0 引言
异步电机无速度传感器控制系统以其结构简单、体积小、成本低、易于维护等优点，被广泛应用于工业生产中[1]。近年来，使用自适应全阶观测器获取转速与位置信息的转速辨识方案成为主流[2]。然而，异步电机无速度传感器系统在低速发电区域稳定性较差，且对电机参数变化十分敏感[3]。
为了提高异步电机无速度传感器控制系统的稳定性与转速观测性能，现有文献做了大量的探索：
1）基于全阶观测器的信号注入法。为实现低速发电区域特别是定子电流近零频时的稳定转速观测，可在观测器中注入虚拟电压信号[4]。然而，虚拟电压注入会造成转速观测误差和转矩脉动。
2）修正转速自适应律。文献[5]通过引入电流误差的d 轴分量修正转速自适应律，并使用劳斯判据获得引入分量的取值范围，在一定程度上增强了全阶观测器的稳定性。
3）设计误差反馈矩阵。此类方法利用观测器误差反馈矩阵设计，减少甚至消除低速发电工况下不稳定运行区域[6]。为提高全阶观测器的参数鲁棒性，文献[7]对不同的反馈矩阵设计方法进行了对比和改进。然而，反馈矩阵中的四个待定参数难以统筹设计。
上述方法可在一定程度上提高基于自适应全阶状态观测器（Adaptive Full-order Observer, AFO）的无速度传感器异步电机控制系统在低速发电区域运行的稳定性。现有方法均采用稳定性理论[8]或极点配置方法[9]设计反馈矩阵。如果在全阶观测器中使用的电机参数完全准确，理论上可以将不稳定区域削减至定子电流零频线。然而，由于电机参数存在误差，现有方法无法完全消除不稳定区域。因此，异步电机无速度传感器控制系统在低定子电流频率区域仍然会失稳。
提高现有方法对参数误差的鲁棒性，提升全阶观测器在低速发电区域的稳定性，已成为亟待解决的问题。现有研究方法因无法获得实际的转子磁链信息，大多无法采用磁链误差。因此，通过已知信息构建磁链误差项，并协同电流误差与磁链误差改进反馈矩阵设计，具有一定的研究价值。
已有研究表明，异步电机与其全阶观测器之间的电流误差项由不同分量组成，且误差分量是电机参数的函数[10]。类似地，磁链误差项也可以视为不同分量的叠加[11]。基于此，文献[12]假设定子电阻和转子转速存在观测误差，通过构建磁链误差表达式重新设计了反馈矩阵和转速自适应律。然而，异步电机无速度传感器矢量控制系统对转子电阻参数摄动也较为敏感[13]，在线观测磁链误差时必须考虑转子电阻误差的影响。
为解决上述问题，本文充分利用电机状态信息，提出了一种基于多误差项协同的反馈矩阵设计方法，以提高观测器的参数鲁棒性，保证系统在低速发电区域的稳定性。本文假设转速、定子电阻、转子电阻均存在观测误差，使用多误差项解耦方法，推导出磁链误差表达式。在此基础上，协同电流误差项与磁链误差项，设计新型反馈矩阵，以满足系统稳定的必要条件。与文献[12]不同，本文所提出的磁链误差观测表达式是同步转速和转差转速的函数，对电机的实际运行工况具有良好的跟踪效果。
本文首先给出异步电机及自适应全阶观测器的数学模型，揭示传统反馈矩阵设计存在的缺陷，提出一种基于多误差项解耦的磁链误差观测方法；然后，协同电流误差项与磁链误差项，设计反馈矩阵；最后，使用2.2 kW 异步电机实验平台进行负载阶跃、转速切换、带载转速阶跃、定转子电阻失配等实验。
1 异步电机与全阶观测器模型
1.1 异步电机模型
选取定子电流与转子磁链作为状态变量，则两相静止坐标系下异步电机的数学模型为
其中
式中， is 、ψr 、 su 分别为定子电流矢量、转子磁链矢量、定子电压矢量；ωr 为转子电气角速度；Tr 为转子时间常数；Ls、Lr、Lm 分别为异步电机定子电感、转子电感、以及定、转子绕组之间的互感；Rs 和Rr 分别为定子电阻和转子电阻。
1.2 全阶观测器模型
异步电机无速度传感器矢量控制系统的全阶观测器模型可以由式（1）导出为
将式（1）减去式（2），可得误差矢量表达式为
其中
基于式（3），使用波波夫超稳定性定理即可得到转子转速的自适应律[14]为
式中，Kp 和Ki 为转速观测器的自适应增益。
1.3 传统反馈矩阵的不稳定问题
为了分析异步电机无速度传感器矢量控制系统的稳定性，基于转速自适应律式（4），将误差矢量式（3）扩展为
进而，在两相同步旋转坐标系下，针对某一确定的工作点，扩展的误差矢量可以线性化地表示为
式中，A1 为线性化误差矢量系数矩阵，具体表达式详见附录式（A1）。
基于式（6），低速发电工况下的不稳定区域边界计算式[15]为
求解式（7），可得两个有关同步转速和转子转速的等式见式（8），式（8）也为有反馈矩阵时不稳定区域的边界。
式中，l = σLsLrTrh1+RsLrTr； eω 为同步转速。
若式（8）中采用零反馈矩阵，可得传统低速发电不稳定区域的边界为
若将文献[16]中的反馈矩阵代入式（8），理论上可以使边界线L2 和L1 重合，消除式（9）中低速发电工况下的不稳定区域。然而，实际应用场景下电机控制系统中使用的参数（定子电阻、转子电阻等）与电机实际的参数无法实现完全匹配。以文献[16]中提出的反馈矩阵为例，分析传统方法对电机参数的敏感性。若定子电阻存在误差，边界线L2 变为
根据式（10）可知，即使采用反馈矩阵，由于定子电阻误差，边界线L2 依然无法完全与L1 重合。基于式（10），图1 给出了采用反馈矩阵时边界线L2随不同转速和定子电阻误差的变化示意图。从图1可以看出，边界线L2 明显偏离零平面。说明在低速发电工况下，电机参数存在误差时，不稳定区域仍然存在，导致控制系统在实际应用中失去稳定性。上述分析表明，由于电机参数误差，传统反馈矩阵设计策略无法完全消除不稳定区域，对参数误差敏感，难以满足系统稳定的必要条件。
图1 有反馈矩阵时，边界线L2 值随不同转子转速和定子电阻误差变化示意图
Fig.1 Variations of line L2 against stator resistance uncertainties and rotor speed with the feedback matrix
2 磁链误差解耦观测
传统转速观测方法在电机参数存在误差时，难以满足系统稳定的必要条件。由于转子磁链未知，现有方法无法在观测器中使用磁链误差设计误差反馈矩阵。为了在第3 节中引入磁链误差并设计多误差项协同的反馈矩阵，本节提出一种基于多误差项解耦的在线磁链误差观测方法。
2.1 磁链误差分析
假定反馈矩阵为0 对式（3）进行拉普拉斯变换，可以得到
消除式（11）中的磁链误差，可以得到无反馈矩阵下的定子电流误差表达式为
其中
且有
由式（12）与式（13）可知，定子电流误差可以视为三项误差之和：转子转速误差项、定子电阻误差项、转子电阻误差项。类似地，消除式（11）中的电流误差，也可得到无反馈矩阵下的转子磁链误差表达式为
其中
由式（14）与式（15）可知，转子磁链误差也可视为转子转速误差项、定子电阻误差项、转子电阻误差项之和。则在两相同步旋转坐标系下，定子电流误差与转子磁链误差的关系可以依下列步骤得到。
1）假设只存在转子转速误差，不存在定子电阻和转子电阻误差。基于式（12）～式（15），可得定子电流误差和转子磁链误差的比值为
为了表示误差矢量关系，其矢量比值关系由推导过程中矩阵记号变为复平面矢量记号。
2）假设只存在定子电阻误差，不存在转子转速和转子电阻误差。基于式（12）～式（15），可得定子电流误差和转子磁链误差的比值为
式中， sω 为转差转速。
3）假设只存在转子电阻误差，不存在转子转速和定子电阻误差。基于式（12）～式（15），可得定子电流误差和转子磁链误差的比值为
4）在电机实际运行过程中，转速误差、定子电阻误差、转子电阻误差同时存在。为进一步探究磁链误差表达式中不同误差项之间的关系，进而确定合理的磁链误差表达式，综合上述三种情况，引入加权复系数k1、k2、k3，可得磁链误差项表达式为
其中
将式（16）～式（18）代入式（19），可得
选择合适的权重系数k1、k2、k3，即可利用式（20）完成对转子磁链误差的在线观测。式（20）说明本文提出的转子磁链误差观测表达式是同步转速ωe和转差转速ωs 的函数，即所提出的方法可以实现对异步电机运行工况的跟踪。
2.2 权重取值讨论
转子磁链误差表达式（20）中有三个待定的权重系数。为简化分析，设
在两相同步旋转坐标系中，根据式（21）的计算，稳态下系数N1、N3 的表达式分别为
式中，ξ =Δωr/ΔRs； iˆsd 、 iˆsq 分别为d 轴、q 轴电流观测值。
基于式（22），可绘出系数N1 和N3 在不同转矩电流和同步转速下的变化情况，分别如图2 和图3所示。图中，转矩电流从0 变化至6.1A，同步转速从0 变化至150 r/min（31.4 rad/s）。根据图2 和图3，系数N1 和N3 的值与同步转速以及转差转速有关。当同步转速变小时，系数N1 和N3 的值变化幅度变小。当同步转速为零时，系数N1 和N3 的值也随之变为零。
图2 系数N1 在不同转矩电流和同步转速下的变化
Fig.2 Ratio N1 against different synchronous speeds and torque currents
图3 系数N3 在不同转矩电流和同步转速下的变化
Fig.3 Ratio N3 against different synchronous speeds and torque currents
采用系数N1 和N3，式（20）变为
也可写为
对比式（24）与式（19）可知，权重k1、k2、k3与系数N1 和N3 之间的关系为
根据式（25），选择权重系数k1、k2、k3 的取值，进而使用式（20）即可完成磁链误差在线观测。然而，式（20）中过低的同步转速会导致观测磁链误差项虚部过大，造成处理器数据溢出。因此，在实际的操作系统中需要对同步转速进行限制。
3 基于多误差项协同的反馈矩阵设计
将观测磁链误差项引入全阶观测器，本节提出一种基于多误差项协同的反馈矩阵设计方法。
3.1 多误差项协同设计
较之于式（2）中的传统全阶观测器模型，多误差项协同设计的全阶观测器同时将定子电流误差和转子磁链误差纳入设计，其状态方程可表示为
式中，G 为反馈矩阵，
采用本文所提出的方法，无速度传感器感应电机系统控制框图如图4 所示。电流内环和转速外环构成异步电机双闭环矢量控制系统，全阶观测器协同电流误差项与磁链误差项，输出估计转速与转子位置角信息，实现对异步电机的无速度传感器控制。
图4 基于改进反馈矩阵设计的系统控制框图
Fig.4 Block diagram of the control system with the proposed feedback matrix design
3.2 稳定函数最值与鲁棒性提升设计
基于式（26），带有磁链误差项的全阶观测器的扩展误差矢量表达式可线性化为
式中，A5 为带有磁链误差项的全阶观测器的线性化误差矢量系数矩阵，表达式见附录式（A2）。
要保持控制系统稳定，误差系数矩阵A5 的所有特征根均须具有负实部。对于五阶误差系数矩阵A5，其行列式的值需为负。由此可得全阶观测器式（26）稳定的必要条件为
式中，函数f (ωe,ωr)具体表达式详见附录式（A3）。
特别地，当函数f (ωe,ωr)取值为0，即为异步电电机无速度传感器矢量控制系统在低速发电区域的不稳定边界线。
针对不同反馈矩阵设计方法，利用函数f(ωe,ωr)将不稳定区域的变化绘制于图5 中。据图5 可知，函数f(ωe,ωr)是一条关于同步转速ωe 的抛物线。当参数误差存在时，现有方法并不能使不稳定边界线L2 和L1 重合，无法满足式（28）。为解决这一问题，改进设计方法通过引入常数项将函数f(ωe,ωr)沿y 轴负方向移动，使其最大值（抛物线顶点）为负。进而，保证不稳定边界线L2 和L1 重合。此外，改进设计也可以保证式（28）所示的稳定条件被满足，保证反馈矩阵的设计对参数误差有良好的鲁棒性。
图5 不同方法下的不稳定区域变化示意图
Fig.5 The unstable regenerating region under traditional method and proposed method, respectively
结合上述分析，为满足稳定的必要条件，函数f(ωe,ωr)需满足其顶点处的函数值小于零，即
式中，m1＜0，m1～m3 的表达式见附录。
为简化反馈矩阵设计过程，假设
将式（30）代入式（29）中，可得
满足式（31）的参数g3 可设计为
综上所述，改进的反馈矩阵可以设计为
式中，ϑ0＞，并且
。
采用式（33）所示的反馈矩阵可在稳定性必要条件的二次函数中引入常数项，将抛物线向y 轴负方向移动。通过调整常数项，可满足系统稳定的必要条件，提高观测器对电机参数误差的鲁棒性。
4 实验验证
4.1 实验平台介绍
为验证所提出方法的有效性，基于STM32F103 ARM 的2.2 kW 异步电机实验平台进行实验，如图6 所示，该平台使用两台同轴连接的三相笼型异步电机，分别用于测试本文所提出方法以及提供实验所需负载。实验平台所用电机额定参数见表1。实验用异步电机工作在6 kHz PWM 开关频率下的矢量控制模式。电机励磁电流设置为额定值的50%，转速自适应律Kp 设置为2.0，Ki 设置为500。
表1 2.2 kW 异步电机参数
Tab.1 2.2 kW IM parameters
参 数 数 值额定功率PN/kW 2.2额定电压UN/V 380额定电流IN/A 5.0额定频率fN/Hz 50额定转速ne/(r/min) 1 440定子电阻Rs/Ω 2.665转子电阻Rr/Ω 1.580定子电感Ls/mH 248.8转子电感Lr/mH 240.3互感Lm/mH 225.8
图6 2.2 kW 异步电机实验平台
Fig.6 IM experimental setup
4.2 负载阶跃实验
验证异步电机无速度传感器控制系统性能的一个重要方法是在低速发电工况下进行负载阶跃实验。负载阶跃对比实验结果如图7 所示。
图7 低速发电工况下负载阶跃实验
Fig.7 Performance during step load change in low speed
在图7a 中，转子转速设置为60 r/min，负载从0 开始阶跃变化，每4 s 阶跃变化-10%额定值，其全阶观测器使用文献[16]中的反馈矩阵。将异步电机同步转速标注于图中，可知传统方法下，同步转速小于0.6 Hz 时异步电机无速度传感器矢量控制系统将失稳。图8a 所示为图7a 中ωr-Te 坐标系下电机运行工况点轨迹图。图8a 中，运行工况点轨迹发散，电机控制系统失稳。
图8 ωr-Te 坐标系下电机运行工况点轨迹
Fig.8 The IM operating point trajetory in ωr-Te graphs
对比实验使用本文提出的改进反馈矩阵，实验结果如图8b 所示。将异步电机同步转速标注于图中，可知本文所提出的方法下，同步转速为0.4 Hz时系统仍然处于稳定状态。在图8b 中，可以观察到异步电机运行工况点已十分接近定子电流零频线L1，系统仍然保持稳定运行。同时，对比两者的转速估计误差可以发现，所提出的反馈矩阵的低速稳定性方法能够有效地抑制转速脉动。对比实验验证了所提出方法在长时间低频稳态工况下对系统稳定性提升的有效性。
4.3 转速切换实验
为验证本文提出的方法在低速发电区域的有效性，设置150 r/min 和-150 r/min 之间的转速切换实验，结果如图9 所示。
图9 150 r/min 至-150 r/min 转速切换实验
Fig.9 Performance during speed reversals from 150 r/min to -150 r/min
为提供更宽的观察范围，使电机运行工况点完整穿过低速发电不稳定区域并折返，检验所提出方法在不同低速区间的表现，设置±150 r/min 的转速切换指令。在±150 r/min 之间的切换时间设置为11 s，负载转矩设置为8 N·m。据图9 可知，所提出的方法在稳态和动态下均能保持转速稳定可观测。与图9a 对应的ωr-Te 坐标系下电机运行工况点轨迹如图9b 所示。运行工况点轨迹在不稳定边界线L1 附近时系统仍然保持稳定，并可以成功穿越传统不稳定区域，验证了所提出方法的有效性。
4.4 带载转速阶跃变化实验
为检验本文所提出方法在带载转速阶跃变化工况下系统的动态和稳态转速跟踪性能，进行带载转速阶跃变化实验，如图10 所示。带载工况下，转速从0 阶跃变化至120 r/min，每步阶跃时间为0.12 s，每步转速阶跃变化60 r/min。实验中，估计转速快速跟踪实际转速，异步电机无速度传感器矢量控制系统在实验中始终保持稳定。此外，在零速带载阶段，本文所提出的方法也能够保持系统的稳定性。
图10 带载转速阶跃变化实验
Fig.10 Experiments during sudden speed changes under loaded condition
4.5 电阻失配实验
无速度传感器异步电机控制系统在低速时对电阻参数变化，尤其是定子电阻变化较为敏感，当电阻参数存在误差，转速观测可能会失败[17]。为验证本文提出的方法对电阻误差的鲁棒性，分别在±30%定子电阻和±30%转子电阻误差下进行实验，结果如图11 和图12 所示。为最小化全阶观测器本身对电机参数的敏感性，系列实验在空载条件下进行。
图11 ±30%定子电阻误差实验
Fig.11 Results with ±30% stator resistance mismatches
图12 ±30%转子电阻误差实验
Fig.12 Results with ±30% rotor resistance mismatches
在图11 中，转子转速为90 r/min，分别在4～10 s 和10～16 s 注入+30%和-30%定子电阻误差，检验所提出方法对定子电阻误差的鲁棒性。由图11可知，定子电阻突变将造成估计转速瞬时波动，而后估计转速收敛。注入的定子电阻误差将导致估计转速与实际转速之间的稳态误差，但无速度传感器系统始终保持稳定，说明本文所提方法对电机定子电阻误差具有良好的鲁棒性。图12 中实验转速、负载设置、误差注入时序与图11 保持一致。由图12可知，转子电阻误差几乎没有对系统的控制性能造成影响。电机相电流和转子磁链均保持良好正弦波形，转速观测始终保持稳定。实验结果充分说明本文提出的方法对转子电阻参数误差有良好的鲁棒性。
综上所述，本文通过负载阶跃实验、转速切换实验、带载转速阶跃实验、定/转子电阻失配实验等系列实验，从不同角度验证了本文所提出的基于多误差项协同的反馈矩阵设计方法在低速发电区域运行时的稳定性、对转速指令的跟踪性能、对电机参数误差的鲁棒性。本文实验的定性对比见表2。
表2 本文实验定性分析
Tab.2 The qualitative analysis of experiments
实验类型 实验结果 实验目的 改进方法 运行工况 稳定图7a ××负载阶跃近稳态工况下验证发电运行稳定性低速发电图7b √ √转速切换 图9a 动态过程中验证发电运行稳定性 √ 低速发电 √带载转速阶跃 图10 验证改进方法动/稳态下跟踪性能 √ 低速电动 √定子电阻失配 图11 验证对定子电阻误差的鲁棒性 √ 低速电动 √转子电阻失配 图12 验证对转子电阻误差的鲁棒性 √ 低速电动 √
5 结论
本文提出了一种无速度传感器异步电机低速发电工况稳定性提升方法，提高了系统在低速发电区域运行时对电机参数误差的鲁棒性。通过推导磁链误差表达式，基于多误差项解耦，分析权重参数，将磁链误差项引入全阶观测器进行状态反馈，协同电流误差与磁链误差设计反馈矩阵。基于所提出的反馈矩阵设计，即使存在电机参数误差，也可以满足系统稳定的必要条件，提高自适应全阶观测器对电机参数误差的鲁棒性。使用2.2 kW异步电机实验平台验证了所提出方法的有效性。即使定、转子电阻存在30%误差，系统仍然可以保持稳定运行。
附 录
1.误差系数矩阵A1、A5
对式（5）进行小信号线性化，可得传统反馈矩阵下系统的五阶误差系数矩阵A1 为
其中
同理，式（27）中，基于本文提出的反馈矩阵设计方法，系统的五阶误差系数矩阵A5 为
其中
2.函数f (ωe,ωr)表达式
式（28）所示函数f (ωe,ωr)的具体表达式可以通过计算五阶误差系数矩阵A5 的行列式得到，为
其中
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