（1）
摘要 边界元法中近奇异积分的处理一直是影响其计算精度的关键因素，尤其在薄型结构分析和复杂几何问题中表现尤为突出。近奇异积分由于其数学特性和数值计算的复杂性，处理难度往往高于奇异积分。在电场计算的间接曲面边界元法中，该文提出一种通用的近奇异积分数值计算方法。该方法通过将场点在积分单元上的投影点作为细分依据，在参数域内对单元进行自适应细分。该方法适用于任意场点位置下的平面单元和曲面单元。在多种单元类型和整体算例模型中计算验证，结果表明该方法相较于传统的高斯积分法显著提高了计算精度。通过对近奇异积分的精确处理，该方法有效提升了边界元法在实际工程问题分析中的计算精度，有利于边界元法在更广泛领域的应用。
关键词：边界元法 近奇异积分 单元细分 曲面单元 电场计算
边界元法是一种以边界积分方程为数学基础的数值计算方法，其发展受到有限元法思想的启发[1]。在长期的发展过程中，边界元法在与其他数值方法的相互竞争与融合中不断完善，并逐渐展现出其独特的优势。与有限元法等其他数值计算方法相比，边界元法具有高精度、降低问题维度以及易于处理无限域问题等优势。然而，在有限元法已经广泛应用的今天，边界元法若想要获得更广泛的认可与发展，就必须充分发挥其高精度，高效率的特点，并在一些特定领域内凸显其独特优势[1]。因此，边界元法的研究致力于通过进一步优化算法，提高计算精度与效率，从而在更多复杂工程问题中发挥重要作用，为现代工程分析提供更高效、更精准的解决方案。
在电力系统电场分析中，针对常见的曲面类型，基于坐标变换的曲面边界元法在规则曲面坐标系下对单元进行积分计算，消除了网格模型与实际模型之间的误差，与平面单元的边界元法相比，可以使用更少的单元划分数量实现更高的计算精度[2-3]。在采用间接边界元法进行计算时，经常遇到一种特殊情况：当场点位于积分单元内部或极为接近积分单元时，被积函数会出现剧烈变化。这种现象使传统的数值积分技术难以提供准确的结果，从而引发了所谓的奇异或近奇异积分问题[4-6]。在分析存在薄型结构或复杂边界的模型时，近奇异积分问题尤为突出。由于近场区域的电荷分布对电场的贡献较大，因此近奇异积分的精确计算对于整个分析过程至关重要。如果近奇异积分处理不当，将直接影响电场计算结果的准确性，进而影响整个分析的可靠性。因此，开发能够有效处理近奇异积分的数值方法，对于提高边界元法的精度和可靠性具有重要意义。
目前，针对近奇异积分问题的研究主要可以归纳为三类方法：
（1）解析或半解析法：通过数学推导，直接消除或部分消除被积函数的奇异性[7–9]。此类方法能够实现很高的计算精度，但通常依赖特定问题下的数学处理，适用范围受限。
（2）非线性变换法：采用非线性变量变换，将被积函数的奇异性消除或减弱。这类方法可以看作是将积分点向奇异区域聚集，从而在相同积分点数量的情况下提高积分精度[10-12]。然而，这种方法要求能够精确计算出投影点位置，并且其精度可能会受到单元形状以及投影点相对积分单元位置的 影响。
（3）单元细分法：通过细分积分单元，减弱了子单元上的奇异性。将所有子单元的积分结果相加，以得到高精度的整体积分结果。此类方法易于实现，且具有较强的通用性，适用于各种类型的问题[13-16]。然而，如果细分方法设计不合理，当场点过于靠近单元时，为保证积分精度，可能需要大量细分单元，从而导致计算效率大幅下降。
本文提出一种改进的单元细分法，通过场点在积分单元上的投影点对单元进行细分，形成近密远疏的子单元分布。该方法在确保计算精度的同时兼顾了计算效率。在参数域内对积分单元进行自适应细分，不仅适用于常规的三角形或四边形平面单元，同样适用于基于坐标变换的曲面边界元法的各类规则曲面单元。通过算例验证，该方法展示出较传统单元细分法更合理的子单元分布和更高的计算 精度。
在三维静电场分析中，间接边界元法的边界积分方程为
（1）
式中，
为电位；
为边界面电荷密度；
为真空介电常数；
为场点与源点之间的距离；
和
分别为场点及源点位置。间接边界积分方程中对源点进行积分。设
为求解变量，记为
。由于导体表面电场强度只有法向分量，根据分界面衔接条件，的绝对值等于导体表面电场强度的幅值[17]。采用伽辽金法对边界积分方程进行离散，离散后的边界元方程为
（2）
式中，
既是基函数，也是权函数；
与
分别为源点编号与场点编号；
为节点数量；
与
分别为场区与源区。将整个边界的积分用单元积分之和表示为
（3）
式中，
与
分别为场单元编号与源单元编号；
为单元数量。调整积分和叠加运算的顺序，最终将方程组改写为矩阵形式，即
（4）
每个单元（,）上需要进行计算的积分如下。
（5）
由于第二项被积函数中包含场源距离，当场点落在积分单元上或极为靠近积分单元时，会出现奇异或近奇异积分问题。
在基于坐标变换的曲面边界元法中，规则曲面上的单元与二维空间下的平面单元相对应[2]。通过相应的坐标变换g，曲面单元上的线性插值、积分和表面法向量计算可以等效为二维平面单元的相应操作，如图1所示。单元上需要计算的积分如下。
（6）
式中，
与
分别为场区、源区坐标变换的雅可比行列式；
与
分别为坐标变换后的场区单元和源区单元。同样，在曲面边界元中，当场点过于靠近积分单元时，单元积分也会出现近奇异性。
图1 曲面边界元原理
Fig.1 Principle of curved boundary element method
针对曲面边界元中出现的近奇异积分，本文通过采用基于投影点的单元细分法加以计算，整体算法流程如图2所示。
图2 算法流程
Fig.2 Flow chart of algorithm
在寻找单元内距场点最近点的实现上，本文采用了一种两步策略。首先，确定场点在单元所在曲面上的投影点；随后，在该曲面的二维空间内，进一步寻找投影点到单元上的最近点。在基于坐标变换的曲面边界元法中，可以通过相应的坐标变换，将单元上的高斯积分等效在实际曲面单元上进行。该方法适用于电力系统中几种常见的曲面，包括球面、圆柱面、圆环面及圆台面。而在投影点的寻找中，同样可以利用坐标变换来准确找到其位置。以球面单元为例，以模型球心为原点建立球坐标系，通过式（7）的球坐标变换，将场点的直角坐标 
转换为球坐标 
。
（7）
场点在球面上的投影点
为场点沿半径方向移动时在球面上的接触点。那么，投影点的球面坐标为 
，即保持两个角度坐标不变，将更换为单元所在球面半径
。
在二维空间内寻找单元上的最近点时，根据投影点曲面坐标的位置，可以分为两种情况：①当投影点落在积分单元内时，该投影点即为场点到单元的最近点；②当投影点落在单元以外时，场点到积分单元上的最近点可以通过二维空间内距投影点最近的点
来近似代替。整个的寻找思路流程如图3所示，这种方法不仅简洁明了，而且能够充分利用曲面的几何特性，避免复杂的几何运算，显著提高了计算效率。
图3 曲面单元上投影点的确定
Fig.3 The search for projection point on a curved element
考虑到细分方法的通用性、实现难度以及计算复杂度，本文采用了在参数域内对单元进行自适应细分的策略。具体而言，细分方法通过缩放单元的形式实现。缩放框尽可能以最近点为中心构建，保持与单元边界平行。这种设计不仅有利于提高积分精度，还能有效简化计算过程。在细分过程中，外部空间通过平行延伸或连接缩放框与外部节点进行细分，而框内空间则通过最近点进行细分，如图4所示。由于细分操作是在参数域内完成的，因此该方法具有很强的通用性，能够适用于各类单元，无论是平面单元还是基于坐标变换的曲面单元。
图4 基于投影点的单元细分
Fig.4 Element subdivision based on projection points
为了确保对于任意场点位置下的单元积分都能达到一定的精度要求，本文采用自适应的单元细分方法来保证细分结果的收敛性。具体来说，该方法通过比较连续两次细分后的积分结果的相对差值来判断是否需要继续进行细分。如果前一次细分结果与本次细分结果的相对差值低于设定的允许值，那么就认为细分次数已经足够，可以停止进一步的细分。
为了保证计算效率，边界元细分的曲面单元通常在不同方向上尺度变化较大，呈细长状，例如在换流阀屏蔽罩上的圆柱面网格划分如图5所示。这种情况下，简单的同比缩放细分规则可能会产生质量较差的子单元，导致计算精度下降。因此需要对曲面单元进行特殊细分处理。根据曲面单元在两个参数方向上的实际三维坐标长度进行细分。以较长边长度的一半作为细分标准，尽量使子单元在各个方向上的尺度趋于平衡，从而提高单元积分的计算精度。
图5 换流阀屏蔽罩的网格划分
Fig.5 The mesh of converter valve shields
图6 不同方法细分的曲面子单元
Fig.6 Curved subelements subdivided by different methods
首先在平面三角形单元上进行验证，其三个节点的坐标分别为 (0, 0, 0) m、(1, 0, 0) m和 (0, 1, 0) m。场点位于第一个节点的正上方，且与该节点的距离为d。由于积分的奇异性主要源于1/R项，而积分精度也主要受其影响，因此暂且忽略形状函数等因素对积分精度的影响，在此单元上计算
。
为了评估不同方法的准确性，以大量细分单元直至收敛所得到的累加值作为基准值，计算并对比不同方法的相对误差，见表1。
表1 平面三角形单元上近奇异积分的相对误差
Tab.1 The relative error of nearly-singular integral on a planar triangular element （%）
场点位置d/m4点高斯积分高斯点细分投影点细分 0.01-6.81-4.23-1.57 0.02-5.76-3.26-1.59 0.05-3.08-1.20-1.56 0.1-0.140.16-1.39 0.21.650.25-1.08
在表1中，高斯点细分方法是通过连接高斯点与单元节点的方式将单元进行细分[18]，如图7所示。在此方法中，三角形单元被细分为12个子单元，而上述算例中投影点细分方法在各个距离下所划分的子单元数均小于12。从结果来看，在平面三角形单元的近奇异积分计算中，投影点细分能够通过较少的高斯点实现较高的计算精度，并在任意场点位置下将误差控制在一定范围内。
图7 高斯点细分的子单元
Fig.7 Subelements of Gaussian points subdivision method
不同场点位置下，自适应方法的收敛情况如图8所示，图中三角形标志代表自适应方法停止细分的位置。从图8中可以看出，通过对比前后两次计算结果，自适应方法可以有效确保足够的细分次数，从而保证计算结果的精度。
同样在规则划分的球面四边形单元上进行验证，四个节点的球坐标 (j, q, r)分别为 (0, p/4, 1.0 m)、(p/4, p/4, 1.0 m)、(p/4, 3p/4, 1.0 m)、(0, 3p/4, 1.0 m)。场点位于单元中心与球心的延长线上，与球心距离为r。使用不同方法分别计算该单元上的积分
，结果见表2。
图8 平面三角形单元积分的误差变化情况
Fig.8 Error variation of planar triangular element integral
表2 球面四边形单元上近奇异积分的相对误差
Tab.2 The relative error of nearly-singular integral on a spherical quadrilateral element （%）
场点与球心距离r/m4点高斯积分高斯点细分投影点细分 1.01-31.21-17.81-0.37 1.02-30.42-16.90-0.20 1.05-27.16-14.390.12 1.1-24.73-10.96-0.39 1.2-19.07-6.38-0.30
从表2中可以看出，在处理球面边界元中的近奇异积分时，传统的积分方法往往会产生较大的误差，严重影响曲面边界元法的整体计算精度。相比之下，基于投影点的单元细分法则有效地提高了近奇异积分精度，对不同场点位置下的单元积分都能将误差控制在一定范围内。单元细分的自适应收敛情况如图9所示，这种自适应策略有效地平衡了计算精度与计算效率。
图9 球面四边形单元的误差变化情况
Fig.9 Error variation of spherical quadrilateral element integral
为验证算法对整体计算精度的提升，构建了一个简单的室内圆环导体模型，室内圆环导体模型及划分网格如图10所示。该模型中，圆环的截面半径为1 m，主体半径为5 m，圆环位于室内中心位置，其圆环中心距离地面1.1 m。屏蔽室的尺寸为长20 m，宽20 m，高20 m。在网格划分方面，圆环表面采用圆环曲面单元，四周墙壁采用平面三角形单元，网格划分情况如图10所示，其中单元数2 092，节点数1 288。圆环上施加100 V电压，四周墙壁接地。
图10 室内圆环导体模型及划分网格
Fig.10 The indoor ring conductor model and meshing
采用不同方法对近奇异积分进行处理，得到的表面电场计算结果误差见表3。在研究中，以高密度网格下的有限元计算结果为参考值，通过计算最大电场强度的相对误差emax与归一化方均根误差eRMS[19]，分别对计算结果的最大电场强度误差情况和整体误差情况进行量化评估。
（8）
式中，E为计算的边界元模型节点处的电场强度；下标i为节点编号；上标b和f分别表示边界元BEM和有限元FEM的计算结果，其中有限元的结果为插值得到。
表3 室内圆环的计算情况对比
Tab.3 Comparison of calculations of indoor ring
高斯点细分投影点细分 eRMS(%)10.482.86 emax(%)57.670.97 高斯点数2.6×1072.0×107 计算时长/s7.317.48
从表3中可以看出，由于圆环距离地面较近，且附近网格尺寸存在较大差距，导致近奇异积分问题较为突出。在这种情况下，传统的高斯积分方法往往会引入较大的计算误差。而基于投影点的单元细分法在处理近奇异积分问题时展现出了显著的优势，在计算时长基本相同的情况下能够有效提升计算精度，从而显著提升曲面边界元法的整体计算性能。
高压下器件的电场分布分析是其绝缘设计与检验的重要一步[20-22]，为进一步验证基于投影点的单元细分法在实际工程问题中的应用效果，本文以实际换流阀塔的电场分析问题为例进行了研究。在实际工程问题中，模型通常较为复杂，节点数量庞大，因此需要借助多极子算法对边界元法进行加速计算[23]。多极子算法通过在多层次下进行多极展开和局部中心展开，能够快速计算远区场源之间的相互作用，而近区部分的相互作用仍通过直接积分得到[24]。因此，近奇异积分的问题依然存在。建立了±160 kV单个换流阀塔屏蔽系统的模型，其中暂时忽略了阀体内的换流模块。模型与电压分布情况如图11所示，前后屏蔽环电压相同，单位为kV。模型共包含29 424个单元，29 328个节点。在计算中，考虑了阀厅地面对电场分布的影响，采用镜像法进行处理。模型边界涉及球面、圆环面、圆柱面等多种规则曲面，为了精确高效地计算模型表面的电场分布，使用了对称多级子曲面边界元法[25-26]。计算后的屏蔽系统表面电场分布情况如图12所示。
图11 换流阀塔及电压分布情况
Fig.11 The converter valve tower and valtage distribution
在处理近奇异积分时，分别采用了高斯点细分方法和本文提出的基于投影点的单元细分方法，在个人计算机（PC）上进行了计算，得到的计算结果见表4。其中以高密度网格下的有限元计算结果为基准，有限元模型下四面体单元数量达689万，这使得无法使用个人计算机计算。因此，采用了高性能服务器进行计算，总计算时间约为11.2 min，计算占用内存为14.84 GB。
图12 屏蔽系统的电场分布计算结果
Fig.12 Calculation of the electric field distribution of shield system
表4 换流阀塔的计算情况对比
Tab.4 Comparison of calculations of converter valve
高斯点细分投影点细分 高斯点数量3.1×1083.3×108 归一化方均根误差(%)4.083.78 最大场强相对误差(%)10.341.74 计算时长/s227.8252.1 占用内存/MB291.6292.7
从表4中可以看出，当使用数量相近的高斯点进行计算时，基于投影点的单元细分法能够更精确地计算近奇异单元积分，进而提高整体电场强度的计算精度。特别是在电力系统中备受关注的电场强度最大值方面，由于其所在区域内电荷分布通常更为集中，近区电荷之间的相互作用也更加显著。基于投影点的单元细分法能够更准确地计算邻近单元之间的相互作用，从而在计算结果上展现出更高的精度。此外，在本算例中，边界元法相较于有限元法，在计算时间和计算成本方面的优势也得到了充分体现。边界元法通过减少计算域的维度，仅在边界上进行离散化处理，从而大幅降低了计算复杂度和所需的计算资源。这使得边界元法在处理复杂工程问题时，不仅能够提供更高效的计算解决方案，还能显著降低计算成本，提高工程计算的可行性和实用性。
本文针对曲面边界元法中的近奇异积分问题，提出了一种基于投影点的单元细分方法。该方法通过在参数域内以缩放的形式对单元进行细分，并依据前后两次细分计算结果的差异来自适应判断细分是否收敛。该方法具有广泛的适用性，能够有效处理包括球面、圆环面、圆柱面等常见规则曲面单元在内的复杂几何形状，并且对任意场点位置下的单元积分都能保持较高的精度。使用此方法对±160 kV换流阀塔表面电场进行了仿真计算，结果表明，与传统积分方法相比，基于投影点细分的方法在使用相同数量的高斯点时，能有效提高近奇异积分的计算精度。此外，与有限元法相比，其在计算速度和存储占用上具有明显优势。
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Abstract The boundary element method (BEM) is a numerical computation method developed from the ideas of element division and discretization of the finite element method (FEM). The BEM is challenging to handle alongside other numerical methods, so it is important to leverage its strengths in high precision and computational efficiency. The singular/nearly singular integration problem, unique to BEM, has significantly affected its accuracy. In particular, the nearly singular integrals are often more difficult to handle than singular integrals due to their mathematical properties and the complexity of numerical computation.
This paper proposes ageneralized numerical computation method for nearly singular integrals to improve the accuracy of BEM, based on the curved boundary element method (CBEM) and coordinate transformation. The method subdivides the element in a scaled form, using the field-point projections onto the integration element as the basis for subdivision. For slender elements that often appear in surface meshing, the scaling is optimized by considering the longer side's dimensions to balance sub-element dimensions in all directions, thereby improving computational accuracy. Since the subdivision process is carried out in the parameter domain, the method can be applied to all planar and curved elements. In addition, adaptive methods are used to determine the number of subdivisions, ensuring high accuracy at any field point location.
In the single-element calculation, the planar triangular element and the spherical quadrilateral element are considered. The results show that, compared with the ordinary 4-point Gaussian integration and Gaussian point subdivision methods, the proposed method achieves higher accuracy and better adaptability to different field point locations, especially on curved elements. Through iterative convergence, the new method can effectively ensure a sufficient number of subdivisions. A model of an indoor ring conductor is constructed. In the comparative analysis, the proposed method effectively improves overall field accuracy and the maximum value. Subsequently, this paper takes the electric-field analysis problem of the actual converter valve tower as an example. The calculations are accelerated using the fast multipole algorithm, and the results are obtained on anordinary PC. The results show that the method achieves higher accuracy when using a similar number of Gaussian points, especially for the maximum field strength, which is of greater concern in engineering. In addition, the advantages of BEM in terms of computational time and cost are demonstrated in this calculation example.
The element subdivision method based on projection points effectively improves the accuracy of the nearly singular integrals, thereby reducing the overall computational error of BEM. This improvement highlights the advantage of BEM, demonstrating great potential across a wide range of applications. Therefore, this method is expected to provide a more accurate and efficient solution for the computation of complex engineering problems.
keywords：Boundary element method, nearly singular integrals, element subdivision, curved element, electric field calculation
中图分类号：TM151
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.250894
收稿日期2025-05-25
改稿日期 2025-07-04
段一伟 男，1999年生，博士研究生，研究方向为电磁场数值计算。
E-mail: 18810072902@163.com（通信作者）
王泽忠 男，1960年生，教授，博士生导师，研究方向为电力系统电磁兼容和电磁场数值计算。
E-mail: wzzh@ncepu.edu.cn
（编辑 郭丽军）