，则下一时刻场域温度可近似表示为摘要 为了改善当前油浸式电力变压器绕组瞬态温升计算过慢的问题，该文结合动态模态分解法和自适应变步长法提出了一种动态模态分解（DMD）-自适应变步长（ATS）快速计算方法。首先，该方法引入了动态模态分解算法，利用动态系统中前若干时步提取得到的变化特征，近似拟合其后一段时间内的系统变化，并通过选取主模态降低计算时间。其次，为了提高DMD算法性能，进一步提出结合ATS方法，通过自适应调整计算步长，提高瞬态计算效率；为了验证算法的计算精度和效率，建立了八分区分匝绕组数值传热模型并在此基础上将该文所提算法与仿真软件Fluent的计算结果进行对比，结果表明，在计算精度方面，二者结果几乎一致，计算误差最大不超过0.3 K；对于计算效率，该文算法的总计算时间为5.99 s，仅为Fluent总计算时间的1/89，且算法时间步数仅为Fluent的4.7%。最后，为了验证DMD-ATS算法的工程实用性，基于产品级油浸式电力变压器绕组结构搭建温升实验平台，并将所提算法计算结果与实验结果进行对比，结果表明所提算法在各测量线饼的误差均处在可接受的范围内，最大误差仅为4.57 K，且包含预处理时间在内的计算时间仅为69.14 s，计算时步仅需17步，较当前主流的计算方法效率有明显提高。综合算法的精度和效率，充分说明所提算法具有一定工程价值。
关键词：动态模态分解 自适应变步长 主模态选取 瞬态温升问题
目前，我国正处于能源革命与数字革命融合的快速发展时期，作为能源行业的核心，电力系统的数字化转型十分必要。油浸式电力变压器作为电力系统中重要的一次设备，其数字化建设要求以较低的时间成本准确快速地获得运行状态以保证电网的可靠运行。绕组温升与热点是油浸式电力变压器内部较为重要的状态评估指标，在数字化建设过程中，如何快速地获得绕组的温升情况是电力行业近年来研究的热点之一。
当前，变压器绕组的瞬态温升过程主要通过三种方式获取，即结合物理方程的数值计算法[1-4]、直接测量法[5-7]和基于数据驱动的预测算法[8-10]。
数值计算法是获取绕组温升较为传统也是常用的方法，其通过采用有限元、有限体积等数值方法，结合各物理场的控制方程形成可求解的离散方程组，进而实现对绕组内部多物理场耦合的迭代求解。例如：刘刚等[11]利用最小二乘有限元（Least Squares Finite Element Method, LSFEM）-迎风有限元（Upwind Finite Element Method, UFEM）的混合有限元法对油浸式电力变压器的瞬态温升过程进行了高精度的计算分析；陈伟根等[12]采用有限体积法针对变压器内部产热散热的对流过程，计算绕组的温度分布；王伟等[2]将有限元法与有限体积法相结合并应用于三维变压器中计算得到变压器的温度场分布。然而，产品级变压器绕组的规模一般较大，其通过网格剖分进行的数值计算往往涉及大规模强非线性离散方程组的求解，使得计算效率低下，无法满足工程需求。因此，近年来，为了能够实时或准实时获得绕组温升，诸多研究中选择采用热电偶、分布式光纤等测量装置开展了一系列量测实验，如：刘云鹏等[5-6]使用了包括BOTDR、BOTDA、ROTDR在内的多种分布式光纤传感手段实现了对温升实验过程中绕组温度的实时监测；武卫革等[13]通过埋设铜-康铜热电偶来测量绕组的温度和油的温度。直接测量法尽管能够快速获得测量点的温升情况，但是在大多数情况下，其受环境条件、绕组内部多物理场等因素影响较大，从而使得测量结果产生较大偏差[14]，且校准难度高，使用条件严苛。同时，一般测量装置只能针对场域中的一个点或有限个点进行测量，无法获得全场域温升情况，有较多局限性。
随着计算机智能化技术的进步和数学领域相关算法的优化，通过变压器历史仿真数据实现基于数据驱动的绕组温升计算变成了可能。这类方法一般可以分成两种方向：其一是采用人工神经网络、粒子群算法等数据驱动的智能算法实现绕组温升的快速计算，如Daniel J. Tylavsky等[15]以人工神经网络为基础，构造了变压器绕组热点温度和顶层油温的预测模型，达到了理想的预测目标；滕黎[16]基于传热学原理，细化了变压器内部传热实际结构，提出了一个简化的油浸式变压器绕组热点温度计算模型，并利用改进粒子群算法根据现场数据辨识估计模型参数，在优化变压器计算热模型参数方面开辟了新思路。其二，则是结合降阶技术、时频转换技术等数学方法，跳过复杂的温度场计算方程，建立绕组温度的代理计算模型实现数据驱动的快速计算，如A. R. Zare等[17]基于传递函数方法，提出了一种ETTM变压器温度场计算模型，该方法不要求所研究变压器的详细信息，仅需通过对模型的阶跃响应进行分析即可得到变压器绕组温度计算模型实现快速计算；O. San等[18]则基于本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition, POD）降阶方法，提出了一种结合人工神经网络的计算策略，充分利用降阶模型和智能算法的优势，实现数据驱动的快速计算。然而，在当前的研究当中，基于数据驱动的预测方法，如通过机器学习或深度学习训练得到的代理模型虽然计算速度较快，但模型的训练成本较高且只能针对场域中的某些点进行计算，很难反映全场的变化。
综上所述，当前影响油浸式电力变压器绕组瞬态温升计算效率的两个瓶颈在于：一是实际绕组模型规模较大，通过数值方法形成的离散方程组阶数过高；二是当前已有的绕组温升快速获取方法无法反映全场域的变化情况，且构建成本较高，应用难度较大。
为了改善上述两个绕组温升的计算瓶颈，本文提出了一种基于动态模态分解[19-20]的无方程数据驱动绕组温度预测方法。该方法能够通过分解复杂系统的观测数据来获得系统动态演化的规律，从而实现对绕组温升的快速预测。同时，为了提高动态模式分解（Dynamic Model Decomposition, DMD）算法性能，本文进一步结合自适应变步长（Adaptive Time Stepping, ATS）方法[21]，提出基于DMD-ATS的算法改进策略进一步提高瞬态计算效率。最后本文建立了油浸式电力变压器瞬态八分区绕组模型，将DMD-ATS算法应用于该模型中，并通过与商业仿真软件Fluent的对比验证其计算精度和效率。为了进一步贴合工程实际，本文基于110 kV油浸式电力变压器的一般结构，建立了温升实验平台，进一步讨论了DMD-ATS算法的工程应用价值。
动态模态分解是一种数据驱动的降阶方法，可以利用动态系统中前若干时步提取得到的变化特征，近似拟合其后一段时间内的系统变化。对于本文所分析的油浸式电力变压器绕组温度场而言，假设第k时刻场域内各节点的温度为，则下一时刻场域温度可近似表示为
（1）
式中，A为通过前k+1时间步的温度场计算结果近似获得的场域内部各节点的变化矩阵，又称作Koopman矩阵；e为误差向量。若将和
分别用前k个时间步和前k+1个时间步的温度场集合T1和T2替代，进而表示成
（2）
则式（1）可以重写为
（3）
为了求解矩阵A，需要获得A的特征值与特征向量，由于A的阶数与温度场域内的节点数相关，因此其获得特征值的计算代价一般较高，所以这个过程可以通过构造A的相似矩阵实现。所以首先对矩阵T1进行奇异值分解，得到
（4）
式中，U为左奇异值矩阵；V为右奇异值矩阵；
为矩阵T1奇异值的对角矩阵，包含n个对角元素。由于其中的前r个对角元素的值远远大于其余对角线元素，因此可用这r个奇异值组成的矩阵Σ'∈Rr×r以及相对应的U'∈Rn×r、V'∈Rn×r近似代替T1，使得式（4）可以近似表示为
（5）
结合其中的正交矩阵
构造A的相似矩阵
，即
（6）
求得的特征值及特征向量。
（7）
式中，
为的特征向量矩阵；Λ为特征值矩阵。由于A与互为相似矩阵，因此A的前r个非零特征值与相同，同时结合式（7）可以求得A的特征向量为
（8）
式中，
为A的特征向量矩阵。综上所述，即可得到Koopman矩阵A的值为
（9）
式（3）即可表示为
（10）
因此，对于任意一个时间点的温度场分布，其与初始温度分布
的关系为
（11）
式中，为DMD模态矩阵；B为DMD模态表征下的原温度场分布系数，包含了各模态随时间变化的信息。
通过式（11），即可对瞬态过程中各时刻的温度场分布进行计算。需要注意的是，所有DMD模态中只有少数几个模态对系统的预测起到较为主要的作用，若使用DMD的全部模态对系统的未来状态进行预测将耗费大量不必要的时间，因此需要选取其中的主要模态，本文采用的是“能量比”法[22]。对于式（11），将矩阵B每一行的行范数作为相应模态的能量比，能量比越高说明反映系统变化特征越多，则该模态越重要。假如选取DMD主模态的个数为d，则式（11）可以进一步简化为
（12）
式中，下标d表示选择其中d个主要模态所对应的矩阵行或列。
瞬态计算中步长选择对计算的精度和效率有十分重要的影响。传统DMD方法一般采用等时间间距预测，其优势在于能够较为精确地反映瞬态变化过程，但在一定程度上影响了计算效率。因此，本文引入基于ATS的自适应变步长方法做出一定优化，假设当前时间步的计算结果为，则下一时步的一阶近似结果为
（13）
同理，其二阶精度的近似结果为
（14）
则下一时步的截断误差可以近似表示为
（15）
式中，
、
分别为温度向量对时间t的一阶、二阶导数。采用绝对-相对误差判别公式，进行误差判断，有
（16）
式中，ei为计算得到的截断误差；tR及tA分别为预先设置的绝对误差及相对误差限；i为有限元节点标号。
若截断误差满足上述条件，则下一步长调整为
（17）
若截断误差无法满足误差要求时，则需进行回退计算，将本步步长调整为
（18）
式中，b为回退计算的次数；EPS是为了防止步长变化的过大导致计算发散情况而设置的机器零近似一般取10-6；rmax与rmin均为减少两个时间步之间误差的步长限制因子（rmax一般取4，rmin一般取0.8）。
综上所述，即可根据计算过程得到的近似截断误差，动态地调整瞬态过程中的时间步长，进而提高整体计算效率，将该方法结合到DMD中，假设下一时步调整的计算步长为Dt，则采用DMD计算方法计算得到的下一时步的计算结果为
（19）
通过式（19）可快速获得绕组瞬态温升的变化过程。基于DMD-ATS的绕组瞬态温升快速方法的计算流程如图1所示。
为了验证本文所提算法的效率及精度，本文根据油浸式电力变压器绕组建立数值模型，由于三维变压器绕组存在轴对称的结构特点，因此，将其三维模型简化为二维截面模型，同时为了更加贴近工程实际，模型进一步考虑了线饼的分匝结构。如图2所示，建立二维八分区分匝绕组模型。八分区模型的物性参数见表1，边界条件与初始条件见表2。
基于上述模型对绕组的流固耦合传热过程开展仿真计算，设置总仿真时间为2 000 s，初始时间步长为0.02 s，当流场达到稳定时将时间步长增大为10 s。仿真通过商业软件Fluent进行，计算机配置为：CPU Intel Core i9-12900KF，内存128 GB，主频3.20 GHz。
图1 DMD-ATS方法原理
Fig.1 Principle of DMD-ATS
图2 二维八分区分匝模型示意图
Fig.2 Schematic diagram of a two-dimensional eight zone turn dividing model
表1 八分区模型的物性参数
Tab.1 Physical parameters, boundary conditions
对象参数数值 变压器油密度/(kg/m3)1 098.72～0.712T 比热容/[J/(kg·K)]807.163+3.28T 动力黏度/(Pa·s)0.0846-4×10-4T+5×10-7 导热系数/[W/(m·K)]0.150 9-7.101×10-5T 铜线匝密度/(kg/m3)8 900 比热容/[J/(kg·K)]381 导热系数/[W/(m·K)]387.6 绝缘油纸密度/(kg/m3)980 比热容/(J/kg·K)2 000 导热系数/[W/(m·K)]0.25
表2 边界条件与初始条件[23]
Tab.2 Initial conditions of the eight zone model[23]
边界条件位置边界类型 绕组与流体交界面无滑移壁面u=v=0 挡板 绝缘筒 入口油流速度u/(m/s)0 v/(m/s)0.1 出口油流压力条件u/(m/s)0 p/Pa0 入口油流温度/K290 初始条件类型参数 热源STST0[1+b(T-T0)] 场域初始温度/K290 场域油流初始速度u/(m/s)0
DMD模态是影响计算精度和效率的重要参数之一，若模态选择不当则会使得最终的计算偏差过大或效率较低，本文通过式（11）采用能量比对DMD主模态进行选择。首先需要确定快照矩阵的大小，本文选取0～500 s的仿真结果组成快照数据集，并将其分为两个时间上相邻的矩阵和，基于式（7）～式（11）获取其DMD模态并计算相应的模态能量比，如图3所示。
图3 DMD各模态能量比
Fig.3 Energy ratio of various modes in DMD
图3中可看出，以模态能量分界线为标准，第1、2、3、6、15、16、17模态相较于其他模态能量较高，说明这些模态对系统的影响较大，计算它们的能量比占系统全部模态能量比的比率，并按照从大到小排序，如图4所示。
图4 模态能量比排序
Fig.4 Sorting diagram of modal energy ratio
从图4可得，模态1、2、3的占比之和高达99.28%，说明仅采用这三个模态进行DMD计算即可涵盖系统数据变化的全部特征。为了进一步验证这一点，以第500 s温度场为例，分别采用模态1，模态1、2，以及模态1、2、3对温度场进行反演，能够得到预测结果和误差如图5所示。
从图5中可以看出，采用模态1进行反演温度场最大误差超过5 K，进一步结合模态2则能够使最大计算误差降低到2.5 K左右，而当采用模态1、2、3三个模态进行计算时，第500 s温度场的最大误差不超过0.04 K，几乎可以忽略不计，这充分说明了本文采用“能量比”选取DMD主模态策略的正确性。因此，在之后的计算中，选取模态1、2、3作为DMD分析的主模态。
图5 选取不同模态的预测结果及误差
Fig.5 Selecting prediction results and error plots for different modes
为了验证本文所提DMD-ATS算法的有效性，结合2.2节的主模态选取，将使用该算法的计算结果与商业仿真软件Fluent的计算结果进行对比，对500～2 000 s的场域温升进行计算，达到稳态时两者云图对比如图6所示。
图6 稳态云图的对比及相对误差图
Fig.6 Comparison and relative error diagram of steady-state cloud images
从图6可看出，商业仿真软件Fluent的稳态温度结果与DMD-ATS算法到达稳态时的结果基本一致，为了更加清晰地表示本文所提算法与商业仿真软件Fluent之间的计算误差，采用相对误差来表示。
定义相对误差为
（20）
式中，Tpre为DMD-ATS算法所得结果；Tflu为仿真软件Fluent所得结果；Tref=273 K。从相对误差云图中可见，其最大相对误差不超过3.5%，且温度场分布大致相同，由此可初步验证到达稳态时本文所提算法的计算精度。进一步地，对算法的瞬态计算过程进行验证，定义场域温度误差为
（21）
式中，ea为场域温度平均误差；为采用DMD- ATS算法第k步的温度场结果；
为采用Fluent计算第k步的温度场结果；n为场域节点数；k为计算时步数。
计算各时刻采用DMD-ATS得到的温度场结果与Fluent仿真结果的场域温度误差，如图7所示。需要注意的是，由于本文算法结合了变步长计算，因此当计算时间点与Fluent仿真时间点不能对应时，选取最近时刻的Fluent仿真结果与本文算法进行对比计算绝对误差。
图7 场域平均误差变化
Fig.7 Field average error variation chart
由图7可得，在500～2 000 s的绕组温升计算中，本文所提方法与Fluent仿真结果的场域平均误差较小，其最大误差仅为0.17 K，这说明了算法对于温度场全域计算的精度较高。同时为了进一步验证这一点，选取线饼35的线匝20作为监测点，将计算过程中各时刻的结果与Fluent仿真结果进行对比，如图8所示。
图8 瞬态温升结果对比
Fig.8 Comparison of transient temperature rise results
从图8中可以看出，采用DMD-ATS算法对监测点温升过程的计算结果与Fluent几乎一致，其计算误差最大不超过0.3 K，计算精度处于合理的范围之内。
由此可见，与商业仿真软件Fluent对比，本文所提出的DMD-ATS算法不论是在全场域的稳态计算误差，还是单个监测点的瞬态过程误差，其最大相对误差均不超过0.3 K，准确度较高，这充分证明了该算法的计算准确性与可靠性。
为了说明本文所提算法的计算效率，在500～2 000 s的计算过程中，将DMD-ATS算法与Fluent仿真计算的时间进行对比，同时，为了说明本文引入ATS变步长算法的优越性，将二者的计算时间步数也加入考量，其中步长变化如图9所示。
图9 步长变化
Fig.9 Step size variation chart
综合图8和图9中可以看出，通过将ATS自适应变步长方法加入到DMD的瞬态温升预测中，大大加快了瞬态计算过程，使其能够根据温度的变化快慢对步长的大小进行自动调整，在绕组温度变化较快的地方，减小步长以保证计算精度，例如在图8的500～800 s中，绕组温度变化较快，相应的在图9中的第500～800 s的步长就较小；在绕组温度变化较慢的地方，增大步长，以提高计算效率，减少不必要的计算冗余，例如图8中可见，在1 600 s之后绕组温度变化较慢，相应的在图9中第1 600 s之后的步长相应较大。由此可见，在同样的计算过程中，ATS的加入使得计算步数由原先的150步减少到7步，在一定程度上减少了计算时间，可见ATS的加入进一步加快了DMD的瞬态计算过程，DMD- ATS算法、DMD算法及仿真软件Fluent的计算效率展示见表3。
表3 计算效率对比
Tab.3 Comparison of computational efficiency
算法预处理时间/s计算时间/s总计算时间/s DMD5.921.747.66 DMD-ATS5.920.075.99 Fluent (单线程)—533.06533.06
从图9及表3可以看出，对于计算时间：本文所提DMD-ATS算法的计算时间为0.07 s，Fluent的计算时间为DMD-ATS的7 615倍，而由于本文所提算法需要进行数据的预处理而Fluent则不需要进行，所以计及数据预处理时间本文算法的总计算时间为5.99 s，为Fluent总计算时间的1/89；而对于瞬态过程的计算步数，本文所提算法由于在DMD的基础上加入了能够加快瞬态过程的ATS自适应变步长算法，如图9所示在同样的500～2 000 s仿真时间下，DMD-ATS算法仅需7步即可完成全部的瞬态计算，而未进行时步优化的DMD算法与Fluent软件则需运行150步，前者的计算步数仅为后者的约4.6%，节省了大量不必要的过程计算，合理加快了瞬态计算过程。
综上所述，本文所提算法在瞬态温升计算中不论是在计算时间还是计算时步数，其优势均远远高于商业仿真软件Fluent与未经过时步优化的DMD算法，较大加快了瞬态温升的计算过程，提高了计算效率。
第2节通过一个算例初步验证了本文算法的正确性和高效性。为了测试本文所提DMD-ATS算法的实际应用价值，基于产品级油浸式电力变压器绕组模型搭建温升实验平台，并将本文算法在精度与效率上与实验结果进行对比，搭建的实验平台如图10所示，其对应的二维模型和相关物性参数同第2节中的图2和表1、表2所示。
图10 温升实验平台
Fig.10 Temperature rise test platform
图10所示实验平台所采用的绕组是基于110 kV电力变压器设计的空心饼式无感绕组，采用连续式绕制，两根导线并绕，每线饼30匝。两根导线的末端焊接在一起，始端分别作为电流的流入端和流出端，这样紧紧并绕在一起的两根导线的电流方向相反，以此抵消导线周围的磁场，基本消除绕组的涡流损耗，可以认为绕组损耗只有电阻损耗（由于该实验平台的目的在于验证仿真计算与实际结构绕组传热过程的吻合情况，因此这与实际变压器的情形略有不同）。这种并绕方式能够较为准确地计算出仿真热源所需要的损耗密度值，绕组热源通过绕组功率控制，其具体数值为25 kW，由图10中的功率测量仪获得。在进行温升实验时，采用强迫油循环方式进行散热，绕组的入口油流速度由油泵控制，油泵通过控制蝶阀的开关角度控制油流流量进而控制入口油流速度，同时可通过流量计观察得到当前油流的流量。在进行温升实验时，实验装置控制蝶阀打开到某一角度，使得油流流量保持在24.56 m3/h，经过折算，实验的入口油流速度为0.117 3 m/s。该实验平台的物性参数均与2.1节一致。绕组结构如图11所示。本文采用热电偶对实验绕组的温度及环境温度进行测量，经测量，实验室温为298.32 K，为了更好地掌握绕组的瞬态温升变化情况，本实验将热电偶设置在线饼12、20、30、38上，并在每个线饼上的第1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、30号线匝上分别布置11个测温点以更全面地监测绕组温升的变化情况。本实验的持续时间为7.66 h（27 580 s），且当顶层油温在2 h内的温度变化小于1 K/h时，认定其到达稳定状态。
图11 绕组结构
Fig.11 Winding structure diagram
根据实验所测得的数据，在Fluent仿真模型中设置实验工况如下：①入口油流速度：u=0, v= 0.117 3 m/s；②环境温度：T=298.32 K；③初始温度：T=298.32 K；④热源密度：此处将热源设置为温度的函数，即
（22）
（23）
式中，ST、S0分别为当前温度下的热源密度及参考温度下的热源密度（W/m3）；b 为导体温度系数，b = 0.003 93 K-1；P由绕组功率测量仪测得，此处为25 kW；V为绕组的总体积（m3）。
采用本文所提DMD-ATS算法对实验工况下的绕组温升进行计算，将前18 000 s的Fluent仿真结果作为数据样本，基于式（11）与式（12）提取系统的动态模态，为了充分考虑算法在瞬态计算当中内插和外推的计算性能，在此基础上对14 410～27 580 s的温度场分布进行计算。为了验证本文所提方法在绕组瞬态温升计算中的准确性，选取12线饼的第30线匝为参考点将DMD-ATS算法计算结果、Fluent仿真结果及温升实验结果进行对比。不同算法瞬态温升结果对比如图12所示。
图12 不同算法瞬态温升结果对比
Fig.12 Comparison of transient temperature rise results of different algorithms
从图12可得，对于选取的监测点而言，本文所提算法与仿真软件Fluent的最大误差为1.78 K；而与温升实验的最大误差2.22 K，其误差在允许范围内，可初步证明本文所提算法的正确性。为了进一步全面考察4个测量线饼上44个温升测量点的误差，选取瞬态过程中若干参考时刻场域测量点的实验结果与DMD-ATS计算结果的最大误差、平均误差及各测量点中最热点的温升结果记录见表4。
表4中，最大误差表示各时刻本文所提算法与实验结果在测量线饼的44个测量点中的最大误差；平均误差则为各时刻44个测量点的误差之和除以测量点数；最热点误差为44个测量点中温度最高点的误差变化。结合表3中的数据可看出，场域的最大误差为4.57 K，最大平均误差为3.46 K，该误差处在可接受范围内，同时场域所有测量点的最热点出现在第12线饼第7线匝处，其温升过程中最大误差为4.37 K。除此之外，其余时刻场域测量点的最大误差均不超过4 K，由此可进一步说明本文算法能够较为准确地反映实际工程中变压器绕组的温升情况。
表4 参考时刻点测量误差对比
Tab.4 Comparison of measurement errors at reference time points
时刻/s场域测量点测量最热点 最大误差/K平均误差/KDMD-ATS计算结果/K实验测量结果/K最热点绝对误差/K 14 4102.270.48346.2346.720.52 14 4402.260.46346.24346.790.55 14 8502.230.47347.43347.390.04 15 6902.050.42348.98348.690.29 17 3201.830.56352.04351.070.57 20 7202.501.27357.90356.551.35 25 5204.002.78367.84363.893.95 27 5804.573.46371.30366.934.37
对于计算效率而言，本文所提算法的计算时间为2.53 s，算法的预处理时间为66.61 s，而较当前主流的计算方法效率有明显提高。同时，如图12所示，本文将ATS算法引入DMD算法中，使得在14 410～27 580 s的仿真时间内，计算步数从1 317步减少到17步，计算步数得到了大幅减少，因此综合计算时间与计算步数，可充分说明本文算法的计算效率相较于传统物理场数值算法得到了有效提高。
但是需要注意的是，DMD方法本质在于通过构造一种多维线性关系去逼近绕组温升的非线性过程，因此，对于近似线性的绕组温升过程（该过程材料热参数随温度影响不大、油流状态随时间变化不大等），DMD方法具有较高的计算精度且效率极快，但当系统非线性程度过高时，DMD方法仅能够在短期内计算精度较高，因此需要考虑一种随时间不断调整DMD模态的计算策略以保证该方法的计算精度。
本文针对传统数值计算方法在瞬态温升过程中存在的计算效率过低问题，提出了DMD-ATS快速计算策略，将动态模态分解引入绕组温升瞬态计算当中，利用动态系统中前若干时步提取得到的变化特征，近似拟合其后一段时间内的系统变化，并通过选取主模态降低计算时间；同时在此基础上引入ATS自适应变步长方法对瞬态计算步数进行进一步的优化，通过瞬态计算中的自适应步长调整减少计算步数，从而进一步降低瞬态计算整体时间。本文通过构建八分区分匝绕组数值传热模型对算法进行了验证，并基于产品级油浸式电力变压器绕组温升实验平台对算法的工程性能进行分析讨论，得到如下结论：
1）在八分区分匝绕组瞬态温升计算中，对于本文所提DMD-ATS算法与仿真软件Fluent相比，在计算精度：二者结果几乎一致，计算误差最大不超过0.3 K；对于计算效率：本文算法的总计算时间为5.99 s，仅为Fluent总计算时间的1/89；对于瞬态过程的计算步数，在相同仿真时间下，DMD-ATS算法时间步数仅为Fluent的4.7%，说明通过步长的自适应调整能够有效加快瞬态计算过程。
2）为了验证DMD-ATS算法的工程实用性，本文基于产品级油浸式电力变压器绕组搭建温升实验平台，并将算法计算结果与实验结果进行对比，场域的最大误差出现在4.57 K，而最大平均误差为3.46 K，在整个的温升过程中该处误差在可接受范围内，计算效率方面，本文所提算法的计算时间为2.53 s，算法的预处理时间为66.61 s，且由于结合了ATS自适应变步长方法，在14 410～27 580 s的仿真时间内，从需要进行1 317个时间步的计算减少到了仅需进行17个时间步进行计算，计算时步数大大减少。本文算法的计算效率相较于传统物理场数值算法得到了有效提高，所提算法的工程应用价值较高。
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Abstract In response to the current problem of slow calculation of transient temperature rise in oil-immersed power transformer windings, this paper proposes a dynamic mode decomposition (DMD)-adaptive time stepping (ATS) fast calculation strategy combined with dynamic mode decomposition method and adaptive variable step size method.
Firstly, a dynamic mode decomposition algorithm is introduced using change features from the first few steps in the dynamic system to approximate the system changes over a period of time. The calculation time is reduced by selecting the primary mode and retaining the main change features of the system. The dynamic evolution rules of the system are obtained by decomposing the observation data of complex systems. Thus, rapid prediction of winding temperature rise is achieved. Secondly, this paper integrates the DMD theory and the ATS method to optimize the number of transient calculation steps. Adjusting the adaptive step size in transient calculation reduces the number of calculation steps, thereby reducing the overall transient calculation time.
A numerical heat transfer model is established for the eight-zone split turn winding. The results of the proposed algorithm and the Fluent simulation are almost identical, with a maximum calculation error of no more than 0.3 K at the monitoring point position. The total computational time of the proposed algorithm is 5.99 seconds, only 1/89 of the Fluent simulation. Moreover, the time steps of the DMD-ATS algorithm for transient processes are only 4.7% of that of the Fluent simulation, indicating that the adaptive step size adjustment can effectively accelerate the transient calculation process. Finally, a temperature rise experimental platform is constructed based on the winding structure of oil-immersed power transformers. The temperature rise of the windings under operating conditions is measured, and the calculation results are compared with the experimental results. The maximum error in the field domain appears at 4.57 K, and the maximum average error is 3.46K, within an acceptable range throughout the entire temperature rise process. The proposed algorithm has a calculation time of 2.53 seconds and a preprocessing time of 66.61 seconds. Due to the combination of the ATS adaptive variable step-size method, the simulation time of 14410-27580 seconds is reduced from 1317-time steps to only 17-time steps.
The computational efficiency is improved compared to traditional physical field numerical algorithms, which verifies the engineering application value of the proposed algorithm. This paper provides a new approach for rapidly calculating transient temperature rise in the windings of oil-immersed power transformers.
keywords：Dynamic mode decomposition, adaptive variable step size, main mode selection, transient temperature rise problem
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.230465
中图分类号：TM411
国家重点研发计划（2021YFB2401700）和中央高校基本科研业务费专项资金（2022MS073）资助项目。
收稿日期 2023-04-12
改稿日期 2023-05-15
刘 刚 男，1985年生，副教授，硕士生导师，主要从事电气设备多物理场建模及仿真、电力系统时域仿真和电磁场理论及其应用方面的研究工作。E-mail: liugang_em@163.com（通信作者）
郝世缘 女，1999年生，硕士研究生，主要从事多物理场多时间尺度快速计算方面的研究工作。E-mail: hsyjya@163.com
（编辑 郭丽军）