图1 推进线圈拓扑构型
Fig.1 Topologies of propulsion coils
摘要 在超导电动悬浮工况中，超导直线同步电机的推力波动是保障列车运行平稳性与服役安全性的关键。该文提出了一种采用单层平行四边形推进线圈结构的超导直线同步电机，并通过电磁模型构建与多目标优化设计实现了推力波动的精准计算与有效抑制。首先，通过线圈中心线离散与空间坐标变换，实现了线圈几何特征与悬浮架空间姿态的精准表征。其次，采用离散诺依曼公式对推进线圈与超导磁体间的互感进行计算，并通过虚功法得到了直线电机的瞬态电磁力。然后，构建了超导直线同步电机有限元模型并搭建了实验测试平台。结果表明，所提模型与有限元模型、测试结果相对误差分别小于2%和3%，验证了电磁模型的可靠性。最后，基于第三代非支配排序遗传算法（NSGA-Ⅲ）对超导直线同步电机进行了多目标优化设计，探明了单层平行四边形推进线圈结构对于推力波动的抑制效果，所得结论能够为超导直线电机的设计与优化提供重要理论参考。
关键词：超导电动悬浮 超导直线电机 平行四边形线圈 多目标优化设计
磁悬浮作为新制式的轨道交通技术，依靠车体与轨道之间的电磁作用实现车体的支撑与电能的供给，突破了传统列车由于轮轨黏着和弓网接触带来的速度限制[1]。自2019年以来，国务院、交通运输部相继印发了关于加强发展600 km级磁悬浮交通的文件，反映了高速磁悬浮技术已成为国家重大需求[2]。
超导电动悬浮技术通过车载磁体与轨道线圈的磁斥力实现车体的悬浮与导向，悬浮气隙可达100 mm以上，是目前唯一经过时速600 km级载人试验的磁悬浮技术[3-5]。其中，超导直线同步电机作为超导电动悬浮列车的核心驱动单元，其输出电磁特性是保障列车动力性与平稳性的关键[6-9]。然而，由于推进线圈在列车运行方向间断性阵列排布，其激发的行波磁场存在谐波分量[10]，导致了系统的推力波动，这将进一步影响超导磁体的运行稳定性与列车的服役安全性。
目前，超导直线同步电机推进线圈构型分为两类。第一类是单层拓扑结构，其中矩形推进线圈以120°电角度依次单层排布于轨道侧壁，已应用于日本宫崎试验线，如图1a所示[11-12]。但由于该拓扑结构所产生的空间磁场存在显著的2次谐波分量，推力波动与电磁激扰将加剧车载超导磁体的振动与低温容器壁的涡流，提升了磁体失超的风险。
为此，双层拓扑结构后被广泛应用于日本山梨试验线，其中推进线圈以跑道形线圈结构交错分布于内外两侧，各层相邻推进线圈间以240°电角度依次排布，如图1b所示[13-14]。该拓扑结构的优势在于降低了磁场的2次谐波分量，有效抑制了推力波动。然而，为了容纳与匹配双层推进线圈布局，轨道侧壁结构变得更为复杂。同时，双层推进线圈的材料用量将远大于单层线圈，提升了运营线路的维护难度与建设成本。
因此，现有的推进线圈拓扑结构难以实现推进力波动抑制与推进线圈成本缩减的兼顾。为解决上述问题，参考电机结构设计中斜槽/斜边结构[15-16]以及单层线圈排布所带来的安装便捷性，本文提出了一种采用单层平行四边形推进线圈结构的超导直线同步电机，如图1c所示。基于该构型，在前期工作的基础上[17]，本文首先建立了能够兼容不同推进线圈构型的超导直线同步电机电磁模型。其中，采用线圈中心线离散法精准表征了推进线圈与超导磁体的复杂几何特征与空间布局，保障了模型的精度与效率的兼顾，为超导直线同步电机的多目标优化提供了理论基础。其次，建立了有限元模型与实验测试平台，综合验证了所提出电磁模型的可靠性。最后，通过将电磁模型与多目标优化算法的耦合，在保障电机输出性能与线圈成本的前提下实现了推力波动的有效抑制，论证了平行四边形推进线圈结构在超导直线同步电机中的应用优势。
图1 推进线圈拓扑构型
Fig.1 Topologies of propulsion coils
直线电机建模研究主要通过两种途径实现：一是建立有限元模型[18-20]，该方法的计算精度高，但由于求解范围广、磁场呈现三维分布，模型计算耗时、对计算机性能指标要求高；二是建立解析模型，其精度依赖于对主要物理原理的把握和对次要因素的简化，计算效率较高。因此，解析模型普遍应用于直线电机的设计与优化，而有限元模型则通常作为验证解析方法有效性的途径。
同时，针对超导直线同步电机，现有的解析建模方法仅适用于采用单层矩形或双层跑道形推进线圈的构型[21-23]，且存在一定的简化处理，导致模型的兼容性与精度无法与有限元模型匹配。因此，本文结合数值离散的思想，基于诺依曼公式建立了能够兼容不同推进线圈构型的超导直线同步电机电磁模型。
为了精准描述超导磁体相对于轨道的空间姿态，分别在轨道侧以及悬浮架侧建立绝对坐标系Og-xgygzg以及相对坐标系Ob-xbybzb。绝对坐标系原点Og位于轨道中心，且置于A相推进线圈水平对称面与垂直对称面的交线上；相对坐标系原点Ob位于悬浮架质心，如图2所示。图中，g1为外侧推进线圈中心线与超导磁体中心线的电磁气隙；g2为内侧推进线圈中心线与超导磁体中心线的电磁气隙。同时，定义了悬浮架的偏移分量与偏转分量，偏移分量采用Tait-Bryan欧拉角（旋转顺规：zxy；内旋）[17]，该定义适用于车辆、飞行器等姿态的描述。
图2 坐标系定义与线圈序号命名规则
Fig.2 Coordinate system definition and coils name rule
此外，本文对推进线圈与超导磁体的序号进行排列。值得说明的是，奇数序号的推进线圈被定义为外层线圈（电磁气隙为g1），偶数序号的推进线圈被定义为内层线圈（电磁气隙为g2）。当g1=g2时，推进线圈的拓扑构型为单层，而g1＞g2时，推进线圈的拓扑构型为双层，保障了模型在单、双层结构上的统一求解。
现有大部分研究[24-25]通常先计算场源激励的磁场，再通过积分运算得到推进线圈交链的磁通，这使得计算过程复杂，计算周期较长。为了提高计算效率和精度，本文采用离散诺依曼公式对推进线圈与超导磁体间的互感进行直接求解[17]，该方法避免了线圈积分路径的选取，适用于线圈几何形状复杂的超导直线同步电机。同时，基于细丝法将各线圈中心线进行离散化处理，通过先计算各离散片段间的互感，再对其进行叠加以求得线圈间的互感，其位于局部坐标系O-xyz的示意图如图3a所示。
图3 线圈离散化示意图
Fig.3 Discretization of coils
为了精准地表征平行四边形构型的推进线圈，对线圈中心线离散片段的端点坐标表达式进行了优化，有
（1）
其中
（2）
（3）
式中，a(i)为线圈中心线离散单元端点坐标；nl（l=1, 2, 3）为离散系数；n1为平行四边形弧边离散系数；n2为平行四边形水平边离散系数；n3为平行四边形斜边离散系数；N为平行四边形总离散系数；xaj和zaj分别为分段函数a(i)第j段在x轴与z轴方向的坐标值。离散系数nl的数值是由线圈的中心线几何尺寸H、W、r和a1与总离散系数N共同决定的，计算流程如图4所示。同时，本文引入了线圈斜边倾角a1，该变量将直接影响式（1）中端点坐标的数值，其几何关系可由图3与式（2）～式（10）表示。分段区间系数i决定了行向量a(i)中的元素值，而为避免各区间上、下边界的重叠（如当n2=0时，0＜ i≤0
，当发生此类情况时，将不考虑对应分段区间内端点空间坐标的计算。其中，H为平行四边形（中心线）的高；r为中心线圆角半径；a1为平行四边形斜边倾角；a2和a3分别为平行四边形对角线与水平边的夹角（见图3b），l1～l5为便于表征平行四边形几何参数的变量，有
（4）
（5）
（6）
图4 离散系数计算流程
Fig.4 Calculation flow of discretization coefficients
（7）
（8）
（9）
（10）
式中，W为中心线水平边（不考虑圆角）的边长。
上述线圈离散方式的优势在于可通过改变图3中的尺寸参数，实现不同推进线圈中心线形状的切换，不同尺寸参数对应的线圈中心线形状见表1。进而保障了不同推进线圈构型下超导直线同步电机的兼容性，为后续电机的优化设计提供了工具。
表1 不同尺寸参数对应的线圈中心线形状
Tab.1 The shapes of coil center line corresponding to different size parameters
中心线形状W/mH/mr/ma1/(°) 矩形＞0＞000 带圆角矩形＞0＞0≠W/2且≠H/20 跑道形＞0＞0W/2或H/20 圆形＞0＞0W/2且H/20 平行四边形＞0＞00≠0 带圆角平行四边形＞0＞0≠W/2且≠H/2≠0
基于式（1），可进一步得到推进线圈和超导磁体中心线离散片段位于绝对坐标系Og-xgygzg的空间坐标，有
（11）
（12）
式中，
为第m个推进线圈中心线离散片段位于绝对坐标系的空间坐标，m=1, …, 2q；
为第n个超导磁体离散片段位于绝对坐标系的空间坐标，n=1, …, 2p；aP和aS分别为推进线圈和超导磁体离散片段位于局部坐标系的空间坐标；
和
分别为推进线圈和超导磁体的节距；q和p分别为推进线圈和超导磁体的总对数；wS为悬浮架两侧超导磁体的横向宽度；
、
、
分别为侧滚角、俯仰角和偏航角；
、
、
分别为纵向位移、横向偏移以及垂向偏移；
和
为用于判定线圈空间位置的分段函数，有
（13）
（14）
由此，基于离散形式的诺依曼公式[17]，即可求得推进线圈与超导磁体间的互感为
（15）
式中，N1、N2分别为推进线圈与超导磁体的匝数；NP、NS分别为推进线圈与超导磁体中心线的总离散数；
为真空磁导率；MSn,m为第m个推进线圈与第n个超导磁体的互感。
为了产生驱动列车运行的推进力，将三相交变电流注入推进线圈中，各推进线圈中电流随时间变化关系为
（16）
（17）
（18）
式中，I(m)为第m个推进线圈中的交变电流，m= 1, …, 2p/3；IP为相电流有效值；f为相电流频率；d为功角，即相电流与相反电动势的相位差，规定电流滞后为正。
同时，轨道线圈激发的交变磁场对超导磁体的影响较小[26]，因此本文将超导磁体视为恒流运行模式，并未考虑超导磁体交流损耗对电磁系统的影响，以降低建模难度，提升求解效率。
进一步地，根据1.1节得到的互感值，本文采用虚功法[27]对悬浮架所受推力进行计算，有
（19）
其中
（20）
（21）
（22）
（23）
（24）
式中，Fx为超导直线同步电机推力；i为由各个推进线圈相电流组成的列向量；iS为由各个超导磁体运行电流组成的列向量；M为耦合推进线圈与超导磁体的互感矩阵；IS为超导磁体运行电流；M11与M22为互感矩阵M中的单元子矩阵。
为了验证所提电磁模型的有效性与兼容性，本文采用单层矩形、双层跑道形[13]以及单层平行四边形三种推进线圈拓扑构型，在MagNet中建立了三组超导直线同步电机有限元模型，其参数见表2。
表2 超导直线电机结构参数
Tab.2 Structure parameters of superconducting linear synchronous motor
参 数单层矩形双层跑道形单层平行四边形 推进线圈水平边宽WP/mm7551 420755 推进线圈垂直边/斜边高HP/mm600600600 推进线圈弧边半径rP/mm100300100 推进线圈斜边倾角a1/(°)0040 推进线圈节距tP/mm900900900 外层推进线圈匝数N1_out101010 内层推进线圈匝数N1_in10810 相电流有效值IP/A422400422 超导磁体水平边宽WS/mm1 0701 0701 070 超导磁体垂直边高HS/mm500500500 超导磁体弧边半径rS/mm250250250 超导磁体节距tS/mm1 3501 3501 350 超导磁体匝数N21 4001 4001 400 超导磁体运行电流IS/A500500500 电磁气隙g1/mm234280234 电磁气隙g2/mm234234234 悬浮架两侧超导磁体的横向宽度wS/mm3 0003 0003 000
悬浮架运行工况选取了日本山梨试验线的测试工况[28]，其中运行速度为504 km/h，悬浮架无额外偏移与偏转（即Dyg=Dzg=0 m，qx=qy=qz=0°），且电机的内功率因数角为零，以确保推力的最大化。
基于此，三组有限元模型如图5所示，均设置有24个推进线圈以及8个超导磁体，悬浮架初始纵向位置为超导磁体d轴与推进线圈A相对称轴重合位置，并设置三组空气域（求解域、运动域以及连接域）用于有限元模型的求解。
图5 超导直线电机三维有限元模型
Fig.5 3-D finite element model of superconducting linear synchronous motor
图6展示了不同推进线圈构型下所提模型与有限元模型的结果对比。可以看出，所提模型可根据尺寸参数的变化求解得到电机不同线圈构型下的推力瞬态变化规律，且与有限元模型的最大相对误差均小于2%，初步验证了模型的可靠性与兼容性。同时，表3进一步展示了所提出电磁模型与有限元模型在效率方面的对比结果，其中有限元模型的求解时长高达4 h以上，而所提出的电磁模型仅在40 s之内即可完成求解，计算效率提升了两个数量级，说明了本文模型可以在保证计算精度的同时，大幅缩减计算时间，为后续电机的快速优化设计提供了可能。
同时，由图5中推力的瞬态变化曲线可知，采用单层矩形结构的推进线圈将产生更大的推力波动。相比之下，单层平行四边形结构则能更好地抑制推力波动，这是由平行四边形结构上、下半区所产生的推力谐波分量相互抵消所导致的。为了更为直观地反映这一现象，可将推进线圈平行四边形结构根据x轴分解为上半区回路U与下半区回路L，如图7所示。基于此，可把线圈回路U、L与超导磁体所产生的推力瞬态分布近似为
图6 所提模型与有限元模型的计算结果对比
Fig.6 Comparisons of solution results between the proposed model and finite element model
表3 所提模型与有限元模型求解时间对比
Tab.3 Comparisons of solution times between the proposed model and finite element model
求解时间 有限元模型所提模型/s 单层矩形结构4 h30 min35.28 双层跑道形结构5 h48 min39.46 单层平行四边形结构4 h57 min35.56
（25）
（26）
式中，
和
分别为上半区回路U与下半区回路L作用于超导磁体的推力近似值；Fd为半区回路所产生推力的平均值；Fn为半区回路所产生推力n阶谐波分量的幅值；n为谐波分量的阶次；x0为半区回路中心距离平行四边形中心的纵向位移偏差。
通过式（25）与式（26）的叠加，即可得到推进线圈作用于超导磁体的总推力
为
图7 平行四边形上、下回路示意图
Fig.7 Schematic diagram of parallelogram upper and lower loop
（27）
同时，根据图6中的几何关系，推进线圈斜边倾角a1与纵向位移偏差x0的关系为
（28）
进一步地，将式（28）代入式（27）中，即可得到倾角a1关于推力瞬态变化的近似解析表达，有
（29）
由式（29）可知，当
时，推力波动的幅值将随倾角a1的增大而减小。因此，当推进线圈为矩形（a1=0）时，推力波动最大；当推进线圈为平行四边形（a1≠0）时，推力波动将得到有效的抑制。
此外，尽管采用单层平行四边形结构的电机推力略小于双层跑道形结构，但在材料用量与安装维护上则具有更大的优势。因此，在第3节中将进一步对单层平行四边形结构的超导直线电机推力及其波动进行优化。
由于山梨试验线轨道线圈尺寸较大，制造同等规格推进线圈及其匹配的超导磁体在时间与成本上面临着极大的挑战。因此，本文借助于研究团队已有的缩比尺寸超导磁体[29]与推进线圈，构建了静态等效测试平台[30]，通过实验测试进一步验证所提电磁模型的可靠性。
该测试平台主要由铝制框架、伺服电机、丝杠机构、力传感器、制冷机、直流电源、轨道线圈、高温超导磁体等装置组成，如图8所示。
测试平台的原理为：首先，利用本文第2节电磁模型求解得到高速工况下超导磁体在纵向离散空间点对应的瞬态电流分布；其次，将实验台中超导磁体移动至给定测试位置并利用直流可控电源在推进线圈中注入与位置所匹配的瞬态电流；最后，通过力传感器测得作用于超导磁体的电磁力。当超导磁体移动到后续测试位置时，改变注入至推进线圈的瞬态电流，并重复上述步骤直至测试完成。该方法的优势在于，超导磁体在测试中始终处于静止状态，大幅提升了测试的安全性，同时可精准模拟列车全速域工况的电磁力瞬态变化，是探明电磁力变化规律、验证理论方法可靠性的经济性手段。
图8 超导直线电机等效测试平台
Fig.8 Equivalent test platform of superconducting linear synchronous motor
表4展示了测试平台中推进线圈与超导磁体的关键尺寸参数及其空间相对位置参数。基于此，本文定义了运行速度为300 km/h下，悬浮架无横向偏移与偏转（即Dyg=0 m，qx=qy=qz=0°）作为测试工况。根据实验平台的测试行程，分别选取了垂向偏移为-0.02 m、-0.03 m、-0.04 m作为工况变量，并对推力数据进行了多次重复性测量（纵向测试行程0.7 m，测量间隔35 mm）。
表4 超导直线电机等效测试平台参数
Tab.4 Parameters of superconducting linear synchronous motor test platform
参 数数 值 推进线圈水平边宽WP/mm600 推进线圈垂直边/斜边高HP/mm300 推进线圈弧边半径rP/mm150 推进线圈垂直边倾角a1/(°)0 推进线圈节距τP/mm378 外层推进线圈匝数N1_out29 内层推进线圈匝数N1_in36 相电流有效值IP/A200 超导磁体水平边宽WS/mm450 超导磁体垂直边高HS/mm250 超导磁体弧边半径rS/mm125 超导磁体节距τS/mm568 超导磁体匝数N21 080 超导磁体运行电流IS/A100 电磁气隙g1/mm100 电磁气隙g2/mm132
图9展示了所提出电磁模型与测试数据的对比结果。可以看出，测试结果略小于电磁模型得到的理论值，主要原因来自于实验平台的安装误差以及传感器精度带来的测试误差。但由图9可知，所提出电磁模型与测试数据的相对误差小于3%，且推力瞬态变化规律具有良好的一致性，进一步验证了所提模型的可靠性。
图9 所提模型与测试数据的对比
Fig.9 Comparisons between proposed model and test data
超导直线同步电机的优化设计是提升电磁性能、改善运行品质的关键，也是降低线路铺设成本的有效手段。尤其针对采用单层拓扑结构的超导直线同步电机，轨道侧所构成的空间谐波磁场将对超导磁体产生更为突出的影响，这导致了作用于悬浮架的电磁力波动显著，影响着列车运行的安全稳定性。
本节将所构建的电磁模型与第三代非支配排序遗传算法（Nondominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅲ, NSGA-Ⅲ）结合，对采用单层平行四边形推进线圈结构的电机推力及其波动进行多目标优化设计。相比于第二代非支配排序遗传算法（NSGA-Ⅱ），NSGA-Ⅲ摒弃了拥挤度距离排序机制，而采用了一种基于参考点排序的新机制，使得最终获得的帕累托优化解集能够更为均匀的分布[31]。
为了实现上述目的，本文首先选取了表2中单层平行四边形推进线圈的结构参数与电参数作为设计变量。考虑到本文主要讨论平行四边形中心线对于电机电磁性能的影响，在优化过程中将不考虑截面参数与匝数的影响，同时超导磁体的尺寸以及它与推进线圈的电磁气隙将保持恒定。因此，表5展示了设计变量的初始值及其对应的设计空间。
表5 优化模型中的设计变量与设计空间
Tab.5 Design variables and space in optimization model
参 数初始值设计空间 推进线圈水平边宽WP/mm755[680, 831] 推进线圈垂直边/斜边高HP/mm600[540, 660] 推进线圈弧边半径rP/mm100[50, 200] 推进线圈垂直边倾角a1/(°)40[0, 60] 相电流有效值IP/A422[380, 464]
其次，设置了推进线圈用量作为约束条件。根据线圈的尺寸参数，相邻一对平行四边形推进线圈体积为
（30）
式中，Vc为相邻一对平行四边形推进线圈体积；SP为单匝截面积，取SP=3.2×10-4 m2。为了更有效地降低成本，本文将表2中单层矩形推进线圈的体积Vc0=0.016 25 m3作为该约束的上界限。
最后，定义了第2节中日本山梨试验线的测试工况[28]作为优化设计给定工况，并将该工况稳态下的推力均值最大化与推力波动最小化作为优化目标。结合选取的设计变量、约束条件与优化目标，多目标优化模型的数学表达为
（31）
式中，s为设计变量的集合；fb(s)为优化目标关于设计变量s的函数（b=1, 2）；g1(s)为约束条件关于设计变量s的函数；Fx_avg为稳态下推力均值；Kx为推力波动（稳态下瞬态推力的峰峰值）。
基于得到的优化模型，本文依托于Matlab平台将第2节中推导的电磁计算模型编码化后引入至NSGA-Ⅲ中，通过逐步迭代以完成帕累托优化解集的获取。该优化流程借助了电磁模型的高效性与精准性，避免了现有多目标优化设计中需要采用响应曲面法去近似优化目标、约束条件与设计变量的映射关系，提升了优化方案的精度。此外，表6展示了NSGA-Ⅲ的配置参数，该参数是经多次优化流程实验后的优化配置参数，可兼顾优化解集的收敛性与优化流程的高效性。
表6 NSGA-Ⅲ配置参数
Tab.6 Configuration parameter of NSGA-Ⅲ
参 数数 值 种群大小200 种群进化代数300 交叉概率0.7 交叉分布指数10 变异分布指数20
经过上述多目标优化设计流程，将得到一组帕累托优化解集，如图10所示。从帕累托优化解集可以看出，优化目标间是相互制约的，这避免了最优解的唯一性，并提供了更多的设计方案。同时，图10中给出了日本山梨试验线采用双层跑道形推进线圈所产生的推力均值与推力波动，可以直观地观测到，相较于山梨试验线的直线电机，优化解集中的灰色区域具有更优的电磁性能。
图10 帕累托优化解集
Fig.10 Pareto optimization set
同时，平行四边形推进线圈倾角a1与推力均值、波动的关系被进一步探讨，如图11所示。帕累托优化解集中，倾角a1对于超导直线同步电机的性能具有显著的影响，与推力均值、波动均呈负相关。其中，值得注意的是，倾角a1在逼近50°左右时，推力波动将趋近于0。
随后，为了验证优化方案的可靠性，本文在帕累托优化解集中定义了最优解，该方案依据式（32）中性能评估系数k值最小化所对应的方案进行选取。考虑到推力均值与波动的权衡，设置式（32）中权重系数wk、wf分别为0.58和0.42，最终得到的最优解如图10和图11所示，同时表7展示了该方案下推进线圈的结构参数与电参数。
图11 优化解集中倾角与电机电磁性能的关系
Fig.11 The relationship between inclination angle and electromagnetic performances of linear synchronous motor in optimization set
（32）
式中，kx为归一化后的推力波动；fx为归一化后的推力均值。
表7 优化前后方案对比
Tab.7 Comparison between initial and optimized schemes
参 数初始方案优化方案 推进线圈水平边宽WP/mm755742.2 推进线圈垂直边/斜边高HP/mm600629.3 推进线圈弧边半径rP/mm100145.1 推进线圈垂直边倾角a1/(°)4045.7 相电流有效值IP/A422463.7 推进线圈的体积Vc/m30.017 030.016 23 推力均值Fx_avg/kN18.9019.94 推力波动Kx/kN0.440.34
通过最优解方案与初始方案的对比可以看出，优化后推进线圈的体积满足小于Vc0的约束条件，说明了所提出平行四边形推进线圈的材料用量将小于表2中的矩形推进线圈，同时推力均值的提升与波动值的抑制进一步提升了电机的电磁性能。
最后，本文建立了最优解的有限元模型，并与现有日本山梨试验线的推力特性进行了对比，如图12所示。一方面，依据最优解中参数所得到的有限元模型结果与优化结果吻合度良好，验证了优化设计流程的可靠性；另一方面，相较于日本山梨试验线使用的双层跑道形结构，所提出的平行四边形推进线圈结构具有更好的推力波动抑制效果，这为改善超导直线同步电机的运行品质提供了设计参考。
图12 最优解方案的验证与对比
Fig.12 Verification and comparison of optimized solution
本文提出了一种采用平行四边形推进线圈结构的超导直线同步电机，并通过电磁模型构建与多目标优化设计实现了推力波动的精准计算与有效抑制。首先，本文对电磁模型的数学公式进行了详细推导，并通过有限元模型与实验测试数据综合验证了模型的有效性。其次，基于所提出的电磁模型与多目标优化算法，探明了平行四边形推进线圈结构对超导直线同步电机的电磁性能的影响，结论如下：
1）所提电磁模型得到的推力瞬态特性与有限元结果、测试数据吻合度较好，相对误差分别小于2%和3%，论证了电磁模型的可靠性。
2）相比于有限元模型，所提电磁模型计算效率提升两个数量级，能够在保证计算精度的同时，大幅缩减计算时间。
3）平行四边形推进线圈结构能够有效地抑制超导直线同步电机的推力波动，在优化解集中平行四边形的倾角在约10°～50°范围内，随着倾角角度的增大，推力波动的抑制将更为显著。
4）单层平行四边形推进线圈结构能够在保证推力波动抑制的同时，降低线圈材料用量与安装难度，为低成本、易维护的试验线建设提供了方案。
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Thrust Fluctuation Suppression of Superconducting Linear Synchronous Motor Based on Parallelogram Propulsion Coil
Abstract As one of the most promising magnetic suspension technologies, superconducting electro- dynamic suspension relies on the electromagnetic interaction between the superconducting magnets and track coils to achieve the suspension, guidance, and drive of the vehicle. Therefore, the propulsion coil is a core component of the linear drive actuator for the superconducting electrodynamic suspension train, which is arranged discontinuously along the train's direction of travel. Harmonic components are challenging to avoid in the track traveling wave magnetic field, which further affects the operating stability of superconducting magnets and the safety of the train service.Although the existing double-layer structure of the propulsion coil can effectively suppress the harmonic components and thrust fluctuation of the system, it dramatically increases the manufacturing cost of the coil. This paper proposes a superconducting linear synchronous motor with a single-layer parallelogram structure of propulsion coils. The topological structure can achieve a balance between suppressing thrust fluctuations and reducing costs after an optimized design.
Firstly, the electromagnetic model of a superconducting linear synchronous motor is derived. The coil centerline discretization method is employed to accurately characterize the complex geometrical characteristics and spatial layout of propulsion coils and superconducting magnets, ensuring accuracy and efficiency.Secondly, the finite element model and experimental test platform are established. The results show that the relative errors of the proposed model are less than 2% and 3%, respectively, compared with the finite element model and test data. Finally, by coupling the electromagnetic model with a multi-objective optimization algorithm, a set of Pareto fronts is obtained. The thrust fluctuation is effectively suppressed using the non-dominated sorting genetic algorithm-III, while ensuring the output performance of the superconducting linear synchronous motor and the cost of propulsion coils. Based on optimized schemes, the influence of parallelogram structure dimensions on the electromagnetic performance of a superconducting linear synchronous motor is investigated.
The following conclusions can be drawn. (1) The thrust transient characteristics obtained by the proposed electromagnetic model are in good agreement with the finite element results and test data, which proves the reliability of the proposed model. (2) Compared with the finite element model, the calculation efficiency of the proposed model is improved by two orders of magnitude. (3) The parallelogram structure of the propulsion coil can effectively suppress the thrust fluctuation of the superconducting linear synchronous motor. In the optimized solution set, the inclination angle of the parallelogram ranges from approximately 10° to 50°, and the inhibition of thrust fluctuation increases significantly with the angle. (4) The single-layer parallelogram structure of the propulsion coils can reduce the amount of coil material and difficulty of installation while ensuring the thrust fluctuation suppression, which provides a scheme for the test line construction of low cost and easy maintenance.
Keywords：Superconducting electrodynamic suspension, superconducting linear motor, parallelogram coil, multi-objective optimization design
中图分类号：TM37
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.241791
国家自然科学基金（52425702）和四川省自然科学基金创新研究群体（2023NSFSC1976）资助项目。
收稿日期 2024-10-14
改稿日期 2025-01-02
苏振华 男，1994年生，博士，研究方向为磁悬浮与直线驱动技术。
E-mail: ja5ue@my.swjtu.edu.cn
马光同 男，1982年生，博士，研究方向为超导磁体及低温系统、磁悬浮列车及其系统动力学。
E-mail: gtma@swjtu.edu.cn（通信作者）
（编辑 崔文静）