+D
+Sd=F （1）摘要 降低电力变压器和电机产生的有害噪声一直是诸多学者的研究热点。而产生这种噪声的振动系统很可能处于共振状态，并使之进一步加剧，其共振源又可能来自机械力或电磁力。该文研究叠置电工钢片结构磁致伸缩变形与机械共振之间的相互作用。对共振现象的研究，通常考虑的是验证电磁力的频率及空间分布与固有频率及匹配结构振型相一致，但此次分析表明，磁致伸缩在无前述情况下也可以诱导共振，且采用冷轧晶粒取向（GO）和非晶粒取向（NO）电工钢片构成的框型和环型两种闭合结构证实了这一假设。针对振动位移进行有限元（FE）仿真计算和试验测量的数据对比，并描述铁磁性材料磁致伸缩张力引起的机械共振及相应的振动频谱。
关键词：叠置电工钢片 磁致伸缩变形 机械共振 振动位移 闭合结构
通常当电气系统在公共区域运行时，对其质量评估的一个主要考虑因素就是噪声，且这种系统噪声的主要来源可分为电磁源和机械源两类。但电磁源辐射是电力变压器和电机最典型的噪声成分。除了导体（如绕组）中洛伦兹力的贡献外，这些电气设备中的电磁噪声主要是由磁致伸缩张力（如铁磁性材料铁心）和麦克斯韦应力（如气隙和接缝）引起[1-3]。因此，振动和噪声是电气设备的固有特性，并不能完全消除。文献[4]指出磁致伸缩引起的电磁效应高达总电磁力的50%。这就解释了为什么磁致伸缩仍然是电力变压器和电机的主要噪声源，正如文献[5-7]研究所述。此外，采用的铁磁性材料的磁弹性能也受到加工工艺和其他一些物理因素的影响，如轧制、热处理、切削及机械应力等。对此，文献[6, 8-9]提出几种磁致伸缩特性模型来恰当描述上述情况。进一步地，文献[10-12]将这些模型纳入开发的有限元（Finite Element, FE）仿真软件以评估电机中的磁致伸缩变形和振动。可即便如此，关于磁致伸缩与电气设备结构振动之间的相互作用研究还是很少[13-15]，对振动问题的分析基本停留在固有频率这一概念层面。实际上，当低阻尼结构（如电力变压器、电机等）受到周期性力激励时，会产生受迫振动；且当激励频率与结构的某个固有频率相匹配时，将导致位移放大，继而发生共振。每个形变的振动模态都与一个固有频率相联系，模态的数学表示可由采用的基础频率和结构振动的适当形式共同组成。
系统的动力学特性通常可用常系数M、D和S的二阶线性偏微分矩阵方程表示，即
M+D+Sd=F （1）
式中，M为质量矩阵；D为阻尼矩阵；S为机械刚度矩阵；F为激励力矢量；d、和分别为位移矢量及其对时间的一阶与二阶导数。
为满足固有频率计算中的无阻尼自由振动条件，需使式（1）中D=0, F=0，则无阻尼结构的自由振动方程为
M+Sd=0 （2）
因结构的自由振动是简谐振动，则位移函数
（w 为角频率）又可进一步改写为
，并代入式（2）可得
（3）
式（3）即为铁磁性材料结构的自由振动特征方程。模态分析的目的就是求解本特征方程的特征根wj和相应的特征向量
。
（4）
式中，d(x, t)为横向位移（偏转的大小）；(x, t)为时空依赖性；j为模态数且为整数；Aj、Bj均为依赖于初始条件的常数；
为形变的本征模态；特征值wj为固有圆频率且固有频率fj=wj/(2p)；特征向量代表结构动力学分析中j阶模态的振型。
从力学分析到共振检测，本文对磁致伸缩引起的共振现象进行了全面地研究。首先对研究所用结构进行描述；其次通过磁致伸缩张力和麦克斯韦应力计算与对比，讨论建模仿真结果；再次对结构的力学性能进行完整分析，结合仿真计算和试验测量进行结果比较；最后对磁致伸缩引起的机械共振加以详细总结。
图1所示为研究采用的铁磁性闭合结构。其中，图1a所示结构可比作长宽为200mm×200mm，柱高50mm，包含50片绝缘浸漆电工钢片，每片厚度0.30mm，总厚度为17mm的单相变压器铁心；图1b所示结构也可比作内径为150mm、外径为200mm，由30片浸漆绝缘电工钢片组成，每片厚度0.50mm，总厚度为16mm的单相变压器铁心。
图1 研究采用的铁磁性闭合结构
Fig.1 Some ferromagnetic closed structures under study
为了研究磁致伸缩变形，本文考虑了没有搭接接缝的框型和环型叠置电工钢片简单组合。实际工程中钢片在拐角处进行交叠的搭接组装结构经常被用到，因为它始终允许磁通在材料的轧制方向上流通。但当磁力线从一片钢片到另一片钢片流过小的层间气隙时将产生磁吸引力。即除了磁致伸缩振动外，还存在由于层间接缝区磁力所引起的振动[16-17]。因此，铁磁性闭合结构被切成一片，这样在磁通路径上就不会有气隙或交叠（仅代表磁致伸缩振动），如图1c所示，为放置在水平面上的单片框型闭合结构，励磁绕组被设置在一侧柱上使铁磁性框架磁化。框型铁心由3%的冷轧晶粒取向（Grain Oriented, GO）电工钢30Q140制成的；环型铁心由3%的冷轧非晶粒取向（Non-grain Oriented, NO）电工钢50WW800构成。表1给出了这些电工钢的典型物理特性参数。
表1 研究所用电工钢的典型物理特性参数
Tab.1 The typical physical property parameters of some electrical steels under study
电工钢等级质量密度/(kg/m3)泊松比n杨氏模量/GPa 30Q1407 6500.30200 50WW8007 8000.30210
当叠置铁心处于交变磁场中磁化时，磁致伸缩张力将引起铁心叠片的尺寸变化和振动，进而导致机械共振[15]。此外，当共振发生时，存在于气隙和接缝中的麦克斯韦应力也可能导致更高的噪声辐 射[18-19]。由于这些力的发生频率与磁致伸缩相同[20]，因此很难量化麦克斯韦应力比磁致伸缩张力大或小多少。为了突显这种差异对比性，本文对一个没有气隙或交叠的铁磁性闭合框型结构进行建模与计算，麦克斯韦应力仅出现在框架的四周上，如图2所示。这些力可能是由于漏磁场线或励磁线圈的存在所引起的。
图2 铁磁性闭合框型铁心的麦克斯韦应力分布仿真
Fig.2 Simulated Maxwell stresses distribution on the ferromagnetic closed frame shape core
麦克斯韦压力p可写为
（5）
式中，BLa为漏磁场磁通密度（主要分布于框架转角处）；m0为真空磁导率，m0=4p×10-7H/m。由图2可以看出，由于周向磁通密度的量级很低，其所引起的压力或应力也将非常弱小。
用于计算的磁致伸缩模型是基于高能和宏观的方法，且考虑了磁性和磁致伸缩各向异性的影响[21]。提出的模型旨在最小化铁心材料内部的自由能。总自由能Etot可以写成退磁能Edem、各向异性能Eani、塞曼能Ez和磁弹性能Eτ，即
Etot=Edem+Eani+Ez+Eτ （6）
磁致伸缩张力
可通过最小化式（6）中所描述的总自由能进行计算。在本文的磁致伸缩模型中，弹性变形的动力学方程为
（7）
式中，
为磁致伸缩等效体积力；
为磁致伸缩变形所引起的张力场，
。
在有限元计算中，假定磁弹性耦合较弱。该方法的一般原理是在结构计算中计算网格节点的等效力，从而再现磁致伸缩变形。这些等效的磁致伸缩节点力构成结构计算中的应用载荷，并对问题的所有节点进行计算。
图2和图3所示为闭合框型铁心结构的仿真结果，包括麦克斯韦应力计算和基于磁致伸缩模型的等效张力计算。经作差表明，磁致伸缩张力引起的位移是仅由麦克斯韦应力所引起位移的10倍，即dms=10dMaxwell。因此，可认为磁致伸缩是引起结构机械共振的唯一来源。以往对类似变压器结构的器件中由磁致伸缩引起的机械共振未有详细的研究，且由于本文所设立的装置中无气隙，麦克斯韦应力可以忽略不计，因此可仅考虑磁致伸缩作为共振的主要来源。
图3 铁磁性闭合框型铁心的位移仿真
Fig.3 Simulated displacement of the ferromagnetic closed frame shape core
3.1.1 描述（模态分析）
为了识别结构的本征模态，本文基于COMSOL Multiphysics有限元仿真软件对铁磁性闭合框架进行了模态计算与分析。由于闭合结构为一组叠置框型铁心，为了尽可能地模拟真实的振动特性，所建模型为包含50片每片厚度0.30mm的钢片组合框架（无限接近实际的框型铁心结构），且对应地设定接触条件（叠压系数0.88）。利用该系数并结合表1，可以很好地模拟叠片铁心的层间特性。为了同时获得结构的面内和面外模态振型，在建模时将所有叠置钢片设置为一个三维块体集合。
3.1.2 仿真结果
铁磁性闭合框架的振动位移仿真可分为面内振动模态和面外振动模态两种振型。其面内位移的模态分析结果如图4所示，面外位移的模态分析结果如图5所示，研究的频率范围均为0～3kHz。
图4 0～3kHz频率范围内铁磁性闭合框架的面内模态振型总位移仿真
Fig.4 Simulated the total displacements of in-plane mode shapes of the ferromagnetic closed frame in the range 0～3kHz
由图4和图5可以看出，在研究频率范围内，面外模态的振型比面内模态的振型更为复杂。3.1.2的有限元仿真结果将与3.2的模态试验分析进行比较。
图5 0～3kHz频率范围内铁磁性闭合框架的面外模态振型总位移仿真
Fig.5 Simulated the total displacements of out-of-plane mode shapes of the ferromagnetic closed frame in the range 0～3kHz
本节研究在励磁绕组终端无任何电激励情况下的闭合框架结构动态特性。
首先，通过吊起铁磁性框架，对实际的闭合结构进行测量。而后详细介绍结构的试验固有频率和模态振型，如图6所示。最后结合试验模态和仿真模态的数值对比（见表2）进行讨论。
图6 模态振型的试验平均频率响应函数
Fig.6 Experimental mean frequency response function for mode shapes
由图6可以清晰地看出，在研究频率0～3kHz范围内，面内和面外试验平均频率响应函数（Mean Frequency Response Function, MFRF）（加速度/力）都有6个共振峰，表明试验模态振型与图4和图5的仿真计算结果相一致。但铁磁性闭合框架的两柱在如图6b所示的面外试验模态3～6中却展现出一种奇怪的特性，对此现象的一种可能性判断是与测量噪声有关。但当旋转框型结构1/4圈后进行第二次重复测试，原有两柱依旧表现出上述同样的特性。因此，可以得出结论，即在这两柱上观察到的局部现象与结构本身有关，也可解释为结构内部的一些局部钢片层脱离。总之，通过试验可以获得铁磁性闭合框架的振动模态固有频率，且面内试验模态振型与仿真计算结果更为相似，对其所有模态频率的预测精度也更高。表2对固有频率的试验值和计算值进行汇总与对比。
表2 测量与计算的固有频率对比
Tab.2 Comparison between measured and computed natural frequencies
频率特性模态频率/Hz 测量值计算值 面内固有频率特性1342346 (1.17%) 2590592 (0.34%) 31 1971 197 41 3981 402 (0.29%) 52 5902 584 (-0.23%) 63 0202 979 (-1.36%) 面外固有频率特性1193191 (-1.04%) 2432547 (26.62%) 3708930 (31.36%) 41 0561 193 (12.97%) 51 8042 087 (15.69%) 62 0912 435 (16.45%)
对于面外模态，除一阶频率外，其试验固有频率与仿真结果有很大不同，但依然在可接受范围内。因为实际的闭合叠片框架组装结构是由绝缘漆维护的，这可能改变结构（叠片+绝缘漆）本身的机械性能。同时，由于相邻钢片层间的相互弹性效应以及层间绝缘漆的存在引起共振频率的增大或减小，致使这种层间滑移结构变得更为复杂。
铁磁性闭合环架的模态振型试验如图7所示，和铁磁性闭合框架的实现方法相同，同时对铁磁性闭合环架进行了模态振型仿真计算和试验测试。结果表明，铁磁性闭合环架具备诸多优点：磁路缩短，减少了磁致伸缩引起的变形；闭合环架上没有接缝，避免了接缝引起的振动和噪声；环形结构的径向变形将大大减小。在上述优点的共同作用下可实现一种新型的低振动、低噪声电力变压器铁心设计。这将是下一步研究的重点。
图7 铁磁性闭合环架的模态振型试验
Fig.7 Experiments for mode shapes of the ferromagnetic closed ring
本文详细研究了磁致伸缩张力引起的机械共振。当铁磁性闭合框架的固有频率与面内和面外模态振型的多重激励频率相匹配时，将发生结构共振。结论如下：
1）铁磁性闭合框架的面内振动特性仿真计算和试验测试结果相似。由于局部现象的存在，面外模态的建模与分析更为复杂。尽管如此，仿真所得频率分辨率相对可以接受。
2）研究证实，即使在极低的激励振幅下，仅靠磁致伸缩就可能引起叠置结构的共振。
3）当磁致伸缩张力的频率与铁磁性框架的固有频率一致时，共振就会发生，而不必了解变形情况的空间分布。
4）铁磁性闭合框架发生共振时的峰-峰值位移增大是由于面内和面外方向的磁致伸缩变形导致的。
5）铁磁性闭合环架比铁磁性闭合框架存在诸多更好的优点，这将是下一步研究的重点。
本文证实了磁致伸缩变形可能与叠置结构的机械共振有关，应在冷轧晶粒取向、非晶粒取向铁磁性电工材料和任何其他等级的磁致伸缩材料设计阶段就要加以考虑。为了制造运行噪声更小的电力变压器和电机，必须考虑由磁致伸缩引起的机械共振，它可能是噪声的一个重要来源，并且在结构中增加阻尼是避免共振的有效方法。
参考文献
[1] Peng Shuai, Jürgen B. Investigation of acoustic noise sources in medium frequency, medium voltage trans- formers[C]//2014 16th European Conference on Power Electronics and Applications, Lappeenranta, Finland, 2014: 1-8.
[2] 陈德志, 张玉庸, 白保东, 等. 不同温度及谐波下硅钢片电磁-力特性与变频电机振动[J]. 电工技术学报, 2020, 35(22): 4647-4656.
Chen Dezhi, Zhang Yuyong, Bai Baodong, et al. Electromagnetic-force and vibration of silicon steel sheet and variable frequency motor under different temperature and harmonic[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(22): 4647-4656.
[3] 翁玲, 常振, 孙英, 等. 不同磁致伸缩材料的高频磁能损耗分析与实验研究[J]. 电工技术学报, 2020, 35(10): 2079-2087.
Weng Ling, Chang Zhen, Sun Ying, et al. Analysis and experimental study on high frequency magneto- strictive energy loss of different magnetostrictive materials[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(10): 2079-2087.
[4] Mohammed O A, Calvert T, Mcconnell R. Coupled magnetoelastic finite element formulation including anisotropic reluctivity tensor and magnetostriction effects for machinery applications[J]. IEEE Transa- ctions on Magnetics, 2001, 37(5): 3388-3392.
[5] Belahcen A. Vibrations of rotating electrical machines due to magnetomechanical coupling and magneto- striction[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2006, 42(4): 971-974.
[6] 吴胜男, 于慎波, 佟文明, 等. 磁致伸缩引起的径向磁通电机定子铁心振动精确解析模型[J]. 电工技术学报, 2019, 34(2): 226-235.
Wu Shengnan, Yu Shenbo, Tong Wenming, et al. A precise analytical model of stator core vibration due to magnetostriction for radial flux motors[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(2): 226-235.
[7] Moses A J, Anderson P I, Phophongviwat T, et al. Contribution of magnetostriction to transformer noise[C]//45th International Universities Power Engineering Conference (UPEC2010), Cardiff, UK, 2010: 1-5.
[8] Fonteyn K, Belahcen A, Kouhia R, et al. FEM for directly coupled magneto-mechanical phenomena in electrical machines[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2010, 46(8): 2923-2926.
[9] Aydin U, Rasilo P, Martin F, et al. Magneto- mechanical modeling of electrical steel sheets[J]. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2017, 439: 82-90.
[10] 潘超, 衣双园, 蔡国伟, 等. 交直流混杂模式下变压器励磁-振动特性研究[J]. 电工技术学报, 2019, 34(18): 3788-3796.
Pan Chao, Yi Shuangyuan, Cai Guowei, et al. Excitation-vibration characteristics of transformer in AC-DC hybrid operation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(18): 3788-3796.
[11] Belahcen A, Singh D, Rasilo P, et al. Anisotropic and strain-dependent model of magnetostriction in elec- trical steel sheets[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2015, 51(3): 2001204.
[12] Liu Mingyong, Hubert O, Mininger X, et al. Redu- ction of power transformer core noise generation due to magnetostriction-induced deformations using fully coupled finite element modeling optimization procedures[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2017, 53(8): 8400511.
[13] 汪颖, 罗代军, 肖先勇, 等. 多逆变器并网下的超高次谐振特性分析[J]. 电力系统自动化, 2020, 44(1): 192-199.
Wang Ying, Luo Daijun, Xiao Xianyong, et al. Analysis on supraharmonic resonance characteristics with integration of multiple inverters[J]. Automation of Electric Power Systems, 2020, 44(1): 192-199.
[14] Kamimoto K, Ishibashi F, Noda S, et al. Mag- netostriction and motor vibration[J]. Electrical Engineering in Japan, 2004, 148(2): 8-13.
[15] Somkun S, Moses A J, Anderson P I. Mechanical resonance in nonoriented electrical steels induced by magnetostriction under PWM voltage excitation[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2008, 44(11): 4062- 4065.
[16] Weiser B, Pfützner H, Anger J. Relevance of magnetostriction and forces for the generation of audible noise of transformer cores[J]. IEEE Transa- ctions on Magnetics, 2000, 36(5): 3759-3777.
[17] 闫荣格, 赵文月, 陈俊杰, 等. 基于谐波注入的串联电抗器的减振研究[J]. 电工技术学报, 2020, 35(16): 3445-3452.
Yan Rongge, Zhao Wenyue, Chen Junjie, et al. Research on vibration reduction of series reactor based on harmonic injection[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(16): 3445-3452.
[18] Pellerey P, Lanfranchi V, Friedrich G. Coupled numerical simulation between electromagnetic and structural models. Influence of the supply harmonics for synchronous machine vibrations[J]. IEEE Transa- ctions on Magnetics, 2012, 48(2): 983-986.
[19] Bouayed K, Mebarek L, Lanfranchi V, et al. Noise and vibration of a power transformer under an electrical excitation[J]. Applied Acoustics, 2017, 128: 64-70.
[20] Låftman L. Magnetostriction and its contribution to noise in a PWM inverter fed induction machine[J]. Journal De Physique IV, 1998, 8(PR2): Pr2-567-Pr2- 570.
[21] Mbengue S S, Buiron N, Lanfranchi V. An aniso- tropic model for magnetostriction and magnetization computing for noise generation in electric devices[J]. Sensors, 2016, 16(4): 553-563.
Study of Mechanical Resonance Induced by Magnetostriction in Closed Structures Based on Fe-Si
Abstract The noise produced by power transformers and electrical machines is harmful, and its reduction has always been a research hotspot. The vibration system that produces such noise is likely to be in resonance and becomes more drastic, and the resonance may be mechanical force or magnetic force. The interaction between the deformation due to magnetostriction and mechanical resonance of a structure made up of laminated steel sheets is investigated in this paper. In the study of resonance phenomena, it is usually considered that the frequency and the spatial distribution of the electromagnetic forces coincide with the natural frequency and the mode shapes of the corresponding structure. However, it is observed that the magnetostriction may induce a resonance without the aforementioned conditions. Two closed structures of frame-shaped sheet and ring-shaped sheet consisting of cold-rolled grain-oriented (GO) and non-grain oriented (NO) electrical steels are used to confirm this assumption. The finite element (FE) simulated calculations and measurements are compared for vibration displacements. The results of mechanical resonance induced by the magnetostrictive strain from ferromagnetic materials are shown, as well as the corresponding vibration spectrum.
keywords：Laminated steel sheets, magnetostrictive deformation, mechanical resonance, vibration displacements, closed structures
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.L90281
中图分类号：TM271; TM153+.3
李劲松 男，1987年生，博士，副教授，硕士生导师，研究方向为电力变压器集电磁振动及其减振降噪与非侵入式在线检测的数字孪生技术、功率跟踪型混合储能电力变压器及其系统等。E-mail: lijingsong2019@dlut.edu.cn（通信作者）
梁振宗 男，1998年生，硕士研究生，研究方向为电力变压器高频电磁振动响应与噪声分析等。E-mail: liangzhenzong@mail.dlut.edu.cn
收稿日期 2020-07-08
改稿日期 2021-01-21
山东省科技型中小企业创新能力提升工程项目（2021TSGC1408）、济宁市重点研发计划（2020PZJY006）、教育部产学合作协同育人项目（202102449010，202102531001，202101109001）、中央高校基本科研业务费（DUT20RC(3)018）、国家自然科学基金青年科学基金（51807106）和日本科学促进协会（JSPS）赠款资助科学研究（KAKENHI）（JP18K18044）资助。
（编辑 崔文静）