图1 诊断方法示意图
Fig.1 Diagram of the diagnostic method
摘要 电阻抗成像（EIT）技术作为一种非侵入式成像方法，已成为接地网腐蚀诊断的研究重点之一，然而现有算法下的图像重构效果均不理想。为了对变电站接地网进行准确的腐蚀诊断，该文提出了一种L1-L2弹性范数算法对接地网EIT逆问题模型进行修正，以获得更接近真实值的接地网电阻率的解，进而提高腐蚀诊断的准确性。首先，介绍了EIT技术在接地网腐蚀诊断中的基本原理；其次，对L1范数、L2范数、一步牛顿法（NOSER）以及L1-L2弹性范数四种算法作用下的接地网仿真模型进行算例分析，并搭建镀锌钢模型进行实验验证；最后，引入图像相关系数和图像相对误差等评价标准对四种算法下重构的接地网图像进行评价。结果表明，该文所提算法在改善接地网EIT技术病态性与欠定性方面效果良好，与其他三种算法相比，图像相关系数平均提升了32.19%、相对误差平均降低了22.54%。该算法的提出增强了EIT技术在接地网腐蚀诊断中的应用。
关键词：电阻抗成像 接地网 腐蚀诊断 算法 弹性范数
接地网作为变电站与发电厂的重要组成部分之一，其主要作用是在设备出现故障时使电流迅速流入地下，从而防止人员触电和设备损坏[1]。由于接地网长期埋在环境复杂的土壤里，受到微生物和土壤酸碱性质的影响，其支路会出现腐蚀甚至断裂的情况。传统的检测方法是每隔一定年限进行大规模挖掘对接地网的腐蚀支路进行维修，这种方法不仅带有主观盲目性，而且速度缓慢、工作量大[2]。因此，研究一种非挖掘式的腐蚀诊断方法对经济生产有着重大意义[3]。
电阻抗成像（Electrical Impedance Tomography, EIT）技术作为一种高效的无损检测技术，最初被应用于矿产资源的勘探。因其具有非侵入、低成本、实时性等特点，已在医学领域取得了一定的成果[4-5]。随着EIT技术的不断发展，这项技术被逐渐应用到接地网腐蚀诊断中，其效率比基于电网络理论与电磁场的诊断方法有了显著提升[6-7]。由于接地网可及节点数量的限制和“软场效应”[8]，其具有欠定性、非线性、病态性等一系列问题，使得接地网重构图像空间分辨率低，可视化效果不佳。
针对存在的问题，国内外诸多学者从各个方面进行了一系列研究。2012年，重庆大学刘杰[9]设计了一套基于EIT的接地网腐蚀诊断系统，利用循环测量原理获得了更多的边界电位测量数据；2015年，重庆大学代峰[10]在刘杰的基础上引入了Tikhonov正则化算法，使得成像质量有了一定的改善；2017年，陈建伟等[11]采用了一种四电极测量法获得了更为精确的测量数据；2018年，李星等[12]提出了一种分区成像的方法来提高图像分辨率；2021年，黄明祥等[13]将电磁法与EIT相结合对接地网进行了腐蚀诊断；同年，闫孝姮等[14]提出了Tikhonov与同伦法（HT）相混合的算法，使EIT逆问题的病态性有了一定的改善。
上述学者的研究虽然在一定程度上改善了EIT技术在接地网应用中的缺陷，但是并没有从根本上解决EIT逆问题病态性与欠定性的问题，重构图像的空间分辨率仍然较低。由于重构图像的空间分辨率主要受EIT逆问题解的准确性影响，为了使解的大小更接近真实值，本文在已有的EIT技术研究的基础上[15-22]，将常在机器学习和深度学习中用以提高模型泛化能力的范数正则化方法引入接地网EIT技术中。通过将L1范数与L2范数相结合，提出了一种具有强约束能力的L1-L2弹性范数算法。利用L2范数可保持解稳定性的特点以及L1范数可确保解稀疏性的特点来解决现有研究中EIT逆问题求解值与真实值误差较大的问题，同时使用原始对偶内点法（Primal-Dual Interior-Point Method, PDIPM）快速求解接地网电阻率的分布，达到增强接地网重构图像质量、提高腐蚀诊断准确性的目的。
首先，针对已知与未知拓扑结构的接地网在最佳迭代初值的基础上，对本文所提算法以及L1范数算法、L2范数算法、一步牛顿法（Newton’s One-Step Error Reconstructor, NOSER）下的接地网进行不同腐蚀程度的图像重构；其次，搭建镀锌钢模型进行实验；最后，引入图像相关系数和图像相对误差两种评价标准，从成像质量和速度上对四种算法的优劣进行定量判断，进一步验证本文所提算法的有效性。
接地网的引脚和水平方向的导体不构成闭合回路，同时土壤电阻率与镀锌扁钢的电阻率数量级差距巨大，土壤的存在不会影响对于接地网导体的研究[23]，因此可以忽略引脚和土壤，将接地网等效为二维模型进行研究。
当接地网的支路发生腐蚀时，其电阻值将不可避免地增加，这种变化会影响整个场域的阻抗特性。通过对接地网所在区域进行全面的电阻抗成像，可以获取完整的电阻率分布图像。这种图像为接地网的状态提供了直观的视觉表示，使得腐蚀情况可以被准确地可视化诊断。该技术不仅增加了对接地网的腐蚀状况的了解，也为后续接地网的维护提供了重要的决策支持。利用EIT技术对变电站的接地网进行腐蚀诊断的示意图如图1所示。
图1 诊断方法示意图
Fig.1 Diagram of the diagnostic method
接地网的数学建模问题可以被归纳为边值问题，其边界条件符合狄利克雷（Dirichlet）边界条件，即已知边界条件。利用测量的边界电位值，可求解接地网支路的电阻率分布。
建立数学模型为
（1）
式中，ρ为接地网导体电阻率分布；φ为场域边界电位分布；m为场域边界外法向方向；j为电流密度；f为已知边界函数；Ω为接地网场域；x、y为接地网场域点的坐标。
接地网EIT技术在数学上可以分为正、逆两个问题。对于正问题，在已知场域内电阻率分布和注入电流大小的情况下，求解场域内电位的分布，其解在狄利克雷边界条件下是唯一确定的；对于逆问题，在已知注入电流大小和部分边界电位大小的情况下，反推接地网电阻率的分布，其解通常是非唯一的。由于逆问题的解必须唯一确定才具备实际意义，因此需要采用合适的算法获得唯一可靠解。
对逆问题的求解是整个EIT技术的核心部分，求解过程也就是所谓的图像重构。接地网正逆问题示意图如图2所示。
图2 正逆问题示意图
Fig.2 Forward and inverse problem schematic diagram
求解正问题是求解逆问题的基础与前提，计算电压的值越准确，求解逆问题所成像的空间分辨率也就越高。
在接地网的EIT正问题计算中，考虑到接地网场域内电阻率分布不均匀，而有限元法（Finite Element Method, FEM）在求解非均匀问题上具有很大的优越性。因此，本文采用有限元法对接地网的EIT正问题进行求解。对于拓扑结构已知的接地网只需进行支路剖分，若接地网的拓扑结构图已经丢失，则要进行全场域剖分。有限元剖分示意图如图3所示。
图3 有限元剖分示意图
Fig.3 The finite element subdivision diagram
根据变分原理，接地网电阻抗成像问题可以表示为
式中，s为接地网场域面积；se为第e个三角单元面积；n为剖分单元总数；
为第e个三角单元电阻率；
为第e个三角单元电位函数。
通过线性插值，并按“边相同，顶点相同”的原则对每个三角单元的系数矩阵进行整合，可得到有限元方程[24-25]为
（3）
式中，Kmn为以mn为公共边的三角形的系数矩阵中的元素；Je为从该节点流入或流出的电流大小。
采用消元法求解式（3）即是对正问题的求解。
对于接地网EIT逆问题的求解，目的是寻找满足U(ρ)=V的经有限元剖分后接地网导体的电阻率分布ρ。其中U(ρ)为计算电压，V为测量电压，ρ=[ρ1 ρ2 ρ3···ρn]T，V=[V1 V2 V3···Vn]T，U=[U1 U2 U3··· Un]T。由于各种误差因素的存在，该等式并不成立。此处采用工程上常用的最小二乘法构造接地网逆问题模型，将接地网EIT逆问题转变为目标函数的寻优问题，寻求U(ρ)与V近似相等的电阻率ρ，即
（4）
显然式（4）是非线性方程组，可通过迭代求解法对真实解进行逼近。
不同激励模式下可以获得不同数量的边界电位测量值，目前EIT技术中常用的有相对激励模式、相邻激励模式及交叉激励模式。三种激励模式下可获得的边界电位值数量分别为：引下线数量× (引下线数量-4)/2、引下线数量×(引下线数量-3)、引下线数量×(引下线数量-4)[26]。理论上，测量获得的数据越多，非线性方程组式（4）的欠定性也就越小，相应的重构接地网图像的空间分辨率也就越高。
因此，本文采用相邻激励模式获取尽可能多的接地网边界电位数据，以两个相邻可及节点作为激励电流的流入流出点，其余相邻可及节点作为电位的测量点。相邻激励示意图如图4所示，电流表符号表示注入电流；电压表符号表示电位测量；电阻表示接地网支路；红点表示可及节点。
图4 相邻激励示意图
Fig.4 Adjacent excitation schematic diagram
接地网场域属于敏感场，与医学中的人体场域相比有很大差异性，再加上可及节点数目有限且固定，其EIT逆问题数学模型式（4）具有严重的病态性与欠定性，对边界电压数据非常敏感，因此不能直接求解。EIT技术在二者中的应用对比见表1。
表1 EIT应用对比
Tab.1 Comparison of EIT application
对比项医学领域接地网领域 测量引线数量不定且可移动数量固定不可移动 成像场域封闭的人体区域开放的土壤区域 诊断目标病变的人体组织腐蚀的支路 解的情况相对比较稳定严重不稳定
正则化方法是处理上述问题的有效方法，将正则化项添加到原模型中所得到的接地网优化模型会受到很大程度的约束。
范数作为一种有效的正则化方法又称稀疏约束正则化，在图像去噪、磁共振成像以及信号处理等领域广受关注。通过向接地网逆问题模型中加入额外的范数惩罚项，可改善逆问题迭代求解的精度。
为了解决边界电位测量值有微小变动后，接地网电阻率解的结果会发生巨大变化这一问题，向逆问题模型中加入经典的L2范数正则化。
构造新的接地网EIT逆问题模型为
（5）
式中，α为L2范数正则化参数（可根据Morozov偏差原则获得），用以平衡解的大小，且α＞0；Y为正则化矩阵，可控制解的光滑度；
为预设迭代初值。由牛顿-拉夫逊迭代法得到基于L2范数正则化下的电阻率更新公式为
式中，J为雅可比矩阵；k为迭代次数。
该算法通过在最小二乘式的基础上加入L2范数罚函数，在迭代过程中将对JTJ的求逆转换为对JTJ+αYTY的求逆以降低其病态性，使得接地网电阻率解的稳定性得到改善。
然而L2范数正则化算法属于凸优化算法，难以产生稀疏解。另外重构图像的梯度较低，很难重构跳跃性的变化，导致虽然接地网重构图像中间区域的分辨率有所提高，但无法保持其边缘性。
近年来有学者提出了一种L1范数正则化算法，来改善EIT技术下重构图像的边缘伪迹问题。该算法可以确保即使在输入特征很多的情况下，只有一小部分特征的权重非零，确保解的稀疏性，从而实现特征选择、保持边缘优势。
将其应用到接地网EIT逆问题模型中有
（7）
式中，β为L1范数正则化参数，β＞0；δρ为各个相邻三角单元电阻率之间差值的绝对值之和；L为邻边矩阵，L=[l1 l2 l3…lt]T，t为公共边数量，即整个剖分场域内所有的三角公共边。
L1范数的引入使得接地网重构图像的边缘伪迹问题得到了较大的改善，但是在一些情况下可能导致过度稀疏的解，即一些像素值为零。同时，当特征之间存在高度相关性时，L1范数可能会导致解不稳定，造成接地网重构图像失真。
综上所述，考虑到L2范数具有稳定性，在接地网逆问题模型的求解中可以有效改善病态性问题；同时，L1范数正则化惩罚下的数学模型更加简洁，有助于特征选择，解的稀疏性更好，这对于边界数据集中的接地网模型而言非常有用，边缘伪迹问题能得到较好的解决。
为了兼顾解的稳定性与稀疏性，确保接地网重构图像分辨率高、边缘清晰，本文将L1范数正则化与L2范数正则化两种算法进行结合，通过控制它们对算法的贡献权重比而形成弹性网络，在克服各自缺点的同时保留自身优势。这种弹性网络使得可根据图像的重构效果对模型作出针对性的调整以控制两种范数的作用大小。
2.3.1 接地网EIT逆问题模型优化
利用弹性范数对接地网EIT逆问题模型进行修正可得
式中，正则化参数0＜α＜1；ω为权重因子，用以控制弹性度，0＜ω＜1；I为单位矩阵。则有
（9）
式中，Lj为具体的邻边行向量（j=1, 2,…）；x为对偶变量，为避免数值计算中出现数值不稳定或溢出的情况，其元素xi取值范围为[-1, 1]；
为对矩阵Lj中所有元素取绝对值后形成的矩阵。下面采用原始对偶内点法（PDIPM）对式（8）进行求解。将式（9）代入式（8）后构造对偶问题P，由对偶定理得
（10）
为求得满足式（8）的ρ的分布值，对式（10）中的ρ求一阶偏导，令其等于0，有
（11）
由PDIPM理论可知，原始问题与对偶问题间的互补间隙G为
（12）
加入平滑参数ε后有
（13）
由式（11）、式（13）即可得到基于PDIPM理论下的弹性正则化算法系统方程为
（14）
式中，S为含有ε的对角阵；E为含有xi的对角阵；δx为对偶变量的改变值。
选择合适的步长因子λ后得到接地网的电阻率更新公式为
（15）
式中，
为第k次迭代更新时相邻三角单元电阻率之间的差值大小。
结合2.1节与2.2节的分析可知，式（15）迭代更新下的接地网电阻率最终解可以更大程度地接近真实解。接地网电阻率迭代更新算法流程见表2。
表2 算法流程
Tab.2 Algorithm process
算法：L1-L2弹性范数正则化算法 1）输入相关参数：I、、α、ω、ε、λ2）进行初始化：k=0、ρ(k)=ρ03）雅可比矩阵的更新：更新J4）更新电阻率：利用式（15）进行电阻率更新5）对偶变量x的更新：x(k+1)=x(k)+min(1,supφ:{xi(k)+φxi(k)})，括号内第二项表示xi与可行域边界+1和-1之间的最小距离，确保x的每一次更新都尽可能地接近其约束边界6）迭代：k=k+17）判断：|ρ(k+1)-ρ(k)|＜h，h为预设精度8）结束：ρ=ρ(k+1)
基于L1-L2弹性范数对变电站接地网进行电阻抗成像腐蚀诊断的方法实现示意图如图5所示。
图5 方法实现示意图
Fig.5 Method implementation diagram
正则化参数α的选取是影响接地网重构图像分辨率的关键因素之一。根据以往的研究，可使用L曲线法、广义交叉法获取最佳的α值[27-28]，结合现有研究成果及多次实验验证，本文直接取经验值0.03[29]。为了定量研究L1算法、L2算法、L1-L2算法对EIT逆问题病态性的约束能力，以及ω对算法效果的影响，本文在Matlab软件里以1.1节中图3a的接地网仿真模型为基础进行分析。
2.3.2 病态性约束能力分析
接地网EIT技术中，逆问题的病态性主要来源于具有巨大条件数的雅可比矩阵（又称灵敏度矩阵），随着迭代次数的增加，其病态性会不断加重。上述三种算法对其病态性的约束原理均为添加罚函数后改变求逆矩阵以减小条件数。
现设定接地网场域边界的电极数目为8；激励电流I=1 mA；采用相邻激励模式获取边界电位数据；算法迭代次数k=155；α=0.03，ω=0.5，ε=0.01，λ=0.5。三种算法的病态约束能力如图6所示。
图6 病态约束能力
Fig.6 The pathological constraint capacity
随着迭代次数的增加，求逆矩阵的条件数不断减小，说明三种算法均对接地网EIT逆问题的病态性具备约束能力。显然，L1-L2弹性范数算法的约束性能更好。
2.3.3 弹性度的选择
在接地网的图像重构过程中，为了充分发挥弹性网络的优势，从而对接地网进行准确的腐蚀诊断，将权重参数ω进行0～1之间的10等分以找到合适的值。在此，引入图像结构相似度（Structural Similarity, SSIM）[30]进行判断，其值越接近1越好。不同权重参数下的接地网重构图像的SSIM见表3。
综上所述，当正则化参数α=0.03，权重因子ω=0.4时，两种范数可以发挥各自的优点，得到不错的图像重构结果。这种参数组合的弹性算法具备很好的鲁棒性，后文中算例与模型实验也都基于这两个值进行。
表3 重构图像结构相似度
Tab.3 Rereconstructed image structure similarity
权重参数ω结构相似度权重参数ω结构相似度 0.10.695 10.60.815 9 0.20.699 40.70.769 1 0.30.783 10.80.754 4 0.40.928 70.90.732 0 0.50.861 21.00.632 5
考虑到变电站的接地网存在某条支路腐蚀或多条支路腐蚀的状况，而接地网水平方向的导体本身属于简单的网状结构，每条支路之间的距离较大，测量引线的长度有限。本文针对一个4×2的接地网仿真模型，将其人为地剖分为两部分（此处采用两种剖分方法，分别为2×2+2×2和2×3+2×1），利用有限元仿真软件获取边界电位数据，在8电极模式下进行分块成像，腐蚀设置如图7所示，以验证L1-L2弹性范数算法在接地网EIT图像重构方面的效果。
图7 腐蚀设置
Fig.7 Corrosion setting
一些建造年份较近的变电站，其接地网的拓扑结构图样依然存在。因此，本文分别使用L1范数算法、L2范数算法、L1-L2弹性范数算法及NOSER算法对图7的仿真模型在已知拓扑情况下进行图像重构，对比四种算法在接地网仅进行支路剖分时成像的优劣性。支路与土壤的电阻率设置如下[31-32]：
1）土壤的电阻率设置为200 Ω·m。
2）正常支路的电阻率设置为5×10-7 Ω·m。
3）单支路腐蚀实验中进行相同算法下不同腐蚀程度成像对比时，第一次实验将腐蚀支路的电阻率设置为6.25×10-7 Ω·m来模拟中度腐蚀，第二次设置为10-6 Ω·m模拟进一步腐蚀。
4）双支路腐蚀实验中，将其中一条腐蚀支路的电阻率设置为6.25×10-7 Ω·m模拟中度腐蚀，另外一条腐蚀支路的电阻率设置为2×10-6 Ω·m模拟不同程度的腐蚀。
四种算法下的接地网重构对比如图8、图9所示。从图8和图9中可以看出，接地网无论是处于单支路腐蚀还是双支路腐蚀的情况下，四种算法对已知拓扑的接地网均可以进行成像腐蚀诊断。
图8 单支路腐蚀成像对比
Fig.8 Single branch corrosion imaging comparison
图9 双支路腐蚀成像对比
Fig.9 Double branch corrosion imaging comparison
比较而言，NOSER算法重构图像的效果最差，说明该算法下求解出的电阻率与真实电阻率大小相差较大。L1-L2弹性范数算法下重构图像的支路腐蚀程度最为清晰，且支路处于不同腐蚀程度时图像的对比度最高，能够更加准确地进行诊断。
对于那些建造年代久远的变电站而言，接地网的拓扑结构图样可能已经丢失。因此，本节继续对未知拓扑结构的接地网进行成像实验以验证算法的有效性。单支路腐蚀实验中将腐蚀支路的电阻率设置为10-6 Ω·m；双支路腐蚀实验中一条腐蚀支路的电阻率设置为6.25×10-7 Ω·m，另外一条腐蚀支路的电阻率为2×10-6 Ω·m。为了模拟真实的土壤干扰环境，向电位测量数据中加入5 dB的高斯白噪声，从而更好地评估算法的鲁棒性以及对数据的处理能力。四种算法下未知拓扑的接地网成像对比如图10所示。
图10 未知拓扑成像对比
Fig.10 Unknown topology imaging comparison
从图10中可以看出，当不知道接地网拓扑结构，对接地网场域进行全剖分时，不同算法下重构图像的质量差异巨大。
L1范数算法虽然能够对接地网进行成像，但是出现了严重的“伪诊断”情况；L2范数算法对腐蚀位置的定位不准确，且接地网重构结构的稳定性差；NOSER算法在多数情况下难以重构接地网的基本轮廓；L1-L2弹性范数算法下不仅可以较为清晰地看出接地网的轮廓边缘，并且能够准确地对腐蚀支路进行定位诊断，对高斯白噪声也具有较好的鲁棒性。
从前文可以看出，本文所提算法对接地网的成像效果最好，不同腐蚀程度的图像对比度高，能够准确地进行可视化诊断。为了对重构的接地网图像进行定量评价，下面用EIT领域常用的图像相关系数（Image Correlation Coefficient, ICC）和图像相对误差（Image Relative Error, IRE）对未知拓扑的接地网重构图像进行评价，另外以计算电压U(ρ)和测量电压V之间差值的绝对值来对比算法的收敛精度。ICC和IRE分别表示为
（16）
（17）
式中，ρ为预设的电阻率；
为预设电阻率的平均值；
为算法重构的电阻率；
为重构电阻率的平均值；n为剖分单元个数。
ICC越大、IRE越小，表示重构图像的质量越好。四种算法下，图10的相对误差见表4，相关系数见表5，成像时间如图11所示，四种算法的收敛精度如图12所示。
表4 图像相对误差
Tab.4 The relative errors of the images
算法规格组合IRE 单支路腐蚀模型双支路腐蚀模型 L12×2与2×20.063 70.067 9 2×3与2×10.075 20.064 1 L22×2与2×20.098 60.109 3 2×3与2×10.100 30.085 0 L1-L22×2与2×20.045 70.047 0 2×3与2×10.048 20.039 1 NOSER2×2与2×20.345 10.488 1 2×3与2×10.351 70.341 9
表5 图像相关系数
Tab.5 The correlation coefficient of the images
算法规格组合ICC 单支路腐蚀模型双支路腐蚀模型 L12×2与2×20.963 60.961 2 2×3与2×10.917 50.918 1 L22×2与2×20.831 60.807 5 2×3与2×10.813 90.826 7 L1-L22×2与2×20.975 20.978 3 2×3与2×10.965 90.981 8 NOSER2×2与2×20.816 90.794 2 2×3与2×10.802 20.816 8
图11 成像时间
Fig.11 Imaging time
由表4和表5可以看出，L1-L2弹性范数算法接地网重构图像的相对误差最小，相关系数最高。在本文所提算法下，接地网重构图像的相对误差平均降低了22.54%，相关系数平均提升了32.19%。说明该算法下接地网电阻率的解更接近真实值。
图12 收敛精度
Fig.12 Convergence accuracy diagram
从成像时间图11中可以看出，NOSER算法的图像重构速度最快，但是L1-L2弹性范数算法成像时间也在可接受范围内。
由图12可知，无论接地网处于哪种腐蚀状态，L1-L2弹性范数算法的收敛精度均最高，再次证明了该算法与其他三种算法相比，解的收敛性更好。
本文依照相关国家标准，按一定比例对西南某变电站的接地网进行了缩小，利用镀锌钢材料制作了一个引下线长为0.3 m、规格为2 m×2 m、由16个网格组成的4×4接地网模型，如图13所示。采取对支路裁剪不同大小材料的方式在该模型上设置了2处不同程度的腐蚀（图13a中红圈所示），实测支路电阻如图14所示，埋入土壤之后进行不分块的接地网EIT成像实验。
图13 接地网EIT成像实验示意图
Fig.13 The diagram of grounding grid EIT imaging experiment
图14 支路实测电阻大小
Fig.14 The size of the measured resistance of the branch
采用相邻激励的方式注入2 A大小的电流并进行循环测量。获取接地网的边界电位数据后，将其导入Matlab成像程序中进行电阻抗成像。四种算法下未知拓扑结构的接地网重构图像如图15所示。
图15 实验模型图像重构
Fig.15 Recomposition of experimental model images
再次利用图像结构相似度（SSIM）对图15接地网重构图像进行结构相似度评价，结果见表6。
表6 四种算法下重构图像结构相似度
Tab.6 Structural similarity of reconstructed images under four algorithms
算法结构相似度 L10.581 7 L20.436 1 L1-L20.604 1 NOSER0.421 8
从图15的可视化判断以及表6的结构相似度定量分析中可以看到，对处于复杂的自然环境中且规格变得更大的未知拓扑结构的接地网进行不分块成像时，电阻抗成像效果与仿真模型比较而言趋于非理想化。但是，L1-L2弹性范数算法下真实接地网的重构图像不仅仍可以确定接地网的大致结构，而且对腐蚀支路的定位以及腐蚀程度的诊断更加准确。说明本文所提算法针对接地网EIT逆问题的病态性与欠定性能够在很大程度上进行改善，使得接地网电阻率解的分布更加接近于真实值。
针对目前电阻抗成像（EIT）技术在接地网腐蚀诊断中存在的成像空间分辨率低、诊断误差较大的问题，本文提出了L1-L2弹性范数算法，经过理论分析、算例对比以及实验验证，可以得出以下结论：
1）对于L1-L2弹性范数算法，当正则化参数α=0.03，权重因子ω=0.4时，可以得到一幅高分辨率的接地网阻抗重构图。
2）L1-L2弹性范数同时具备L1范数和L2范数的优点，能够有效地改善接地网EIT逆问题的病态性与欠定性，对高斯白噪声也具有较好的鲁棒性，使得接地网数学模型可获得更接近于真实解的近似解。
3）L1-L2弹性范数算法在接地网EIT成像算法中，即便成像速度不是最快的，但与本文提到的其他三种目前常用的算法相比较而言，重构图像的相对误差平均降低了22.54%，相关系数平均提升了32.19%，其在可接受的时间范围内成像效果最佳，这对于EIT技术而言是最重要的，因此其仍然不失为一种优秀算法。该算法的提出有着较大的理论指导意义，进一步增强了EIT技术在接地网腐蚀诊断中的有效性。
4）将此项技术用于工程实践时，最好将接地网整体分块成若干个田字格，分块成像后再进行组合，以获得拓扑结构清晰的接地网阻抗重构图。
本文提出的的L1-L2弹性范数算法在基于电阻抗成像（EIT）技术的接地网腐蚀诊断中取得了较好的应用效果，但本文在取得了不错的重构图像后便没有继续探寻更优的正则化参数α与权重因子ω。从辩证的角度来看，两项最优因子组合在一起未必会使得结果最优。后续需要在本文的基础上继续探寻更好的α与ω的组合，亦或是探寻更优的正则化方法来对接地网EIT逆问题数学模型进行修正优化。
参考文献
[1] 张萍, 吴显腾, 卢盛欣, 等. 基于鲸鱼算法的风机接地网优化设计[J]. 高压电器, 2023, 59(6): 128-136, 153.
Zhang Ping, Wu Xianteng, Lu Shengxin, et al. Optimized design of wind turbine grounding grid based on whale algorithm[J]. High Voltage Apparatus, 2023, 59(6): 128-136, 153.
[2] 刘洋, 付晓东. 变电站接地引下线缺陷筛查方法与技术[J]. 电气技术, 2022, 23(1): 95-101.
Liu Yang, Fu Xiaodong. Screening method and technology of grounding lead wires defects in substation[J]. Electrical Engineering, 2022, 23(1): 95-101.
[3] 张波, 何金良, 曾嵘. 电力系统接地技术现状及展望[J]. 高电压技术, 2015, 41(8): 2569-2582.
Zhang Bo, He Jinliang, Zeng Rong. State of art and prospect of grounding technology in power system[J]. High Voltage Engineering, 2015, 41(8): 2569-2582.
[4] 施艳艳, 李玉珠, 王萌, 等. 基于全连接神经网络的颅脑电阻抗成像参考电压预测方法[J]. 电工技术学报, 2024, 39(14): 4317-4327.
Shi Yanyan, Li Yuzhu, Wang Meng, et al. Research on reference voltage prediction for electrical impedance tomography based on fully connected neural network[J]. Transactions of China Electro-technical Society, 2024, 39(14): 4317-4327.
[5] 王子辰, 付荣, 张新宇, 等. 基于Deep CG的肺部电阻抗成像方法[J]. 中国生物医学工程学报, 2023, 42(2): 148-157.
Wang Zichen, Fu Rong, Zhang Xinyu, et al. Reconstruction of thorax image based on deep CG method for electrical impedance tomography[J]. Chinese Journal of Biomedical Engineering, 2023, 42(2): 148-157.
[6] 谢炀, 杨鑫, 黄亚飞, 等. 基于凝聚层次聚类的接地网定向支路减维腐蚀诊断优化方法[J]. 高电压技术, 2024, 50(4): 1723-1730.
Xie Yang, Yang Xin, Huang Yafei, et al. Optimization method for dimensional reduction corrosion diagnosis of directional branch of grounding grid based on condensation hierarchical clustering[J]. High Voltage Engineering, 2024, 50(4): 1723-1730.
[7] 蔡智超, 虞一孺, 张敬. 基于探地雷达的杂散电流环境下混凝土损伤检测研究[J]. 电工技术学报, 2024, 39(21): 6636-6646.
Cai Zhichao, Yu Yiru, Zhang Jing. Research on concrete damage detection under stray current environment based on ground penetrating radar[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(21): 6636-6646.
[8] 杨家辉, 岳士弘, 于晓. 电学层析成像中软场效应的度量与应用[J]. 传感器与微系统, 2017, 36(7): 157-160.
Yang Jiahui, Yue Shihong, Yu Xiao. Measurement and application of software field effect in ET imaging[J]. Transducer and Microsystem Technologies, 2017, 36(7): 157-160.
[9] 刘杰. 基于电阻抗成像测量原理的接地网腐蚀诊断系统设计[D]. 重庆: 重庆大学, 2012.
Liu Jie. Design of grounding grids diagnosis system based on electrical impedance tomography measurementprinciple[D]. Chongqing: Chongqing University, 2012.
[10] 代锋. 接地网的电阻抗成像系统与方法研究[D]. 重庆: 重庆大学, 2015.
Dai Feng. Research on electrical impedance tomography system and method of grounding grids [D]. Chongqing: Chongqing University, 2015.
[11] 陈建伟, 钱洲亥, 胡家元. 电阻抗扫描成像技术在变电站接地网故障诊断中的应用研究[J]. 浙江电力, 2017, 36(10): 27-30.
Chen Jianwei, Qian Zhouhai, Hu Jiayuan. Study on application of electrical impedance scanning in fault diagnosis of grounding networks in substation[J]. Zhejiang Electric Power, 2017, 36(10): 27-30.
[12] 李星, 杨帆, 余晓, 等. 基于内源式电阻抗成像的接地网缺陷诊断逆问题研究[J]. 电工技术学报, 2019, 34(5): 902-909.
Li Xing, Yang Fan, Yu Xiao, et al. Research on the inverse problem of grounding grid fault diagnosis based on inner-source EIT[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(5): 902-909.
[13] 黄明祥, 卞宏志, 林奕夫. 基于磁检测电阻抗成像技术的接地网成像重建研究[J]. 计算机与数字工程, 2021, 49(1): 218-222.
Huang Mingxiang, Bian Hongzhi, Lin Yifu. Research on grounding network imaging reconstruction based on magnetic detection resistivity imaging technology[J]. Computer & Digital Engineering, 2021, 49(1): 218-222.
[14] 闫孝姮, 林晓雪, 吕秋皓, 等. 基于Homotopy-Tikhonov算法的接地网电阻抗成像方法[J]. 电工技术学报, 2022, 37(9): 2284-2294.
Yan Xiaoheng, Lin Xiaoxue, Lü Qiuhao, et al. Grounding grid electrical impedance tomography based on Homotopy-Tikhonov algorithm[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(9): 2284-2294.
[15] 马敏, 余浪, 范文茹. 基于L1/L2正则化电阻抗层析成像算法的碳纤维增强复合材料损伤检测[J]. 激光与光电子学进展, 2023, 60(2): 225-232.
Ma Min, Yu Lang, Fan Wenru. Detection of carbon-fiber-reinforced polymer damage based on L1/L2 regularization electrical impedance tomography algorithm[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2023, 60(2): 225-232.
[16] 丁明亮, 李晓童, 卢立晖. 基于邻域信息和快速FCM的肺部电阻抗成像伪迹优化算法[J]. 电子与信息学报, 2022, 44(9): 3320-3327.
Ding Mingliang, Li Xiaotong, Lu Lihui. Artifact optimization algorithm for pulmonary electrical impedance tomography based on neighborhood information and fast FCM[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2022, 44(9): 3320-3327.
[17] 赵营鸽, 李颖, 王灵月, 等. 基于均值点展开的单变元降维法在EIT不确定性量化研究中的应用[J]. 电工技术学报, 2021, 36(18): 3776-3786.
Zhao Yingge, Li Ying, Wang Lingyue, et al. The application of univariate dimension reduction method based on mean point expansion in the research of electrical impedance tomography uncertainty quantification [J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(18): 3776-3786.
[18] 闫孝姮, 吕秋皓, 林晓雪, 等. 基于Tikhonov和TV混合正则化的接地网电阻抗成像算法研究[J]. 仪器仪表学报, 2021, 42(11): 160-171.
Yan Xiaoheng, Lü Qiuhao, Lin Xiaoxue, et al. Research on grounding grid electrical impedance tomography algorithm based on Tikhonov and TV hybrid regularization[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2021, 42(11): 160-171.
[19] 章伟睿, 张涛, 史学涛, 等. 基于差分迭代的电阻抗成像算法研究[J]. 电工技术学报, 2021, 36(4): 747-755.
Zhang Weirui, Zhang Tao, Shi Xuetao, et al. An algorithm of electrical impedance tomography based on differential iteration[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(4): 747-755.
[20] 夏慧, 刘国强, 黄欣, 等. 注入电流式磁声成像平面模型的逆问题研究[J]. 电工技术学报, 2017, 32(4): 147-153.
Xia Hui, Liu Guoqiang, Huang Xin, et al. The inverse problem study of plane model based on magneto-acoustic tomography with current injection[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2017, 32(4): 147-153.
[21] Hasegawa T, Yoshida K, Hakozaki T, et al. Severe pressure ulcer caused by an electrode belt for monitoring electrical impedance tomography in two patients in the prone position[J]. JA Clinical Reports, 2023, 9(1): 82.
[22] Jia Yuheng. A review on reconstruction algorithms and hardware implementation in electrical impedance tomography[J]. Journal of Physics: Conference Series, 2023, 2634(1): 012038.
[23] 王森, 骆鸿, 李志忠, 等. 电力系统接地用镀锌扁钢腐蚀分析与研究[J]. 科技导报, 2011, 29(30): 37-42.
Wang Sen, Luo Hong, Li Zhizhong, et al. Corrosion analysis on galvanized flat steel grounding electrode of power system[J]. Science & Technology Review, 2011, 29(30): 37-42.
[24] 郑东方, 陈亮. 基于有限元方法的山地输电杆塔接地特性分析[J]. 电气技术, 2024, 25(8): 47-52.
Zheng Dongfang, Chen Liang. Grounding characteristics analysis of transmission line towers in mountainous regions based on finite element method [J]. Electrical Engineering, 2024, 25(8): 47-52.
[25] 李思泽, 徐炜, 金振, 等. 一种基于有限元法与改进无网格法耦合的双定子电机振动噪声分析方法(英文)[J]. 电工技术学报, 2023, 38(19): 5112-5127.
Li Siwei, Xu Wei, Jin zhen, et al. A novel vibration-noise calculation method by coupling finite element analysis and optimized meshless method for dual-stator electric machine[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(19): 5112-5127.
[26] 何为, 罗辞勇, 徐征, 等. 电阻抗成像原理[M]. 北京: 科学出版社, 2009.
[27] 李冰. 三维电阻抗成像数值算法和技术基础研究[D]. 重庆: 重庆大学, 2012.
Li Bing. Study on numerical algorithm and fundmental technology of 3D electrical impedance tomography[D]. Chongqing: Chongqing University, 2012.
[28] 毛诗壹, 潘成, 罗毅, 等. 基于混合Lanczos-Tikhonov算法的绝缘子表面电荷反演计算[J]. 电工技术学报, 2023, 38(7): 1921-1934.
Mao Shiyi, Pan Cheng, Luo Yi, et al. Inversion algorithm for surface charge on insulator based on hybrid Lanczos-Tikhonov algorithm[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(7): 1921-1934.
[29] 王静. 电阻抗成像的几种正则化方法研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2014.
Wang Jing. Some regularization methods for electrical impedance tomography[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2014.
[30] 左从磊. 基于混合全变差正则化法的电阻抗成像算法研究[D]. 合肥: 中国科学技术大学, 2022.
Zuo Conglei. Research on algorithms of electrical impedance tomography based on the hybrid total variation regularization method[D]. Hefei: University of Science and Technology of China, 2022.
[31] 卞亚飞, 汤文明, 张洁, 等. 安徽省电网接地材料Q235钢的土壤腐蚀特性及规律性研究[J]. 中国腐蚀与防护学报, 2024, 44(1): 130-140.
Bian Yafei, Tang Wenming, Zhang Jie, et al. Soil corrosion characteristics of Q235 steel grounding material used in power grid in Anhui Province[J]. Journal of Chinese Society for Corrosion and Protection, 2024, 44(1): 130-140.
[32] 袁涛, 任健行, 司马文霞, 等. 土壤电阻率的负温特性及冻土对接地极冲击响应的影响[J]. 电工技术学报, 2024, 39(5): 1474-1485.
Yuan Tao, Ren Jianxing, Sima Wenxia, et al. Negative temperature characteristics of soil resistivity and influence of frozen soil on impulse response of grounding electrode[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(5): 1474-1485.
Abstract Electrical Impedance Tomography (EIT) technology, as a non-invasive imaging method, has become one of the important research points in the diagnosis of grounding grid corrosion. Because the mathematical model of EIT inverse problem of grounding grid has the defects of highly pathological, underqualitative and nonlinear, under the existing algorithm, the error between the iterative solution of grounding grid resistivity and the real solution is large, which results in the low spatial resolution of the reconstructed image of grounding grid and serious edge artifacts. In order to solve the existing problems, this paper proposes an electrical impedance imaging algorithm of grounding grid based on L1-L2 elastic norm, which restrains and revises the mathematical model of EIT inverse problem of grounding grid, improves the spatial resolution of the reconstructed image of grounding grid, reduces edge artifacts, and improves the efficiency of corrosion diagnosis.
Firstly, the constraint ability of three norm algorithms, L1, L2 and L1-L2, to the inverse problem of ground grid EIT is analyzed and compared. Secondly, simulation experiments of single branch and double branch corrosion conditions are set up. At the same time, in order to better evaluate the robustness and data processing ability of the algorithm, 5 dB Gaussian white noise is added to all boundary potential measurement data during unknown topology imaging. It can be seen from the simulation results that all the four algorithms can perform imaging corrosion diagnosis for the grounding grid with known topology, but for the unknown grounding grid topology, the quality of reconstructed images under the four algorithms is very different, and serious "false diagnosis" occurs under the L1 norm algorithm. The stability of the reconstructed structure under L2 norm algorithm is poor. NOSER algorithm is difficult to reconstruct the basic contours of the grounding grid in most cases. Under the L1-L2 elastic norm algorithm, not only the contour edge of the grounding grid can be clearly seen, but also the corrosion branch can be accurately located and diagnosed. Thirdly, the image correlation coefficient (ICC) and image relative error (IRE), which are commonly used in EIT field, are introduced to evaluate the reconstructed images of the ground grid with unknown topology. The results show that L1-L2 elastic norm algorithm has the smallest relative error and the largest correlation coefficient. Under the proposed algorithm, the relative error of the reconstructed image is reduced by 22.54% on average and the correlation coefficient is increased by 32.19% on average. It shows that the resistivity solution of grounding grid under this algorithm is closer to the real value. Finally, the effectiveness of the proposed algorithm is further verified by building a galvanized steel model and conducting experiments.
The following conclusions can be drawn from the simulation analysis and real experiments: (1) For the L1-L2 elastic norm algorithm, when the regularization parameter α is set to 0.03 and the weight factor ω is set to 0.4, a high-resolution impedance reconfiguration of the grounding grid can be obtained. (2) L1-L2 elastic norm has the advantages of both L1-L2 norm and L2 norm, which can effectively improve the ill-condition and underquality of EIT inverse problem of grounding grid, and also has good robustness to Gaussian white noise, so that the mathematical model of grounding grid can obtain an approximate solution closer to the real solution. (3) L1-L2 elastic norm algorithm has the smallest relative error and the highest correlation coefficient compared with the other three commonly used algorithms mentioned in this paper, even though the imaging speed is not the fastest among EIT imaging algorithms for grounding grid. The imaging results are best in the acceptable time range.
Keywords：Electrical impedance tomography, grounding grid, corrosion diagnosis, algorithm, elastic norm
中图分类号：TM12
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.240072
智能电网四川省重点实验室开放基金资助项目（2022-IEPGKLSP-KFYB02）。
收稿日期 2024-01-11
改稿日期 2024-02-07
张维哲 男，1997年生，硕士研究生，研究方向为接地网腐蚀诊断。
E-mail：245647583@qq.com（通信作者）
张承乾 女，1980年生，副教授，硕士生导师，研究方向为电力系统故障诊断、信号处理等。
E-mail：47188203@qq.com
（编辑 李 冰）