（1）
式中，p0为单位长度的偶极矩；R为柱体半径；ei为柱体的介电常数；ee为环境的介电常数；E0为外加电场强度；
。
图1 柱体单位长度线电偶极子示意图
Fig.1 Schematic diagram of the unit length line dipole at the center model in a dielectric cylinder
摘要 两相体局部电场计算模型是研究两相体电场分布、相互作用机制等重要课题的关键，而线电偶极子模型是当前双柱体系统电场计算的经典模型，但当柱体间距较近且介电常数较大时，其计算误差显著增大。针对该问题，该文考虑双柱体系统在均匀电场中的相互作用与极化过程，将处于电场环境中的柱体极化过程分解为外电场极化与相互作用极化两个过程，其中外电场极化结果通过位于柱体轴心的自偶极矩表征，而柱体间极化结果通过一个偏离柱体轴心的互偶极矩表征，并由此构建了双柱体系统互偶极子模型。通过与经典线电偶极子模型及有限元模型计算结果的对比发现，所提的双柱体系统互偶极子模型即使在柱体间距D=0.1R且介电常数之比ei/ee=100时，其计算误差仍小于5%，该结果表明互偶极子模型能够在柱体间距较小且介电常数之比较大时，对双柱体系统的电场分布得到较为精确的计算结果。
关键词：双柱体系统 柱体间相互作用 电场分布 互偶极子模型
电场环境下球形颗粒或柱形颗粒物系统局部电场计算与相互作用研究是一个重要的课题，广泛应用于各领域，其对混合介质绝缘、纳米材料、环境治理[1-4]等诸多领域中颗粒物相互作用及输运控制研究有着重要的作用。
在混合介质绝缘领域中，相关人员发现高压绝缘系统的绝缘性能会受到天气情况的影响。例如，暴露在雾霾、沙尘组成的两相颗粒混合介质中的高铁列车车顶的绝缘系统，会由于固相颗粒引起电场畸变从而引发绝缘故障[5-6]；复合绝缘子由于其耐污性能好、质量轻等优点在特高压输电线路中有着广泛的应用，但空气中的大量可能含有由金属粉尘或矿粉构成的混合颗粒物，当接触到这些细微颗粒物，不但会腐蚀设备的金属表面，还会导致绝缘子表面发生局部放电或者产生电弧[7]；风沙或雾霾环境对输电线的起晕或击穿电压、离子流场产生较大影响，而引起这些现象的主要原因是固相颗粒物极化、荷电及相互作用造成局部电场的畸变，影响混合介质放电特性[7]；基于水的电离理论与颗粒动力学理论，能够得到风沙运动颗粒碰撞的静电起电模型[9]，该模型能够解释风沙电场的产生机理，与气固两相流模型耦合能够提高风沙运动颗粒行为的模拟精度；此外，在以绝缘油和绝缘纸作为绝缘材料的油浸式变压器中，生产过程中产生的碎屑会带入这类变压器的油液中，同时油浸式变压器运行过程发热使零件老化出现固态颗粒物[10]，为研究这类颗粒物在电场作用下的运动状态或相互作用力[11]，研究人员大多将颗粒物形状近似成球状或圆柱形。因此，精确计算不同形状颗粒物在其周围电场的分布情况，能为研究其在电场作用下的运动状态提供帮助。
在纳米材料领域，粒子间的相互作用能够完成对材料特殊性能的增强或对材料进行改性。例如，将纳米颗粒加入绝缘油中能够得到纳米改性变压器绝缘油[12]，其利用纳米粒子在绝缘油中的分散特性提升变压器绝缘水平，而该特性与纳米颗粒局部电场分布及纳米颗粒之间的相互作用密切关联；电流变液是介电常数相差较大的固体微颗粒与绝缘油形成的悬浮液，其力学性能会受到外加电场的影响[13]。诱导偶极主导的巨流变液[14]由于诱导偶极子的强相互作用而具有较高的剪切应力，是一种以电流变液为基础的改进形式。而传统的电流变液会在外电场的作用下排列成疏密不均的链状或柱状结构，早期的研究人员使用偶极子模型模拟电流变液的泊肃叶流动[15]，原理是将极化颗粒等效为电偶极子，再用分子动力学方法模拟电流变液的泊肃叶流动。然而，由于电偶极子模型的不足，会使得电流变液的静态剪切强度与电场强度的计算关系出现误差[16]。因此，考虑颗粒间相互作用的电场计算方法，能够得到电流变静态剪切强度与电场强度的准确关系。
对于环境治理中污水处理问题，人们通常使用电解法[17]，当纳米技术与电场增强处理方法相配合后衍生出了纳米线辅助的消毒水处理技术[12]，能够提高处理污水的效率。在电场强化纳米颗粒处理地下水的应用中[18]，当对富含特殊粒子的污水通直流电后，纳米粒子间聚集程度较低进而增加了纳米粒子与二氧化硅的相互作用，提高了纳米颗粒的反应活性和持久性，这种特性取决于电场下纳米颗粒间的局部电场分布特征及纳米颗粒之间的相互作用。
综上所述，颗粒周围电场计算、颗粒相互作用及电场行为特征在绝缘、纳米材料等领域具有重要作用，且计算对象不仅仅为球状颗粒系统，还需拓展至双柱体系统中的电场计算。在计算颗粒物电场时T. B. Jones[19]等认为需要在计算多颗粒之间的力时考虑到颗粒间相互作用，因此对经典的电偶极子模型适用范围进行了讨论，并得到高阶四项或高阶八项多极子方法，应用于颗粒链的局部电场计算，但该方法较为复杂，且有一定的局限性。考虑到颗粒会对周围的空间电场有畸变作用，叶其政等提出了强化极子模型[20]，该模型将颗粒周围电场用等效电场代替并给出了颗粒表面最大电场强度公式，将该模型修正后[21]应用至高体积分数的球体或柱体中，在较大的介电失配情况下提高了计算准确度。在针对无限长的两圆柱系统的电场分布计算时，受到T. B. Jones等的两球系统中的点电偶极子计算模型的启发，叶齐政等建立了考虑相互作用的线电偶极子模型用于计算两无限长圆柱系统颗粒局部电 场[22]。Poladian Leon[23]为解决无限长圆柱体系统在外加均匀场中的有效偶极矩计算问题，引入不同位置的镜像线偶极子，但在两相介电常数之比较大时仍存在计算难度较大的情况。叶其政等以偏心偶极子模型[24]为基础，进一步得到了圆柱系统中的偏心偶极子模型[25]，计算了两圆柱系统局部电场分布，在偏心度小于0.2R（R为柱体半径）的时候，偏心偶极子模型能够很好地计算两圆柱之间区域的电场。此外，偏心偶极子模型还能够应用于计算两颗粒[26]或多颗粒系统周围电场分布情况，并且能够将其用于研究颗粒间相互作用[27]或混合体的有效介电常数[28]。而有限元方法作为电场计算的数值方法[29]，能够很好地计算颗粒周围电场分布。其原理是将由偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场域划分成有限数量的微小区域，每个微小区域都使用一个选定的近似函数来代替，离散化整个场域中的函数，并将得到的近似代数方程进行联立求解，获得场域中函数的近似解。上述方法为常见的两相体中颗粒或无限长圆柱局部电场分析方法，但使用场景极易受限。其中，有限元算法能够得到精确的计算结果，但对柱体个体微小且相距较近的圆柱系统进行电场分布计算时，计算资源依赖较大且计算过程过于复杂，因此难以应用在大规模微小圆柱的局部电场计算中。高阶多极子在计算对象间距较小的计算场景下，会遇到收敛困难的问题，因此难以应用在计算对象密度较大的情况；偏心偶极子模型仅能保证颗粒靠近位置的最大电场计算有较好的近似；线电偶极子模型在求解对象与环境介电常数之比较大且间距较小的情况时，模型开始失效。以上问题给各个领域研究均匀电场环境下的无限长柱体介质相互作用及其电场行为带来较大困难。
在以往的研究[30]中，已经引入了颗粒间相互作用产生互偶极矩的概念，但没有考虑相互作用引起的非均匀极化现象。在本文中，将互偶极矩概念扩展到双柱体系统，同时将外电场极化产生的效果等效为自偶极矩，柱体之间极化电场产生的非均匀极化效果等效为互偶极矩，并由此建立双柱体系统互偶极子模型，实现双柱体系统局部电场有效求解。
当无限长圆柱体介电常数与环境介电常数之比（ei/ee）较小且圆柱体间距D远大于柱体半径R时，可忽略柱体间的相互影响，此时可以采用经典的线电偶极子模型近似计算圆柱体周围的局部电场。
柱体单位长度线电偶极子模型如图1所示。根据图1，柱体线电偶极子的等效偶极矩[23]为
（1）
式中，p0为单位长度的偶极矩；R为柱体半径；ei为柱体的介电常数；ee为环境的介电常数；E0为外加电场强度；。
图1 柱体单位长度线电偶极子示意图
Fig.1 Schematic diagram of the unit length line dipole at the center model in a dielectric cylinder
线电偶极子模型在r与q 方向电场强度分量分别为
（2）
式中，Er为线电偶极子在柱体截面外产生的局部电场在r方向的分量；
为线电偶极子在柱体外产生的局部电场在
方向的分量；r为柱体外半径；r0为单位径向矢量，为水平夹角；
为单位角度矢量。
该柱体外的电场在柱坐标下的表达式为
（3）
处于均匀电场E0中的柱体，由线电偶极子模型计算的柱体外电场Eout表达式为
（4）
根据式（4）可得图1左侧极点Lp处实际电场为
（5）
同理可得图1中上侧极点Up处实际电场为
（6）
以上计算场景为两柱体间距较大时使用线电偶极子模型计算柱体外电场分布的过程。由于柱体间距较大，柱体间相互作用较弱，柱体外电场分布求解未受到柱体相互影响，但该结果仅能保证在柱体间距较大且柱体与环境介电常数之比较小情况下的计算。实际在两柱体间距较小时柱体间存在的相互作用对柱体周围电场计算影响较大，即存在于介电常数为ee的环境介质中的柱体1与柱体2，在其材料与半径相同的情况下，柱体1或柱体2自身极化过程不仅受到外加电场的影响，还同时受到另一柱体极化电场的影响。如何考虑柱体间相互影响是准确计算间距较小时两柱体系统周围电场分布的关键。
参考单个柱体中的线电偶极子模型建立过程，考虑两柱体距离较近时柱体间存在的相互作用，对双柱体系统的电场计算进行如下分析。介电常数为ee的环境介质中，两个柱体半径同为R，且介电常数同为ei的圆柱体构成的系统，处于平行于两圆柱轴心连线的外加电场E0中。当两柱体间距较近时，柱体间存在相互作用，对于双柱体系统中的单个柱体，引起柱体极化过程的电场包括外加电场和另一柱体的极化电场。由于外加电场是均匀的，因此外加电场对柱体的极化效果由沿柱体轴心均匀排列的电偶极子等效，并将其极化效果描述为自偶极矩；由于另一柱体产生的极化电场是非均匀对场，因此另一柱体极化电场对柱体的极化效果则使用偏离柱体轴心且均匀排列的互偶极子等效，并将其极化效果描述为互偶极矩；另一柱体中存在与上述过程相似的极化等效。综上所述，对于双柱体系统极化产生的偶极矩有以下数学定义：在双柱体系统中，外加电场对柱体1和柱体2的极化作用分别使用自偶极矩p11和p22表征；柱体1极化电场对柱体2的极化作用以及柱体2极化电场对柱体1的极化作用分别使用互偶极矩p12和p21表征，且互偶极子位置相对于柱心（即柱体的轴心）的偏移量为
。由此可得到双柱体系统中的互偶极子模型，其三维示意图如图2所示。柱体上单位长度的互偶极子模型如图3所示。由此可知，圆柱上某点实际电场则为外加电场E0、双柱体自偶极矩电场及互偶极矩电场的合成场。
图2 双柱体系统中的互偶极子模型三维示意图
Fig.2 Three-dimensional schematic diagram of the mutual dipole model in a two-cylinder system
图3 柱体单位长度的互偶极子模型（外加电场水平）
Fig.3 The mutual-coupling dipole model per unit length in a two-cylinder system (when the applied electric field is in the parallel direction)
由图3可知，当外加电场
平行于两柱体轴心连线方向时，位置a电场为柱体2自偶极矩电场和互偶极矩产生的电场与外电场三者电场强度的和用
表示，位置b电场为由柱体2自偶极矩电场和互偶极矩产生的电场与外电场三者，电场强度的和，用
表示，两位置处的实际电场
和
分别为
（7）
（8）
式中，
和
分别为外加电场平行于两柱体轴心连线方向时柱体1和柱体2的自偶极矩；
为该情况下柱体1极化电场对柱体2的极化作用后产生的互偶极矩；
为该情况下柱体2极化电场对柱体1的极化作用后产生的互偶极矩；为柱体1和柱体2的互偶极子相对于柱心（即柱体的轴心）的偏移量。
根据式（5），对式（7）和式（8）进行线性近似可得关系
（9）
将式（7）～式（9）联立，可求得水平方向下柱体互偶极矩为
（10）
（11）
将式（10）与式（11）联立，可求得水平方向下柱体互偶极子偏离度满足
（12）
特别地，当两柱体介电材质与半径相同时，两柱体具有相同的自偶极矩与互偶极矩。此时，两柱体的互偶极矩和可通过式（10）与式（11）联立求得，而两柱体的自偶极矩和则为
（13）
外加电场
垂直于两柱体轴线及截面圆心连线方向时，双柱体系统中单位长度的互偶极子示意图如图4所示。
图4 柱体单位长度的互偶极子示意图（外加电场垂直）
Fig.4 Schematic diagram of the mutual-coupling dipole model per unit length of the dielectric cylinder (when the applied electric field is in the vertical direction)
位置
处由柱体2自偶极矩和互偶极矩产生的电场与外电场的合成电场强度
，位置
由柱体2自偶极矩与互偶极矩产生的电场与外电场的合成电场强度
，以及两位置的实际电场
和
分别为
（14）
（15）
式中，
和
分别为垂直外加电场条件时柱体1和柱体2的自偶极矩；
为该情况下柱体1极化电场对柱体2的极化作用后产生的互偶极矩；
为该情况下柱体2极化电场对柱体1的极化作用后产生的互偶极矩。
根据式（6），对式（14）和式（15）进行线性近似可得关系
（16）
将式（14）、式（15）与式（16）联立，可求得垂直方向下柱体互偶极矩为
（17）
（18）
将式（17）与式（18）联立，可求得垂直电场方向下互偶极子偏离度满足
（19）
特别地，当两柱体介电材料与半径相同时，两柱体将具有相同的自偶极矩与互偶极矩。此时，两柱体的互偶极矩和可通过式（17）与式（18）联立求得，而两柱体的自偶极矩和则为
（20）
线电偶极子模型广泛用于柱体的电场计算中，但仅能保证两柱体间距较远且与环境的介电常数之比较小时周围电场的计算精度。有限元方法是一种求解偏微分方程问题的数值方法，其计算精度较高，且能适应各种复杂形状，在本文中有限元方法采用Comsol软件的静电场模块求解，并将该计算值作为柱体周围的实际准确电场值。在计算过程中，计算域尺寸选取为柱体半径的1 500倍，模型采用自由三角形网格，网格最小单元为3×10-6 m，模型求解相对容差为0.001。计算时，外加电场E0为1×105 V/m，柱体半径R为1×10-4 m。
以有限元方法为基准，互偶极子模型和线电偶极子模型结果的相对误差
和
分别为
（21）
（22）
式中，EMCD、EFEM和EL-Dip分别为互偶极子模型、有限元方法和线电偶极子模型的计算结果。
为比较互偶极子模型计算曲线与有限元算法得到的相应曲线间整体相似度，验证互偶极子模型计算柱体周围电场分布时准确性，本文首先计算两曲线对应的欧几里得距离，欧几里得距离为
（23）
式中，X为使用互偶极子模型或线电偶极子模型计算所得结果曲线；Y为使用有限元模型计算所得结果曲线；xi为由互偶极子模型或线电偶极子模型计算所得结果曲线的第i个点处电场值；yi为有限元模型计算所得结果曲线的第i个点处电场值；i=1, 2,···, n，n为曲线采样点个数。
在获得两种方法与有限元方法计算结果的欧几里得距离后，使用以下公式计算曲线相似度。
（24）
由式（24）可知，曲线相似度在数值上反映为0＜sim(X, Y)≤1，数值越接近1，曲线相似度越高，由此可表征线电偶极子模型和互偶极子模型与有限元方法计算结果的整体相似度特性。
根据第1节分析可得两种电场条件下，互偶极子模型计算的柱体表面局部电场。实际计算时，考虑到电场分布的轴对称性，计算时选择无限长柱体的任一截面，计算模型如图5所示，图中仅标识柱体1与柱体2自偶极矩电场的单位径向矢量
和
及单位角度矢量
和
，互偶极矩产生的单位径矢
和
及单位角度矢量
和
仅在计算时考虑。m为圆弧上任意一点，计算时坐标原点选择柱体1的圆心处，考虑到电场分布的对称性，仅选择图中位置a到b处的上1/2圆弧为计算目标，以连线O1-O2方向为x轴，垂直于连线O1-O2为方向为y轴。平行电场条件下点m到圆心O2的连线与x轴夹角为
，两柱体互偶极子所在位置与m点连线和x轴的夹角分别为
与
；垂直电场条件下点m到圆心O2的连线与y轴的夹角为
，两柱体互偶极子所在位置与m点连线和y轴的夹角分别为
与
。角和，和，
和，与均以逆时针方向旋转为正，互偶极子所在位置偏离圆心偏移量为。
根据第1节电场分析过程，可得两种外加电场方向下，柱体1表面沿x轴的电场分量Ex与y轴的电场分量Ey，由互偶极子模型得到的柱体1表面位置a到位置b处电场解析表达式为
图5 外加电场在不同方向上双柱体系统电场分布计算模型
Fig.5 Electric field distribution calculation model of two-cylinder system with applied electric field in different directions
（25）
为验证电场在平行方向和垂直方向上时上述计算模型的有效性，对互偶极子模型、线电偶极子模型和有限元模型分别在柱体间距D/R为0.1、0.5、1时，柱体与环境介电常数之比
分别为5、25、50、100情况下的柱体表面电场分布进行计算并对比分析，在平行电场条件下三种模型对比结果如图6～图8所示；在垂直电场条件下三种模型对比结果如图9～图11，每个图计算条件如图题描述。
图6 当D/R=0.1时平行外加电场条件下的计算结果
Fig.6 Calculation results of the electric field distribution when D/R=0.1 and the applied electric field is in parallel direction
2.2.1 平行电场方向时的对比
从图6可知，在不同介电常数下，使用互偶极子模型对圆弧ab电场分布的计算结果曲线，与有限元算法计算得到的结果曲线整体相似度较高，且远高于使用线电偶极子方法得到的结果。在z/R=-1处，即两柱体相互靠近处，由于D/R数值较小，柱体1在该处受到的相互作用最大，此处电场明显增强。以有限元算法得到的计算结果为实际电场值，即图6中黑色曲线，在z/R=-1点附近，互偶极子模型在不同介电常数之比情况下的计算精度都远高于经典线电偶极子模型的计算精度。即使在介电常数之比较大（ei/ee=100）情况下，互偶极子模型的计算误差也仅有4.99%，而线电偶极子模型的计算误差却高达54.84%。同时，互偶极子模型对于半圆弧ab上电场最小值处的计算，在不同介电常数之比情况下，也表现出较高的计算精度，而线电偶极子模型则对该点的计算发生较大误差，仅在ei/ee＝25时的误差值就达到了50.89%。该结果可以说明，与经典线电偶极子相比，互偶极子模型因考虑了柱体间相互作用对电场计算产生的影响而具有更高的准确性。对于两个或多个柱体系统，互偶极子模型能有效反映柱体间相互作用对电场分布的影响。特别地，柱体间距较小且介电常数之比较大时，互偶极子模型能够在两柱体相距最近处有更高的计算精度。
图7 当D/R=0.5时平行外加电场条件下的计算结果
Fig.7 Calculation results of the electric field distribution when D/R=0.5 and the applied electric field is in parallel direction
图8 当D/R=1时平行外加电场条件下的计算结果
Fig.8 Calculation results of the electric field distribution when D/R=1 and the applied electric field is in parallel direction
通过对图6与图7的对比可以得到，在介电常数之比相同的情况下，随着D/R的值增大至0.5，线电偶极子模型计算曲线与有限元算法计算曲线的相似度有所提高，但整体计算精度仍小于互偶极子模型。在D/R=0.5情况下，随着介电常数之比的增大，互偶极子模型对于两柱体相距最近处，即z/R=-1点的计算精度始终优于线电偶极子模型，且在介电常数之比ei/ee=100时，互偶极子模型计算误差仅为0.30%，而同样情况下的线电偶极子模型的计算误差达到了23.31%。
图9 当D/R=0.1时垂直外场条件下的计算结果
Fig.9 Calculation results of the electric field distribution when D/R=0.1 and the applied electric field is in the vertical direction
对比图7、图8可知，随着柱体间距D/R的进一步增大，线电偶极子与互偶极子模型计算结果逐渐靠近，与有限元方法计算结果误差逐渐减小。随着柱体间距增大，柱体间相互作用逐渐削弱，两柱体互偶极矩对彼此极化影响随之降低，由此可以预知，当柱体间距进一步增大，线电偶极子模型、互偶极子模型及有限元方法计算结果将逐渐趋于一致。
图10 当D/R=0.5时垂直外场条件下的计算结果
Fig.10 Calculation results of the electric field distribution when D/R=0.5 and the applied electric field is in the vertical
在两柱体间距较小情况下，柱体相互作用将对柱体靠近位置（如柱体1左侧极点位置1）电场分布产生显著影响，而该位置也是柱体上电场强度最大位置，以有限元算法在同一位置得到的计算结果为基准，可得线电偶极子模型与互偶极子模型相对误差见表1。为此，以有限元方法的计算结果为基准，对该位置电场进行误差分析，并对互偶极子模型与线电偶极子模型的结果曲线进行相似度对比分析，曲线整体相似度见表2。MCD为互偶极子模型，FEM为有限元算法，L-D为线电偶极子模型。
图11 当D/R=1时垂直外场条件下的计算结果
Fig.11 Calculation results of the electric field distribution when D/R=1 and the applied electric field is in the vertical direction
由表1可知，当外加电场平行于两圆柱轴心连线时，在两柱体相互靠近处两柱体相互影响最显著位置，在D/R数值不同和介电常数之比不同时，与线电偶极子相比，互偶极子模型都表现出较高的精度。这也说明，互偶极子模型能够有效反映柱体间相互作用对柱体靠近处电场的显著影响。尽管是在两柱体相距较近（D/R=0.1）且介电常数之比较大（ei/ee=100）的情况下，互偶极子模型计算误差仅有4.99%，对该位置的电场有较高的计算精度，但线电偶极子模型方法在介电常数之比较低（ei/ee=5）时对该点的计算误差已经达到了32.68%。这表明，线电偶极子模型并未充分考虑柱体间相互作用的影响，当在柱体距离较近时使用线电偶极子模型计算柱体周围电场分布会产生较大的误差。在两柱体间距越小的情况下，柱体间相互作用更加显著，使用互偶极子模型具有明显优势。随着柱体间距增大，柱体间的相互作用减小，互偶极子模型与线电偶极子模型对该靠近点的计算误差都随之降低，但互偶极子模型计算精度始终优于线电偶极子模型的计算精度。
表1 位置1相对误差
Tab.1 Relative error between position 1
D/R方法相对误差(%) ei/ee=5ei/ee=25ei/ee=50ei/ee=100 0.1MCD/FEM5.376.095.934.99 L-D/FEM32.6850.8953.7454.84 0.5MCD/FEM0.250.160.250.30 L-D/FEM13.2621.4422.6723.31 1MCD/FEM0.020.370.930.97 L-D/FEM6.5811.0112.1312.49
表2 电场在平行外加电场条件下的相似度
Tab.2 Similarity of electric fields under parallel applied electric field condition
D/R方法相似度 ei/ee=5ei/ee=25ei/ee=50ei/ee=100 0.1MCD/FEM0.776 60.647 50.640 10.620 1 L-D/FEM0.377 50.193 70.173 90.166 2 0.5MCD/FEM0.830 30.778 90.771 60.767 7 L-D/FEM0.619 90.424 20.400 10.388 3 1MCD/FEM0.837 70.789 10.803 00.799 5 L-D/FEM0.771 80.612 00.575 50.564 0
根据表2中数据可知，在柱体间距D/R＜0.5时，在不同介电常数之比下，互偶极子模型与有限元方法计算结果的曲线相似度均要高于线电偶极子模型计算结果的曲线相似度，尤其在两柱体较近D/R= 0.1且具有较大介电常数之比ei/ee=100的情况下，互偶极子模型得到的计算曲线相似度达到了0.620 1，远高于线电偶极子模型0.166 2的曲线相似度，这说明互偶极子模型相较于经典的线电偶极子模型而言，可以更好地适用于柱体间距较近情况下的电场分布计算。同时，随着两柱体间距不断增大，柱体之间的相互作用也随之减弱，互偶极子模型与有限元模型的曲线相似度和线电偶极子模型与有限元模型的曲线相似度均逐渐增大，但互偶极子模型曲线相似度均高于线电偶极子模型得到的计算结果曲线，这说明两柱体间距较大时，柱体间的相互作用被极大地削弱，但外电场对柱体的极化作用对柱体周围电场分布仍有一定影响，互偶极子模型考虑了这部分影响，能够在柱体间距较大的情况下，也与有限元方法有较高的相似度。
2.2.2 垂直电场方向时的对比
从图9中可知，在不同介电常数下，利用互偶极子模型得到的计算结果，整体的计算精度都要高于经典线电偶极子模型结果，尤其在计算两柱体靠近位置的电场时，互偶极子模型将表现出更高的精度。即使在介电常数之比ei/ee=100时，互偶极子模型对两柱体靠近处的电场计算仍具有非常高的精度，误差仅有1.56%；但经典线电偶极子模型在该处的电场计算则具有很大的误差，高达7 338.6%。而互偶极子模型对弧
上最大电场强度的计算误差也仅有0.10%。这说明，在两柱体相互距离较近的情况下，互偶极子模型能够准确考虑柱体间相互作用，更好地对柱体电场进行计算。
从图10可知，随着柱体间距增大至0.5R，线电偶极子模型在柱体靠近点电场计算精度有所提升，但整体计算精度小于互偶极子模型。当ei/ee=5时，使用互偶极子模型对两柱体靠近处电场值的计算误差仅有2.37%，远低于线电偶极子模型在该点处误差85.61%；随着介电常数之比ei/ee进一步增大至50或100时，使用互偶极子模型得到的两柱体靠近处的电场值计算精度将远高于线电偶极子模型。同时可以发现，在此间距下，随着介电常数之比ei/ee从5增大至100，互偶极子模型计算的弧上电场强度最大值的相对误差均未超过0.3%，具有较高计算精度。
对比图10与图11可以发现，随着柱体间距进一步增大，在不同介电常数之比情况下，线电偶极子模型与互偶极子模型的结果逐渐接近，线电偶极子模型在柱体靠近位置的计算误差逐渐减小，其主要原因是柱体间距增大以后，柱体间的相互作用减弱，此时，线电偶极子模型的计算精度将有所提升，三种模型的计算结果也将趋于一致。
两柱体间距较小时，柱体间的相互作用会对柱体靠近位置的电场与最大电场都会产生影响，因此，以有限元方法的计算结果为基准，对柱体1左极点处电场（位置1）与最大电场（位置2）进行误差分析，其相对误差见表3。由表3可以发现，外加电场垂直于两圆柱轴心连线时，尤其当柱体间距较小时，在柱体相互靠近处相互作用十分显著，对电场造成极大影响。即使两柱体间距D/R=0.1时，互偶极子模型对于靠近处极点的计算误差都不超过2%；对于弧电场强度最大值的计算，对比同一介电常数之比，在两柱体间距逐渐增大时，互偶极子模型对于最大电场强度的计算精度较高，最大相对误差出现在D/R=0.5且ei/ee=100的情况下，但该最大误差也仅约为0.28%。以上情况说明互偶极子模型在计算双柱体系统周围电场分布时，能够弥补线电偶极子模型未考虑柱体相互作用而造成误差较大的不足，尤其能够适应柱体间距较近且柱体与环境介电常数之比较大的情况。
根据表4可以发现，在柱体间距D/R＝0.1的情况下，两柱体间的相互作用较大，对柱体周围电场分布易产生显著影响，而在该情况下互偶极子模型的计算相似度均大于0.5，始终高于线电偶极子模型的计算相似度，这说明互偶极子模型更适用于两柱体相距较近情况时的电场计算；而在不同柱体间距与不同介电常数之比下，互偶极子模型计算结果的曲线相似度均要高于线电偶极子计算结果的曲线相似度，这表明互偶极子模型计算精度整体优于线电偶极子模型，这也能够反映出互偶极子模型计算的有效性且优于经典线电偶极子模型的特点。随着两柱体的间距增大，互偶极子模型与有限元模型的曲线相似度和线电偶极子模型与有限元模型的曲线相似度均逐渐增大，但互偶极子模型的曲线相似度随着两柱体间距的增大始终高于经典线电偶极子模型的曲线相似度。互偶极子模型的创新在于考虑了柱体间相互作用对双柱体系统电场分布的影响，不仅能够精确计算两柱体间距较小情况下的电场分布，同时也适用于两柱体间距较大的情况。
表3 位置1与位置2相对误差
Tab.3 The relative error of position 1 and position 2
D/R位置方法相对误差(%) ei/ee=5ei/ee=25ei/ee=50ei/ee=100 0.11MCD/FEM0.861.301.431.56 L-D/FEM2.901 516.63 455.87 338.6 2MCD/FEM0.0010.060.090.10 L-/FEM2.293.603.873.99 0.51MCD/FEM2.379.2416.4727.94 L-D/FEM85.61477.81 131.42 173.1 2MCD/FEM0.180.260.270.28 L-D/FEM2.123.433.653.71 11MCD/FEM3.4115.3226.6042.05 L-D/FEM43.19111.66374.25734.84 2MCD/FEM0.060.110.090.11 L-D/FEM1.943.153.293.45
表4 电场在垂直方向的相似度
Tab.4 Similarity of the electric field under vertical applied electric field condition
D/R方法相似度 ei/ee=5ei/ee=25ei/ee=50ei/ee=100 0.1MCD/FEM0.657 80.587 30.579 00.575 6 L-D/FEM0.333 30.192 40.175 10.168 0 0.5MCD/FEM0.925 00.620 90.616 40.614 3 L-D/FEM0.522 30.241 30.223 10.214 6 1MCD/FEM0.669 30.625 80.621 80.620 0 L-D/FEM0.428 10.292 60.274 50.265 6
本文考虑了柱体间的相互作用对电场分布的影响，推导获得了考虑柱体相互作用下的互偶极矩解析式，在此基础上提出了一种双柱体系统电场计算的互偶极子模型。通过对互偶极子模型、线电偶极子模型及有限元方法的比较发现：当柱体间距D/R＜0.5时，在两柱体相互作用最显著的位置，即两柱体相邻极点附近，互偶极子模型对该处的电场计算精度远高于线电偶极子模型计算结果，即使在柱体间距较近且介电常数之比较大的情况下，互偶极子模型的计算误差均未超过5%；对于柱体表面电场最大值的计算，互偶极子模型计算精度也始终低于6%，远高于线电偶极子模型计算精度，且互偶极子模型与有限元方法计算结果的整体相似度也始终高于线电偶极子与有限元方法计算结果的相似度。在两柱体间距较小（D/R=0.1）且介电常数之比较大（ei/ee=100）时，两柱体间由于极化电场而产生较强的相互作用，此时线电偶极子模型开始失效，而互偶极子模型则可以有效地反映两柱体间的相互作用对周围局部电场分布的影响，能够很好地适用于两柱体系统间距较小时的电场分布计算，克服了经典线电偶极子模型没有考虑柱体相互作用而带来的电场计算误差较大的问题。由于本文在计算过程中采用的柱体间距是以柱体实际间距与柱体半径的比值D/R作为电场分析的参变量，因此，在实际应用过程中，本文研究结果可以同时在宏观和微观领域适用。本文所提出的双柱体互偶极子模型可以有效反映柱体在小间距下的相互作用，在应用过程中，当柱体间距D/R＜0.2时，柱体相互作用较强，可采用该模型有效求解柱体局部电场并分析柱体之间的相互影响，研究结果可在混合介质绝缘计算、纳米材料、环境治理等诸多领域中得到广泛而有效的应用。
参考文献
[1] 王军锋, 张姚文, 孟令鹏. 静电喷雾旋风除尘器荷电特性及细颗粒物的脱除[J]. 高电压技术, 2019, 45(2): 637-642.
Wang Junfeng, Zhang Yaowen, Meng Lingpeng. Charged droplet characteristics and fine particle removal efficiency by electrostatic spray cyclone[J]. High Voltage Engineering, 2019, 45(2): 637-642.
[2] 刘云鹏, 赵家莹, 刘贺晨, 等. 低频电压下含纤维素颗粒变压器油绝缘特性及影响因素研究[J]. 电工技术学报, 2024, 39(4): 1198-1207.
Liu Yunpeng, Zhao Jiaying, Liu Hechen, et al. Effect of AC voltage and frequency on insulation characteri- stics of transformer oil containing cellulose parti- cles[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(4): 1198-1207.
[3] 刘道生, 周春华, 丁金, 等. 变压器纳米改性油纸复合绝缘研究综述[J]. 电工技术学报, 2023, 38(9): 2464-2479, 2490.
Liu Daosheng, Zhou Chunhua, Ding Jin, et al. Research overview of oil-paper composite insulation modified by nano particles for transformer[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(9): 2464-2479, 2490.
[4] Meng Huang, Lei Zhang, Liangjiong Chen, et al. Effects of electron migration and adsorption on the suppression of negative corona discharge in nano- particle transformer oil: experiments and simu- lations[J]. Journal of Physics D: Applied Physics, 2023, 56(47): 475203.
[5] 郭裕钧, 杨晨光, 张血琴, 等. 川藏铁路环境车顶绝缘子闪络特性研究综述[J]. 高电压技术, 2023, 49(2): 472-483.
Guo Yujun, Yang Chenguang, Zhang Xueqin, et al. Review on flashover characteristics of train roof insulators under environments on sichuan-tibet railway[J]. High Voltage Engineering, 2023, 49(2): 472-483.
[6] Liu Lu, Yang Ruilin, Cui Jiaxuan, et al. Circular nonuniform electric field gel electrophoresis for the separation and concentration of nanoparticles[J]. Analytical Chemistry, 2022, 94(23): 8474-8482.
[7] Zeng Huarong. Analysis of discharge characteristics for contaminated insulator on transmission line[J]. IEEE Transactions on Smart Grid, 2020, 10(2): 38-45.
[8] Markowska Renata, Wróbel Zofia. Selected issues of safe operation of the railway traffic control system in the event of exposition to damage caused by lightning discharges[J]. Energies, 2021, 14(18): 5808.
[9] 鲁录义, 顾兆林, 罗昔联, 等. 一种风沙运动的颗粒动力学静电起电模型[J]. 物理学报, 2008(11): 6939-6945.
Lu Luyi, Gu Zhaolin, Luo Xilian, et al. An electrostatic dynamic model for wind-blown sand systems[J]. Acta Physica Sinica, 2008(11): 6939- 6945.
[10] 胡恩德, 赵伟苗, 许甜田, 等. 变压器油中硫腐蚀对绕组匝间绝缘局部放电特性的影响研究[J]. 高压电器, 2020, 56(1): 216-223.
Hu Ende, Zhao Weimiao, Xu Tiantian, et al. Effect of sulfur corrosion on the characteristic of partial discharge in turn-to-turn winding insulation in power transformer[J]. High Voltage Apparatus, 2020, 56(1): 216-223.
[11] 张国治, 闫伟阳, 王堃, 等. 流动绝缘油中纤维杂质颗粒运动特性仿真研究[J]. 电工技术学报, 2023, 38(9): 2500-2509.
Zhang Guozhi, Yan Weiyang, Wang Kun, et al. Simulation research on movement characteristics of fiber impurity particles in flowing insulating oil[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(9): 2500-2509.
[12] 董明, 杨凯歌, 马馨逸, 等. 纳米改性变压器油中载流子输运特性分析[J]. 电工技术学报, 2020, 35(21): 4597-4608.
Dong Ming, Yang Kaige, Ma Xinyi, et al. Analysis of charge-carrier transport characteristics of transformer oil-based nanofluids[J]. Transactions of China Elec- trotechnical Society, 2020, 35(21): 4597-4608.
[13] Green N G, Morgan H. Dielectrophoretic separation of nano-particles[J]. Journal of Physics D: Applied Physics, 1999, 30(11): L41.
[14] Shen Rong, Lu Kunquan, Qiu Zhaohui, et al. Induced dipole dominant giant electrorheological fluid[J]. Chinese Physics B, 2023, 32(7): 8301.
[15] Siginer D A, Kim J H, Sherif S A, et al. Develop- ments in electrorheological flows and measurement uncertainty[J]. American Society of Mechanical Engineers, 1994, 205: 6-11.
[16] 巫金波, 温维佳. 场诱导软物质智能材料研究进展[J]. 物理学报, 2016, 65(18): 188301.
Wu Jinbo, Wen Weijia. Research progress of field- induced soft smart materials[J]. Acta Physica Sinica, 2016, 65(18): 188301.
[17] Chen Long, Xue Yunfei, Luo Tao, et al. Electrolysis- assisted UV/sulfite oxidation for water treatment with automatic adjustments of solution pH and dissolved oxygen[J]. Chemical Engineering Journal, 2021, 403(1): 126278.
[18] Miroslav Černík, Jaroslav Nosek, Jan Filip, et al. Electric-field enhanced reactivity and migration of iron nanoparticles with implications for groundwater treatment technologies: proof of concept[J]. Water Research, 2019, 154: 361-369.
[19] Jones T B, Miller R D. Multipolar interactions of dielectric spheres[J]. Journal of Electrostatics, 1989, 22(3): 231-244.
[20] Ye Qizheng, Li Jin, Zhang Jiacong. A dipole- enhanced approximation for a dielectric mixture[J]. Journal of Electrostatics, 2004, 61(2): 99-106.
[21] 王莹莹, 叶齐政. 利用强化偶极子模型计算混合体局部电场[J]. 高电压技术, 2007, 33(11): 105-107.
Yang changhe, Ye Qizheng. Calculations of local electric field in a mixture by the modified dipole- enhanced approximation[J]. High Voltage Engineering, 2007, 33(11): 105-107.
[22] 叶齐政, 张家聪, 李劲. 均匀场中两无限长介质圆柱的柱心线电偶极子模型[J]. 电工技术学报, 2004, 19(5): 1-5.
Ye Qizheng, Zhang Jiacong, Li Jin. A line dipole- at-the-center model for two infinitely long dielectric cylinders in a uniform field[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2004, 19(5): 1-5.
[23] Leon Poladian. Long-wavelength absorption in com- posites[J]. Physical Review B, 1991, 44(5): 2092- 2107.
[24] Ye Qizheng, Li Jin, Yang Haiyan. A displaced dipole model for spheres in a non-uniform field[J]. Journal of Electrostatics, 2002, 56(1): 1-18.
[25] Ye Qizheng, Li Jin, Zhang Jiacong. A displaced dipole model for a two-cylinder system[J]. IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation, 2004, 11(3): 542-550.
[26] 张新建, 谭丹, 叶齐政. 电流变液颗粒间局部电场分析及相互作用力计算[J]. 中国电机工程学报, 2010, 30(6): 117-122.
Zhang Xinjian, Tan Dan, Ye Qizheng. Particle- particle local electric field analysis and interaction force calculation in electrorheological fluids[J]. Proceedings of the CSEE, 2010, 30(6): 117-122.
[27] 张新建, 谭丹, 叶齐政. 偏心电偶极子模型在计算颗粒间相互作用力中的应用[J]. 电工技术学报, 2007, 22(4): 27-31.
Zhang Xinjian, Tan Dan, Ye Qizheng. A displaced diploes model for calculating particles interaction force[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2007, 22(4): 27-31.
[28] 叶齐政, 谢志辉, 李劲. 建立在强化偶极子模型基础上的混合体有效介电常数[J]. 电工技术学报, 2005, 20(8): 24-27.
Ye Qizheng, Xie Zhihui, Li Jin. Effective permittivity of dielectric mixture based on the dipole-enhanced approximation[J]. Transactions of China Electro- technical Society, 2005, 20(8): 24-27.
[29] 田雨, 杜志叶, 柳双, 等. 有限元电场计算时模型表面网格精细控制方法[J]. 电力自动化设备, 2019, 39(11): 205-210.
Tian Yu, Du Zhiye, Liu Shuang, et al. Precise mesh control method on model surface for finite element electric field calculation[J]. Electric Power Auto- mation Equipment, 2019, 39(11): 205-210.
[30] Kang Yongqiang, Zhang Jialin, Shi Zhipeng, et al. A ovel mutual-coupling dipole model considering the interactions between particles[J]. Coatings, 2022, 12, 1079.
Abstract The local electric field calculation model of the two-phase body is the key to studying the electric field distribution and interaction mechanism of the two-phase body. The line-dipole-at-the-center model is the current classical model to calculate the electric field of the two-cylinder system. Its principle is to arrange the electric dipoles along the cylinder center to equivalent the polarization effect of the applied electric field. However, it does not fully consider the mutual polarization process of the cylinder. Therefore, the result is guaranteed when the cylinder is single, or the distance is long. When the cylinder distance is close and the permittivity is large, the calculation error increases significantly. This paper considers the interaction and polarization process of the two-cylinder system in a uniform electric field. The polarization process of the cylinder in an electric field environment is divided into two processes: applied electric field polarization and interaction polarization. Herein, the polarization result of the applied electric field is characterized by a self-dipole moment located at the cylinder’s axis, and the polarization result of the inter-cylinder is characterized by a mutual-coupling dipole moment away from the cylinder’s axis. The deviation degree from the center of the cylinder represents the degree of the interaction between cylinders. The mutual-coupling dipole model of the two-cylinder system is constructed, and the analytical expressions of the mutual-coupling dipole moment and the mutual dipole moment offset are obtained. Compared with the classical model of line dipole at the center and the finite element model, the calculation error of the proposed mutual-coupling dipole model of the two-cylinder system is less than 5%. The similarity to the finite element method reaches 0.575 6, even when the cylinder distance D=0.1R and the permittivity ratio ei/ee=100. The similarity of the curve is much higher than that of the line-dipole-at-the-center model. Moreover, when the permittivity ratio is high, the calculation error of the mutual-coupling dipole model is lower than 6% for the position near the two cylinders and the maximum electric field on the surface of the cylinder, which has a high calculation accuracy. The results show that the mutual-coupling model can obtain more accurate calculation results for the electric field distribution of the two-cylinder system when the distance between the cylinders is small and the permittivity is large. The results can be applied to local electric field calculation and interaction research in mixed dielectric insulation and environmental treatment.
keywords：Two-cylinder system, interactions between cylinders, electric field distribution, the mutual- coupling dipole model
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.230500
中图分类号：TM15
国家自然科学基金（52067014）、甘肃省自然科学基金（22JR5RA352）和兰州交通大学“天佑青年托举人才计划”资助项目。
收稿日期 2023-04-18
改稿日期 2023-09-19
张嘉琳 女，1997年生，硕士研究生，研究方向两相体局部电场计算。E-mail: zhangjialin0210@163.com
康永强 男，1988年生，博士，副教授，硕士生导师，研究方向为极端环境高压放电与绝缘防护。E-mail: kangyong137@163.com（通信作者）
（编辑 郭丽军）