图1 电力电缆分布参数电路模型
Fig.1 Distribution parameter model of power cable
摘要 时频域反射法（TFDR）采用时频联合的方法对电缆缺陷进行定位，但定位信号时频谱中存在交叉项干扰，导致无法对电缆局部缺陷进行精确定位。该文提出采用正交匹配追踪（OMP）和伪魏格纳分布（PWVD）结合的算法，实现了对实测电缆定位信号特征提取，以及信号时频谱中交叉项干扰抑制。首先通过OMP算法对原信号进行分解；然后对分解后的子信号分别求取PWVD时频分布；最后通过对时频谱线性叠加，获得定位信号更精确的时频表达，有效地消除了交叉项干扰。搭建了10 kV交联聚乙烯电缆仿真模型进行研究，并选取了长度40 m含两个中间接头、105 m含缺陷及500 m含中间接头的XLPE电缆对算法进行实验验证。仿真及实验结果表明，OMP-PWVD改进算法能有效抑制交叉项干扰，且具有较强抗干扰能力，有效地提高了时频域反射法的定位精度。
关键词：电缆缺陷定位 时频域反射法 交叉项 正交匹配追踪 伪魏格纳分布
随着城市电缆线路网的发展，电力电缆在电力系统中的应用日益广泛。电力电缆通常安装敷设在电缆沟道内，长期位于恶劣环境中运行，可能会引发电缆局部缺陷[1-2]，严重时会导致电缆发生故障，严重影响输配电系统的运行安全。因此，电缆局部缺陷的精确定位有着十分重要的研究意义。
近年新兴的时频域反射法（Time-Frequency Domain Reflectometry, TFDR）[3]选择参数可调的高斯包络线性调频信号（Linear Frequency Modulation, LFM）作为入射信号，采用魏格纳分布（Wigner-Ville Distribution, WVD）[4]对实测入反射叠加信号进行时频处理，利用时频互相关函数对故障点进行定位。
与传统时域反射法（Time Domain Reflectometry, TDR）及频域反射法（Frequency Domain Reflectometry, FDR）相比，该方法注入信号能量更高，将缺陷处时域的微弱反射信号在时频域放大，提高电缆微弱缺陷的检出率。但当信号由多个分量叠加构成时，由于WVD不满足线性叠加原理，因此会产生严重的交叉项干扰[5]，从而对定位精度产生不利影响。已有研究提出的WVD交叉项干扰抑制方法大致分为以下几类：①利用核函数进行平滑加窗处理[6]，文献[6]针对电缆多故障系统进行研究，提出利用异质布谷鸟搜索算法实现多重信号的估计与消除，但该方法仍采用的是传统加窗算法对交叉项进行抑制，降低了自项聚集性，导致能量较小部分衰减较大，对微弱缺陷不敏感[7]；②利用经验模态分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）[8]将信号的不同分量先分离，然后再计算WVD，达到消除交叉项的目的，但该方法对信号端点处理不当时会引起模态混叠现象[9]；③求取理想自项模板，将理想自项模板与WVD结果做二维相关，实现对交叉项的抑制[10]。文献[10]提出一种基于仿射变换（Affine Transformation, AT）的交叉项抑制改进算法，利用自项与交叉项存在的特征差异进行滤波处理，在不降低自项能量的前提下，有效地消除了交叉项干扰影响，但该算法定位空间分辨率低，存在较大的定位盲区，且算法复杂度高。
针对信号时频谱中存在交叉项干扰的问题，相关学者将匹配追踪（Matching Pursuit, MP）算法应用到爆破振动信号时频谱处理中[11]。该算法可以用信号特征集中的少数向量线性组合对原始信号进行稀疏表示，从根本上解决了交叉项干扰问题。但是，目前尚无学者将该算法应用于电缆定位信号时频谱交叉项抑制研究中。
正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）[12]算法在分解时会对所选择的所有原子在每一步的时候都做正交化处理。因此，在保证误差相同时，OMP算法相较于MP算法在收敛速度上有明显的优势[13]。因此，选择OMP算法对电缆首端入反射叠加信号进行预处理。相较于WVD算法，伪魏格纳（Pseudo Wigner-Ville Distribution, PWVD）算法和平滑伪魏格纳（Smooth Pseudo Wigner-Ville Distribution, SPWVD）算法能够削弱交叉项[6]。由于SPWVD采用平滑加窗处理，使得定位信号主瓣较宽，存在部分定位盲区，而PWVD算法在削弱交叉项影响的同时能够保持良好的空间分辨率，因此选择PWVD算法求取信号时频谱。本文提出OMP-PWVD组合算法，通过搭建单缺陷电缆仿真模型对算法进行研究，并通过实验对实测电缆定位信号时频谱中交叉项干扰抑制效果进行验证。
根据传输线理论[14]，电缆线路采用分布参数电路模型表示，如图1所示。
图1 电力电缆分布参数电路模型
Fig.1 Distribution parameter model of power cable
图1中，R、L、G、C分别为电力电缆每单位长度的电阻、电感、电导和电容，各参数计算公式[15-16]分别为
（1）
（2）
（3）
（4）
式中，w为信号角频率；rc为电缆缆芯半径；rs为屏蔽层内半径；rc为缆芯电阻率；rs为屏蔽层电阻率；m0为真空磁导率；s为电介质的电导率；e为电介质的介电常数。
根据传输线理论，长度为l的完好电缆其首端反射系数[17]可表示为
（5）
式中，ZL为负载阻抗；Z0为电缆特性阻抗；
为电缆传播常数。
（6）
（7）
当电缆发生局部缺陷时会形成阻抗不连续点。根据行波理论，行波在电缆中传输时会发生一系列的折反射，电缆首端反射系数也会发生相应的改变。长度为l的单缺陷电缆信号传输模型如图2所示。采用行波法对缺陷进行定位时，仅需要信号单次折反射结果，为简化计算仅对单次折反射过程进行推导。
图2 单缺陷电缆信号传输模型
Fig.2 Single defect cable signal transmission model
根据图2，将电缆分为三段进行计算。第一段，在x=l2处的反射系数G(l2)和输入阻抗
分别[17]为
（8）
（9）
第二段，在x=l1处的反射系数G(l1)和输入阻抗
分别为
（10）
（11）
式中，g1(ω)为缺陷段传播常数；Z1为缺陷段特性阻抗。
第三段，在x=0，即电缆首端处的反射系数为
（12）
最终单缺陷电缆模型传递函数G(ω)及时域定位信号可以表示为
（13）
（14）
式中，s(t)为入射信号；y(t)为时域定位信号；FFT为傅里叶变换；IFFT为傅里叶反变换。
OMP算法[12]为了获得在包含明确物理意义前提下最为稀疏的信号表示，首先按照原子库将信号进行逐步分解，然后进行多次迭代匹配，每一次选择最为匹配的原子对信号进行近似逼近。迭代的基本流程如图3所示。
图3 OMP算法流程
Fig.3 Flow chart of OMP algorithm
在非平稳信号分析中，信号的对称形式的双线性变换
(t+τ/2)*(t-τ/2)更能表现出非平稳信号的重要特性[18]，在2.1节中得到重构信号(t)后，可以利用时频分析技术对信号进行处理。传统时频域反射法采用WVD算法获取信号时频分布，公式为
（15）
式中，t为时延。当输入信号不是单一复谐波信号的叠加时，其WVD分布不再是理想的带状冲激函数，且交叉项将更为复杂[18]。针对这一问题，通过对变量t和时延t加窗函数ψ(t, τ)=h(t/τ)，实现时频分布中交叉项的进一步抑制。由于WVD算法实际上是窗函数ψ(t,τ)=σ(t)的Cohen类时频分布，因此改进WVD最简单的方法就是对时延t构造加窗函数h(τ)，这种改进被称为伪Wigner分布，其表达式为
（16）
OMP-PWVD算法首先是采用OMP算法按照图3所示流程对实测信号进行预处理，经过K次迭代后，消除部分噪声信号干扰并分解重构信号。根据式（16）对得到的重构信号分别求取其子信号的时频分布并进行线性叠加，得到信号时频域最优特征分布，以便指导后续定位工作。其算法流程如图4所示。
图4 OMP-PWVD算法流程
Fig.4 OMP-PWVD algorithm process
基于信号在时频域分布的特性，选择高斯包络线性调频信号作为入射信号。入射信号s(t)[19]为
（17）
式中，a控制高斯分布的宽度；b为影响信号的频率带宽；
为信号频率中心；t0为信号时间中心。
考虑到电缆衰减特性[20]，由式（16）可以得到入射信号和反射信号的伪Wigner分布分别为
（18）
（19）
对入、反射信号计算时频互相关函数Csr(t)，当信号时频分布相匹配时Csr(t)取局部最大值。取时间tmx，使得Csr(t)在距离x处取极大值，即
（20）
（21）
（22）
式中，PWVDs(t,w)、Es、PWVDr(t,w)、Er(t)分别为入、反射信号时频分布和时频域能量。当t=x/n（n为信号在电缆中传播的速度）时，时频互相关函数Csr(t)达到最大值，即这一局部峰值时间，也就是局部反射信号时间中心。
本文选用高斯包络线性调频信号作为入射信号。首先通过OMP对入反射叠加信号进行稀疏表示；然后使用PWVD分布求取处理后的叠加信号；最后利用Csr(t)峰值对缺陷位置进行准确定位。
搭建长度为800 m末端开路的单缺陷电缆仿真模型，在300 m处设置长度为0.1 m的电缆受潮缺陷段。由于水的e远大于XLPE的e，当电缆发生受潮时，根据式（4）可知缺陷段电容将逐渐增大，设置缺陷段电容为正常电容1.05倍[21]。电缆仿真模型参数见表1。根据式（17）设置入射信号s(t)参数：a=1.39´1012，b=8.22´1012，f0=5 MHz，t0=5 ms[10]，其中f0为信号频率中心，w0=2pf0。电缆末端反射信号为r(t)，令y(t)=s(t)+r(t)，本文对该叠加信号进行分析。
表1 电缆仿真模型参数设置[22]
Tab.1 Parameter settings of cable simulation model
电缆参数数值 缆芯半径rc/mm4 屏蔽层半径rs/mm9.5 缆芯电阻率rc/(mW·mm)17.5 屏蔽层电阻率rs/(mW·mm)17.5 XLPE电导率s/(S/m)1´10-16 XLPE介电常数e/(F/m)2.04´10-11
图5为y(t)时频分析结果，由于WVD算法引入了双线性核函数，使得多个信号分量在时频域产生耦合形成交叉项。因此直接对入反射叠加信号求取WVD分布时，根据图5b，在图中 7.25 μs、11μs、13.25μs三处本不应该存在能量分布的地方出现交叉项干扰。对该时频分布分别采用WVD、PWVD及SPWVD求取时频互相关，得到图6所示定位结果。
图5 y(t)时频分析结果
Fig.5 y(t) time-frequency analysis results
图6 基于WVD、PWVD、SPWVD定位谱图
Fig.6 Mapping spectra based on WVD, PWVD and SPWVD
由图6可知，该单缺陷电缆定位谱图中WVD无法定位缺陷位置；PWVD及SPWVD定位缺陷位置分别为300.501 m、316.527 m，两种方法能有效定位缺陷位置，但仍存在较多交叉项对定位造成干扰。SPWVD算法在时域和频域上同时对信号进行加窗处理，虽然交叉项抑制效果最好，但算法在时域和频域上同时加窗处理，在一定程度上导致信号分辨率下降，使其主瓣宽度最大，定位分辨率低，存在部分定位盲区，且定位精度不如PWVD。
基于此，采用OMP算法对y(t)进行预处理。对信号进行OMP迭代分解后，可准确获得三个高斯分量s、r1和r2的波形曲线，如图7所示。对各分量分别求取时频分布后线性叠加，便得到信号真实的时频分布，如图8所示。
图7 OMP分解子波
Fig.7 OMP decomposition wavelet
图8 时频分布
Fig.8 Signal time-frequency distribution
对比图5和图8，OMP算法处理前叠加信号时频谱中本不应有能量存在的地方出现了交叉项，而经过OMP算法对信号进行原子重构后，由于原子间相互独立，分解后得到的子信号亦是相互独立的，因此获取信号时频谱时不存在交叉项影响。图9为分别采用OMP-WVD、OMP-PWVD及OMP-SPWVD算法处理后的电缆定位结果。
图9 基于OMP-WVD、OMP-PWVD、OMP-SPWVD定位谱图
Fig.9 Location spectrum based on OMP-WVD, OMP-PWVD and OMP-SPWVD
由图9定位结果可知，经过OMP算法处理后，三种原始的时频分析方法均能有效地消除交叉项的影响。但图中SPWVD处理后明显存在较大定位盲区，WVD及PWVD均能很好地定位缺陷位置，定位结果分别为312.6 m、308.2 m。鉴于PWVD在保持了较好定位分辨率的同时具有较高定位精度，因此采用OMP-PWVD对电缆缺陷进行定位。
为研究在不同信噪比（Signal to Noise Ratio, SNR）下的定位效果，向原始信号中加入信噪比为10、5和0 dB的白噪声，定位信号时域波形如图10所示。
图10 SNR=10、SNR=5、SNR=0时域波形
Fig.10 SNR=10, SNR=5, SNR=0 time domain waveforms
可发现随着噪声信号幅值增加，缺陷处以及电缆末端反射信号几乎完全淹没在噪声信号中，仅根据信号时域波形，无法准确地定位缺陷以及电缆末端位置。将时域信号转换到时频域，得到消除交叉项前的定位结果如图11所示。在噪声信号及交叉项干扰的情况下，TFDR无法准确地定位缺陷位置。
由3.2节可知，首先采用OMP算法对信号进行分解得到三个子信号s、r1、r2，然后采用PWVD算法分别对三个子信号求取时频分布，再通过时频互相关幅值对缺陷位置进行精确定位。图12所示为不同SNR下OMP-PWVD定位结果，可发现信噪比为10、5以及0 dB时，定位结果分别为300.25、298.92、301.58 m，定位误差小于0.16%。经OMP-PWVD算法处理后，随着信噪比降低（即噪声信号幅值增加），虽然定位幅值有所下降，但仍能准确地定位缺陷位置，具有较强的抗噪声干扰性能。
图11 基于WVD、PWVD、SPWVD定位谱图
Fig.11 Location spectra based on WVD, PWVD, SPWVD
图12 不同SNR下OMP-PWVD定位结果
Fig.12 OMP-PWVD positioning results under different SNR
在不同信噪比条件下，OMP算法实现了信号的原子重构，消除了部分噪声信号对原信号的干扰，使得OMP-PWVD算法在抑制交叉项的同时，提高了缺陷定位效果，且具有较强的抗干扰能力。
为验证OMP-PWVD算法在电力电缆缺陷定位中的测试效果，在实验室搭建了40 m 10 kV XLPE单相电力电缆测试平台进行验证。该40 m电缆在距测试端10 m、30 m处各存在一中间接头，其中30 m处为受潮中间接头，实际测试电缆样品如图13所示。电缆时频域反射法测试系统如图14所示，该系统由信号发生器、示波器以及电缆平台构成。图15所示为示波器采集到的40 m电缆时域波形。
电缆中间接头的单位电容值往往小于电缆本体电容值，使得中间接头阻抗大于电缆本体阻抗，从而在接头处形成阻抗不连续点，由1.2节原理，所提方法能应用于电缆中间接头的定位。根据3.3节可知，OMP-PWVD算法具有较强的抗噪声干扰能力，因此未对实验所得测试波形进行降噪处理。经过OMP-PWVD算法处理后得到的定位谱图如图16所示，对于该40 m单相电缆，两个中间接头定位结果分别为12.14 m、30.67 m，定位误差均在2.14 m以内，小于5.35%，因此该方法能较好地应用于实际电力电缆多接头定位。
图13 40 m实际测试电缆样品
Fig.13 40 m actual test cable sample
图14 TFDR测试系统
Fig.14 TFDR test system
图15 时域测试波形
Fig.15 Time domain test waveform
图16 40 m电缆定位谱图
Fig.16 40 m cable positioning spectrum
采用实验室长500 m的15 kV单相电力电缆（型号YJLV-8.7）对OMP-PWVD算法进行长电缆缺陷定位实验验证。该电缆在距首端180 m处存在一中间接头，如图17所示。图18为示波器采集所得500 m电缆时域测试波形。
图17 500 m实际测试电缆样品
Fig.17 500 m actual test cable sample
图18 时域测试波形
Fig.18 Time domain test waveforms
经过OMP-PWVD算法处理后得到的定位谱图如图19所示，对于该500 m单相电缆，定位结果为181.42 m，定位误差在1.42 m以内，小于0.284%，因此该方法能较好地应用于长电缆缺陷定位。
图19 500 m电缆定位谱图
Fig.19 500 m cable positioning spectrum
为验证所提方法的优越性，采用实验室长105 m的10 kV三相电力电缆（型号YJLV-22）对OMP-PWVD、OMP-WVD及AT-PWVD算法进行缺陷定位对比实验。该电缆在距首端46 m处存在一铜屏蔽腐蚀缺陷，如图20所示。图21为加入20 dB白噪声信号后，示波器采集所得500 m电缆时域波形。
图20 电缆铜屏蔽腐蚀缺陷
Fig.20 Corrosion defect of cable copper shield
图21 时域测试波形
Fig.21 Time domain test waveforms
铜屏蔽层腐蚀导致该段电缆本体特性阻抗下降，小于本体特性阻抗，从而产生阻抗不连续点，因此信号会在缺陷处发生反射。直接采用OMP-PWVD、OMP-WVD及AT-PWVD三种算法对该含噪声信号的时域信号进行处理，得到电缆缺陷定位对比如图22所示，定位结果分别为46.37、45.28、45.42 m，定位误差均在1 m以内，小于1%。结果表明，上述三种算法均可以有效地定位电缆铜屏蔽腐蚀等缺陷。
图22 105 m电缆定位谱图对比
Fig.22 Comparison of 105 m cable positioning spectrum
由于加入了信噪比为20 dB的白噪声，导致AT-PWVD算法定位曲线存在较大幅值的干扰峰，相比之下，另外两种算法均采用OMP对信号进行预处理，所得定位曲线均无干扰峰存在，说明OMP算法存在一定的抗噪声干扰性能。且所提OMP-PWVD算法在具有较高定位幅值的同时能更精确定位缺陷位置，且定位分辨率较高。
针对传统TFDR方法中存在交叉项干扰的问题，本文提出了一种时频域反射的OMP-PWVD电缆缺陷定位算法。
1）OMP算法利用原子库中相互独立的原子对信号进行原子重构，分解得到相互独立的子信号，从根本上解决了多分量信号进行WVD分布存在交叉项影响的问题。
2）OMP算法实现了定位信号的稀疏化分解，具有较高的抗噪性能，OMP-PWVD算法相较于传统的求取信号时频谱的方法能获得更真实的定位信号能量分布。
3）通过对40、105和500 m电缆进行实验验证，OMP-PWVD算法提高了传统TFDR方法的定位精度，实现了对电缆单缺陷（中间接头、铜屏蔽腐蚀等缺陷）及多缺陷的有效定位，且具有较强的抗噪声干扰能力。
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Abstract The time-frequency domain reflection method (TFDR) uses the time-frequency joint method to locate the defects, and the traditional time-frequency analysis method is used to obtain the location signal. There is cross-term interference in the time spectrum, resulting in interference peaks in the final positioning curve, which can not accurately locate the local defects of the cable. The orthogonal matching pursuit (OMP) algorithm is proposed to reconstruct the acquired superimposed signal, and the pseudo-Wegner distribution (PWVD) algorithm is used to obtain the time-frequency distribution of the reconstructed sub-signal, so as to obtain the optimal feature distribution in the time-frequency domain of the signal, so as to achieve the feature extraction of the measured cable positioning signal and the suppression of cross-term interference in the signal time-frequency spectrum.
Firstly, the Gaussian envelope linear frequency modulation signal is used as the incident signal, and the reflected superimposed signal is obtained according to the transfer function of the single defect cable model. Because the traditional time-frequency domain reflection method uses Wigner distribution (WVD) to calculate the time-frequency spectrum of superimposed signals, the Wigner distribution is no longer an ideal banded impulse function, and the cross terms are more complex. To solve this problem, the OMP algorithm is used to decompose the original superimposed signal, and the PWVD time-frequency distribution is obtained for the decomposed sub-signals; Then the time-frequency spectrum of the obtained sub-signal is linearly superimposed to obtain a more accurate time-frequency expression of the positioning signal, so as to eliminate the cross-term interference; Finally, time-frequency cross-correlation function (TFCC) is used to accurately locate the defect location. The power cable defect model with a total length of 800 m and defects at 300 m is simulated. The OMP-WVD, OMP-PWVD and OMP-SPWVD algorithms are used to process the data respectively. The positioning results are shown in Figure 9.
Comparing the positioning results of the three methods, it is shown that the three original time-frequency analysis methods can effectively eliminate the influence of the cross term after the OMP algorithm is processed, but compared with the two time-frequency analysis methods of WVD and SPWVD, PWVD has higher positioning accuracy while maintaining better resolution. Then, under the condition of white noise with signal-to-noise ratio of 10, 5 and 0 dB respectively, the OMP-PWVD algorithm is used for processing, and the positioning results are shown in Figure 12. The results show that under different SNR conditions, the OMP algorithm realizes the atomic reconstruction of the signal, eliminates the interference of some noise signals on the original signal, and makes the OMP-PWVD algorithm improve the defect location effect while suppressing the cross terms, and has strong anti-interference ability.
Finally, an experimental platform for defect location of 10 kV XLPE cable with a length of 40 m and two intermediate joints, 105 m with corrosion defects of copper shielding layer and 500 m with intermediate joints was built in the laboratory to verify the proposed algorithm. The experimental results show that the improved OMP-PWVD algorithm can effectively suppress cross-term interference, and has strong anti-interference ability. It can effectively locate single defect and multiple defects, and improves the positioning accuracy of time-frequency domain reflection method.
keywords：Cable defect location, time-frequency domain reflection method, cross terms, orthogonal matching pursuit, pseudo Wigner-Ville distribution
DOI:10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220836
中图分类号：TM76
国家自然科学基金（51477106, 52107158）和四川省科技厅应用基础研究计划（2021YJ0538）资助项目。
收稿日期 2022-05-16
改稿日期 2022-06-14
操雅婷 女，1997年生，硕士，研究方向为电力设备状态监测等。E-mail：cyting72@163.com
周 凯 男，1975年生，教授，博士生导师，研究方向为电缆绝缘状态检测与修复等。 E-mail：zhoukai_scu@163.com（通信作者）
（编辑 赫 蕾）