图1 直流微电网集群结构
Fig.1 DCMGC structure diagram
摘要 直流微电网集群由地理上毗邻的多个直流微电网灵活互联而成，代表了未来配用电系统的重要发展方向。然而，高阶、强耦合、非线性以及动态变化等复杂系统特性使得直流微电网集群的大信号稳定性分析面临巨大挑战。传统集中式建模方法需要获取系统整体动态模型，随着微电网单元个数的增加，会导致系统大信号稳定性分析无法求解且不具备可扩展性等问题。为此，将直流微电网集群统一描述为包含多个子系统互联的大系统，提出基于输入-状态稳定条件的分布式大信号稳定性分析方法。首先，根据系统拓扑和控制结构建立分布式大信号降阶模型；然后，借助输入-状态稳定条件导出直流微电网集群的分布式大信号稳定性判据，并根据具体算例得到稳定区间，分析关键参数对稳定性的影响趋势；最后，通过硬件在环实验结果验证分析方法的有 效性。
关键词：直流微电网集群 分布式建模 大信号稳定性 输入-状态稳定
直流微电网（DC Microgrid, DCMG）一般由分布式能源、储能系统和本地负载组成直流母线型小型自治电力网络，能够自主灵活运行于孤岛或并网模式中。相较于交流微电网，直流微电网更易于接入光伏、储能和直流负载等本质直流单元，可省去一些中间功率变换环节，因此具备更高效率和更低成本；直流系统控制因不涉及交流频率相关变量，控制更加简便，近年来受到学术界和企业界越来越多的关注[1-4]。随着直流微电网技术的发展，可将相邻的多个直流微电网动态连接成直流微电网集群（DC Microgrid Cluster, DCMGC），通过系统级的功率管理能够进一步提高分布式供电效益与可靠性[5-7]。
然而，以分布式能源及电力电子变换器为主导的网络结构使得直流微电网及其集群系统呈现低惯性和高阻抗的弱电网特性。同时，系统也时刻受到各类大幅度扰动的影响，如分布式能源的间歇性、负载大范围投切、单元热插拔、工作模式切换以及短路故障等，为直流微电网集群的大信号稳定运行带来严峻挑战[8-10]。
目前，对于直流微电网及其集群系统的稳定性研究主要集中于小信号稳定性分析，且多数研究对象局限于单个微电网，其分析方法主要包含状态空间法和阻抗法两大类。状态空间法从状态方程出发描述系统动态，对于多输入多输出对象的动态建模具有统一性，是时域法的重要基础[11-12]。然而，状态空间法会随着状态变量个数的增加而使得状态方程阶数提高，这将导致直流微电网集群小信号稳定性的求解效率显著降低。相较而言，基于频域法的阻抗建模从变换器或耦合点的端口外特性出发，不依赖于其内部物理结构，可为复杂分布式电力系统的稳定性分析提供模块化的解决方案；同时小信号阻抗便于测量，以阻抗比导出次环路增益并由此作为稳定性判定依据，在工程应用上也具有更清晰的物理意义[13-14]。尽管小信号建模方法能够描述系统工作点附近较小区域内的稳定性，充足的稳定裕度设计也能获得部分条件下一定程度的大信号稳定运行，但从建模机理和实际需求两方面而言，均无法确保直流微电网集群宽范围参数波动和拓扑动态变化下的大信号运行[15-16]。
因此，有必要借助非线性系统理论工具对直流微电网集群的大信号稳定性进行有效分析。现有的大信号稳定性研究往往基于降阶模型构造李雅普诺夫（Lyapunov）函数，并采用Lyapunov直接法[17]、Takagi-Sugeno（T-S）建模法[18]和混合势函数理论[19]等方法分析直流微电网及其集群的大信号稳定性。文献[17]应用Lyapunov直接法分析直流微电网大信号稳定性，但对于单元个数较多的直流微电网及其集群系统等复杂网络时，Lyapunov函数的建立面临巨大挑战。文献[18]采用T-S模糊模型法进行了直流微电网集群大信号稳定性分析，将原有非线性模型通过模糊化处理，系统的稳定性判定可简化为线性矩阵不等式的求解问题，借助现有求解工具便于稳定域的估计。但非线性变量的增加将显著增大系统计算量，导致求解效率急剧下降。文献[19]利用了混合势函数理论研究直流微电网集群大信号稳定性，基于完备电路假设，从能量守恒角度提取网络的混合势函数，并由此导出了解析形式的稳定性判据。虽然上述方法能够对特定对象直流微电网及其集群系统进行大信号稳定性判定与验证，但考虑到单元的热插拨及拓扑动态变化特性，同时随着系统阶数的提高，直流微电网集群的大信号稳定性分析将面临计算量的显著提升，进而导致稳定性的求解遭遇维数灾难问题，且分析结果不具有动态可扩展特性。
综上所述，以直流微电网集群为研究对象，为解决现有基于集中式建模的大信号稳定性分析存在求解困难和扩展性差的问题，本文提出基于输入-状态稳定性（Input-to-State Stability, ISS）条件的分布式大信号稳定性分析思路。以ISS理论[20-22]为框架，首先，将分布式分层控制直流微电网集群系统分解为主电路和控制环路两大部分；然后以本地直流微电网为基础，分别将主电路和控制环路进一步分解为若干个孤岛子系统及其耦合部分，从而进行分布式大信号建模。其次，借助ISS理论直接构造分布式模型的ISS-Lyapunov函数，由此导出集群系统大信号稳定性判据。最后，通过具体算例估算出集群系统大信号稳定区域，同时分析重要参数与稳定区域之间的变化关系，并通过硬件在环实验验证了分析的正确性。
图1给出了直流微电网集群的结构，其中图1a所示为单个直流微电网的拓扑结构，由分布式发电单元、电池储能系统和各种本地负载组成。每个单元通过DC-DC或AC-DC变换器连接到主直流母线，rik为蓄电池储能单元线路电阻，Lik为蓄电池储能单元线路电感，Cik为母线侧的滤波电容，下标ik表示第i（i=1, 2,…, n）个直流微电网（DCMGi）内第k（k=1, 2,…, m）个蓄电池储能单元。图1b为由多个直流微电网通过联络线互联形成的直流微电网集群，并可根据需求连接为环形、星形或网格形拓扑结构，rnt和Lnt分别为第n条网间联络线的电阻和电感，int为流经第n条联络线的电流。可以看出，每个直流微电网均包含多个异质结构单元，光伏、风机、储能和负载的特性与控制方式各异，且集群的控制涉及功率分配、电能质量控制以及系统级功率管理等多时间尺度目标。现有方法主要采用分层控制的方式，以实现控制目标的解耦设计[23-26]。其中，一次控制一般采用无通信下垂控制，通过虚拟电阻来实现网内各并联构网变换器间的自主功率分配；二次控制通过分布式通信实现一致性电压算法，来消除电压偏差；而三次控制则主要用于各直流微电网间的系统级功率管理，以实现集群全局功率分配与动态均衡。
图1 直流微电网集群结构
Fig.1 DCMGC structure diagram
为分析简便，根据分层控制目标可将单个直流微电网进行大信号降阶处理，在保留其主要动态特性的基础上，采用以等效受控源为核心的简化电路模型[19]，由此可导出直流微电网集群的大信号简化模型。
图2给出了基于分层控制直流微电网集群的等效降阶电路模型，其中为了描述统一性，将分层控制部分也转化为等效电路模型。图中，Vref、ieIII-i、dVIII-i、VeII-i、dVII-i、Rdi、iiref、iei、voi和ioi分别为第i个直流微电网DCMGi内的参考电压、三次控制中邻网和本网之间的电流偏差量、三次控制输出的电压调控量、二次控制电压偏差量、二次控制输出的电压调控量、下垂电阻、参考电流、电流环偏差信号、输出电压和输出电流；Re为等效负阻抗，以消除VeII-i和dVII-i关系式分母中常数项；Kpv-i与Kiv-i为一次控制电压外环的PI参数，Kpi-i与Kii-i为一次控制电流内环的PI参数，KpII-i和KiII-i、KpIII-i和KiIII-i分别为二、三次控制环路的PI参数；ri、Li、Ci、vbusi和PECPLi分别为DCMGi内的线路电阻、线路电感、母线电容、直流母线电压和等效恒功率负载（Equivalent Constant Power Load, ECPL），数量上PECPLi为恒功率源（Constant Power Source, CPS）和恒功率负载的合并取值，即
；Lit、iit和rit分别为本地联络线电感、电流和联络线电阻。
图2 分层控制直流微电网集群的等效降阶电路模型
Fig.2 Equivalent reduced-order circuit model of the DCMGC with hierarchical control
由图2可知，尽管对单个直流微电网进行了降阶处理，但随着接入微电网个数的增加，同时伴随着微电网的动态接入和切出（热插拔），直流微电网集群系统的大信号稳定性分析仍旧面临求解困难和可扩展性差两大问题。为此，考虑从分布式角度导出系统的大信号模型，即以本地直流微电网（n个）的动态特性为基础，兼顾与邻网的耦合动态（主要涉及三次控制和联络线相关变量），由此进行n次分布式建模与计算便可得到整体集群的稳定性。
根据图2模型，可列写出DCMGi分层控制下的分布式大信号状态方程组为
（1）
式中，di为占空比；L(i-1)t、i(i-1)t、r(i-1)t分别为相邻网间联络线电感、电流、联络线电阻；vbus(i-1)、vbus(i+1)均为相邻网间直流母线电压；vavg-i为二次控制调整后电压；ioj为相邻网间的输出电流。
考虑由n个子系统互联且具有外部输入的大规模非线性系统（集群），可描述为
（2）
式中，
为系统的状态向量，
为n维欧几里得空间；
为系统的耦合（通信）向量；
表示邻域，
；
为系统的外加输入向量；
：
为局部Lipschitz函数且
。在直流微电网集群系统中，子系统可以为单个直流微电网、本地分层控制器、相邻直流微电网间耦合关系、相邻控制器间通信等。
以DCMGi为中心，列写出与模型式（1）等价的第i个子系统分布式大信号模型为
（3）
式中，DCMGi本地动态中状态变量xi1、xi2、xi3分别为ioi、vbusi、voi；voi、Vref分别为扰动输入量ui1、ui2；DCMGi耦合动态中状态变量
、
、
、
分别为相邻网间联络线电流、本地联络线电流、vavg-i、本网内输出总电流；扰动输入量
、
分别为相邻网间的直流母线电压、除本网外的输出总电流。
输入-状态稳定性（ISS）的概念由E. D. Sontag教授于20世纪80年代提出[20]，其核心思想有机结合了两种稳定性分析的基本方法，即状态空间法（Lyapunov理论）和算子法（ISS），为互联系统的稳定性分析奠定基础。
范数[27]和比较函数[28]是分析系统ISS的重要工具，其中常见的范数形式包括1-范数、
-范数和Euclid范数（
）；比较函数则主要包括K 类和KL 类函数，说明如下：如果连续函数
严格递增，且
=0，则
属于K 类函数；如果
，且当
时
，则属于K∞类函数。对于连续函数
，如果对于每个固定的s，
属于K 类函数，对于固定的r，函数是递减的，并且当
时，
，则
属于KL 类函数。
那么对于系统式（2），其ISS的定义[20]如下：如果系统存在KL 类函数
和K 类函数
、
；使对于任何初始状态
和有界输入
，解
对于所有
都存在，且满足
（4）
则系统是ISS的。
基于ISS的定义引出ISS-Lyapunov函数的概念：对于连续可微函数V：
是连续可微函数，满足
（5）
（6）
式中，
，
；
和
属于K∞类函数；
为K类函数；
为
上的连续正定函数，则系统式（2）是ISS的。
ISS方法在分析直流微电网集群系统大信号稳定性时，其核心思路是“分解协调”，与分布式建模和控制思路类似，即先将直流微电网集群系统分解为若干子系统（单个孤岛微电网），利用各子系统的ISS特性及其连接（耦合）关系研究整体系统的稳定性。
图3所示为直流微电网集群系统大信号稳定性分析的主要流程。在系统分解的基础上，分别得到各个孤岛直流微电网子系统及其耦合关系的ISS条件，当所有子系统及其耦合关系均满足ISS条件时，则能得出直流微电网集群系统的大信号充分稳定的结论；反之，若其中任一子系统或耦合关系不满足ISS条件，则无法判定整体集群系统大信号稳定。这也与Lyapunov直接法仅能得到非线性系统充分稳定条件的原理相一致。
为了实现由“分解”的子系统的稳定性判断互联后系统的稳定性，需要研究满足互联后系统的稳定条件。文献[22]通过推导证明和算例验证给出了局部的ISS充分条件，说明当分解的子系统都能满足ISS的充分条件时，可确保整体互联系统的充分稳定。下面将ISS的充分条件以引理的形式给出。
图3 直流微电网集群系统大信号稳定性分析流程
Fig.3 Flowchart for large signal stability analysis of DCMGC system
引理[22]：假设式（4）对于任意的
成立，如果系统存在互联参数
满足
（7）
且对于所有的
和成立，那么能够通过局部子系统稳定性来保证整体互联系统的稳定性。
应用ISS理论分析直流微电网集群的大信号稳定性，需要先构造合适的ISS-Lyapunov函数。本文采用平方型Lyapunov函数方法构造各子系统的ISS-Lyapunov如下：
（1）针对DCMGi本地子系统主电路和控制环路的ISS-Lyapunov函数VLP和VLC分别为
（8）
其中
（2）DCMGi间耦合关系主电路和控制环路的ISS-Lyapunov函数VCP和VCC分别为
（9）
其中
根据Lyapunov函数性质，需对其进行导数运算，即对式（8）求导可得
（10）
其中
根据Young不等式
（11）
可进一步得到
（12）
基于式（4）和1-范数，计算可得到能保证DCMGi本地子系统稳定的互联参数为
（13）
同理，对式（9）求导可得
（14）
根据式（11），可进一步得到
（15）
基于式（4）和∞-范数，计算可得到能保证DCMGi间耦合关系稳定的互联参数为
（16）
根据以上分析，同理可分别求得其余各子系统互联参数
、
；当各子系统的互联参数均满足ISS的充分条件时，可得到直流微电网集群系统分布式大信号稳定性判据为
（17）
（18）
（19）
（20）
综上所述，当各子系统都能够满足ISS的充分条件，即式（17）～式（20）同时成立，子系统及其耦合充分稳定（分布式稳定），如此通过n次分布式稳定依据判定，便可保证直流微电网集群系统大信号稳定。
为便于直观分析，图4给出了以6个直流微电网组成的集群算例拓扑，其中每个微电网均包含光伏发电单元、两组蓄电池和恒功率负载。表1和表2分别列出了孤岛直流微电网及其耦合项参数；为突出集群系统级的大信号稳定性分析，假设各直流微电网除负载功率外的其他参数保持一致，而耦合联络线的参数则各不相同。
图4 含6个直流微电网组成的集群算例拓扑
Fig.4 The DCMGC topology with six microgrids
将表1和表2参数代入式（17）～式（20）中，可计算出确保集群系统大信号稳定的各主要参数区间。
将各参数代入式（17）中的稳定性判据可得：PECPLi＜1.405 2 kW（i=1,…, 6）。
当等效功率PECPLi满足式（17）稳定区间时，为获得其他参数的稳定区间，代入其他确定参数可得到网内等效线路电阻ri、母线电容Ci、线路电感Li和下垂系数Rdi及网间联络线电阻rit、电感Lit。
（1）等效线路电阻ri和线路电感Li的稳定区间。分析稳定性判据式（17），可以看出，等效线路电阻ri的计算只与等效恒功率负载PECPLi、母线电容Ci和线路电感Li有关，通过计算得到等效线路电阻ri稳定区间为：ri＜1.26 W；同理代入参数可得到等效线路电感Li稳定区间为：Li＜2 mH。
表1 孤岛DCMGi参数
Tab.1 Islanded parameters of DCMGi
参 数数 值 直流母线电压vbusi/V48 等效线路电阻ri/W0.1 等效线路电感Li/mH1 等效母线电容Ci/mF2 二次控制环路系数bi1 二次控制PI参数KpII-i0.5 KiII-i20 下垂系数Rdi0.1 电压环PI参数KpV-i1 KiV-i25 电流环PI参数Kpi-i0.2 Kii-i40 开关频率fsb/kHz10
表2 DCMGi耦合项参数
Tab.2 Coupled parameters with DCMGi
参 数数 值 网间联络线1电阻r1t/W1.5 网间联络线1电感L1t/mH0.2 网间联络线2电阻r2t/W2 网间联络线2电感L2t/mH0.25 网间联络线3电阻r3t/W2.5 网间联络线3电感L3t/mH0.3 网间联络线4电阻r4t/W3 网间联络线4电感L4t/mH0.35 网间联络线5电阻r5t/W3.5 网间联络线5电感L5t/mH0.4 网间联络线6电阻r6t/W4 网间联络线6电感L6t/mH0.45 三次控制环路系数ai1 三次控制PI参数KpIII-i0.1 KiIII-i10
（2）等效母线电容Ci的稳定区间。等效母线电容Ci稳定区间的计算只与恒功率负载PECPLi、等效线路电阻ri和线路电感Li有关。同理代入参数可得到母线电容Ci稳定区间为：Ci＞0.5 mF。
（3）下垂系数Rdi的稳定区间。根据稳定性判据式（18），下垂系数Rdi稳定区间的计算主要与网内控制PI参数有关。通过将直流微电网进行降阶处理，采用二阶简化电路模型对系统稳定性进行分析。将各参数代入式（18）中的稳定性判据，可得下垂系数Rdi的稳定区间为：Rdi＜3 W。
（4）网间联络线电阻rit的稳定区间。在保证集群内各直流微电网参数在稳定区间，分析稳定性判据式（19），网间联络线电阻rit稳定区间的计算主要与网间联络线电感Lit有关。当Lit＞L(i-1)t时，rit＞0.75 W；当Lit＜L(i-1)t时，rit＞1.25 W。
（5）网间联络线电感Lit的稳定区间。同理将相关参数代入稳定性判据式（19），可得到网间联络线电感Lit的稳定区间为：Lit＜0.82 mH。
此外，图5给出了6个微电网的互联参数及其对应的等效恒功率负载之间的关系，假设给定各个微电网的本地负载功率如下：DCMG1为0.4 kW，DCMG2为0.6 kW，DCMG3为0.8 kW，DCMG4为1.0 kW，DCMG5为1.2 kW，DCMG6为1.4 kW。由此可直接观测在该功率条件下各个微电网的稳定分布情况。由图5可知，负载功率越小的微电网，其互联参数也越小，意味着其稳定性越强；反之，则稳定性越弱。
图5 不同负载功率条件下包含6个微电网的互联参数计算
Fig.5 Computation of the interconnection parameter of the six microgrids under different load power
同时，也可设置在相同负载功率条件下分析各个微电网在集群运行中的稳定分布情况，相同负载功率下6个网的微电网间互联参数分布如图6所示。假设各微电网的本地等效恒功率负载均为1.2 kW，在此条件下可观测各微电网网间互联参数的分布情况。由图6可知，网间互联参数随着网间联络线电阻的增加而减小，说明微电网的稳定性呈增强趋势。依此类推，在分析稳定性的变化趋势上，还可考虑其他不同的工作及应用场景。
图6 相同负载功率下6个网的微电网间互联参数分布
Fig.6 The distribution of the interconnection parameters of the six microgrids under the same load power
为进一步分析集群系统大信号稳定性判据及各主要参数稳定区间，在式（18）～式（20）满足ISS的充分条件下，通过式（17）得到如图7所示网内的参数稳定性边界，从上至下依次为等效恒功率负载PECPLi、等效线路电阻ri、等效线路电感Li和等效母线电容Ci。由图7a可知，当不满足集群系统稳定性判据时，系统在网内互联参数突增后崩溃；图7b为等效线路电阻ri稳定性边界，随着等效线路电阻ri增大，网内互联参数突降后系统母线电压有较大电压跌落；图7c为等效线路电感Li稳定性边界，提高等效线路电感Li会减小稳定范围，网内互联参数也会逐渐增加以至于不满足ISS的充分条件；图7d为等效母线电容Ci稳定性边界，当不满足式（17）参数稳定性边界时，网内互联参数将不满足ISS的充分条件；增加母线电容能够提高网内互联参数，同时也扩大了集群系统稳定范围。
为了更好地观测分析结果，图8给出了四种情况下网内各参数对网内互联参数影响的三维图，与图7分析结果基本相符。
（a）等效恒功率负载PECPLi
（b）等效线路电阻ri
（c）等效线路电感Li
（d）等效母线电容Ci
图7 网内的参数稳定性边界
Fig.7 Parameter stability boundaries within the microgrid
（a）互联参数对PECPLi、ri （b）互联参数对PECPLi、Li
（c）互联参数对PECPLi、Ci （d）互联参数对Ci、Li
图8 网内各参数对互联参数影响的三维图
Fig.8 Three-dimensional diagram of the influence of each parameter within microgrid on the interconnection parameters
同理，在式（17）、式（18）、式（20）满足ISS的充分条件下，分析式（19）得到如图9所示网间的参数稳定性边界。图9a、图9b分别为不同参数条件下对应的网间联络线电阻rit的稳定区间，由图9可知，通过增加网间联络线电阻rit，在一定程度上可以扩大集群系统的稳定范围且网间互联参数也满足ISS的充分条件；通过图9c中Lit在不同参数下（针对rit＞1 W）的稳定范围可知，提高网间联络线电感Lit超过ISS的充分条件时，会导致网间互联参数降低，因此将会降低集群系统的稳定区域，同时在满足ISS的充分条件下，网间联络线电感的变化对集群系统大信号稳定性影响不够显著。
（a）Lit＞L(i-1)t
（b）Lit＜L(i-1)t
（c）rit＞1 W
图9 网间的参数稳定性边界
Fig.9 Parameter stability boundary between microgrids
图10给出了网间各参数对互联参数影响的三维图。由图10可知，其变化趋势与图9保持一致。虽然图9a与图9b是在不同参数条件下得到的网间联络线电阻rit的稳定区间，但分析结果比较接近，因此只需一组网间各参数对互联参数影响的三维图也能够得到整体分析结果。
图10 网间各参数对互联参数影响的三维图
Fig.10 Three-dimensional diagram of the influence of network parameters on interconnection parameters
虽然分布式建模与集中式建模存在本质不同，但为了明确二者在分析结果上的差异，同时考虑到集中式建模的可解性，本节以2个直流微电网互联形成的最小集群系统为具体研究对象。
由图2模型，可以直接列写出含两个微电网的直流微电网集群集中式模型，并基于ISS的充分条件得到直流微电网集群系统集中式大信号稳定性判据；进而能够得到DCMG1、DCMG2集中式等效恒功率负载的稳定性边界为PECPL＜1.550 4 kW。通过3.1节分析可知，DCMG1、DCMG2分布式等效恒功率负载的稳定性边界为PECPL＜1.405 2 kW。
图11与图12分别给出了两种方法的等效恒功率负载稳定性边界。对比可知，基于集中式建模的预测结果中，等效恒功率负载的功率在超过1.55 kW时，DCMG1和DCMG2的互联参数都将超出ISS的充分条件；而对于分布式建模的预测结果，等效恒功率负载的功率边界值则在超过1.4 kW时不满足ISS的充分条件。因此，集中式建模方法得到的稳定性边界比分布式建模稍宽，说明后者在分析保守性方面稍微偏高。但随着集群系统规模的不断扩大，集中式建模会面临由于阶数过高而导致无法求解的问题；且微电网单元发生拓扑变化时，集中式建模需要重新进行计算，说明分析结果也不具备可扩展性。
（a）DCMG1
（b）DCMG2
图11 集中式建模参数稳定性边界
Fig.11 Stability boundary of the centralized modeling
（a）DCMG1
（b）DCMG2
图12 分布式建模参数稳定性边界
Fig.12 Stability boundary of the distributed modeling
综上所述，表3对两种方法进行了简要对比。可以看出，除了在分析保守性方面稍具劣势，分布式建模方法在建模复杂度、可解性和可扩展性方面均具有优势。
表3 两种建模方法比较
Tab. 3 Comparison of two modeling methods
性能指标分布式建模集中式建模 建模复杂度低高 可解性高低 保守性稍高较低 可扩展性具备不具备
为了验证上述直流微电网集群大信号稳定性分析结果的有效性，搭建了控制器硬件在环实验（Controller Hardware-In-the-Loop experiment, CHIL）平台。如图13a所示，直流微电网集群的硬件在环实验平台由实时仿真平台dsPACETM MicroLabBox、微控制器STM32、下载调制器J-LINK、示波器和计算机组成；图13b给出了具体的运行流程：首先，在Matlab/Simulink中搭建主电路模型，并通过RTI库对模型进行编译，生成MicroLabBox可执行的.sdf文件；其次，系统所需的控制信号由外部的STM32给出，通过预留的ADC端口采集到系统中并进行控制，同时将分层控制所需的系统状态变量通过DAC端口输出给控制器；最后，计算机2与MicroLabBox之间通过IPV4协议进行本地通信，可执行的.sdf文件在Control Desk上位机中被下载至MicroLabBox中运行，同时，计算机1对系统进行实时观测和调试。
（a）实验平台照片
（b）实验平台运行流程
图13 直流微电网集群硬件在环实验平台
Fig.13 Hardware-in-the-loop platform of the DCMGC
考虑到直流微电网集群的主要运行场景，实验验证将从分层控制策略有效性、恒功率负载跳变以及拓扑结构变化三个方面分别进行。
以图2中的等效降阶电路模型为基础，光伏发电单元通常工作在最大功率模式，其输出最大功率PCPSi=1 kW。同时，从公共母线侧看进去，光伏发电单元为恒功率源，建模上可与恒功率负载合并为等效的恒功率负载，即PECPLi=PCPLi-PCPSi，从而折算出原恒功率负载的稳定范围为PCPLi＜2.405 2 kW。
图14给出了直流微电网集群分层控制下的响应波形。由图14可知，系统初始时各网内等效恒功率负载分别为PECPL1=0.7 kW、PECPL2=0.8 kW、PECPL3= 0.9 kW；初始没有加入三次控制，通过一次、二次控制来实现网内变换器间的功率分配和母线电压稳定；10 s后加入三次控制，平滑实现了系统级网间的功率均衡。
结果表明：直流微电网集群系统分布式大信号稳定性判据对于系统稳定性的预测是较为准确的，能够通过单个本地分层控制器i及相邻耦合的分布式通信链路的稳定性保证整个直流微电网集群系统的分层控制环路的稳定性。
（a）直流母线电压
（b）蓄电池储能系统输出总电流
（c）联络线电流
（d）ECPL功率
图14 直流微电网集群系统分层控制实验结果
Fig.14 Experimental results of the hierarchical control for the DCMGC
为了验证在满足ISS判据条件下，得到的恒功率负载稳定性边界准确性，设置恒功率负载PCPLi由1.5 kW分别阶跃至2.3、2.4、2.5 kW，对应的实验结果如图15所示。
由图15可知，低于恒功率负载稳定范围，直流母线电压没有发生振荡，系统稳定运行；在恒功率负载范围边界时，母线电压略微振荡，系统稳定性开始受到影响；超过恒功率负载稳定范围，母线电压大幅振荡，导致系统运行不稳定。因此，当满足直流微电网集群大信号稳定性判据时，实验结果验证了该判据是正确的，且能够量化系统可承受的外部扰动大小，结果偏差也在可接受范围内。
图16所示为直流微电网集群在链形拓扑切换到环形拓扑以及验证直流微电网集群可扩展性的响应波形。其中，图16a～图16d分别给出了系统由孤岛到两个直流微电网互联、再至3个直流微电网互联、再至4个微电网互联以及最后由链形拓扑切换到环形拓扑的实验结果，表明系统在满足ISS稳定判据的前提下均能稳定运行，说明系统具有良好的可扩展性。
（a）PCPLi: 1.5 kW→2.3 kW
（b）PCPLi: 1.5 kW→2.4 kW
（c）PCPLi: 1.5 kW→2.5 kW
图15 直流微电网集群的CPL 阶跃响应
Fig.15 Response of the DCMGC to the CPL step transients
（a）孤岛至2个直流微电网互联
（b）2个至3个直流微电网互联
（c）3个至4个直流微电网互联
（d）链形拓扑切换至环形拓扑
图16 拓扑结构变化下的系统响应
Fig.16 Responses of the system to the topology change
根据4.2节恒功率负载的稳定范围计算过程，系统大信号稳定性也会受到源侧出力变化的影响。图17给出了系统随源侧输出功率变化的响应。初始时各微电网内恒功率负载均为PCPLi=2.2 kW、光伏发电单元工作在最大功率模式，其输出最大功率为PCPSi=1 kW；然后将源侧输出功率从PCPSi=1 kW降低至PCPSi=0.8 kW，此时等效恒功率负载的功率变为PECPLi=1.4 kW，仍然满足系统大信号稳定性判据的功率界限，系统保持稳定运行；最后将源侧输出功率从PCPSi=0.8 kW降低至PCPSi=0.7 kW，此时等效恒功率负载的功率变为PECPLi=1.5 kW，超出系统大信号稳定性判据的功率界限，导致系统不稳定运行，母线电压发生大幅振荡。
（a）直流母线电压
（b）ECPL功率
图17 光伏发电单元出力变化的瞬态响应
Fig.17 Transient response to the output power change of the PV units
本文以直流微电网集群为研究对象，针对现有集中式建模大信号稳定性分析中存在求解困难和可扩展性差的问题，提出了基于输入-状态稳定性（ISS）条件的分布式大信号稳定性分析方法，通过理论分析与硬件在环实验验证，得出主要结论如下：
1）分布式大信号稳定判据将原有集中式建模的思路转变为“化整为零”，从根本上简化了计算过程，且具有可扩展性，尤其对于微电网（单元）动态切入切出条件下的分析，无需再次通过整体建模和计算。
2）输入-状态稳定性较好地结合了子系统外部增益和内部动态特性，以直流微电网集群的大信号稳定为条件，能够便于确定系统可承受扰动的幅度，实验结果验证了算例分析具有良好的准确度。
参考文献
[1] Hou Nie, Ding Li, Gunawardena P, et al. A partial power processing structure embedding renewable energy source and energy storage element for islanded DC microgrid[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2023, 38(3): 4027-4039.
[2] 张泽华, 宋桂英, 张晓璐, 等. 考虑恒功率负载的直流微电网稳定性与鲁棒性控制策略[J]. 电工技术学报, 2023, 38(16): 4391-4405.
Zhang Zehua, Song Guiying, Zhang Xiaolu, et al. Stability and robustness control strategy of DC microgrid considering constant power load[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(16): 4391-4405.
[3] Zhang Zhe, Fang Jingyang, Dong Chaoyu, et al. Enhanced grid frequency and DC-link voltage regulation in hybrid AC/DC microgrids through bidirectional virtual inertia support[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2023, 70(7): 6931-6940.
[4] 赵先浩, 谢红福, 刘飞, 等. 基于多端口电能路由器的楼宇直流微电网研究与应用[J]. 电气技术, 2022, 23(8): 75-83.
Zhao Xianhao, Xie Hongfu, Liu Fei, et al. Research and application of building DC microgrid based on multi port power router[J]. Electrical Engineering, 2022, 23(8): 75-83.
[5] Wang Panbao, Zaery M, Zhao Di, et al. Combined control strategy for proportional current sharing in DC microgrid clusters[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2023, 70(11): 11251-11261.
[6] 王力, 谭振杰, 曾祥君, 等. 基于改进等效电路模型的直流微电网大信号稳定性分析[J]. 电工技术学报, 2024, 39(5): 1284-1299.
Wang Li, Tan Zhenjie, Zeng Xiangjun, et al. Large signal stability analysis of DC microgrid based on improved equivalent circuit model[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(5): 1284- 1299.
[7] Jena S, Padhy N P, Guerrero J M. Cyber-resilient cooperative control of DC microgrid clusters[J]. IEEE Systems Journal, 2022, 16(2): 1996-2007.
[8] 刘笑, 杨建, 李力, 等. 基于机器学习的带被动阻尼直流微电网系统的稳定性检测[J]. 电工技术学报2024, 39(8): 2281-2293.
Liu Xiao, Yang Jian, Li Li, et al. Stability detection of DC microgrid system with passive damping based on machine learning[J]. Transactions of China Electro- technical Society, 2024, 39(8): 2281-2293.
[9] 杨建, 刘笑, 董密, 等. 基于深度学习的恒功率负荷直流微电网稳定性分析[J]. 电力系统自动化, 2023, 47(15): 188-197.
Yang Jian, Liu Xiao, Dong Mi, et al. Deep learning based stability analysis of DC microgrid with constant power loads[J]. Automation of Electric Power Systems, 2023, 47(15): 188-197.
[10] 滕昌鹏, 王玉斌, 周博恺, 等. 含恒功率负载的直流微网大信号稳定性分析[J]. 电工技术学报, 2019, 34(5): 973-982.
Teng Changpeng, Wang Yubin, Zhou Bokai, et al. Large-signal stability analysis of DC microgrid with constant power loads[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(5): 973-982.
[11] Middlebrook R, Cuk S. Input filter considerations in design and application of switching regulators[C]// IEEE Industrial Applications Society Annual Meeting, Chicago, USA, 1976: 366-382.
[12] 章飞, 周子凡, 顾伟, 等. 基于状态空间方程和开关函数的VSC电磁暂态仿真通用建模方法[J]. 电力系统自动化, 2023, 47(23): 84-91.
Zhang Fei, Zhou Zifan, Gu Wei, et al. General modeling method of voltage source converter for electromagnetic transient simulation based on state space equation and switching function[J]. Automation of Electric Power Systems, 2023, 47(23): 84-91.
[13] Yan Xiaoheng, Huang Shangfei, Smolik W T, et al. A detection method for fast electrical impedance imaging of grounding grid based on optimized differential-multigrid-homotopy algorithm[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 1059, 72: 3528714.
[14] Shi Yanyan, Yang Ke, Wang Meng, et al. Robust compensation of contact impedance change with fully connected neural network in brain EIT[J]. IEEE Sensors Journal, 2023, 23(17): 20169-20179.
[15] Jithin K, Mayadevi N, Kumar R H, et al. Stability analysis of DC microgrid clusters based on step- by-step system matrix building algorithm[J]. Journal of Modern Power Systems and Clean Energy, 2024, 12(3): 900-912.
[16] Jena S, Padhy N P. Reconfigurable and privacy- preserving economical operation for interconnected DC microgrid clusters[J]. IEEE Systems Journal, 2023, 17(3): 5047-5058.
[17] Xie Wenqiang, Han Minxiao, Cao Wenyuan, et al. System-level large-signal stability analysis of droop- controlled DC microgrids[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2021, 36(4): 4224-4236.
[18] Liu Sucheng, Li Xiang, Xia Mengyu, et al. Takagi- Sugeno multimodeling-based large signal stability analysis of DC microgrid clusters[J]. IEEE Transa- ctions on Power Electronics, 2021, 36(11): 12670- 12684.
[19] 刘宿城, 李响, 秦强栋, 等. 直流微电网集群的大信号稳定性分析[J]. 电工技术学报, 2022, 37(12): 3132-3147.
Liu Sucheng, Li Xiang, Qin Qiangdong, et al. Large signal stability analysis for DC microgrid clusters[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(12): 3132-3147.
[20] Sontag E D. Smooth stabilization implies coprime factorization[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1989, 34(4): 435-443.
[21] Jiang Zhengping, Teel A R, Praly L. Small-gain theorem for ISS systems and applications[J]. Mathematics of Control, Signals and Systems, 1994, 7(2): 95-120.
[22] Mirabilio M, Iovine A, De Santis E, et al. Scalable mesh stability of nonlinear interconnected systems[J]. IEEE Control Systems Letters, 2022, 6: 968-973.
[23] Sun Shengxin, Tang Chenyu, Xie Da, et al. Passivity-based stability analysis of DC microgrids using physically decoupled model[J/OL]. IEEE Transactions on Power Systems, 2023: 1-12 [2023- 12-06]. DOI: 10.1109/TPWRS.2023.3339815.
[24] 王力, 胡佳成, 曾祥君, 等. 基于混合储能的交直流混联微电网功率分级协调控制策略[J]. 电工技术学报, 2024, 39(8): 2311-2324.
Wang Li, Hu Jiacheng, Zeng Xiangjun, et al. Power hierarchical coordinated control strategy of AC/DC hybrid microgrid based on hybrid energy storage[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(8): 2311-2324.
[25] Barati F, Ahmadi B, Keysan O. A hierarchical control of supercapacitor and microsources in islanded DC microgrids[J]. IEEE Access, 2023, 11: 7056-7066.
[26] 李忠文, 程志平, 张书源, 等. 考虑经济调度及电压恢复的直流微电网分布式二次控制[J]. 电工技术学报, 2021, 36(21): 4482-4492.
Li Zhongwen, Cheng Zhiping, Zhang Shuyuan, et al. Distributed secondary control for economic dispatch and voltage restoration of DC microgrid[J]. Transa- ctions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(21): 4482-4492.
[27] Drazin P G. Nonlinear systems[M]. Cambridge [England]: Cambridge University Press, 1992.
[28] Kellett C M. A compendium of comparison function results[J]. Mathematics of Control, Signals, and Systems, 2014, 26(3): 339-374.
Abstract DC microgrid cluster (DCMGC) is formed by the flexible interconnection of multiple DC microgrids that are geographically neighbored, representing the vital direction of future distribution power systems. However, DC microgrids and DCMGCs exhibit weak network properties characterized by low inertia and high impedance, mainly due to the high penetration of distributed energy resources (DERs) and widespread adoption of power electronic converters. Meanwhile, the systems are subject to large disturbances, such as DER intermittence, load switching, plug-and-play operation, mode transitions, and short-circuit faults. These factors collectively present a stringent requirement to achieving stable large-signal operation in DCMGCs. In this regard, large signal stability analysis of DCMGCs becomes imperative. However, the complex system, featured as higher-order, strong coupling, nonlinearity, and dynamic variation, renders excessive signal stability analysis of the DCMGC. Conventional centralized modeling methods require dynamic models for the entire system, which leads to infeasible solutions and a lack of scalability with the increase of microgrids. With the generalization of DCMGCs into large-scale systems interconnected by multiple subsystems, this paper proposes a distributed large signal stability analysis method based on the input-to-state stability (ISS) conditions.
Firstly, the DCMGC with hierarchical control is divided into two parts, i.e., the power stage and the control loop. Each is further decomposed into multiple subsystems, consisting of a single islanded microgrid and its coupling dynamics (tie-lines and tertiary control). Thus, a distributed large-signal equivalent circuit model around each microgrid is built. Secondly, the ISS-Lyapunov function is constructed based on the ISS theory for the distributed model of every subsystem, and the large signal stability criterion in a distributed fashion is derived. Finally, a large signal stability region is estimated by the six-microgrid DCMGC. The relationship between the key parameters and the stability region is then analyzed. Besides, the comparison between the centralized and the distributed large signal stability analysis on the minimum DCMGC example with the interconnection of two microgrids is performed. The distributed large signal stability analysis is slightly more conservative than the centralized method. However, its modeling exhibits complexity, solvability, and scalability. The numerical analyses are verified by the hardware-in-the-loop (HIL) experiment.
The following conclusions can be drawn. (1) The distributed large-signal stability criterion transforms the previous centralized modeling approach into a “divide and conquer” strategy, simplifying the calculation process and offering scalability for the large signal stability analysis of DCMGCs. Especially for the analysis under dynamic connections and disconnections of microgrids and comprising units, there is no need to re-model and re-calculate the system. (2) The ISS theory can effectively handle the external gains and internal dynamic characteristics of DCMGC subsystems. Given the large-signal stability conditions of the DCMGC, the proposed method facilitates the disturbance magnitude determination that the system can tolerate.
keywords：DC microgrid cluster, distributed modeling, large signal stability, input-to-state stability
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.232176
中图分类号：TM46; TM712
国家自然科学基金资助项目（52277169）。
收稿日期 2023-12-27
改稿日期 2024-02-17
刘宿城 男，1981年生，博士，教授，研究方向为直流微电网与开关功率变换技术。E-mail: liusucheng@126.com（通信作者）
褚勇智 男，1998年生，硕士研究生，研究方向为直流微电网。E-mail: chuyongzhi0820@163.com
（编辑 陈 诚）