图1 MMC的拓扑结构和平均值模型
Fig.1 Topology and mean value model of MMC
摘要 模块化多电平换流器（MMC）与系统网络之间的交互是诱发振荡的主要原因，然而现有MMC单侧阻抗/导纳建模方法往往没有计及对端换流站的动态过程，因此该文重点通过建立可以考虑交直流耦合的换流器三端口混合参数模型实现整个双端柔直系统的稳定性分析。首先，该文基于谐波状态空间法推导考虑桥臂间谐波动态交互过程的MMC换流器交直流端口功率守恒方程，并据此建立换流器的三端口混合参数模型；其次，基于所建立的三端口混合参数模型和广义奈奎斯特判据，对MMC互联系统的稳定性进行分析，因该方法可避免计算开环传递函数右半平面零极点的数量，与传统单侧阻抗稳定性分析方法相比，可实现系统稳定性的准确判断；再次，推导了特征值相位关于三端口混合参数元素的灵敏度计算公式，揭示了系统振荡的诱因，进一步结合控制参数灵敏度分析，实现了一种用于改善互联系统直流侧稳定性的直流电流前馈附加阻尼控制策略；最后，结合时域仿真算例验证了稳定性分析和改善措施的有效性。
关键词：模块化多电平换流器 三端口网络 混合参数模型 稳定性分析 谐波状态空间
随着新能源发电的蓬勃发展，柔性直流输电已成为新能源基地送出电能的首选[1-2]。模块化多电平换流器（Modular Multilevel Converter, MMC）以其模块化设计、冗余度高、谐波含量低等优点[3-5]，已经被广泛应用于柔性直流输电领域中[6]，国内外现已建成多个MMC柔性直流输电工程。然而，在实际运行中，柔直工程多次出现宽频振荡现象，振荡频率从几Hz至数kHz不等[7]，振荡现象已经成为柔直系统中不可忽视的问题。
宽频振荡现象实质上可以归结为系统的小干扰稳定性问题，阻抗分析法以其物理意义明确、灵活性及可移植性强等优点被广泛应用于柔直系统的稳定性分析中[8-10]。由于MMC的固有动态特性，在稳态运行情况下即包含丰富的谐波成分[11]，因此常采用多谐波线性化[12]及谐波状态空间法（Harmonic State Space, HSS）[13]建立MMC的序阻抗模型，且已有研究证明两者建立的阻抗模型互相等价[14]。文献[12]将谐波线性化方法进行推广，采用多谐波线性化方法对定交流电压控制下的MMC交流侧阻抗进行了建模，但未对其进行稳定性分析。文献[15]采用多谐波线性化对MMC交流侧阻抗进行建模和稳定性分析，并讨论了电流环带宽对交互稳定性的影响。文献[13]将HSS引入MMC阻抗建模，采用HSS法可以将建模过程矩阵化、模块化，具有便于编程求解和控制模式拓展的优点。文献[16]基于HSS建立了模块化的MMC各环节小信号模型，获得了考虑MMC频率耦合效应的MMC多输入多输出阻抗模型。
为了简化建模，上述文献均仅关注本地换流站而未考虑给对端动态过程带来的影响。文献[17]在建立直流电压控制下的MMC交流侧阻抗时，将直流侧视为诺顿等效电路，利用零序环流分量构建直流电压方程。文献[18]建立了包含交直流侧线路的MMC交直流端口单侧阻抗模型，但未考虑交直流端口间的动态耦合。虽然此种建模方法在一定程度上考虑了给交直流端口动态过程带来的影响，但是其建模也仅包含交直流线路的无源网络，严格意义上，由于缺乏对于对端换流站动态过程的描述而并不精确。
实际上，在新能源经柔直送出工程中，MMC换流站的直流侧连接至另一个背靠背的MMC[19]，此时忽略对端的动态过程可能会影响稳定性分析的精度，甚至可能造成误判[20]。为此，近年来有学者提出了三端口阻抗/导纳模型[20]的概念，这种模型能够综合描述交流侧和直流侧的端口耦合效应，便于考虑对端的动态特性。此外，现有文献多忽略开环传递函数（阻抗比）右半平面极点的数量，这也会带来稳定性误判的问题[20]，然而对于高阶复杂系统来说，获得阻抗比的右半平面极点数量并非易事。三端口阻抗/导纳模型可以消除换流器所连接网络对换流器自身阻抗/导纳的影响，在考虑交直流端口对换流器阻抗/导纳影响的同时，避免了外部网络给变流器阻抗/导纳带来的右半平面零极点。文献[21]分析表明，忽略频率耦合或交直流端口的耦合效应也可能导致稳定性分析的误判，而三端口导纳模型恰恰能够同时刻画频率耦合以及交直流耦合效应。
目前，关于三端口阻抗/导纳模型的研究大多针对两电平电压源型换流器（Voltage Source Converter, VSC），而关于MMC系统的三端口阻抗/导纳模型研究较少。文献[22]建立了单端MMC换流站的三端口导纳模型，并给出了基于无源性的参数设计准则。文献[23]建立了单端构网型MMC的三端口导纳模型，并分析了交直流侧谐波传递特性。在利用阻抗/导纳模型进行稳定性分析时，首先应保证自身独立运行的稳定性[8]，即换流器连接至理想电源时可独立稳定运行。新能源经柔直送出系统中，以受端换流站为例，由于送端换流站具有功率源特性而被等效为电流源[24]，此时受端换流站两侧端口分别表现为电流端口与电压端口，故其三端口模型应当被建模为混合参数（H参数）矩阵，类似地，送端换流站也应建模为混合参数。此外，为了便于描述换流器交直流侧端口的动态耦合过程，在建立三端口模型时，不可避免地需对交直流端口功率守恒予以准确描述。然而，因MMC内部含有电感、电容等元件，它们的瞬时功率不可忽略，因此与两电平VSC的功率守恒[20]相比，其建模过程更为复杂。现有文献中，仅文献[25]基于频域卷积的代数方法对MMC内部电感电容瞬时功率进行了描述，并据此建立了MMC的瞬时功率守恒方程，但其未详细考虑MMC桥臂间的动态过程和谐波交互过程，故建模精度受限。因此，建立详细、准确的MMC交直流端口功率守恒方程是实现MMC的三端口参数建模的基础和关键。
为此，本文首先基于谐波状态空间法建立MMC电气部分以及控制部分的频域模型，充分考虑桥臂间的动态过程和谐波交互过程，构建了用于准确描述交直流端口功率守恒的HSS模型，建立了MMC的三端口混合参数模型，并进行了准确性验证；其次，本文基于MMC的三端口混合参数模型和广义奈奎斯特判据对双端柔直系统稳定性进行了分析，并将本文方法与传统基于单侧阻抗的稳定性分析方法进行对比，指出传统的稳定性判别方法会因忽略等效开环传递函数的右半平面极点数量而面临误判的问题，而本文所建立的混合参数模型由于开环传递函数不含有右半平面极点，故可实现稳定性的准确判定；最后，利用本文给出的稳定性分析方法，结合算例对海上风场经柔直送出系统的直流侧稳定性进行了分析，并提出了一种相位灵敏度分析方法以分析振荡诱因，结果表明受端MMC换流站直流端口呈现的负阻感性和送端所呈现的容性是引发直流侧振荡的主要原因，并结合参数灵敏度分析结果实现了一种基于直流电流前馈附加阻尼控制方式的直流侧稳定性改善策略。
本节首先建立MMC电气部分的小信号HSS模型，然后详细推导了MMC交直流端口功率守恒方程，最后结合控制部分建立了MMC三端口混合参数模型，并对其正确性进行验证。
MMC的拓扑结构如图1所示，MMC的每相包含上、下两个桥臂，每个桥臂包含N个半桥子模块、一个桥臂等效电阻和一个桥臂电感。文中子模块电容、桥臂等效电阻和桥臂电感分别用CSM、Rarm和Larm表示。
图1 MMC的拓扑结构和平均值模型
Fig.1 Topology and mean value model of MMC
在同一桥臂所有子模块动态完全相同的前提下，单个桥臂可等效为一个大小为Carm=CSM/N的电容[12]，udc、idc和ugx分别表示直流侧电压、电流和交流侧相电压，
、
分别表示上、下桥臂子模块电容电压之和，mux、mlx分别表示上、下桥臂的调制系数，igx、icx分别表示交流侧端口的相电流和桥臂环流，其表达式为
（1）
（2）
式中，iux、ilx分别为上、下桥臂电流；x=a, b, c。由于三相结构完全相同，故此处仅给出单相的数学模型，后文在需要用到三相变量时再予以标注。
基于MMC的平均值模型[11]，MMC电气部分某相桥臂的状态方程可表示为
（3）
式中，x为状态变量，
；u为输入变量，
；A和B分别为状态矩阵和输入矩阵，有
对式（3）进行小信号分析[26]，可得
（4）
式中，
表征了小扰动带来的上、下桥臂调制波的变化，
；
和
分别表征了小扰动带来的上、下桥臂调制波的变化；矩阵ATX、ATZ中变量均为大信号稳态值，形式为
可以看出，式（4）为典型的非线性周期时变方程，对其采用谐波状态空间法[13]可得相应的频域线性模型，即
（5）
式中，AHX、AHZ、BHUdc和BHUg均为相应的Toeplitz矩阵。值得注意的是，当在交流侧注入频率为ωp的正序小扰动信号时，其会与稳态变量的各次谐波作用而形成不同频率成分间的相互耦合，即产生角频率为ωp±hω1（h=0,1,2,…）的各次谐波，ω1为系统的额定角频率。小扰动列向量
、
、
和
的形式类似。以为例，将其同一频率小扰动分量写为分块列向量，并以不同的频率依次排布，有
（6）
对应的矩阵N的形式为
（7）
式中，I为单位矩阵。
考虑到交直流端口不完全独立，还需基于功率守恒定律建立直流端口电压、电流与交流端口电压、电流间的动态耦合模型。文献[25]基于上、下桥臂功率完全相同的假设建立了交直流端口功率守恒对应的频域卷积模型，但其未充分考虑桥臂间的动态过程和谐波交互过程，导致结果存在一定误差。因此，本节充分考虑上、下桥臂功率的差异性和多次谐波的交互过程来实现交直流端口功率守恒HSS方程的准确建模。
由瞬时功率守恒可知，直流侧输入的瞬时功率应为三相桥臂中电感、电容、电阻吸收的瞬时功率与交流输出功率之和。瞬时功率的小扰动分量列向量满足
（8）
式中各列向量形式与类似，此处不再赘述。结合式（1）、式（2）及平均值模型[11]，三相桥臂内电容吸收的瞬时功率可以表示为
（9）
对式（9）进行小信号分析，并将其写为谐波状态空间的形式，可得
（10）
式中，UcuxH1、UclxH1分别为在
、
稳态值Toeplitz矩阵的基础上，每项乘以稳态值谐波次数所对应的
；UcuxH2、UclxH2分别为、稳态值的Toeplitz矩阵；Np矩阵的形式与式（7）一致，差别仅在于其中单位矩阵的维数为1。
需要说明的是，在基频分量和正序扰动共同作用下，MMC内部ωp±hω1次谐波分量的相序由ωp和±hω1两者共同决定，且满足：ωp+3kω1次谐波为正序；ωp+(3k+1)ω1次谐波为负序；ωp+(3k+2)ω1次谐波为零序[18]，其中k=0,±1,±2,…。对于三相同频电压和电流产生的小信号功率，其将仅含零序分量。因此，式（10）可以写为
（11）
式中，Tcu1、Tcu2的具体形式见附录式（A1）、式（A2）；Tcl1和Tcl2的形式与二者相似，仅是上、下桥臂变量下标有所区别，限于篇幅不再给出。
同理，可得桥臂电感、桥臂电阻、MMC交流侧及直流侧瞬时功率的谐波状态空间方程分别为
（12）
（13）
（14）
（15）
式中，Idc和Udc分别为直流端口电压和电流的Toeplitz矩阵；其余矩阵形式与式（11）中的矩阵相似，区别在于与矩阵相乘的系数以及形成矩阵的变量不同，本文不再赘述。
结合式（8），将式（11）～式（15）联立可得描述交直流端口功率守恒的HSS模型为
（16）
式中，H1～H6的形式见附录式（A3）。
由于
包含于状态量之中，故引入矩阵Sic-X从中获取，对
、
、
也做出同样处理，最终式（16）可写为
其中，矩阵Sic-X的形式为
（18）
Sig-X、Sucu-X及Sucl-X的形式与Sic-X相似，仅需根据各变量在中元素的排布顺序对应修改Sic-X中“1”元素的位置即可。
为了验证上述交直流端口功率守恒HSS方程的准确性，在受端MMC换流站的交流侧注入频率为ωp=20 Hz的正序扰动，并测量系统直流功率中的扰动分量，结果如图2所示。
图2 交直流端口功率守恒HSS方程验证
Fig.2 Verification of HSS equation for power conservation between AC and DC port
同时，将式（11）～式（15）代入式（8）可得该扰动下的直流及交流侧功率计算值，同样显示于图2之中。将该计算值与直流侧端口功率的测量值进行对比，可见系统中直流功率小信号分量集中于ωp-4ω1、ωp-ω1以及ωp+2ω1三个频率处，且均十分接近仿真测量值，说明本节所建模型能够准确地描述交直流端口功率小信号的动态过程，为后续建立可表征交直流耦合效应的三端口混合参数模型奠定了基础。
海上风场经柔直并网系统的结构如图3所示，其中Lg、Rg分别为电网等效电感和电阻。为计及风机以及其变流器动态特性对系统稳定性的影响，将风场建模为诺顿等效电路，其序导纳的推导过程可参见文献[27]。送端换流站（Sending-End Converter, SEC）位于海上，经直流海缆连接至受端换流站（Receiving-End Converter, REC）并入交流电网。
图3 海上风场经柔直并网系统结构
Fig.3 Structure of an offshore wind farm connected to power grid via MMC-HVDC
双端柔直输电系统中，受端换流站通常采用定直流电压外环与电流内环的双闭环控制策略，起到直流侧电压的支撑作用[24]。送端换流站则采用V-f控制，为风场侧提供电压参考，整体控制框图如图4所示。
为与系统变量相区别，带上标“c”的变量表示其为控制变量，带上标“ref”的变量表示为变量的参考值，
为桥臂电感的标幺值。限于篇幅，考虑到受端换流站控制环节中包含直流电压外环且存在锁相环环节，推导过程相对复杂，故下文将以受端换流站为例进行阐述。同时指出，稳态谐波次数取4即可满足建模精度[28]，故本文选择h=4。
结合文献[26]，闭环下MMC的HSS方程可以描述为
（19）
图4 MMC控制框图
Fig.4 Control block diagram of MMC
式中，第二个方程表征了基频和二倍频调制系数与上、下桥臂调制波的转换关系；第三、四个方程表征了基频和二倍频调制系数与系统变量之间的关系；CHm1与CHm2为常系数矩阵；DH1、EH1、FH1、DH2与EH2的形式分别为
（20）
（22）
（23）
式（20）～式（24）中各矩阵的具体推导过程可参考文献[26, 29]，区别在于本文将视为输入变量而不进行消元处理，附录2中给出了以基频调制系数为例的具体推导过程。由式（19）可得
将式（25）与式（17）组合成增广矩阵，即
（26）
式中，HUdc-X与Hidc-Ug的形式分别见式（A4）、式（A5）。可见，
即为交直流端口的谐波传递函数。结合MMC交直流侧出现的扰动分量频率和扰动分量的相序关系[18]及具体计算结果，MMC交流端口主要包含频率为ωp的正序扰动分量和频率为ωp-2ω1的负序扰动分量，直流端口主要包含频率为ωp-ω1的零序分量，其余的扰动分变量幅值很小可以忽略不计。此时从谐波传递函数中取出相应的元素可得MMC的三端口的混合参数模型HREC，即
（27）
对于送端换流站，其控制环节中不包含锁相环，Park变换的参考角度由人为给定，故无需对参考角度的动态过程建模，其推导过程相对简单，此处不再赘述。经推导可得送端换流站的混合参数模型为
（28）
为了验证1.3节所建立模型的准确性，基于表1参数在PSCAD中搭建MMC系统仿真模型并进行扫频。同时，在Matlab中编写程序绘制所建模型的幅相频特性曲线，并将其与扫频值进行比较。受端MMC换流站三端口混合参数的扫频验证结果如图5所示，二者吻合良好，验证了模型的准确性。
表1 系统仿真参数
Tab.1 Simulation parameters of the system
参数数值 额定功率P0/MW1 500 交流线电压有效值Urms/kV290 交流电压基准值Ubase/kV236.78 直流母线电压Udcbase/kV500 子模块数量N244 子模块电容CSM/μF15 000 桥臂电感Larm/mH75 桥臂电阻Rarm/Ω0.1 锁相环PI控制器300+34 000/s 受端换流站电流内环PI控制器0.89+26.75/s 受端换流站环流抑制PI控制器0.71+356.72/s 受端换流站直流电压外环PI控制器2+10/s 送端换流站电流内环PI控制器10+100/s 送端换流站环流抑制PI控制器1.43+356.72/s 送端换流站交流电压外环PI控制器0.05+100/s
图5 受端换流站三端口混合参数模型扫频验证
Fig.5 Sweeping verification of the three-port hybrid parameter model for receiving-end converter
在前文所建模型的基础上，结合广义奈奎斯特稳定性判据可对MMC互联系统的稳定性进行分析，并结合算例与传统的单侧阻抗稳定性分析方法进行对比，以说明采用三端口混合参数模型进行稳定性分析的必要性。
结合图3，可将海上风场经柔直并网系统分为两个MMC换流站、一个风场网络和两个无源网络，即送端MMC换流站、受端MMC换流站以及无源交流网络和直流网络，如图6所示。
图6 海上风场经柔直并网系统网络划分示意图
Fig.6 Schematic diagram of network division for an offshore wind farm connected to grid via MMC-HVDC
图6中，HSEC和HREC分别表示送端和受端换流站的三端口H参数模型，
表示连接两端换流站的直流网络模型，
表示受端网络的阻抗矩阵，
表示送端网络的导纳矩阵。基于双端换流站的端口划分方式，直流网络亦需采用混合参数表示，记作，其数学形式为
（29）
需说明，式（29）中的负号是为和交流侧网络方程中变量的参考方向保持一致。考虑到海底直流电缆一般较长（通常为80 km以上），需使用分布参数模型描述其动态行为[30]，有
（30）
式中，R0、L0和C0分别为输电线路单位长度的电阻、电感和电容；l为输电线路的长度。由式（30）可得
（31）
交流和直流无源网络整体的增广混合参数为
（32）
式中，
；为表征风场侧动态行为的导纳矩阵。
由于本文研究的重点在于双端柔直系统，此处不再赘述风场序导纳矩阵的建模过程，具体过程可参考文献[27]。根据文献[27]提出的海上风电全功率机组精细化建模方法，该导纳矩阵可以被描述为
（33）
结合MMC换流站的三端口混合参数模型以及无源网络模型，在交流侧端口注入正序扰动电压时，互联系统的等效框图如图7所示。从控制理论角度，此时整个互联系统的特征方程为
（34）
式中，
。
图7 双端MMC互联系统的等效框图
Fig.7 Equivalent block diagram of a two-terminal MMC interconnection system
由式（34）可知，整个系统的开环传递函数为HconHnet，故利用HconHnet特征值的Bode图或广义Nyquist曲线可实现双端柔直系统的稳定性分析。众所周知，基于Nyquist判据进行稳定性分析时必须预知开环传递函数的右半平面极点数量，但对于MMC系统而言，其开环传递函数矩阵形式非常复杂且阶数较高，获取开环传递函数右半平面的极点并非易事。而前文所建立的三端口模型由于是对各个子网络的本征描述，可很好地规避上述右半平面极点获取的技术难题，其具体解释为：交流和直流网络仅由无源元件构成，其不包含任何右半平面的零极点；因两个换流站均可独立稳定运行，亦可保证二者混合参数模型不包含右半平面极点[17]。因此，此处基于混合参数模型所得开环传递函数HconHnet将不含右半平面极点，故仅通过广义Nyquist曲线是否包围(-1, j0)点即可判断系统的稳定性。
此外，与单侧阻抗/导纳模型相比，三端口模型更具通用性，便于模块化建模且易于拓展，如仅需基于各个子网络的复合连接方法便可获得任一端口的输入阻抗/导纳模型。
传统单侧阻抗描述的是从交流或直流端口看入的宏观输入阻抗，本节首先基于本文所建混合参数模型，依据各子网络互联的边界条件来获得计及送端换流站的受端换流站交流侧输入阻抗模型，并利用其判断系统稳定性，进而与本文所建立的三端口混合参数模型判稳结果进行对比。
为简化分析过程，本节算例暂不考虑直流侧线路以及风场动态过程，此时对于受端换流站的直流侧端口来说，相当于增加了一个方程，即
（35）
式中，
为送端换流站的直流端口自导纳，即
的第3行3列元素。
将式（35）与式（27）、式（28）联立可得受端换流站交流侧二端口阻抗矩阵为
（36）
其中
式中，
为HREC的第m行n列元素；
为HSEC的第m行n列元素。
基于文献[31]的等效单输入单输出（Single-Input and Single-Output, SISO）判据，交流侧互联系统的稳定性可以归结为换流器侧和电网侧的等效SISO阻抗交互稳定性，二者等效阻抗表达式为
（37）
式中，
和
分别为换流器侧和电网侧的等效SISO阻抗。
经文献[31]证明，互联系统的稳定性可利用阻抗比
的Nyquist曲线判定，即
（38）
式中，Z和P分别为闭环传递函数和开环传递函数右半平面的极点数；N+和N-分别为Nyquist曲线在(-1, j0)左侧正穿越和负穿越的次数。
在表1的参数下，当受端交流电网电感为38 mH时，基于式（38）所绘制的Nyquist曲线如图8所示。可以看出，Nyquist曲线在(-1, j0)左侧发生了负穿越，若假定开环传递函数不存在右半平面极点，基于奈奎斯特判据，此时表明闭环传递函数具有右半平面极点，系统不稳定。但在该工况下进行时域仿真，系统却是稳定的，表明二者所得结论相悖。
图8 基于等效SISO阻抗的Nyquist曲线
Fig.8 Nyquist curve based on equivalent SISO impedance
造成上述互相矛盾的结论是由于并没有考虑阻抗比
的极点，即所含有的右半平面零点，而简单地认为式（38）中的P=0，这显然是不合理的。由式（37）可知，描述的是有源网络（MMC换流器）和其所连网络所呈现的宏观特性，无法保证其不含有右半平面零点。因此采用Nyquist判据前必须预知其开环传递函数的极点数量P（的零点数量）才能得到准确结果。然而，由于MMC换流器阻抗函数的数学形式非常复杂，欲获得此极点数量P是非常困难的。
针对以上算例，采用2.1节的稳定性判据，绘制开环传递函数HconHnet的广义Nyquist曲线如图9所示。鉴于送端电网导纳矩阵为零矩阵，开环传递函数HconHnet有两列为零元素，故其特征值中有两个固定为零，因此图9中仅给出四个非零特征值的Nyquist曲线。可以看出，四条广义Nyquist曲线均不包围(-1, j0)点，因此可判定系统稳定，该结论与时域仿真结果一致。
图9 基于三端口混合参数模型的广义Nyquist曲线
Fig.9 Generalized Nyquist curves based on three-port hybrid parameter model
由本节的对比分析可知，采用所建立的三端口混合参数模型可实现MMC换流站互联系统的稳定性的准确判断，而传统的阻抗比方法可能会因零极点数量计算问题而导致难以应用。由此说明了采用三端口混合参数模型刻画MMC换流器并进行互联系统稳定性判断的必要性。
前文建立了MMC的三端口混合参数模型，并据此给出了相应的稳定性分析方法及其准确性验证。本节将结合算例对海上风电经柔直送出系统的直流侧稳定性进行分析，并提出一种特征值相位灵敏度来分析振荡的诱因，最后基于参数灵敏度分析提出相应的改善措施。
海上风场经柔直并网系统需经直流海缆送至陆上换流站，鉴于海缆端口特性随频率表现出容性感性的交替变化，容易与换流器端口频率特性交互作用而诱发直流侧振荡失稳问题。本文海底直流电缆采用分布参数模型，相关参数见附表1，风场参数见附表2。
受端换流站接入强电网时，取Rg=1 Ω，Lg=15 mH，对应的短路比（Short-Circuit Ratio, SCR）为11.90，此时所绘制的广义Nyquist曲线如图10所示。可以看出，特征值λ2对应的曲线在(-1, j0)左侧负穿越1次，表明此工况下系统不稳定。需指明，特征值λ5对应的曲线在(-1, j0)左侧正、负穿越各1次，其总穿越次数为0，因此该特征值不会影响系统的稳定性。此时特征值λ2的Bode图如图11所示。
图10 考虑直流海底电缆时系统的广义Nyquist曲线
Fig.10 Generalized Nyquist curves for system when considering DC submarine cable
图11 考虑直流海底电缆时特征值λ2的Bode图
Fig.11 Bode plot of eigenvalue λ2 when considering DC submarine cable
如图11所示，数值上，特征值λ2在290～300 Hz频段幅值近似为0 dB，相位接近-180°。此时的特征值接近(-1, j0)点，系统的相位裕度较小，且在420 Hz左右于(-1, j0)点左侧形成负穿越，因此系统不稳定。鉴于本文模型均是以交流侧正序扰动 fp为基准的，因此直流侧的扰动频率将会是fp-50Hz，所以可知系统会在直流侧发生240～250 Hz左右的振荡。
为了验证以上结论，在该工况下进行时域仿真。图12a为发生直流侧振荡时2.10～2.12 s的直流端口电压波形，相应的谐波分析结果如图12b所示。可以看出，直流端口电压的主要谐波成分为245 Hz，与前文分析结果相符。
图12 直流振荡时直流端口电压波形及谐波分析
Fig.12 DC port voltage and its harmonic analysis during DC side oscillation period
由3.1节的分析可知，造成系统不稳定的原因是开环传递函数矩阵HconHnet特征值λ2的相位裕度不足，为了分析此时振荡的诱因，本节提出一种基于特征值相位灵敏度的分析方法，用以分析Hcon中元素对于失稳特征值相位的影响。
文献[32]严格推导了开环传递函数特征值关于开环传递函数矩阵元素的偏导数。在某一频点fm处，由特征值构成的对角阵Λ满足
（39）
式中，H为开环传递函数；
、
为归一化的特征向量所构成的特征矩阵，形式为
（40）
（41）
在频点fm，某一特征值λk关于系统开环传递函数H某一元素hij的偏导数满足
（42）
借助此结论，可以定义在某一频点fm处，开环传递函数H=HconHnet特征值的相位关于Hcon某一元素
的归一化灵敏度为
（43）
由于Hcon矩阵的第(i, j)个元素仅与Hnet矩阵的第j行元素作用形成H矩阵的第i行，因此有
（44）
式中，hic为H矩阵第i行的第c个元素；
可以写为
（45）
对式（42）进行进一步推导可得
（46）
因此，可得特征值相位灵敏度
计算公式为
（47）
经3.1节的分析可知，λ2是导致系统振荡的关键特征值，故本节针对λ2的相位灵敏度进行分析，图13给出了280～310 Hz频段的灵敏度计算结果。
图13 特征值λ2的相位灵敏度
Fig.13 Phase sensitivity of the eigenvalue λ2
可见，该频段内，特征值λ2的相位关于Hcon中元素
，即受端换流站直流端口自阻抗H11的灵敏度最高，而其余元素的灵敏度均很小。因此，可以判定该工况下的不稳定是由受端换流站H11所诱发的。
结合图5a中受端换流站直流侧自阻抗H11的频率特性对系统失稳机理进行进一步分析可知，受端换流站直流端口在上述频段特性为负阻感性，其与送端所呈现的容性交互作用是诱发直流侧振荡失稳的主要原因。综合上述分析结果可知，通过调整该频段内H11的频率特性是实现直流侧振荡抑制的一种有效手段。
为了进一步明确控制器参数对H11负阻特性的影响，定义H11实部关于控制参数的灵敏度为
（48）
式中，kPI0为某控制器参数的选定值；r为关于参数kPI0的变化率；real表示取实部。Sreal表征了控制器参数减小时对于负阻区域的影响，Sreal＞0时表明降低该参数有助于减小负阻性，故基于式（45）的灵敏度分析结果有助于实现附加阻尼控制器的设计。
图14给出了在100～500 Hz频段内受端换流站直流端口自阻抗H11关于各个PI控制器比例系数的实部灵敏度。鉴于PI控制器中积分系数的实部灵敏度相对很小，故图中未予显示。可以看出，外环直流电压控制器的比例系数kdcp以及内环电流d轴控制器的比例系数kccdp的实部灵敏度在负阻区相对内环电流q轴控制器比例系数kccqp、环流控制器比例系数kccscp和锁相环控制器的比例系数kpllp更高，这表明直流电压控制下的受端换流站负阻区受d轴控制器影响更为显著。事实上，此时适当地调节d轴电流内环PI控制器参数即可抑制振荡。然而考虑到d轴控制器对交流侧基频控制影响较大，且会影响系统的动态性能，因此需要在控制器的d轴通道引入带有滤波器的附加阻尼控制器进行振荡抑制。
图14 受端换流站H11在100～500 Hz的实部灵敏度
Fig.14 Real part sensitivity at 100～500 Hz band for H11
本文提出一种引入直流电流前馈的附加阻尼控制方式，其结构如图15所示。具体为将经带通滤波后的直流电流和虚拟电阻的相乘结果引入电压外环控制器。其中带通滤波器Gbp(s)可以限定进入控制器的频率范围，以减小附加阻尼控制给基频控制带来的影响，其传递函数为
（49）
式中，ωc为中心角频率；ξ为滤波器的阻尼系数。
图15 基于直流电流前馈的附加阻尼控制框图
Fig.15 Block diagram of additional damping control based on DC current feedforward
为了说明图15所示的附加阻尼控制方式对直流侧的影响，令交流侧扰动为0，仅研究
到的传递函数关系，可以得到
（50）
式中，J、K、L和M矩阵的形式见式（A4）。基于式（47），可以解出
（51）
图15中加入的附加阻尼控制通路相当于在控制器输出的dq轴调制系数中引入一个与有关的项
式中，
，
由外环PI控制器的传递函数经频移所得，GHdamp由直流电流前馈通路传递函数Gdamp(s)=RvirGbp(s)经频移而得，Idcbase为直流电流的基准值。此外，经过Park反变换转换为调制系数后，基频调制系数中也将增添一项，即变为
（53）
式中，
。最终获得的
到
的传递函数变为
对比式（51）和式（54）可知，附加阻尼控制通路相当于在原本直流阻抗的特定频段上串入了一项正值阻抗，从而有助于改善该中心频率附近的负阻尼特性而使振荡得到抑制。
直流电流前馈通路上带通滤波器的带宽和中心频率可以调整该附加阻抗的相位，具体参数设计时，中心频率选择在振荡频率附近即可；虚拟电阻Rvir的大小可以改变该附加阻抗的幅值，通过调制其大小消除振荡频率附近的负阻性即可保证系统稳定性。本文算例取中心频率fc=245 Hz，阻尼系数ξ=0.125，虚拟电阻Rvir=0.8 Ω。加入附加阻尼控制后H11元素的Bode图如图16所示。可以看出，加入附加阻尼控制后，fp=282～362 Hz频段的负阻性均被消除，且对其他频段的影响较小。由于本文建立的模型均是以交流侧正序扰动fp为基准的，此时对应的直流侧扰动频率为232～312 Hz，即直流侧阻抗在232～312 Hz频段内的负阻性被消除。此时互联系统的广义Nyquist曲线如图17所示，特征值λ2不再包围(-1, j0)点，互联系统回归稳定。
图16 加入附加阻尼控制后H11元素的Bode图
Fig.16 Bode plot of H11 after adding additional damping
图17 加入附加阻尼控制后的广义Nyquist曲线
Fig.17 Generalized Nyquist curves after adding additional damping control
图18给出了投入附加阻尼控制前后的时域仿真结果。在仿真至2.5 s时投入该抑制措施，可以看出直流电压的振荡得到了有效抑制，并最终趋于指令值，证明了本文所提附加阻尼控制方式的有效性。
图18 直流侧振荡及改善措施的时域仿真
Fig.18 Time-domain simulation of DC-side oscillation and improvement measure
本文基于谐波状态空间法和MMC的交直流端口功率守恒定律建立了MMC的三端口混合参数模型，随后利用增广混合参数矩阵结合广义奈奎斯特判据分析了MMC互联系统的稳定性，并结合算例与基于单口阻抗比的判稳方法进行了对比。此外，还通过算例对双端MMC-HVDC系统的直流侧稳定性进行了分析，并根据灵敏度分析的结果提出了相应的稳定性改善措施。全文结论如下：
1）充分考虑桥臂间动态过程和谐波交互过程，推导了MMC交直流端口功率守恒的HSS模型，在此基础上利用谐波状态空间法建立了MMC换流器三端口混合参数模型，并通过PSCAD仿真扫频验证了模型的准确性。该模型可以充分反映MMC交直流端口的动态耦合过程，与传统单侧参数模型相比更具通用性，便于全面考虑端口间的小干扰动态耦合特性。
2）基于三端口混合参数模型及广义奈奎斯特判据，对双端MMC-HVDC系统的小干扰稳定性进行分析。将该判稳方法与传统的单侧阻抗分析方法进行对比，结果表明，由于该方法在MMC换流站独立稳定运行时即可保证互联系统开环传递函数不含右半平面极点，可避免单侧阻抗判稳方法因忽略开环传递函数右半平面零极点而导致的判稳失效问题，可保证双端MMC-HVDC系统稳定性分析结果的准确性。
3）结合算例对海上风场经柔直并网系统直流侧小干扰稳定性进行了分析，结果表明，对于长距离直流海缆，双端MMC柔直系统可能发生振荡现象。为分析振荡原因，提出一种交互系统特征值相位关于混合参数矩阵元素灵敏度的分析方法，经分析可知受端换流站直流端口自阻抗在特定频段内具有的负阻感性特征与送端网络所呈现的容性交互是造成系统振荡的关键原因。进一步针对送端换流站直流端口自阻抗进行参数灵敏度分析，结果表明受端换流站的d轴控制参数影响最为显著，并据此实现了一种基于直流电流前馈的附加阻尼控制策略。结合时域仿真，验证了本文稳定性分析以及改善措施的有效性。
附 录
1. 功率守恒方程及混合参数模型相关矩阵的定义
谐波次数h=4时，功率守恒方程的相关矩阵为
（A1）
（A2）
式中，Tcu1-1、Tcu1-4、Tcu1-7分别为Toeplitz矩阵1中的第1行、第4行以及第7行；Tcu2-1、Tcu2-4、Tcu2-7分别为Toeplitz矩阵2中的第1行、第4行以及第7行；矩阵1在矩阵2相应的
元素前乘以了一个jhω1项。式（A1）、式（A2）中的0元素行向量是由于功率的小信号仅含零序分量。以Tcu1-1为例，具体形式为
式（16）中各矩阵的形式为
（A3）
与
的定义为
（A4）
式中，
，
。
（A5）
2. 基频调制系数的具体推导过程
计及锁相环带来的相位扰动，Park变换的过程可以表示为[23]
（A6）
式中，
、
、
、
、
和
分别为同步旋转坐标系下的交流电压和并网点相位的扰动列向量；
、
分别为
、
的稳态值对应的Toeplitz矩阵；PH为Park变换的Toeplitz矩阵，其形式为
（A7）
关于
中的元素，以Acosa为例，其表示
对应的Toeplitz矩阵，其余元素的形式与之类似。
根据式（A7）以及锁相环控制结构，相位扰动量可以表示为
（A8）
式中，
。GHPLL为锁相环控制器开环传函在频域平移所构成的对角阵，其形式为
（A9）
式中，
为锁相环PI控制器的传递函数。利用式（A7）和式（A8）可得旋转坐标系下的电压和电流列向量为
（A10）
式中，
，
，
，
。
对于定直流电压外环-电流内环双环结构，控制器输出的调制系数可以表示为
（A11）
式中，
、
分别为由电流内环PI控制器和直流电压外环PI控制器传递函数频移得到的对角矩阵；
为解耦环节的传递函数频移得到的对角阵。
此外，
还需要经Park反变换转换到三相静止坐标系下，其表达式为
（A12）
式中，
，
，
为Park反变换对应的矩阵，
为小信号线性化过程中产生的矩阵，二者形式为
（A13）
（A14）
此二矩阵中的元素与式（A6）中相同。
式（A7）、式（A10）和式（A12）均包含a、b、c三相变量，根据相序关系[15]，b相和c相变量均可用a相进行表示，具体为
（A15）
式中，
，
，
。
联立可得到a相基频调制系数为
（A16）
3. 直流电缆和风电场相关参数
附表1 直流海底电缆参数
App.Tab.1 Parameters of DC submarine cable
参数数值 直流电缆单位长度电感/(mH/km)0.127 9 直流电缆单位长度电容/(μF/km)0.200 2 直流电缆单位长度电阻/(mΩ/km)10 直流电缆长度/km85
附表2 海上全功率风电机组参数
App.Tab.2 Parameters of offshore full-power wind turbine system
参数数值 额定功率/MW2 交流线电压/kV0.69 直流母线电压/kV1.8 直流母线电容/mF30 永磁同步机绕组电感/mH30 网侧换流器滤波电感/mH0.1
（续）
参数数值 网侧换流器滤波电容/μF50 锁相环PI控制器100+5 000/s 网侧换流器电压外环PI控制器10+1 000/s 网侧换流器电流内环PI控制器20+10/s 机侧换流器转矩外环PI控制器0.013+0.28/s 机侧换流器电流内环PI控制器1+12/s
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Three-Port Hybrid Parameter Modeling and Stability Analysis of MMC-HVDC System
Abstract In recent years, the problem of wide-band oscillations in MMC-HVDC system has attracted more and more attention. The interaction between the modular multilevel converter (MMC) and the system network is the main cause of oscillations. In the literature, the existing MMC single-side impedance/conductance modeling methods often do not take into account the dynamic processes of the opposite-end converter. Therefore, this paper focuses on the stability analysis of the whole two-terminal MMC-HVDC system by establishing a three-port hybrid parameter model of the converter, which can take into account the AC-DC coupling effect.
Firstly, this paper derives the AC and DC port power conservation equation of the MMC converter considering the dynamic interaction process of harmonics between the bridge arms based on the harmonic state space method. On the basis of it, a three-port hybrid parameter model of the MMC converter is established. Then, the stability of MMC interconnected systems is analyzed based on the established three-port hybrid parameter model, which avoids the calculation of the number of zeros and poles in the right half plane of the open-loop transfer function matrix. Compared with the traditional single-side impedance stability analysis method, an accurate evaluation of the system stability can be guaranteed. Further, the sensitivity analysis formulae of the eigenvalues according to the elements of the three-port hybrid parameter model is derived, and the cause of the oscillation is disclosed. Finally, a DC current feed-forward additional damping control strategy for improving the stability of the DC side of the interconnected system is proposed and validated by the simulation.
The results of this paper are as follows: firstly, the three-port hybrid parameter model established in this paper is entirely consistent with the actual values obtained from the frequency sweeping. Secondly, the analysis based on the examples shows that the traditional stability determination method will face the problem of misjudgment due to neglecting the number of right half-plane poles of the equivalent open-loop transfer function matrix. The open-loop transfer function matrix of the hybrid parameter model developed in this paper does not contain right half-plane poles. Thirdly, the stability analysis and sensitivity analysis show that the DC side of the double-end MMC-HVDC system may oscillate, which is induced by the interaction between the receiving end converter station and the sending end system. Based on the results of the sensitivity analysis, the design of additional damping control can be carried out.
Based on the above results, the conclusions of this paper are as follows: (1) The three-port hybrid parameter model established in this paper can accurately reflect the small-signal characteristics of the AC and DC ports of the MMC. (2) The stability analysis method based on the three-port hybrid parameter model of the MMC and the generalized Nyquist criterion can accurately analyze the stability of the double-end MMC-HVDC system. (3) The negative resistive-inductive characteristics presented at the DC port of the receiving-end MMC converter and the capacitive characteristics presented at the sending-end MMC converter are the main causes of the DC-side oscillation. Besides, the additional damping control based on DC current feedforward can effectively suppress the DC side oscillation.
Keywords：Modular multilevel converter, three-port network, hybrid parameter model, stability analysis, harmonic state space
中图分类号：TM721.1
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.240445
国家自然科学基金资助项目（52207102）。
收稿日期 2024-03-21
改稿日期 2024-05-20
刘 欣 男，1980年生，博士，副教授，研究方向为新能源发电系统建模与控制、高压直流输电技术、微电网技术等。
Email：liuxinhust@163.com
王利桐 男，1991年生，博士，讲师，研究方向为新能源发电系统建模与控制、大功率电力电子器件建模、封装及可靠性等。
Email：ltwangncepu@163.com（通信作者）
（编辑 赫 蕾）