（1）
摘要 有限元法常被用于平面变压器绕组损耗、漏感等参数的精准计算。然而，受到计算与存储成本的限制，在设计周期较为紧张的条件下，可精确计算的设计方案数量有限，增加了将局部最优点选为最终设计方案的风险。为缩减有限元法的计算与存储成本，该文针对有限元法资源占用较大的线性方程组构建与求解这一过程进行改进。首先，通过分析平面变压器磁场强度分布规律，依据边缘效应影响强弱，将求解区域划分为强边缘效应区域与弱边缘效应区域；其次，引入更为契合弱边缘效应区域的一维线性单元，从而减少描述求解域场量的节点数与单元数，进而减少线性方程组系数矩阵阶数，达到节约计算与存储资源的目的；再次，通过调节相邻单元节点分布规律，解决由于引入一维线性单元而产生的单元兼容、系数矩阵构建等问题；最后，搭建平面变压器模型，通过对比绕组损耗、漏感的实验值与计算值以及对比该文方法与有限元法计算、存储成本，验证了该文方法的有效性。
关键词：平面变压器 有限元法 绕组损耗 漏感 数值计算
随着电动汽车、互联网通信、新能源发电等领域的快速发展，具有结构简单、零电压软开关（Zero Voltage Switch, ZVS）以及零电流软开关（Zero Current Switch, ZCS）宽频率范围、电磁干扰较弱以及隔绝偏磁电流等优点[1-4]的LLC串联谐振变换器（下文简称LLC变换器）被广泛应用于直流配电系统、电动汽车充电装置、服务器电源适配器等电能转换设备中[5-12]。LLC变换器中“LLC”的含义为此变换器拓扑中影响电压增益的谐振电感Lr、励磁电感Lm与谐振电容Cr。
高频变压器作为LLC变换器重要组成部分之一，其绕组损耗、漏感等参数对LLC变换器的工作效率、功率密度、散热、电压波动等性能具有不可忽视的影响。平面变压器作为高频变压器的一种，相比于传统绕线式变压器，具有高度更低、散热性能较强、产品一致性较好、更易于集成等优点，被广泛应用于LLC变换器中[13-16]。
由此可见，平面变压器绕组损耗、漏感等参数的建模和计算方法对LLC变换器的设计制造具有一定程度的指导意义，因此也受到国内外LLC变换器设计者以及相关研究人员的广泛关注。
在工程实际中，LLC变换器所用平面变压器模块的常见设计策略为：①通过快速计算方法对大量变压器设计方案进行初步参数计算；②依据初步参数计算结果筛选出较少数量的备选设计方案，不可否认的是，这些备选方案中包含了一定数量的局部最优设计点；③通过精确计算方法对备选设计方案进行更为精准的性能参数计算，从而选定所设计磁性器件的最终设计方案[17]。
在最终设计方案选择阶段，精确计算方法的计算及存储成本决定了在固定设计周期内，其能够计算备选设计方案的数量。可精确计算备选方案的数量越少，将局部最优设计点选为最终设计方案的风险将越大。
显而易见的是，通过缩减精确计算方法的计算与存储成本，增加在一定设计周期内精确计算的备选方案数，是误选局部最优设计点为最终设计方案问题的有效解决方案。现有平面变压器绕组损耗与漏感精确计算方法可分为统计法与数值法。
统计法中，文献[18]通过对大量绕组损耗与漏感数据进行响应面分析，得到绕组损耗、漏感与变压器结构参数间的二次回归关系。而文献[19]则是通过大量的有限元仿真计算值训练出变压器结构参数与绕组损耗、漏感间的人工神经网络。虽然以上两种方法的计算与存储成本较少，但需要预先提供足量的计算或实验数据集，用以支撑二次回归和人工神经网络的准确性。然而工程实际中，在无法提前确定备选方案具体结构的情况下，很难预先获取支撑统计法的数据集，从而使得统计法在设计平面变压器过程中受到了一定程度的限制。
数值法中，文献[20]首先通过镜像法将平面变压器磁心窗口磁场扩展为无限大周期平面，再借助二维傅里叶级数求解出绕组导体截面边界磁场，最后计算出平面变压器绕组损耗与漏感。文献[21-22]通过3D有限元法对平面变压器磁场强度分布进行了仿真，3D有限元法对平面变压器的仿真更符合其实际运行情况。然而较为高昂的储存以及计算成本（GB数量级的存储量占用，十几分钟甚至小时数量级计算时间），使得3D有限元法一般无法被应用于平面变压器设计过程中。文献[23-24]借助2D有限元法计算出平面变压器绕组损耗与漏感等参数，可胜任平面变压器性能参数计算的准确度以及较低的计算与存储成本，使得2D有限元法常用于平面变压器绕组损耗与漏感的精确计算。
本文方法主要针对2D有限元法计算与存储成本的缩减问题进行改进，以最终达到在平面变压器设计过程中减少选取局部最优点为最终设计方案风险的目标。
需要补充的是，在2D有限元计算过程中，代数方程组的构建与求解过程往往占据了较大的计算与存储资源[25]。因此，如何有效地减少代数方程组构建与求解过程的计算与存储成本成为缩减2D有限元法计算与存储成本所面临的重要问题。
为有效地缩减线性方程组构建与求解阶段的计算与存储成本，本文首先分析了平面变压器磁场强度分布规律，根据边缘效应对磁场强度分布影响的强弱程度，将平面变压器划分为强边缘效应区域与弱边缘效应区域；其次，在区域划分的基础上本文方法引入一维线性单元，并将其应用于与其更为契合的弱边缘效应区域；再次，通过限制相邻一维线性单元与三角形单元节点重合，解决了由于引入一维线性单元所造成的单元兼容、系数矩阵构建等问题，在几乎不影响绕组损耗、漏感计算精度的同时，有效缩减了代数方程组构建与求解过程的计算与存储资源；最后，通过对比平面变压器模型绕组损耗、漏感的实验值与计算值，验证了本文方法的有效性。
本文方法是在磁准静态场假设条件下对涡流场有限元法的改进，其本质仍为电磁场边值问题，边值问题由泛定方程与边界条件组成。与此同时，本文方法是针对平面变压器绕组损耗计算与漏感计算这一应用背景的改进，因此本节将主要讨论针对平面变压器电磁场求解问题时，泛定方程的构建过程与边界条件处理过程。
磁准静态场假设即忽略位移电流密度Jd对整个求解域场量分布的影响，可以简化有限元法泛定方程的离散剖分过程以及后续贡献方程构建，常被用于平面变压器绕组损耗与漏感计算流程中。
然而，忽略位移电流密度Jd将影响全电流密度J的大小，同时还使得整个求解域电磁场的波动性也被忽略即全电流密度J作为激励源与所引起的响应磁场强度H是即时依赖关系。由此可见，磁准静态假设的适用性判定条件为位移电流密度Jd远小于传导电流密度Jc，且求解域空间尺寸rV远小于时变电磁场所产生电磁波的波长l，即
（1）
式中，w 为角频率，w =2p f，f为工作频率；e 为材料介电常数；s 为材料电导率；c为光速；E为电场强度。
受到开关器件死区时间td、磁心相对磁导率mr有效范围、绕组材料趋肤深度D 以及功率损耗Ploss等因素影响，平面变压器工作频率f一般选定在100kHz～1MHz这一数量级范围内。在这一工作频率范围内，we 在10-5这一数量级，而铜的电导率s 在107这一数量级，能够满足位移电流密度Jd远小于传导电流密度Jc这一判定条件。另一方面，即便是在1MHz工作频率条件下，时变电磁场电磁波波长l 仍可以达到300m，远超平面变压器1～30cm的空间尺寸rV。由此可见，在通过有限元法计算平面变压器绕组损耗与漏感时，可将求解域内的电磁场视为磁准静态场。
LLC谐振变换器拓扑结构如图1所示，为使整流二极管VD1、VD2工作在ZCS状态的同时尽可能减小反向恢复效应，系统工作频率f一般设定在fr1这一谐振频率附近，其具体计算方法为
（2）
图1 LLC谐振变换器拓扑结构
Fig.1 The topology of LLC resonant converter
此时流过平面变压器导体截面的谐振电流Ir波形接近于正弦波。因此电流源激励下的时谐涡流场求解器可以较为真实地描述LLC变换器中平面变压器及其周围磁场。因此，可选用磁准静态场以矢量磁位A为变量的双旋度方程作为平面变压器场量求解所需的泛定方程。
然而，受到涡旋电流密度Je的影响，无法预先确定求解域内导体截面源电流密度Js，需要额外补充电流密度J在导体截面上的积分等于导体截面电流I这一约束条件。
泛定方程具体形式为
（3）
式中，j为虚数；A为矢量磁位；
为材料磁阻率；Js为源电流密度；Js,k为导体截面k中分布的源电流密度；Ik为流过导体截面k的电流；nr为导体截面总数；Sw,k为导体截面k所处空间区域。
泛定方程构建完毕后，需要给定求解域边界条件以构成电磁场问题的精确数学描述并使得泛定方程具备定解条件。在100kHz～1MHz这一工作频率范围内，平面变压器所使用的铁氧体磁心等效相对磁导率mr在1 000～2 000甚至更高。
图2所示为磁心窗口与磁心分界面，以相对磁导率为2 000的3F3铁氧体磁心为例，由磁感应强度折射定律可知，当空气侧磁通密度B1的入射角q1=1°时，磁心侧磁通密度B2的折射角q2已经达到88.3°。由此可见，对于平面变压器磁心，可将磁心近似看作理想导磁介质即交界面附近窗口空气侧磁通密度B1垂直进入交界面（q1=0°），依据矢量磁位A与磁通密度B的关系可知，在交界面磁心窗口一侧，A的法向偏导数为0，如式（4）所示。在设置边界条件时，磁心窗口与磁心交界面上设置诺依曼边界条件即可满足泛定方程定解条件。
图2 磁心与磁心窗口分界面
Fig.2 The interface between core and core window
（4）
式中，et 为交面切向单位矢量；en为交界面单位法向矢量；B1t 为磁通密度B在交界面磁心窗口一侧的切向分量；B1n为磁通密度B在交界面磁心窗口一侧的法向分量。
通过以上方法处理后，平面变压器的求解区域由整个变压器压缩到磁心窗口区域，并且如式（4）所示诺依曼边界条件在有限元法线性方程组构建过程中自然满足，无需特殊处理，可有效节约有限元法在计算平面变压器绕组损耗与漏感时的计算成本。
以200kHz工作频率平面变压器磁心窗口磁场强度横向分量Hx分布为例，磁心窗口横向磁场强度Hx分布云图如图3所示，图3中，点画线框内磁场横向分量Hx几乎沿横向不变，仅沿纵向变化，较为符合磁场强度一维分布假设，然而剩余区域受到边缘效应影响，磁场强度横向分量Hx在横向上仍然有变化，不符合磁场强度一维分布假设。
图3 磁心窗口横向磁场强度Hx分布云图
Fig.3 Cloud diagram of horizontal component of magnetic intensity in core window
依据磁场强度分布规律的差异，本文方法将磁心窗口区域划分为强边缘效应区域led与弱边缘效应区域lweak，磁心窗口区域划分如图4所示。通过针对不同区域实施不同的剖分策略，可有效降低描述求解域所必须的节点数与单元数，从而达到缩减有限元法计算与占用存储资源的目的，在有限的设计周期内降低了选择局部最优点为最终设计方案风险的目的。
图4 磁心窗口区域划分
Fig.4 Division of core window region
本文方法对有限元法的主要改进部分在于，在弱边缘效应区域使用一维线性单元剖分，而不是传统的三角形单元，弱边缘效应区域场量符合磁场强度一维分布假设，此区域磁场强度沿横向不变这一特性决定了此区域可通过少量节点场量表示，从而达到降低有限元线性方程求解过程存在占用并降低此过程计算时间的目的。本节将主要针对讨论弱边缘相应区域的单元剖分问题、一维线性单元与传统三角形单元的兼容性问题、线性方程组系数矩阵构建等问题进行讨论。
由第2.1节可知，分布于弱边缘效应区域磁场强度较为符合磁场强度一维分布假设，磁场强度在同一横坐标下几乎相等且仅沿纵向变化，2D有限元法中矢量磁位A仅有z轴分量Az，通过式（5）对比可知，矢量磁位A在弱边缘效应区具有同一横坐标下相等且仅沿纵向变化的特征，即
（5）
（6）
相比于各方向空间尺度相差较小的三角形单元，单元结构如图5所示，一维线性单元更适用于描述弱边缘效应区域场量分布。图5a中，上标
为三角形单元的编号；上标e为一维线性单元的编号。
图5 单元结构
Fig.5 Element structure
为用剖分离散形式更为精确地表示求解域，并解决三角形单元与一维线性单元的兼容性问题，在本文方法前处理阶段，三角形单元与一维线性单元需要遵守如下剖分规则。
（1）任意一维线性单元的节点不能是三角形单元边上的点，任意三角形单元的节点不能是一维线性单元边上的点。
（2）受邻近效应影响，单元剖分尺寸不能仅以趋肤深度D 为依据。根据经验，选择1/4及以下铜箔厚度作为剖分尺寸的初值，具有良好的计算精度。
（3）边缘效应主要受到纵向磁场强度Hy的影响，受邻近效应影响较弱，因此应在导体边缘处开始选择3倍及以上最低频率对应趋肤深度Dmax作为强边缘效应区域至弱边缘效应区域的分界面，即图4中led应满足led≥3Dmax，本文中led=1mm。
（4）为方便后续线性方程组总体合成阶段贡献方程的参数计算，应使得节点纵坐标yK与yN满足yK＞yN。
与此同时，在本文方法的前处理阶段，可将弱边缘效应区域压缩，仅绘制强边缘效应区域，网格剖分简化处理如图6所示，从而简化有限元法前处理过程。
图6 网格剖分简化处理
Fig.6 Simplification of meshing
一维线性单元，以单元e为例，单元组成如图图5b所示，通过线性插值可由K、M两节点场量描述单元e内部节点场量值。
为描述一维线性单元内部常量，首先需要得到仅与单元形状有关的基函数，其表达式为
（7）
式中，
、
为K、M两节点纵坐标，le=-。
矢量磁位A可通过基函数近似表示为
（8）
依据伽辽金法将式（7）、式（8）代入式（3）可得到任一单元（以单元e为例）对有限元线性方程组的贡献方程即
（9）
其中
（10）
（11）
（12）
式中，Js,r为导体截面r中的源电流密度。
为方便后续对线性方程组的总体合成，将式（9）的系数矩阵改写为贡献矩阵
的形式，即
（13）
式中，r为单元e所在导体层数；np为节点总数。
通过式（13）的改写，将贡献矩阵相加即可得到有限元线性方程组所对应的系数矩阵为
（14）
式中，
为三角形单元贡献矩阵之和；ne为一维线性单元总数。
系数矩阵C确定后即可得到本文改进有限元法待求线性方程组为
（15）
为能够更为清晰地了解式（15）具体结构，特此列出其更为详细的方程组形式为
（16）
式中，Cmn为矢量磁位贡献矩阵元素；An为n节点矢量磁位；Fmr、Fnk为源电流密度贡献矩阵元素；Js,k为导体截面k中的源电流密度，2D有限元法中此物理量退化为标量；Sc,k为截面k面积；Ik为通过导体截面k的电流大小；nr为导体截面总数。
将矢量磁位A求解完毕后即可通过有限元后处理过程得到平面变压器单位长度绕组损耗PCuel、漏磁能量Wmel。
（17）
（18）
（19）
式中，
为三角形单元面积。
为验证本文方法的有效性，搭建了一台12层平面变压器模型与一台4层平面变压器模型，二者基本尺寸如图7、图8所示。
平面变压器模型所用磁心材料为3F3，3F3这一材料的相对磁导率在工作频率超过1MHz时会发生较为明显的畸变，磁心截面平均磁场强度H与磁通密度B间会产生较为明显的相位差，对后续实验测量产生无法忽视的影响，因此本文选择1MHz作为实验测量的频率上限。
图7 平面变压器12层模型尺寸含义
Fig.7 Sizes meaning of 12-layers planar transformer
图8 平面变压器4层模型尺寸含义
Fig.8 Sizes meaning of 4-layers planar transformer
本文方法对2D有限元法的改进集中于削减其计算成本与存储成本，而计算精度则依赖2D有限元法的计算精度。综合考虑2D有限元法计算精度与频率限制，平面变压器12层模型的实验测量频率将选定为200～400kHz，平面变压器4层模型的实验测量频率将选定为100kHz～1MHz。
平面变压器12层模型与4层模型的尺寸、材料以及结构的具体参数见表1、表2。
表1 平面变压器模型尺寸
Tab.1 Sizes of planar transformer （单位: mm）
参数12层模型4层模型 d10.350.04 d20.350.04 d31.201.14 d41.001.14 dh6.363.17 dw9.289.28 dc0.1050.105 da0.400.89
表2 平面变压器结构以及材料参数
Tab.2 Structure parameter and material parameter of planar transformer
参数12层模型4层模型 磁心尺寸E32×6×20+ E32×6×20[26]E32×6×20+ PLT32×20×3.2[26] 磁心材料Ferroxcube 3F3Ferroxcube 3F3 绕组材料紫铜紫铜 绕组基板材料FR4FR4 漏磁能量空间等效长度lvs/mm92.96491.102 绕组绝缘材料聚酰亚胺聚酰亚胺 绕组电流幅值Ic/A11 匝比一次侧二次侧辅助=444一次侧二次侧= 22 绕组导体长度lwi一次侧lwi,1/mm441.6164.8 二次侧lwi,2/mm441.6178.0
为方便对比分析，需要进一步计算得到一次、二次绕组损耗之和，漏感之和的计算值Lssc、PCusc分别为
（20）
本文方法对2D有限元方法改进的目标：在几乎不改变有限元法对平面变压器绕组损耗、漏感计算精度的同时缩减2D有限元法的计算与存储资源。因此，本节将通过两方面验证本文方法的有效性；一方面于3.2节对比本文方法与2D有限元法的计算、存储资源占用；另一方面于3.3节对比本文方法与2D有限元法的计算精度差异。
本文方法与经典2D有限元法在计算规模与计算成本上的对比见表3。需要补充说明的是：
（1）计算时间所统计的是，平面变压器12层验证模型在200～400kHz范围6个频率工作点下以及平面变压器4层验证模型在200kHz～1MHz范围内9个频率工作点下，线性方程组构建、存储与求解的总时间。所采用的线性方程组求解方法为双共轭梯度（Biconjugate Gradient, BICG）法。
（2）本文方法与有限元法的计算目标约束为余量方程CAJ=I0在迭代过程中的相对残差rd＜1×10-6（10-4%），相对残差rd计算公式为
表3 计算规模及成本对比
Tab.3 Scale and cost of calculating
计算规模12层模型4层模型 本文方法2D有限元法本文方法2D有限元法 计算时间/s15.844 0346.325 1712.703 9830.999 05 前处理时间/s1～24～5≤11～2 存储量占用/B1 780 8325 849 416978 3522 897 696 系数矩阵阶数7 67725 1384 25512 519 单元数15 41650 1658 49724 919 节点数7 66525 1264 25112 515 弱边缘效应区域节点数12017 581488 312 弱边缘效应区域单元数11934 8684716 422
（21）
式中,“|| ||”代表列向量的模，各矩阵、列向量的具体结构如式（15）、式（16）所示。
（3）表3中节点数、单元数是通过磁场能量dm相对误差而确定的，其具体表达式为
（22）
式中，Scal为求解域范围。
磁场能量相对误差dm所描述的是有限元法对泛定方程的求解精度，或将数值解AJ代入泛定方程后，等号两侧的程度，当现有磁场能量相对误差dm大于目标精度dm,tar时，需要对场量变化较大位置的单元进行再次剖分。而表3中的单元数与节点数是在绕组截面区域单元边长上限为0.05mm、空气区域单元边长上限为1mm、磁场能量误差目标精度dm,tar为10-6、再剖分规模为30%的前提下的剖分结果。平面变压器12层实验模型在3次再剖分后，dm达到6.4×10-7，绕组区域单元边长减至0.026mm左右，空气区域单元边长则减至0.2mm左右。平面变压器4层实验模型在通过4次再剖分后，dm达到2.0×10-7，绕组区域单元边长减至0.018mm左右，空气区域单元边长则减至0.3mm左右。
（4）前处理时间指的是从模型绘制结束至单元剖分结束所需时间，受软件精度显示限制，表3中仅列出精确至秒的前处理时间数据。所采用的剖分方法为三角自适应（Triangular Adaptive Uniform, TAU）法。
（5）表3中存储量占用物理量的具体构成为系数矩阵、解向量、常数项列向量三者存储量占用之和。所采用的矩阵存储形式为Matlab软件中的Sparse存储法。
通过与2D有限元法对比可知，本文方法减少了平面变压器12层实验模型约65%的计算时间以及约70%的存储量，减少了平面变压器4层实验模型约60%的计算时间以及约66%的存储量。这是由于在符合磁场强度一维分布的弱边缘效应区域，相比于三角形单元，一维线性单元可以通过较少的节点场量对较大求解区域的电磁场进行离散剖分，从而减少了描述求解域场量分布所必需的单元数与节点数。
表3中显示，本文方法描述平面变压器12层实验模型的弱边缘效应区域仅需120个节点与119个单元，描述4层实验模型的弱边缘效应区域仅需48个节点与47个单元，然而2D有限元法描述平面变压器12层实验模型的弱边缘效应区域所需节点数高达17 581，单元数则高达34 868，而描述平面变压器4层实验模型的弱边缘效应区域所需节点数则高达8 312，单元数则高达16 422。
节点数与单元数的减少对线性方程组构成与求解过程主要产生如下三方面影响。
（1）节点数的减少意味着线性方程组系数矩阵阶数的减少，有效地减少了此阶段的计算时间。
（2）单元数的减少决定了贡献矩阵数目的减少，在减少存储资源的同时，也减少了系数矩阵构建的时间。
（3）单元数与节点数共同决定了线性方程组系数矩阵的复杂程度，本文方法同时减少单元数与节点数使得存储系数矩阵所需的存储资源减少。
综上所述，在处理平面变压器电磁场求解这一问题中，通过本文方法可以有效地减少2D有限元法的单元数与节点数，从而节约了线性方程组构建与求解过程的计算资源与存储资源。
通过Agilent E4980A阻抗分析仪对平面变压器12层模型交流电阻与漏感进行实验测量如图9所示。测试过程中平面变压器模型二次侧短路，辅助绕组开路，忽略励磁电感的影响，依据变压器Γ型等效电路可以得到变压器一次、二次侧交流电阻之和RACs和一次、二次侧漏感之和Lss的实验值。
为实现对绕组损耗计算精度的验证，还需将实验所得一次、二次侧交流电阻之和RACs进一步转化为绕组损耗，绕组损耗实验值PCum表示为
图9 E4980A阻抗分析仪与平面变压器12层验证模型
Fig.9 E4980A impedance analyzer and 12-layers planar transformer model
（23）
绕组损耗实验值PCum与计算值PCuc的对比如图10所示，传统2D有限元法和本文方法绕组损耗相对误差dP如图11所示，漏感实验值Lssm与计算值Lssc的对比如图12所示，交流漏感相对误差dL如图13所示。
图10 平面变压器12层模型绕组损耗实验值与计算值对比
Fig.10 Comparison between measurements and calculated value of AC resistance for 12-layers planar transformer model
以实验值PCum、Lssm为基准值计算得到绕组损耗以及一次、二次侧漏感之和的相对误差dP、dL，其正值代表计算值小于实验值，负值代表计算值大于实验值，表达式为
（24）
图11 平面变压器12层模型绕组损耗相对误差对比
Fig.11 Relative error of AC resistance for 12-layers planar transformer model
图12 平面变压器12层模型漏感实验值与计算值对比
Fig.12 Comparison between measurements and calculated value of leakage inductance for 12-layers planar transformer model
图13 平面变压器12层模型交流漏感相对误差对比
Fig.13 Relative error of leakage inductance for 12-layers planar transformer model
由图10～图13可知，与2D有限元法相比，本文方法对平面变压器12层实验模型绕组损耗相对误差dP的提升最高处约为1.32%，对交流漏感相对误差dL的提升最高处不足0.10%。当然，不可否认的是，这与漏感Lss因主要受导体外分布的磁场能量影响而受频率变化影响较小有关。
通过Keysight E4990A阻抗分析仪对平面变压器4层模型交流电阻与漏感进行实验测量如图14所示。
图14 E4990A阻抗分析仪与平面变压器4层验证模型
Fig.14 E4990A impedance analyzer and 4-layers planar transformer model
平面变压器4层模型的PCu实验值与计算值的对比如图15所示，传统2D有限元法和本文方法绕组损耗相对误差dP如图16所示，Lss实验值与计算值的对比如图17所示，交流漏感相对误差dL如图18所示。
图15 平面变压器4层模型绕组损耗实验值与计算值对比
Fig.15 Comparison between measurements and calculated value of AC resistance for 12-layers planar transformer model
由图15～图18可知，与2D有限元法相比，本文方法对平面变压器4层实验模型绕组损耗相对误差dP的提升最高处约为1.01%，对漏感相对误差dL的提升最高处不足0.10%。
综上所述，无论是对2D有限元法在较窄频率范围内保障计算精度的平面变压器12层模型，还是对2D有限元法在较宽频率范围内保障计算精度的平面变压器4层模型，本文方法对2D有限元法的计算精度几乎均未产生影响，与此同时本文方法却具有较低的计算成本，因此可以验证本文方法的有效性。
图16 平面变压器4层模型绕组损耗相对误差对比
Fig.16 Relative error of AC resistance for 12-layers planar transformer model
图17 平面变压器4层模型漏感实验值与计算值对比
Fig.17 Comparison between measurements and calculated value of leakage inductance for 12-layers planar transformer model
图18 平面变压器4层模型交流漏感相对误差对比
Fig.18 Relative error of leakage inductance for 12-layers planar transformer model
本文在2D有限元法的基础上，针对平面变压器绕组损耗与漏感参数精确计算问题，通过对求解域划分并引入一维线性单元的剖分策略，提出一种针对线性方程组构建与求解过程计算且节约存储资源的方法。并通过以上工作内容得出如下结论：
1）通过将求解域划分为强边缘效应区域与弱边缘效应区域，并引入一维线性单元代替三角形单元对弱边缘效应区域剖分离散的方法，能够减少弱边缘效应区域剖分所需的节点数与单元数，进而减少2D有限元法线性方程组构建与求解这一过程的计算时间与存储占用。
2）依据平面变压器磁场强度分布划分求解域，并在符合磁场强度一维线性分布的弱边缘效应区域应用与此区域契合度较高的一维线性单元，这种方法对2D有限元法对绕组损耗与漏感的计算精度几乎不产生影响。
3）在前处理过程中，通过制定相邻三角形单元与一维线性单元的剖分规则，即相邻单元的节点相互重合而棱边与节点不重合，能够解决三角形单元与一维线性单元的单元兼容问题，并使得系数矩阵的构建过程能够顺利进行。
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Improved Finite Element Method of Winding Loss and Leakage Inductance for Planar Transformer Used in LLC Converter
Abstract The finite element method is often used to accurately calculate the performance parameters such as winding loss and leakage inductance of planar transformers. However, due to high storing and calculating costs, in the case of a tight design cycle, the number of design schemes that can be accurately calculated is limited, which increases the risk of selecting the local optimum point as the final design scheme. Therefore, the process of constructing and solving linear equations that occupy many resources is improved. Firstly, by analyzing the magnetic field intensity distribution of the planar transformer, according to the strength of the edge effect, the solution region of the planar transformer is divided into the strong edge effect region and the weak edge effect region. Secondly, a one-dimensional linear element that is more suitable for the weak edge effect region is introduced to reduce the number of nodes and elements necessary to describe the solution region’s field, saving computing and storing resources. Thirdly, by restricting the distribution of adjacent element nodes, the problems of element compatibility and coefficient matrix construction caused by the introduction of one-dimensional linear elements are solved. Finally, planar transformer models are built. The winding loss and leakage inductance of calculated and experimental values, as well as the calculating and storing costs of the proposed method and the finite element method, are compared, which verifies the proposed method.
keywords：Planar transformer, finite element method, winding loss, leakage inductance, numerical methods
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220253
中图分类号：TM433
国家自然科学基金（51677052, 52077053）和河北省人才工程培养（A201902009）资助项目。
收稿日期 2022-02-23
改稿日期 2022-05-07
赵志刚 男，1981年生，教授，博士生导师，主要研究方向为电工磁材料磁性能模拟与工程电磁场数值仿真及应用。E-mail: zhaozhigang@hebut.edu.cn（通信作者）
张学增 男，1995年生，硕士研究生，主要研究方向为电工磁材料磁性能模拟、电力电子磁性器件设计与工程电磁场数值仿真及应用。E-mail: hebutzhangxz@126.com
（编辑 陈 诚）