图1 拉应力下无取向硅钢磁滞特性非单调变化示意图
Fig.1 Schematic diagram of non-monotonic variation of hysteresis characteristics of non-oriented silicon steel under tensile stress
摘要 现有考虑拉应力对无取向硅钢磁性能非单调变化影响的模型只停留在定性分析层面，亟待提出适用于工程应用的定量模型。该文不考虑原始Energetic模型中参数与拉应力的依赖关系，而是在能量项中加入由拉应力引起的能量密度项，将拉应力下的磁场强度解耦为无拉应力磁场强度叠加拉应力引起的磁场强度变化值。基于磁畴能量以及晶体取向理论，通过不同拉应力下磁场强度之间的关系，分别得到拉应力提高磁性能机制以及降低磁性能机制引起的磁场强度变化值，并通过重新定义两种机制的影响系数，推导得到拉应力引起的磁场强度变化值，而无拉应力下的磁场强度由原始Energetic模型计算得到。在此基础上，最终建立考虑拉应力对于无取向硅钢磁性能非单调影响的磁弹性耦合磁滞模型。针对无取向硅钢矫顽力处磁滞回线局部“变宽”现象，引入高斯函数，对原始Energetic模型中与磁滞损耗有关的参数k进行改进，进一步拓宽了模型的适用范围。模型计算与实验结果表明，所提模型能够模拟拉应力下无取向硅钢磁性能的非单调变化现象且具有较高的模拟精度与实用性。
关键词：无取向硅钢 拉应力 非单调影响 磁弹性耦合模型
硅钢片由于其优异的磁性能而广泛应用于制作各类电工装备铁心，其在制造、装配特别是运行过程中承受了多种类型的机械应力，如电机旋转产生的离心力以及机壳收缩配合带来的应力，导致硅钢片局部可能产生数十兆帕的应力[1]，这些应力可显著改变硅钢片的磁特性[2]。已有相关文献报道[3-4]，拉应力下硅钢片的磁滞特性出现非单调特征，存在临界拉应力，即当拉应力小于临界拉应力时，随着拉应力的增加，硅钢片磁畴结构变得更易被磁化；当拉应力大于临界拉应力时，随着拉应力的增大，硅钢片中磁畴结构又变得不易被磁化。硅钢片磁滞特性在拉应力下存在非单调变化的特征，给拉应力下硅钢片磁滞特性的测量、分析以及建模带来不小的困难。准确地对拉应力下硅钢片的磁滞特性进行测量与模拟对于提高电力变压器、电机等电工装备的效率至关重要。
拉应力下硅钢磁滞特性非单调变化特性常见于无取向硅钢[5-6]，国内外相关研究较少[7-8]，但由于晶体及磁畴结构的复杂性，所提方法计算复杂且与测量结果存在显著差异[9]。捷克学者O. Perevertov在拉应力下开展了大量细致的实验与观测，提出了不同拉应力下磁场强度之间的关系[10]，但所提关系式并未模型化且在临界拉应力附近并不适用。国内学者针对应力下硅钢片磁滞特性的测量模拟取得了显著的成果[11-13]，但所施加拉应力范围较小，针对拉应力引起无取向硅钢磁性能的提高开展了相关研究工作，但尚未针对拉应力下无取向硅钢片磁性能非单调变化现象开展相关测量、分析及模拟工作。因此，亟待针对拉应力对无取向硅钢磁滞特性的非单调影响进行研究与分析。
另一方面，由于铁心中硅钢片受应力不均匀且随时间变化，传统模型中参数依赖应力，导致传统模型中参数值随着应力的不同而不同[13-14]，为了计算给定应力下的磁滞回线，必须首先测得该应力下的磁滞回线并做参数辨识，工作量很大。
文献[15]开展了压应力对无取向硅钢磁特性的影响及相关模拟工作，本文为文献[15]的后续工作，由于拉应力对无取向硅钢磁性能具有非单调的影响，因此，本文重点分析拉应力对静态磁滞特性的影响，关于拉应力对于无取向硅钢动态损耗特性的影响，将基于本文工作在后续工作中研究分析。
本文设计并搭建了研究软磁材料磁弹性耦合特性的测量平台，获得不同拉应力下的硅钢片磁滞回线。为使得模型中参数均为不依赖应力的常数，在所提模型中不考虑原始Energetic模型中参数对于拉应力的依赖关系，而是在能量项中补充拉应力引起的能量密度，由此将拉应力下的磁场强度解耦为无拉应力时的磁场强度叠加拉应力引起的磁场强度变化值。其中，无拉应力时的磁场强度通过原始Energetic模型求得。针对拉应力引起的磁场强度变化，基于磁畴能量以及晶体取向理论，通过不同拉应力下磁场强度之间的关系，分别得到拉应力提高磁性能机制以及降低磁性能机制引起的磁场强度变化值，并通过重新定义两种机制的影响系数，推导得到拉应力引起的磁场强度变化值。在此基础上，最终建立考虑拉应力对无取向硅钢磁性能非单调影响的磁弹性耦合磁滞模型。针对无取向硅钢矫顽力处磁滞回线局部“变宽”现象，引入高斯函数，对原始Energetic模型中与磁滞损耗有关的参数k进行改进，进一步拓宽模型的适用范围。本文所提磁滞模型能够模拟拉应力下无取向硅钢磁性能的非单调变化且模拟精度高，模型中参数均为不依赖应力的常数，不需要反复做参数辨识，极大地降低了计算量，适用性强。
无取向硅钢在不同拉应力下的磁滞特性示意图如图1a所示。图1a中不同拉应力下无取向硅钢的磁滞回线在二、四象限都交汇于同一点，这一点被称为共点[2-3]。共点也是不同拉应力下无取向硅钢磁滞特性的一个重要特征。图1中，sc为临界拉应力，从图1b中可以看出，临界拉应力下无取向硅钢磁化性能达到最优，即材料磁导率达到最大，当拉应力低于或高于临界应力，磁化性能均会降低。
无取向硅钢各向异性较弱，因此在一般分析建模中，常忽略其各向异性，认为无取向硅钢的磁滞特性具有各向同性，进而开展相关研究工作。然而实验发现，无取向硅钢磁滞特性在拉应力下表现出非单调变化的特征，且沿无取向硅钢轧制方向不同角度的样品在相同拉应力下的磁滞特性存在显著的差异。沿无取向硅钢轧制方向样品临界拉应力位于5～10 MPa之间，与轧制方向45°样品临界拉应力位于10～20 MPa之间，与轧制方向90°样品临界拉应力位于20～30 MPa之间。临界拉应力随着与轧制方向角度的增大而增大，这意味着，对于同一拉应力值，无取向硅钢某些方向磁性能相比无拉应力时提高，同时某些方向磁性能却降低，并不能忽略无取向硅钢的各向异性，这给电机等电工装备的精细化设计带来新的挑战。从电工装备的设计角度，可以充分利用拉应力对无取向硅钢磁性能提高这一特点，提高能量转换效率，但同时也要防止过高的拉应力引起无取向硅钢某些方向磁性能的显著降低。
图1 拉应力下无取向硅钢磁滞特性非单调变化示意图
Fig.1 Schematic diagram of non-monotonic variation of hysteresis characteristics of non-oriented silicon steel under tensile stress
原始的Energetic模型基于铁磁材料内在能量守恒与磁畴统计特性，最初由奥地利学者H. Hauser推导并提出[16]。Energetic模型通过使总能量密度WT最小，求解磁化状态。软磁材料在磁化过程中的总能量密度可以表示为
（1）
式中，WH为外施磁场能量密度，WH=-m0MH，m0为真空导磁率，M为磁化强度，H为磁场强度；Wd为退磁场能量密度；Wr为可逆磁场能量密度；Wi为不可逆磁场能量密度。
当系统处于稳定状态时，对应式（1）中总能量密度最小，则待求磁场强度H可以表示为
（2）
式中，Ms为饱和磁化强度；m为归一化磁化强度，m=M/Ms；Hr为可逆磁场强度；Hd为退磁场强度；Hi为不可逆磁场强度。
基于式（2）中退磁场能量密度、可逆与不可逆磁场能量密度，H. Hauser最终得到的Energetic模型[17]可以表示为
（3）
式中，sgn( · )为符号函数；m0为上一反转点对应的m值；Ne为退磁因子；k为与磁滞损耗有关的参数；cr为与磁畴大小有关的参数；k 为反转函数；q为与钉扎点密度有关的参数。
可逆磁场强度Hr和反转函数k分别表示为
（4）
（5）
式中，h为与饱和磁场有关的比例参数；g为与铁磁材料各向异性有关的参数；k0为上个磁化反转点对应的k值。
当铁磁材料在磁场和拉应力共同作用下时，如果考虑Energetic模型中的参数对于拉应力的依赖，则需要从实验数据中辨识得到参数，所求得的参数与拉应力之间的关系并不明确。因此，本文不考虑Energetic模型参数的拉应力依赖性，而是通过引入由拉应力引起的能量密度Ws将拉应力的影响考虑在内。因此，考虑拉应力作用的总能量密度WT表示为
（6）
当系统处于稳定状态时，磁场强度可以表示为
（7）
式中，Hs为由于拉应力引起的磁场强度变化值。拉应力下的磁场强度H(s)被解耦为两项，第一项对应无拉应力时的磁场强度H(0)，第二项为拉应力引起的磁场强度变化Hs(s)，准确地求取拉应力引起的磁场强度变化是建立模型的关键。
捷克学者O. Perevertov等在准静态下开展了大量应力磁特性的测量以及磁畴变化的观测实验，根据不同拉应力下的磁滞回线在二、四象限存在共点的特征，将拉应力对于磁滞特性的影响通过一个有效场Ha(s, M)来表示[4]。此时不同拉应力下磁场强度之间的关系可以表示为
（8）
式中，
为使式（8）成立的最小拉应力；Ha(s, M)被解耦为k(s)与f(M)两部分，k(s)是应力s的函数，f(M)是磁化强度M的函数，表示为
（9）
式中，smax为使得式（8）成立的最大拉应力。
因此，将式（9）代入式（8），可得拉应力s下的磁场强度与拉应力smin以及smax下的磁场强度 满足
（10）
考虑到拉应力对磁滞特性的非单调影响，设临界拉应力值为sc。O. Perevertov得出[10]，当拉应力值s位于[sl, sL]范围内时（sl≤sL≤sc
，k(s)=s，拉应力s下的磁场强度与拉应力sl以及sL下的磁场强度满足
（11）
图2a表示的即为拉应力值分别为sl、s以及sL下的磁滞回线之间满足关系的示意图。当令sl= 0 MPa即无拉应力时，式（11）可进一步表示为
（12）
当拉应力值s≥sh时（s≥sh＞sc），k(s)= s-sh，拉应力s下的磁场强度与拉应力sh以及sH下的磁场强度满足
（13）
式中，H(sL)、H(sh)与H(sH)分别为拉应力为sL、sh、sH时的磁场强度，关于sL、sh、sH的确定原则，将在2.2节参数辨识部分详细展开。sh与sH满足sH＞sh＞sc。图2b表示的是拉应力值分别为sh、s以及sH下的磁滞回线之间满足关系的示意图。
图2 不同拉应力下磁场强度之间关系示意图
Fig.2 Schematic diagram of the relationship between magnetic field strengths under different tensile stresses
可以很明显地注意到，式（12）与式（13）所示关系在临界拉应力sc附近并不成立。关于拉应力下无取向硅钢磁性能非单调变化的原因，文献[5]从无取向硅钢宏观磁特性是不同取向晶体磁特性的叠加的角度出发，认为无取向硅钢磁性能非单调变化的原因是拉应力对不同取向晶体有不同的影响趋势，即无取向硅钢中至少存在两类取向的晶体，第一类取向的晶体在拉应力下磁性能提高，第二类在拉应力下磁性能降低。本文中分别将其称为磁性能提高机制与降低机制，当拉应力小于或等于临界拉应力（s≤sc）时主要反映磁性能提高机制；当拉应力大于临界拉应力（s＞sc）时主要反映的是磁性能降低机制。由此得到式（12）与式（13）中第二项分别反应这两种机制。由于临界拉应力sc附近两种机制均占优，为了使得不同拉应力下磁场强度之间的关系式在临界拉应力sc附近仍然成立，考虑将磁性能提高机制以及磁性能降低机制的系数k(s)分别表示为ki(s)和kd(s)，则磁性能提高机制对应的磁场强度变化Hi(s)以及磁性能降低机制对应的磁场强度变化Hd(s)可以分别表示为
（14）
（15）
考虑到拉应力下存在上述两种机制，因此将不同拉应力下磁场强度之间的关系表示为
（16）
式中，第一项H(0)表示无拉应力下的磁场强度，后两项分别为考虑拉应力下磁性能提高机制对应的磁场强度变化Hi(s)，以及磁性能降低机制对应的磁场强度变化Hd(s)。
正如磁化曲线的线性区域，磁畴壁移占主导；饱和区域，磁畴旋转占主导；拐点附近，磁畴壁移与磁畴旋转机制同时存在，但这个范围难以确切给出。临界拉应力附近，拉应力引起的磁性能提高机制与磁性能降低机制同时存在[5, 8]，该范围同样难以清晰地界定。但从本文实验结果中知道，沿轧制方向样品临界拉应力位于5～10 MPa之间；与轧制方向45°样品临界拉应力位于10～20 MPa之间，与轧制方向90°样品临界拉应力位于20～30 MPa之间，在这个范围内，可以认为两种机制同时存在。因此将参数ki和kd分别表示为
（17）
（18）
式中，参数st表示临界拉应力，即为sc。理论上，可通过不断逼近的方法确定临界拉应力，但越靠近临界拉应力，应力对于硅钢片磁滞回线的影响越小。除此之外，应力施加装置精度以及磁滞回线测量误差难以通过实验确定，但可通过拟合不同应力下的磁滞回线得到。
由式（16）可知，拉应力引起的磁场强度变化值Hs(s)可以表示为
（19）
进一步地，将式（19）代入式（17）中可以得到拉应力s下的磁场强度表示为
（20）
无取向硅钢磁滞回线在矫顽力处会存在局部“变宽”现象，如图3所示。准确地模拟这种局部“变宽”现象，对于提高磁弹性耦合磁滞模型的适用性与精度十分必要。静态磁滞回线面积即为磁滞损耗，当磁滞回线局部“变宽”时，磁滞回线的面积增大，因而导致磁滞损耗增大。原始Energetic模型中与磁滞损耗有关的参数k为常数，不能模拟矫顽力处磁滞回线局部“变宽”现象。这种情况下参数k不是常数，而是与磁通密度相关，考虑引入高斯函数[18]来重新对原参数k进行修正，则式（20）中参数k可以表示为
（21）
式中，k0、Bc与b均为待提取参数。需要说明的是，引入式（21）是为了处理矫顽力处磁滞回线局部“变宽”现象，可以根据所测磁滞回线选择是否引入式（21）。当矫顽力处磁滞回线局部“变宽”现象不明显，即不采用式（21）对参数k进行修正，模型已经与实验结果拟合程度较好时，不需要引入式（21）。
图3 矫顽力处磁滞回线局部“变宽”示意图
Fig.3 Schematic diagram of the local “widening” of the hysteresis loop at coercivity
软材料磁特性现有测量方案主要包括单片法[19]和爱泼斯坦线圈法[20]，单片法由于磁路结构简单，易于施加应力，因此更适合在此基础上设计应力磁导计。考虑到现有应力磁导计普遍施加应力仅有数兆帕[21-23]，未能充分表征硅钢局部受到数十兆帕拉应力的情况[1]，因此本文自行设计并搭建了一台大应力磁导计如图4所示。该装置可对测量单片施加最大可达40 MPa的拉应力，装置主要包括四部分：施力部分、力传动及缓冲部分、力反馈部分以及单片磁导计部分。被测样品放置在单片磁导计中，其一端被固定端夹持，另一端被滑动端夹持。通过控制施力部分的电动推杆伸缩，经过力传动及缓冲部分，带动夹持单片的滑动端对单片施加应力。为了对单片施加指定大小的应力，力反馈部分的测力传感器将所施加力的大小实时传回控制端，以实现对单片施加指定大小的应力。
在此基础上，搭建了软磁材料磁弹耦合特性测量平台，如图5所示。该平台主要包括计算机、布鲁克豪斯系统、数据采集卡、电机驱动以及应力磁导计。计算机有两路控制信号，一路通过数据采集卡、电机驱动，对放置在单片磁导计中的样品施加指定大小的应力；另一路接入布鲁克豪斯系统，测量样品在该应力下的静态磁滞回线。拉应力对磁滞回线拐点处影响最为显著，因此，为了更清晰地说明本文所提模型的有效性，测量磁通密度设置为1.4 T。
图4 软磁材料应力磁导计结构示意图
Fig.4 Structure diagram of stress permeameter for soft magnetic materials
图5 软磁材料磁弹耦合特性实验平台
Fig.5 The experimental platform for magnetoelastic coupling characteristics of soft magnetic materials
实验中所用无取向硅钢材料牌号为35WW230，尺寸为350 mm´50 mm。无取向硅钢不同方向磁滞特性在拉应力下差异显著，正因如此，根据IEC以及国标[19]，在评价无取向硅钢磁特性时，需特别注明是无取向硅钢轧制方向（Roll Direction, RD）还是横向（Transverse Direction, TD）。因此，为了充分评估本文中所提模型的适用性，除了选取轧制方向以及横向的样品外，还选取介于轧制方向以及横向之间与轧制方向夹角为45°的样品，如图6所示。3个样品沿无取向硅钢轧制方向角度分别为0°、45°、90°，下文中为了表述更加方便与清晰，对3个样品分别编号见表1。
本文所提应力下磁场强度的求解式为式（20），由该式可知，本文所提模型中待确定的参数包含原始Energetic模型中的7个参数（如果考虑根据式（21）对参数k的修正，则还需要额外引入2个参数），以及式（17）与式（18）中的参数st。此外式（14）与式（15）中的应力值sL、sh、sH也需要确定。
图6 无取向硅钢沿轧制方向不同角度实验样品示意图
Fig.6 Schematic diagram of experimental samples at different angles along the rolling direction of non-oriented silicon steel
表1 沿无取向硅钢轧制方向不同角度样品编号
Tab.1 The sample numbers at different angles along the rolling direction of non-oriented silicon steel
样品编号角度/(°) 10 245 390
若不考虑无取向硅钢磁滞回线在矫顽力处存在的局部“变宽”现象，即磁滞损耗有关的参数k保持常数。原始Energetic模型中的7个参数通过采用多目标差分进化算法[24]，从无拉应力下的磁滞回线中辨识得到，结果见表2，原始Energetic模型计算与实验结果的对比如图7所示。从图7中可以看到，样品1与样品2模型计算与实验测量值拟合程度较好。
表2 不同样品Energetic模型参数
Tab.2 The Energetic model parameter for different samples
参 数数 值 样品1样品2样品3 Ms/(MA/m)1.561.561.56 Ne3.11×10-58.18×10-51.44×10-4 h/(A/m)1.923.776.44 g16.3217.2714.83 k/(J/m3)55.9976.7468.97 q24.9381.6760.24 cr0.690.180.12
图7 不同样品原始Energetic模型计算与实验结果对比
Fig.7 Comparison of the original Energetic model calculations and experimental results for different samples
从图7局部放大图中注意到样品3的磁滞回线在矫顽力处存在明显的局部“变宽”的现象，因此对样品3，考虑对原模型中参数k采用式（21）进行改进，而后重新进行参数辨识，改进Energetic模型中的9个参数辨识结果见表3。对参数k改进前后模型计算与实验结果的对比如图8所示。可以看到，由于原始模型未考虑矫顽力处磁滞回线局部“变宽”现象，在无拉应力下，原始模型在低磁通密度下的模拟效果较差。由于参数k保持常数时，样品1与样品2模型计算与实验测量值拟合程度较好，因此，对样品1与2，不需采用式（21）对原参数k进行改进。
表3 样品3：改进Energetic模型参数
Tab.3 Sample 3: Improved energetic model parameters
参 数数 值 Ms/(MA/m)1.56 Ne1.51×10-4 h/(A/m)5.61 g14.97 k0/(J/m3)53.35 q42.14 cr0.29 Bc0 b0.11
图8 样品3：模型中参数k改进前后计算值与实验结果对比
Fig.8 Sample 3: Comparison between model calculations before and after the improvement of the parameter k and experimental results
对于由拉应力引起的磁场强度变化Hs(s)中参数st的确定，由于参数st表示的是每个样品的临界应力，该参数为不依赖应力的常数，因此对于参数st的提取，仍可通过多目标差分进化算法，从实验测量的不同应力下的磁滞回线数据中辨识得到。本文中无取向硅钢沿轧制方向不同角度样品的st取值见表4。
表4 不同样品st值
Tab.4 The values of st for different samples
样品编号st/MPa 19 216 322
式（14）与式（15）中拉应力sL、sh、sH的选取与临界应力sc之间需满足
（22）
由于本文中采用的样品对应的临界应力sc均大于5 MPa，因此对样品1～3统一选取的拉应力值sL、sh、sH分别为5、30、40 MPa。
上述参数提取过程中，仅用到了拉应力为0、5、30、40 MPa下的实验数据，为了充分说明模型的预测能力，除了评估模型在上述拉应力下的精度外，还取拉应力10 MPa、20 MPa下的两组实验结果与模型计算结果进行对比。不同样品在不同拉应力下模型计算值与实验值对比结果分别如图9～图11所示。由于拉应力下无取向硅钢磁滞特性的非单调变化，为了清晰地展示模型与实验的对比结果，拉应力提高磁化性能的结果如图9a、图10a和图11a所示；拉应力降低磁化性能的结果如图9b、图10b、图11b所示。可以看到，本文中所提模型可以对拉应力下无取向硅钢磁滞特性的非单调特性进行模拟，且具有较强的适用性。
图9 样品1：不同拉应力下模型计算与实验测量磁滞回线对比
Fig.9 Sample 1: Comparison of model calculations and experimental results of hysteresis loops under different tensile stresses
图10 样品2不同拉应力下模型计算与实验测量磁滞回线对比
Fig.10 Sample 2: Comparison of model calculations and experimental results of hysteresis loops under different tensile stresses
图11 样品3不同拉应力下模型计算与实验测量磁滞回线对比
Fig.11 Sample 3: Comparison of model calculations and experimental results of hysteresis loops under different tensile stresses
为了对模型模拟效果进行定量评估，本文中选择归一化方均根误差（Root-Mean-Square Error, RMSE）来反映模型计算与实验测量结果的总体平均误差，RMSE定义[25]为
（23）
式中，N为数据点数；Hs(B(i))与Hm(B(i))分别为第i个数据点B(i)对应的模型计算磁场强度值与实验测量磁场强度值；Hmax为实验测量的最大磁场强度。
不同样品在不同拉应力下模型计算值与实验测量值的归一化方均根误差以及损耗计算误差对比见表5。可以看到，归一化方均根误差均在3%以内，损耗计算误差均在10%以内，验证了本文所提模型的精度。
表5 不同样品模型计算与实验测量归一化方均根误差以及损耗误差对比
Tab.5 Comparison of loss and the normalized root-mean-square error between model calculations and experimental results of different samples
样品编号拉应力/MPa归一化方均根误差(%)损耗误差(%) 101.375 3-8.528 8 51.585 1-6.739 4 101.703 2-3.688 2 202.526 9-1.050 2 302.973 9-1.099 9 402.710 9-1.0939 201.145 40.354 6 51.307 41.195 6 101.477 01.979 5 201.701 08.774 6 301.354 69.061 4 401.331 99.318 9 301.215 4-5.881 3 51.388 9-5.946 0 101.468 5-5.294 5 201.967 32.851 6 302.397 44.760 9 402.223 24.685 5
为了进一步说明考虑矫顽力处磁滞回线局部“变宽”现象，对原始Energetic模型中参数k所作改进的必要性。图12对比了样品3在不同拉应力下参数k改进前后模型计算结果与实验结果。当逐渐增大拉应力时，虽然模型也可准确模拟拉应力下磁滞特性的非单调变化，但其在矫顽力处出现了“细腰”现象，与实验结果出现了严重的偏差。表6定量反映了参数k改进前后模型计算与实验结果的误差，可以看到对参数k进行改进后，模型计算的归一化方均根误差进一步降低，损耗计算误差大幅降低，验证了本文中考虑矫顽力处磁滞回线局部“变宽”现象对参数k所作改进的必要性，进一步拓宽了所提模型的适用范围。
图12 样品3：不同拉应力下参数k改进前后模型计算结果与实验测量磁滞回线对比
Fig.12 Sample 3: Comparison of the model calculations before and after the improvement of the parameter k and the experimental results of the hysteresis loop under different tensile stresses
表6 样品3：模型中参数k改进前后模型计算与实验测量损耗的误差与归一化方均根误差对比
Tab.6 Sample 3: Comparison of loss and the normalized root-mean-square error between model calculations before and after the improvement of the parameter k and experimental results
拉应力/ MPa参数k改进前参数k改进后 损耗计算误差(%)归一化方均根误差(%)损耗计算误差(%)归一化方均根误差(%) 0-21.130 51.993 2-5.881 31.215 4 5-22.476 12.137 4-5.946 01.388 9 10-22.978 02.304 0-5.294 51.468 5 20-17.325 92.464 52.851 61.967 3 30-16.099 92.668 14.760 92.397 4 40-16.335 12.502 44.685 52.223 2
为了充分验证模型在其他激励条件下的通用性，以样品1为例，对模型在低、中磁通密度以及非正弦激励下的通用性进行验证。模型中参数st表示临界应力，为材料本身性质，与激励形式无关，不需要重新提取，此外，拉应力值sL、sh、sH的选取也保持不变，分别为5、30、40 MPa，其他参数则需要重新进行辨识，根据1.5节中所述原则，此处不需要采用式（21）对参数k进行修正，模型已具有较高精度。表7～表9分别为0.6、0.9以及1.2 T下模型参数，图13～图15分别为0.6、0.9以及1.2 T下模型计算与实验测量磁滞回线对比，从图中可以看到，模型在低、中磁通密度下仍具有较高的精度，归一化方均根误差均在3.6%以内，损耗计算误差均在5.8%以内。非正弦激励如图16a所示，从图16b中可以看出，该波形可分解为基波和3次谐波的叠加。表10为非正弦激励下模型参数，图17为非正弦激励下模型计算与实验测量磁滞回线对比，其中归一化方均根误差在5.1%以内，损耗计算误差在8.6%以内。需要说明的是，对于PWM波（含有非对称小磁滞回环）等非正弦激励，需要考虑拉应力对非对称小磁滞回环的影响，还有待开展进一步细致的测量以及模拟分析，这也将是未来重点开展的研究方向。
表7 0.6 T下模型参数
Tab.7 Model parameters at 0.6 T
参 数数 值 Ms/(MA/m)1.56 Ne4.59×10-5 H/(A/m)20.78 g5.14 k/(J/m3)41.65 q32.37 cr0.18 st/MPa9
表8 0.9 T下模型参数
Tab.8 Model parameters at 0.9 T
参 数数 值 Ms/(MA/m)1.56 Ne4.18×10-5 H/(A/m)4.10 g17.34 k/(J/m3)48.91 q32.72 cr0.058 st/MPa9
表9 1.2 T下模型参数
Tab.9 Model parameters at 1.2 T
参 数数 值 Ms/(MA/m)1.56 Ne3.45×10-5 H/(A/m)9.31 g11.43 k/(J/m3)57.06 q51.13 cr0.12 st/MPa9
图13 0.6 T下模型计算与实验测量磁滞回线对比
Fig.13 Comparison of model calculations and experimental results of hysteresis loops at 0.6 T
1）本文不考虑原始Energetic模型中参数与拉应力的依赖关系，而是创造性地将拉应力下的磁场强度解耦为无拉应力磁场强度叠加拉应力引起的磁场强度变化值。基于磁畴能量以及晶体取向理论，通过不同拉应力下磁场强度之间的关系，推导得到拉应力引起的磁场强度变化值，最终建立考虑拉应力非单调影响的磁弹性耦合磁滞模型。
图14 0.9 T下模型计算与实验测量磁滞回线对比
Fig.14 Comparison of model calculations and experimental results of hysteresis loops at 0.9 T
图15 1.2 T下模型计算与实验测量磁滞回线对比
Fig.15 Comparison of model calculations and experimental results of hysteresis loops at 1.2 T
图16 非正弦激励波形
Fig.16 Non-sinusoidal excitation waveform
表10 非正弦激励下模型参数
Tab.10 Model parameters under non-sinusoidal excitation
参 数数 值 Ms/(MA/m)1.56 Ne3.46´10-5 H/(A/m)10.50 g10.38 k/(J/m3)54.37 q48.28 cr0.23 st/MPa9
图17 非正弦激励下模型计算与实验测量磁滞回线对比
Fig.17 Comparison of model calculations and experimental results of hysteresis loops under non-sinusoidal excitation
2）针对无取向硅钢矫顽力处磁滞回线局部“变宽”的现象，通过引入高斯函数，对原始Energetic模型中与磁滞损耗有关的参数k进行改进，并通过参数k改进前后模型计算与实验结果的对比，验证了所提改进方法的有效性，进一步扩展了模型的适用范围。
3）通过与多个样品不同拉应力下实验测量磁滞回线的对比，模型计算与实验测量结果归一化方均根误差均在5.1%以内，损耗计算误差均在10%以内，验证了所提方法的准确性。
4）本文中所提考虑拉应力对无取向硅钢磁性能非单调变化的模型，在低、中、高磁通密度下均具有较高精度，且对不含有小磁滞回环的磁滞回线也具有一定的适用性。
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Abstract Silicon steel sheets are widely used in various types of electrical equipment cores due to their excellent magnetic properties, and they are subjected to mechanical stresses during manufacturing and assembly, especially in the operation process, which will significantly change the magnetic properties of silicon steel sheets.
The hysteresis characteristics of non-oriented (NO) silicon steel sheets under tensile stress show non-monotonic characteristics and critical tensile stress. That is, when the tensile stress is less than the critical tensile stress, as the tensile stress increases, the magnetic domain structure of the silicon steel sheets becomes easier to magnetize. When the tensile stress is greater than the critical tensile stress, as the tensile stress increases, the magnetic domain structure of the silicon steel sheets becomes difficult to magnetize. The non-monotonic variation of the hysteresis characteristics of NO silicon steel sheets under tensile stress brings significant difficulties to the measurement, analysis, and modeling of the hysteresis characteristics of NO silicon steel sheets under tensile stress. Accurate measurement and simulation of the hysteresis characteristics of silicon steel sheets under tensile stress is essential to improve the efficiency of electrical equipment such as power transformers and motors.
The existing models consider the tensile stress on the non-monotonic effect of the magnetic properties of NO silicon steel for qualitative analysis. This paper adds the energy density term caused by the tensile stress to the energy term. The magnetic field strength under tensile stress is decoupled into the sum of the magnetic field strength without tensile stress, and the tensile stress causes a change in the magnetic field strength values. Based on the theory of magnetic domain energy and crystal orientation, the changes in the magnetic field strength caused by the tensile stress improve the magnetic properties, and the influence coefficients are redefined. Therefore, magnetic field strength changes considering the non-monotonic influence of tensile stress on the magnetic properties of NO silicon steel are derived. Accordingly, the corresponding magnetoelastic coupled hysteresis model is established. Aiming at the local “widening phenomenon” of hysteresis loop at coercivity of NO silicon steel, the parameter k related to hysteresis loss in the original Energetic is improved, and the application scope of the model is further broadened.
The proposed model can simulate the hysteresis loops of samples in all directions of NO silicon steel under different tensile stresses. The normalized root mean square errors are all within 3%, and the loss calculation errors are all within 10%. At the same time, the model's generality under low and medium magnetic densities is verified. The normalized root-mean-square errors under low and medium magnetic densities are within 3.6%, and the loss errors are within 5.8%. In addition, the model also has applicability to the hysteresis loops without small hysteresis loops.
Keywords：Non-oriented silicon steel, tensile stress, non-monotonic effects, magneto-elastic coupling model
中图分类号：TM271
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.241703
收稿日期 2024-09-26
改稿日期 2024-11-17
付裕恒 男，1998生，博士研究生，研究方向为软磁材料磁弹性耦合特性测量及模拟与变压器铁心磁力耦合计算方法。
E-mail: yh.fu@ncepu.edu.cn（通信作者）
李 琳 男，1962生，教授，博士生导师，研究方向为电磁场理论及应用与先进输变电技术。
E-mail: lilin@ncepu.edu.cn
（编辑 郭丽军）