0 引言
永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）以其结构简单、效率高、功率密度大等优点，在电动汽车、飞轮储能、风力发电等领域得到了广泛的应用[1-3]。近年来，磁链定向矢量控制和直接转矩控制由于可以提高PMSM 控制性能而得到广泛的研究与应用[4-5]。然而，PMSM 的磁链定向矢量控制虽然可以实现转矩和磁链解耦控制，但其动态和稳态控制性能依赖比例积分控制器。直接转矩控制虽然是一种简单有效的PMSM 控制方法，但开关频率不恒定，稳态控制性能较差。
随着现代控制理论以及微处理器技术的快速发展，越来越多的新型控制策略被广泛研究以解决PMSM 常规控制策略所存在的不足。文献[6-9]提出了多种新型控制方法来提高PMSM 的控制性能，包括滑模控制、自抗扰控制、神经网络控制、模型预测控制等。在这些控制方法中，模型预测控制具有概念清晰、实现简单、并能同时控制多个非线性目标等优点。因此，近年来，诸多学者开展了模型预测控制研究。2007 年J.Rodriguez 等研究了两电平电压源变换器的模型预测控制方法[10]。自此以后，该方法被研究用于控制不同类型的变频器以及交流电机，进一步实现了降低开关频率、抑制共模电压、减少转矩脉动等多目标优化[11-14]。对于PMSM，有两种类型的模型预测控制方法，即预测转矩控制和预测电流控制[15-16]。预测转矩控制可以看作是对传统直接转矩控制方法的改进。但其主要缺点是需要设计合适的权重因子。由于预测电流控制简单有效，无需设计任何控制参数，因此它是PMSM 的首选控制方法。
然而，电流预测模型中的电阻、电感等参数易受到非线性因素以及工作负载变化的影响，从而产生模型参数失配问题，最终会削弱电流预测控制的鲁棒性和动态响应能力。文献[17]将鲁棒控制理论引入预测算法，在考虑参数最大扰动情况下仍能满足电机运行要求。但鲁棒预测控制原理只要求能够满足最基本的控制目标，并没有具体分析和消除参数不准确所带来的影响。文献[18]分析了电感不匹配对控制性能的影响，提出了电感在线辨识的方法，但是缺少对电阻和磁链的分析。文献[19]讨论了电阻和电感不匹配对三相逆变器控制效果的影响，但是没有考虑磁链的影响。
由于逆变器具有有限个开关状态和输出电压矢量，因此模型预测电流控制直接利用这种特点通过代价函数评估来选择最优电压矢量。预测电流控制系统一般采用三种形式的代价函数来选择最优电压矢量，即欧氏范数、欧氏范数平方以及模和三种形式[20-23]。通常，三种代价函数被认为是等效的。然而，到目前为止，关于三种代价函数之间的区别与联系还缺少必要的理论分析和实验验证。
综上所述，参数失配和不同代价函数对PMSM模型预测控制的影响还有待深入研究。
本文针对PMSM 模型预测控制中模型参数失配问题提出了一种可视化分析方法，分别研究了不同参数失配对不同代价函数下PMSM 模型预测控制系统的影响。首先，结合无差拍控制原理计算得到满足控制要求的参考电压矢量[24]；其次，分析电阻、电感和磁链等参数对参考电压矢量的影响；然后，基于参数失配的参考电压得到不同代价函数所选最优电压矢量；最后，利用Matlab 算法对所有参考电压下所选最优电压矢量进行可视化表达，通过可视化方法分析参数失配对不同代价函数下最优电压矢量选择的影响和区别，为实现模型预测误差补偿控制提供坚实的理论依据。实验结果验证了所提分析方法的可行性和有效性。
1 PMSM 常规模型预测电流控制策略
图1 所示为两电平电压源变换器驱动的PMSM的拓扑结构，图中，udc 为直流母线电压，ia、ib、ic为三相电流。两电平电压源逆变器有八种不同的开关状态，可得8 个对应的电压矢量，如图2 所示。
图1 PMSM 驱动系统的拓扑
Fig.1 Topology of the PMSM driven system
图2 电压矢量
Fig.2 Voltage vectors
考虑到直流电压恒定时，在αβ 参考系上8 个电压矢量的值是恒定的。为了减少计算量，本文研究了在αβ 静止坐标系下的PMSM 模型预测控制。
PMSM 在αβ 静止坐标系下的数学模型为
式中，uαβ 为PMSM 定子电压，即逆变器输出电压；iαβ 为PMSM 电流；Ls 和Rs 分别为定子电感和电阻；eαβ 为电机反电动势，有
式中，ω r 为同步速度；ψf 为永磁体磁链；θr 为PMSM的转子角。
假设采样周期为Ts，为了得到预测电流，通过前向欧拉逼近方法将式（1）离散化，可得预测电流表达式为
为了补偿一阶延迟效应，首先将上一周期应用的最优电压矢量uv 代入式（3），计算k+1 时刻的电流iαβ (k+1)，其中uv=[uα(k) uβ(k)]T。然后，将图2 中所示的8 个电压矢量代入式（4），预测第k+2时刻的电流iαβ (k+2)为
为了得到最优电压矢量，需要建立一个代价函数，以评估其控制误差。然后通过对8 个电压矢量遍历寻优得到使代价函数最小的电压矢量作为最优电压矢量，用于下一周期的PMSM 控制。通常会选取三种形式的代价函数进行误差评估[21-24]，有
式中，
为参考电流。整个算法的控制框图与文献[5]所示传统模型预测控制框图一致。
2 PMSM 模型参数匹配的可视化分析
图3 所示为三相两电平逆变器的7 个电压矢量在αβ 平面的原始泰森多边形分割图[25]。电压矢量u0～u7 在αβ 复平面上构成泰森多边形图的一组点（位）。相邻两个区域相交的黑色线段与最近两个点的距离相等；相邻3 个区域相交的结点到最近3个点的距离相等。例如，图3 所示相邻的1 号、2号和7 号区域相交的M 点到最近的3 个矢量u0、u1、u2 的距离相等；相邻的1 号和2 号区域相交的黑色线段上某点N 到最近的两个矢量u1、u2 的距离相等。如果参考电压对应于图中1 号区域内的任何点，则对应最近的可用电压矢量为u1；同理，对于2 号区域，对应最近的可用电压矢量为u2；对于3号区域，对应最近的可用电压矢量为u3，以此类推。而7 号中心区域内的所有点，对应最近的可用电压矢量则是零矢量u0 或u7。
图3 原始泰森多边形分割图
Fig.3 Original Voronoi diagram of segmentation
首先，以原始泰森多边形分割图作为所有参考电压矢量下最优电压矢量的标准区域分布，进而在参数匹配情况下，利用所提可视化方法分析模型预测控制中不同代价函数对最优电压矢量选择的差异。首先，采用前向差分法将式（1）离散化，离散周期为Ts，并根据式（3）补偿一阶延迟效应可得离散表达式，满足
结合无差拍理论可知，为了保证k+2 时刻电流控制误差为零，需满足
将式（9）代入式（8）可得参考电压矢量表达式，满足
式中，
为参考电压矢量。
其次，将三种电流误差代价函数与式（4）、式（10）联立可得
因此，结合无差拍原理可将式（5）～式（7）所示电流误差代价函数等价转化为电压误差代价函数。
然后，定义gmui、gnui、gkui 为电压矢量ui 作用时对应的模和、欧氏范数平方、欧氏范数三种形式的代价函数。单矢量模型预测代价函数几何分析如图4 所示，以参考电压矢量u*位于扇区Ⅰ为例，利用三种代价函数分别对扇区Ⅰ内电压矢量u0、u1、u2 进行最优选择，即选择使代价函数最小的电压矢量，有
图4 单矢量模型预测代价函数几何分析
Fig.4 Geometric analysis of cost function of single-vector model predictive control
最后，代入表 1 所示实验电机参数，并利用Matlab 算法分别画出扇区Ⅰ内所有参考电压矢量下基于三种代价函数所选最优电压矢量的可视化平面图，如图5 所示。其中，黑色实线为原始泰森多边形分割线，红色区域内电压矢量u0 控制最优，绿色区域内电压矢量u1 控制最优，蓝色区域内电压矢量u2 控制最优。由图5 可见，模型预测控制中不同代价函数对最优电压矢量的选择存在差异。其中，式（12）和式（13）所示两种欧氏范数形式的代价函数控制效果相同。
表1 永磁同步电机参数
Tab.1 Parameters of PMSM
图5 三种代价函数的模型预测控制可视化算法（扇区Ⅰ）
Fig.5 Visualization algorithm of model predictive control of three cost functions（sector Ⅰ）
例如，当参考电压矢量位于P 点时，矢量u0、u1、u2 在式（11）中的控制误差可分别表示为gmu0=Ts/Ls(|PF|+|OF|)，gmu1=Ts/Ls(|PF|+|QF|)，gmu2=Ts/Ls|PE|，在式（13）中的控制误差可分别表示为gku0=Ts/Ls|PO|，gku1=Ts/Ls|PQ|，gku2=Ts/Ls|PE|。因为|PO|=|PE|=|PQ|，所以在P 点采用式（13）代价函数时，3 个矢量均可作为最优控制矢量。式（12）代价函数同理。然而，由于|PE|=|PO|＜|PF|+|OF|，|PE|=|PQ|＜|PF|+|QF|，即gmu2＜gmu0，gmu2＜gmu1，所以在P 点采用式（11）代价函数时，选择的最优控制矢量为u2。
同理，当参考电压矢量位于所有扇区内任意位置时，利用相同的方法，可以分别得到三种代价函数对7 种电压矢量最优选择的可视化表达，如图6所示。其中，黑色实线为原始泰森多边形分割线。通过对比可知，两种欧氏范数形式的代价函数使得每个扇区所对应的3 个电压矢量利用率相等，与上述泰森多边形分割图一致。而模和代价函数下最优电压矢量的区域划分与泰森多边形分割并不完全相同，相比较而言，矢量u1 和u4 的利用率较低。因此，从最优电压矢量区域划分可见，两种欧氏范数形式的代价函数的控制效果较好。
图6 三种代价函数的模型预测控制可视化总平面图
Fig.6 General visual diagram of model predictive control of three cost functions
3 PMSM 模型参数不匹配误差分析
针对PMSM 模型参数不匹配问题，传统的分析方法是通过推导预测模型电感、电阻参数不匹配与预测电流误差之间的定量关系，进而分析电感、电阻参数不匹配对预测输出电流的影响[18-19]。本文结合无差拍原理利用所提可视化方法来讨论 PMSM模型参数不匹配对模型预测控制的影响问题。
结合式（2）可见，式（10）所示参考电压矢量受到了采样周期Ts、定子电感Ls、定子电阻Rs 以及电机磁链ψf 的综合影响。首先，分析Ls、Rs 以及Ψf等重要参数失配对参考电压矢量的影响，并根据参数失配下参考电压矢量的空间位置变化，利用代价函数选取相应的最优电压矢量。然后，将选取的最优电压矢量进行可视化表达即可分析出参数失配的影响。
由式（10）可知，模型参数电感 Ls、电阻 Rs与参考电压矢量呈正相关，即当两种参数增大或减小时，参考电压也随之增大或减小。然而，由于电阻本身阻值较小，电阻不匹配对电阻所在分量影响也较小。但是，由于采样周期Ts 很小，电感Ls 失配对参考电压矢量的影响远大于电阻Rs 失配的影响。因此，在两种参数对参考电压矢量均呈正相关情况下，本文只分析了电感失配的影响。
3.1 定子电感不匹配误差分析
由于模型参数电感 Ls 与参考电压矢量呈正相关，因此，当电感增大或减小时，参考电压也随之增大或减小。电感不匹配的参考电压矢量空间位置变化如图7 所示，当电感偏大时，参考电压矢量u*空间位置将变化至 u ＇。同理，当电感偏小时，参考电压矢量u*空间位置将变化至 u ＇。此时，代价函数在最优电压矢量选择上将产生偏差。
图7 电感不匹配的参考电压矢量空间位置变化
Fig.7 Spatial position variation of reference voltage vector with inductance mismatch
本文同样采用所提可视化方法对该误差进行分析，结果如图8、图9 所示。图8a、图9a 所示为当电感偏大导致参考电压矢量增大为正常值的1.2 倍时，最优电压矢量区域分布的可视化算法。可见，零矢量选择区域均匀减小，非零矢量选择区域则均匀增大。相反，当电感偏小导致参考电压矢量减小为正常值的80 %时，零矢量选择区域将会均匀增大，非零矢量选择区域将会均匀减小。同时，两类代价函数对矢量选择同样存在差异。例如，在原始泰森多边形u1 控制最优区域内，当Ls 偏小时，两种欧氏范数代价函数下电压矢量u1 利用率较高。从最优电压矢量区域的整体偏移位置可见，两种欧氏范数代价函数下最优电压矢量区域划分更接近原始泰森多边形分割，而模和代价函数所选最优电压矢量区域划分偏移较大，因此，模和代价函数的控制效果较差。
图8 式（11）的电感不匹配模型预测控制可视化算法
Fig.8 Visualization algorithm of inductance mismatch model predictive control of equation (11)
图9 式（12）和式（13）的电感不匹配模型预测控制可视化算法
Fig.9 Visualization algorithm of inductance mismatch model predictive control of equation (12) and equation (13)
3.2 电机磁链不匹配误差分析
联立式（2）和式（10）可知，在参考电压矢量表达式中，与电机磁链相关联的分量为eαβ (k+1)。由于电机反电动势还受到PMSM 同步速度ω r 和转子角θr 影响，因此，电机磁链不匹配对参考电压矢量的影响有多种情况。
首先，由式（2）可知，同步速度ω r 与电机反电动势成正比例关系，同步速度ω r 越大，磁链不匹配对系统的影响也越大。因此，磁链不匹配对高速状态下的电机系统影响较大，而对低速状态的电机系统影响较小。
其次，反电动势波形示意图如图10 所示，当转子角θr 位于[0,π/2]区间时，反电动势分量eα＜0，eβ＞0，此时，电机磁链与参考电压矢量α 轴分量呈负相关，与β 轴分量呈正相关。相反，当转子角θr位于[π,3π/2]区间时，反电动势分量eα＞0，eβ＜0，此时，电机磁链与参考电压矢量α 轴分量转变为正相关，与β 轴分量转变为负相关。
图10 反电动势波形示意图
Fig.10 Schematic diagram of back EMF waveforms
图11 为当磁链不匹配时，参考电压矢量在转子角θr 位于[0,π/2]和[π,3π/2]区间内的空间位置变化。当[0,π/2]区间磁链偏大或者[π,3π/2]区间磁链偏小时，参考电压矢量u*空间位置将变化至 u ＇，同时变化范围受同步速度ω r 影响。相反，当[0,π/2]区间磁链偏小或者[π,3π/2]区间磁链偏大时，参考电压矢量u*空间位置将变化至 u＇，变化范围同样受同步速度ω r 影响。基于参考电压矢量 u＇ 和 u＇ 采用所提可视化方法分析，结果如图12、图13 所示。
图11 磁链不匹配的参考电压矢量空间位置变化
Fig.11 Spatial position variation of reference voltage vector with flux linkage mismatch
图12 式（11）的磁链不匹配模型预测控制可视化算法
Fig.12 Visualization algorithm of flux linkage mismatch model predictive control of equation (11)
图13 式（12）和式（13）的磁链不匹配模型预测控制可视化算法
Fig.13 Visualization algorithm of flux linkage mismatch model predictive control of equation (12) and equation (13)
由图12a 和图13a 可见，当磁链不匹配引起参考电压矢量α 轴分量偏小、β 轴分量偏大时，零矢量选择区域按照左右方向增大、上下方向缩小进行变化，非零矢量则根据零矢量变化而变化，其变化范围受同步速度ω r 影响。同理，根据图12b 和图13b可知，当磁链不匹配引起参考电压矢量α 轴分量偏大、β 轴分量偏小时，上述变化则相反。同时，该结果同样表明两类代价函数对矢量选择存在差异。从最优电压矢量区域的整体偏移位置可见，两种欧氏范数代价函数下最优电压矢量区域划分同样更接近原始泰森多边形分割，因此，欧氏范数代价函数的控制效果较优。
此外，当转子角θr 位于[π/2,π]和[3π/2,2π]区间时，电机磁链与参考电压矢量分别呈负相关和正相关。此时，电机磁链对参考电压矢量的影响与电感类似，因此，图8 和图9 所示电感参数不匹配下最优电压矢量的偏移状态也可用来表示该条件下磁链不匹配影响，其变化范围同样受到同步速度ω r 影响。综上所述，磁链不匹配对参考电压矢量的影响较为复杂，本文所提可视化方法证明了磁链不匹配对系统的多种影响。
4 实验验证
为了验证本文所提可视化方法的有效性和可行性，搭建了如图14 所示HIL 测试实验平台。实验中，采样频率均为10 kHz。实验所用永磁同步电机参数见表1。
图14 HIL 测试实验平台
Fig.14 HIL test platform
为了验证本文所提方法的有效性，本节在转速环下进行电感和磁链失配时的实验对比研究。此外，为了便于在实验中更清晰地对比模型参数不匹配时模型预测控制在两类代价函数下控制误差的区别，本文定义式（17）所示总电流误差。通过研究模型预测控制在两类代价函数下的总电流误差即可对比相应的控制误差。
式中，iαref、iβref 为参考电流；iα(k)、iβ(k)为实际电流。
图15 所示为负载转矩在10 N·m 时，PMSM 在参数匹配情况下参考转速由150 r/min 突增到额定转速1 000 r/min 的转速动态响应性能。i0RMS 为电流误差有效值。
图15 参数匹配的转速环加速实验结果
Fig.15 Experimental results of the speed loop acceleration with parameter matching
图16 对比研究了PMSM 在相同的转矩、转速工况下电感参数不匹配的转速动态响应性能，其中，图16a 电感参数增大两倍，图16b 电感参数缩小一半。图17 为三种电感状态下的矢量动态变化实验结果，图中，k0 为零矢量在一个周期内的选择次数。
图16 电感失配的转速环加速实验结果
Fig.16 Experimental results of the speed loop acceleration with inductance mismatch
图17 矢量动态变化实验结果
Fig.17 Experimental results of vectors dynamic change
对比图15 和图16 可见，当电感偏大时，电流波形明显变粗；当电感偏小时，电流波形有较大畸变。由图17 矢量动态变化结果可知，电感偏大时，零矢量选择次数k0 明显减少，非零矢量选择增多。由于零矢量产生的电流变化率较小，非零矢量产生的电流变化率较大，因此，非零矢量选择的增多会导致电流谐波增大，电流波形变粗；而电感偏小时，零矢量选择次数k0 增多，考虑到零矢量产生的变化率较小，结果导致实际电流跟踪不上参考电流，且电流波形产生畸变。此外，两种情况其总电流误差有效值i0RMS 也均大于参数匹配的电流误差有效值。实验结果与可视化分析结果一致，表明电感参数偏大或偏小对系统均有较大影响。
同时，对比图15 和图16 可见，在相同条件下，PMSM 模型预测控制在两类代价函数下具有近似的转速跟随性能。然而，在动态过程中，两种欧氏范数代价函数的模型预测控制方法电流纹波稍小。对比两类代价函数下的总电流误差可见，参数匹配和失配条件下欧氏范数代价函数的总电流误差有效值均小于模和代价函数。结果表明，欧氏范数代价函数有较好的控制效果。实验结果验证了本文所提可视化方法的正确性与有效性。
图18 对比研究了PMSM 在与参数匹配相同的转矩、转速工况下，磁链参数不匹配的转速动态响应性能，其中，图18a 磁链参数增大两倍，图18b磁链参数缩小一半。对比图15 和图18 可见，在低速情况下，电机在磁链不匹配时的电流纹波与磁链匹配时近似，其总电流误差有效值i0RMS 仅稍大于磁链匹配的电流误差有效值。然而，在高速情况下，电机在磁链不匹配时的电流纹波明显较磁链匹配时大，其总电流误差有效值也明显大于磁链匹配的电流误差有效值。同时，对比图18a 和图18b 在不同代价函数下的电流波形以及总电流误差可见，欧氏范数代价函数同样有较好的控制效果。实验结果与可视化分析结果一致，表明了本文所提可视化方法的正确性与有效性。
图18 磁链失配的转速环加速实验结果
Fig.18 Experimental results of the speed loop acceleration with flux linkage mismatch
此外，为了进一步验证所提可视化方法的正确性与有效性，本文对突加负载实验进行了对比研究。
图19 给出了参数匹配时，在额定转速1 000 r/min 下电机从空载到满载（25 N·m）再到空载的动态实验结果对比。图20 所示为电机在相同的转速和加载条件下，电感参数不匹配的电流动态响应性能，其参数变化同加速实验一致。对比图 19和图20 可见，在突加、突减负载时，电机转速都分别略有降低和升高，但均能快速回到给定值。然而，对比电流纹波及总电流误差可见，电感参数失配对电机系统有明显较大的影响。同时，两种欧氏范数代价函数下的电流纹波及总电流误差有效值均较模和代价函数小。因此，欧氏范数代价函数有较好的控制效果。实验结果同样验证了本文所提可视化方法的正确性与有效性。
图19 参数匹配的转速环突加负载实验结果
Fig.19 Experimental results of speed loop sudden load with parameter matching
图20 电感参数失配的转速环突加负载实验结果
Fig.20 Experimental results of speed loop sudden load with inductance parameter mismatch
图21 所示为磁链参数不匹配时，同样在额定转速1 000 r/min 下电机从空载到满载（25 N·m）再到空载的动态实验结果对比，其参数变化同加速实验一致。对比图19 和图21 可见，磁链参数不匹配的电流纹波及总电流误差均较参数匹配时的大，这是由于加载实验在额定转速下进行，磁链不匹配对系统的影响也会较大。此外，在相同的磁链失配条件下，不同代价函数的模型预测控制在突加、突减负载时均有近似的动态响应性能。然而，对比电流纹波及总电流误差可见，两种欧氏范数代价函数下的电流纹波及总电流误差有效值同样较模和代价函数小。结果同样表明了欧氏范数代价函数有较好的控制效果。实验结果进一步验证了本文所提可视化分析方法的正确性与有效性。
图21 磁链参数失配的转速环突加负载实验结果
Fig.21 Experimental results of speed loop sudden load with flux linkage parameter mismatch
5 结论
本文结合无差拍控制原理针对 PMSM 模型预测控制中模型参数失配问题提出了一种可视化分析方法，分别研究了电阻、电感以及磁链等不同模型参数失配对参考电压矢量的关系及其影响。基于参数失配的参考电压矢量得到不同代价函数所选最优电压矢量，并利用Matlab 算法对所有参考电压矢量下所选最优电压矢量进行可视化表达。通过所选最优电压矢量的区域变化分析了不同参数失配对参考电压矢量的影响以及参考电压矢量在不同代价函数下对最优电压矢量选择的区别，为实现模型预测误差补偿控制提供坚实的理论依据。实验结果验证了所提方法的可行性和有效性。
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