的供应曲线最大化总收益。值得注意，经典策略竞标模式中，供应曲线的各段容量为已知参数而非优化变量，因此只有供应曲线的价格为优化变量[38]。上层模型通常可表示为摘要 在实时电力市场中，发电商可以通过策略报价提升收益，但是如何合理估计竞争对手的竞标行为，仍有待进一步研究。对此改进了经典的发电商策略竞标模型。首先，基于行为金融学中的“BSV有限理性模型”构建竞标对手行为模型，反映竞标对手作为“现实人”存在认知偏差这一现实。其次，考虑“分段点优化”竞标模式特点，建立了计及BSV有限理想模型和供应曲线分段点优化的发电商策略竞标模型，以期进一步提升竞标收益。该模型为双层优化模型，下层模型模拟实时市场出清，上层模型最大化发电商收益。它可通过库恩-塔克（KKT）条件、强对偶定理和特殊顺序集等方法转换为可由求解器直接求解的单层优化问题，即混合整数线性规划问题。最后，对具体算例进行分析，与估计对手非策略、策略报价的策略竞标模型相比，发电商的收益增加20%～30%。算例验证了采用BSV有限理性模型估计对手行为的有效性，证明了基于分段点优化的竞标模型可以进一步提升发电商的收益。这一研究对设计者完善市场规则同样具有借鉴意义。
关键词：实时市场 策略竞标 BSV有限理性模型 分段点优化竞标模式 双层优化模型
实际的电力批发市场一般是不完全竞争的[1]，发电商可以通过策略报价影响出清电价来增加收益[2]。如何根据市场规则来优化发电商的报价策略被称为策略竞标问题。发电商的报价策略研究与市场机制研究是相辅相成的：发电商根据现有市场规则进行策略竞标，而发电商的报价策略是检验市场机制设计合理性的重要依据[3]。随着国内电力现货市场开始着手完善市场架构和市场机制设计，发电商的策略竞标问题具有实际的研究意义[1]。
很多学者针对市场参与者的策略竞标做了大量研究工作，主要分为三类：①基于预测市场出清电价的报价策略[4-5]，但适用于价格接受型市场参与者，具有一定的局限性；②基于博弈论的方法，构建博弈均衡模型以求解最优报价策略[6-7]，但此类研究通常要求发电商能够获取全部竞争对手信息，缺乏对对手竞标行为的建模；③通过估计竞争对手的竞标行为来有针对性地优化自身的报价策略[8-9]，但假设对手竞标行为服从某特定的概率分布。
综上所述，对于发电商策略竞标问题，有必要进一步研究如何更合理地建模对手的竞标行为，从而优化发电商的竞标策略，提升收益。如前所述，绝大多数相关研究都基于传统经济学观点，采用完全理性的“经济人”模型来建模对手的竞标行为。这类传统观点认为，作为“经济人”的市场参与者具有完全理性，依据效用最大化原则进行决策[10]。但实际中的市场参与者是“现实人”：并非完全理性[11]，报价会受到自身心态的影响（如“反应不足”和“反应过度”等[12]）。行为金融学将之称为“有限理性模型”。相比于“经济人”模型，采用有限理性模型建模市场参与者的竞标行为更接近现实。
现有研究采用的有限理性模型通常有两类：第一类采用演化博弈模型[13-14]反映参与者的有限理性，研究市场参与者在归纳学习过程中达到演化稳定均衡状态，但这类模型主要用于多群体决策问题，假定同一群体中的对手是同质的，不能直接用于估计不同对手的竞标行为，且忽略许多因素对演化博弈均衡的影响。第二类则是针对有限理性的三个决策特性建模：①具有变化的风险偏好[15-16]，但现有研究主要针对价格接受型市场参与者；②决策遵循满意度原则[17]，而发电商策略竞标只以经济效益最大化为目标，不需要考虑“满意度原则”；③具有不可避免的预测偏差（即认知偏差），采用如锚定行为[18]、Barberis, Shleifer, Vishny（BSV）有限理性[19]等模型描述市场参与者不可避免的认知偏差。其中，N. Berberis等提出的BSV有限理性模型，从代表性经验法则、锚定与调整法则两大经验偏差出发，充分考虑了参与者对市场的预测过程中的启发式偏差，可以直接用于估计对手的竞标行为。
此外，现有市场通常采取“发电侧报量报价”的模式：市场参与者既可以锁定电量分段而仅调整申报电价，也可以在优化申报电价的同时优化供应曲线的电量段划分[20]（即“分段点优化”竞标模式）。对于分段点优化的研究，文献[21]通过模拟市场出清过程修正申报电量；文献[22]提出了售电公司的最优分段报价比例策略；文献[23]采用单纯形法和博弈论纳什均衡解来确定每段的竞标电量。但这些研究通过模拟市场出清结果修正分段点，所得结果受市场模拟算法的影响较大，难以直接得到最优的分段点，且未考虑优化报价曲线总段数。为解决此问题，文献[24]基于出清电价进行最优产量决策，将最优产量值作为分段点，均匀划分分段点前后的两段容量。文献[25]通过等比例缩小鲁棒价格区间进行多次鲁棒优化计算得到竞标曲线。文献[26]结合两阶段鲁棒优化算法生成了电力实时市场竞标曲线。但上述研究均基于出清电价来优化供应曲线，假设市场参与者是价格接受者。针对上述不足之处，文献[27]推导证明了产消者的最优竞标策略，并发明了一种算法求出最优竞价曲线的所有分段点，但该研究只适用于PJM等可以接受分段线性函数报价的电力市场[28]，仍有部分市场接受分段阶跃函数报价，如CAISO电力市场[29]。
现有分段点优化策略仍存在不足：①部分研究通过迭代修正分段点，存在因初值设置不合理而达不到纳什均衡，只能被迫进入下轮交易的可能性，需要直接优化求解分段点；②部分研究未考虑优化报价曲线总段数；③大多数研究仅适用于价格接受型市场参与者；④部分研究没有考虑到允许市场参与者申报分段阶跃形式报价曲线的市场机制。
本文针对经典的发电商策略竞标模型提出两点改进：①基于BSV有限理性模型建模对手的竞标行为，反映竞标对手在决策过程中存在代表性偏差、保守性偏差等认知偏差这一现实；②建立发电商的供应曲线分段点优化策略竞标模型，通过对供应曲线分段点的直接优化提升发电商的收益。然后，基于对偶理论，将所建立的策略竞标双层优化模型转换为可由常见求解器直接求解的单层优化模型。在仿真部分，通过比较不同场景下的市场出清结果，验证了采用有限理性模型估计对手行为的有效性，证明了所构建的分段点优化竞标模型可以进一步提升发电商收益。
经典策略竞标模型[7, 30-31]假设发电商能够获知自身和对手的发电和报价数据，以及电力系统网络相关的数据（例如网络拓扑和线路参数）。
关于对手的发电和报价数据：现有市场会定期公布电价、电量、市场成员报价等信息，如美国德州市场、北欧电力市场，以及国内处于蓬勃发展时期的四川、江苏以及南方电力现货市场[32]等。因此，发电商可以获知对手的发电和报价数据。
关于电力系统网络相关数据：经典策略竞标模型通常假设采用固定的电力网络，并表示为直流潮流模型，认为市场足够成熟，发电商能够获取大多数系统物理参数。现有电力系统网络数据通常是不完整的，近期有一些研究针对部分可观的市场信息反推网络拓扑、参数等信息，具体可参考文献[33-35]。这些研究基于逆向优化、数据驱动等方法，均可以获取电力网络相关的数据。
但本文为突出对手有限理性决策的重点，沿用经典竞标模型的假设来构建模型。
由于发电商习惯将成本曲线、边际成本曲线处理成分段线性形式[36]（例如美国PJM市场允许发电商以不超过十分段的方式竞标[37]），因此后文将采用分段线性形式的供应曲线和分段常数微增成本曲线（即分段边际成本曲线）进行建模和仿真。
假设发电商采用分段报价的方式进行竞标，并可根据先前的中标情况调整其在实时市场上的投标价格[37]。于是，经典的发电商策略竞标问题[31]可表述为：发电商基于已知的市场信息，通过模拟市场交易结果，确定可最大化收益的供应曲线。该问题通常可由下述双层优化模型表示[30]。
在上层问题中，拥有多台机组的发电商通过优化各机组的供应曲线最大化总收益。值得注意，经典策略竞标模式中，供应曲线的各段容量为已知参数而非优化变量，因此只有供应曲线的价格为优化变量[38]。上层模型通常可表示为
（1）
（2）
（3）
（4）
式中，上标SG表示策略发电商的相关变量；
、
和
分别为机组i第b段供应曲线的报价、中标电量和边际成本；
为机组i所在节点n的节点电价，其与的乘积即为机组i第b段中标电量带来的收入；
、
分别为报价的上、下限。
目标函数（1）为最大化发电商利润，由各机组在实时市场上的中标量、机组i的节点电价和边际成本确定；约束（2）代表机组i报价在最高最低限价之内[21]；约束（3）代表机组i的报价为递增报价[39]；约束（4）代表机组
的报价高于边际成本。
下层问题为
时刻的实时市场出清问题。换言之，这是发电商根据已有信息模拟独立系统运营商（Independent System Operator, ISO）层面的实时市场，以确定不同报价策略下自身的中标电量、节点电价，从而供上层问题确定最优报价策略，某种程度上可视为对节点电价和策略发电商报价关系的“预测”。显然，上层问题的优化变量是下层问题的参数。基于常见的实时市场的分段报价函数模型[36]，下层问题通常可建模如下。
目标函数为
（5）
约束为
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
式中，上标OG用来标识竞标对手的相关变量；
为对手所拥有的机组j在t时刻的第b段报价；
、
分别为对手机组
第
段报价的发电量和负荷
的用电量；
为供需平衡约束的对偶变量；
、
分别为发电商机组i和对手机组j第b段报价的功率上限；
、
分别为发电商机组和对手机组j第b段报价的功率下限，除第一段取值为机组的最小技术出力外，通常设为零[21]；
、
分别为发电商机组和对手机组第段报价的初始出力，即上一时段的发电量，在当前时刻为已知参数；
、
和
、
分别为机组i、j每个时段功率增加和减少的最大值；
为线路
对于节点
的分布因子；
为节点n上机组与负荷的集合；
、
分别为线路的最大、最小传输容量。
目标函数（5）为最小化发电商报价费用，是电力市场常用目标[40]；约束（6）为供需平衡；约束（7）、式（8）为发电商机组i和对手机组j的功率上下限约束；约束（9）、约束（10）分别为发电商机组和对手机组的爬坡约束；约束（11）为线路传输功率容量约束。
上层问题目标函数中的节点电价与下层问题的对偶变量关系为[41]
（12）
式中，
、
分别为约束（11）的对偶变量。
需要指出，上述模型同样适用于含高比例可再生能源的新型电力系统，可以采用文献[31]中的方式多场景建模可再生能源机组出力与对手报价的不确定性。
上述经典策略竞标模型有两个可改进之处：①竞争对手是“现实人”，可以采用有限理性模型估计对手机组的竞标价格；②考虑优化供应曲线的分段点以谋取更大利润。
1.3.1 估计对手机组竞标价格
易知式（5）中对竞标对手机组j报价
的估计将影响发电商制定自身的竞标策略。关于对手机组的竞标价格，现有研究通常假设对手以发电成本竞标[42]或者假设对手竞标行为服从某特定的概率分布[43]。显然，前者忽略了对手进行策略报价的可能性，后者面临参数选取的主观性较强等问题。对此，本文借鉴行为金融学理论，建立基于BSV有限理性模型的对手竞标行为模型，解决了参数设定可能过于主观的问题。
采用BSV有限理性模型对对手竞标行为进行建模的依据在于：随时间推移，发电商通过ISO公布的中标结果可以逐渐积累其他发电商参与市场的数据。例如，观察对手机组的竞标和中标历史，发电商有可能猜出竞标规律（机组会基于
时刻的中标结果，修正时刻的报价，形成当前时刻的报价），并以此来估计对手机组在第段的报价。这在数学上可表示为
（13）
式中，
为机组在
时刻的第段报价；
为时刻的调整量；
包括时刻的市场交易结果、所有市场参与者报价等信息。将在第2节介绍如何基于BSV有限理性模型估计期望
。
1.3.2 供应曲线分段点优化
经典策略竞标模型中，策略发电商是在固定各段容量的情况下，调整申报电价。但也可以在申报供应曲线时，调整申报电价的同时优化供应曲线的分段点以谋取更大利润。将在第3节介绍如何构建策略发电商供应曲线的分段点优化模型。
本节将基于行为金融学中的BSV有限理性模型建立对较为客观的估计。这一估计的数学实质是构建关于“反应不足”、“反应过度”两种典型心态模型的马尔可夫决策过程[12]，即BSV有限理性模型，以此来合理估计对手在观察市场动态变化后受心态影响而进行的报价调整。为便于理解，基于这一模型估计对手竞标行为的过程如图1所示。发电商首先基于历史交易结果（如
）估计对手的历史报价，分析对手的竞标规律，建立竞标过程中对手的心态模型；然后，根据心态模型估计对手时段的报价，进而模拟市场出清过程，估计出清电价
，从而确定最优报价策略。
关于策略竞标过程中对手的心态模型：假设在时刻有消息
（例如该时刻的市场出清结果）到达，其中
和
分别表示利好（即中标）和利空（即未中标）。“反应不足”和“反应过度”是从观察者角度建立的关于投资者在收到消息
后对未来t时刻的投资收益
的两种典型心态模型。其中，“反应不足”指的是投资者收到利好消息后的预期投资收益不低于收到利空消息后的预期投资收益，即
[12]；“反应过度”则恰好相反，即
[11,44]。需要注意，根据行为金融学，
代表“恰好反应”，表明交易者处于完全理性状态。由于实际中的市场参与者基本都是“现实人”，很少处于完全理性状态，因此本文在数学推导过程中将这一情况归入中，以简化计算。
图1 策略发电商估计对手竞标行为的过程
Fig.1 The process of the strategic generator's estimating opponents' bidding behavior
由于实际市场参与者并非完全理性的“经济人”，因此他们接收
后进行的市场报价
会受到上述心态的影响，在上一时刻的报价
上进行调整。这一关系可表示为
（14）
式中，为时段较时段报价的变化量。根据现实，假设相比于只能增加或者减少整数个货币单位
（例如
美分），因此是离散变量。
对于观察者而言，是受当前消息、投资者心态影响的离散随机变量，可表示为
，其中随机变量
表示报价变化份数，
、
分别表示报价减少、增加
单位。报价表达式（14）可改写为
（15）
设
为已知情况下的时段报价的期望，则
（16）
基于附录的马尔可夫模型，可以算出，有
（17）
式中，
为关于报价变化的系数，
；
、
分别为状态转换矩阵、
时刻状态变量，为已知量，其计算过程可见附录。
本节在经典的发电商策略竞标模型的基础上，建立计及BSV有限理性模型和分段点优化的策略竞标模型：通过有限理性模型估计对手行为，并直接优化供应曲线的分段点及总段数
，建立供应曲线分段点优化的策略竞标模型。
在分段点优化竞标模式中，发电商通过优化分段点以获取更大的收益，供应曲线各分段长度（即段容量）由固定参数变为优化变量。段点优化模式下的供应曲线与分段常数微增成本曲线如图2所示。
图2 分段点优化模式下的供应曲线与分段常数微增成本曲线
Fig.2 Supply curve in breakpoints optimization mode and piecewise constant incremental cost curve
由图2所示，该模式具有以下四个特点：
（1）供应曲线在分段常数微增成本曲线上方。
（2）同一出力在供应曲线、分段常数微增成本曲线上对应的容量段标号不一致。
（3）供应曲线的两个连续申报电量之间的容量差需要大于某一确定参数值，且最后一段的申报电量不高于额定有功功率。
（4）计算收益时，中标电量对应的容量段标号为供应曲线的段标号，例如第
段。但如图2所示，该段供应曲线可能横跨两个分段常数微增成本曲线分段（第
、
段），这给计算收益造成一定困难。
为表示上述特点，引入变量
、
分别表示供应曲线、分段常数微增成本曲线的前
段、前
段容量之和，其中
。供应曲线的段数只要不超过市场允许的最高段数即可，不一定与分段常数微增成本曲线的段数一致。
如图2所示，特点（1）、（2）表明供应曲线第段的申报电价
（即式（3）～式（5）中）应不低于下方的分段常数微增成本曲线第段的价格
，即
（18）
根据数学建模理论[45]，可将式（18）这一约束写为混合整数形式，有
（19）
（20）
（21）
（22）
式中，
为0-1变量，取值为1代表第个申报电量在区间
内；为0则含义相反。式（19）表示第k个申报电量只能位于分段常数微增成本曲线的一个容量段上；式（20）表示报价不低于成本；式（21）表示前k个段容量和的上、下限；式（22）表示申报电量只有“在或不在某一段容量段上”这两种状态。
针对特点（3），需要满足
（23）
（24）
式（23）表示供应曲线的最后一个申报电量不高于机组有功功率
；式（24）表示各申报电量应有一定的区分度，即各段容量不能小于机组额定有功功率与最低技术出力
之差的比例
，本文取为5%[20]。
最后，为解决特点（4）带来的计算困难，可采用附录中的式（A6）替换原来的目标函数（1），同时补充附加约束（A7），具体推导见附录。
下面说明如何在1.2节经典策略竞标模型的基础上进行改造，得到本文所提出的策略竞标模型。为节约篇幅，重复的公式不再列出，而是将公式编号列于表1。
和1.2节中的经典模型进行比较可知：①本文模型在上层问题中直接优化供应曲线的分段点，因此加入了优化变量、、，以及约束（19）～约束（24）、式（A7）（由于约束（19）～约束（22）已涵盖了约束（4）的内容，故此处无需再列写约束（4））；②本文下层模型依然模拟市场出清过程，目标函数在形式上和式（5）一致，但是对手竞标价格由式（13）和第2节的有限理性模型算出，以反映对手受心态影响难以做到完全理性决策的现实；③本文模型得到的最优竞标策略由、、
、等优化变量描述。但是本文模型在数学上仍然是一个双层优化模型，需要进一步转换为可由求解器容易解出的单层优化模型。
表1 本文所提出的策略竞标模型
Tab.1 The strategic bidding model proposed in this paper
上层问题目标函数式（1） 上层问题约束式（2），式（3），式（12），式（19）～式（24），式（A7） 上层问题优化变量（即），, ， 下层问题目标函数式（5） 下层问题约束式（6）～式（11），式（13），式（17） 下层问题优化变量
3.2节所列出的双层优化模型可表示为
（25）
式中，
为上层问题的优化变量；
为上层问题目标函数，
为其参数，包括下层问题变量
和对偶变量、
；
、
、
分别为上层目标函数中、、的系数矩阵；
与
、
与
分别为上层约束的系数矩阵、常数项列矩阵；、
为下层问题的优化变量；
与
为下层目标函数中、的系数矩阵；
、
、
与
为下层约束的系数矩阵；
与
为常数项矩阵；、分别为下层等式约束、不等式约束的对偶变量。
该问题是一个双层线性优化问题，可利用下层问题的最优性条件[46]将其转变为单层问题，具体过程可见附录。转换后的单层问题中存在两类非线性项，可利用强对偶定理线性化第一类非线性项
（见附录式（A21）、（A22）），利用特殊顺序（Special Ordered Sets of type 1, SOS1）线性化第二类非线性项（见附录式（A10）～式（A19））。最后，原双层优化模型转变为以下形式。
目标函数为
（26）
约束为式（2），式（3），式（6），式（12），式（13），式（17），式（19）～式（24），式（A7）～式（A20）。
式中，
、、、、、
、
、
、
、
、
、
、
、、、（即）、、、为单层优化问题的优化变量。虽然上层问题引入了0-1变量，但该策略竞标模型是一个混合整数线性规划问题，可以被商用求解器，如Gurobi，直接求解。
本节验证所建立的策略竞标模型的有效性并展示其对市场出清结果的影响。仿真软件为Matlab 2020a，运行环境为搭载Intel Core i7TM的16 GB RAM的台式机。采用IEEE 118节点系统，设置所有线路的传输容量均为1 000 MW。机组参数[47]见表2，并设置爬坡上限为120 MW，其中S1表示策略发电商，O1～O6表示S1的对手，通常为非策略发电商，其中O1～O4在反应不足、反应过度两种心态之间转换，但O3偏向于反应不足，O4偏向于反应过度，O5只反应不足，O6只反应过度，机组参数[48]可见表3。
、
分别接近取值下限0、1/2时，表示参与者只有反应过度这一种心态模式；同理，当、分别接近取值上限1/2、1时，市场参与者只有反应不足这一种心态模式。机组S1、O1～O6分别分布在节点18～24。、分别设为100 $/(MW∙h)、0 $/(MW∙h)。设置总负荷电量为850 MW，负荷均匀分布在节点32、33、115、116。由于负荷不参与市场报价，为衡量社会福利的变化，假定负荷对电能的边际效用为100 $/(MW∙h)。此外，设置上一时段S1、O3～O6机组的出力均为50 MW，O1、O2机组的出力为80 MW。
表2 机组参数
Tab.2 Parameters of the generators
机组()/MW()/MW()/ MW S1200500.021 346.676213.1120 O1,O215037.50.035 641.332200.0120 O3～O6180450.029 643.332240.0120
表3 所有对手的BSV有限理性模型参数
Tab.3 All opponents' parameters of bounded rationality model of BSV
参数O1O2O3O4O5O6 1/31/201/401/2 3/41/23/411/21 0.50.50.70.310
为验证所建立的策略报价模型的有效性，设定发电商S1在市场中为高成本机组，只有通过策略竞标才有望提升中标电量。设定当市场中存在多个边际机组时，处于边际的中标量平均分配给各边际机组。本节采用控制变量法探究所提出的两点改进方案对发电商竞标结果的影响：①在5.1节中，假设策略发电商在经典策略竞标模型的基础上仅考虑有限理性竞标对手，此时假定所有发电商供应的总段数均为5段，分段点为额定功率的等分点；②在5.2节中，策略发电商不仅考虑有限理性竞标对手，同时还采用了供应曲线分段点优化策略。
为探究发电商采用BSV有限理性模型建模对手竞标行为来策略竞标的效果，仿真以下四种场景：
（1）场景1：发电商S1不做策略报价，与对手O1～O6均以边际成本报价。
（2）场景2：发电商S1进行策略报价，估计O1～O6以边际成本报价。
（3）场景3：发电商S1进行策略报价并按照经典策略竞标模型来估计O1～O6的报价策略，同时O1～O6在实际中也按照S1的估计进行报价。
（4）场景4：发电商S1进行策略报价并以有限理性模型估计O1、O2的竞标行为，同时O1～O6在实际中也按照S1的估计模型进行报价。其中，有限理性模型对应的马尔可夫过程参数[12]为：
；
、
分别取0.1，0.3；
、
均取0，其他参数可见表3。
分别从机组的中标电量、中标收入、利润、社会福利等方面比较各场景的仿真结果，见表4，其中中标收入是发电量与出清电价的乘积。发电商S1、O1～O6的分段常数微增成本、供应曲线及出清价格如图3所示。对比表4和图3中的场景1、场景2结果可知：①两场景中，S1均为边际机组。②场景2中，由于S1进行策略竞标，出清电价增加。S1虽然中标电量不变，但收益高于场景1。这表明发电商策略竞标不一定会增加中标量，通过抬升出清电价也可增加收益。③场景2中，所有机组中标量不变，但是S1通过策略报价虚报成本，“私吞”了一部分社会福利，社会福利降低。
图3 市场参与者的边际成本、供应曲线及出清电价
Fig.3 The marginal cost and supply curves of market participants and clearing price
表4 不同场景下的市场出清结果
Tab.4 Market clearing results in different scenarios
场景参数S1O1O2O3O4O5O6 1中标量/MW91.0127.5127.5126.0126.0126.0126.0 收入/$4 6166 4686 4686 3926 3926 3926 392 利润/$102.3539.8539.8365.2365.2365.2365.2 社会福利/$44 524.7 2中标量/MW91.0127.5127.5126.0126.0126.0126.0 收入/$4 6596 5286 5286 4516 4516 4516 451 利润/$145.4600.1600.1424.7424.7424.7424.7 社会福利/$44 519.5
（续）
场景参数S1O1O2O3O4O5O6 3中标量/MW110.0123.3123.3123.3123.3123.3123.3 收入/$5 6326 3156 3156 3156 3156 3156 315 利润/$154.4536.1536.1421.6421.6421.6421.6 社会福利/$41 634.5 4中标量/MW110.0150.0150.0126.0126.0126.062.0 收入/$5 6657 7257 7256 4896 4896 4893 193 利润/$187.4645.1645.1462.6462.6462.6291.4 社会福利/$41 882.8
比较场景3、场景4的结果可知：①场景4，S1依旧按成本报价，利润分别较场景2、3增加21.4%、28.9%。这是因为对手O6在场景3中报高价后“反应过度”，依旧认可场景3的决策方案“报高价可以增加收益”，进而将报价提高0.30 $/(MW·h)从而提高出清电价，在相同的中标量下，S1的利润增加。②场景4中，依旧存在对手“虚报高价”和高成本机组代替低成本机组发电的现象，但是由于大部分对手向下调整报价，“私吞”的社会福利变少，社会福利小幅提升。
值得注意的是，策略发电商既可以通过报高价抬升出清电价获利，也可以通过增加中标量获利，还可以通过估计对手行为“搭便车”获利。
本节将验证发电商采用分段点优化竞标模式对其收益的影响，设置总负荷电量为800 MW。仿真以下四种场景：
（1）场景5：S1策略报价时没有优化分段点，只是设置总段数为3，等分机组的可调整出力部分（额定有功功率与最低技术出力之差），估计O1～O6以边际成本报价。
（2）场景6：S1采用分段点优化竞标模式的策略报价，估计O1～O6以边际成本报价。
（3）场景7：S1基于有限理性模型估计对手报价，进行策略报价、优化供应曲线的分段点，O1～O6在实际中也按照S1的估计模型进行报价。
（4）场景8：S1基于有限理性模型估计对手的报价，进行策略报价、优化供应曲线的分段点，O1～O6在实际中也按照S1的估计模型进行报价。同时设置所有线路的传输容量为200 MW。
场景5～7的分段常数微增成本曲线、供应曲线及出清价格如图4所示，出清结果见表5，比较场景5、6，可以发现：①两场景中，O3～O6均为边际机组。②场景6中，S1优化后的供应曲线总段数为5段，S1的中标量、中标收入减少，但利润增加。这表明S1可以通过分段点优化策略调整供应曲线的总分段数和分段点，增加分段数，变相从原先的中标量中划分出度电成本高于出清电价的分段，以增加收益。③处于边际的中标量平均分配给O3～O6，O3～O6中标量与利润相同。④O3～O6代替S1发电，社会福利不变。
图4 市场参与者的边际成本、供应曲线及出清电价
Fig.4 The marginal cost and supply curves of market participants and clearing price
表5 不同场景下的市场出清结果
Tab.5 Market clearing results in different scenarios
场景参数S1O1O2O3O4O5O6 5中标量/MW100.00127.50127.50111.25111.25111.25111.25 收入/$5 0006 3756 3754 9504 9506 0506 300 利润/$12.7447.2447.2273.7273.7273.7273.7 社会福利/$41 988.4 6中标量/MW80.00127.50127.50116.25116.25116.25116.25 收入/$4 0006 3756 3754 9505 7006 3006 300 利润/$44.3447.2447.2273.7273.7273.7273.7 社会福利/$41 988.4 7中标量/MW83.33127.50127.50126.00126.00126.0083.67 收入/$4 0246 4136 4136 3386 3386 3384 209 利润/$83.0485.5485.5311.5311.5311.5274.3 社会福利/$40 048.1
比较场景6、场景7，可以发现：①场景7中，由于对手报高价抬升出清电价，增加S1中标收入和利润；②场景7中，O5为边际机组，但由于O5较其他机组报价偏高，中标量较少。同时，由于机组多数报高价，社会福利减少。
场景8的出清结果见表6。比较场景7、场景8可以发现：场景8中出现线路拥塞，各节点电价不再相同。同时由于出现线路阻塞，S1成为边际机组，所在节点电价最高，虽然线路容量限制S1的中标量，但由于节点电价变高，利润显著增加。这表明，在线路阻塞的情况下，发电商可以利用垄断增加经济效益。
表6 场景8下的市场出清结果
Tab.6 Market clearing results in scenario 8
机组中标量/ MW收入/$利润/$节点电价/ [$/(MW∙h)]所连接拥塞线路 S153.63 915.71 266.673.09无 O1138.77 101.2600.151.20无 O5102.85 048.6181.249.10（23,32）
综上所述，策略发电商估计对手的竞标行为并通过下层优化问题模拟市场出清结果。当发现策略发电商机组是边际机组时，策略发电商将中标段报价调整为略低于未中标段的最低报价的价格；当策略发电商不是边际机组时，策略发电商将报价调整为成本与出清电价之间的任一数值。而未中标段的报价需大于或等于成本。采用本文提出的分段点优化策略竞标模型，可以同时优化供应曲线的总段数、段容量和报价，使发电商获得更多中标量，增加收益。
本节针对BSV有限理性模型参数以及分段数上限进行敏感性分析。
首先研究BSV有限理性模型参数对策略发电商预期利润、竞标策略的影响。选取场景4中较为典型的对手参数设置——处于反应不足、反应过度心态的概率各为50%的O2、处于反应不足心态的O5、处于反应过度心态的O6。分别将场景4中O2、O5、O6的有限理性模型参数作为场景9、10、11中所有对手的参数。仿真以下三个场景：
（1）场景9：S1进行策略报价时认为O1～O6有限理性报价，并且处于反应不足、反应过度心态的概率各为50%，具体参数为：、、
均为0.5。
（2）场景10：S1进行策略报价时认为O1～O6有限理性报价，并且均处于反应不足心态，具体参数为：、、分别为0、0.5、1。
（3）场景11：S1进行策略报价时认为O1～O6有限理性报价，并且均处于反应过度心态，具体参数为：、、分别为0.5、1、0。
仿真结果可见表7。从表7可知，场景10中的结果明显不同于其他三个场景。对比场景4与场景10中S1对对手的估计以及S1竞标策略，结果如图5所示。与场景4相比，场景10中S1的预期中标量、预期利润小，且S1的竞标策略不同。这是因为场景10中S1预估对手O1～O6反应不足，相当于认为对手将会受这一心态影响而降低它们低成本段的报价。然后，S1通过下层问题发现，若它仍然如场景4中按成本报价，对手的低价段（O1、O2的前四段，O3～O6的前三段）将全部中标，与场景4相比，S1的预期中标量减少，S1的第二段只有部分中标，于是S1作为此时的边际机组可以提高报价直至仅略微低于对手未中标段的最低报价，即S1可以在预期中标段报高价。
表7 BSV有限理性模型参数对S1竞标策略的影响
Tab.7 Impact of BSV bounded rationality model's parameters on S1's bidding strategy
参数场景4场景9场景10场景11 S1预期中标量/MW110.0110.091.0110.0 S1预期利润/$187.4154.4145.4187.4 预估电价/[$/(MW·h)]51.551.251.251.5 S1预期中标段的竞标策略报成本报成本报高价报成本
图5 场景4、场景10中S1对对手竞标行为、电价的估计以及S1的竞标策略
Fig.5 S1's estimates of opponents' bidding behavior and price, and S1's bidding strategy in scenarios 4 and 10
同时，S1估计场景10中没有受反应过度心态影响而继续提高报价的对手（场景4中的O6），即S1估计对手全部降低报价。此时，作为边际机组的S1为保证利润最大化，所报高价需低于对手未中标段的最低报价，预估电价不超过O1、O2的第五段报价，比场景4低，并且S1的预期中标量较低，故而S1的预期利润比场景4低。综上所述，发电商对对手有限理性模型参数的估计将影响发电商的竞标策略。
然后对分段数上限进行敏感性分析，结果见表8。由表8可知，在场景6中，当分段数上限不断增加时，策略发电商的最优分段数与利润不断增加，直至分段数超过5时，最优分段数与利润不再发生变化；在场景7中，随着分段数上限不断增加，发电商的最优分段数与利润不断增加。这说明，分段数上限增加，发电商利润呈现单调不减的趋势。同时，由表8可知，当分段数上限不断增加时，计算时间也不断增加。因此，当计算代价在允许范围内时，应尽可能地选择市场规则允许的最大分段数作为分段数优化上限。
表8 分段数上限对发电商利润与求解时间的影响
Tab.8 Impact of segments' upper limit on generator's profit and solving time
分段数上限场景6最优分段数场景6中S1利润/$场景6计算时间/s场景7最优分段数场景7中S1利润/$场景7计算时间/s 3312.707.21342.707.28 4434.439.70460.689.74 5544.2712.20568.2712.25 8544.2719.75880.6719.76 9544.2722.33982.9622.36
本文对火电机组发电商的策略竞标模型进行了改进。一方面采用有限理性模型估计对手的竞标行为，以克服传统的“经济人”假设过于理想化的不足；另一方面直接优化供应曲线分段点以谋取更大利润，从而构建了计及BSV有限理性模型和供应曲线分段点优化策略的发电商策略竞标模型。不同场景下的市场出清结果表明，发电商采用有限理性模型可以更合理地建模不同对手的竞标行为，制定有针对性的报价策略，同时分段点优化策略也可以有效地调整发电商供应曲线的总分段数、段容量和报价，进一步提升其收益。
未来会通过期望最大化算法估计市场参与者的BSV有限理性模型参数，以提高参数的鲁棒性和精度。将BSV有限理性模型拓展到现有的考虑出力不确定性与竞标偏差惩罚的新能源机组发电商策略竞标问题，并进一步探索市场中存在多个采用本文竞标模型的策略发电商的博弈问题，以及激励市场参与者诚信竞标的市场机制设计。
附 录
1. 基于马尔可夫过程的心态转换过程
观察者认为，交易者的心理转换状态和报价变化与上一时段的市场结果有关，现有研究[11-12]采用马尔可夫过程对其建模。下面分别进行阐述。
1）心理状态转换过程
在面对市场上一时刻信息时，交易者的心态通常会在反应不足、反应过度之间随机转换，定义该过程为反应状态转换过程。引入随机变量
，
、
分别表示交易者处于反应不足和反应过度状态，而
为交易者在当前时刻处于反应不足、反应过度状态的概率，为两状态变量。
（A1）
式中，
、
分别为反应不足转为反应过度、反应过度转为反应不足的概率；
为交易者反应状态的转移概率矩阵。式（A1）为交易者的状态转换过程，如附图1a所示。
2）报价变化份数的转换过程
假设当交易者已知
时刻出清结果后，处于反应不足、反应过度两种心态状态时，报价变化份数
从
中任意整数随机转换到另一任意整数的过程仅与上一时刻有关[12]，如式（A2）、式（A3）所示。其中，
、
分别为在交易者反应不足、反应过度时的转移概率。当
时模型如附图1b所示。
（A2）
（A3）
式中，
表示t时刻报价变化份数取不同值时的概率，为
状态变量，其值取决于
；
、
为反应不足、反应过度时状态的转移概率矩阵。
附图1 基于马尔可夫过程的心态转换模型
App.Fig.1 State transformation model based on Markov Process
3）基于BSV有限理性模型的报价变化期望值的计算过程
根据心理状态和报价变化份数的转换过程，建立关于交易者反应（两状态）和报价变化份数（状态）的
状态马尔可夫过程模型。
定义状态变量
，
。其中如
表示因交易者反应不足而报价增加
的概率，其他同理。当时模型如附图1c所示，图中简写各状态变量，如
简写为
，其他同理。分别对反应不足、反应过度时的状态转换过程采用克罗内克积（Kronecker product）形式得到状态转换矩阵
，可以通过历史数据分析对手的转移概率以及其状态转换矩阵，状态转换过程表示为
（A4）
设
为在给定时刻的信息
情况下的
时段概率值，
，可以通过历史数据
、估计得出。其中如
，即
，为已知
时刻的信息的情况下交易者反应不足而报价减少的概率。则报价减少的概率
的表达式为
。根据式（16），可得到为
，以及t时段报价变化的期望值为
（A5）
式中，
为报价变化的系数，
。
现有研究主要基于市场信息预测建模对手行为，本文基于BSV有限理性模型建模对手行为，将在后续研究中开展学习参数的相关工作，通过期望最大化算法估计模型数据。
2. 分段点优化的附加约束
对于特点4中的上层问题
中的边际成本段标号与中标电量容量段标号对应不一致的问题，用变量
替换
，则目标函数式（1）可改写为
（A6）
式（A6）中的发电成本是一个分段凸函数，因此其位于组成成本曲线各分段的线性函数之上，如式（A7）、附图2所示。因此原先的目标函数（1）可以转换为（A6）以及附加的线性不等式约束（A7）。
（A7）
式中，当
时，
为机组的最小技术出力，
为零；
为机组的启动成本与最小技术出力之比。本文设置
数值为第一段成本曲线的边际成本。
附图2 分段线性成本曲线
App.Fig.2 Piecewise linear cost curve
3. 转换后的单层优化模型
通过KKT条件将3.2节的双层问题转变为以下形式。
目标函数为式（1）
约束为式（2），式（3），式（6），式（12），式（13），式（17），式（19）～式（24），式（A7）～式（20）。
（A8）
（A9）
（A10）
（A11）
（A12）
（A13）
（A14）
（A15）
（A16）
（A17）
（A18）
（A19）
（A20）
式中，
为约束（7）的对偶变量；
为约束（9）的对偶变量；
、
为约束（8）的对偶变量；
、
为约束（10）的对偶变量。
转换后的单层问题中存在两类非线性项：第一类非线性项目标函数（1）中的
，第二类非线性项互补松弛条件式（A10）～式（A19）。
关于第一类非线性项，因为下层优化问题是线性的，根据强对偶定理，将非线性项线性化为
（A21）
根据式（12），将式（A21）转换为
（A22）
关于第二类非线性项，式（A6）～（A19）中存在非线性项，如式（A10）中的
，对此，为避免大M法中参数M选取困难的问题，本文采用特殊顺序集SOS1法[50]处理此非线性项：将式（A10）～式（A19）约束中的非线性项转换为对应的SOS1变量集合。例如，式（A10）中的，转换为SOS1型变量集合
，保证至多有一项是非零的。转换后的SOS1约束可直接用商用求解器Gurobi求解。
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Abstract In the real-time market, generators can improve their profits through strategic bidding. In the classic strategic bidding model, generators optimize their own bidding strategies by estimating opponents' bidding behaviors. However, the model usually assumes that opponents' bidding behaviors obey a particular probability distribution. Therefore, how to reasonably estimate opponents' bidding behavior, remains to be further studied. In this regard, this paper improves the classic strategic bidding model of generators. By constructing a behavioral model of opponents based on the "bounded rationality model of Barberis, Shleifer, and Vishny (BSV)", the model reflects the reality that opponents are "realistic men" and have cognitive biases, in order to further improve the rationality of the bidding strategy.
Firstly, the bidding behavior model of the opponents is established by the bounded rationality model of BSV. Then, a bi-level optimization model is established for the generator to yield an optimal bidding strategy. The upper-level model is a bidding decision model that considers the bidding curve's "breakpoints optimization". The lower-level model is a market clearing model of the independent system operator (ISO), which considers the bidding behaviors of opponents. The lower-level model gives feedback to the upper-level model on the expected winning power output and the nodal price of the generator in the market under different bidding strategies. The bi-level optimization model can be transformed into a single-level optimization problem through methods such as Karush-Kuhn-Tucker (KKT) conditions, strong duality theorem, and special ordered sets. The transformed model is a mixed integer linear programming problem and can be directly solved by solvers.
Simulation results show that, when adopting the generator strategic bidding model based on the bounded rationality model, the profit of the generator is 20%～30% higher than the classical strategic bidding model, which illustrates the rationality of the bounded rationality model of BSV to estimate the opponents' behaviors. Meanwhile, when considering the breakpoints optimization, the generator's profit increases from $12.7 to $83, which proves that it can further improve the generator's profit. When a strategic generator is a marginal unit, the generator adjusts the bidding price of the winning segment to a price slightly lower than the lowest bidding price of the unsuccessful segment; otherwise, the generator adjusts the bidding price to any value between the cost and the clearing price. And the bidding price of the unsuccessful segment needs to be higher than or equal to the cost. Finally, a sensitivity analysis of the bounded rationality model's parameters and the segments' upper limit is performed, and the generator's estimation accuracy will affect the generator's bidding strategy with a computational cost of less than 30 s, which can satisfy the normal bidding process.
The following conclusions can be drawn from the simulation analysis: (1) The proposed model adopts the bounded rationality model to describe the bidding behaviors of different opponents more rationally, and develops a tailored bidding strategy. (2) Compared with the classical strategic bidding models that estimate the opponents are non-strategic bidding or strategic bidding, the proposed model improves the rationality of the generator's bidding strategy. (3) The proposed model can effectively adjust the total number of segments, segment capacities, and bidding prices of the generator's supply curve by breakpoints optimization strategy, further increasing the profit.
keywords：Real-time market, strategic bidding, bounded rationality model of BSV, breakpoints optimization bidding mode, bi-level optimization model
国家自然科学基金资助项目（52007105）。
收稿日期 2022-05-04
改稿日期 2022-11-04
DOI:10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220722
中图分类号：TM73
刘聪聪 女，1998年生，博士研究生，研究方向为电力系统经济运行、电力市场。E-mail： ccliu@mail.sdu.edu.cn
李正烁 男，1988年生，教授，博士生导师，研究方向为电力系统能量管理、电力市场。E-mail：zsli@sdu.edu.cn（通信作者）
（编辑 赫蕾）