来表征数据缺失状态。摘要 可靠的测量数据对于锂离子电池的荷电状态（SOC）估计至关重要。然而，在实际应用中，数据缺失和噪声干扰会影响SOC估计的可靠性。首先，该文分析了随机缺失数据对电池SOC估计的影响，并采用伯努利方程模拟传感器随机故障导致数据缺失的情况。其次，结合相关向量机（RVM）和随机森林（RF）两种算法，实现对不可靠环境下更高精度的荷电状态估计和端电压输出。同时，引入无迹卡尔曼滤波（UKF），以降低噪声对SOC估计的影响。最后，通过实验平台测试的数据对该方法进行验证，实验结果表明，所提方法能够在不同工况和多种缺失率下的平均绝对误差（MAE）保持在1%以内，表现出较强的鲁棒性。
关键词：锂离子电池 荷电状态 数据缺失相关向量机 随机森林
在“双碳”战略和促进环境可持续发展的背景下，为了减少碳排放并提高能源利用率，电池储能系统成为应对能源危机和环境污染问题的重要关键技术之一[1]。其中锂离子电池由于其高能量密度、循环寿命长、自放电率低等优势被广泛应用于新能源汽车、移动通信、航空航天等领域[2]。然而，随着电池储能设备的大量普及应用，锂电池的安全性和可靠性问题也日益突出。电池的安全性和可靠性需要先进的电池管理系统（Battery Management System, BMS）来对电池进行监视和管理[3]，通过BMS进行准确的荷电状态（State of Charge, SOC）估计可以保证电池的安全性，防止电池过充过放并充分利用电池当前最佳性能。因此，对于SOC的估计十分关键。
由于锂离子电池是典型的非线性“黑箱”系统，它的SOC值难以直接测量获得，因此需要通过外端口的电压和电流信号进行动态的SOC估计。目前常用的SOC估计的方法主要包括安时积分法[4]、基于模型的方法[5]和基于数据驱动的方法[6]。其中基于模型的方法由于其高精度和鲁棒性被广泛关注，可以分为等效电路模型（Equivalent Circuit Model, ECM）[7]、电化学模型[8]及神经网络模型[9]等，其中ECM由于在保证高精度的同时计算成本较低被广泛研究。
基于ECM模型SOC估计的准确性依赖其电路参数辨识的结果。目前ECM参数辨识方法主要包括递归最小二乘（Recursive Least Squares, RLS）[10]、快速递归最小二乘（Fast Recursive Least Squares, FRLS）、偏差补偿递推最小二乘（Bias Compensation Recursive Least Squares, BCRLS）[11]等。RLS算法由于运算速度上的优势，在参数辨识中具有良好的表现，但由于历史数据的影响无法保证当前参数值的可靠性，FRLS等通过考虑遗忘因子来削弱历史数据的影响，但是同时也增加了辨识参数的波动性。在ECM的基础上，滤波器等也被广泛应用，主要包括卡尔曼滤波器系列[12]、滑模观测器[13]、粒子滤波器[14-15]、H∞滤波器[16]等，都具有较好的鲁棒性。
总体来说，上述方法在研究中取得了进展，但在实际的应用环境中，仍面临诸多挑战。对于电动汽车来说，数据在测试到存储的过程中可能经历多个中间环节，任何一个环节出错都可能导致数据缺失[17]。在数据传输过程中，由于远程无线传输信号干扰可能造成数据缺失；在数据中心存储数据过程中，由于内存或硬件故障等原因也可能造成数据缺失的现象。因此，如何在传感器数据随机故障的情况下，获得理想的SOC估计成为本文的研究目的。
近年来，学者们对于数据缺失的处理进行了深入研究，并提出了众多的解决方案。然而，关于数据缺失下的SOC研究较少，现有的SOC研究通常假定传输数据是可得到的，当出现输出数据缺失时，传统的模型方法可能会产生偏差甚至发散的问题。针对此问题，已有的文献[18-20]在滤波方法上做出了相应的改进。其中，文献[18]描述了测量数据随机缺失的情况下，提出了一种抗数据不可用的非线性递归滤波算法。该算法能够逐步减小滤波误差协方差的边界，从而提高滤波的准确性。实验结果表明，SOC值在低SOC区域和较高电压电流缺失率下表现出较差的精度。针对输出数据缺失的随机性，文献[19]提出了一种基于修正卡尔曼滤波的多步长梯度迭代算法辨识具有随机输出缺失的ARX模型。在此基础上，文献[20]将缺失的输出数据分为两种情况，输出数据序列间隔一个缺失值和输出数据间隔两个及其以上的缺失数据，提出了一种基于辅助模型的改进型自适应卡尔曼滤波算法，用后验输出估计替换和更新缺失的输出数据。实验表明，该方法在缺失电压数据下能得到准确的输出电压，但此方法更加注重噪声方面的影响。针对复杂情况的SOC估计，文献[21]提出了一种果蝇-反向传播新方法，验证了电流数据缺失下的SOC估计。欧阳天成等[22]将异常数据分为更新停滞和缺失，并提出了一种异常数据校正方法，矫正过后的数据进行的SOC估计误差在5%左右。
综上所述，这些文献考虑了数据缺失下滤波发散引起的SOC估计鲁棒性差的问题，但基于数据驱动下数据缺失的SOC估计研究较少。针对以上问题，本文在数据随机缺失的情况下提出了一种基于数据驱动的相关向量机-随机森林（Relevance Vector Machine-Random Forest, RVM-RF）模型，能有效解决传感器故障引起的数据缺失，获得更加理想的SOC估计结果。
本节介绍了模拟电池数据缺失的方法。由于电动汽车中电池组的电压和电流数据来自不同的传感器，因此需要分别处理。传感器和通信网络有正常和故障两种状态。在某一时间点，测量数据可能完整或缺失，缺失的概率与时间序列无关。为此，本文引入一个服从伯努利分布的随机序列，模拟传感器故障导致的数据缺失。考虑到电流数据会在正负值间波动，随机缺失和噪声可能使缺失数据接近真实值，故本文仅关注电压数据的随机缺失情况。具体地，引入伯努利随机变量来表征数据缺失状态。
（1）
通过引入伯努利随机分布序列模拟电压随机数据缺失的状态在图1示出。数据缺失的情况分为两类：一类是缺失状态前数据仍然可用；另一类是缺失前数据已经缺失。具体来说，电压信号可能遭受随机的单个数据点的缺失，或者是连续多个数据点的缺失。
图1 DST工况下的电压数据缺失
Fig.1 Voltage missing plot for DST
为了分析电压数据随机缺失对SOC估计、电池欧姆内阻、极化电阻极化电容以及输出电压的影响。本文通过二阶等效电路模型进行了相应的仿真分析。电流和随机电压缺失数据作为输入，SOC估计、输出电压和电池内部参数结果如图2所示。
可以看出，随机电压数据的缺失使得SOC完全偏离参考值，在1%的缺失率下最大误差超过了20%，输出最大电压误差达到了5 V，数据缺失下欧姆内阻和极化电阻电容在参数辨识下扩大了数倍。基于这些参数，应用传统辨识方法RLS与扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）已完全不能反映电池的内部状态参数和SOC。
数据缺失下基于ECM构建的SOC估计已不能反映数据缺失下的电池特性，SOC估计的准确性显著降低。为了解决这个问题并加强SOC估计的精度，需要适合于数据缺失条件下的电池模型作为测量方程。为了建立考虑数据缺失下的可靠电池模型，本文采用基于相关向量机（RVM）、随机森林（RF）和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter, UKF）相结合的方式进行随机电压缺失下的电池SOC估计，RVM-RF模型流程如图3所示。
图2 数据缺失下对传统SOC估计的影响
Fig.2 The impact of data missing on traditional SOC estimation
图3 RVM-RF模型流程
Fig.3 Flowchart of RVM-RF model
RVM[23]的核心思想是利用贝叶斯推断来构建一个稀疏的概率模型，主要用于分类和回归任务，同时通过稀疏性降低模型复杂性，使得测试集的速度更快。设数据集
，其中
，
，实际系统中都含有噪声，为了更准确地建立目标数据与输入数据之间的关系，在模型中加入不确定项来反映这种噪声，则RVM模型可以表示为
（2）
式中，
为核函数；
为权重；
为独立的噪声信号，并且遵循均值为0、方差
的高斯白噪声。由于
是独立的，其概率分布可以表示为
（3）
通过最大化似然函数估计权重w可能会出现过拟合现象，因此需要对其进行约束。引入超参数a，其先验概率分布为
（4）
式中，
包含N+1个超参数，每个超参数
对应一个权重，控制权重的先验分布，使RVM模型具有稀疏性。t的概率分布和权值的先验分布是高斯函数的乘积。因此，得到权重
的后验概率分布为
（5）
在RVM中，对核函数没有特别的限制，这是RVM技术的优点之一，本研究中采用的核函数是高斯核函数，其可以写为
（6）
随机森林（RF）[24]是一种强大的机器学习算法，通过组合多棵决策树的结果来提高模型的准确性和鲁棒性。每棵树都在不同的随机子集上训练，最终的预测结果是通过多数回归得到的，其结构如图4所示。
图4 随机森林网络结构
Fig.4 Random Forest network structure diagram
目前，ECM因其计算简单、物理意义明确等优点被广泛应用于基于模型的电池SOC估计。二阶RC模型因结构简单、计算量适中且实用性较强，可以相对准确地表达锂电池的动态特性，鉴于模型的复杂性和计算成本，本文选择图5所示的二阶RC等效电路模型来模拟电池在充放电过程中的电气特性。
图5 二阶等效电路模型
Fig.5 Second-order equivalent circuit model
根据基尔霍夫定律，该二阶RC电路模型可表示为
（7）
通过定义
和拉普拉斯变换方程，系统的传递函数可以表示为
（8）
本文使用双线性变换方法来获得离散系统的传递函数为
（9）
采样时间Ts的变换式为
式（9）的相应差分方程为
（10）
转换到离散时间系统得到
（11）
式中，j(k)为信息向量，
；q(k)为待识别的参数向量，
。
在非线性时变系统中，扩展卡尔曼滤波（EKF）常用于状态估计，但其线性化过程需要一阶Taylor展开和雅可比矩阵，这增加了计算复杂性并降低了估计精度。此外，EKF对模型不确定性和传感器噪声敏感，这在一定程度上限制了其在恶劣条件下的估计性能。与EKF相比，UKF提供了更高的精度，更适合电池模型。UKF包括无痕变换的思想，其通过产生一系列Sigma点来计算状态和误差协方差矩阵，从而绕过线性化过程，而无需计算雅可比矩阵，则电池系统的状态空间方程为
（12）
其中
式中，t1、t2为时间常数，
,
；
为充放电效率；wk为过程噪声；vk为测量噪声；CN为标称容量。
通过对蓄电池的充放电电流进行积分，得到的积分值就是蓄电池充电量的增加或减少，则SOC表达式为
（13）
最后结合UKF框架计算SOC，则UKF递归过程如下所示。
（1）初始化
（14）
（2）Sigma点计算
（15）
（3）权重向量W计算
（16）
（4）状态预测
（17）
（5）输出更新
（18）
（6）计算卡尔曼增益
（19）
（7）状态向量
和协方差
更新
（20）
（21）
电池的测试平台由A123电池、温控室、Arbin BT测试系统和上位机组成，表1显示了所选电池的基本参数。其中Arbin BT测试系统用于促进电池在动态测试条件（Dynamic Stress Test, DST）下的充电和放电循环，包括−10、0、10、25、30和40℃。通过上位机运行的MITS Pro软件对电池充放电过程中的电压、电流和温度数据进行采集。实验装置用于完成电池的动态测试，如图6所示。为了分析复杂的电池负载条件并模拟真实的电动车驾驶环境，测试对象接受了三种动态测试，包括动态应力测试（DST）、联邦城市驾驶工况（Federal Urban Driving Schedule, FUDS）和城市交通拥堵与高速公路行驶时间表（US06）。图7所示为测试台常温下DST操作条件下的电流和电压曲线。
表1 测试电池具体参数
Tab.1 Test cell specific parameters
参 数数值 (型号) 电池型号A123 额定容量/(A×h)1.1 正负极材料LiFePO4 最大/小截止电压/V3.6/2.0 净重/g45 长度/mm65
图6 电池测试平台
Fig.6 Battery test platform
图7 DST工况下电压和电流测试曲线
Fig.7 Voltage and current test curves under DST
在DST条件下，通过引入伯努利方程模拟电压随机数据缺失，并通过上述模型方法评估电池SOC，将估计值与在相同操作环境下进行的实验测量值进行比较，并检查缺失率对模型精度的影响。
在多种不同的缺失率（1%、2%、3%和5%）下的结果如图8所示。
图8 DST工况下电压及电压误差曲线
Fig.8 Voltage and voltage error curves for DST
所提方法的端电压误差在1%～5%缺失率下平均绝对误差都小于25 mV，随着电压缺失率的增加电压误差也逐渐增加。在低SOC范围下，电压缺失会导致尖峰电压较大，但平均绝对误差稳定在电池电压异常故障和热失控范围内[25]。该模型具有较高的精度和适用性。为了更好地说明模型的准确性，本文采用RMSE和MAE作为电池端电压误差的评价指标，其误差分析见表2。
（22）
（23）
表2 DST工况下的端电压误差分析
Tab.2 Terminal voltage error analysis under DST
电压缺失率(%)MAE/VRMSE(%) 00.009 71.72 10.013 51.99 50.022 53.41
SOC的估计结果和误差如图9所示，用于比较的参考值为在无噪声环境下使用安时积分法获得的具有完整输入输出数据的参考SOC。在缺失率为1%、2%和3%时，尽管缺失值随机分布，但SOC估计一直收敛到参考值附近。但随着缺失率的增加，缺失率5%下出现了最大峰值误差，但平均绝对误差仍然低于1%，误差分析见表3。
图9 DST工况下的SOC的估算结果和误差
Fig.9 SOC estimation results and errors under DST
表3 DST工况下的SOC误差分析
Tab.3 SOC error analysis under DST condition （%）
电压缺失率MAERMSE 00.210.39 10.220.41 20.360.56 30.400.79 50.630.78
为了全面评估该方法在不同驾驶条件下的性能，本文基于马里兰大学进行的测试，在FUDS和US06两种典型工况下进行了数据缺失情况下的实验验证。这两种工况均源自电动汽车测试手册，是评估电池性能的典型测试环境。完整的测试曲线如图10所示。
图10 FUDS和US06工况下电压和电流的测试曲线
Fig.10 Voltage and current curves for FUDS and US06
在相同的工作条件下，所有的估计参数初始值都是相同的，将两种工况下的原始测量数据分别设置与DST工况相同的缺失率进行验证。所提出的方法在上述两种工况下的SOC估计结果及相应的误差如图11所示，SOC误差定量分析见表4。
图11 FUDS和US06工况下的SOC估计和误差
Fig.11 SOC estimation and errors under FUDS and US06
表4 FUDS和US06工况下的SOC误差分析
Tab.4 SOC error analysis under FUDS and US06 （%）
工况电压缺失率MAERMSE FUDS10.210.39 20.380.64 30.520.94 50.560.87 US0610.270.41 20.360.70 30.380.76 50.590.83
从图11可以看出，在相同的电压缺失率下DST工况的SOC估计误差略高于其他两种工况，上述验证结果表明，所提出的方法可以保持满意的SOC估计精度。SOC估计误差与电压缺失率表现出一定的正相关性，随着缺失数据的增加，SOC误差也逐渐增加。
低缺失率下拥有较高的估计精度，在实验中本文尝试了在更高缺失率（10%、20%和30%）下方法的适应性。三种工况下的SOC估计结果和误差如图12所示。从图12中可以看出，SOC的估计结果在电压缺失值连续的情况下，对应放电时间下出现较大的SOC误差峰值，最大误差在30%缺失率下达到了8%，但是在此方法下SOC值能较快收敛到参考SOC值附近，在整个放电循环下SOC值仍然跟随在参考值SOC附近，平均绝对误差不到2%，误差分析见表5。
图12 三种工况下的SOC估计结果和误差
Fig.12 SOC estimation results and errors under three conditions
表5 三种工况下的SOC误差分析
Tab.5 Analysis of SOC error under three conditions （%）
工况电压缺失率MAERMSE DST101.241.99 201.562.94 301.883.07 FUDS101.311.72 201.732.25 302.272.68 US06101.451.92 201.671.93 302.052.47
在实际的电池核心管理系统中，面临着复杂多变的情况，在数据采集、传输和存储的过程中会出现不同形式的数据缺失。传统的在线参数辨识和SOC方法易受到噪声与数据缺失情况的影响。为了解决数据缺失对基于ECM模型的SOC估计偏差较大的问题，本文提出了一种基于RVM和RF的方法，实现对不可靠环境下更高精度下的荷电状态估计和端电压输出，并得出了如下结论：
1）通过引入伯努利随机分布序列来描述传感器随机故障状态引起数据缺失的情况。
2）RVM和RF模型结合UKF，实现电压缺失率下更高准确度的荷电状态估计和端电压输出，同时UKF用以降低环境噪声对SOC估计的影响。
3）在多种工况和不同数据缺失率下对提出的方法进行了实验和验证。结果表明，所提方法进行的SOC估计能够持续追踪参考值附近，而传统的方法SOC估计偏差较大，且易受电压数据缺失的影响。相较于传统参数辨识方法，本文所提出的可靠电池模型，最终的SOC估计误差在各类工况和5%缺失率下的MAE值均能保持在1%以内，在高电压缺失率（30%）也能保证平均绝对误差在2.5%以内。
然而，本研究也有一定的局限性，并未涉及电压数据长时间更新停滞和电流数据缺失引起的SOC异常等方面的问题，这些内容将作为未来研究的方向之一。
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State of Charge Estimation Based on Constructing a Reliable Battery Model with Data Missing
Abstract Reliable measurement data is essential for lithium-ion batteries' state of charge (SOC) estimation. However, data missing and noise interference can affect the reliability of SOC estimation in complex industrial environments where data missing is inevitable. Data missing occurs when the controller does not fully receive sensor measurements, which is caused by sensor failure and communication failure. In the case of electric vehicles, the data undergoes several intermediate steps in testing and storage, and any error in these steps may lead to data being missing. In data transmission, the interference of remote wireless transmission signals may cause data loss. When data is stored in the data center, memory or hardware faults may cause data loss.
This paper simulates data missing due to random sensor faults by introducing random sequences obeying a Bernoulli distribution. Since the voltage and current data come from different sensors in the battery pack, both are missing, but the data is missing due to random voltage and noise. Thus, this paper focuses only on the random missing case of the voltage data.
The effect of random missing data on the SOC estimation of conventional batteries is analyzed. The SOC estimation by the traditional discrimination method (RLS) with the extended Kalman filter (EKF) method under the missing random voltage data makes the SOC value deviate entirely from the reference value, with the maximum error exceeding 20% at 1% missing rate, the maximum output voltage error reaching 5 V, and the ohmic internal resistance and polarization resistance-capacitance under the parameter discrimination enlarged by several times. The traditional method can no longer reflect the real situation of the battery's internal state parameters and SOC.
This paper achieves a more accurate SOC estimation and higher accuracy of the terminal voltage output for unreliable environments by combining relevance vector machine (RVM) and random forest (RF). The extended Kalman filter (EKF) algorithm increases computational complexity and reduces estimation accuracy because its linearization process requires a first-order Taylor expansion and Jacobian matrix. In contrast, untraceable Kalman filtering (UKF) provides high accuracy and adaptability by employing the untraceable transform to generate a series of Sigma points to directly compute the state estimates and error covariance, avoiding the linearization step and the computation of the Jacobian matrix. Therefore, the UKF is used for SOC estimation and noise reduction. Finally, the experimental platform validates the method. Experimental results show that the proposed method maintains the mean absolute error (MAE) within 1% under various working conditions and missing rates.
Keywords：Lithium-ion battery, state of charge, data missing, relevance vector machine, random forest
中图分类号：TM912
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.241687
上海自然科学基金资助项目（21ZR1425300）。
收稿日期 2024-09-25
改稿日期 2024-10-14
毛 玲 女，1981年生，副教授，研究方向为电动汽车有序充电、动力电池建模、状态估计及梯次利用、电动汽车与电网的互动等。
E-mail: maoling2290@shep.edu.cn
赵晋斌 男，1972年生，博士生导师，研究方向为电力电子电路、装置和系统、智能和模块化控制电力电子电路等。
E-mail: zhaojinbin@shiep.edu.cn（通信作者）
（编辑 郭丽军）