电场强度。本节为实验室局部放电试验中多层介质场景构建简化的静电场计算模型，包括对介质层数和电荷镜像次数的简化。
本文通过针-板气隙电晕放电试验，验证放电点定位算法的准确性。电晕放电试验平台设置及场点布置xOz截面示意图如图3所示，其中存在三层介质，自上至下依次为空气、石英玻璃和印制电路板（Printed Circuit Board, PCB），其相对介电常数分别为1、3.0～4.0和4.4。电场匹配点位于PCB中，石英玻璃板的作用是防止PCB被击穿，接地电极为金属圆盘电极。PCB内有一层铜膜与地电极相连接，等效于地电极的上表面。高压针电极悬于空气中，与石英玻璃相距2 mm。石英玻璃的厚度为3 mm。PCB上表面距离板中接地铜膜1.1 mm。
图3 电晕放电试验平台设置及场点布置xOz截面示意图
Fig.3 Partial discharge experiment setup and field points layout xOz section diagram
当绝缘材料内部或者表面发生局部放电后，会有正电荷或负电荷遗留在发生放电的位置。具体来说，电荷滞留在放电流注的头部位置。在矿物油-绝缘纸界面，负流注的长度小于200 mm[20]。可见，放电遗留电荷可看作点电荷，特别是对于长度可达数十厘米的浸油纸板中的电树枝来说。放电遗留的电荷能够在绝缘材料中保持一段时间，例如，油纸绝缘中空腔内壁上放电遗留电荷的衰减时间常数可达12 ms[21]。该电荷在其周围介质中产生电场，可用静电场来建模。定位场源电荷的问题就是已知匹配点位置的第二类边界条件，求取场源电荷的电荷量和位置的静电场逆问题。在接地电极上表面（即PCB中的接地铜膜）上选择多处场点，作为匹配点。下文将利用匹配点位置上的边界电场求解场源电荷位置。
由于三层介质中静电场的理论计算公式非常复杂，不利于建模计算，故对介质层进行简化。石英玻璃板和PCB的相对介电常数接近，因此将该三层介质简化为两层，介质1为空气，相对介电常数为1；介质2包括石英玻璃和PCB，相对介电常数为4.4，厚度为4.1 mm。经作者前期计算，与三层介质模型相比，两层介质简化模型平均定位误差接近，表明将相对介电常数相近的石英玻璃和PCB合并成一层介质并未显著增加定位误差[22]，反而提高了计算速度，因此本文采用两层介质模型。简化的两层介质模型的xOz截面示意图如图4所示。以地电极表面的中心为坐标原点O，地电极表面为z=0平面，穿过坐标原点且垂直于地电极表面的轴为z轴，指向空气方向。
模型中存在两个界面，其中两种绝缘介质的界面为A，地电极与介质2的界面为B。由经典镜像法可知，两层绝缘介质模型中镜像电荷有无穷多个。要建立边界电场公式，首先需要推导镜像电荷与场源电荷之间的电荷量以及位置关系。界面A和界面B分别要满足的边界条件表示为
图4 两层介质模型的xOz截面示意图
Fig.4 xOz cross-section diagram of the two-layer medium model
（1）
式中，j1和j2分别为介质1和介质2中的电势；e0为真空介电常数；e1和e2分别为介质1和介质2的相对介电常数；q0为场源电荷的电荷量；x0、y0和z0为场源电荷的三维坐标；δ(·)为冲激函数。
场源电荷位于介质1中，拟求解的电场位于介质2中。由式（1）可得求解介质2中电场所需的镜像电荷，表达式为
（2）
（3）
式中，q为原电荷的电荷量；
和
为关于界面A的镜像电荷的电荷量；
为关于界面B的镜像电荷的电荷量；
和
为系数，用于简化式表达并便于对后续无限多次镜像过程进行描述。由于关于各个界面镜像得到的镜像电荷只能满足各自界面的边界条件，因此为同时满足界面A和界面B的边界条件，需要进行无限多次镜像，得到更多的镜像电荷。作者前期研究结果表明，采用5次镜像法与有限元法计算介质2中的边界电场时，差异只有0.01%[23]。因此，本文使用5次镜像电荷。用于计算介质2中电场所设置的各电荷位置与电荷量见表1和图5，其中a为界面A和界面B之间的距离。图5中，黑色虚线表示关于界面A的镜像，按式（2）计算镜像电荷量；绿色虚线表示关于界面B的镜像，按式（3）计算镜像电荷量。
表1 各电荷的电荷量和电荷位置
Tab.1 The amount and position of each charge
原电荷/镜像电荷电荷量电荷的z轴坐标整数n的取值 qq0z0— k2q0z0— 2na+z01, 2 2na+z01, 2 1, 2 0, 1, 2
图5 镜像电荷位置示意图
Fig.5 Image charge positions diagram
利用匹配点处的电场强度反演场源电荷的位置，需要多个位置上的电场强度数值作为匹配量。依据叠加原理，代入表1中各电荷量及其位置，可得到各匹配点处的电场强度Ezi表达式为
（4）
式中，i为各匹配点的序号；xi和yi分别为第i个匹配点的x轴和y轴坐标。
一般情况下，匹配点越多，反演结果越准确。本文中，将匹配点选择在接地电极表面xOy平面上，即第i个匹配点的位置坐标表示为(xi, yi, 0)。将匹配点选择在接地电极表面的优点是此处电场仅有垂直于界面的分量Ez，便于构建计算模型。
已知场源电荷位置(x0, y0, z0)和场源电荷量q0求解边界电场强度Ezi是静电场正问题。反过来，已知边界电场强度求解场源电荷是静电场逆问题。场源电荷的位置坐标难以通过式（4）的逆运算来求解，因此，本节将此逆问题转换成空间搜索寻优问题进行求解。
当正问题包含复杂运算时，对应的逆问题通常被转换为寻优问题。在场源电荷可能存在的空间里搜索场源电荷的最优解，使得匹配点处电场强度正向计算结果符合实际测量结果。
由文献[17-19]可知，匹配点的电场强度难以直接测量，而间接测量结果中存在随机误差和系统性偏差。因此，本文采取电场强度比值作为匹配点的特征量，以尽量消除系统性偏差，即将匹配量由电场强度数值转换成电场强度比值，有
（5）
式中，Mi(x, y, z)为场源电荷位于(x, y, z)时利用式（4）得到的Ez(i+1)和Ezi的比值。令
（6）
式中，Mi(x0, y0, z0)为场源电荷位于(x0, y0, z0)时的电场强度比值，即实测的电场强度比值。则最优问题可描述为
（7）
式中，Ω为场源电荷可能存在的三维空间。该优化问题就是寻找场源电荷位置最优解，使得由正向计算模型算出的匹配点的匹配量与实测匹配量之间的误差最小。
逆问题一般不适定，较小的测量误差就可能导致问题无解或者多解。该特性与目标函数密切相关。式（7）中目标函数是求最小值的函数，函数在最小值附近的单调性与斜率对计算结果的精度和求解算法的选择至关重要。为了清晰地观察目标函数在最小值附近的特性，假设场源电荷位置为(1 mm, 1 mm, 5 mm)、电荷量为1 nC，匹配点的位置坐标按表2设置，绘制目标函数的函数图像，并对其特性进行分析。首先，将(x0, y0, z0)=(1, 1, 5)、q0 =1 nC 代入式（4）和式（5），求得Mi(x0, y0, z0)。然后，应用Matlab中meshgrid函数在求解域范围Ω内生成三维网格矩阵，将网格矩阵中每个位置的三维坐标代入式（4）和式（5），求得Mi(x, y, z)。最后，将Mi(x, y, z)和Mi(x0, y0, z0)代入式（6）和式（7）求得目标函数值F(x, y, z)。以颜色表示目标函数F(·)的值，分别在x=1 mm、y=1 mm、z=5 mm三个截面上显示F(·)的大小，如图6所示。
表2 仿真分析中匹配点的位置坐标
Tab.2 The position coordinates of the matching points
序号(x, y, z)/mm序号(x, y, z)/mm 1(-9, 9, 0)5(3, -9, 0) 2(-3, 6, 0)6(9, -3, 0) 3(-9, -3, 0)7(0, 0, 0) 4(-3, -6, 0)8(6, 6, 0)
综合对比图6的截面图像可以看出，在(1 mm, 1 mm, 5 mm)附近区域内，仅有一个极小值，其临近区域存在非常显著的斜率。但是该极小值的临近区域沿z轴方向变化不明显。这是由于匹配点分布在xOy平面，在z方向上缺乏匹配点。目标函数在最优值附近具备单一极值，且在搜索域范围内不存在明显的局部最优解，易于寻优。
图6 场源电荷位于(1 mm, 1 mm, 5 mm)时的目标函数图像
Fig.6 Objective function image with the field source charge at (1 mm, 1 mm, 5 mm)
该目标函数在搜索域范围内仅有单一极值，不存在明显的局部最优解，对于空间搜索算法跳出局部最优解能力的要求不高，但是对于逆问题求解的精度要求较高。在实验室局部放电研究中，纸板中电树枝的半径一般为几十微米，长度约为几厘米甚至几分米；交联聚乙烯、环氧树脂和硅橡胶中电树枝的半径一般为几微米，长度约为几毫米。因此，需要搜索算法精度达到微米级；而且计算速度快，便于在短时间内完成上千次的重复计算。
一些基于随机搜索的优化算法，如蚁群算法、模拟退火算法、差分进化算法、PSO算法等被大量用于解决寻源逆问题[24-26]。通过合理的参数设置，PSO算法可达到较高的计算精度，并且计算结果的稳定性也较高[24]，同时还具有收敛快的特点。因此，本文选择PSO算法求取最优解。
在使用PSO算法求解过程中，通过大量对比计算，最终确定种群数为500，最大迭代次数N= 600。优化问题的待求解变量是一个三维变量(x0, y0, z0)，因此粒子维度为3。PSO算法中学习因子C1、C2设置为1.5，惯性权重w按照式（8）设置。
（8）
式中，j为当前迭代次数。
本节通过仿真数据分析优化算法本身的准确度，以及算法对已知信息中随机噪声的忍受程度，进而论证利用优化算法定位场源电荷的可行性和准确度。
参照2.2节中的方法，首先设定场源电荷位置(x0, y0, z0)，利用式（4）求出各匹配点的电场强度，作为测量结果代入式（7）中；然后利用PSO算法求解式（7），得到场源电荷位置最优解(x*, y*, z*)，(x*, y*, z*)与(x0, y0, z0)的差异即为算法的误差。以场源电荷位于(1 mm, 1 mm, 5 mm)处为例，利用PSO算法进行100次逆问题求解，统计分析误差大小。分别统计这100次定位结果在x、y、z三个方向的单维定位误差及三维总体定位误差Dr，误差的平均值和方均根见表3。总体定位误差Dr定义为场源电荷位置最优解与场源电荷真实位置之间的距离，表达式为
（9）
表3 PSO算法误差的平均值和方均根
Tab.3 The mean and root mean square of the PSOalgorithm error
误差平均值/nm误差方均根/nm x轴方向-0.04 1.24 y轴方向-0.03 0.50 z轴方向-0.07 0.40 Dr0.091.39
由表3可知，各个方向的定位误差均比较小，基本在1 nm以内。其中z轴方向的定位误差略大，这与匹配点在xOy平面内呈二维分布有关。多次改变场源电荷位置重复上述分析所得结论一致。可见PSO算法计算结果精度非常高，满足研究绝缘材料中电树枝的需要。综上所述，基于PSO算法的逆问题求解方法准确度较高，也同时验证了该方法中所涉及的两层介质简化模型和5次镜像具有足够高的准确度。
匹配点电场测量系统存在系统性偏差和随机白噪声两种测量误差。系统性偏差一方面可通过校准试验来修正[19]，另一方面可通过式（5）中的除法运算加以消除。本节分析随机白噪声带来的定位误差。
根据作者前期研究[17]，局部放电试验中信号采集电路背景噪声为1～2 mV，信号幅值为10～100 mV。因此，在算法的抗噪声能力分析中，通过向信号真值添加1%～10%白噪声的方法进行仿真。假设场源电荷位置为(1 mm, 1 mm, 5 mm)、电荷量为1 nC，利用式（4）计算出边界电场值Ezi，并添加10组噪声（噪声幅值从1%逐步升高到10%，每组噪声水平包含100个随机数）。含噪声数据的产生过程为
（10）
式中，randi(0, 1)为第i个匹配点对应的随机数函数，该函数生成均匀分布于[0, 1]区间的100个随机数bi；
为模拟实验测量中的第s组背景噪声。各个匹配点的随机数序列不相关。
将添加了白噪声Des的数据
代入式（7）进行逆问题求解，得到场源电荷位置最优解。统计最优解与真实值之间误差的平均值和方均根，如图7和图8所示。随着噪声增大，定位误差呈线性增大趋势。其中z轴方向的误差最大，y轴方向次之，x轴方向最小。当噪声小于3%时，各方向误差均小于0.05 mm。即使噪声达到10%，总体定位误差平均值仅约0.2 mm。
图7 不同噪声水平下场源电荷定位误差平均值
Fig.7 Average value of source charge location error at different noise levels
图8 不同噪声水平下场源电荷定位误差的方均根
Fig.8 Root-mean-square value of source charge location error at different noise levels
本节利用针-板电晕放电验证所提场源电荷定位算法，并利用光栅尺测算定位方法的总体准确度。针-板气隙电晕放电具有放电电荷位置易于确定的优点。
4.1.1 电场强度测量方法
本文开发了二维准分布式电场测量系统，用于间接测量xOy平面内多个匹配点位上的电场强度。电场强度间接测量原理如图9所示。
图9 电场强度间接测量原理
Fig.9 The principle of indirect measurement of electric field intensity
测量电极是尺寸较小的圆形铜膜，分布在PCB中接地铜膜上方0.55 mm处的xOy平面上，位于匹配点的正上方。则第i个MED的x轴和y轴坐标与第i个匹配点一致，z轴坐标为0.55 mm。匹配点处边界电场Ez的测量原理是通过测量MED对地电压Um算出MED与地电极之间的平均电场强度Eav，再用Eav来近似Ez，即
（11）
式中，k1为比例系数；H为MED与地电极表面的距离。文献[17,19]论述了Eav与Ez之间的误差及其标定方法。在实际MED电压测量系统中，MED圆盘并联了贴片电容Cm。电容Cm的作用是大幅降低MED电压Um，使其降低到信号采集电路的量程范围内[19]。
从电路角度理解，Um是MED和场源电荷之间杂散电容Cx与MED和地电极之间电容Cp及Cm对于电压源Ux的分压结果。恰当地选取MED与地电极表面的距离H、MED的直径D、MED之间的间距S，可以使k1Eav与Ez的差异最小。当D=1.5 mm、S=4 mm、H=0.154 mm时最优，系统性误差和随机误差均小于3%，理论上可使放电点定位误差小于0.01 mm[18-19]。
MED的加入改变了其自身周边的局部电场分布，根据式（11）计算得到的Ez与真实值之间存在差异，由比例系数k1体现。由于Ez的真实值难以直接测量，k1的数值只能依靠理论分析与实测结果对比获取，难以完全修正该误差。因此，式（5）采取电场强度比值作为匹配点的特征量，等效为采用测量电极电压比值作为匹配点的特征量，消去了场源电荷q0、k1和H等公共变量，即
（12）
式中，Umi为第i个MED的电压。
4.1.2 场源电荷产生及定位方法
场源电荷由空气间隙针-板电极结构中的针电极电晕产生，试验平台如图3所示。高压针电极处于空气中，距离石英玻璃2 mm，便于产生较大的放电脉冲，以提高信号的信噪比。经测试，当针电极上的电压为6 kV时，每个工频周期内放电次数较少，便于信号采集电路区分各放电脉冲，此时放电量为1 500～1 800 pC。放电时，流注从针尖出发，穿过空气隙，到达石英玻璃。放电过程结束后，电荷滞留在石英玻璃表面，成为场源电荷。
场源电荷在xOy平面上的坐标与针尖一致，z轴坐标与石英玻璃上表面一致（z=4.1 mm）。高压针电极固定在可移动支架上，该支架能够带动针电极同时在x轴和y轴方向移动。支架上安装了双轴数显光栅尺，其测量精度为0.001 mm，能够准确地测量针电极的移动距离。针电极悬在空中，难以准确测量针尖与各MED之间的位置距离。而通过逆问题求解得到的场源电荷的坐标以MED的坐标为参照。因此，针电极坐标系与电荷计算坐标系是两个坐标系，不能直接对比针尖坐标和场源电荷坐标计算值。本试验中多次移动针尖位置，通过对比场源电荷移动距离计算值与光栅尺测到的针尖移动距离（即电荷实际移动距离），来分析场源电荷定位算法的精度。
针电极每次移动距离在1～3 mm，并保持仅沿x轴或仅沿y轴方向移动。针尖停留位置共9个，MED阵列依照文献[19]中的最优参数阵列设计，即D=1.5 mm、S=4 mm、H=0.154 mm。经测试，在1 500～1 800 pC放电量下可采集到放电脉冲的MED数量为20～26个。为方便逆问题计算，统一取用20个MED上的信号。针尖位置及其与MED相对位置示意图如图10所示。其中各MED的x轴和y轴坐标的精度由PCB制板精度决定，分辨率达0.025 4 mm。
图10 场源电荷及MED位置示意图
Fig.10 Schematic diagram of field source charge and MED locations
4.2.1 试验过程
试验装置主要部分如图11所示。无电晕工频试验变压器为针电极提供高电压。信号采集电路放置在接地电极下部金属屏蔽壳内，完成20路MED电压信号的同步测量。同时利用局部放电检测仪监测局部放电情况。试验开始前，首先将针电极固定到距离石英玻璃板表面上方2 mm处，水平移动针尖至测量电极PCB中心，随后将光栅尺置零。然后开始升压，至局部放电仪有明显局部放电信号时维持电压（约为6 kV），开始采集数据。数据采集完毕后停止加压，水平移动针电极位置，再次升压并进行数据采集。如此重复8次。最后，将针电极更换为圆盘电极，且使圆盘电极表面紧贴石英玻璃板，标定并修正各MED测量通道的差异，以减小测量误差。
图11 试验装置主要部分
Fig.11 Main part of test apparatus
典型的MED电压信号波形如图12所示。未发生放电时，MED上仅有工频电压。放电时，电荷以极短的时间从针尖到达玻璃板表面，MED的电压信号出现突变，该突变量对应于玻璃板上电荷的电场。此后，玻璃板上的电荷逐渐消散，电容Cm和Cp上的电荷也通过信号采集电路的输入阻抗泄放，使得MED上的电压按指数规律逐渐衰减，恢复到原来的工频电压。这个叠加在工频信号上的突变信号的最大值就是Umi。通过数字信号滤波和曲线拟合等措施准确提取Umi，并代入式（12）、式（6）和式（7），反演放电点位置。为提升信噪比并压缩针尖流注发展方向的随机性导致的玻璃板上电荷位置的随机性噪声，在每个针尖位置，选取多个工频周期中较大的放电脉冲（如图12所示的最大正脉冲，其同步测量的放电量在1 500～1 800 pC之间）进行定位，并计算10个脉冲定位结果的平均值作为最终的场源电荷位置。
图12 某个MED的电压信号波形
Fig.12 Voltage signal waveforms of one MED
4.2.2 结果分析
光栅尺记录的针尖移动距离L与通过定位算法得到的场源电荷移动距离L′的对比情况见表4。由表4可知，场源电荷移动距离计算值与光栅尺测量的实际移动距离之间的差距最小为0.020 mm，最大为0.493 mm，8次移动三维空间距离计算误差的平均值约为0.19 mm。若只关注xOy平面上的定位误差，则从表4中的数据可知，定位计算得到的电荷移动距离与电荷实际移动距离之间的误差平均值约为0.168 mm，误差的标准差约为0.143 mm。相比于xOy平面，定位误差在z轴方向较大。8次移动距离在z轴方向的误差平均值为0.492 mm，误差的标准差为0.401 mm。
表4 电荷坐标定位误差试验结果
Tab.4 Experimental results of discharge positioning error （单位：mm）
移动次数光栅尺测量坐标（光栅尺坐标系）距离测量值L定位系统计算坐标（测量电极坐标系）距离计算值L′距离误差|L-L′| 0(0, 0, 4.1)—(-0.272, 0.156, 4.044)—— 1(1.520, 0, 4.1)1.520(1.178, 0.196, 4.563)1.5400.020 2(1.520, -1.500, 4.1)1.500(1.289, -1.463, 5.032)1.7230.228 3(-1.447, -1.500, 4.1)2.967(-2.003, -1.390, 5.352)3.3080.341 4(-1.447, 1.573, 4.1)3.073(-1.604, 2.056, 4.524)3.5660.493 5(2.663, 1.573, 4.1)4.110(2.441, 2.252, 3.476)4.1830.073 6(2.663, -2.600, 4.1)4.173(2.394, -1.905, 4.200)4.2190.046 7(-2.413, -2.600, 4.1)5.076(-2.734, -1.909, 4.569)5.1410.065 8(-2.413, 2.454, 4.1)5.054(-2.703, 2.880, 4.207)4.8030.251
MED的坐标系（即电荷计算位置的坐标系）与针尖位置坐标系（即电荷实际位置的坐标系）之间存在一定程度的平移和旋转，但选择电荷的移动距离进行误差分析时不受上述因素影响。针尖/电荷实际位置与电荷计算位置对应关系如图13所示。从图13可知，由场源电荷移动轨迹构成的图形的相似度很高，表明利用该方法重构的电树枝图像与实际图像的相似度很高。
图13 场源电荷实际位置与计算结果对比
Fig.13 Comparison between the actual position of field source charge and the calculated results
综上所述，当高压电极尖端距离场源电荷2 mm时，应用本文二维测量系统和PSO算法定位局部放电点在z轴方向上的平均误差小于0.5 mm；三维距离误差平均值约为0.19 mm。这样的准确度足以研究图1所示尺度可达几厘米的浸油纸板电树枝。
在前期研究中，作者采用沿x轴排成一列的6个MED（即一维阵列）进行边界电场测量并确定放电点位置，在x轴上的精度达到0.25 mm，而在垂直于MED方向上的精度仅达到1 mm，并且没有开展放电点坐标定位误差的验证试验[18]。在本文研究中，采用了分布在xOy二维平面上的20个MED进行边界电场测量并确定放电点位置，同时采用光栅尺精确测量了定位误差。由于MED在x轴和y轴方向均有分布，使得垂直方向定位误差显著减小，三维空间中总定位误差距离最小可达0.020 mm。进一步地，若MED分布在三维空间，即MED位于不同的z轴坐标上，则定位误差在z轴方向也会减小，从而进一步减小总误差。
由于在介质空间中加入了金属膜式测量电极，而金属膜显著地改变了附近空间电场分布，因此利用式（11）中平均电场近似边界电场时会带来误差。由于难以直接测量边界电场，不能直接测量误差大小，本文通过仿真计算研究了MED参数不同取值带来的误差大小，发现引入MED金属膜会带来系统性偏差，且与真值近似呈比例关系[19]。因此，可以通过标定试验来修正该系统性偏差。本文试验中包含了标定试验，已经对系统性偏差进行了校正。后续需要进一步讨论MED数量和尺寸与定位误差的关系，进一步优化MED设计，减小误差。
目标函数的特征与其构成密切相关。除了采用匹配点电场之比（式（5））构造目标函数F(x, y, z)之外，还可以直接采用匹配点电场强度（式（4））构造目标函数G(x, y, z)，表达式为
（13）
通过仿真计算对比了F(x, y, z)和G(x, y, z)两个目标函数的抗噪声能力，结果表明G(x, y, z)在白噪声中具有更高的定位精度，当MED电压信号Umi受到的扰动达到10%时，场源电荷总体定位误差小于0.05 mm，但是受比例系数k1带来的系统性偏差的影响较大。
此外，在F(x, y, z)和G(x, y, z)两个目标函数中，涉及的MED的数量和位置也会改变函数在最优解临近区域的形状和斜率，需要进一步深入研究。
图3、图4和公式（4）均忽略了高压针电极的影响。若要考虑针电极的影响，则需要加入场源电荷关于针电极的镜像电荷，计算公式将变得异常复杂。本文试验中，高压电极尖端距离场源电荷2 mm，并且选用了放电量在1 500～1 800 pC之间的放电脉冲进行定位。在实际绝缘材料局部放电试验中，如果检测到大脉冲，表明遗留电荷与电极或者电树枝之间的距离也较大，从而针电极或电树枝对定位结果的影响也较小。
仿真结果表明，引入针电极后，场源电荷的边界电场的z轴分量会受很大影响，各MED电压将产生4%～25%的系统性偏差。由于采用电场强度比值作为匹配参数，可以消去一部分系统性偏差。后续应增加对针电极镜像电荷的建模，以提高放电点定位精度。
本文所提出的定位算法可以拓展到绝缘材料局部放电试验中，用来确定绝缘材料内部各放电脉冲的具体位置。例如，对于如图14所示的浸油纸板针-板电极结构局部放电试验，同样可以将介质等效为两层：变压器油的相对介电常数与其他三种介质相差较大，单独作为一层，对应图4中的介质1，相对介电常数为2.2；介质2包括纸板、石英玻璃、PCB，相对介电常数为4.4，厚度为7.1 mm。场源电荷位于介质2内，需要求解的边界电场也在介质2内，根据镜像法原理列写类似式（4）的边界电场强度计算公式，后续定位算法与本文电晕电荷定位算法一致。
图14 油纸绝缘局部放电试验平台xOz截面示意图
Fig.14 Schematic diagram of the xOz section of the oil-immersed pressboard partial discharge test platform
本文通过精确定位放电遗留电荷位置反映电树枝生长过程，为实验室局部放电试验中实时监测绝缘材料内电树枝的生长过程提供了一种新手段，有助于揭示绝缘材料中电树枝的生长机理，进而帮助诊断电力设备局部放电缺陷的严重程度。为了利用放电遗留电荷的电场反演放电点位置，本文采用分布于二维平面上的测量电极的电压信号比值作为匹配点的特征量，构建了用于求解放电点位置的优化问题，分析了目标函数特性及其抗白噪声能力，并通过放电试验确定了整个测量系统求解场源电荷位置的准确度。具体结论如下：
1）利用二维平面上的测量电极电压信号比值作为匹配点的特征量构造的优化问题目标函数在搜索范围内仅有单一极值，不存在明显的局部最优解；粒子群优化算法即可实现场源电荷的准确定位，算法本身的单次计算误差约为1 nm。
2）随着测量信号中白噪声的增大，场源电荷定位误差整体呈线性上升趋势。当噪声小于3%时，各方向定位误差小于0.05 mm；即使噪声达到10%，总体定位误差平均值也仅约为0.2 mm。
3）通过实验室放电试验并利用光栅尺测量放电源移动距离，在高压电极尖端距离绝缘材料表面2 mm、放电量为1 500～1 800 pC时，本文建立的场源电荷定位方法在xOy平面的定位误差平均值约为0.168 mm，误差标准差约为0.143 mm；在z轴方向上定位平均误差小于0.5 mm，误差标准差为0.401 mm；在三维空间定位误差平均值约为0.19 mm。
未来可以从多层介质建模、优化测量电极阵列和标定方法、优化目标函数以及考虑针电极的影响效果等角度进一步提高场源电荷的定位精度。目前已有利用物理信息神经网络代替有限元方法求解物理场的研究，可以尝试利用训练好的物理信息神经网络代替公式（4）来构建复杂的静电场逆问题模型，从而进一步提高电荷定位精度。
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Abstract Solid insulating materials (such as oil impregnated paperboard, cross-linked polyethylene, silicone rubber) are prone to produce partial discharge (PD) under strong electric field for a long time, forming electrical trees and eventually causing electrical breakdown. The study of the growth pattern of electrical tree is crucial for improving the PD resistance of materials, quantifying the severity of defects and predicting the insulation life. However, the existing PD monitoring techniques can only qualitatively determine the presence of defects, but cannot measure the size of electrical tree or predict the service lifetime, resulting in frequent insulation failures; laboratory studies are also limited by the lack of methods to locate the discharge points. To solve this problem, the authors previously proposed a method based on the boundary electric field inversion of the discharge point location, using a one-dimensional electrode array to locate the carbonization trace of paperboard, with an accuracy of 0.35 mm, but the positioning dimension is limited (two-dimensional) and the vertical error is as high as 1 mm. This study proposes a two-dimensional planar boundary electric field measurement system on the basis of the existing technique based on the boundary electric field inversion of the field source charge, and investigates the accuracy of this method for locating the charge points.
Firstly, a simplified electrostatic field calculation model was constructed for the multi-layer dielectric scene in partial discharge experiment, and the forward calculation of electrostatic field was realized. Secondly, a spatial searching problem was constructed to invert the position of the partial discharge legacy charge using the matched-point electric field ratio measurements and the forward computational model. Thirdly, the characteristics of the objective function of the optimization problem were analyzed, as well as the accuracy and the ability of the particle swarm algorithm withstand random noise. Besides, the electric field measurement system of matching points distributed on the two-dimensional plane was constructed, and the discharge point location method was established combined with particle swarm optimization algorithm. Finally, the accuracy of this method for field source charge location was determined through high voltage corona discharge experiment and grating ruler.
In summary, the following conclusions are drawn: (1) The objective function of the optimization problem constructed by using the ratio of the voltage signals of the measuring electrodes on the two-dimensional plane as the characteristic quantity of the matching point has only a single extreme value within the search range, and there is no obvious local optimal solution; the particle swarm search algorithm can achieve the accurate localization of the field source charge, and the algorithm itself has an error of approximately 1 nm. (2) With the increase of white noise in the measuring signals, the overall error of the field source charge localization is linearly rising. When the noise is less than 3%, the positioning error in each direction is less than 0.05 mm; even if the noise reaches 10%, the overall positioning error average is only 0.2 mm. (3) Through the laboratory discharge experiments and the use of a scale to measure the moving distance of the discharge source, when the tip of the high-voltage electrode is 2 mm away from the surface of the insulating material, and the discharge amount of 1 500～1 800 pC, the average positioning error of the field source charge positioning method is about 0.168 mm in the xOy plane, less than 0.5 mm in z-axis direction is, and about 0.19 mm in three-dimensional space.
keywords：Electrostatic field inverse problems, partial discharge, location, particle swarm optimization algorithm
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.250987
中图分类号：TM855；TM21
国家自然科学基金资助项目（51977076）。
收稿日期 2025-06-06
改稿日期 2025-07-01
赵 丽 女，1995年生，博士研究生，研究方向为绝缘材料局部放电缺陷检测与诊断。E-mail：zhaoli2023@ncepu.edu.cn
程养春 男，1974年生，教授，博士生导师，研究方向为电力设备在线监测、故障诊断与状态评估等。E-mail：chych@ncepu.edu.cn（通信作者）
（编辑 李 冰）