（1）
摘要 为了更好地优化电池的能量管理，提高电池的利用效率，加强电池的安全性能，有必要对锂离子电池的荷电状态（SOC）和健康状态（SOH）进行精确估计。为解决噪声协方差取值和粒子采样分布问题，该文首先提出自适应扩展粒子滤波（AEPF）算法，根据状态向量预测的准确度自适应调整噪声协方差，并利用扩展卡尔曼滤波实现粒子分布函数的局部线性化。随后利用双自适应扩展粒子滤波（DAEPF）算法进一步实现电池SOC和SOH的联合估计，避免电池使用过程中模型参数变化对SOC估计的影响，并结合多时间尺度的方法节约所需的计算资源。最后在动态工况条件下对不同电池模型与算法进行对照实验，结果表明，改进后的算法收敛速度明显提升，且能够显著地提高电池的SOC与SOH的估计精度。
关键词：锂离子电池 分数阶模型 荷电状态 健康状态 自适应扩展粒子滤波
随着全世界经济与贸易的快速发展，人类社会更加重视自然资源，为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，政府大力推进风力发电、光伏发电、电动汽车和其他新能源技术的开发和应用[1-2]。锂离子电池作为主要的清洁动力电源，具有能量密度高、循环寿命长、没有记忆效应等优点，占据全球新型储能最大的市场份额[3]。
锂离子电池荷电状态（State of Charge, SOC）和健康状态（State of Health, SOH）估计是电池管理系统（Battery Management System, BMS）的核心部分，其中SOC是描述电池剩余电量的指标，SOH是表征电池老化程度与健康状况的关键指标[4-6]。然而，由于锂离子电池是复杂的时变性、非线性系统，且受温度、充放电倍率、电池实际容量和传感器灵敏度的影响，锂离子电池的状态估计成为其应用过程中的一个难点。现有的SOC估算方法主要包括传统估计方法、数据驱动法、基于模型的方法和融合法[7]。安时积分法属于传统的低精度方法，不能确定初始的SOC，且电流检测误差会通过积分累计，导致估算精度较低[8]。以神经网络[9]、支持向量机、模糊控制为代表的数据驱动法通过电池的电压、电流、内阻等多个物理量推算SOC，尽管无需对电池建模，但是估计效果受到训练集规模、模型的适应性、模型的逼真性等多方面的约束[10-12]。滤波法是基于电池模型的SOC估算方法，采用现代控制理论构造电池的状态空间方程，并将SOC作为状态变量进行估计。现阶段有很多基于卡尔曼滤波的SOC估计方法[13]，但传统卡尔曼滤波及其改进需假设系统噪声为高斯分布，因此，不适用于存在不确定性噪声的锂电池系统[14]。文献[15]考虑到卡尔曼滤波存在的不足，应用无迹粒子滤波（Unscented Particle Filter, UPF）算法对锂电池SOC进行在线估计，有效地避免了卡尔曼滤波不适用于非线性系统和估计值发散的问题。由于粒子滤波过程中存在粒子权重退化问题，文献[16]采用扩展粒子滤波和无迹粒子滤波对电池SOC进行估计，文献[17]通过权值选择粒子滤波算法提取较优权重粒子，文献[16-17]都通过增加粒子的多样性提升了SOC估计精度。然而，粒子滤波过程中的系统噪声协方差矩阵设置和粒子分布同样会影响算法的估计精度，且在实际应用过程中，电池的循环次数、温度等因素都会影响电池模型参数，从而影响SOC估计的准确性[18]。
为解决噪声协方差取值和粒子分布问题，本文提出了基于分数阶模型的自适应扩展粒子滤波（Adaptive Extended Particle Filter, AEPF）算法，能够通过自适应调整噪声协方差大小来平衡粒子滤波的精度和速度，扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）计算得到的粒子均值和方差用于确定粒子分布，提升状态估计精度。考虑到电池老化过程中最大容量变化造成的SOC估计偏差，本文提出双自适应扩展粒子滤波（Dual Adaptive Extended Particle Filter, DAEPF）算法，实现SOC与SOH联合估计。将状态观测器与参数观测器连接起来，由同一个观测函数引入新息，状态观测器负责估计电池端电压与SOC，参数观测器负责模型参数估计，两个观测器互为输入和输出。基于多时间尺度的联合估算法节约了大量计算资源，能够在单滤波器的基础上排除参数变化的干扰，进一步提升SOC估计精度。
为了实现电池SOC和SOH的准确估计，首先需要建立合适的电池等效模型。电化学阻抗谱（Electrochemical Impedance Spectroscopy, EIS）表明电池阻抗的实部和虚部随采样频率的变化，通过基于不同频率的阻抗测量得到的特征量来反映电池的内部变化，用于描述锂离子电池电化学特性。研究人员发现，当电池模型采用纯电容元件时，EIS总是与实际电池模型无法完全拟合，这种现象被定义为“弥散效应”。
分数阶微积分广泛用于非线性系统，包括信号处理[19]以及电池SOC估计，M. D. Ortigueira和J. A. T. Machado指出分数阶模型表现出更好的拟合实验数据的能力[20]。为了使电池的仿真模型更加贴近真实模型，本文使用分数阶电容来代替整数阶理想电容。分数阶电容也称为常相位元件（Constant Phase Element, CPE），定义为
（1）
式中，Cf为分数阶电容；Z为复数阻抗；j为虚数单位；w 为交流电信号的采样频率；p为分数阶电容Cf的阶数。经过分数阶电容Cf的电流if(t)和电压Uf(t)之间的关系表示为
（2）
在整数二阶RC模型的基础上，采用分数阶电池等效电路模型如图1所示。CPE1、CPE2为分数阶电容，其阶次分别为m和n；C1、C2分别为分数阶电容CCPE1、CCPE2的容量；R1、R2、R0分别为极化内阻、扩散内阻和欧姆内阻；U1、U2分别为分数阶电容CPE1、CPE2两端的电压；UOC为电池的开路电压；UT为电池的端电压；IT为电池的充放电电流。由基尔霍夫定律可知，电池分数阶模型可以用状态方程与观测方程表示。
图1 分数阶电池等效电路模型
Fig.1 Fractional-order equivalent circuit battery model
状态方程
（3）
观测方程
（4）
式中，QN为额定电池容量。
当式（3）引入Grunwald-Letnikov分数阶理论定义进行离散化时，微积分公式的牛顿二项式系数为Kj，令t1=R1C1，t2=R2C2，状态向量x=[U1U2 SOC]T，Ts为采样周期。式（3）可简化为
（5）
式中，
，其中包含的矩阵有
类似地，观测方程进行离散化后，在k时刻可简化为
（6）
其中
C=[-1 -1 0] zk=UT(k)
电池的参数辨识不仅能反映电池当前的工作状态，也能为SOC和SOH估计提供依据，不同的辨识方法直接影响模型的可靠性和准确度[21]。通过开路电压测试建立电池OCV-SOC的关系后，本文对分数阶等效电路模型的R0、R1、R2、C1、C2、m、n各参数值采用自适应遗传算法（Adaptive Genetic Algorithm, AGA）进行参数辨识。本文实验所用锂离子电池是应用较广泛的NCR18650三元锂离子动力电池，其参数见表1。
表1 松下NCR18650电池参数
Tab.1 Panasonic NCR18650 battery parameters
参 数数 值 标称容量/(mA·h)3 350 额定电压/V3.6 充电截止电压/V4.2 放电截止电压/V2.5 标准充电电流/A1.675 连续放电电流 (最大)/A10
在相同温度25℃，SOH=100%条件下进行脉冲放电实验，分别得到分数阶模型的自适应遗传算法参数辨识结果与整数阶模型的最小二乘法参数辨识结果。将辨识得到的参数代入两者状态空间方程中，分数阶模型和整数阶模型的估计端电压对比如图2所示，模型精度的指标为模型估计端电压值与实际端电压值的误差大小。
图2 不同模型估计端电压对比
Fig.2 Comparison of terminal voltage estimated by different models
由图2可知，根据分数阶等效电路模型估计的端电压相比于整数阶等效电路模型估计的端电压更靠近端电压的真实值。整数二阶RC模型的最大误差为0.075 V，平均误差为0.006 7 V。根据相同的脉冲放电数据，分数阶等效电路模型的最大误差仅为0.055 V，平均误差为0.005 2 V，改进后电池等效电路模型的估计端电压最大误差与平均误差分别减小了26.6%与22.4%。除了在脉冲出现与结束时间点会出现短时间尖峰以外，分数阶模型的误差基本在0.006 V以内，说明分数阶模型端电压误差水平更小，所以其模型整体精度更高。因此，本文对锂离子电池的SOC及SOH估计均建立在分数阶模型的基础上。
粒子滤波是一种适用于非线性非高斯系统模型的滤波算法[22]。粒子滤波突破了卡尔曼滤波体系的理论框架，适用于非线性随机系统，精度相对高，是一种有效的非线性滤波算法。在实际仿真实验中，系统的噪声协方差矩阵的具体值是通过大量实验数据和经验来确定的，不当的噪声协方差矩阵可能造成准确度较低和收敛时间较长的问题。一般情况下，噪声协方差矩阵设置得越小，系统稳定后准确度越高，但是过小的噪声容易让估计值收敛时间过长；而噪声协方差矩阵设置得越大，估计结果的收敛速度越快，但是系统稳定后准确度会减小。当系统噪声协方差矩阵设置为固定值时，就会降低粒子滤波算法的估计精度，同时也会降低算法在电池不同状态下的泛用性。
使用粒子滤波对动态系统进行估计之前，先需要对系统的动态模型进行建模，电池分数阶等效电路模型如下
（7）
（8）
式中，xk为状态向量；zk为测量值；wk为过程噪声，其协方差矩阵为Qk；vk为测量噪声，其协方差矩阵为Rk，这两个噪声都符合高斯分布并且相互独立；f(·)为系统的状态转移函数；h(·)为系统的状态观测函数。为了让粒子滤波可以灵活地适应电池不同状态，提出自适应粒子滤波，基于前一时刻的后验估计结果与之前的先验估计结果进行对比，然后再确定此时刻的噪声误差为
（9）
式中，
为在k时刻新息，表示系统的不确定性；l 为平滑滤波的窗口，计算前l 个差值的平均值，l 也可以只取1；xj为系统j时刻的后验估计值；
为系统j时刻的先验预测值。而系统的噪声方差为
（10）
式中，c为在x状态向量中的某一个待估计状态；
与
分别为在c状态下设置的最大噪声方差与最小噪声方差；
为衰减因子，一般取0.1～1之间。由式（10）可以看出，当状态向量x预测比较准确时，
应该取小一些，使得采样区域与预测区域更近一些；当状态向量x预测不太准确时，就是动态系统发生了较大的变化，应该取大一些，使得采样分布得更大一些，可以包含真实的状态值。如此一来，就可以实现粒子滤波中噪声协方差的自适应。
自适应的噪声协方差可以解决噪声取值大小的问题，而在实际使用粒子滤波的过程中，取一个合适的粒子采样分布函数也非常重要，而采用局部线性化是一种较好的产生建议分布并指导新粒子产生方向的方法，如采用扩展卡尔曼滤波。扩展卡尔曼滤波通过一阶Taylor展开，将非线性系统线性化，是一种递归的最小方均根误差估计方法，要求系统是近似高斯后验分布模型。
采用扩展卡尔曼滤波来改进粒子滤波算法的核心是在粒子开始采样阶段，用扩展卡尔曼滤波算法将每个粒子的均值与协方差先大致计算出来，随后利用该均值与方差来“指导”采样。这样就可以把采样粒子分布在均值附近，后面流程和基本粒子滤波算法相同，最后可得状态向量的估计值。在EKF算法中先得到了最新的测量信息为
（11）
式中，
为状态变量sk在测量值
下的后验概率密度函数；
为系统的后验概率服从高斯分布，其期望为卡尔曼滤波得到的后估计
，方差为
。在基本粒子滤波的框架范围内，扩展卡尔曼滤波算法产生的每个粒子符合高斯密度分布，即
（12）
式（12）表示第i个粒子的重要性密度函数，可以看出，在k-1时刻通过EKF算法用最新的测量值zk来计算第i个粒子的均值与方差，用于更新下一时刻的采样粒子。扩展卡尔曼滤波算法可以将采样粒子分布到实际值附近，极大地提高了估计结果的准确性，加上粒子波算法在非线性系统中具有很好的适应性，两种算法能够互补。
结合电池分数阶模型的状态方程与观测方程，自适应扩展粒子滤波估计电池SOC的步骤如下：
1）初始化：当k=0时
初始化噪声方差
，N为采样粒子数量，再由初始概率密度函数产生采样粒子
，
，并且每个粒子权值为
。
2）利用EKF更新粒子集合
（1）状态变量先验估计
（13）
（2）先验协方差矩阵估计
（14）
（3）卡尔曼增益
（15）
（4）后验协方差矩阵估计
（16）
（5）状态变量后验估计
（17）
3）更新采样粒子，使每个粒子符合高斯密度分布
（18）
4）计算每个粒子新的权值，权值计算公式为
（19）
将权值归一化
（20）
5）进行k时刻状态估计输出
（21）
6）重采样：若粒子的有效样本数Neff小于设定的阈值Nth，则执行重采样，所有新粒子的权值为1/N，即
（22）
7）噪声方差更新：协方差计算方法如式（9）和式（10）所示。
8）令k=k+1，判断是否结束循环：是则结束算法；否则，跳至步骤2）。
通常情况下，锂离子电池当前的最大容量无法直接测得，当锂离子电池经历一定的循环次数后，电池的最大可用容量会发生变化，造成锂离子电池SOC估计有较大偏差。为了避免因为最大容量和内阻变化造成的SOC估计偏差，本文提出一种基于分数阶模型的DAEPF联合估计SOC和SOH的算法。
DAEPF算法将两个AEPF观测器连接起来，由同一个观测函数引入新息，两个观测器互为输入和输出，在第一个状态观测器的估计完成后，其状态变量将作为第二个参数观测器的输入。与此同时，第二个参数观测器的参数变量估计值将作为第一个状态观测器的输入。状态观测器与参数观测器相互循环、相互制约、相互依赖。然而，改进后的算法计算步骤相对复杂，并且更加消耗计算资源，如果两个观测器使用相同的时间尺度，计算的时间会大大增加。电池状态观测器中所预测的SOC会因电池不断充放电而快速变化，而参数观测器所预测的内阻与容量的变化速度相对来说慢得多。前者每时每刻都可能发生变化，但是后者可能需要电池循环多次才会发生明显变化。为了保证算法的计算效率，有必要对两个观测器采用不同时间尺度。
本文的状态观测器按照时间尺度k进行更新，而参数观测器则按时间尺度l进行更新，l可以是k的许多倍，也就是状态观测器循环多次后，参数观测器才更新一次。基于多尺度的DAEPF联合估计算法的离散系统方程为
（23）
其中
式中，xk为系统状态观测器；ql为系统参数观测器；R0,l为第l次计算的内阻；Qn,l为最大容量；jl-1为参数观测器
的过程噪声，且jl-1的协方差矩阵为
，状态观测器的过程噪声wk的协方差矩阵为
；k为第一个状态观测器的时间尺度；l为第二个参数观测器的时间尺度，且l=k/L，L为两个观测器的间隔常数。即当k=0开始，每隔L个采样时间点进行一次参数ql的估计，确定当前电池最大容量和内阻。
利用两个观测器之间相互输入参数以及多尺度方法实现了电池SOC与SOH的联合估计，图3为基于多时间尺度的DAEPF算法的具体步骤。
为了验证基于分数阶模型的DAEPF联合估计SOC与SOH算法的有效性，本文在美国城市道路循环测试（Urban Dynamometer Driving Schedule, UDDS）动态工况下进行SOC估计。所使用的实验平台如图4所示，主要包括电池检测设备、恒温箱与上位机。其中对电池进行动态工况测试的是深圳新威尔电子有限公司的BTS-5V12A（8通道）电池检测设备，其电压控制范围25 mV～5 V，电流控制范围5 mA～12 A。恒温箱采用新威尔电子有限公司的MHW-200恒温箱，其温度控制范围0～60℃。本文中电池充放电机和恒温箱的软件控制界面安装在同一台上位机中，可同时控制电池的充放电工况与电池所处的环境温度，并记录充放电工况过程中的电压、电流、温度等数据。设置的动态工况实验具体流程如下：
图3 多时间尺度的DAEPF联合估计流程
Fig.3 Flow chart of multi-scale joint estimation based on DAEPF algorithm
图4 锂电池测试平台
Fig.4 Test bench of Lithium-ion battery
（1）电池静置60 min。
（2）先恒流0.5C（1.675 A）充电到4.2 V后，再恒压充电，充电电流减小到0.05C（0.167 5 A）后，停止充电。
（3）电池静置60 min。
（4）根据UDDS动态工况的充放电策略要求，进行如图5所示的UDDS动态工况电流波形循环测试，直至电压小于2.5 V停止。
图5 UDDS动态工况电流波形
Fig.5 Current waveform of UDDS cycle condition
（5）电池静置60 min。
电池处于恒温25℃，SOH=100%的条件下，通过式（5）、式（6）提到的分数阶等效电路模型对电池进行建模，并且SOC的初值设为0.8，系统的过程噪声协方差矩阵初值为
=diag(10-6, 10-6, 10-6)，系统的测量噪声协方差初值为
。实验中分别比较了多种模型和算法，在UDDS工况下SOC估计曲线与误差如图6所示。改进后的DAEPF联合估计SOC的估计精度整体高于AEPF算法，具有更快的收敛速度。实验结果表明，DAEPF联合估计算法收敛到真实值附近需要151 s，而AEPF算法需要276 s，DAEPF速度提高了45.2%。表2比较了各算法在SOC估计稳定后的准确度、SOC的最大误差、SOC的平均误差与SOC的方均根误差。表2中，FOM代表基于电池分数阶模型，ICM代表基于电池整数阶模型。由表2可知，UDDS动态工况下DAEPF联合估计算法相比于AEPF算法，SOC最大误差降低了33.8%，平均误差降低了23.5%，方均根误差降低了26.1%，表明基于分数阶模型的DAEPF算法能提高SOC估计的准确性，优于整数阶模型和其他算法。
（a）各个算法的SOC估计结果
（b）各个算法的SOC估计误差
图6 UDDS工况下各个算法的SOC估计
Fig.6 SOC estimation of different algorithms under UDDS
表2 UDDS工况下各个算法SOC误差对比
Tab.2 Comparison of SOC error of different algorithms under UDDS （%）
算法最大误差平均误差方均根误差 FOM+双自适应扩展粒子滤波1.350.390.48 FOM+自适应扩展粒子滤波2.040.510.65 FOM+基本粒子滤波2.890.720.92 ICM+基本粒子滤波3.370.931.14 ICM +扩展卡尔曼滤波3.831.471.61
针对SOH估计，本文为了验证联合估计算法中参数观测器的准确性，在UDDS动态工况下，分别在SOH=100%与SOH=80%的老化条件下对电池的SOH进行估计。由于在电池的老化过程中的SOH变化非常缓慢，所以估计SOH的初值误差只设置2%，参数观测器的过程噪声协方差矩阵初值都为10，参数观测器的测量噪声协方差初值都为0.001。
SOH估计值与真实值对比如图7所示。从图7可以看出，在不同的SOH状态下，DAEPF算法的参数观测器均在2 000～3 000 s的时间内收敛到真实SOH附近。各个工况在SOH估计稳定后的最大误差、平均误差、方均根误差见表3。UDDS动态工况下，提出的DAEPF算法的SOH估计最大误差不超过1.36%，SOH平均误差不超过0.42%，SOH方均根误差低于0.53%。说明在不同的老化状态下，多时间尺度下的DAEPF联合估计算法可以在精确估计SOC的同时，提供相对准确的SOH估计。
（a）SOH=100%
（b）SOH=80%
图7 SOH估计值与真实值对比
Fig.7 Comparison of estimated SOH and true value
表3 DAEPF算法SOH估计值误差
Tab.3 Error in SOH estimation using DAEPF （%）
SOH最大误差平均误差方均根误差 1001.070.290.35 801.360.420.53
基于锂离子电池的分数阶等效电路模型，本文提出自适应扩展粒子滤波算法估计电池SOC，改善了粒子滤波过程中的噪声协方差矩阵设置和粒子采样分布，能够提升电池状态估计的鲁棒性与精度。考虑到老化过程中电池的参数变化对SOC估计的影响，进一步提出一种多时间尺度的SOC与SOH联合估计算法。实验结果表明，基于分数阶模型的双自适应扩展粒子滤波算法能够快速精确估计SOC与SOH，SOC估计的最大误差不超过2%，相比传统方法具有更广泛的适应性与准确性。
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Joint State Estimation of Lithium-Ion Battery Based on Dual Adaptive Extended Particle Filter
Abstract Nowadays,it is necessary for Lithium-ion batteries to realize accurate estimation of state of charge (SOC) and state of health (SOH) for improvement in energy management, utilization efficiency, and safety performance. The particle filter is widely used in estimates of SOC and SOH. Particles are generated and recursively updated from a nonlinear process model, thus accurately characterizing the nonlinear characteristics of the battery. However, the basic particle filter suffers from particle degeneracy, where most particle weights approach to zero and contribute little to further estimation. Furthermore, as batteries age, estimation error increases due to parameter changes in the battery model if not updated in time. Therefore, this paper proposes the dual adaptive extended particle filter (DAEPF) based on the fractional-order battery model. State estimation accuracy is utilized to adjust noise covariance adaptively, and the extended Kalman filter (EKF) realizes local linearization of the particle distribution function. SOC and SOH are simultaneously estimated at different time steps so that the aging effect of parameters on SOC estimation is avoided with a low computation burden.
Firstly, this study establishes the factional-order equivalent circuit model, which replaces integer-order capacitors with constant phase elements. The parameters in the proposed model are identified by an adaptive genetic algorithm, proving that the factional-order model has a lower error when estimating terminal voltage. Secondly, considering the balance between convergence rate and estimation accuracy, the noise covariance of the system is adaptively adjusted according to the prior and the posterior estimates. Thirdly, the proposal distribution is obtained by local linearization, and the extended Kalman filter is utilized to compute the expectation and variance of normally distributed particles. As a result, the particle distribution is closer to the actual value, and the weights of particles are updated in real time. Finally, the SOC and SOH of the Lithium-ion battery are estimated by two particle filters, one for SOC estimation and the other for parameter estimation. With battery parameters updated constantly, the SOC estimation is improved under different working conditions.
In the pulse discharge test, the mean absolute error in the estimated terminal voltage of the fractional-order circuit model is only 0.005 2 V, 22.4% lower than the integer model. The UDDS test verifies the effectiveness of the proposed joint-estimation algorithm. The results show that DAEPF can estimate SOC in less than 151 seconds with a maximum error of 1.35%, mean absolute error of 0.39%, and root-mean-square error of 0.48%, all lower than the single filter. Moreover, as SOC is estimated in the state filter, SOH is computed with a larger time step in the parameter filter whose mean absolute error is lower than 0.5%.
The conclusions of this study are as follows: (1) Compared with the integer-order circuit model, the factional-order circuit model can better describe the dynamic process of the battery with lower estimation error in terminal voltage. (2) The noise covariance should be adjusted based on the difference between the prior and posterior estimates. (3) The extended Kalman filter is suitable for local linearization of the proposed distribution of particles, which assumes a normal distribution of particles and gives expectation and variance of the distribution. (4) Joint estimation of SOC and SOH by the developed particle filters can update battery parameters in time and thus improve SOC estimation accuracy. In return, the new states are fed into the parameter filter for further estimation. The test results demonstrate that DAEPF achieves higher estimation accuracy and a faster convergence rate.
keywords：Lithium-ion battery, fractional order model, state of charge, state of health, adaptive extended particle filter
中图分类号：TM912
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222357
国家重点研发计划资助项目（2018YFB0905800）。
收稿日期 2022-12-23
改稿日期 2023-04-16
刘旖琦 男，1996年生，硕士研究生，主要从事电池状态监测的研究工作。E-mail: qianliu1998@foxmail.com
雷万钧 男，1978年生，副教授，博士生导师，主要从事电力电子及电力传动的研究工作。E-mail: leiwanjun@mail.xjtu.edu.cn（通信作者）
（编辑 陈 诚）