（1）
摘要 准确模拟电工钢片在机械应力作用下的磁滞特性是电工装备铁心优化设计的关键技术。该文首先基于原始Energetic磁滞模型，在电工钢片的总能量密度中引入由机械应力引起的能量密度附加项；其次，根据能量平衡原理，采用场分离技术实现能量密度分量向磁场分量的转换；然后，考虑Energetic磁滞模型中各参数对机械应力的依赖性，利用场叠加原理建立一种机械应力作用下的电工钢片磁滞模型；最后，以晶粒取向硅钢片为例，基于取向硅钢片在不同压缩和拉伸应力下的磁滞回线实验数据，采用粒子群优化算法对所提模型参数进行辨识，从而揭示了模型参数对机械应力的依赖关系，并在此基础上分析了机械应力对取向硅钢片矫顽力、磁滞损耗密度以及剩磁的影响规律。对比仿真和实验结果，验证了所提模拟方法的准确性。
关键词：电工钢片 机械应力 磁滞特性 Energetic模型
电工钢片广泛应用于制作变压器、电机以及电抗器等电工装备的铁心[1-3]。然而，在实际加工和运行过程中，电工装备铁心会受到不同程度的拉伸或者压缩应力，导致电工钢片的磁滞特性发生显著变化[4-5]，严重影响电工装备铁心的运行性能。因此，准确模拟机械应力作用下电工钢片的磁滞特性对电工装备铁心优化设计至关重要。
目前，机械应力作用下铁磁材料的磁滞特性模拟方法主要分为三类：基于Preisach模型的方法[6-7]、基于多尺度模型的方法[8-9]和基于Jiles-Atherton（J-A）模型的方法[10-11]。其中，基于Preisach模型的方法通过在分布函数或者Everett函数中引入机械应力，以实现磁滞特性模拟。该方法的特点是模拟精度较高，但Preisach模型本身属于宏观磁化理论的纯数学模型[12]，缺乏物理基础，无法解释机械应力对铁磁材料磁化特性的作用机制。基于多尺度模型的方法将铁磁材料分为微观磁畴、介观单晶以及宏观多晶结构，并采用局部化和均质化技术实现磁-弹性耦合建模。该方法虽然具有明确的物理基础，但是需要假设铁磁材料单个晶体内部的磁场与应力场呈均匀分布，且仅能模拟无磁滞的单值磁化曲线，为了模拟磁滞回线，还需要通过与其他磁滞模型的不可逆磁化分量相结合以构建磁滞效应[13-14]。基于J-A模型的方法最早由M. J. Sablik提出[10]，该方法通过考虑机械应力对铁磁材料亥姆霍兹自由能的影响，从而在有效磁场强度中引入与机械应力有关的应力附加项，建立了机械应力作用下铁磁材料的磁滞模型。后续研究人员为了提高该模型的模拟精度，提出了一系列改进模型[15-19]。基于J-A模型的方法因其物理意义明确，是当前机械应力作用下铁磁材料磁滞特性模拟最常用的方法。但该方法需要求解非线性微分方程，计算过程仍较为繁琐。
与上述磁滞模型相比，Energetic模型具有表达式简单、计算效率高的优点，且可以考虑机械应力对磁滞特性的影响，具有广阔的应用前景[20-21]。文献[22]考虑Energetic模型中部分参数对机械应力的依赖性，分析了铁磁材料在拉伸应力下的磁滞特性。但是该方法需要引入较多的新参数，导致求解过程变得复杂，同时缺少压缩应力下的磁滞特性模拟以及相应的实验验证。
为此，本文在原始Energetic模型的基础上，在电工钢片的总能量密度中引入由机械应力引起的能量密度作为附加项，并考虑Energetic模型中所有参数对机械应力的依赖性，提出一种机械应力作用下电工钢片磁滞特性模拟方法。仿真和实验结果对比表明，所提方法模拟精度较高，可用于后续电工装备铁心优化设计。
原始Energetic模型是基于铁磁材料内在能量平衡原理与磁畴统计特性的唯象学模型，由H. Hauser于1994年提出[23]。该模型将铁磁材料总能量密度分为外加磁场能量密度和磁化能量密度，其总能量密度表达式为
（1）
式中，Wt为铁磁材料的总能量密度；WH为外加磁场能量密度；Wd+Wr+Wi为磁化能量密度，其中Wd为退磁场能量密度，Wr为可逆磁场能量密度，Wi为不可逆磁场能量密度。
根据能量平衡原理，H. Hauser推导出的原始Energetic模型[22]为
（2）
式中，H为磁场强度；Hd为退磁场强度；sgn(·)为符号函数；Hr为可逆磁场强度；Hi为不可逆磁场强度；m为归一化磁化强度；Ms为饱和磁化强度；m0为上个磁化反转点对应的m值；Ne为退磁因子；k为磁滞损耗系数；μ0为真空中的磁导率；cr为磁畴的自适应尺寸比例系数；k 为反转函数；q为与钉扎位密度相关的系数。其中，可逆磁场强度Hr和反转函数k 的表达式分别为
（3）
（4）
式中，h为与饱和磁场相关的比例系数；g为与铁磁材料各向异性相关的自适应系数；
为上个磁化反转点对应的k 共值。
由上述可以看出，原始Energetic模型由Ne、k、h、g、q及cr 共6个参数决定。需要指出的是，原始的Energetic模型没有考虑机械应力对磁滞特性的影响。然而，在实际加工和运行过程中，电工装备铁心会受到不同程度的拉伸和压缩应力。因此，有必要在原始Energetic模型的基础上提出一种在机械应力作用下的电工钢片磁滞特性模拟方法。
在外加机械应力作用下，电工钢片的磁滞特性会发生显著变化。本文在原始Energetic模型的基础上，将机械应力引起的能量密度作为附加项引入电工钢片的总能量密度中，从而总能量密度可以表示为
（5）
式中，Wσ为由机械应力引起的能量密度附加项。
在外加磁场和机械应力共同作用下，电工钢片会达到新的能量平衡。此时，电工钢片磁化是外加磁场强度和机械应力共同作用的结果，即外加磁场能量密度与机械应力引起的能量密度附加项之和等于磁化能量密度，从而得到新的能量平衡方程为
（6）
其中
（7）
将式（7）代入式（6），在式（6）两边对磁化强度M取微分，并利用场分离技术[24-25]将能量密度分量转化为相应的磁场强度分量，得到
（8）
式中，H、Hd、Hr以及Hi的含义同式（2）；Hσ为由机械应力引起的附加磁场强度。
对于式（8）中的Hσ项，与机械应力和铁磁材料的磁致伸缩系数有关，可以根据铁磁材料亥姆霍兹自由能对磁化强度的导数求得，其表达式为[17]
（9）
式中，σ为外加机械应力，其值为正表示拉伸应力，为负表示压缩应力；λ为电工钢片的磁致伸缩系数。
由于磁致伸缩系数始终是磁化强度的偶函数[10]，因此磁致伸缩系数与磁化强度的关系可以用偶次幂级数形式表示，并且对于软磁材料，可只取级数的前两项。此外，磁致伸缩系数还与外加机械应力有关[17]，即磁致伸缩系数λ是磁化强度M和机械应力σ共同作用的结果，因此电工钢片磁致伸缩系数可以表示[17]为
（10）
式中，γ1、γ2、b1、b2、b3以及b4可以根据磁致伸缩实验测量数据拟合得到。
此外，根据文献[22]，Energetic模型中的k、h、g以及q参数对机械应力具有依赖性，而参数Ne和cr在不同机械应力下保持恒定。事实上，退磁因子Ne由铁磁材料的外部几何形状退磁因子和内部晶界退磁因子共同决定[22]，即参数Ne与铁磁材料的宏观和微观结构密切相关。磁畴的自适应尺寸比例系数cr同样与磁畴的形状大小密切相关。而机械应力会改变电工钢片的宏观形状和微观结构[26]，因此参数Ne和cr对机械应力同样具有依赖性。为此，本文考虑Energetic模型中所有六个参数对机械应力的依赖性，从而结合式（2）～式（4）以及式（8）～式（10），得到机械应力作用下电工钢片磁滞模型为
（11）
其中
（12）
（13）
式中，Hdσ、Hrσ以及Hiσ分别为机械应力作用下的退磁场强度、可逆磁场强度和不可逆磁场强度；kσ为为机械应力作用下的反转函数；Neσ、kσ、hσ、gσ、qσ以及crσ为考虑机械应力依赖性的Energetic模型参数；其他参数含义同式（2）。
由式（11）可以看出，本文所提出的模型是基于磁化强度M计算磁场强度H。然而考虑到在实际工程中，通常已知的是电工装备的端口电压，根据法拉第电磁感应定律，即已知磁感应强度B，这将导致式（11）不适用于电工装备铁心的磁特性分析。为了解决该问题，根据铁磁材料的非线性本构关系B=μ0(H+M)≈μ0M，可将式（11）改写为以磁感应强度B为输入的形式，其表达式为
其中
（15）
（16）
式中，Bs为饱和磁感应强度，Bs≈μ0Ms；b为归一化磁感应强度；b0为上个磁化反转点对应的b值。
从现有研究来看，Energetic模型均是从初始磁化曲线原点开始求解磁滞回线[25]，而实验数据通常不包含初始磁化曲线。为了更好地将模拟结果与实验结果进行对比，本文从正向饱和点开始求解机械应力作用下电工钢片的磁滞回线，此时b0=-1，
。随着b值改变，相应的H值被求解出来，每当到达磁化反转点时，参数b0和需要进行更新，b0更新为该磁化反转点对应的b值，而按照式（16）进行更新。
为了验证本文所提机械应力作用下电工钢片磁滞特性模拟方法的准确性，以型号为30QG120的取向硅钢片为例，利用BROCKHAUS-MPG200/ MST500电工钢片磁特性测量平台，开展拉伸和压缩应力作用下取向硅钢片的磁特性测量实验，实验测量平台如图1所示。该实验测量平台通过调节应力旋钮，控制应力加载装置对被测取向硅钢片施加指定数值的压缩或者拉伸应力，通过采集二次侧空载电压和一次侧励磁电流，并根据法拉第电磁感应定律和安培环路定律得到磁感应强度B值和磁场强度H值，从而实现取向硅钢片在机械应力下的磁滞特性测量。此外，该实验测量平台还可以利用激光干涉仪和贴在被测样片上的反光片，实现取向硅钢片磁致伸缩特性测量。该实验测量平台的测量方法符合国际电工委员会标准IEC60404—3。
图1 实验测量平台
Fig.1 Experimental measurement platform
需要指出的是，由于机械应力会改变甚至破坏取向硅钢片的微观结构，进而影响实验测量结果的精度。为此，本文选择两片同批次生产、具有相同型号和规格的取向硅钢片，分别进行拉伸和压缩应力作用下的磁滞特性测量实验，以减小实验测量误差，所选取向硅钢片的规格参数见表1。此外，无论是压缩还是拉伸应力，均是从小应力向大应力递增进行施加，进一步减小实验测量误差。
表1 取向硅钢片的规格参数
Tab.1 Specification parameters of oriented silicon steel sheets
型号长度/mm宽度/mm厚度/mm质量/g 压缩30QG1206001000.281 7129.3 拉伸30QG1206001000.282 1129.5
由本文所提出的模拟方法可知，在模拟取向硅钢片在机械应力作用下的磁滞特性之前，需要确定磁致伸缩系数λ与磁化强度M之间的关系，可以通过λ-M单值实验数据由式（11）拟合得到。本文选取无应力下的磁致伸缩实验数据来拟合系数，拟合结果如图2所示，其中，各拟合系数的取值分别为
=-3.999×10-19，
=1.147×10-32，
=0.757 2，b2=0.753 7 μm/m，b3=-1.5 MPa以及b4=-1.5 MPa。
图2 无应力条件下的单值λ-M曲线
Fig.2 λ-M single value curves under stress free
本文采用粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法[27]提取模型的参数。PSO算法的基本原理是随机粒子利用种群个体间信息共享，根据个体极值和全局极值更新粒子的位置和速度，通过迭代实现寻优。该算法具有算法简单、易于实现以及搜索速度快等优点，且仅需要随机的初始值，适合用于磁滞模型参数提取。图3、图4和图5是10 Hz、1.7 T条件下，取向硅钢片在无应力、压缩应力以及拉伸应力下的磁滞回线仿真和实测对比结果。从图4和图5所示的结果可以看出，在保持相同磁感应强度的条件下，机械应力会改变取向硅钢片磁化饱和时的磁场强度大小。具体来说，随着机械应力增加，磁化饱和时的磁场强度增加，并且在压缩应力下的磁场强度增加量大于拉伸应力下的磁场强度增加量。
图3 无应力下仿真与测量磁滞回线对比
Fig.3 Comparison between simulated and measured hysteresis loops under stress free
图4 磁感应强度B=1.7 T时不同压缩应力下仿真与测量磁滞回线对比
Fig.4 Comparison between simulated and measured hysteresis loops under different compressive stresses when B=1.7 T
图5 磁感应强度B=1.7 T时不同拉伸应力下仿真与测量磁滞回线对比
Fig.5 Comparison between simulated and measured hysteresis loops under different tensile stresses when B=1.7 T
以方均根误差（Root Mean Square Error, RMSE）作为评价指标，说明本文所提方法的模拟准确度，方均根误差定义见式（17）。不同压缩和拉伸应力下磁滞回线拟合结果的方均根误差统计结果见表2。
（17）
式中，RMSE为方均根误差；N为数据点数；Hsi为磁场强度仿真值，即为式（14）的H值；Hmi为磁场强度实验测量值。
从表2所示的结果可以看出，在拉伸和较小压缩应力（小于-7.09 MPa）下，模拟仿真结果与实测结果整体吻合精度较高，方均根误差小于5 A/m，证明了本文所提方法的准确性。当压缩应力较大时（-8.86 MPa和-10.63 MPa），方均根误差变大，接近10 A/m，但整体拟合情况可以接受。随着压缩应力增大，误差变大的原因在于，压缩应力增大到一定值时，取向硅钢片的磁畴结构发生显著变化[26]，而本文所提方法是基于磁畴统计特性的Energetic模型，因此在较大压缩应力下模拟精度会下降。此外，在较大压缩应力下实验测量精度下降也是模拟误差变大的原因之一。虽然本文采取了拉伸和压缩应力分别进行测量以及从小应力向大应力递增进行测量的措施以减小实验误差，但是在压缩应力增大的过程中，测量误差会逐渐积累，表2所示的结果也印证了这一结论。
表2 不同机械应力下的方均根误差
Tab.2 RMSE under different mechanical stresses
压缩应力/MPa磁场强度 RMSE/(A/m)拉伸应力/MPa磁场强度 RMSE/(A/m) 01.2601.26 -1.771.061.771.25 -3.542.383.541.37 -5.323.345.321.25 -7.095.057.091.37 -8.868.348.861.43 -10.638.7110.631.21
为了进一步证明本文所提方法的优越性，将本文方法与现有其他方法进行对比分析。Jiles-Atherton-Sablik（J-A-S）磁机械模型[10]是当前考虑机械应力对铁磁材料磁滞特性影响最常用的模型，因此选取该方法与本文所提方法进行对比。此外，为了突出本文考虑参数应力依赖性的Energetic模型的优点，还将本文方法与不考虑参数应力依赖性的Energetic模型进行对比。其中，不考虑参数应力依赖性的Energetic模型的表达式与本文式（14）～式（16）类似，仅需将Neσ、kσ、hσ、gσ、qσ以及crσ六个参数替换为不考虑应力依赖性的Ne、k、h、g、q以及cr。图6为以机械应力为5.32 MPa为例，采用本文方法、J-A-S模型以及不考虑参数应力依赖性的Energetic模型模拟得到的磁滞回线对比结果。从图6所示的结果可以看出，在压缩应力条件下，J-A-S磁机械模型和不考虑参数应力依赖性的Energetic模型均不能准确模拟取向硅钢片的磁滞回线，两种对比方法的方均根误差分别为35.18 A/m和30.65 A/m，误差过大而难以接受。在拉伸应力条件下，J-A-S磁机械模型的模拟结果同样较差，而不考虑参数应力依赖性的Energetic模型的模拟结果可以接受，误差主要集中在矫顽力点附近，方均根误差为2.05 A/m，大于本文所提方法。在拉伸应力条件下，不考虑参数应力依赖性的Energetic模型的模拟结果较好的原因将在本文3.2节进行分析。综合以上对比分析可知，与实测磁滞回线相比，本文方法的模拟精度优于其他两种对比方法。需要说明的是，虽然图6是以机械应力为5.32 MPa为例进行不同方法的对比分析，但是在其他机械应力下也具有相同的结论。
图6 不同方法模拟的磁滞回线对比
Fig.6 Comparison of simulated hysteresis loops by different methods
图7是本文所提模型各参数对机械应力的依赖性结果。从图7所示的结果可以看出，各参数对机械应力具有明显的依赖性，并且各参数对机械应力的依赖性具有两个显著特点：一是同一参数对压缩和拉伸应力的依赖性不同；二是不同参数对机械应力的依赖性不尽不同。
在所提模型的6个参数中，仅磁滞损耗系数kσ对压缩和拉伸应力均具有依赖性，具体来说，磁滞损耗系数kσ随压缩应力增大而线性增大，随拉伸应力增大而线性减小，且在压缩应力下的变化率明显大于拉伸应力。而退磁因子Neσ、饱和场相关系数hσ、各向异性相关系数
、钉扎位密度相关系数
以及磁畴自适应尺寸比例系数crσ仅对压缩应力表现出依赖性，而在拉伸应力下保持恒定。其中，退磁因子Neσ随压缩应力增大而非线性增大，饱和场相关系数hσ随压缩应力增大而迅速增大，各向异性相关系数、钉扎位密度相关系数以及磁畴自适应尺寸比例系数crσ均随压缩应力的增大而非线性减小。
图7 模型参数对机械应力的依赖性
Fig.7 Dependence of model parameters on mechanical stress
正是由于除磁滞损耗系数kσ对拉伸应力具有较弱的依赖性外，Energetic模型其他五个参数对拉伸应力均没有依赖性，因此在图6拉伸应力条件下，不考虑参数应力依赖性的Energetic模型的模拟结果可以接受。而磁滞损耗系数与矫顽力大小有关[28]，因此不考虑参数应力依赖性的Energetic模型的模拟结果在矫顽力点的误差较大。
为了进一步明确机械应力对取向硅钢片磁滞特性的影响规律，对取向硅钢片在机械应力作用下的矫顽力、磁滞损耗密度以及剩磁进行仿真和实验对比分析，结果如图8～图10所示。以相对误差（Relative Error, RE）作为评价指标，说明本文所提方法关于磁滞特性的模拟精度。RE的定义式见式（18）。不同压缩和拉伸应力下取向硅钢片磁滞特性的RE统计结果见表3。
图8 矫顽力与机械应力的关系
Fig.8 Relationship between coercivity and mechanical stress
图9 磁滞损耗密度与机械应力的关系
Fig.9 Relationship between hysteresis loss density and mechanical stress
图10 剩磁与机械应力的关系
Fig.10 Relationship between remanence and mechanical stress
（18）
式中，RE为相对误差；Xs为各磁滞特性参量的仿真值；Xm为各磁滞特性参量的实验测量值。
表3 不同机械应下磁滞特性的相对误差
Tab.3 RE of magnetic hysteresis characteristics under different mechanical stresses
机械应力/ MPa矫顽力 RE(%)磁滞损耗密度RE(%)剩磁 RE(%) -10.637.536.5829.66 -8.864.223.6725.83 -7.090.680.805.41 -5.320.003.724.68 -3.543.048.430.54 -1.775.920.240.49 02.513.741.54 1.774.193.803.64 3.545.084.160.05 5.324.982.754.14 7.094.060.858.08 8.865.020.328.53 10.633.891.549.07 平均RE(%)3.933.127.81
从图8～图10以及表3的结果可以看出，矫顽力、磁滞损耗密度以及剩磁在拉伸和较小压缩应力（小于-7.09 MPa）下的仿真结果与实验结果吻合较好，在较大压缩应力（-8.86 MPa和-10.63 MPa）下模拟精度会下降，但整体误差较小。其中，矫顽力的平均相对误差为3.93%，磁滞损耗密度的平均相对误差为3.12%，剩磁的平均相对误差为7.81%。造成在较大压缩应力下矫顽力、磁滞损耗密度以及剩磁模拟精度下降的原因与3.1节磁滞回线模拟精度下降的原因相同。
虽然矫顽力、磁滞损耗密度以及剩磁的仿真结果与实验结果在数值上存在误差，但是其随机械应力的变化趋势基本相同。由图8～图10的仿真和实验结果可知，取向硅钢片的矫顽力和磁滞损耗密度随压缩应力增大而增大，随拉伸应力增大而减小，且相比拉伸应力，矫顽力和磁滞损耗密度对压缩应力更为敏感；取向硅钢片的剩磁随机械应力增大而非线性减小，且在压缩和拉伸应力下的变化规律近似相同。
1）为了准确模拟机械应力作用下电工钢片的磁滞特性，本文基于原始Energetic模型，在总能量密度方程中引入了由机械应力引起的能量密度附加项，并考虑模型各个参数对机械应力的依赖性，根据实际工程需求，建立了机械应力作用下且以磁感应强度为输入量的电工钢片磁滞模型，为机械应力作用下电工钢片磁滞特性模拟提供了新方法。
2）采用粒子群算法提取了不同机械应力下的模型参数，结果表明Energetic模型中各参数均对机械应力具有明显的依赖关系，并且不同参数对机械应力的依赖关系不尽相同，同一参数对压缩和拉伸应力的依赖性不同。因此，模拟机械应力电工钢片磁滞特性需要考虑模型参数的应力依赖性。
3）基于本文所提模拟方法，进一步分析了取向硅钢片矫顽力、磁滞损耗密度以及剩磁随机械应力的响应特性。相较于实验测量结果，矫顽力、磁滞损耗密度及剩磁模拟结果的平均相对误差分别为3.93%、3.12%及7.81%，所提方法的模拟精度整体较高。
参考文献
[1] 赵志刚, 徐曼, 胡鑫剑. 基于改进损耗分离模型的铁磁材料损耗特性研究[J]. 电工技术学报, 2021, 36(13): 2782-2790. Zhao Zhigang, Xu Man, Hu Xinjian. Research on magnetic losses characteristics of ferromagnetic materials based on improvement loss separation model[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(13): 2782-2790.
[2] Krings A, Boglietti A, Cavagnino A, et al. Soft magnetic material status and trends in electric machines[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2017, 64(3): 2405-2414.
[3] 陈彬, 秦小彬, 万妮娜, 等. 基于R-L型分数阶导数与损耗统计理论的铁磁材料高频损耗计算方法[J].电工技术学报, 2022, 37(2): 299-310. Chen Bin, Qin Xiaobin, Wan Nina, et al. Calculation method of high-frequency loss of ferromagnetic materials based on R-L type fractional derivative and loss statistical theory[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(2): 299-310.
[4] Aydin U, Martin F, Rasilo P, et al. Rotational single sheet tester for multiaxial magneto-mechanical effects in steel sheets[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2019, 55(3): 1-10.
[5] Ahmed U, Aydin U, Daniel L, et al. 3-D magneto-mechanical finite element analysis of galfenol-based energy harvester using an equivalent stress model[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2021, 57(2): 1-5.
[6] 段娜娜, 徐伟杰, 李永建, 等. 基于极限磁滞回线法的软磁复合材料磁特性模拟[J]. 电工技术学报, 2018, 33(20): 4739-4745. Duan Nana, Xu Weijie, Li Yongjian, et al. Electromagnetic property modeling of the soft magnetic composite material based on the limiting loop method[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(20): 4739-4745.
[7] 李伊玲, 李琳, 刘任. 机械应力作用下电工钢片静态磁滞特性模拟方法研究[J]. 中国电力, 2020, 53(10): 10-18. Li Yiling, Li Lin, Liu Ren. Modeling methods of static hysteresis characteristics of electrical steel sheets under stress[J]. Electric Power, 2020, 53(10): 10-18.
[8] Daniel L, Hubert O, Buiron N, et al. Reversible magneto-elastic behavior: a multiscale approach[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2008, 56(3): 1018-1042.
[9] Daniel L, Domenjoud M. Anhysteretic magneto-elastic behaviour of terfenol-D: experiments, multiscale modelling and analytical formulas[J]. Materials (Basel, Switzerland), 2021, 14(18): 5165.
[10] Sablik M J, Kwun H, Burkhardt G L, et al. Model for the effect of tensile and compressive stress on ferromagnetic hysteresis[J]. Journal of Applied Physics, 1987, 61(8): 3799-3801.
[11] Sablik M, Jiles D. Coupled magnetoelastic theory of magnetic and magnetostrictive hysteresis[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1993, 29: 2113-2123.
[12] 刘任, 李琳, 王亚琦, 等. 基于随机性与确定性混合优化算法的Jiles-Atherton磁滞模型参数提取[J]. 电工技术学报, 2019, 34(11): 2260-2268. Liu Ren, Li Lin, Wang Yaqi, et al. Parameter extraction for Jiles-Atherton hysteresis model based on the hybrid technique of stochastic and deterministic optimization algorithm[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(11): 2260-2268.
[13] Sai Ram B, Baghel A P S, Kulkarni S V, et al. A frequency-dependent scalar magneto-elastic hysteresis model derived using multi-scale and Jiles-Atherton approaches[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2020, 56(3): 1-5.
[14] Bernard L, Mailhé B J, Ávila S L, et al. Magnetic hysteresis under compressive stress: a multiscale-Jiles–Atherton approach[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2020, 56(2): 1-4.
[15] Sablik M J. A model for asymmetry in magnetic property behavior under tensile and compressive stress in steel[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1997, 33(5): 3958-3960.
[16] 罗旭, 朱海燕, 丁雅萍. 基于力磁耦合效应的铁磁材料修正磁化模型[J]. 物理学报, 2019, 68(18): 289-300. Luo Xu, Zhu Haiyan, Ding Yaping. A modified model of magneto-mechanical effect on magnetization in ferromagnetic materials[J]. Acta Physica Sinica, 2019, 68(18): 289-300.
[17] Singh D, Martin F, Rasilo P, et al. Magnetomechanical model for hysteresis in electrical steel sheet[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2016, 52(11): 1-9.
[18] 贲彤, 陈芳媛, 陈龙, 等. 考虑力-磁耦合效应的无取向电工钢片磁致伸缩模型的改进[J]. 中国电机工程学报, 2021, 41(15): 5361-5370. Ben Tong, Chen Fangyuan, Chen Long, et al. An improved magnetostrictive model of non-oriented electrical steel sheet considering force-magnetic coupling effect[J]. Proceedings of the CSEE, 2021, 41(15): 5361-5370.
[19] Jiles D C, Kiarie W. An integrated model of magnetic hysteresis, the magnetomechanical effect, and the barkhausen effect[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2021, 57(2): 1-11.
[20] Hauser H, Melikhov Y, Jiles D C. Examination of the equivalence of ferromagnetic hysteresis models describing the dependence of magnetization on magnetic field and stress[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2009, 45(4): 1940-1949.
[21] 赵志刚, 马习纹, 姬俊安, 等. 谐波激励条件下铁心动态Energetic建模与验证[J]. 电工技术学报, 2020, 35(20): 4241-4250. Zhao Zhigang, Ma Xiwen, Ji Junan, et al. Dynamic Energetic modeling and verification of core under harmonic excitation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(20): 4241-4250.
[22] Hauser H. Energetic model of ferromagnetic hysteresis: isotropic magnetization[J]. Journal of Applied Physics, 2004, 96(5): 2753-2767.
[23] Hauser H. Energetic model of ferromagnetic hysteresis[J]. Journal of Applied Physics, 1994, 75(5): 2584-2597.
[24] Liu Ren, Li Lin. Calculation method of magnetic material losses under DC bias using statistical loss theory and energetic hysteresis model[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2019, 55: 1-4.
[25] 赵志刚, 马习纹, 姬俊安. 基于Energetic模型的直流偏磁条件下电工钢片磁特性模拟及实验验证[J]. 中国电机工程学报, 2020, 40(14): 4656-4665. Zhao Zhigang, Ma Xiwen, Ji Junan. Simulation and Experimental verification of magnetic characteristics of electrical steel sheet under DC bias based on Energetic model[J]. Proceedings of the CSEE, 2020, 40(14): 4656-4665.
[26] Perevertov O, Schäfer R. Magnetic properties and magnetic domain structure of grain-oriented Fe-3%Si steel under compression[J]. Materials Research Express, 2016, 3(9): 096103.
[27] Li Yang, Zhu Jianguo, Zhu Lihua, et al. A dynamic magnetostriction model of grain-oriented sheet steels based on Becker–döring crystal magnetization model and Jiles–Atherton theory of magnetic hysteresis[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2020, 56(3): 1-5.
[28] 刘任, 李琳. 基于模拟退火与Levenberg-Marquardt混合算法的Energetic磁滞模型参数提取[J]. 中国电机工程学报, 2019, 39(3): 875-884, 966. Liu Ren, Li Lin. Parameter extraction for Energetic hysteresis model based on the hybrid algorithm of simulated annealing and Levenberg-Marquardt[J]. Proceedings of the CSEE, 2019, 39(3): 875-884, 966.
Simulation of Magnetic Hysteresis Characteristics of Electrical Steel Sheet under Mechanical Stress Based on Energetic Model
Abstract The electric steel sheets are widely used in the iron cores of electrical equipment such as transformers, motors, and reactors. However, in the actual processing and operation, the iron cores will be subjected to varying degrees of tensile or compressive stress, which will cause significant changes in the magnetic hysteresis characteristics of electrical steel sheets and affect the operating performance of the iron cores. Therefore, it is necessary to accurately simulate the magnetic hysteresis characteristics of electrical steel sheet under mechanical stress for the iron cores optimization design.
At present, the simulation methods of magnetic hysteresis characteristics under mechanical stress are mainly divided into three categories: the method based on Preisach model, the method based on multiscale model and the method based on Jiles-Atherton (J-A) model. Among them, the method based on Preisach model is a pure mathematical method, and cannot explain the mechanism of mechanical stress on magnetization characteristics of magnetic materials. The method based on multiscale model has a clear physical basis, but it can only simulate the anhysteretic curve. The method based on J-A model need to solve a nonlinear differential equation, and the calculation process is relatively complex. Therefore, a novel method is needed to accurately simulate the magnetic hysteresis characteristics of electrical steel sheets under mechanical stress.
Compared with the above models, Energetic hysteresis model has the advantages of simple expression and high calculation efficiency, and it can also consider the influence of mechanical stress on magnetic hysteresis characteristics. Therefore, this paper based on the original Energetic hysteresis model, the energy density caused by mechanical stress as an additional term is introduced into the total energy density of electrical steel sheets. Then according to the principle of energy balance, the field separation technology is used to realize the conversion of the energy density components to magnetic field components. Finally, considering the dependence of each parameter in Energetic model on mechanical stress, the principle of field superposition is used to establish a magnetic hysteresis model of electrical steel sheets under mechanical stress.
Taking the grain-oriented silicon steel sheet as an example, the results show that under tensile and small compressive stress (less than -7.09 MPa), the overall accuracy of simulated results is high, and the root mean square error is less than 5 A/m, which proves the accuracy of the proposed method. When the compressive stress is large (-8.86 MPa and -10.63 MPa), the root mean square error becomes larger and is close to 10 A/m, but the overall fitting is acceptable. The reason why the error increases with the increase of compressive stress is that the magnetic domain structure changes significantly when the compressive stress increases. The decrease of experimental measurement accuracy is also one of the reasons for the large simulation error. Although the tensile stress and compressive stress are measured separately and the measurement is carried out incrementally from small stress to large stress in order to reduce the experimental errors, the measurement errors would gradually accumulate during the process of increasing compressive stress. The results also show that each parameter in the model is significantly dependent on the mechanical stress, and different parameters has different dependence on the mechanical stress, and the same parameter has different dependence on compression and tensile stress. Therefore, it is necessary to consider the stress dependence of model parameters to simulate the hysteresis characteristics of electrical steel sheet under mechanical stress. In order to further clarify the influence law of mechanical stress on magnetic hysteresis characteristics, the coercivity, loss density and remanence under the action of mechanical stress are analyzed by simulation and experiment. And the average relative errors are 3.93%, 3.12% and 7.81%, respectively.
keywords：Electrical steel sheet, mechanical stress, magnetic hysteresis characteristics, Energetic model
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220421
中图分类号：TM271
国家重点研发计划（2021YFB2401703）和国家自然科学基金（52177005）资助项目。
收稿日期2022-03-23
改稿日期 2022-04-15
陈 昊 男，1994年生，博士研究生，研究方向为软磁材料磁弹性耦合模拟与电工装备优化设计。E-mail：chenhao_xmzdls@126.com
李 琳 男，1962年生，教授，博士生导师，研究方向为电磁场理论及应用与先进输变电技术。E-mail：lilin@ncepu.edu.cn（通信作者）
（编辑 郭丽军）