（1）
摘要 在电-气综合能源系统分布式优化调度中，非线性非凸的Weymouth方程给问题求解带来了巨大挑战。一方面，目前许多研究采用二阶锥松弛Weymouth方程，较为复杂；另一方面，主流分布式算法即交替方向乘子法（ADMM）的计算效率并不高。对此，该文提出一种精确近似的Weymouth方程线性化模型和多参数规划改进ADMM算法以解决上述两个问题。Weymouth方程线性化模型基于泰勒展开，利用一簇切线松弛Weymouth方程。特别地，增加了惩罚项以收紧松弛间隙，通过变量替换的方法减少切线的数量，并给出了一种有效的切线选取方法。对于多参数规划改进ADMM算法，其通过多参数规划得到子问题最优解的解析式。迭代过程中，若参数落在临界域内，可直接将参数代入最优解解析式获得子问题的最优解，无需求解子问题，提高了迭代速度。此外，该文还对多参数规划中难以避免的退化问题进行了处理，提升了算法的通用性。最后在两个不同规模的系统中验证了Weymouth方程线性化模型的精确性和多参数规划改进ADMM算法的高效性。
关键词：电-气综合能源系统 分布式优化调度 Weymouth方程线性化 多参数规划 交替方向乘子法
近年来，为提高能源利用效率并减少环境污染，以多种异质能源统筹规划、互补协调为特点的综合能源系统正在蓬勃发展[1-2]。电-气综合能源系统（Integrated Electricity and Gas System, IEGS）作为综合能源系统的典型形式之一，得益于天然气低碳高效和燃气机组调节灵活的特点，受到了与日俱增的关注。
国内外学者已经对综合能源系统优化调度做了许多的研究，也取得了一些成果[3-20]。在电-气综合能源系统优化调度的模型方面，由于耦合电力系统和天然气系统的主要元件燃气机组连接在输电网上，所以电力系统一般采用直流潮流线性模型以简化计算。天然气系统通常采用稳态模型，其中描述管道内气流量与管道两端节点气压之间关系的Weymouth方程由二次项组成，非线性非凸。虽然可以使用非线性求解器如IPOPT求解，但是计算效率低，而且不能保证求解方法的收敛性和解的全局最优性。如何处理天然气系统中非线性非凸的Weymouth方程是一个关键问题。
文献[9-11]对Weymouth方程分段线性化，得到一个混合整数规划问题。精确求解需要引入大量的二进制变量分多段线性化，导致计算效率较低。考虑到凸优化理论已较为成熟，更多学者选择将模型凸化。文献[12-19]采用二阶锥松弛Weymouth方程。然而，保证二阶锥松弛的精确性并不容易。为此，Yang Lun等通过一种基于惩罚的方法来收紧松弛[13]，该方法的效果取决于惩罚参数。He Yubin等利用改进的序列锥规划（Sequential Cone Programming, SCP）对二阶锥进行了重构，以保证解的可行性[14]。Chen Sheng等提出了一种使用凸包络收紧松弛的增强二阶锥松弛方法[17]。收紧二阶锥松弛方法比较复杂。相比于二阶锥模型，线性模型显然是更简单和高效的。文献[20]采用一阶泰勒展开线性化Weymouth方程，但是难以选择合适的展开点，展开点必须足够接近真实最优解才能保障解的精度。这就导致了基于泰勒展开线性化的方法一般误差较大，难以达到精度要求。精确近似的Weymouth方程线性化模型有待进一步研究。
其次在电-气综合能源系统优化调度的算法方面，许多研究聚焦在集中式优化调度上[10,13,17-18]，由调度中心收集电力系统和天然气系统的所有数据进行集中优化调度。然而现实中电力系统和天然气系统一般是由不同的运营商经营的，不同的运营商之间不可能相互披露包括系统参数和用户负荷等隐私数据，因此实际中无法采用集中式优化调度。
鉴于电-气综合能源系统的分布式架构，分布式优化调度更符合电-气综合能源系统优化调度的实际情况。在分布式优化调度中，每个运营商只需要解决其子问题，运营商之间交互必要的边界信息，内部的信息不需要披露，保护了隐私信息。
文献[9]通过目标级联分析对电-气配网优化模型进行分布式求解。文献[15]使用拉格朗日分解来协调电力系统和天然气系统联合运行。文献[19]基于广义Benders分解，将最优电-气能流问题分解为电力网络主问题和天然气网络子问题，两者交换少量信息实现协同优化。虽然以上几种分布式算法已在电-气综合能源系统优化调度中成功应用，但是这些方法的鲁棒性和收敛性往往不及交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）。ADMM使用方便、应用广泛，是目前比较成熟和受欢迎的分布式优化通用算法。鉴于ADMM的优异性能，研究人员在电-气综合能源系统分布式优化调度中通常选择ADMM，文献[11-12,14,16,20]均是基于ADMM实现电-气综合能源系统分布式优化调度。以ADMM为主的分布式算法需要迭代求解子问题，求解子问题可能时间开销较大，导致ADMM的计算效率一般。一些情况下可能会难以适应电-气综合能源系统工况的快速变化，无法满足动态经济调度的需求，因此有必要提高ADMM的计算效率。
针对上述电-气综合能源系统优化调度模型和分布式算法两方面问题，本文提出了一种精确近似的Weymouth方程线性化模型和多参数规划改进ADMM（Multi-Parameter Programming modified ADMM,MPP-ADMM）算法。
Weymouth方程线性化模型借鉴了文献[21]的思想，基于泰勒展开，利用一簇切线松弛Weymouth方程，以切线近似代替曲线。与现有文献[21]相比，本文增加了惩罚项以收紧松弛间隙，并通过变量替换的方法减少切线的数量，然后给出一种有效的切线选取方法，得到精确近似的Weymouth方程线性化模型。不同于离散的分段线性化模型[9-11]、非线性的二阶锥松弛模型[12-19]和误差较大的泰勒展开模型[20]，本文建立的Weymouth方程线性化模型是连续、线性且精确的，这三点优良性质与上述文献具有显著差别。
MPP-ADMM算法是利用多参数规划[22]改进ADMM，提高分布式优化的计算效率。具体来说，在ADMM子问题中，通过多参数规划得到子问题最优解的解析式。迭代过程中，只要参数落在临界域内，便可以利用最优解的解析式直接代入参数得到子问题的最优解，而不需要求解子问题，以提高迭代速度。此外，本文还对多参数规划中难以避免的退化问题进行了处理，增强MPP-ADMM算法的通用性。本文提出的MPP-ADMM算法充分利用多参数规划得到的子问题最优解解析式以加速ADMM。MPP-ADMM算法有效地提高了电-气综合能源系统分布式优化调度的效率，有利于电-气综合能源系统实现实时动态经济调度。
本文所提的电力系统为输电系统，包含发电机组（燃煤机组和燃气机组）、输电线路、电负荷等。为简化模型，假设输电线路电阻远远小于电抗，输电线路的等效对地并联支路均可忽略，母线电压幅值接近额定电压值，母线间电压相位差不大。对于一般的非重载输电系统，以上假设是可以成立的。因此可将输电线路的有功功率表示为线路两端电压相位差除以线路电抗，得到直流潮流模型。
鉴于燃气机组由天然气系统提供燃料，考虑到本文研究的是电-气综合能源系统，所以其运行费用计入天然气系统而不是电力系统。因此电力系统的总运行成本表示为燃煤机组的运行成本。燃煤机组运行成本与其输出的有功功率成二次函数关系，进而电力系统的总运行成本CP为
（1）
式中，a2,g、a1,g和a0,g分别为燃煤机组成本二次项系数、一次项系数和常数项系数；ΩT和ΩCFU分别为调度时段和燃煤机组（Coal-Fired Unit, CFU）的集合。
燃煤机组和燃气机组输出的有功功率应该在机组最小技术出力和最大技术出力之间，即
（2）
式中，
和
分别为机组最小技术出力和最大技术出力；ΩGFU为燃气机组（Gas-Fired Unit, GFU）的集合。
燃煤机组和燃气机组在单个调度时段内输出有功功率的变化量受其爬坡能力的限制，有
（3）
式中，pgdown、pgup分别为机组向下和向上的最大爬坡功率。
在直流潮流模型中，线路的有功功率表示为线路两端电压相位差除以线路电抗。因此，在调度时段t内，输电线路ij传输的有功功率pi,j,t可表述为
（4）
式中，θi,t和θj,t分别为母线i和j在调度时段t内的电压相位；Xi,j为输电线路ij的电抗。
为了保障输电线路安全稳定运行，其传输的有功功率应小于最大传输容量，即
（5）
式中，
为输电线路ij的最大传输容量。
对于任意母线，根据基尔霍夫电流定律（Kirchhoff's Current Law, KCL），流入和流出母线的有功功率相等，即
（6）
式中，DPi,t为调度时段t内连接在母线i的电负荷；Ωi为连接在母线i的机组或其他母线（由上标决定）的集合，可以为空集。
参考母线ref的电压相位设置为0以确定全电网电压相位。
（7）
全网任意母线均可选为参考母线ref。
天然气系统由天然气井、管网、压缩机和燃气机组等组成，与电力系统的结构类似。本节给出天然气系统的稳态模型，该模型可以提供足够的细节以研究电力系统和天然气系统之间的稳态优化调度。
在天然气系统中，天然气井处于供应端，天然气系统的总运行成本CG即为天然气井的生产成本，有
（8）
式中，Fw,t为天然气井w调度时段t内的产气量；aw为天然气井w生产单价；
为天然气井集合。
天然气井的产气量Fw,t应该在允许的范围内，即
（9）
式中，
和
分别为天然气井产气量Fw,t的上、下限。
天然气管道的气流量取决于管道两端的气压差和管道参数。根据历史数据或运行经验，可以合理假设管道中气流的方向已知[12,17,23]。根据Weymouth方程，在调度时段t内，管道mn气流量Fm,n,t可表示为
（10）
式中，πm,t和πn,t分别为节点m和n在调度时段t内的气压；Cm,n为管道mn参数。
Weymouth方程表明天然气管道的气流量与根号下节点气压的平方差成正比。为化简Weymouth方程，可以引用变量节点气压的二次方φm,t和φn,t替换
和
，并增加新变量即节点气压的平方差φm,n,t
φm,t-φn,t，得到简化的Weymouth方程式（11）。
（11）
对于Weymouth方程式（11），根据泰勒中值定理以及函数Fm,n,t(φm,n,t)的凹性，可以得到
（12）
具体的推导过程参见附录。
因此，可以选取一系列点（φ0m,n,t, φ1m,n,t, φ2m,n,t, …, φim,n,t, …, φnm,n,t）来逼近Fm,n,t(φm,n,t)，以切线近似曲线，得到线性化Weymouth方程式（13）。
（13）
Weymouth方程线性化示意图如图1所示。本文采用的取点方法也参见附录。
图1 Weymouth方程线性化示意图
Fig.1 Schematic of Weymouth equation linearization
此外，目标函数中需要加入惩罚项σφm,n,t以最小化φm,n,t，收紧不等式约束式（13），其中σ为小正数。只有最接近真实管道气流量Fm,n,t(φm,n,t)的约束是起作用的。天然气系统的目标函数修改为
，有
（14）
类似电网络中的KCL定律，天然气网络中的节点同样遵守流的守恒定律，即流入节点的气流量等于流出节点的气流量。
（15）
式中，DGm,t为t时刻节点m天然气负荷；Fg,t为燃气机组消耗的天然气；
和
分别为压缩机入口和出口的气流量；Ωm为连接在节点m的天然气井、压缩机、燃气机组或其他节点（由上标决定）的集合，可以为空集。
天然气网络中的节点都工作在最小和最大气压的范围内，即
（16）
式中，
为节点m在调度时段t内气压的二次方；
和
分别为节点m的最小和最大气压的二次方。
压缩机安装在天然气网络中，消耗部分天然气使出口连接节点的气压升高，以克服管道输送天然气引起的气压降低。通常压缩机自身消耗的天然气很少，大约占输送气体的3%～5%[24-26]，可以认为压缩机的耗气比例是恒定不变的。引入压缩机c耗气比例常数αcÎ[0.03, 0.05]量化压缩机所消耗的天然气。则压缩机出口与入口气流量关系为
（17）
压缩机的压缩比（压缩机出口气压与入口气压之比）受到技术限制，有
（18）
式中，
和
分别为压缩机出口和入口气压的二次方；
为压缩机的最大压缩比。
燃气机组作为天然气系统与电力系统之间的耦合元件，通过消耗天然气产生电力，有
（19）
式中，
为燃气机组的发电效率；HG为天然气热值。
本节将介绍ADMM和多参数规划，并提出多参数规划改进ADMM算法。为便于叙述，首先整理电-气综合能源系统优化调度模型为
（20）
式中，f(x)和g(z)分别为电力系统的运行成本式（1）和天然气系统的运行成本式（14）；Ax + Bz= c代表耦合约束式（19）；
和
分别代表电力系统约束式（2）～式（7）中的不等式约束和等式约束；
和
分别代表天然气系统约束式（9）、式（13）、式（15）～式（18）中的不等式约束和等式约束；上标P代表电力系统；G代表天然气系统；x为电力系统决策变量；z为天然气系统决策变量。
ADMM起源于20世纪70年代，是一种求解具有可分离结构的凸优化问题的重要方法[27]。在ADMM算法中，首先引入拉格朗日乘子y松弛耦合约束Ax+ Bz= c，并将惩罚项添加到目标函数中，得到增广拉格朗日函数为
（21）
式中，ρ为惩罚参数，ρ＞0。此时，电力系统约束和天然气系统约束不再耦合，可分解为电力系统子问题（22）和天然气系统子问题（23）。
（22）
（23）
交替迭代一次电力系统子问题（22）和天然气系统子问题（23）后，更新拉格朗日乘子y为
（24）
迭代过程中的原始残差r和对偶残差d分别为
（25）
当残差ε（包括原始残差r和对偶残差d）小于设定的允许误差εtol时，迭代收敛。
（26）
由于电-气综合能源系统优化调度模型（20）中f(x)和g(z)都是凸函数，约束都是线性的，通过多次ADMM迭代，原始残差r和对偶残差d均将收敛于零，目标函数值收敛于优化问题式（20）的最小值。收敛速度取决于惩罚参数ρ的选择。注意到，上述ADMM迭代过程中ρ是保持不变的，称该算法为经典ADMM（Classic ADMM, C-ADMM）。
为了提高ADMM收敛速度，并减小惩罚参数的初始选择对算法性能的影响，可在每次迭代时使用可能不同的惩罚参数ρ。一种通常很有效的更新惩罚参数ρ的简单方法[27]为
（27）
式中，δ＞1，τ＞1。此ADMM算法称为可变惩罚参数ADMM（Varying Penalty Parameter ADMM, VPP-ADMM）。
多参数规划是研究优化问题最优解与多个参数之间的显式关系的数学规划。通过多参数规划给出子问题最优解的解析式，可以直接计算得到子问题最优解而不需要求解子问题，从而提高计算效率。
不失一般性，以电力系统子问题式（22）为例，固定的变量zk和yk可以视为电力系统子问题式（22）的参数，这就是一个经典的多参数规划问题。通过求解多参数规划问题，可以得到电力系统子问题最优解xk+1关于参数zk和yk的解析式及相应的临界域。临界域规定了最优解解析式的使用范围，类似于函数的定义域。当下一次迭代的参数zk+1和yk+1位于该临界域内时，就可以使用相应的最优解解析式计算xk+2。
下面将阐述如何求解多参数规划问题。首先需要对电力系统子问题式（22）进行重构化简。电力系统子问题式（22）的目标函数具体表示式为
（28）
考虑到f(x)具有二次函数形式为
（29）
惩罚项
可展开为
（30）
将式（29）和式（30）代入式（28），舍去常数，可得简化后的电力系统子问题的目标函数为
（31）
其中
电力系统子问题重构为
（32）
求解电力系统子问题式（32）后，再求解多参数规划问题。在最优点x*处检查不等式约束是否起作用，分别使用{·}A和{·}I记录起作用约束和不起作用约束。电力系统子问题式（32）等价于优化问题
（33）
等价问题式（33）的KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件为
（34）
注意到，KKT方程系数矩阵K不一定可逆。当K不可逆时，多参数规划问题出现退化现象。下面将分别分析矩阵K可逆和不可逆的情况。
1）若矩阵K可逆，则可以直接解出KKT方程的解u为
（35）
KKT方程的解u[x;λ;μ]是参数w[yk;zk]仿射函数。通过拆分u可以得到电力系统子问题最优解x=x(yk, zk)，拉格朗日乘子λ=λ(yk, zk)。临界域为
（36）
临界域（36）表明最优解x(yk, zk)应满足不起作用约束，起作用约束的拉格朗日乘子λ(yk, zk)应满足非负约束。
2）若矩阵K不可逆，对矩阵K进行QR分解，有
（37）
式中，Q为正交矩阵；Rb为可逆上三角矩阵。KKT方程（34）转换为
（38）
可以看到，KKT方程的部分解ub由参数w和KKT方程的另一部分解un确定。注意到
（39）
（1）如果ub完全包含x，则此时un包含λ或μ的部分分量，由于无论拉格朗日乘子λ和μ具体的值是多少，只需满足λ≥0即可，因此取un=0，电力系统子问题最优解x依然可以由参数w直接确定。此时临界域与式（36）类似。
（2）如果ub不完全包含x，ub包含x的部分分量，记为xb。un也包含x的部分分量，记为xn。对于un中可能包含的λ或μ的部分分量，根据上述讨论，可以直接取为零。由于xn是自由变量，电力系统子问题最优解x(xb;xn)不能由参数w直接确定。此时临界域可以表示为
（40）
若存在xn使得式（40）成立，则参数[yk; zk]位于该临界域内。可通过寻找约束为式（40），变量为xn的优化问题的可行解来判断参数是否位于临界域内。若可行解xn存在，结合参数[yk; zk]，通过式（38）可得到xb（ub包含xb）。由xb和xn组合成电力系统子问题最优解x。
综上所述，如果参数在临界域范围内，电力系统子问题最优解x可由式（35）或式（38）得到。对于天然气系统子问题，也可以使用与电力系统子问题相同的多参数规划方法，这里不再赘述。
本节继续主要以电力系统为例说明MPP-ADMM算法的迭代流程。在第k次迭代中，电力系统运营商可通过3.2节所述过程更新临界域和最优解解析式。到下一次迭代即第k+1次迭代时，若电力系统子问题参数落在其临界域内，则直接代入最优解解析式计算得到最优解，节省计算时间。这是MPP-ADMM算法的核心思路。MPP-ADMM算法的迭代流程如图2所示。迭代框架以C-ADMM为主体，嵌入多参数规划。
相比于C-ADMM，MPP-ADMM似乎增加了更新临界域和最优解解析式、判断参数是否在临界域内这两方面的计算时间。事实并非如此，下面逐一分析。
首先是更新临界域和最优解解析式。由于电力系统子问题和天然气系统子问题是交替迭代的，电力系统运营商可以在天然气系统运营商求解其子问题时更新临界域和最优解解析式。天然气系统运营商亦是如此。更新临界域和最优解解析式主要的计算量都在矩阵K的QR分解和上三角矩阵Rb求逆上，一般要比求解同等规模的优化问题快。如果电力系统子问题规模和天然气系统子问题规模接近，更新临界域和最优解的解析式一般不会增加计算时间。
图2 MPP-ADMM算法迭代流程
Fig.2 Flow chart of the MPP-ADMM Algorithm
其次是判断参数是否在临界域内。当子问题没有出现退化时，判断参数是否在临界域只需要将参数代入临界域式（36）验证，耗时极短，几乎可以忽略不计。但是当子问题出现退化时，判断参数是否在临界域式（40）内需要求解可行性问题，这将花费不少的时间。如果最终判断出参数不在临界区域内，那么这些时间开销是没有价值的，甚至会拖慢算法的速度。
考虑到电力系统和天然气系统子问题规模不一定接近，而且子问题可能出现退化，所以只有当残差ε小于设定的多参数规划启动误差εMPP时才启动多参数规划。残差足够小时，每次迭代的最优解较为接近，参数也较为接近。这时每次迭代的参数大概率都会落在同一个临界域内，避免了算法刚启动时残差过大而多次更新临界域和最优解的解析式。这样减少了不必要的时间开销，进一步提高MPP-ADMM算法的效率。
注意到，MPP-ADMM与C-ADMM在总体迭代框架上是完全相同的，MPP-ADMM只是在C-ADMM的迭代框架中嵌入了多参数规划。具体来说，MPP-ADMM在子问题求解过程中采用了多参数规划以获得子问题解析解，将参数直接代入子问题解析解得到最优解。MPP-ADMM中由子问题解析解得到的最优解和C-ADMM中直接求解子问题得到的最优解是相等的。因此，所提MPP-ADMM和C-ADMM的迭代过程是相同的，两者的收敛性一致。根据3.1节的分析，可以确保MPP-ADMM算法的收敛性。
本节对两个不同规模的电-气综合能源系统进行测试以验证Weymouth方程线性化模型的精确性和MPP-ADMM算法的高效性。两个不同规模的算例分别为9母线电力系统与7节点天然气系统耦合而成的小规模系统，以及118母线电力系统与90节点天然气系统耦合而成的大规模系统[28]。程序代码使用Matlab R2016a编写，优化问题由Gurobi求解。硬件平台为配置Intel i7-8750H CPU和8GB RAM的计算机。
参数取值方面，根据经验，Weymouth方程线性化罚因子σ为小正数，建议取值为10-6～10-4，线性化点可选5～10个，视系统的规模而定。MPP-ADMM算法的主要控制参数即多参数规划启动误差εMPP推荐设置为允许误差εtol的103～106倍。该参数对所提算法的影响较大，其选取的原则是适当小，可偏保守取值。
小规模系统结构如图3所示，系统中共有1台燃煤机组、2台燃气机组、1台压缩机和2个天然气井。参数设置如下：Weymouth方程线性化罚因子σ取10-5、线性化点设为5个。ADMM允许误差εtol设为10-6、惩罚参数ρ取0.001、多参数规划启动误差εMPP设为1。VPP-ADMM中δ=10，τ=100。
图3 小规模系统结构
Fig.3 Structure of the small-scale system
4.1.1 Weymouth方程线性化模型测试
本节将验证所提Weymouth方程线性化模型的精确性和计算高效性。首先通过研究Weymouth方程线性化模型能否精确反映真实管道气流量（由Weymouth方程直接计算得到）来进行测试。Weymouth方程线性化模型所获得的管道气流量近似值与真实值的对比如图4（以连接节点1和2的管道与连接节点4和7的管道为例）所示。可以看出，每个调度时段内两根管道的气流量近似值都非常接近真实值。初步说明Weymouth方程线性化模型能精确反映真实气流量。
图4 气流量近似值与真实值的对比
Fig.4 Comparison between the approximate value and the true value of gas flow
为进一步量化分析Weymouth方程线性化模型的精确性，可定义管道气流量相对误差为
（41）
式中，Fm,n,t为通过Weymouth方程线性化模型计算得到的近似管道气流量；
为直接通过Weymouth方程计算得到的真实管道气流量。从整体上看，所有调度时段全部管道气流量的平均相对误差为0.49%，最大相对误差为2.75%，误差很小。得益于增加惩罚项收紧松弛间隙，通过变量替换减少切线数量和附录中的切线选取方法，线性化点只设了5个，就取得了良好的近似效果，足以验证Weymouth方程线性化模型在小规模系统中的精确性。一般来说，线性化点越多，模型越精确，但模型中的约束也越多，计算效率越低。模型的精确性和计算效率是矛盾的，在实践中需综合考虑模型的精确性和计算效率，选择合适数量的线性化点。
此外，对比了所提Weymouth方程线性化方法与分段线性化方法[9-11]，展示所提Weymouth方程线性化模型在计算效率等方面的优势。公平起见，分段线性化的分段点与所提线性化方法的线性化点数量相等，均为5个。测试结果见表1。
表1 所提线性化方法与分段线性化方法的对比
Tab.1 Comparison between the proposed linearization method and the piecewise linearization method
方法平均相对误差(%)最大相对误差(%)耗时/s 分段线性化1.854.190.072 本文所提线性化0.492.750.016
正如引言部分所言，相比于所提线性化方法，分段线性化方法的计算效率较低。由于分段线性化方法引入了大量的二进制变量，使得问题变为一个大规模的混合整数规划，此类问题的复杂度一般是指数级的。而所提线性化方法建立的模型中约束是线性的，线性/二次规划存在多项式时间算法如内点法。因此，所提线性化方法的计算速度要快得多，尤其是当问题规模很大时。不仅如此，所提线性化方法在计算高效的同时还拥有更高的精度，充分体现了所提Weymouth方程线性化模型的优势。
需要注意的是，目前分布式算法一般只能处理凸优化问题，分段线性化方法引入离散的二进制变量，导致优化问题非凸，难以分布式求解。这是分段线性化方法更大的一个劣势。所以表1中的结果都是使用集中式方法求解的。而本文所提线性化方法则不存在这样的困境，本文所建立的Weymouth方程线性化模型中约束是连续、线性和凸的，可以直接应用现有的分布式算法，进一步体现其优势。
4.1.2 多参数规划改进ADMM算法测试
首先将MPP-ADMM和集中式解、C-ADMM、VPP-ADMM进行对比，验证MPP-ADMM的性能。测试结果见表2。可以看到，利用三种ADMM算法计算得到的系统总成本与集中式解相同，这说明了三种ADMM算法的准确性。计算效率方面，MPP-ADMM和C-ADMM的迭代次数一样，但是MPP-ADMM的耗时只有C-ADMM的63.43%，相当于计算效率提高了57.66%，改进效果较好。而对于VPP-ADMM，虽然VPP-ADMM的迭代次数比MPP-ADMM少1次，但是MPP-ADMM耗时仍然比VPP-ADMM少，计算效率也能提高44.53%。
表2 小规模系统中四种算法结果对比
Tab.2 Comparison of the results of four algorithms in the small-scale system
算法系统总成本/$迭代次数耗时/s 集中式637 37410.016 C-ADMM637 374120.216 VPP-ADMM637 374110.198 MPP-ADMM637 374120.137
小规模系统中MPP-ADMM算法的迭代过程展示在图5中。第4次迭代时，残差为0.192 3，小于多参数规划启动误差1。下一次迭代即第5次迭代将启动多参数规划以更新临界域（初始值为空）和最优解的解析式。从第6次迭代开始，若参数落在临界域内，则可以通过最优解的解析式直接计算得到最优解，加快迭代速度。第7～12次迭代中，残差都已经足够小，每次迭代的最优解变化不大，参数也较为接近，电力系统和天然气系统的参数都位于相应的临界域内。此时，MPP-ADMM算法可将参数代入对应的子问题最优解解析式，直接得到最优解，避免使用如内点法等方法迭代求解子问题，耗时相比于之前的迭代有明显的缩短。注意到，在这几次迭代中，电力系统子问题耗时几乎为零（约 50 μs），而天然气系统子问题仍然需要一定的耗时。这是因为电力系统子问题KKT方程系数矩阵K可逆，临界域式（36）和最优解的解析式（35）都相对简单。但是天然气系统子问题KKT方程系数矩阵K不可逆，而且出现了最优解不能由参数直接确定的情况，这是由优化问题本身的性质决定的。此时判断参数是否在临界域式（40）内比较复杂，需要求解可行问题，因而需要花费一些时间。然而即使是出现了最优解不能由参数直接确定的情况，MPP-ADMM只需求解可行问题，ADMM则要使用如内点法等方法迭代求解子优化问题。一般来说，求解可行问题要比求解优化问题简单，耗时更少，MPP-ADMM还是可以提高ADMM的计算效率。综上所述，MPP-ADMM算法是计算高效的。
图5 MPP-ADMM算法的迭代过程
Fig.5 The iterative process of MPP-ADMM algorithm
大规模系统由44台燃煤机组、10台燃气机组、13台压缩机和8个天然气井组成。参数设置如下：Weymouth方程线性化罚因子σ取10-5、线性化点设为10个。ADMM惩罚参数ρ取0.007、允许误差εtol设为10-3、多参数规划启动误差εMPP设为1。VPP-ADMM中δ=100，τ=1.001。大规模系统的测试主要是为了验证本文所提算法的扩展性，为避免文章冗长，只对结果作简要分析。
首先是模型精确度方面。由于系统规模较大，管道工况较复杂，所以线性化点增加到10个。测试结果表明，所有调度时段全部管道气流量平均相对误差为0.87%，最大相对误差为7.53%。虽然这样的误差相比于小规模系统有所增加，但对于优化调度来说还是可以接受的。Weymouth方程线性化模型仍然表现出较高的精确性。
其次是MPP-ADMM算法的性能方面。大规模系统中四种算法结果对比见表3。利用三种ADMM算法算得的系统总成本与集中式解相等，这进一步验证了三种ADMM算法的准确性。同样是迭代120次，MPP-ADMM的耗时仅为C-ADMM的59.58%，换句话说，计算效率提高了67.84%。再次验证了MPP-ADMM的高效性。另外，VPP-ADMM在大系统中的表现并不好，迭代次数和耗时甚至比C-ADMM还多。为减小参数δ和τ的影响，表4中展示了多组δ和τ的结果以再次验证VPP-ADMM的性能。即使是选择不同的参数δ和τ，VPP-ADMM的迭代次数大于120次，耗时自然比MPP-ADMM多。由此可见，在大系统中，MPP-ADMM算法相比于C-ADMM和VPP-ADMM也有较高的计算效率。
表3 大规模系统中四种算法结果对比
Tab.3 Comparison of the results of four algorithms in the large-scale system
算法系统总成本/$迭代次数耗时/s 集中式4 247 37510.459 C-ADMM4 247 37512039.66 VPP-ADMM4 247 37512139.90 MPP-ADMM4 247 37512023.63
表4 VPP-ADMM中不同δ和τ的结果对比
Tab.4 Comparison of the results of different δ and τ in VPP-ADMM
δ = 10δ = 100 τ迭代次数是否收敛τ迭代次数是否收敛 1.001122是1.001121是 1.01151是1.01124是 1.1300否1.1145是 2300否2274是 5300否5300否
针对电-气综合能源系统优化调度问题，本文首先改进了天然气系统的Weymouth方程线性化模型，接着提出了计算高效的MPP-ADMM算法，最后在两个不同规模的系统中验证了改进天然气系统线性模型的精确性和MPP-ADMM算法的性能。
改进的Weymouth方程线性化模型是利用一簇切线松弛Weymouth方程，并加入惩罚项收紧松弛间隙。再结合本文给出的线性化点选取方法，可兼顾模型的简单性和精确性。
MPP-ADMM算法是在经典ADMM算法中嵌入多参数规划。根据多参数规划的性质，只要迭代过程中子问题的参数落在临界域内，就可以通过最优解的解析式直接代入得到最优解，避免了求解优化问题，加快经典ADMM的迭代速度。此外，本文对多参数规划中难以避免的退化问题也进行了处理，增强算法的通用性。
本文的Weymouth方程线性化模型和MPP-ADMM算法取得了较好的效果，但它们都是基于确定性模型的。在今后的研究中仍需进一步考虑可再生能源在电-气综合能源系统中引入的不确定性。另外，所提方法含有依靠经验取值的控制参数，还有必要研究控制参数的取值标准和自适应调整。值得注意的是，一种称为PDMM（primal-dual method of multipliers）的分布式算法已经表现出较快的收敛速度和对丢包的鲁棒性，具有很好的发展前景[29]。未来将研究PDMM在电-气综合能源系统分布式优化调度中的应用。
致谢：本文作者感谢三位外国专家教授Borghetti Alberto, Cheung Kwok和Dong Zhaoyang参与本课题讨论。
附 录
对于Weymouth方程式（11），Fm,n,t (φm,n,t)的一阶导数和二阶导数分别为
（A1）
根据泰勒中值定理，存在ξ位于φ0m,n,t与φm,n,t之间，使得
（A2）
由于Fm,n,t (φm,n,t)的凹性（二阶导数恒小于等于零），则有
（A3）
式（A3）即为式（12）。推导完毕。
可以选取一系列点（φ0m,n,t, φ1m,n,t, φ2m,n,t, …, φim,n,t, …, φnm,n,t）来逼近Fm,n,t (φm,n,t)。如何选取尽量少的点来精确逼近是一个比较困难的问题，这里给出一种有效的方法，在实际测试中的效果也比较理想。
由于天然气网络节点的气压存在上、下限式（16），节点气压的平方差φm,n,t也存在上、下限，即
（A4）
管道气流量Fm,n,t同样存在上、下限，即
（A5）
可以将区间
平均分为n+1个小区间，分别为
, 
, …, 
。每个管道气流量Fm,n,t的小区间对应的节点气压平方差φm,n,t的小区间分别为
, 
, …, 
。线性化点可取为节点气压平方差φm,n,t各小区间的中点φ0m,n,t, φ1m,n,t,…, φnm,n,t。
参考文献
[1] 孙宏斌, 潘昭光, 郭庆来. 多能流能量管理研究: 挑战与展望[J]. 电力系统自动化, 2016, 40(15): 1-8, 16. Sun Hongbin, Pan Zhaoguang, Guo Qinglai. Energy management for multi-energy flow: challenges and prospects[J]. Automation of Electric Power Systems, 2016, 40(15): 1-8, 16.
[2] 余晓丹, 徐宪东, 陈硕翼, 等. 综合能源系统与能源互联网简述[J]. 电工技术学报, 2016, 31(1): 1-13. Yu Xiaodan, Xu Xiandong, Chen Shuoyi, et al. A brief review to integrated energy system and energy Internet[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2016, 31(1): 1-13.
[3] 刘英培, 黄寅峰. 考虑碳排权供求关系的多区域综合能源系统联合优化运行[J]. 电工技术学报, 2023, 38(13): 3459-3472. Liu Yingpei, Huang Yinfeng. Joint optimal operation of multi-regional integrated energy system considering the supply and demand of carbon emission rights[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(13): 3459-3472.
[4] 吴孟雪, 房方. 计及风光不确定性的电-热-氢综合能源系统分布鲁棒优化[J]. 电工技术学报, 2023, 38(13): 3473-3485. Wu Mengxue, Fang Fang. Distributionally robust optimization of electricity-heat-hydrogen integrated energy system with wind and solar uncertainties[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(13): 3473-3485.
[5] 严思韵, 王晨, 周登极. 含氢能气网掺混输运的综合能源系统优化研究[J]. 电力工程技术, 2021, 40(1): 10-16, 49. Yan Siyun, Wang Chen, Zhou Dengji. Optimization of integrated electricity and gas system considering hydrogen-natural-gas mixture transportation[J]. Electric Power Engineering Technology, 2021, 40(1): 10-16, 49.
[6] Zhu Jizhong, Zhu Haohao, Zheng Weiye, et al. Cooperation mechanism design for integrated electricity‑heat systems with information asymmetry[J]. Journal of Modern Power Systems and Clean Energy, 2023, 11(3): 873-884.
[7] 耿健, 杨冬梅, 高正平, 等. 含储能的冷热电联供分布式综合能源微网优化运行[J]. 电力工程技术, 2021, 40(1): 25-32. Geng Jian, Yang Dongmei, Gao Zhengping, et al. Optimal operation of distributed integrated energy microgrid with CCHP considering energy storage[J]. Electric Power Engineering Technology, 2021, 40(1): 25-32.
[8] 朱浩昊, 朱继忠, 李盛林, 等. 电-热综合能源系统优化调度综述[J]. 全球能源互联网, 2022, 5(4): 383-397. Zhu Haohao, Zhu Jizhong, Li Shenglin, et al. Review of optimal scheduling of integrated electricity and heat systems[J]. Journal of Global Energy Interconnection, 2022, 5(4): 383-397.
[9] Duan Jiandong, Yang Yao, Liu Fan. Distributed optimization of integrated electricity-natural gas distribution networks considering wind power uncertainties[J]. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2022, 135: 107460.
[10] Chen Sheng, Wei Zhinong, Sun Guoqiang, et al. Optimal power and gas flow with a limited number of control actions[J]. IEEE Transactions on Smart Grid, 2018, 9(5): 5371-5380.
[11] He Chuan, Wu Lei, Liu Tianqi, et al. Robust co-optimization scheduling of electricity and natural gas systems via ADMM[J]. IEEE Transactions on Sustainable Energy, 2017, 8(2): 658-670.
[12] Wang Cheng, Wei Wei, Wang Jianhui, et al. Convex optimization based distributed optimal gas-power flow calculation[J]. IEEE Transactions on Sustainable Energy, 2018, 9(3): 1145-1156.
[13] Yang Lun, Xu Yinliang, Sun Hongbin. A dynamic linearization and convex relaxation-based approach for a natural gas optimal operation problem[J]. IEEE Transactions on Smart Grid, 2020, 11(2): 1802-1804.
[14] He Yubin, Yan Mingyu, Shahidehpour M, et al. Decentralized optimization of multi-area electricity-natural gas flows based on cone reformulation[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2018, 33(4): 4531-4542.
[15] Chen Sheng, Conejo A J, Wei Zhinong. Gas-power coordination: from day-ahead scheduling to actual operation[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2022, 37(2): 1532-1542.
[16] Wen Yunfeng, Qu Xiaobin, Li Wenyuan, et al. Synergistic operation of electricity and natural gas networks via ADMM[J]. IEEE Transactions on Smart Grid, 2018, 9(5): 4555-4565.
[17] Chen Sheng, Conejo A J, Sioshansi R, et al. Unit commitment with an enhanced natural gas-flow model[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2019, 34(5): 3729-3738.
[18] 徐玉琴, 方楠. 基于分段线性化与改进二阶锥松弛的电-气互联系统多目标优化调度[J]. 电工技术学报, 2022, 37(11): 2800-2812. Xu Yuqin, Fang Nan. Multi objective optimal scheduling of integrated electricity-gas system based on piecewise linearization and improved second order cone relaxation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(11): 2800-2812.
[19] 史守圆, 瞿凯平, 余涛, 等. 计及大气污染物时空扩散的电-气能流分散协同优化[J]. 电工技术学报, 2019, 34(23): 4957-4971. Shi Shouyuan, Qu Kaiping, Yu Tao, et al. A distributed algorithm for optimal power-gas flow considering space-time diffusion of atmospheric pollutants[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(23): 4957-4971.
[20] He Chuan, Zhang Xiaping, Liu Tianqi, et al. Distributionally robust scheduling of integrated gas-electricity systems with demand response[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2019, 34(5): 3791-3803.
[21] Tomasgard A, Rømo F, Fodstad M, et al. Optimization models for the natural gas value chain[M]//Hasle G, Lie KA, Quak E. Geometric Modelling, Numerical Simulation, and Optimization. Berlin, Heidelberg: Springer, 2007: 521-558.
[22] Borrelli F, Bemporad A, Morari M. Predictive Control for Linear and Hybrid Systems[M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2017.
[23]Massol O, Banal-Estanol A. Market power and spatial arbitrage between interconnected gas hubs[J]. Energy Journal, 2018, 39: 67-95.
[24] Borraz-Sánchez C, Ríos-Mercado R Z. Improving the operation of pipeline systems on cyclic structures by tabu search[J]. Computers & Chemical Engineering, 2009, 33(1): 58-64.
[25] Wu Suming, Ríos-Mercado R Z, Boyd E A, et al. Model relaxations for the fuel cost minimization of steady-state gas pipeline networks[J]. Mathematical and Computer Modelling, 2000, 31(2/3): 197-220.
[26] Qiu Jing, Yang Hongming, Dong Zhao yang, et al. A linear programming approach to expansion co-planning in gas and electricity markets[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2016, 31(5): 3594-3606.
[27] Stephen B, Neal P, Eric C, et al. Distributed optimization and statistical learning via the alternating direction method of multipliers[J]. Distributed Optimization and Statistical Learning Via the Alternating Direction Method of Multipliers, 2017, 3(1): 1-12.
[28] Figshare. Data of test systems[DB/OL]. [2022-12-15]. https://doi.org/10.6084/m9.figshare.21724619.v1.
[29] Zhang Guoqiang, Heusdens R. Distributed optimization using the primal-dual method of multipliers[J]. IEEE Transactions on Signal and Information Processing Over Networks, 2018, 4(1): 173-187.
Abstract It is challenging for distributed optimal dispatch of integrated electricity and gas systems due to the nonlinear and nonconvex Weymouth equation. At present, many studies use the second-order cone to relax the Weymouth equation, which is relatively complicated. On the other hand, the mainstream distributed algorithm alternating direction method of multipliers (ADMM) is not computationally efficient. In this paper, an exact approximate Weymouth equation linearization model and a multi-parameter programming modified ADMM algorithm are proposed to address the aforementioned two concerns.
The Weymouth equation linearization model is based on Taylor expansion, which uses a cluster of tangents to relax the Weymouth equation and replaces the curve with tangents approximately. In particular, a penalty term is added to tighten the slack gap, and the number of tangents is reduced by variable substitution. Then an effective tangent selection method is given to obtain an accurate approximation of the Weymouth equation linearization model.
The multi-parameter programming modified ADMM algorithm improves ADMM by multi-parameter programming, to improve the computational efficiency of distributed optimal dispatch. In the ADMM subproblem, the analytical expression of the optimal solution of the subproblem is obtained by multi-parameter programming. During the iteration, as long as the parameters fall in the critical regions, the parameters can be directly substituted into the analytic equation of the optimal solution to obtain the optimal solution of the subproblem without solving the subproblem, to improve the iteration speed. In addition, this paper also deals with the unavoidable degradation problem in multi-parameter programming by the method based on QR decomposition, which enhances the generality of the multi-parameter programming modified ADMM algorithm.
The simulation results of the small-scale system show that the average relative error of the Weymouth equation linearization model is 0.49%, and the maximum relative error is 2.75%, which achieves a good approximation effect. Compared with the piecewise linearization method, the proposed linearization method has higher accuracy and computational efficiency. In the distributed optimal dispatch, the number of iterations of the multi-parameter programming modified ADMM algorithm and classic ADMM is the same, but the time consumption of the proposed algorithm is only 63.43% of classic ADMM, which is equivalent to a 57.66% increase in computational efficiency. For the varying penalty parameter ADMM, although the number of iterations of the varying penalty parameter ADMM is one less than that of the proposed algorithm, the time consumption of the proposed algorithm is still less than that of the varying penalty parameter ADMM, and the computational efficiency can also be improved by 44.53%. In addition, the simulation results of the large-scale system also verify the accuracy of the Weymouth equation linearization model and the efficiency of the multi-parameter programming modified ADMM algorithm.
Through simulation analysis, the following conclusions can be drawn: (1) The Weymouth equation linearization model can accurately describe the pipeline gas flow, and it has advantages in computational efficiency. (2) The multi-parameter programming modified ADMM algorithm improves the efficiency of distributed optimal dispatch of the integrated electricity and gas system, which is conducive to real-time dynamic economic dispatch.
Keywords：Integrated electricity and gas system, distributed optimal dispatch, Weymouth equation linearization, multi-parameter programming, alternating direction method of multipliers
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.230292
中图分类号：TM732
国家自然科学基金面上项目（52177087）和高端外国专家人才项目（G2022163018L）资助。
收稿日期 2023-03-14
改稿日期 2023-08-10
罗清局 男，2000年生，硕士研究生，研究方向为电-气综合能源系统分布式优化调度。E-mail：luoqingju@qq.com
朱继忠 男，1966年生，教授，博士生导师，研究方向为综合智慧能源系统优化运行与控制。E-mail：zhujz@scut.edu.cn（通信作者）
（编辑 赫 蕾）