0 引言
电力系统强迫振荡（Forced Oscillation,FO）通常是由持续性的周期扰动引起的，当扰动频率与系统固有振荡频率接近时，将诱发全网共振，严重威胁到电力系统的安全稳定运行[1-4]。2008 年4 月21日云南某电厂汽轮机因阀切换操作不当而引发电网强迫振荡，导致多条线路产生大规模功率振荡[5]；2019 年1 月11 日，美国东部电力系统由于某发电厂汽轮机控制系统故障引发了振荡频率为 0.25Hz的全网大规模强迫功率振荡[6]。上述两起强迫振荡事件表明：当电力系统发生强迫振荡时，若不及时采取措施，将给整个电力系统的安全稳定运行带来严重后果。相对于电力系统自然振荡，强迫振荡具有随机性强、起振快、持续时间长、消除振荡源后振荡迅速衰减等特点[7]，根据这一特点，常用的抑制措施是快速确定振荡源（Forced Oscillation Source Location,FOSL），并迅速对其进行隔离。因此，快速、准确地定位振荡源是抑制电力系统强迫振荡的关键[8]。
目前，电力系统强迫振荡源定位方法主要分为：基于电力系统动态模型的强迫振荡源定位方法[9-11]和基于广域量测信息的强迫振荡源定位方法[12-18]。在基于模型的强迫振荡源定位中，文献[9]采用复模态叠加法对多机系统强迫功率振荡进行分析，揭示了振荡源机组参与强迫振荡的响应振幅与强迫振荡模式之间的关系，为借助强迫振荡响应振幅定位振荡源提供了可能。文献[10]基于线性化的发电机状态方程，研究周期性负荷扰动诱发系统强迫振荡的机理，在模态分析基础上定义节点负荷功率扰动对系统振荡模式的影响因子，以评估各节点对系统振荡模式的影响程度，进而定位出系统的强迫振荡源。文献[11]基于含原动机调速系统的Phillips-Heffron模型，通过阻尼转矩法研究了发生强迫振荡时振荡源机组的机械负阻尼转矩系数的特点，进而根据这一特点定位振荡源。上述基于电力系统模型的强迫振荡源定位方法，虽然可实现振荡源的准确定位，但该类方法定位的准确性依赖于所建模型和参数的精度。对于实际运行中的复杂电力系统而言，准确获取系统详细模型和参数通常非常困难[19-21]，因此基于模型的电力系统强迫振荡源定位方法多用于电力系统强迫振荡的离线分析。
广域量测系统在电力系统中广泛配置，为电力系统强迫振荡源定位提供了新思路[12-18]。文献[12]基于能量函数，分析了电力系统在发生强迫振荡时的能量转换特性，进而通过广域量测信息计算系统的支路势能流，根据势能流方向定位振荡源。文献[13]借助电力系统的广域量测信息，提出了基于割集能量的电力系统振荡源定位方法。文献[14]提出基于广域量测信息的耗散能量流（Dissipation Energy Flow,DEF）理论，并且验证了发电机的能量消耗与阻尼转矩的一致性，进而直接利用广域测量信息计算耗能量流，实现振荡源快速定位，为电力系统在线定位振荡源提供了可能。文献[15]在文献[14]的基础上对耗散能量流构成进行了改进，提高了利用实测同步相量测量装置（Phasor Measurement Unit,PMU）数据定位强迫振荡源的精度。文献[16]进一步通过带通滤波提取出广域量测信息中与强迫振荡模式强相关的关键电气分量，进而准确定位了振荡源，但该方法需重构电气量信号，且当实际系统中存在大量噪声时，关键分量不易提取，有可能会影响定位精度。文献[17]提出一种基于广域量测信息的非平稳强迫振荡源的定位方法，该方法利用同步压缩变换技术从电力系统广域量测信息中分解出非平稳的强迫振荡分量，进而得到对应的DEF，实现了非平稳强迫振荡源的有效定位，但该方法仍属于时域的方法，需对信号进行重构，过程较为复杂。文献[18]利用连续小波变换在时频域定位振荡源，该方法无需重构电气量信号，可提高定位效率，但该方法需先确定与强迫振荡强相关的主导振荡频率，定位过程仍较为繁琐。
上述方法大都属于时域耗散能量流定位方法，采用时域耗散能量流定位电力系统强迫振荡源时，需将电力系统的广域量测信息从时域变换到频域，进而辨识出系统的强迫振荡频率，然后根据辨识出的强迫振荡频率，通过带通滤波或时频域逆变换，提取广域量测信息中的强迫振荡分量，再根据强迫振荡分量计算对应的耗散能量流，计算过程较为繁琐，计算效率有待提高。为此，本文在文献[14,18]的基础上进一步提出一种基于小波耗散能量谱（Wavelet Dissipation Energy Spectrum,WDES）的电力系统强迫振荡源频域定位方法。该方法首先将电力系统广域量测信息进行连续小波变换（Continous Wavelet Transform,CWT）；根据得到的小波系数矩阵，定义小波耗散能量谱，论证了频域中的小波耗散能量谱与时域中的耗散能量流之间的关联关系；进而，根据小波耗散能量谱的跃变特性确定系统的强迫振荡频率；然后，根据强迫振荡频率处各发电机的小波耗散能量谱，实现强迫振荡源的准确定位；最后，将所提方法应用到WECC-179 节点测试系统和ISO New England 实际系统中进行分析、验证。
1 强迫振荡源定位的耗散能量流理论
在电力系统发生强迫振荡过程中，系统中各元件都存在能量的交换过程，文献[12]定义了系统中的势能函数、动能函数、外施扰动注入能量函数和阻尼耗散函数，并根据强迫振荡时系统中各元件与系统的能量交换情况，确定系统的强迫振荡源。文献[14]在文献[12]基础上，进一步提出了基于耗散能量流理论，利用广域量测信息定位强迫振荡源的方法。根据耗散能量流理论，由节点i 流入节点j 的振荡能量流变化量为
式中，ΔPij 和ΔQij 分别为从节点i 传输到节点j 的有功功率和无功功率变化量；Δθi 为节点i 的电压相位变化量；ΔlnUi为节点i 的电压幅值对数的变化量；Δfi 为节点i 的频率变化量。
对于连接发电机的支路，式（1）的振荡能量流变化量由暂态能量变化量和耗散能量两部分组成，即
式中，ΔWt 为支路所连发电机的暂态能量变化量；Wd 为耗散能量。
由于强迫振荡通常为等幅振荡，暂态能量恒定，其变化量近似为0，式（2）可进一步表示为
由式（3）可知，所求振荡能量流变化量即为耗散能量流。进一步根据式（1）可得支路的耗散能量流。
根据文献[14]中基于耗散能量流定位强迫振荡源的理论可知：在系统发生强迫振荡时，当发电机的耗散能量流曲线趋势向下时，表明该发电机的耗散能量为负，持续向电网注入能量，为振荡源；当发电机的耗散能量流曲线趋势不变或向上时，表明该发电机的耗散能量为正，将持续从电网吸收能量，为非振荡源。
2 基于小波耗散能量谱的强迫振荡源定位
传统基于广域量测信息的耗散能量流定位方法在计算各发电机的时域耗散能量流时，需从电力系统的广域量测信号中提取出只含强迫振荡模式的时域分量计算各发电机的耗散能量流，以提升振荡源定位的准确性。然而，在电力系统的广域量测信息中，除包含系统强迫振荡模式的时域分量外，还存在大量冗余时域分量，如何从含有大量冗余信息的广域量测信息中提取出系统的强迫振荡时域分量，并计算出各发电机的耗散能量流尤为关键。针对这一问题，本节将通过连续小波变换将时域的耗散能量变换为对应的频域耗散能量，即小波耗散能量谱，进而根据小波耗散能量谱定位振荡源，以提高电力系统强迫振荡源定位精度和效率。
2.1 小波变换
小波变换是一种时频域的信号处理方法，它可实现对非平稳量测信号的有效处理。由文献[22]可知，对量测信号x(t)进行小波变换后的小波系数为
式中，ψc,τ(t)为母小波；c 为小波尺度系数；τ 为小波位移系数；ℜx(c, τ)为在尺度系数c 和位移系数τ 处的小波系数；*表示共轭。
采用小波变换对广域量测信息进行处理时，母小波ψc,τ(t)的选择至关重要。根据研究目的的不同，常用的母小波有 Morlet[23]、Mexican hat[24]、Symlets[25]等。结合本文研究的目的，选择复Morlet小波作为母小波。根据所选择的复Morlet 母小波，由文献[26]可知，根据式（4）对机端频率f 进行小波变换所得的小波系数矩阵为
式中，ℜf 为机端频率f 的小波系数矩阵；ℜf(cm, τ)为机端频率f 在尺度系数cm 下的小波系数向量；ℜf(cm, τn)为在尺度系数cm 和位移系数τn 处的小波系数。
需要指出的是，在式（5）的小波系数矩阵中，尺度系数c 与振荡频率对应，位移系数τ 与时间对应，式（5）中每一行小波系数描述了系统参数在某一频率处随时间在空间中的变化特性，对应小波系数向量ℜf(cm, τ)。式（5）的小波系数矩阵从时空角度描述了系统发生振荡时系统参数的响应特性，为借助相关参数揭示系统强迫振荡机理和定位强迫振荡源提供了一定的参考。
2.2 基于小波耗散能量谱的振荡源定位
根据电力系统中发电机角速度和频率之间关系，令 Δωi=2πΔfi，对 d(ΔlnUi)进一步变换，得
dt=d(ΔlnUi)，则式（1）可进一步表示为
式中，Δωi 为发电机角速度变化量；Δ u˙i为节点i 处电压幅值对数变化量的微分。
根据小波变换理论，可知
式中，Cφ 为小波变换容许常数，具体表达式见文献[18]；ℜΔ Pi j (c,τ)和ℜΔω i (c,τ)分别为有功功率变化量ΔPij 和发电机角速度变化量Δωi 的小波系数。
根据式（7），对式（6）进一步变换得
式中，
为时频域耗散能量；ℜΔ Qi j (c,τ)和ℜΔ u˙i (c,τ)分别为无功功率变化量ΔQij 和电压幅值对数变化量的微分 
的小波系数。
对式（8）在位移系数τ 上积分后，可得关于尺度系数c 的频域能量表达式为
式中，
(c)为小波尺度系数c 的小波耗散能量。
由于量测信号一般为实信号，则信号的共轭是其本身。由Parseval 定理可知，对于两个不同的量测信号ΔPij(t)和Δωi(t)满足
式中，XΔPij (f)和XΔω i(f)分别为ΔPij(t)、Δωi(t)的傅里叶变换。
对式（10）进一步变换得[27]
根据能量谱密度定义，将式（13）中被积分项提出
式（14）反映了耗散能量在各小波尺度系数下的变化情况，本文将式（14）中
定义为小波耗散能量谱。
由于小波尺度系数与振荡频率间存在对应关系，通过式（14）计算出的小波耗散能量谱可真实反映小波耗散能量在频域中的变化趋势，进而可直接确定系统的主导振荡频率。当小波耗散能量谱曲线出现明显波峰/谷表明系统存在某种主导振荡模式，且小波耗散能量谱的波峰/谷对应的频率为该主导振荡模式的振荡频率。类似的，将小波耗散能量谱用于系统强迫振荡模式辨识时，若系统中所有发电机的小波耗散能量谱在某一频率处均出现波峰/谷，则该频率可认为是系统的强迫振荡频率。
需要指出的是，将信号的时域能量转换到频域后，小波耗散能量谱与时域耗散能量仅是能量在频域和时域的不同表征。参考第1 节中时域耗散能量流的强迫振荡源定位方法：在系统发生强迫振荡时，当发电机的耗散能量流曲线趋势向下时，该发电机的耗散能量为负，将持续向电网注入能量，为强迫振荡源，对应的小波耗散能量谱也为负；当发电机的耗散能量曲线趋势不变或向上时，该发电机的耗散能量为正，将持续从电网吸收能量，为非振荡源，对应的小波耗散能量谱也为正。因此，根据各发电机在强迫振荡频率处的小波耗散能量谱正负也可实现电力系统强迫振荡源的定位。
综上所述，根据时域耗散能量流与小波耗散能量谱之间的对应关系，采用小波耗散能量谱定位强迫振荡源的判据如下：当系统发生强迫振荡时，若发电机在强迫振荡频率处的小波耗散能量谱为负且绝对值最大，表明该发电机持续向电网注入能量，其对强迫振荡影响最大，为振荡源；若发电机在强迫振荡频率处的小波耗散能量谱为负，但其绝对值较小，则说明该发电机对该强迫振荡影响较小，为非振荡源；若发电机在系统强迫振荡频率处的小波耗散能量谱为正，则表明发电机持续从电网吸收能量，为非振荡源。
2.3 算法流程
综上，本文所提基于小波耗散能量谱的电力系统强迫振荡源定位流程如图1 所示，具体步骤如下：
图1 基于小波耗散能量谱的强迫振荡源定位 方法流程
Fig.1 Flow chart of proposed WDES-based FOSL
1）从电力系统广域量测系统中获取各发电机的有功功率、无功功率、机端电压及频率量测信息。
2）计算各发电机有功功率、无功功率、机端电压和频率的变化量。
3）对各电气变化量进行小波变换，得到式（5）所示的各电气变化量的小波系数矩阵。
4）根据式（14）计算各发电机在各小波尺度系数处的小波耗散能量谱
，根据小波耗散能量谱在各小波尺度系数下的变化情况，定位强迫振荡强相关的关键尺度小波系数。
5）提取出各发电机在关键尺度系数处对应的小波耗散能量谱，根据2.2 节所提基于小波耗散能量谱的电力系统强迫振荡源定位判据，定位振荡源。
3 算例分析
为验证所提方法的准确性和有效性，本节分别以WECC-179 节点测试系统的仿真数据和ISO New England 的实测强迫振荡数据为例进行分析、验证。
3.1 WECC179 节点测试系统
WECC179 节点测试系统拓扑结构如图2 所示，该测试系统中发电机模型均采用二阶模型，负荷均为恒功率模型，系统所有自然振荡模式都具有良好的阻尼，该系统详细参数见文献[28]。
图2 WECC-179 节点测试系统
Fig.2 WECC 179-bus test system
3.1.1 场景1——单振荡源定位
以发电机G36 为参考机，向发电机G79 励磁系统持续注入振荡频率为0.46Hz 的正弦信号作为振荡扰动信号，持续时间为20s。扰动期间各发电机有功功率、无功功率、机端母线频率和电压幅值如图3 所示。
图3 场景1 中强迫振荡期间的发电机电气参数
Fig.3 Parameter curves of generators in scenario 1
根据所提强迫振荡源定位方法，首先计算图3中各发电机的有功功率变化量、无功功率变化量、电压幅值对数变化量、频率变化量等电气量参数，对上述电气量变化参数进行小波变换，得到各发电机的各电气量小波系数矩阵。将各电气量小波系数矩阵代入式（14）计算出各发电机的小波耗散能量谱
，结果如图4 所示。
图4 场景1 中的发电机小波耗散能量谱
Fig.4 WDESs of generators in scenario 1
由图 4 可知：各发电机小波耗散能量谱在ck=192 处出现明显波峰/谷，说明ck=192 为关键小波尺度系数，对应系统主导振荡模式。进一步根据文献[29]所提方法，计算得ck=192 对应的主导振荡模式的振荡频率和阻尼比分别为0.468 5Hz 和0.27%。该主导振荡频率与注入扰动频率0.46Hz 基本一致，验证了采用小波耗散能量谱跃变确定强迫振荡模式方法的正确性。
为进一步定位振荡频率为0.468 5Hz 的强迫振荡源，根据所提方法，提取各发电机在ck=192 处的小波耗散能量谱，结果如图5 所示。由图5 可看出，发电机G79 在强迫振荡频率处的小波耗散能量谱为负，且绝对值最大，根据小波耗散能量谱定位强迫振荡源的判据可知，发电机G79 是振荡频率为0.468 5Hz 的强迫振荡源；图5 中其余部分发电机在该强迫振荡频率处的小波耗散能量谱均为正，表明这部分发电机持续从电网中消耗能量，为非振荡源。
图5 场景1 中强迫振荡频率处的发电机小波耗散 能量谱
Fig.5 WDESs of generators at FO frequency in scenario 1
为验证所提强迫振荡源定位方法的准确性，进一步从图3 的电气信息中提取出仅含振荡频率为0.468 5Hz 的电气变化量分量，结果如图6 所示。
以图6 所提取量测分量为输入，根据文献[14]所提方法计算各发电机的时域耗散能量流，结果如图7 所示。由图7 结果可以看出，发电机G79 的时域耗散能量曲线趋势向下，持续向电网注入能量，为系统振荡源；而其他发电机的耗散能量曲线趋势向上，持续从电网吸收能量，为非振荡源。
图6 场景1 中提取的与强迫振荡强相关的时域分量
Fig.6 Extracted FO components in scenario 1
图7 场景1 各发电机在强迫振荡频率处的传统耗 散能量
Fig.7 Traditional DEF of each generator at FO frequency in scenario 1
进一步，根据文献[18]所提的强迫振荡源的时频域定位方法，将图8 所示各电气量在关键小波尺度系数ck=192 处的小波系数作为输入，计算各发电机的时频域耗散能量，结果如图9 所示。
图8 场景1 中各发电机参数在ck=192 处的小波系数
Fig.8 Wavelet coefficients of generator’s parameters at ck=192 in scenario 1
图9 场景1 各发电机在强迫振荡频率处的时频域耗散能量
Fig.9 DEF of each generator in time-frequency domain at FO frequency in scenario 1
图9 中发电机G79 的时频域耗散能量曲线趋势向下，持续向电网注入能量，为振荡源；而其余时频域耗散能量曲线趋势向上，持续从电网吸收能量，为非振荡源。
通过对比图5、图7 和图9 的计算结果可知，本文所提方法与传统时域耗散能量流方法和时频域耗散能量流方法在振荡源定位的结果上是一致，验证了所提方法的准确性和有效性。
3.1.2 场景2——多振荡源定位
在3.1.1 节基础上，进一步研究所提方法在多强迫振荡源定位的准确性和有效性。持续向图2 中发电机G79 和G118 的励磁系统分别注入振荡频率为0.65Hz 和0.43Hz 的正弦信号作为强迫振荡扰动信号，持续时间为20s，扰动期间各发电机有功功率、无功功率、机端母线频率和电压幅值如图10 所示。
图10 场景2 中强迫振荡期间的发电机电气参数
Fig.10 Parameter curves of generators in scenario 2
根据所提强迫振荡源定位方法，计算各发电机小波耗散能量谱
，结果如图11 所示。显然，由图11 可知：各发电机小波耗散能量谱在ck1=219.428 6 和 ck2=139.636 4 均出现明显的波峰/谷，说明ck1=219.428 6 和ck2=139.636 4 为关键小波尺度系数，对应着系统的两个主导振荡模式。进一步计算得到小波尺度系数ck1=219.428 6 和ck2=139.636 4 对应的振荡模式的振荡频率分别为0.416 5Hz 和0.626 6Hz，阻尼比分别为0.22%和0.03%。这两个振荡频率与所注入的扰动频率0.43Hz 和0.65Hz 一致。验证了所提根据小波耗散能量谱跃变特性确定系统强迫振荡模式的方法的准确性。
图11 场景2 中的发电机小波耗散能量谱
Fig.11 WDESs of generators in scenario 2
为进一步定位振荡频率为0.416 5Hz 和0.626 6Hz的强迫振荡源，分别提取各发电机在ck1=219.428 6和ck2=139.636 4 处的小波耗散能量谱，结果如图12所示。
图12 场景2 中强迫振荡频率处的发电机小波耗散 能量谱
Fig.12 WDESs of generators at FO frequency in scenario 2
由图12 可知发电机G118 和G79 分别在强迫振荡频率0.416 5Hz 和0.626 6Hz 处的小波耗散能量谱为负且其绝对值最大，根据所提判据可得，发电机G118 和G79 持续向电网注入能量，是强迫振荡频率为0.416 5Hz 和0.626 6Hz 的强迫振荡源；其余发电机的小波耗散能量谱均为正，为非振荡源。
为验证所提强迫振荡源定位方法的准确性和有效性，本节进一步从图10 的电气变化量信息中，分别提取出仅含振荡频率为0.416 5Hz 和0.626 6Hz 的电气变化量分量，结果如图13 和图14 所示。
图13 场景2 中提取的与0.4165Hz 强相关的时域分量
Fig.13 Extracted FO components at 0.4165Hz in scenario 2
分别以图13 和图14 中振荡频率为0.416 5Hz和0.626 6Hz 的电气分量作为输入，根据文献[14]所提方法计算各发电机的时域耗散能量流，结果如图15 所示。
图14 场景2 中提取的与0.6266Hz 强相关的时域分量
Fig.14 Extracted FO components at 0.6266Hz in scenario 2
图15 场景2 各发电机在强迫振荡频率处的传统 耗散能量
Fig.15 Traditional DEFs of each generator at FO frequencies in scenario 2
由图15 结果可以看出，发电机G118 和G79 的时域耗散能量曲线趋势均向下，都在持续向电网注入能量，为系统的强迫振荡源；而其他发电机的耗散能量曲线趋势向上，持续从电网吸收能量，为非振荡源。
进一步，根据文献[18]所提时频域强迫振荡源定位方法，依据图16 和图17 所示各电气量在关键 小波尺度系数ck1=219.428 6 和ck2=139.636 4 处的小波系数，计算各发电机对应的时频域耗散能量，结果如图18 所示。
图16 场景2 中各发电机参数在 c k1=219.4286 处的 小波系数
Fig.16 Wavelet coefficients of generator’s parameters at c k1=219.4286 in scenario 2
图17 场景2 中各发电机参数在 c k2=139.6364 处的 小波系数
Fig.17 Wavelet coefficients of generator’s parameters at c k2=139.6364 in scenario 2
图18 场景2 各发电机在强迫振荡频率处的时频域 耗散能量
Fig.18 DEFs of each generator in time-frequency domain at FO frequencies in scenario 2
图18 中发电机G118 和G79 的时频域耗散能量曲线趋势均向下，向电网注入能量，为振荡源；而其他发电机的时频域耗散能量曲线趋势向上，从电网吸收能量，为非振荡源。
对比图12、图15 和图18 的定位结果可知，本文所提方法与传统时域能量流定位方法和时频域能量流定位方法在多振荡源定位的结果上一致，验证了所提方法在多振荡源定位的准确性和有效性。
表1 进一步对比所提方法与传统时域耗散能量流方法和时频域耗散能量流方法在上述两种场景下的计算耗时（计算平台硬件配置为：CPU Intel Core i7-9750H，主频2.6GHz，内存：16GB）。由表1 可知，在场景1 的单振荡源定位中，所提方法相较于传统时域耗散能量流方法和时频域耗散能量流方法的计算效率分别提高了32.78%和31.39%；在场景2的多振荡源定位中，所提方法相较于传统时域耗散能量流方法和时频域耗散能量流方法的计算效率分别提高了32.17%和31.47%，所提方法具有更好的振荡源定位效率。
表1 本文方法与其他方法在场景1 和2 的计算效率对比
Tab.1 Computational efficiency Comparison between proposed WDES and other methods in scenarios 1 and 2
综上所述，通过对比本文所提基于小波耗散能量谱的电力系统强迫振荡源频域定位方法、传统时域耗散能量流方法与时频域耗散能量流方法在单振荡源和多振荡源定位结果可知：本文所提方法可准确、有效地从电力系统广域量测信息中定位出系统的强迫振荡源，且具有更高的计算效率。
3.2 ISO New England 实际电网
进一步以ISO New England 实测强迫振荡数据为例，对所提方法在实际电力系统应用的可行性进行分析验证，ISO New England 实测强迫振荡数据详见文献[30]。2019 年6 月20 日，ISO New England电网中，通过线路Ln2 与主网连接的Radilly 发电厂发生强迫振荡，振荡频率为 0.14Hz，振荡期间PMU 实测150s 发电机有功功率、无功功率、机端频率和电压幅值如图19 所示。
图19 ISO New England PMU 实测的发电机强迫振荡 参数
Fig.19 Field-measurement forced oscillation parameters of generators in ISO New England
图20 ISO New England 中发电机的小波耗散能量谱
Fig.20 WDESs of generators in ISO New England
根据所提强迫振荡源定位方法，首先计算图19中各线路所连发电厂有功功率、无功功率、电压幅值对数、频率的变化量，对上述电气量变化参数进行小波变换，得到各发电机的各电气量小波系数矩阵。然后计算各发电机的小波耗散能量谱
，结果如图20 所示。
由图20 可知，各线路所连发电厂的小波耗散能量谱在 ck=614.4 均出现明显的波峰/谷，说明ck=614.4 为关键小波尺度系数。对应主导振荡模式，进一步根据文献[29]所提方法计算得到ck=614.4 对应系统主导振荡模式的振荡频率和阻尼比分别为0.149 8Hz 和6.72%。该主导振荡频率与实际的振荡频率0.14Hz 基本一致。由此验证了所提根据小波耗散能量谱跃变特性确定系统强迫振荡模式的方法是正确、有效的。
为进一步定位振荡频率为0.149 8Hz 的强迫振荡源，提取各发电机在ck=614.4 处的小波耗散能量谱，结果如图21 所示。
由图21 可直观看出，与线路Ln2 所连的发电厂在该振荡频率下的小波耗散能量谱为负且其绝对值最大。根据所提小波耗散能量谱判据可得，通过线路Ln2 与ISO New England 主网连接的Radilly 发电厂是振荡频率为0.149 8Hz 强迫振荡事件的振荡源；其余线路所连电厂在主导振荡频率下小波耗散能量谱为正，消耗能量，为非振荡源。
图21 ISO New England 中各发电机在强迫振荡频率处 的小波耗散能量谱
Fig.21 WDESs of generators at FO frequency in ISO New England
进一步，为验证所提强迫振荡源定位方法的准确性和有效性，进一步分别采用传统时域耗散能量流和时频域耗散能量流的定位方法进行强迫振荡源定位。首先从图19 的电气变化量信息中，提取出仅含振荡频率为0.149 8Hz 的电气变化量分量，然后将其作为输入，根据文献[14]所提的方法计算各发电机的时域耗散能量流；再将各电气量在关键小波尺度系数ck=614.4 处的小波系数代入文献[18]所提时频域耗散能量计算公式中，得到时频域耗散能量，结果如图22 所示。
图22 ISO New England 中各发电机强迫振荡的时域耗散能量和时频域耗散能量
Fig.22 DEFs of each generator in time and timefrequency domain in ISO New England
由图 22 结果可以看出，与线路 Ln2 所连的Radilly 发电厂时域耗散能量曲线和时频域耗散能量曲线趋势均向下，持续向电网注入能量，为系统振荡源；而其他发电机的耗散能量曲线趋势向上，持续从电网吸收能量，为非振荡源。验证了所提方法在实际电力系统中应用的准确性和可行性。
表2 进一步对比了本文所提方法与传统DEF 方法和时频域方法的计算耗时。由表2 结果可知，相比于传统时域耗散能量流方法和时频域耗散能量流方法，所提振荡源定位方法计算效率分别提升了30.10%和24.16%。显然，本文所提方法具有更高的强迫振荡源定位效率。
表2 本文方法与其他方法计算效率对比
Tab.2 Computational efficiency comparison between proposed WDES and other methods in ISO New England
综上所述，ISO New England 的实测强迫振荡源定位结果表明：所提基于小波耗散能量谱的电力系统强迫振荡源定位方法可从实际电力系统的实测PMU 数据中准确、有效地定位出强迫振荡源，且相对传统时域耗散能量流方法和时频域耗散能量流方法具有更好的计算效率。
4 结论
本文提出了一种基于小波耗散能量谱的电力系统强迫振荡源定位方法，分别通过WECC-179 节点测试系统仿真数据和ISO New England 实测PMU 数据进行分析、验证，相关结论如下：
1）通过时域耗散能量流和时频域耗散能量流的定位结果对比，验证了所提基于小波耗散能量谱的强迫振荡源定位方法可从电力系统的广域量测信息中准确、有效地定位出强迫振荡源。
2）相比时域耗散能量流定位方法和时频域耗散能量流定位方法，所提基于小波耗散能量谱的强迫振荡源频域定位方法，在保证强迫振荡源定位准确性基础上，有效地提高了强迫振荡源定位效率。
3）所提小波耗散能量谱可认为是时域耗散能量流和时频域耗散能量流在频域的一种表现形式，从频域能量谱角度分析了系统强迫耗散能量的变化规律，为基于量测信息的电力系统强迫振荡源定位提供了新思路。
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