图1 激励不平衡的示意图
Fig.1 The diagram of excitation imbalance
摘要 为了提高复杂激励下电力电子装置中铁心损耗的计算精度，该文提出两种用于计算矩形波叠加直流偏置激励（即非正弦激励）下铁心损耗的计算方法。首先，修正延伸到矩形波激励计算的斯坦梅茨公式（RESE）以适应非正弦激励，并推导出相应的计算式。其次，考虑在非正弦激励下，等效电导率r 的非线性，对铁耗分离法做进一步修正。然后，构建磁滞回线测试平台，在20kHz范围内对日立纳米晶铁心样品FT-3KS（Fe73.5CuNd3Si13.5B9）进行正弦及非正弦激励下损耗测试。对损耗测量结果进行数值拟合，得到各方法的解析计算式。最后，通过实测值与模型预测值对比分析，两种方法的平均预测误差控制在10%以内，验证了上述方法的有效性。
关键词：铁心损耗 矩形波叠加直流偏置激励 修正RESE公式法 修正铁耗分离法
高功率密度、高效、高可靠性等特点的开关电源已在航空航天、通信、计算机等各个领域得到了广泛的应用。磁性元件作为开关电源中不可或缺的一部分，对开关电源的效率和可靠性有重要影响。例如，磁性元件中流过电流会带来热损耗，其温度将升高。温度的显著升高，可能会造成开关电源工作失效[1]。而温度升高的一个重要原因就是铁心损耗。
目前，学术界围绕着正弦激励或正弦叠加直流偏置激励下铁心损耗的预测已做了很多工作，但对于开关电源中磁性元件实际工况下的铁心损耗问题的研究还比较少。图1所示为高压大功率场合出现的激励不平衡的问题示意图。开关频率f、磁感应强度的幅值Bm、占空比D、直流偏置Hdc等工作条件的变化都会对铁心损耗产生直接影响，这使得铁心损耗的建模难度增加。
图1 激励不平衡的示意图
Fig.1 The diagram of excitation imbalance
现有的模型大部分仅考虑占空比D或者直流偏置Hdc对铁心损耗的影响，并没有综合考虑占空比D和直流偏置Hdc对铁心损耗的共同影响，无法很好地预测实际复杂工作情况下开关电源中磁性元件的铁心损耗[2]。因此，研究非正弦激励下的铁心损耗建模对于不同工作模态的开关电源的设计与优化是十分有必要的。
传统非正弦激励下铁心损耗的计算方法主要有磁滞模型法和修正的Steinmetz经验公式法。磁滞模型法又主要包括Preisach模型[3-4]和Jiles-Atherton磁滞模型[5]，这些模型虽然计算精度比较高，但是均需要多种参数的辨识，计算量巨大，使得这类方法在实际工程中并不常用。修正的Steinmetz经验公式法一方面是通过改进Steinmetz公式，计算矩形波激励下的铁心损耗，目前广泛应用的方法有修正的斯坦梅茨公式（Modified Steinmetz Equation, MSE）、改进的广义斯坦梅茨公式（improved Generalized Steinmetz Equation, iGSE）、基于波形系数的斯坦梅茨公式（Waveform Coefficient Steinmetz Equation, WCSE）、二次改进广义的斯坦梅茨公式（improved improved Generalized Steinmetz Equation, i2GSE）和延伸到矩形波激励计算的斯坦梅茨公式（Rectan- gular Extension of Steinmetz Equation, RESE）等[6-10]。这些模型更加具体，更有针对性，在一定的频率范围内，对于矩形波激励的计算精度能够极好地满足工程需要。另一方面，针对正弦叠加偏置激励，主要是通过修正Steinmetz方程中的k参数，即引入了一个替换因子（Displacement Factor, DPF）来考虑直流偏置的影响，DPF为在不同偏置磁场强度和不同交流分量的条件下测得的有直流偏置与没有直流偏置情况下铁心损耗的比值[11-13]。这种处理偏置的方式计算简单，但并没有具体介绍偏置系数表达式中每个参数的含义。这样会因为缺乏理论验证而造成拟合出的系数不具有普适性，具体到工程计算还是存在一定的应用问题。文献[14]基于一组正弦偏置下的损耗数据，提出一种铁心损耗预测模型——改进铁耗分离法，用于预估非正弦激励下的铁心损耗。文献[15-16]提出一种绘制斯坦梅茨预磁化图（Steinmetz Premagnetization Graph, SPG）的方法。绘制了ki/ki0，bi/bi0随直流偏置Hdc的变化，其中，ki0和bi0为无偏置时iGSE公式中的待求参数，ki和bi为有偏置时iGSE公式中的待求参数。该方法使iGSE公式可以适用于非正弦激励下的铁心损耗计算。然而仅考虑了占空比为0.5的情况。由于磁性材料具有很强的非线性，现有的研究方法没有同时考虑占空比和直流偏置对铁心损耗的影响，大都会存在一定程度的局限性。
本文基于已有的铁心损耗计算方法，包括RESE法和铁耗分离法，综合考虑占空比与直流偏置对铁心损耗的影响，推导出非正弦激励下铁心损耗的工程计算方法——修正RESE公式法和修正铁耗分离法。通过测量环形日立纳米晶FT-3KS（Fe73.5CuNd3Si13.5B9）铁心在正弦和非正弦激励下的铁耗，数值拟合得到上述各方法的解析计算式。最后，将实验测量结果和上述方法的解析计算结果进行比较，验证各修正方法的准确性和理论分析的有效性。
1.1.1 占空比因子的影响
非正弦激励下铁心损耗的建模需要考虑两个因素的影响，即占空比因子和偏置因子。在文献[10]中将铁心损耗等效为与理想电感并联的电阻上的损耗。选择此并联电路表示铁心损耗的原因是铁心通常是电压励磁，输入的总能量一部分被储存，一部分在铁心中产生损耗（包括磁滞损耗、涡流损耗等）。此并联电路模型与铁心损耗的产生过程类似。假设交流电压施加在电路的输入端，理想的电感会储存一些能量，电阻会消耗一定的损耗。
根据电磁感应定律，得到铁心单元中交变磁通产生的感应电动势v(t)。进而得到总铁心损耗Pv的计算表达式[10]为
（1）式中，Rc为并联电路模型中的等效电阻；N为一次绕组的匝数；Ae为铁心截面积；Ve为铁心体积；T为一个完整的磁化周期；B(t)为磁感应强度的瞬 时值。
根据式（1），推导得到矩形波激励和正弦激励下的总铁心损耗为
（2）
（3）
式中，Pv_rect和Rc_rect分别为矩形波激励下的铁心损耗和等效电阻；D为矩形波激励的占空比；
为磁感应强度的峰-峰值；Pv_sin和Rc_sin分别为正弦波激励下的铁心损耗和等效电阻。求得Pv_rect与Pv_sin的比值为
（4） 正弦波激励下的等效电阻Rc_sin与矩形波激励下的等效电阻Rc_rect的比值与占空比D之间的关系如图2所示。
图2 等效电阻的比值与占空比的关系
Fig.2 Relationship between the ratio of the two equivalent resistances and duty cycle
在磁感应强度的幅值Bm相同的情况下，两个等效电阻的比值关于占空比0.5轴对称。写成数学的形式，有
（5）式中，w为两个等效电阻的比值中的未知参数，其大小与占空比有关[10]。
引入一个变量KD为占空比因子，它表示在相同幅值的磁感应强度Bm和相同频率f下，矩形波激励产生的铁心损耗与正弦波激励产生的铁心损耗的比值，有
（6）式中，a、b为待求取的参数。
1.1.2 偏置因子的影响
本节以频率15kHz分析偏置因子对铁心损耗的影响。定义偏置因子Kdc为非正弦激励下测量的铁心损耗Pv_non-sin与矩形波激励下的铁心损耗Pv_rect的比值，有
（7）图3所示为Kdc与Hdc的函数关系。保持磁感应强度的幅值Bm不变，随着直流偏置量的增加，Kdc呈现增长的趋势，即Kdc为Hdc的增函数。
如图4所示为占空比为0.3时，Kdc与Bm的函数关系。保持偏置量Hdc不变，随着交流磁感应强度的幅值Bm的增加，Kdc呈现减小的趋势，且减小的速率变缓。Kdc为Bm的减函数。
图3 Kdc与Hdc的关系
Fig.3 Relationship between Kdc and Hdc
图4 Kdc与Bm的关系
Fig.4 Relationship between Kdc and Bm
偏置磁场的叠加会引起额外的铁心损耗，即 Kdc≥1，另外由于磁性材料的高度非线性，Bdc的求取难度远远大于Hdc，因而为了提高模型的准确性，在确定Kdc的表达式时，使用直流偏置Hdc为变量。另外基于对图4和图5的分析，本文提出的偏置系数表达式的基本形式为
（8）式中，r和q为待求取的参数。
适用于正弦波激励下的铁耗分离法为
（9）式中，第一项为磁滞损耗；第二项为总涡流损耗，其包括经典涡流损耗和剩余涡流损耗；ax、ay为正弦波激励下铁耗分离法中的常数；f为施加激励的频率；
、
及
为正弦波激励下铁耗分离法中的未知参数，其中的取值在1.5～2.5；及的取值在1.5～2，当经典涡流损耗起主导作用时，约为2，当剩余涡流损耗起主导作用时，约为1.5[17]。
图5为矩形波激励下，改进的斯坦梅茨公式（Improved Steinmetz Equation, ISE）的计算过程。
图5 ISE方法计算过程
Fig.5 The calculation process of ISE method
一般将矩形波激励的示意图分为AB部分和BC部分。将占空比非0.5的矩形波激励下的铁损拆分为两个占空比为0.5，频率和周期分别为f1、T1和f2、T2（其中f1=f/(2D), f2=f/[2(1-D)]）的矩形波激励下的铁损。然后，将两种占空比为0.5的矩形波产生的总铁心损耗按比例线性叠加，求得占空比非0.5的矩形波激励下的铁心损耗。文献[18]将此计算矩形波激励下铁心损耗的方法定义为ISE方法。其在20kHz频率范围内表达式[18]为
（10）式中，k、a、b 均为Steinmetz公式的损耗系数。
如图1中所示的非正弦激励，通过按比例线性叠加的思路，并结合式（9）与式（10），推导出修正铁耗分离法。本文修正铁耗分离法在非正弦激励下磁滞损耗和总涡流损耗的计算表达式分别为
（11）
（12）
式中，a0、a1为与占空比和偏置量相关的待求变量；
、
、
为非正弦激励下修正铁耗分离法中的待求参数；PABC(hysteresis)为修正铁耗分离法计算的总磁滞损耗；PAB(hysteresis)为修正铁耗分离法计算的AB部分产生的的磁滞损耗；PBC(hysteresis)为修正铁耗分离法计算的BC部分产生的磁滞损耗；PABC(eddy)为修正铁耗分离法计算的总涡流损耗；PAB(eddy)为修正铁耗分离法计算的AB部分产生的总涡流损耗；PBC(eddy)为修正铁耗分离法计算的BC部分产生的总涡流损耗。
本文根据磁特性实验方法测得磁滞回线，再根据实验结果计算铁心损耗。测试样品为日立系列纳米晶FT-3KS（Fe73.5CuNd3Si13.5B9），一次侧和二次侧的匝数比为1
1，且根据激励频率的大小，匝数在4～10变化。实验原理如图6所示。激励信号可为正弦波激励和非正弦波激励，两种激励均通过信号发生器（泰克AFG 2021-SG）产生，并通过功率放大器（ATA-4014）进行放大。电流探头（安捷伦N2779A）和电压探头（品致DP-25）分别采集一次电流i1和二次电压u2的波形数据，并用计算机对其进行处理和计算，获得材料的磁滞回线。需要指出的是，采用这种方法所绘制的是某一频率下的动态磁滞回线，它反映的是磁性材料在一个磁化周期内的磁化过程，因为包含了涡流损耗和额外损耗，所以动态磁滞回线的面积即表示了单位体积磁性材料在一个磁化周期内的总铁心损耗。在1～20kHz频率范围内，可以忽略由测量探头带来的i1和u2之间的相位误差。
图6 测试系统示意图
Fig.6 Overview of the test system
在频率f为1～20kHz，磁感应强度的幅值Bm为0.2～1.2T的范围内对纳米晶进行正弦激励下的铁心的磁特性测量，部分实验结果如图7所示。
图7a为频率10kHz，不同幅值的磁感应强度Bm下的磁滞回线，图7b为不同频率f下，纳米晶的总铁心损耗曲线。通过非线性最小二乘法曲线拟合的方法得到纳米晶样品在1～20kHz频段范围，正弦激励下的Steinmetz公式损耗系数a=1.349，b=2.203，k=5.289×10-4。即正弦激励下铁心损耗Pv_sin表达式为
图7 正弦激励的测试结果
Fig.7 Measurement results under sinusoidal excitation
（13）另外，测试了不同占空比D、不同励磁频率f、不同幅值的磁感应强度Bm、不同直流偏置磁场Hdc下的铁损数值。图8为在频率是15kHz，磁感应强度的幅值为0.5T时，纳米晶的铁心损耗。随着偏置磁场的增加，铁心损耗增加，且占空比越极限，铁心损耗增加的越明显。这是因为激励的占空比越极限，其等效频率越大。而频率越高，涡流损耗在总损耗中占的百分比也会增加[19]。铁心损耗的等效电阻率r 与铁心工作的磁场强度区间相关。由于偏置量Hdc导致铁心的工作区间发生变化，进而引起r 的减小，使得涡流损耗增加，且频率越高，涡流损耗增加得越明显[20]。
2.2.1 修正RESE公式法的解析计算式
不同的磁感应强度的幅值Bm拟合的a、b值是不相同的。不同幅值的磁感应强度Bm下拟合的a、b值见表1。
图8 非正弦激励的铁心损耗
Fig.8 Core loss under non-sinusoidal excitation
表1 不同幅值的磁感应强度Bm下的a和b的值
Tab.1 The value of a and b under different flux densities
Bm/Tab 0.30.4130.539 0.40.4340.508 0.50.4020.566 0.60.3650.634 0.70.3820.613 0.80.3260.713
为了表达式的简洁和计算结果的精确，研究中并未将a、b表示为Bm的函数，而是通过分段线性化取值，将占空比分为极限占空比和非极限占空比（0.2～0.8）。a、b优化后的取值结果见表2。
表2 优化后a和b的值
Tab.2 The value of a and b after optimization
占空比Bm/Tab 0.2～0.80.1～1.20.4020.566 0.1或0.90.1～0.50.4130.539 0.6～0.70.3650.634 0.8～1.20.3260.713
利用优化后的a、b计算得到不同占空比下占空比因子KD所得的误差的绝对值在6%之内，满足工程计算要求。
已有的文献中，考虑偏置对铁心损耗的影响时，通常以占空比0.5为例展开研究。与占空比0.5相比，考虑非0.5占空比的矩形波叠加偏置对铁心损耗的影响，实验过程中，从激励波形的控制到实验数据的采集与处理均存在一定难度。本文为了使计算模型更具有普适性，将偏置对铁心损耗的影响扩展到非0.5占空比工况下。
图9所示为不同占空比下的q、r取值。在修正的RESE公式法中q、r是仅与占空比相关的参数。
图9 不同占空比下的q和r的值
Fig.9 The value of q and r under different duty cycles
在计算Kdc时，不同占空比下，参数q、r的值变化幅度较大，也说明了不同占空比下，偏置磁场对铁损的影响不相同。占空比不同，则等效磁化频率feq不同，导致畴壁运动的微观速率不同，从而使得不同占空比下，偏置磁场对损耗的影响不同。
最终得到非正弦激励下，修正RESE公式法的解析计算式为
（14）式中，
为使用修正RESE公式法计算得到的非正弦激励下的总铁心损耗。
2.2.2 修正损耗分离法的解析计算式
使用非线性最小二乘法原理逼近的利文伯格-马尔特（Levenberg-Marquardt, L-M）算法确定式（11）和式（12）中的未知系数。其中，非正弦激励下修正铁耗分离法中的未知参数
、
和
并不随着占空比D和偏置磁场Hdc的变化而变化，分别取值为2.5、2和1.5。此时，参数a0、a1则会随着占空比D和偏置磁场Hdc的变化而变化。结合式（11）和式（12）可知，参数a0、a1的变化趋势即为磁滞损耗和涡流损耗的变化趋势。
图10为a0、a1在不同占空比D，随偏置Hdc的变化。其中，图10a显示了a0在不同占空比下的变化。随着偏置的增加，a0减小且逐渐趋于稳定，这意味着随着偏置磁场的增加，磁滞损耗稍有降低并最终稳定到某一值。磁滞损耗是磁性材料在磁化过程中克服磁畴壁的摩擦所消耗的能量，随着偏置的增加，对于由超微细晶体构成的纳米晶材料来说，磁畴的体积稍有增加，于是总的磁畴的个数降低，总的磁滞损耗稍有减小。
图10 a0和a1随偏置的变化
Fig.10 Variation of a0 and a1 with DC bias
图10b显示了a1在不同占空比D下，随偏置Hdc的变化。a1在不同占空比下，随着偏置的增加而增加，且占空比越极限这种变化越明显。这意味着随着偏置磁场的增加，总涡流损耗增加。经典涡流损耗与磁感应强度的变化率和铁心的电阻率r 有关，剩余涡流损耗是铁心中的弛豫效应引起的，与磁性材料本身的特性相关。
经典涡流损耗Pc_eddy和剩余涡流损耗Pex_eddy分别为
（15）
（16）
式中，r 为电导率；a、n0为常数[21-22]。当存在偏置时，等效电阻率r 不再是常数，磁导率mi和电导率si（si=1/r）的非线性关系为
（17）式中，mi为与材料的形状和尺寸相关的量[23]。随着偏置磁场的增加，等效磁导率mi降低，可知此时电导率si增加，则等效电阻率r 降低。由式（15）和式（16）可知，等效电阻率r 降低，总涡流损耗增加。
在确定修正铁耗分离公式的解析计算式时，引入式（18）、式（19）所示的矩阵，来表示不同占空比下两个参数随偏置的变化规律。
（18）
（19）
式中，a0(z)和a1(z)分别为占空比为z条件下的a0和a1的取值（z=0.2, 0.3, 0.4, 0.5）；mij和nij为常数（i=1, 2, 3, 4和j=1, 2, 3, 4, 5），mij和nij的具体取值见附录中的附表1和附表2。
最终得到非正弦激励下，修正铁耗分离法的解析计算式为
（20）式中，
为修正铁耗分离法计算的非正弦激励下的总铁心损耗。
将环形纳米晶铁心的损耗测试结果和通过修正的损耗计算方法预测的结果共同绘制成图。图11为占空比为0.2，磁感应强度的幅值Bm分别为0.3T和0.8T，频率f =15kHz时，使用修正铁耗分离法计算的铁损与实验值的对比。
通过图11可以看出，磁滞损耗随着偏置量的增加而减小，涡流损耗随着偏置量的增加而增加。与2.2.2节中分析的偏置磁场对磁滞损耗与总涡流损耗影响的理论相吻合。
图11 测量值与用修正铁耗分离法的计算值的对比
Fig.11 Comparison between measured and calculated values by the modified core loss separation method
图12为非正弦激励的占空比为0.3，频率为15kHz时，不同直流偏置和不同幅值的磁感应强度下，总铁心损耗的两种方法的计算值与测量值的对比情况。
可以看出，在非正弦激励下，两种方法的解析计算结果与实验测量结果相差很小，由此验证了两种方法计算的准确性。
图12 两种方法的损耗计算值对比
Fig.12 Comparison of calculated core loss values between the two methods
图13为频率为15kHz，占空比为0.3时，修正RESE公式法和修正铁耗分离法的误差（计算值与实验值的差与实验值的比值的绝对值）对比，可以看出，相同条件下，尽管两种方法均可以准确地计算铁心损耗，然而修正铁耗分离法的计算精度高于修正RESE经验公式法。一方面，因为修正RESE公式法需要拟合的未知参数的数量比修正铁耗分离法多；另一方面，在修正RESE经验公式法中，计算占空比因子KD的优化算法不够精确。
图13 两种修正方法的误差对比
Fig.13 Comparison of error between the two methods
本文提出了两种适用于非正弦激励下铁心损耗的计算方法，得出了以下结论：
1）推导了适用于非正弦激励铁心损耗计算的修正RESE公式法，并详细介绍了偏置因子和占空比因子对铁心损耗的影响，平均计算精度为7%，计算精度满足工程要求。
2）推导了适用于非正弦激励铁心损耗计算的修正铁耗分离方法。解释了直流偏置对磁滞损耗和涡流损耗的影响。并利用该方法正确地分离出了磁滞损耗和总涡流损耗，平均计算精度为5%，计算精度满足工程要求。
3）通过与实验测量结果进行比较，在非极限占空比处验证了本文给出的修正铁耗分离法解析计算式和修正RESE公式法解析计算式的准确性。其中，修正铁耗分离法，由于需要拟合的参数少，计算精度相对较高。研究结果可为不同工作模态Boost和Buck等功率变换器的优化设计阶段的铁心损耗计算提供参考。
附录
附表1 修正铁耗分离法中a0取值
App.Tab.1 a0 in modified core loss separation method
imij j=1j=2j=3j=4j=5 11.37×10-28.77×10-3-5.69×10-31.1×10-3-8.5×10-5 21.73×10-2-2.29×10-3-9.43×10-44.53×10-4-5.43×10-5 31.36×10-28.35×10-4-1.98×10-35.21×10-4-4.46×10-5 41.25×10-2-3.86×10-32.18×10-3-5.90×10-45.10×10-5
附表2 修正铁耗分离法中a1取值
App.Tab.2 a1 in modified core loss separation method
inij j=1j=2j=3j=4j=5 18.04×10-5-3.01×10-53.24×10-5-6.58×10-65.25×10-7 23.43×10-52.64×10-55.09×10-6-2.79×10-63.41×10-7 35.12×10-5-7.36×10-61.95×10-5-5.38×10-64.68×10-7 45.32×10-53.01×10-5-1.79×10-55.10×10-6-4.59×10-7
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The Calculation Method of Nanocrystalline Core Loss Under Non-Sinusoidal Excitation and Experimental Verification
Abstract In order to improve the calculation accuracy of core loss in power electronic devices under complex excitation, two core loss calculation methods under rectangular waveform with DC bias excitation (non-sinusoidal excitation for short) were proposed in this paper. Firstly, the Rectangular Extension of Steinmetz Equation (RESE) was modified, and the corresponding expressions were derived. Secondly, considering the nonlinearity of equivalent conductivity r under non-sinusoidal excitation, the core loss separation method was further modified. Then, based on the hysteresis loop measurement system, the core loss of Hitachi nanocrystalline core (FT-3KS) under sinusoidal and non-sinusoidal excitations was measured in the range of 20kHz. By fitting the curves of the core loss, the analytical expressions of the above two methods were acquired. Finally, the above methods were verified by the comparison between the measured values and the model predictions. The average prediction error of the two methods is controlled within 10%.
keywords：Core loss, rectangular waveform with DC bias excitation, modified RESE empirical formula method, modified core loss separation method
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.L90255
中图分类号：TM271
孙 鹤 女，1994年生，博士研究生，研究方向为工程电磁场与磁技术。E-mail: 1150055810@qq.com
李永建 男，1978年生，教授，博士生导师，研究方向为工程电磁场与磁技术、三维磁特性测量与建模。E-mail: liyongjian@hebut.edu.cn（通信作者）
收稿日期 2020-07-07
改稿日期 2020-10-07
国家自然科学基金（51777055）、河北省百名优秀创新人才支持计划（SLRC2017031）和河北省杰出青年科学基金（E2018202284）资助项目。
（编辑 崔文静）