图1 单相铁心电抗器结构
Fig.1 The structure parameters of single-phase core reactor
摘要 以铁心电抗器线圈作为研究对象，以均衡电磁、温升及振动特性，提高金属材料利用率为目的，进行了优化设计。首先采用电磁场-温度场-结构场多物理场耦合有限元方法分析了电抗器线圈的结构参数对电磁、温升及振动的影响。根据分析结果，结合正交试验法对线圈结构进行优化设计，在均衡电抗器电磁、温升及振动特性的情况下使绕组导体用量最小化，获得铁心电抗器线圈的最佳结构参数。为了验证优化设计方法的正确性，将优化前后的模型进行性能比较，结果表明，优化后铁心电抗器线圈的导体用量与优化前相比减少了16.8%，且电感偏差仅为0.6%；线圈的最大温升降低了7.3%，内层线圈的振动位移增加了14.3%，外侧线圈的振动大小不变，满足了电抗器对于电磁、温升及振动的要求。
关键词：铁心电抗器 多物理场耦合 正交试验 优化设计 导体用量
铁心电抗器具有结构简单、可靠性高、可用于吸收电网谐波和改善系统电压波形的特点。近年来电抗器在运行过程中出现过热甚至起火的现象，其主要原因之一是线圈区域的温升过高[1-2]。当温升超过极限时，材料的绝缘性能和力学性能显著降低，直接影响电抗器的安全稳定。目前通常采用增大导线截面与气道宽度等方法来降低温升，但这会导致金属导体用量增加，同时没有考虑线圈结构调整对电磁特性与振动特性的影响。因此，为提高线圈金属材料的利用率，降低制造成本，需要对铁心电抗器线圈的电磁特性、温升特性及振动特性进行研究，并提出均衡调控的优化方法。
目前电抗器线圈的电磁、温升及振动特性研究大多侧重于单个目标的优化，忽略了线圈结构的调整对其他性能的影响。在电磁特性方面，文献[3]研究了空心电抗器电感参数满足要求时的线圈最佳形状比例。文献[4]研究了电抗器电感参数与线圈半径和高度的关系，然而优化过程没有考虑线圈结构的调整对振动特性的影响。温升特性方面，文献[5-6]采用有限差分法计算电抗器的温度，该方法仅适用于线圈表面热流分布相同的情况，限制了实际应用。文献[7]提出了热网络模型，并将其应用于变压器绕组。将绕组中油路复杂模型简化为液压通道的近似矩阵，并验证了其正确性[8]，在此基础上，提出了变压器线圈的温升优化模型[9-12]。文献[13]建立了铁心电抗器盘式线圈的热网络模型，以线圈的导体用量和损耗作为优化目标，结合多目标粒子群算法，获得Pareto最优解。振动特性方面，现有电抗器线圈电磁力计算方法主要归纳为两类：解析法和有限元法。文献[14]基于场路耦合原理建立变压器绕组三维仿真模型，总结分析绕组不同位置匝间短路的受力情况。文献[15]提出了计算变压器线圈不同路径方向上电磁力的解析公式，采用有限元法仿真验证公式的准确性。文献[16-20]通过有限元法得到线圈的磁场分布规律和受力特点，在此基础上对线圈结构稳定性进行评估和分析，研究结果对电抗器线圈的结构优化具有一定的参考意义。然而，以上研究只分析了线圈单物理场特性，实际上电抗器线圈在运行中处于电磁场、温度场及结构场多场耦合复杂环境。在实现电抗器的优化过程中未能均衡调控电磁场、温度及应力等物理场的分布，限制了实际应用。
本文的主要工作是针对单相铁心电抗器搭建其三维仿真模型，将考虑材料磁特性多物理场耦合计算方法与正交试验相结合，在均衡铁心电抗器电磁、温升和振动等性能技术参数要求下获得线圈结构参数的最佳设计参数，与初始铁心电抗器进行了性能分析与比较，结果表明优化方法在均衡铁心电抗器电磁、温升和振动等方面是有效的，可实现铁心电抗器的安全稳定运行。
本文研究对象为单相铁心电抗器，其结构如图1所示。电抗器额定容量为90kvar，额定电压为11kV，电感值47.30mH，采用自然风冷的散热方式。
铁心电抗器的结构主要包括铁心柱、铁轭、气隙及层式线圈。铁心叠片系数为0.93。气隙分布于铁心柱中，个数为8，由环氧树脂填充，其作用是防止电抗器铁心出现磁饱和。线圈由多层筒式结构绕制而成，线圈内导线为漆包扁铜线，层数为3层，层间通过撑条与绝缘筒固定连接，形成轴向散热气道。其中，铁心电抗器主要结构参数见表1。
图1 单相铁心电抗器结构
Fig.1 The structure parameters of single-phase core reactor
表1 铁心电抗器主要结构参数
Tab.1 Main parameters of core reactor
参 数数 值 铁心半径/mm135 气隙高度/mm12 铁心饼高度/mm50 线圈①匝数84 线圈②匝数84 线圈③匝数42 铁心到线圈距离R/mm70 线圈宽度b1, b2/mm30 线圈宽度b3/mm15 气道宽度d/mm12.5 线圈高度h/mm550
研究铁心电抗器的电磁、温升以及结构力学特性，涉及多物理场的耦合计算。主要包括电磁场-流场-温度场和电磁场-温度场-结构场。
2.1.1 电磁场-流场-温度场耦合计算
铁心电抗器由交流电压激励，在线圈内产生随激励变化的磁场，磁通流经电抗器铁心使其产生随电流变化的时变磁场。在工频情况下，磁场计算控制方程[21]有
（1）
（2）
（3）
式中，A为矢量磁位；m0为真空磁导率；mr为相对磁导率；Je为绕组电流密度；B为磁感应强度；N为绕组匝数；I为绕组电流；S为绕组横截面积；ecoil为电流方向。
在COMSOL磁场仿真中可以求出电抗器的磁场能量，通过式（4）计算电感。
（4）
式中，
为磁场储能；
为线圈电流。
电抗器的传热过程包括热传导、热对流和热辐射，热辐射在传热过程中比重较小，可以被忽略。其中热传导和热辐射的控制方程可由文献[22]得到。对流传热过程需要满足质量守恒、动量守恒和能量守恒[23-24]，其控制方程为
（5）
（6）
（7）
式中，r 为空气密度；U为矢量流体流速；ux、uy、uz分别为U在x, y, z方向上的流速分量；Fx、Fy、Fz分别为流体体积力在x, y, z方向上的分量；p为流体压力；ms为流体的动力粘度；T为温度；l为热导率；cp为比定压热容；Q为电抗器损耗。
2.1.2 电磁场-温度场-结构场耦合计算
电抗器线圈的载流导体处于漏磁场中，线圈电磁力大小受漏磁场强度及电流的影响。线圈电磁力可按毕奥-萨筏尔定律的微分形式来确定。
（8）
式中，dV为磁场中体积单元；df为对应dV所受的矢量电磁力。
绕组振动包括轴向振动和辐向振动，电抗器绕组振动主要以轴向振动为主，研究电抗器绕组轴向机械振动过程，可将其简化为弹簧质量阻尼系统[25-26]。建立绕组轴向机械振动动力学模型，即
（9）
式中，M为绕组质量矩阵；C为阻尼系数矩阵，K为刚度矩阵；X为代求的振动位移；F(t)为电磁力矢量；G为重力。计算过程忽略振动系统中的阻尼和重力，系统无阻尼特征方程简化为
（10）
2.1.3 电磁场-温度场-结构场多物理场耦合实现方法
铁心电抗器电磁场-温度场-结构场耦合计算流程如图2所示。电磁场计算得到损耗密度作为温度场热源，为非平均热源，映射到流场-温度场各节点；当温度场温度升高时线圈材料的电导率发生改变，反作用于磁场修正电抗器的损耗值。温度场计算达到收敛后将场域的温升分布耦合到结构场的初始温度边界条件，重新进行更新迭代计算直至计算收敛。
图2 电磁场-温度场-结构场耦合计算流程
Fig.2 Electromagnetic field-temperature field-structure field coupling calculation flow
根据铁心电抗器的结构参数建立图1所示的三维仿真模型，材料属性见表2。
表2 材料属性
Tab.2 The material properties
材料参 数数 值 铜热导率/[W/(m·K)]400 比热容/[J/(kg·K)]385 密度/(kg/m3)8 940 杨氏模量/GPa145.5×e0.0004T 泊松比0.35 硅钢片热导率/[W/(m·K)]40 比热容/[J/(kg·K)]350 密度/(kg/m3)7 650 杨氏模量/GPa242.3×e0.000 42T 泊松比0.3 环氧树脂热导率/[W/(m·K)]0.46
（续）
材料参 数数 值 环氧树脂比热容/[J/(kg·K)]550 密度/(kg/m3)2 000 杨氏模量/GPa60 泊松比0.38 空气热导率/[W/(m·K)]-0.002 3+1.16×10-4T 比热容/[J/(kg·K)]1 047.64-0.373T+9.45×10-4T2 密度/(kg/m3)3.102-0.009T
硅钢片的磁化曲线和损耗曲线如图3和图4所示。铁心相对磁导率采用B-H曲线，Steinmetz损耗公式的系数可由图4损耗特性曲线拟合得到。
（1）结构场的边界条件设置如下：铁心磁致伸缩力，麦克斯韦力作为结构场的体载荷条件。考虑结构件对铁心夹紧力的作用，设置铁心上下边界为固定约束，固体表面为静止壁面。
图3 铁心磁化曲线
Fig.3 Core magnetization curve
图4 铁心损耗曲线
Fig.4 Core loss curve
（2）在温度场模型中，模型外边界的环境温度设置为20℃，流体在入口、出口处的流速与压力边界条件设置为常数，固体壁面与靠近壁面的流体相对速度设置为0。
2.4.1 电磁场仿真结果
在电磁场仿真中设置电压激励条件，频率50Hz，周期为0.02s。线圈上电流达到峰值时的磁通密度与电磁力体密度如图5所示。
由图5a看出，在径向方向上层线圈磁通密度由内到外呈现依次减弱的规律，轴向方向上磁通密度先增后减，与图5b电磁力的大小及分布规律相同，电磁力方向指向外部，线圈呈径向拉伸，企图使其外径增大。轴向上线圈电磁力从上下两端指向中部，试图压缩线圈。
图5 线圈电磁场仿真结果
Fig.5 Simulation results of coil electromagnetic field
根据式（5）计算本文铁心电抗器电感的仿真值为44.77mH，与实际电感的误差为5.35%，验证本文电磁场仿真模型的准确性。
2.4.2 温度场仿真结果
根据电磁场计算出的铁心与线圈的周期平均损耗密度作为流场-温度场仿真的热源，温度场与电磁场为双向耦合。当线圈温升升高时，材料的电导率随温度发生改变，图6为温度场仿真过程中线圈的热源随温度变化。
图6 线圈热源随温度的变化
Fig.6 Change of coil heat source with temperature
由图6可以看出，电抗器运行过程中线圈的损耗随温升的升高而增大，当电抗器运行到4h时温升达到稳定状态，线圈温度不再升高。内层线圈由于匝数较少，损耗计算结果最低，此时线圈的温度场仿真结果如图7所示。
根据图7温度场仿真结果可以看出，线圈的最高温度为98.75℃，温升为78.75℃，位于中层线圈上。在径向方向上中层线圈②的温升明显高于两侧线圈，其次是内层线圈③，外层线圈①的温升最低，轴向方向上各层线圈的温升呈先增后减的规律，最高温度位于靠近线圈顶端位置。
图7 线圈温度场仿真结果
Fig.7 Simulation results of coil temperature field
图7中外层线圈①损耗明显高于内层线圈③，但是它的温升比①低，这是由于外层线圈①与大区域空气进行对流散热，散热效率高于线圈②和③；中层线圈②的温升高于内层线圈③，但是其散热效率远大于内层，这是因为中层线圈处于两侧轴向气道中，传热过程中线圈与气道间进行对流传热，使得气道内空气流速增大，带走的热量多，因此散热效率高。
2.4.3 结构场仿真结果
将电磁场计算得到的电磁力体密度分布作为结构场体积力，温度场仿真结果的温升分布耦合到结构场的材料属性中，计算线圈在电磁力作用下的最大结构形变和应力分布。结构场仿真结果如图8所示。
图8 线圈结构场仿真结果
Fig.8 Simulation results of coil structure field
由图8看出，绕组线圈以径向形变为主。线圈的形变规律在径向上呈现向外扩张的趋势，形变程度由内到外依次减弱，轴向上向内压缩线圈高度，形变程度先增后减，在线圈中部位移形变量最大。线圈的形变基本呈现对称分布，内层线圈变形较为严重，最外层线圈由于受到电磁力较小其形变量较小。图8b中线圈的最大形变量为0.56mm，集中在内层线圈上。
本文采用正交试验法实现铁心电抗器线圈的优化设计，以绕组线圈的金属导体用量作为优化目标，电感、最大温升及形变量作为约束条件。
正交试验设计其他试验设计相比较，具有如下特点：①参数间是否具有交互作用对使用正交优化设计没有影响；②通过正交表计算可以找出更为具体的结论，任一参数水平组合下的理论值都可以通过正交表和试验结果分析分布趋势，找出最利的参数组合。
正交试验方法进行优化的主要步骤如下：
（1）确定设计参数及每个因素的水平数。
（2）设计正交试验表，采用多物理场耦合仿真方法计算正交试验结果。
（3）试验结果进行极差分析，根据需求选择最佳参数组合。
（4）根据最佳参数组合进行多物理场耦合仿真，仿真结果对比初始设计参数，验证结果的有效性。
3.1.1 确定设计参数及水平数
由电磁场-温度场-结构场多物理场耦合仿真结果分析可知，线圈结构与各物理场影响复杂，为了寻找可行的优化结果，减少优化时间，如图1b所示，本文选取线圈宽度变化率kb，线圈高度h，气道宽度d，铁心到内层线圈的距离R及内层线圈③的排列位置Ni为设计参数。其中kb计算式为
（11）
式中，
为优化前的第i层线圈宽度；
为优化后的第i层线圈宽度，其中，
。线圈③的排列位置Ni见表3。
设计变量及其因素水平数见表4，A、B、C、D、E分别为线圈宽度变化率kb、线圈高度h、气道宽度d、铁心到内层线圈的距离R及内层线圈③的排列位置Ni。
表3 层线圈排列方式
Tab.3 Layer coil arrangement
排列位置Ni内层线圈中层线圈外层线圈 N1③②① N2②③① N3②①③
表4 设计变量的水平数
Tab.4 The respective levels of the design variable
变量AB/mmC/mmD/mmE 水平10.546810.055N1 水平21.055012.570N2 水平31.260514.480N3
3.1.2 设计正交表
根据设计变量个数和水平数，采用SPSS软件生成正交表L18进行试验设计，通过COMSOL多物理场耦合仿真计算得到不同因素在不同水平下的试验结果，见表5。表中，kL为电感偏差。
表5 正交表
Tab.5 Orthogonal table
因素结果 ABCDEM/kgQ/WkL(%)DTmax/℃X/mm 1111184.161 771.977.62136.591.47 1122396.911 919.052.48118.321.36 12133123.121 983.870.13117.671.15 12312101.671 835.528.1893.631.18 13232141.142 014.851.5693.401.01 13321134.521 959.252.32114.751.01 21132250.262 160.581.7084.290.64 21313204.171 949.405.1682.090.66 22222276.812 091.351.0574.920.51 22331310.902 234.903.2680.150.58 23123293.072 025.371.0793.750.46 23211273.771 988.834.2487.010.56 31231329.752 467.575.0072.300.58 31322304.782 169.360.7466.580.53 32121351.542 340.390.6982.070.47 32213304.481 987.004.9678.770.43 33112334.931 989.704.5179.370.38 33333415.682 201.752.9073.410.37
3.1.3 极差分析
将表5中正交试验数据进行极差分析，分析5个设计变量的影响，并确定每个设计变量的重要程度，最后获得每个设计变量的最佳组合。极差分析的结果见表6和图9。
表6 极差分析
Tab.6 Range analysis
结果水平因素 ABCDE M/kg1113.59211.67239.51217.03247.27 2268.00244.75236.98242.94234.93 3340.20265.35245.29261.81239.57 Tx226.6153.688.3144.7812.34 Q/W11 914.082 073.002 045.311 920.402 127.15 22 075.072 078.842 078.112 084.132 043.56 32 192.632 029.962 058.362 177.252 011.07 Tx278.5543.0432.80256.85116.08 kL(%)13.723.782.625.783.86 22.753.053.221.392.96 33.132.773.762.432.78 Tx0.971.011.144.391.08 DTmax/℃1127.55113.36118.96112.91115.48 2103.70107.86107.45111.73102.03 395.42110.28105.10106.87114.35 Tx31.135.5013.866.0413.45 X/mm11.120.870.760.780.78 20.570.720.740.720.71 30.460.630.720.720.74 Tx0.660.240.040.060.07
表6中，Tx表示设计变量x对试验结果的影响程度，Tx越大代表影响越严重。对于线圈导体用量M，图9显示三个影响最大的因素分别是线圈宽度kb、高度h及线圈到铁心的距离R。M随b、h和R的增大而增大。因此，为了减少导体用量，应该降低线圈宽度、高度及线圈到铁心的距离。
线圈损耗主要与线圈宽度变化率kb，铁心到内层线圈的距离R及内层线圈③的排列位置有关。损耗变化趋势与线圈导体用量一致，这是因为不同匝数的线圈排列位置不同，损耗大小与线圈匝数成正比，与线圈截面积成反比。
线圈结构的改变对电感偏差kL影响不大，电感平均偏差不超过6%，在各因素中线圈到铁心的距离R对电感的影响较大，电感偏差kL随R先减后增。因此，为了使电感偏差在允许范围内，保持R不变。
对于线圈的最大温升DTmax，影响因素最大的分别是线圈宽度kb、气道宽度d和线圈排列方式Ni。DTmax随kb和d增大而减小，这是因为增大kb、d导致线圈单位体积热源减小，散热通道增大，散热效率增强。因此，为了降低线圈温升，可以选择增加线圈与气道宽度。
图9 正交试验结果的极差分析
Fig.9 Range analysis of orthogonal test results
线圈振动方面，主要的影响因素是线圈宽度kb，其次是线圈高度h，由前文分析可知线圈以径向形变为主，线圈宽度和高度增大，电磁力体密度降低使振动减小。因此，为了降低振动，应该增大线圈宽度和高度。
综上所述，线圈的导体用量与温升或振动优化互为矛盾，与损耗大小成正比，难以做到同时优化。因此，可以选择合理的结构参数，以满足实际要求。
从表6和图9可以看出，因素A主要影响导体用量、最大温升和振动位移。因素A变化趋势是在导体用量和最大温升与振动位移互为矛盾。满足导体用量最小的同时考虑最大温升和振动位移可选择A2；因素B对各目标的影响程度较均匀，考虑到目标是导体用量最小，可选择B1；因素C主要影响电抗器的电感和线圈最大温升，因为改变因素C电感偏差不超过4%，所以以最大温升最低为目标选择C3；因素D影响损耗与电感，优化设计中首先要满足电抗器电感的偏差最小，选择D2最为合适；因素E主要影响线圈的损耗与温升，考虑温升最低可以选择E2。
综上所述，实现铁心电抗器线圈导体用量最少，同时满足损耗、电感及温升要求的最佳结构参数组合（A2、B1、C3、D2、E2），见表7。
表7 最佳结构参数
Tab.7 Optimum structural parameter
参 数数 值 A21 B1468 C314.4 D270 E2N2
为了分析优化方法的正确性，基于表7中最佳结构参数组合构建电抗器三维仿真模型，并与初始设计模型进行性能比较。
优化后铁心电抗器线圈导体用量为239.27kg，导体用量减少了16.8%。优化模型的电磁场仿真如图10所示。
图10 优化模型的电磁场仿真结果
Fig.10 Optimize the electromagnetic field simulation results of the model
优化模型的电感仿真值计算结果为44.50mH，电感偏差仅为0.6%。为验证优化后电抗器电感的线性度，对优化模型施加1.5倍额定电流，计算得到过载后电抗器电感值为44.14mH，电感下降率为1.42%，满足电磁设计要求。将电磁场计算结果耦合到流场-温度场-结构场中，得到图11和图12的线圈温度场和结构场仿真结果。
由图11和图12可知，优化后中层、外层线圈的温升均有所降低，优化模型的最大温升为73.2℃，与优化前相比温升降低了7.3%，温升集中在线圈的上部区域。内层线圈的最大振动位移为0.64mm，与优化前相比增大了14.3%，中层、外层线圈的振动位移基本保持不变，在允许的范围内。
图11 优化模型的温度场仿真结果
Fig.11 Optimize the temperature field simulation results of the model
图12 优化模型的结构场仿真结果
Fig.12 Optimize the structure field simulation results of the model
本文一方面考虑磁特性的多物理场耦合计算方法，另一方面将多物理场耦合与正交试验相结合，在均衡铁心电抗器电磁、温升和振动等性能技术参数要求下获得线圈结构参数的最佳组合，降低了绕组的金属材料用量。建立了电抗器最优模型，并与初始铁心电抗器进行了性能分析与比较，实现了电抗器线圈的电磁场-热场-结构多物理场协调优化，可以得到以下结论：
1）建立了电磁场-流场-温度场、电磁场-温度场-结构场有限元仿真，将电磁场计算的空间损耗分布、电磁力体密度分布作为温度场、结构场的激励，准确得到温度场的仿真结果，并将温度场结果间接耦合到结构场的材料属性中，准确计算了考虑温度效应的结构场仿真结果，并分析线圈参数对多物理场仿真结果的影响。
2）根据多物理场分析结果确定了线圈结构的5个优化变量和水平，以线圈的金属导体用量为优化目标，约束条件为电磁、温升及振动特性，采用正交试验法方法进行优化设计，得到一组最佳结构参数组合。
3）采用多物理场仿真与初始设计性能进行对比分析。结果表明，与优化前相比，优化后绕组线圈的导体用量减少了16.8%，电感偏差仅为0.6%；线圈的最大温升降低了7.3%，内层线圈振动位移增加了14.3%，外侧线圈的振动大小不变，满足电磁、温升及振动的特性要求。并且这种优化设计思路可以拓展应用到变压器、空心电抗器等设备的线圈结构优化中，具有普遍性。
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Coil Structures Optimization Method of Iron Core Reactor Based on Electromagnetic-Thermal-Structure Multi-Physical Field Coupling
Abstract In this paper, the windings of the core reactor are taken as the research object, and the optimization design is carried out to equalize the electromagnetic, temperature rise and vibration characteristics and improve the utilization rate of metal materials. Firstly, the influence of structural parameters of the reactor winding on the electromagnetic field, temperature rise and vibration is analyzed using the multi-physical field coupling finite element method of electromagnetic field, temperature field and structural field. According to the analysis results, combined with the orthogonal test method, the winding structure is optimized to minimize the number of winding conductors while balancing the electromagnetic, temperature rise and vibration characteristics of the reactor, and the best structural parameters of the core reactor coil are obtained. Then, the performance of the model before and after optimization is compared. The results show that the conductor consumption of the reactor winding after optimization is reduced by 16.8%, and the inductance deviation is only 0.6%, the maximum temperature rise of the coil is reduced by 7.3%, and the vibration displacement of the inner coil is increased by 14.3%. In contrast, the vibration of the outer coil remains unchanged, which meets the requirements of electromagnetic, temperature rise, and vibration.
keywords：Core reactor, multi-physical field coupling, orthogonal test, optimization design, conductor consumption
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211541
中图分类号：TM47
电网环境保护国家重点实验室开放基金资助项目（GYW51202101368）。
收稿日期 2021-09-24
改稿日期 2021-11-24
袁发庭 男，1988年生，博士，硕士生导师，研究方向为高压电抗器设计与电工装备多物理场分析。E-mail: yuanfatinghss@163.com
吕 凯 男，1996年生，硕士研究生，研究方向为铁心电抗器多物理场分析与优化设计。E-mail: lk2996162189@163.com（通信作者）
（编辑 郭丽军）