（1）
摘要 锂离子电池荷电状态（SOC）的准确估计对于电池管理系统（BMS）的性能和可靠性至关重要。现有研究广泛关注电池模型、参数辨识及滤波算法的优化，对于电池开路电压（OCV）与SOC关系的准确映射研究较少，这限制了宽温度多工况下的SOC估计精度。该文创新性地提出一种针对宽温度的OCV-SOC映射修正策略，并构建基于支持向量机回归（SVR）的开路电压模型。该模型能准确地捕捉不同电池温度下的电池行为，提升SOC估计的稳定性、鲁棒性和初始误差修正能力。继而结合二阶RC等效电路模型、动态遗忘因子递归最小二乘法（DFFRLS）及自适应平方根无迹卡尔曼滤波（ASRUKF）实现SOC精确估计。在20%初始误差的条件下，所提方法在宽温度（包含极端温度）及多工况（包含复杂工况）测试中的方均根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）均小于1.8%，该方法的适应性与准确性高，且算法复杂度未显著增加，为BMS中SOC的高精度估计提供了新的途径。
关键词：锂离子电池 荷电状态 开路电压模型 支持向量机回归 卡尔曼滤波 宽温度多工况
面临能源危机和环境退化的挑战，发展先进的储能技术已成为实现环境和能源可持续性的关键策略[1]。储能电池不仅为电动汽车（Electric Vehicles, EVs）提供关键动力，还支持电网规模的能源储存，进一步推动可再生能源的高效利用，有效地降低了碳排放[1]。锂离子电池因能量密度高、循环寿命长、自放电率低等优点成为最适合电动汽车的储能组 件[2]。为了实时呈现电池状态并防止电池滥用，提出电池管理系统（Battery Management System, BMS）对电池状态进行监控。其中，电池荷电状态（State of Charge, SOC）的准确评估是BMS中的关键问题之一[4]。SOC的精确估计不仅可以提高锂离子电池的能量利用率，还能有效地控制其充放电边界，避免过充和过放，延长电池的使用寿命[5]，确保电池稳定且安全运行。然而，SOC并不能通过任何传感器或测量工具直接获得，仅能通过监测变量，如电流、电压和温度等来进行间接估计[6]。温度对电池性能产生了显著影响，这包括极化效应和副反应的强弱、内阻以及容量大小等，这些性能变化进一步表现为电池库仑效率和端电压的变化，从而影响电池SOC。然而，在实际应用中，考虑到气候环境和电池自发热的影响以及锂离子电池较宽的可接受温度范围，电池在宽温度范围内的运行是难以避免的。此外，电池在不同工作条件下展现出差异化的强非线性动态特性，使得SOC估计受到电池的充放电倍率变化、工作环境温度变化等多重因素耦合影响，这对SOC估计提出了更高的要求。因此，在宽温度多工况条件下如何保持SOC的高精度估计已成为BMS领域的核心挑战[7]。
现阶段SOC估计方法主要分为安时积分法、开路电压法、基于数据驱动模型法和状态空间模型法四类[8]。安时积分法原理简单且易用，但由于电流监测误差不可避免，该方法存在累积误差，且精度严重受初始误差的影响[9]。开路电压法具有计算量小、精度较高和无累积误差的优点，但由于获取电池开路电压（Open Circuit Voltage, OCV）需要长时间静置，该方法不满足在线估计需求，难以实际应用[10]。文献[11]提出了一种动态可重构电池网络，在1 s内测得电池开路电压，并结合机器学习算法构建开路电压模型实现宽温度SOC估计，但该方法没有考虑复杂工况的影响，且需配合特定电路，导致其应用场景和估计速度受到限制。基于数据驱动模型的方法依靠大量数据对机器学习模型进行训练，构建输入特征和输出SOC之间的映射函数，实现SOC估计[12]。随着技术发展，机器学习技术实用性逐渐增强，该方法在效率、准确性和灵活性方面具有优越性，但估计速度较慢、对训练数据质量依赖性高且在不确定条件下的鲁棒性低[13]。当前基于状态空间模型的方法被广泛采用，其核心思想是将电池模型与一个或多个状态估计滤波器结合，从而实现对SOC的精确估计[14]；该方法具有快速、高精度和强适应性的SOC估计[15]潜力，但其估计性能在很大程度上取决于电池模型、参数辨识及滤波算法的选择，不当的方案会导致算法不稳定或复杂度急剧上升。为实现高精度的SOC估计，文献[16]基于二阶Thevenin等效电路模型，并结合矩形窗口递归最小二乘法及动态自适应平方根无迹卡尔曼滤波（Adaptive Square-Root Unscented Kalman Filter, ASRUKF）算法实现SOC估计，室温下的平均绝对误差不超过0.5%；但该方法没有考虑非室温环境和复杂工况对SOC估计的影响。文献[17]考虑了温度因素，对电池模型进行改进，提出了迁移模型并结合遗忘因子最小二乘法和粒子滤波算法实现SOC估计；但该方法牺牲了估计精度，且仍未考虑复杂工况对SOC估计的影响。为实现适应复杂工况的高精度SOC估计，文献[18]提出遗忘因子最小二乘法与粒子群联合算法完成参数辨识，并基于二阶RC等效电路模型和粒子群优化扩展粒子滤波算法实现多工况SOC估计；但该方法在极端环境温度下的估计精度无法保证，且对初始误差的矫正能力也未得到验证。
综上所述，当前研究在宽温度范围、多样化工况及存在初始误差的情境下，尚未能实现具有较强稳定性和鲁棒性的高精度SOC估计。
现有基于状态空间模型的SOC估计研究主要集中于电池模型、参数辨识及滤波算法的优化。然而，其估计准确性还高度依赖OCV与SOC的准确映射[19]，而此方面的相关研究较少。本文创新性地提出了一种OCV-SOC映射的修正策略，并融合机器学习，基于支持向量机回归（Support Vector Regression, SVR）构建了能准确描述宽温度OCV- SOC映射关系的改进开路电压模型。该模型与二阶RC等效电路模型紧密结合，并辅以动态遗忘因子最小二乘（Dynamic Forgetting Factor Recursive Least Square, DFFRLS）法和ASRUKF法实现SOC估计。在现有DFFRLS参数辨识和ASRUKF估计算法的基础上，改进开路电压模型可进一步提升宽温度多工况下的参数辨识和滤波估计性能，增强SOC估计整体鲁棒性和稳定性。经验证，所提方法在不显著增加算法复杂度的同时，实现了宽温度多工况高精度实时在线SOC估计，具备较强的稳定性、鲁棒性和初始误差修正能力。此外，本文深入讨论和对比了不同卡尔曼滤波算法及不同开路电压模型对宽温度多工况SOC估计的影响，为当前在宽温度、多工况条件下SOC的精准估计提供了理论支撑和新的视角。
SOC反映的是电池当前时刻的剩余容量，用百分比表示。理论上，SOC值应位于0～100%区间内，而在实际应用中，SOC值可能偏离此区间，这归因于多样的SOC定义和苛刻的满充满放条件。本文从容量角度对SOC进行定义，即
（1）
式中，
为
时刻的SOC值；
为
时刻的SOC值；
为库仑效率，本文设为1；
为电池工作电流，放电时的电流方向为正方向；
为当前电池的最大容量，动力学效应接近热力学极限。需要注意的是，基于定义SOC是因为不会随着电池温度发生变化，SOC总小于或等于100%[20]。
二阶RC等效电路模型参数数量适中，且精度较高，适用于实时估计[21]。因此，本文选用二阶RC等效电路模型作为基础模型进行研究，模型结构如图1所示。图中，
为开路电压，反映电池电动势特性；
为由电荷在电双层中的积累和消耗引起的欧姆电阻；
和
分别为电化学极化电阻和电容；
和
分别为浓差极化电阻和电容；
和
分别为和上的极化电压；
为终端电压。
图1 二阶RC等效电路模型
Fig.1 Schematic diagram of second-order RC equivalent circuit model
基于SOC定义和基尔霍夫定律可得离散化状态方程和观测方程分别为
（2）
式中，
；
；
时刻的状态向量
；输入变量
；输出变量
；
为过程噪声；
为观测噪声；
为采样时间。
OCV与SOC之间映射关系的建模在基于状态空间模型的SOC估计中至关重要[22]。
为
的函数，表示为
（3）
为观测方程的核心组成部分，对观测值的估计精度起到决定性作用。进一步地，这些观测估计值又被用于参数辨识以及SOC滤波估计中，是实现稳定、精确参数辨识和滤波估计的基础。然而，OCV-SOC的映射关系会因电池温度的变化而变化。在未知温度下，基于已知温度下的OCV-SOC映射关系建立的开路电压模型精度难以保证。因此，考虑到电池温度的复杂性和不确定性，研究具有高精度、宽温度适应性和优越鲁棒性的开路电压模型尤为重要。
本文分别从修正获取准确OCV-SOC映射关系及选用适宜的回归算法两方面来建立开路电压模型。
当前，大量研究基于常温下的开路电压测试确定OCV-SOC的映射关系[23]，当电池温度偏离常温范围时，该OCV-SOC映射关系会出现偏差。甚至有部分研究未考虑电池的迟滞效应，仅依赖放电测试建立映射关系[24]。尽管存在不同温度下的开路电压测试研究，但由于充放电测试数据融合困难，通常仅建立SOC区间中间部分的OCV-SOC映射[25]，从而限制了SOC估计的区间范围。为解决上述问题，本文提出了一种OCV-SOC映射关系修正策略。
马里兰大学考虑电池温度因素对A123电池进行了低电流开路电压测试。测试数据已发布于美国马里兰大学先进寿命周期工程中心电池组开源实验数据集（https://calce.umd.edu/battery-data）。测试在-10～50℃之间，每间隔10℃进行，并额外包含25℃。各温度下的测试流程如下：首先，以1C倍率恒流为电池充电，直到电压达到截止电压3.6 V后，再以恒压充电直至电流降为0.01C，对应于SOC=100%；然后，电池以C/20恒定倍率放电至2.0 V，并静置；最后，以C/20恒定倍率充电至3.6 V。根据SOC定义得到电池电压与SOC对应关系如图2所示。
图2 低电流充放电电压与SOC映射关系
Fig.2 Correspondence between voltage and SOC under low current charging and discharging
低电流OCV测试原理如下：在低倍率充放电过程中，由于电池极化效应几乎消除，电池端电压可视为平衡电位[26]；电池迟滞效应导致电池充电和放电曲线并不重合，OCV等于充放电过程的平均电压。然而，上述原理仅在理想温度下才能实现，当温度不理想时，原本被低电流充放电几乎消除的极化效应被相对放大。如图2所示，放电后静置期间，电池极化逐渐消退导致电压回弹，随后充电曲线的起始电压高于2 V；充电时电池电压在SOC达到100%前到达截止电压。因此，低电流OCV测试在非理想温度下进行时产生了一个亟须解决的问题：高SOC区间部分充电数据缺失，充放电曲线不能简单地进行平均处理，OCV-SOC映射关系无法建立。
针对上述问题，本文提出了一种平移融合的修正方法，来获取各个温度的OCV-SOC映射关系，其示意图如图3所示。图3中，曲线①和②是实际低电流OCV测试获得的放电和充电曲线；曲线③是实际低电流OCV测试完成后的二次放电曲线，其部分与曲线①重合；曲线④是理想充电曲线（即不考虑充电时的极化效应），其部分与曲线②重合；曲线⑤是通过将曲线②沿水平方向向右平移得到的平移后充电曲线；曲线⑥是修正后的OCV-SOC曲线。图中阴影区域，即
的范围，对应锂离子电池的平台区，电压变化较小；标记为（1）的范围表示非高SOC区间，标记为（2）的范围则表示高SOC区间。
图3 任一温度下OCV-SOC映射关系修正示意图
Fig.3 Schematic representation of OCV-SOC mapping correction at any given temperature
由图3可知，不考虑放电后静置期间的电压回弹，充电曲线②与放电曲线③构成了滞回曲线。结合电池的滞回特性可知，若电池在恒流充电条件下能够达到SOC=100%，则相应的理想充电曲线④与放电曲线①将同样地构成滞回曲线。此外，放电曲线①和③之间具有一定的相似性，具体表现为：在非高SOC区间内两条曲线基本重合，在高SOC区间内两条曲线基本平行[27]。根据上述电池滞回特性和放电曲线相似性的分析可知，曲线④和曲线②之间将同样具有一定的相似性，且与曲线①和③之间的相似性类似。基于上述理论，提出修正方法如下：
（1）将充电曲线②沿水平方向向右平移，至SOC达到100%，得到平移后充电曲线⑤，这等同于对曲线②在高SOC区间的数据缺失区域进行外插处理。
（2）计算曲线①和②在
范围内的平均值，以及曲线①和⑤在
范围内的平均值，其中，
和
满足
。
（3）将两组平均值（即OCV）计算结果再次融合得到最终的OCV，建立如曲线⑥所示的OCV- SOC映射关系，融合方法为
（4）
式中，
为曲线①②平均得到的OCV；
为曲线①⑤平均得到的OCV。本文中，和分别设为40%和80%。最终各个温度下的OCV-SOC映射关系如图4所示。
图4 修正后不同温度下OCV-SOC映射关系
Fig.4 Mapping correction relationship of OCV-SOC at different temperature
传统曲线拟合技术，如多项式回归，无法构建适应电池温度变化的唯一开路电压模型[28]。虽然基于这些算法能够构建多个开路电压模型，在多个特定温度下这些模型可能表现出较高的精度，但其在未知温度条件下的准确性仍会降低，且模型复杂度亦随之增加。数据驱动算法能处理高纬度和非线性的数据关系，从大量数据中得到唯一准确的开路电压模型。因此，本文引入数据驱动方法提出了基于支持向量机回归（SVR）的开路电压模型。
SVR是一种基于支持向量机原理的回归方法，结合了支持向量机的核技巧和结构风险最小化原则。与其他统计学模型相比，SVR可以更好地量化各种特征对目标变量的影响程度，并适应各种复杂的数据模式，从而提高模型的鲁棒性、泛化性和准确性。
支持向量机回归的基本思想是通过非线性映射
将数据映射到高维空间并在此空间进行线性回归。对于给定的含有
个样本的OCV-SOC映射关系数据集
，其中
是输入特征向量，包含SOC和电池温度两个特征；
是输出OCV。回归预测函数为
（5）
式中，
为权重参数；
为偏置参数。SVR通过最大化间隔和最小化损失来确定参数和。与多项式回归不同的是，其可以容忍大小为
的偏差，仅当
与
的偏差大于才计算损失，因此，参数确定可转化为如下凸优化问题
（6）
式中，为不敏感参数。为克服噪声数据影响，引入松弛因子
和
后得到
（7）
式中，
为惩罚因子。为解决求解过程中非线性映射
和
内积运算复杂度高的问题，引入核函数
，令其满足
（8）
本文选用的核函数为径向基核函数，即
（9）
式中，
径向基核函数的带宽参数。最终通过拉格朗日乘子法和KKT条件得到最终回归函数为
（10）
式中，
为拉格朗日乘子。
在完成电池基本模型和开路电压模型的构建之后（即第1、2节所阐述的内容），实现SOC估计仍面临两个核心问题需要解决：①为确保电池模型能精确反映真实电池的动态行为，必须迅速、准确地识别模型参数；②为保证SOC的精确、稳定估计，选择合适的滤波算法是关键。
在考虑电池温度和SOC的影响时，在线参数辨识方法相较于离线参数辨识更能准确地获得模型参数。特别地，当电池处于动态工况时，基于递归最小二乘（Recursive Least Square, RLS）法的SOC估计已被证实具有最优的估计速度和精度[29]。带遗忘因子的RLS，可以提高新数据对算法结果的影响，但由于遗忘因子是固定值，所以无论其如何设置，都会产生收敛速度和抗噪能力之间的矛盾[30]，因此，本文采用基于DFFRLS的参数辨识。
根据已知二阶RC等效电路模型可以得到电池的传递函数为
（11）
式中，、、、
、
为待辨识参数，两边同时进行
变换可以得到
（12）
式中，
为新的待辨识参数。令
，可以得到
（13）
令
式（13）中引入一个估计误差
得到
（14）
式中，“
”表示估计值。
建立动态遗忘因子函数为
（15）
式中，
为时刻的遗忘因子；
为一个小于1并接近于1的可调参数；
是一个正适应性系数；
为新息，可以反应参数辨识误差大小，定义为
（16）
增大、
减小，可提高参数辨识收敛速度；减小、增大，可提高参数辨识的稳定性和鲁棒性。
DFFRLS的递推公式为
（17）
式中，
为增益；
为误差协方差；I为单位矩阵。最后，通过DFFRLS递推公式（17）得到
并代入元素和待辨识参数之间的等式中完成参数辨识。
由于电池系统的非线性、运行工况的复杂性和电池温度的波动性，基础滤波算法需要进一步优化。此外，考虑到本文提出的改进开路电压模型线性化困难，本文采用基于ASRUKF来实现SOC估计。该方法采用状态变量误差协方差的平方根进行更新，而非直接更新协方差矩阵，从而解决了无迹卡尔曼滤波（UKF）中协方差矩阵可能的非正定问题，增强了算法的稳定性。此外，通过引入Sage-Husa自适应策略，根据测量与预测值的新息差异及残差序列对系统噪声协方差进行修正，从而避免了由于噪声不准确导致的平方根无迹卡尔曼滤波（Square- Root Unscented Kalman Filter, SRUKF）估计发散问题，提高了算法的鲁棒性。
二阶RC等效电路模型的状态方程和观测方程可分别表示为
（18）
为实现无迹变换，需构建
个Sigma点[31]，
为状态变量维度；Sigma点为
（19）
式中，
为
的第
列；
为状态变量均值；
为比例因子，
，参数
决定了周围Sigma点的离散程度；
为二次缩放参数；
为状态误差协方差
的下三角Cholesky分解，即平方根状态误差协方差。Sigma点权重
的取值为
（20）
式中，
为状态分布参数。本文将ASRUKF算法过程分为预测和更新两部分。
1）预测
计算Sigma点
（21）
式中，
为
时刻的后验状态估计值。计算先验状态估计值
和
为
（22）
其中
式中，
代表矩阵进行简化QR分解，返回上三角矩阵；cholupdate代表Cholesky分解的秩一更新[31]；
为平方根状态噪声协方差。重新计算Sigma点并计算新息
为
（23）
更新平方根观测噪声协方差
为
（24）
式中，
为遗忘因子，
。
2）更新
计算卡尔曼增益为
（25）
式中，
为状态观测误差交叉协方差；
为平方根观测误差协方差。计算
时刻的后验状态估计值
并更新
为
（26）
更新平方根过程噪声协方差
为
（27）
最终，时刻滤波后的SOC估计值等于的值。
本文实验平台包括A123磷酸铁锂离子电池（1.1 A×h）、温度试验箱、Arbin BT2000电池测试系统和带有Arbin软件的计算机。本文基于宽温度多工况的实验数据来验证本文SOC估计算法，宽温度范围包含：-10、0、10、20、25、30、40和50℃环境温度；多工况包含：动态应力测试（DST）、联邦城市运行（FUDS）和US06高速公路运行（US06）工况。其中，-10～10℃代表低温，20～30℃代表常温，40～50℃代表高温；DST代表平缓工况，FUDS代表较复杂工况，US06代表复杂工况。电池数据的初始SOC=100%。
在三种不同卡尔曼滤波算法的对比研究中，鉴于OCV-SOC映射关系受温度的影响显著，为避免过拟合问题，不宜选择过高的多项式次数。因此，本文基于25℃的OCV-SOC映射数据，利用PR算法构建了7次多项式开路电压模型。DFFRLS的
=0.9，
=2，模型参数初值通过最小二乘法获得，误差协方差的初值为单位矩阵。三种不同的卡尔曼滤波采用统一参数，
的初值为
，
的初值为
，
的初值为
；为验证算法对初始误差的修正能力，SOC初值设置为80%，因此，状态向量的初始值为
。
在三种不同开路电压模型的对比研究中，基于-10、0、10、20、30、40和50℃的平均OCV-SOC数据构建7阶多项式开路电压模型。基于同温度未平均数据，以SOC和电池温度为输入特征建立极限梯度提升（Extreme Gradient Boosting, XGBoost）模型和SVR开路电压模型。其中，对于XGBoost算法，树的最大深度为3，学习率为0.01，树的数量为1 000，选择方均误差作为损失函数；对于SVR算法，核函数为径向基核函数，核函数参数
=30，惩罚系数
=30，损失距离度量为1×
；DFFRLS参数同上；ASRUKF中的初值为
，的初值为
，的初值为
，状态向量的初始值为。
本文采用最大误差（Maximum absolute error, MAX）、方均根误差（Root Mean Square Error, RMSE）和平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）来评估方法和模型性能。
为验证三种卡尔曼滤波在宽温度多工况下的SOC估计性能，本节基于多项式回归（Polynomial Regression, PR）开路电压模型和DFFRLS对UKF、SRUKF和ASRUKF三种卡尔曼滤波算法在宽温度范围多工况下的SOC估计性能进行了对比研究。在-10、0、25和50℃环境温度下，分别测试了DST、FUDS和US06三种工况。25℃下多工况SOC估计结果如图5所示，宽温度下DST、FUDS和US06三种工况的估计误差见表1～表3。
由图5a～图5d可知，基于三种滤波算法的SOC估计均具有较好的初始误差修正能力。值得注意的是，在25℃下，基于UKF和SRUKF的SOC估计在末端与ASRUKF相比出现更明显的发散。进一步地，由表1、表2可知，在宽温度DST和FUDS工况测试中，基于ASRUKF的SOC估计在MAX、MAE和RMSE上均小于0.94%。而相比之下，在0℃或更低的环境温度下，基于UKF和SRUKF的SOC估计精度明显下滑，RMSE高达2.36%，这证明在温度变化范围扩大时，UKF和SRUKF的滤波性能无法保证精确的SOC估计。综上所述，ASRUKF具有更优越的滤波修正能力，即使在开路电压模型未考虑电池温度变化和面临非复杂工况时，仍能实现高精度的SOC估计。然而，在25℃和50℃下，相对于ASRUKF，基于UKF和SRUKF的SOC估计误差在MAE和RMSE上略高。这是因为UKF和SRUKF的噪声处理不具备自适应性，导致其表现出局部温度最优的特点。此外，由表3可知，在宽温度复杂工况下，三种滤波算法均无法实现高精度SOC估计，最大RMSE和MAE均大于3%，精度大幅下滑，但在特定环境温度范围内，三种算法仍能保持高精度估计。
图5 25℃多工况下不同算法估计结果
Fig.5 SOC estimation results at 25℃ ambient temperature across multiple working conditions by various algorithms
表1 宽温度DST工况下不同算法估计误差
Tab.1 SOC estimation errors under DST operating condition across wide temperature range by various algorithms
温度/℃算法RMSE(%)MAE(%)MAX(%) -10UKF2.352.302.74 SRUKF2.362.312.74 ASRUKF0.890.720.85 0UKF1.030.941.17 SRUKF1.030.941.17 ASRUKF0.550.280.43 25UKF0.470.142.59 SRUKF0.470.142.59
（续）
温度/℃算法RMSE(%)MAE(%)MAX(%) 25ASRUKF0.550.300.63 50UKF0.520.340.70 SRUKF0.520.340.70 ASRUKF0.700.530.81
表2 宽温度FUDS工况下不同算法估计误差
Tab.2 SOC estimation errors under FUDS operating condition across wide temperature range by various algorithms
温度/℃算法RMSE(%)MAE(%)MAX(%) -10UKF1.070.941.90 SRUKF1.060.921.87 ASRUKF0.520.080.37 0UKF0.810.691.79 SRUKF0.810.681.78 ASRUKF0.500.180.53 25UKF0.450.112.55 SRUKF0.450.112.55 ASRUKF0.730.570.78 50UKF0.440.200.71 SRUKF0.440.200.71 ASRUKF0.870.750.94
表3 宽温度US06工况下不同算法估计误差
Tab.3 SOC estimation errors under US06 operating condition across wide temperature range by various algorithms
温度/℃算法RMSE(%)MAE(%)MAX(%) -10UKF3.283.254.61 SRUKF3.273.244.58 ASRUKF1.641.523.13 0UKF0.780.640.85 SRUKF0.730.580.79 ASRUKF3.103.054.93 25UKF1.111.032.61 SRUKF1.081.002.60 ASRUKF0.580.251.81 50UKF1.151.071.24 SRUKF1.151.071.25 ASRUKF2.142.062.55
上述卡尔曼滤波算法对比分析表明，在特定温度范围下，结合DFFRLS和固定温度下的PR开路电压模型，UKF、SRUKF和ASRUKF均可实现多工况的高精度SOC估计，但UKF和SRUKF在电池放电末端会出现较为明显的估计发散。而在宽温度范围下，具有高稳定性和强鲁棒性的ASRUKF也无法实现复杂工况的高精度SOC估计，这表明SOC估计算法还需进一步改进。
本文从两个维度对算法进行了优化：一方面，考虑到ASRUKF出色的鲁棒性，将参数范围扩大重新调参，而这是UKF和SRUKF难以实现的，因此，在后续研究中仅采用ASRUKF；另一方面，考虑电池温度影响进一步改进开路电压模型，以期提升宽温度复杂工况下SOC估计精度。
本节基于DFFRLS和ASRUKF对PR、XGBoost和SVR三种开路电压模型在宽温度范围多工况下的SOC估计性能进行了深入研究与对比，验证本文所提方法的正确性。
本文结合电池温度因素，选定并建立了基于PR、XGBoost以及SVR的三种开路电压模型进行比较分析。对于-10、0、25和50℃下的各1 000条OCV与SOC的映射数据样本，三种模型的估计精度及时间见表4。
表4 宽温度范围内不同开路电压模型误差
Tab.4 Errors of various OCV models across wide temperature range
温度/℃模型RMSE/VMAE/V时间/s -10PR0.0410.0250.007 XGBoost0.0160.0050.011 SVR0.0180.0020.293 0PR0.0260.0160.005 XGBoost0.0220.0050.008 SVR0.0220.0020.309 25PR0.0340.0170.010 XGBoost0.0200.0040.008 SVR0.0330.0070.321 50PR0.0760.0300.010 XGBoost0.0260.0060.009 SVR0.0260.0030.319
由表4可知，在宽温度范围内，XGBoost模型精度最高，其平均RMSE相较于SVR模型减少了15%，而MAE则增加了43%。同时，SVR模型相较于PR模型，平均RMSE和MAE分别降低了44%和84%，三种模型中PR模型的精度最低。尽管XGBoost模型相对于SVR模型显示出更高的稳定性，但其整体估计精度却稍逊于SVR模型。此外，模型复杂度可以通过估计时间来体现，SVR模型的估计时间比XGBoost和PR模型增加了0.3 s，表明SVR模型在算法复杂度上较高，但其仍然满足SOC实时估计需要。此外，测试样本中未参与模型训练的25℃测试数据可验证XGBoost和SVR模型的泛化能力。综上所述，仅从模型自身精度和复杂度方面考虑，XGBoost应是最优模型。
为验证三种开路电压模型在宽温度平缓工况下的SOC估计性能，本文在-10、0、25和50℃环境温度下，分别进行了DST工况测试。估计结果如图6所示，估计误差见表5。
分析图6a～图6d及表5可知，基于PR和SVR开路电压模型的SOC估计在宽温度平缓工况下均具有较好的初始误差修正能力。在RMSE和MAE上，三种模型的误差均低于1.9%。其中，PR模型和SVR模型的最大误差低于1.1%，估计精度较高，但XGBoost模型在SOC估计初期会出现严重超调，尤其在50℃下，超调高达9.46%，且在末期，也出现不同程度的估计发散。尽管在第6.1节的模型性能对比中，XGBoost模型具有优越性，但其SOC估计效果并不理想。本文认为，上述矛盾的产生，关键原因在于XGBoost模型的基学习器为树模型，导致输出结果离散，表现出阶梯状特征。这种特性使XGBoost模型在连续值估计中难以实现平滑估计，从而在平稳工况下的估计精度有所下降。若工况进一步复杂化，无法实现平滑估计的开路电压模型将不适用于基于状态空间模型的SOC估计。
图6 宽温度DST工况下SOC不同模型估计结果
Fig.6 SOC estimation results under DST operating condition across wide temperature range using various models
表5 宽温度DST工况下不同模型估计误差
Tab.5 SOC estimation errors under DST operating condition across wide temperature range using various models
温度/℃模型RMSE(%)MAE(%)MAX(%) -10PR0.980.840.95 XGBoost1.891.812.15 SVR0.700.450.69 0PR0.630.430.60 XGBoost1.110.945.47 SVR0.510.120.74 25PR0.480.140.62 XGBoost0.890.308.57 SVR0.640.440.74 50PR0.570.350.60 XGBoost1.070.619.46 SVR0.890.771.02
为验证三种开路电压模型在宽温度较复杂工况下的SOC估计性能，本文在-10、0、25和50℃环境温度下，分别进行了FUDS工况测试。估计结果如图7所示，估计误差见表6。
分析图7a～图7d及表6可知，基于PR和SVR开路电压模型的SOC估计在宽温度较复杂工况下仍具有较好的初始误差修正能力。在RMSE和MAE上，PR和SVR模型的误差低于1.1%，且最大误差低于1.2%，估计精度仍然较高。此外，在0℃或更低的环境温度下，基于XGBoost模型的SOC估计完全发散，验证了6.2节所述开路电压模型输出平滑的重要性。
图7 宽温度FUDS工况下不同模型估计结果
Fig.7 SOC estimation results under FUDS operating condition across wide temperature range using various models
为验证三种开路电压模型在宽温度复杂工况下的SOC估计性能，本文在-10、0、25和50℃环境温度下，分别进行了US06工况测试。估计结果如图8所示，估计误差见表7。
分析图8a～图8d及表7可知，基于PR和SVR开路电压模型的SOC估计在宽温度复杂工况下仍具有较好的初始误差修正能力。在RMSE和MAE上，仅SVR模型的误差低于1.8%，且MAX低于4.3%，估计精度仍然较高。在0℃或更低的环境温度下，基于PR模型的SOC估计精度严重下滑，RMSE和MAE均高于3%。这一结果说明，尽管进行了重新调参，但ASRUKF仍难以弥补开路电压模型精度不足的问题，无法实现宽温度多工况的高精度SOC估计。此外，基于XGBoost模型的SOC估计在宽温度复杂工况下完全发散，再次验证了开路电压模型输出平滑的重要性。
表6 宽温度FUDS工况下不同模型估计误差
Tab.6 SOC estimation errors under FUDS operating condition across wide temperature range using various models
温度/℃模型RMSE(%)MAE(%)MAX(%) -10PR0.540.180.40 XGBoost24.7424.0130.43 SVR0.680.431.04 0PR0.460.070.26 XGBoost10.119.7114.05 SVR0.710.531.00 25PR0.580.370.58 XGBoost1.050.419.09 SVR0.810.670.89 50PR0.700.550.75 XGBoost1.120.439.81 SVR1.040.931.14
图8 宽温度US06工况下不同模型估计结果
Fig.8 SOC estimation results under US06 operating condition across wide temperature range using various models
表7 宽温度US06工况下不同模型估计误差
Tab.7 SOC estimation errors under US06 operating condition across wide temperature range using various models
温度/℃模型RMSE(%)MAE(%)MAX(%) -10PR3.733.684.62 XGBoost42.8041.9151.91 SVR1.801.594.21 0PR3.093.064.10 XGBoost40.4339.8051.07 SVR1.561.423.14 25PR1.090.991.59 XGBoost12.6912.4015.92 SVR1.190.713.57 50PR1.701.611.98 XGBoost11.8611.4915.15 SVR1.741.672.06
综上所述，在综合考虑机器学习算法的精度与复杂度后，本节选取了具有代表性的PR模型、XGBoost模型和SVR模型，以分析在宽温度多工况下，不同开路电压模型对SOC估计性能的影响。研究发现，无法实现平滑估计的开路电压模型不适用于基于状态空间模型的SOC估计。仅有基于SVR的估计方法能够在宽温度多工况下实现高精度的SOC估计，同时该方法在初始误差修正方面表现出较强的能力，而且算法复杂度低，符合实时在线估计的需求。
本文深入研究了基于状态空间模型的宽温度多工况SOC估计方法，就卡尔曼滤波算法和开路电压模型两方面进行了重点讨论。以下为本文的核心结论：
1）为解决电池恒流充电受截止电压限制导致充放电数据难以融合的问题，本文创新性地提出了一种OCV-SOC映射关系修正策略。通过对低电流OCV测试数据进行平移融合修正，得到了准确的OCV-SOC映射关系数据，为后续开路电压模型的精确建立奠定了基础。
2）本文对比分析了UKF、SRUKF和ASRUKF三种卡尔曼滤波算法在基于状态空间模型的SOC估计中的滤波性能，发现它们均能在一定程度上修正初始误差、电池温度及工况变化带来的影响。具体地，当电池温度在特定温度范围内变化时，结合DFFRLS和固定温度下的PR开路电压模型，三者均可实现多工况的高精度SOC估计，尤其是ASRUKF更表现出在估计末段能够抑制发散的特性。当电池温度在宽温度范围内变化时，仅有ASRUKF可在非复杂工况下实现宽温度的高精度SOC估计。然而，在宽温度环境基础上，叠加复杂工况，上述三种算法均无法实现高精度SOC估计。
3）本文对PR、XGBoost和SVR三种开路电压模型进行了深入研究，得到了无法实现平滑估计的开路电压模型不适用于基于状态空间模型的SOC估计的结论。证明了改进并建立高精度开路电压模型可有效提升基于状态空间模型的方法在宽温度多工况下的SOC估计性能。
最终，本文提出一种基于二阶RC等效电路模型，结合SVR开路电压模型、DFFRLS参数辨识和ASRUKF的SOC估计方法。在20%初始误差的宽温度多工况下，该方法的RMSE和MAE均小于1.8%。其中，平缓和较复杂工况下的MAX不超过1.2%，复杂工况下的MAX不超过4.3%。实验证明，在不显著增加算法复杂度的前提下，所提方法可实现宽温度多工况的实时在线高精度SOC估计，并具备较强的稳定性、鲁棒性和初始误差修正能力。
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Abstract Accurately estimating lithium-ion batteries’ state of charge (SOC) is critical. While existing research primarily focuses on optimizing battery models, parameter identification, and filtering algorithms, this paper introduces an open-circuit voltage (OCV) model. Firstly, an innovative OCV-SOC mapping correction strategy is designed for a wide temperature range. Additionally, an open-circuit voltage model based on support vector machine regression (SVR) is developed to accurately capture varying behaviors of batteries at different temperatures, thereby enhancing the stability, robustness, and initial error correction capability of SOC estimation. The impact of various Kalman filter algorithms and OCV models on SOC estimation across a wide temperature range and multiple working conditions is discussed. By integrating a second-order RC equivalent circuit model, dynamic forgetting factor recursive least squares (DFFRLS), and adaptive square root unscented Kalman filter (ASRUKF), the proposed approach achieves SOC-accurate estimation.
In the wide temperature range tests of the non-complex conditions, the SOC estimation based on ASRUKF achieves a maximum error, mean absolute error (MAE), and root mean square error (RMSE) of below 0.94%. In contrast, at 0℃ or lower temperatures, SOC estimations based on unscented Kalman filter (UKF) and square root unscented Kalman filter (SRUKF) reach an RMSE of 2.36%. Under complex conditions across a wide temperature range, all three filtering algorithms’ maximum RMSE and MAE exceed 3%. Although the estimation time of SVR lags by 0.3 seconds behind extreme gradient boosting (XGBoost) and polynomial regression (PR), indicating a more complex computational process, it remains within acceptable bounds for real-time SOC applications. With an initial deviation of 20%, the SOC estimation based on SVR upholds an RMSE and MAE below 1.8% across a wide temperature range and multiple working conditions, ensuring that errors are contained within 1.2% under the non-complex operating conditions and below 4.3% under the complex operating condition. At 0℃ or lower ambient temperatures, the accuracy of SOC estimation under the complex condition based on PR significantly deteriorates, with both RMSE and MAE exceeding 3%. The SOC estimation based on XGBoost completely diverges under complex condition across a wide temperature range.
Results: (1) UKF, SRUKF, and ASRUKF display the potential to adjust initial discrepancies in fluctuating temperatures and operational conditions. ASRUKF is better at showing the mitigating divergence towards the estimation process's end. (2) OCV models are unsuitable for state-space model-based methods in SOC estimation. Improving and establishing high-accuracy OCV models can effectively enhance the performance of state-space model-based methods. (3) The proposed method achieves real-time, high-accuracy SOC estimation across a wide temperature range and multiple working conditions without significantly increasing algorithmic complexity, exhibiting strong stability, robustness, and initial error correction capability.
keywords：Lithium-ion battery, state of charge, open-circuit voltage model, support vector machine regression, Kalman filter, wide temperature, multiple working condition
中图分类号：TM91
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.231889
国家自然科学基金（52007106）和山东省自然科学基金（ZR2022ME020）资助项目。
收稿日期 2023-11-13
改稿日期2024-03-13
王新栋 男，2000年生，硕士研究生，研究方向为锂离子电池状态估计等。E-mail: xindong.wang@mail.sdu.edu.cn
董 政 男，1988年生，副教授，硕士生导师，研究方向为新能源发电与智能微电网、大功率电力电子装备及其先进控制等。E-mail: dongzheng@sdu.edu.cn（通信作者）
（编辑 陈 诚）