基于SVD-Prony及主成分回归的次同步振荡阻尼特性影响因素研究

（1. 上海电力大学电气工程学院上海 200090 2. 国网上海浦东供电公司上海 200120 3. 国网上海市电力公司经济技术研究院上海 200223）

摘要风电并网系统次同步振荡阻尼特性及其影响因素的准确有效辨识，是解决实际风电场并网系统工程中次同步振荡问题的前提和关键。为避免传统次同步振荡分析方法的复杂建模，该文提出一种利用风电场参数及运行数据的次同步振荡阻尼特性及其影响因素分析方法。首先，基于奇异值增长率谱的奇异值分解法（SVD）提升Prony法的抗噪性，从振荡数据中提取模态信息；其次，选取振荡的影响因素并进行相关性分析及共线性诊断；然后，采用主成分回归（PCR）减少回归分析中的共线性问题，建立阻尼比估计模型，辨识出影响风电场次同步振荡阻尼比的主导因素；最后，通过双馈风电场经柔直并网系统仿真验证了所提方法的有效性及准确性。

0 引言

随着风电大规模接入电网，出现了更多安全与稳定问题，其中次同步振荡（Subsynchronous Oscillation, SSO）问题尤为突出[1-3]。对次同步振荡的影响因素进行研究，有助于明晰振荡发生的场景，优化调整风电机组参数，从而解决实际工程中的SSO问题。现有研究利用传统次同步振荡分析法确定影响因素[4-8]，如文献[4-5]利用阻抗分析法、参与因子法研究了风电场的次同步振荡特性及影响因素，提出具有抑制SSO作用的控制器参数调整方案。随着风电场规模逐渐扩大，且风电场间特性存在差异，传统次同步振荡影响因素分析方法出现建模繁琐、“维数灾”等问题[6-10]。因此，有必要以风电并网系统量测数据为切入点[11-14]，基于量测数据直接对次同步振荡进行分析。

基于量测数据的振荡模态辨识法有快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）法[15]、模态分解法[16-19]、Prony法[20,23]等。但是，FFT法存在频谱泄露、栅栏效应[21-22]、增大信号误差的问题；模态分解法包括经验模态分解类及小波分解类算法，经验模态分解类算法计算量大，且存在影响辨识的模态混叠问题；小波分解法需选择合适的基函数及阈值，目前没有统一的选取原则，所得结果波动较大；Prony法可提取数据中的模态信息，但SSO信号中包含的噪声及模型的定阶会对其精度产生影响[24-25]。

本文充分利用风电并网系统参数及运行数据，提出一种次同步振荡阻尼特性及其影响因素的量化辨识法。首先利用奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）结合Prony法提升抗噪性，对振荡数据进行模态参数辨识，并利用奇异值增长率法确定信号阶数；其次选择次同步振荡影响因素并采用Pearson及Spearman相关系数评估因素间的相关性；然后利用主成分回归（Principal Component Regression, PCR）避免变量间的信息覆盖问题，提高阻尼比估计的准确度；最后根据影响因素与阻尼比的量化关系，计算风电场阻尼比，辨识出次同步振荡阻尼特性的主导因素，并利用根轨迹法验证振荡主导因素辨识的有效性。

1 基于数据驱动的次同步振荡阻尼特性及其影响因素辨识流程

基于SVD-Prony及PCR的次同步振荡阻尼特性及其影响因素辨识法由数据提取、影响因素筛选、和主成分回归三个步骤组成，其流程如图1所示。

步骤1）进行数据提取。采集风电场参数及运行数据，利用基于奇异值增长率的SVD-Prony法，从时域运行数据中提取出振荡模态参数。

步骤2）筛选PCR分析的自变量。选取影响阻尼特性的自变量，对变量做相关性分析及共线性诊断，剔除相关性及共线性过强的变量，判断变量之间是否产生信息重叠，若存在较强的信息重叠，则需采用PCR分析。

步骤3）结合振荡模态数据与风电场数据，对所有影响因素及阻尼比进行PCR分析。建立有效、准确的阻尼比回归估计模型，辨识出次同步振荡主要影响因素。

2 基于数据驱动的次同步振荡阻尼特性及其影响因素辨识原理

2.1 SVD-Prony

Prony法能够提取振荡信号的模态频率、阻尼比、相位、幅值等特征，但其对电网实际信号中掺杂的噪声较为敏感，有概率产生虚假振荡模式，无法保证辨识准确度。同时，Prony法可能会出现“维数灾”等问题[23-25]。因此，通过奇异值分解滤除信号中的噪声，再进行次同步振荡模态辨识。

SVD原理：将信号X=[x1 x2 x3 … xN]构造为m×n的Hankel矩阵。

式中，N=m+n-1。Hankel矩阵的逆对角线元素相同。对Hankel矩阵进行奇异值分解得

式中，U、V分别为m×m、n×n阶的标准化矩阵；S为m×n阶的奇异值矩阵[26-27,29,35]，S=[diag(σ1,σ2, width=11.95,height=8.2

,σr), 0],σi为奇异值，奇异值均非零且降序排列，r为矩阵S的秩。

有效奇异值数量的选取决定了信号降噪的效果。根据奇异值分解理论及Frobeious范数的矩阵最佳逼近定理，含噪信号由纯净信号与噪声组成，数值较大的奇异值代表了纯净信号的特征，较小的奇异值代表了噪声的特征。选取有效奇异值数量k，将其余奇异值置零，得到矩阵S′。若k值过小，将会发生过降噪，一部分有用信号将被滤除；若k值过大，发生欠降噪，未完全滤除噪声信号，将对辨识结果造成干扰。

本文采用奇异值增长率选取有效奇异值数量。奇异值增长率反映了奇异值的突变程度。通过比较奇异值增长率的数值，选取奇异值增长率最大值的点作为有效奇异值数量。奇异值增长率公式为

进行奇异值反变换H′=US′V后, 根据Hankel矩阵特性，选择H′矩阵第一行所有元素和最后一列第二到最后一个元素，组成重构信号。

2.2 相关性分析及共线性诊断

相关性分析能够确定变量间的紧密程度。本文结合Pearson和Spearman相关系数确定变量间相关性[28]。Pearson相关系数主要用于评估连续且正态分布数据的相关性，当数据不满足这两个特性时，回归分析有效性降低，此时采用Spearman相关系数更准确。

Pearson相关系数表达式为

Spearman相关系数表达式为

式中，E为数学期望；xi为自变量；yi为因变量；X、Y分别为自变量、因变量的样本总体； width=10.25,height=11.95

、

分别为自变量x、y的平均值。若相关系数为正，变量间正相关；相关系数为负，则变量间负相关。相关系数绝对值越大，表明变量间相关性越强。

当变量之间共线性过强时，回归分析的不稳定性会增加，回归分析估计的准确度将降低。共线性的判别将决定是否采取共线性消除措施，本文采用方差膨胀因子（Variance Inflation Factor, VIF）及宽容度（Tolerance, TOL）判别，当VIF≥10或TOL接近于0时，认为自变量间存在信息重叠。

2.3 主成分回归

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是最常用的数据降维方法之一，可将存在线性相关性的n个变量转换为k个线性不相关的变量(k＜n)，并尽量反映原变量的信息[30]。

主成分分析法的原理：根据采集的数据(n组样本数据，p个变量)构造样本矩阵X。为保证数据的可靠性，将数据做标准化处理，消除量纲的影响，得到标准化矩阵Z，即

式中，

为第j个变量的平均值；σij为第j个变量的标准差。标准化阵Z的样本相关系数阵为

求取矩阵

的p个特征值λ1，λ2， width=11.95,height=8.2

，λp并降序排列。方差解释率（Variance Interpretation Rate, VIR）表示第m个主成分对原变量的解释程度，累计方差解释率（Variance Cumulative Interpretation Rate，VCIR）表示前m个主成分对原变量信息的程度，若其大于80%或特征值大于1，说明未损失过多信息，可选取前m个主成分。方差解释率及累计方差解释率公式为

第i个变量与第j个主成分的线性组合系数uij与载荷矩阵系数fij关系为

多元线性回归（Multiple Linear Regression, MLR）有助于量化因变量对自变量的影响方向和程度，能够建立估计模型，通过自变量值估计因变量值。将PCA与MLR结合为PCR，能够降低数据维度、减少信息重叠、提高预测精度。

式中，y为因变量；αi为回归系数(i=1, 2, …, k)，采用最小二乘法求解其拟合值；ε为误差项，假定ε服从正态分布。

标准化后对主成分做MLR，即

式中，Fi为第i个主成分；βi为第i个主成分回归系数。

3 SVD-Prony法信号辨识

3.1 SVD-Prony法辨识理想信号

为验证SVD-Prony信号辨识的性能，构造一个各模式相差较大的理想信号，其参数见表1，并加入14.09dB的高斯白噪声，如图2所示，加噪后的信号产生毛刺。利用奇异值增长率法确定有效奇异值数量，奇异值增长率曲线如图3所示。

构造理想信号，仿真时间为10s，步长为0.01s。

运用波形相似系数（Normalized Correlation Coefficient, NCC）、方均误差（Mean Square Error, MSE）、信噪比（Signal to Noise Ratio, SNR）定量评估降噪后的波形[36-37]，结果见表2。

式中，x1、x2分别为不含噪声的理想信号及降噪后剥离出的有用信号。波形相似系数越接近于1，方均误差越小，信噪比越大，说明去噪效果越好[36-37]。

由表2可知，有效奇异值数量为6时波形相似系数最接近于1、方均误差最小、信噪比最大，结合图2a、图4a，此时剥离出的波形信号与未加噪声的理想信号最接近，降噪效果最好。

采用有效奇异值数量为6进行SVD-Prony。SVD-Prony与无降噪Prony辨识结果对比表3，信号降噪后的辨识结果准确度相比无降噪时有较大提升。

3.2 IEEE第一标准模型辨识

采用文献[34]中经典的IEEE次同步振荡第一标准模型，利用SVD-Prony法对其进行次同步振荡辨识，系统结构如图5所示，在DIgSILENT/Power Factory中搭建该模型。

在1.5s时刻，设置系统在节点B经过渡阻抗发生三相短路，故障持续0.075s后清除。选择0～5s时发电机转速偏差信号波形作为分析信号，发电机转速偏差信号如图6所示。仿真得到的奇异值增长率曲线如图7所示。

由图7可知，有效奇异值数量为1时奇异值增长率最高，为99.88%。进行SVD-Prony模态辨识并与特征值分析法对比结果见表4，表明SVD-Prony的辨识结果准确度相比无降噪时有较大提升。

表3、表4中对不同信号进行使用奇异值增长率的SVD-Prony法辨识模态的结果，表明选取奇异值增长率最大值点可准确辨识出振荡信息。

3.3 SVD-Prony法辨识双馈风机并网系统波形

本文算例系统采用文献[10]中的双馈风机经VSC-HVDC（voltage source converter based-high voltage direct current transmission）并网的模型，参数见文献[10]。风电场由n台额定功率为5MW的 DFIG等效而成。系统结构如图8所示。图8中，WFVSC（wind farm side VSC）为风电场侧换流器和GSVSC（grid side VSC）为电网侧换流器。

本文的数据通过仿真获得，通过设置系统故障引发次同步振荡。1s时在母线Bus2发生三相短路，故障持续0.25s后清除，系统出现有功功率振荡，如图9所示。改变风电场风速、控制参数、风机台数等变量，各自变量值变化范围见附表1，得到不同运行方式下的600组振荡波形。以某一运行方式下风电场有功功率振荡波形为例，进行SVD-Prony模态辨识，结果如图10、表5。

由于发生次同步振荡，阻尼比小于0.1，系统处于弱阻尼状态，且本文风电场自然扭振频率为5.56Hz，因此选择振荡模态1的结果作为本文研究对象。对600组振荡波形进行SVD-Prony振荡模态辨识，得到600组阻尼比数据，结合变量数值取为第一组样本数据。

4 双馈风电场经VSC-HVDC并网系统次同步振荡特性研究

按第1节及图1中提出的数据驱动方法，结合3.3节中得到的数据，进行双馈风电场经VSC-HVDC并网系统的次同步振荡特性研究，筛选影响次同步振荡的自变量。基于自变量及阻尼比数据进行PCR分析，得出自变量与阻尼比的量化关系，辨识出次同步振荡的主要影响因素。

4.1 影响次同步振荡阻尼特性的变量选择

根据《国家电网安全稳定计算技术规范》[33]，阻尼比小于0时，系统不能稳定运行；阻尼比越大，振荡衰减越快，阻尼比的数值反映了系统的稳定性。因此选择阻尼比为因变量。

影响阻尼比的自变量选择：风电场的运行受内外部条件影响，外部条件中，影响程度较高的为风速，本文时间尺度较小，在15s的时间尺度内风速变化较小，因此选取初始风速；内部控制参数中风机转子侧内环比例系数影响最大[10]；风电场的振荡会反映在电流/电压波动中，而电流/电压的波动最终会反映在功率波动中，风场侧电压/电流波动选取风电场汇流母线处三相波动的平均值；振荡还受到风机台数、轴系扭转角度等因素影响。因此，选取风速、风场侧电流/电压波动、风轮转速、发电机转速、轴系扭转角度、风电场有功/无功出力、风机转子侧有功比例系数、风机台数作为影响阻尼特性的自变量。

4.2 共线性诊断与参数提取

对影响因素进行Pearson及Spearman相关性分析，相关系数见附表2和附表3，表中系数绝对值越大，变量间关系越紧密。风轮转速与发电机转速的相关系数为1，变量间完全相关，因此剔除发电机转速。综合附表2和附表3，风速与风轮转速、轴系扭转角度、无功出力；风场侧电流波动与风机转子侧有功比例系数、风场侧电压波动；电压波动与风电场有功出力、风机台数；风轮转速与轴系扭转角度；风机轴系扭转角度与有功/无功出力；有功出力与风机台数之间存在紧密关系，将会造成共线性问题。

进行共线性诊断见表6，出现VIF≥10及TOL趋近于0的现象，表明回归分析中出现了信息重叠，准确性将会降低。附表2、附表3、表6中，x1为风速；x2为风场侧电流波动；x3为风场侧电压波动；x4为风轮转速；x5为轴系扭转角度；x6为风电场有功出力；x7为风电场无功出力；x8为风机转子侧有功环比例系数；x9为风机台数；x10为发电机转速；y为阻尼比。

4.3 次同步振荡阻尼特性影响因素的PCR分析

PCR结合了主成分分析法和MLR，利用PCA的互不线性相关性进行数据降维，减弱回归分析中的多重共线性问题，提高回归模型分析的准确度[31-32]。

KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）检验是用于比较变量间相关系数和偏相关系数的指标，若KMO值小于0.6，不适合进行主成分分析；当KMO值大于0.7，较为适合主成分分析。Bartlett球形度检验p值小于0.05，适合进行主成分分析。KMO及Bartlett球形度检验结果见表7。由表7可知，KMO值、p值符合条件，适合进行主成分分析。

主成分提取结果见表8。由表8可知，第三个主成分特征值为1.313＞1, 第四个主成分特征值为0.432＜1, 同时前三个主成分的累计方差解释率为88.409%＞80%，前三个主成分能够包含原始变量中足量的信息。因此，取前三个主成分, 得出主成分因子载荷矩阵见表9。

主成分1包含了风速、风场侧电压波动、轴系扭转角度、风电场有功出力、风电场无功出力的信息；主成分2包含了风电场侧电流波动、风轮转速的信息；主成分3包含了风机转子侧有功环比例系数、风机台数的信息。

利用式（10）计算出线性组合系数，得出各主成分表达式为

式中，ZXi为标准化的自变量。

以主成分F1、F2、F3作为自变量，阻尼比作为因变量，进行回归分析，模型摘要见表10。

表10中，R2为拟合优度，其值越大，表明建立的模型能够解释因变量变化的程度越高。本文R2值为0.881，表明构建的模型中，自变量能够解释因变量88.1%的变化原因，回归分析效果较好。

F为F检验统计量值，F=1 609.52（p=0.00＜0.01），表明三个变量中至少有一个会与因变量产生关系。

4.4 回归分析检验

残差是因变量的实际值与回归模型求解的估计值之间的差值。标准化残差即为残差除以其标准差得到的数值，若标准化残差服从正态分布，则式（11）的假设成立，符合回归分析的要求。

标准化残差检验结果如图11所示。由图11a可知，标准化残差符合N(0, 1)的标准正态分布，同时，图11b正态概率分布图表明，数据点在参照线附近，正态性符合要求，使用回归分析数据合理。

主成分与阻尼比回归分析的结果见表11。其中，B为非标准化回归系数；Beta为标准化回归系数；Std.为标准误差(表示B的波动)；t为显著性t检验值；Sig为显著性值。

表11中，三个主成分的Sig值均小于0.01，表明结果极显著，显著性值越小，得出结论正确的概率越高。主成分F1的标准回归系数为-0.447（t=-33.114），与阻尼比有着显著负相关关系；主成分F2的标准回归系数为0.177（t=13.139），与阻尼比有着显著的正向影响关系；主成分F3的标准回归系数值为-0.806（t= -59.67），与阻尼比有显著的负向影响关系。

使用散点图12检验各主成分与阻尼比的关系，可以得出，主成分F1和F3与阻尼比负相关，主成分F2与阻尼比正相关，与表11回归分析结论一致。建立标准化的回归模型为

式中，Zy为标准化的因变量，即阻尼比。

运用标准化公式（7），得到非标准化的PCR模型为

4.5 阻尼比估计准确度验证

由于岭回归是另一种解决变量间共线性问题的方法，因此，采用PCR、MLR、岭回归，通过自变量数据估计对应的阻尼比值与原数据进行比较，如图13所示。

将第3.3节得到的数据取为第一组数据。随机改变风电并网系统的自变量值，得到第二组不同的数据，分析结果如图14所示。数据中包含了自变量数值及此组自变量数据对应阻尼比的数值。

图13a、图14a横坐标为阻尼比实际值，纵坐标为阻尼比估计值，数据点越接近参考线，表明估计值与实际值越接近。由图13、图14，PCR估计的阻尼比值与实际值较为接近。

估计值误差对比见表12。由表12，PCR的平均相对误差小于MLR和岭回归，估计准确度较高，验证了回归系数数值的合理性。

4.6 次同步振荡阻尼特性影响因素辨识

主成分回归分析标准化系数绝对值可以表示影响因素对因变量的重要性。将影响因素与阻尼比的标准化系数值按绝对值降序排列，如图15所示。负向影响阻尼比的主导因素为风机台数（x9）、风电场有功出力（x6）、风机转子侧内环比例系数（x8），增大这些参数将使系统稳定性恶化；正向影响阻尼比的主导因素为风轮转速（x4），增加风轮转速将使系统更稳定。振荡抑制中参数的调节可以本文结论为基础。图15中，纵坐标为影响因素与阻尼比之间的标准化系数，范围为[-1, 1]，其绝对值越大表示影响因素对阻尼比的影响越大。

4.7 基于根轨迹法的振荡阻尼特性影响因素验证

由于本文从时域仿真得到数据，因此选择非时域的特征根轨迹法验证振荡主导因素对阻尼特性的影响方向，如图16所示。

根轨迹法的特征根越靠近虚轴代表系统稳定性降低[10]。由图16a、图16b、图16c可知，当风机台数、风电场有功出力、风机转子侧内环比例参数增加，特征根向虚轴靠近，系统稳定性降低；由图16d可知，当发电机风轮转速增加，特征根远离虚轴，系统稳定性增强，与本文所提方法结论一致，验证了本文所提方法的有效性。

5 结论

本文提出了一种基于SVD-Prony及PCR的次同步振荡阻尼特性及其影响因素辨识方法。通过双馈风电场经柔直并网系统对所提方法进行验证，结论如下：

1）本文所提方法无需对系统进行建模，利用SVD-Prony从风电场时域运行数据中辨识出振荡模态信息，结合风电场参数值，进行影响因素筛选后，利用PCR得出自变量与阻尼比值的量化关系，辨识出次同步振荡阻尼特性主要影响因素。

2）对于本文系统，风机台数、风电场有功出力、风机转子侧内环比例系数为负向影响次同步稳定的主要因素，风轮转速为正向影响次同步稳定的主要因素。

3）与SVD结合后，Prony法具有更强的抗噪性，理想信号算例验证了该方法辨识次同步振荡模态参数的准确度。

4）相关性及回归分析均能够得出变量间的量化关系；PCR分析避免了因素间共线性问题，与MLR、岭回归相比，阻尼比估计准确性较高。

5）所提方法适用于不同风电场、不同控制方法、不同种类振荡的影响因素研究，有助于明确风电场振荡发生的场景，预防振荡的产生，保证风电场的安全稳定运行。

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Analysis of Influencing Factors on Damping Characteristics of Subsynchronous Oscillation Based on Singular Value Decomposition-Prony and Principal Component Regression

（1.Shanghai University of Electric Power Shanghai 200090 China 2. State Grid Shanghai Pudong Electric Power Supply Company Shanghai 200120 China 3. State Grid Shanghai Electric Power Economic & Technological Institute Shanghai 200223 China）

Abstract Accurate and effective identification of damping characteristics and its influencing factors of subsynchronous oscillation (SSO) in wind power grid connected system is the premise and key to solve the problem of SSO in actual wind power grid-connected system engineering. To avoid the complex modeling of traditional SSO analysis method, this paper proposes a method to analyze the influencing factors of SSO damping characteristics based on wind farm parameters and operation data. Firstly, singular value decomposition (SVD) based on singular value growth rate spectrum is applied to improve noise resistance performance of Prony and modal information is extracted from oscillation data. Secondly, the influencing factors of oscillation are selected and the correlation and collinearity diagnosis are carried out. Then, principal component regression (PCR) is adopted to reduce the collinearity in the regression analysis, the damping ratio estimation model is established to identify the dominant factors affecting the subsynchronous stability of the wind farm. Finally, the effectiveness and accuracy of the proposed method are verified by power system with DFIG integrated through VSC-HVDC.

keywords：Singular value decomposition(SVD), Prony, subsynchronous oscillation(SSO), principal component regression(PCR)

国家自然科学基金项目（51977127）和上海市科学技术委员会项目（19020500800）资助。

张骞男，1997年生，硕士研究生，研究方向为风电并网稳定性分析和大数据技术。E-mail：1194357581@qq.com

边晓燕女，1976年生，教授，硕士生导师，研究方向为电力系统稳定与控制、风力发电。E-mail：kuliz@163.com（通信作者）