图1 变压器铁心磁场求解域
Fig.1 Solved region of magnetic field for transformer
摘要 次同步频率分量注入导致变压器铁心产生周期性非对称偏置磁化。该文以矢量磁位A和绕组电流I为待求量，考虑场路耦合关系并结合固定点法处理磁阻率非线性，建立计算变压器铁心静磁场的三维时间周期有限元模型并编写了计算程序，对含次同步频率分量下变压器铁心的稳态磁特性进行研究。在前处理阶段对绕组区域的各单元建立电流密度方向矢量矩阵。在迭代阶段，对非线性各向异性铁心区域需选择合适的局部收敛定点磁阻率。利用二维时间周期有限元法计算得到的绕组电流稳态解作为三维场路耦合计算的电流初值以减少迭代时间。通过计算和实验结果验证了该文算法的有效性，并分析了不同幅值、频率、相序以及三相分布的次同步频率分量对铁心电磁特性的影响。
关键词：次同步频率分量 非对称偏置磁化 三维时间周期有限元法 场路耦合 固定点法
以风电为代表的新能源接入含串补装置的输电线路会引发电力系统次同步振荡，且为抑制该现象而采用各类次同步振荡抑制器，导致电力系统中注入了次同步频率分量，并因此导致变压器产生周期性非对称磁饱和问题[1-3]。对此非对称磁饱和现象的研究包括基于实验对变压器电流、饱和[4]、损耗[5]、温升[6]、振动、噪声[7-9]等特性的建模研究，以及基于数值分析对变压器在电路、磁场[10-11]、机械-噪声场[12]等参数变化的预测分析。然而以上研究通常是在直流偏磁的条件下，次同步分量注入变压器产生的影响与传统直流偏磁问题仍有不同：①直流偏磁所考虑的是直流电流注入变压器，而次同步频率分量既有可能是次同步电流，也有可能是次同步电 压[13-14]；②若次同步频率分量是以次同步电压形式注入变压器，该电压分量会产生次同步频率磁通，对变压器的影响更为直接且显著；③直流偏磁的抑制装置可以消除变压器中的直流分量，而对次同步振荡抑制器则需通过换流变压器或串联变压器注入反向次同步分量，导致相应变压器并不能摆脱次同步分量的影响[15-17]；④实验和仿真研究方面，传统直流偏磁只需关注其注入的幅值以及三相分布状况，次同步分量还需关注其频率和相序的问题。
在我国实际电网运行中，华北沽源、东北通榆和新疆哈密等地都曾出现过不同程度的次同步振荡现象[14, 18-19]；为抑制次同步振荡现象引入的串联静止无功发生器（Static Var Generator, SVG）型次同步振荡抑制器，也需经串联变压器在阀侧主动施加相应频率和幅值的次同步分量[20]。随着系统次同步振荡现象的增加以及所接入次同步振荡抑制器的增多，对含次同步频率分量下变压器电磁特性问题的研究有重要意义。
针对次同步分量对变压器影响的研究，有学者提出通过建立电路模型或磁路模型进行求解[1-2, 21]，用以分析磁通和励磁电流的变化情况，但并不能揭示次同步分量引起的磁场变化。还有学者建立2D有限元模型进行计算[3, 22-23]，但只能对中间平面的磁场进行计算，仅可对局部场域近似处理[24-25]，且不能考虑材料各向异性的影响。对于3D场路耦合有限元，分别有学者提出基于变压器互感电路模型的间接耦合方法和基于电磁感应定律的直接耦合方法进行变压器直流偏磁研究[26-27]，尚未有人将3D场路耦合模型应用在含次同步分量下的变压器电磁特性的研究中。
含次同步分量下的变压器偏置磁化计算属于非线性时不变问题，对于有理次的次同步间谐波分量，变压器的励磁电流以及磁场场量仍满足周期性条件，因此本文建立三维场路耦合时间周期有限元模型，引入定点磁阻率并开发了计算程序对该问题进行研究。针对前处理过程中绕组矢量矩阵的建立、迭代过程中各向异性材料的定点磁阻率选取以及3D场路耦合模型的初值方案进行讨论分析。最后通过一台三相变压器的实验和计算验证了本文算法的有效性和计算效率，并对该变压器在不同次同步电压分量激励下的电磁特性进行研究。
三维变压器铁心磁场求解域如图1所示。G1和G2分别为两类计算边界，给定G1上矢量磁位的切向分量为0（对应磁感应强度的法向分量为0），给定G2上矢量磁位旋度的切向方向为0（对应磁场强度的切向分量为0），G1和G2包围整个求解域W。
图1 变压器铁心磁场求解域
Fig.1 Solved region of magnetic field for transformer
以矢量磁位A为变量建立磁场微分方程边值问题为
（1）
式中，J为电流密度矢量，在绕组区域为流过绕组的电流密度，其他区域为0；v为材料的磁阻率，铁心区域根据非线性磁化曲线计算非线性磁阻率，铁心外为空气磁阻率；n为场域边界法向量。
为确保矢量磁位的唯一性，引入库仑规范（
），从而将式（1）中的方程转化[28]为
（2）
考虑到磁性材料的非线性特性，引入定点磁阻率，可以避免迭代中的磁阻率不连续问题，并得到相较牛顿-拉夫逊法更好的收敛效率[29]。此时，磁场强度矢量H表示为
（3）
式中，vf为定点磁阻率；B为磁感应强度矢量，
；G为类磁化强度矢量，用以表示磁场强度矢量中的非线性部分。
将式（3）代入式（2），将场域方程写为
（4）
采用四面体网格划分求解区域，并利用线性基函数对矢量磁位进行插值，可将矢量磁位A表示为
（5）
式中，Ax,i、Ay,i和Az,i分别为网格节点i上矢量磁位在ex、ey和ez 三个坐标轴方向上的分量；Ni（x, y, z）为节点i对应的分块线性插值基函数；np为节点数。
根据伽辽金加权余量法，矢量基函数与方程余量在求解区域内的标量积为0，建立场域微分方程的弱形式为
（6）
式中，N为各节点标量基函数与方向矢量相乘建立的矢量基函数。
根据矢量恒等变换和高斯散度定理，对式（6）进行降阶转换，边界条件作为曲面积分形式考虑在方程中，变换后的方程为
（7）
将式（2）中的边界条件代入对应的曲面积分项，可将式（7）化简为
（8）
采用伽辽金法，矢量权函数的空间分布同插值基函数，且任意方向的矢量权函数与方程余量的标量积均满足式（8）。对于单元e中的节点有
（9）
其中
式中，
为单元e内节点j的三个方向待求矢量磁位组成的列向量；i∈e表示单元e与节点i相连；e∈wk表示单元e处在绕组k区域；Ik为流入变压器绕组k的电流；
和
为系数矩阵；
为输入列向量。各系数矩阵及输入向量的形态及形成方式见附录式（A1）～式（A3）。
电力变压器运行时，需向绕组上施加励磁电压源或负载，对变压器各绕组电流建立方程为
（10）
式中，Rk和Lk分别为外电路等效串联电阻和串联电感；Uk为施加在绕组k上的电压，对无源负载支路Uk=0；Ek为绕组k的感应电动势，根据电磁感应定律，Ek满足
（11）
式中，lk为绕组k区域中一条包围铁心的闭合曲线；Ck为一匝绕组的周长；ek为绕组方向矢量；Nk为绕组匝数；De为单元e的体积；Vk为绕组k区域的总体积；
表示求单元内各节点矢量磁位在绕组方向投影均值的函数；
为系数矩阵，矩阵计算见附录式（A4）。
对整个求解域及各绕组电流进行联立求解，根据式（9）和式（11）建立方程为
（12）
其中
式中，
、
、
为按节点编号建立矢量磁位在三个坐标轴方向的待求列向量；I为nw个绕组电流建立的待求列向量；Kv、KN和FG为对应各方向和节点元素形成的系数矩阵以及输入列向量；Kw、KL、KR和US为对应空间矢量方向及绕组支路形成的系数矩阵以及输入列向量。
次同步频率分量的注入会导致变压器表现出更加显著的非线性，且进行3D场域计算时存在各向异性问题，由此导致在迭代过程中矩阵需不断更新且具有不对称性；另外考虑计算精度以及迭代效率方面的问题，本文对模型的求解作以下处理。
对于非线性时不变电路，在含有基波和有理次次同步频率分量的激励时，磁场量及绕组电流的稳态解仍满足周期条件，只是计算周期不再是基波周期，而需扩大数倍，有
（13）
式中，T为计算周期；ns、nssr为一对互质整数；Ts、Tssr分别为基波电压和次同步电压分量的周期。
对式（12）施加周期性条件即可通过时间周 期并行求解的方式获得场路耦合问题的稳态计算 结果。
在2D场路耦合模型中，电流密度仅有流入和流出纸面方向，因此可作为标量处理；在3D磁场计算的有限元模型中，其电流密度矢量的空间分布是预先给定的；对3D场路耦合有限元模型，绕组电流I在电路中是以标量形式计算，电流密度J在场域中则以矢量形式处理，因此为实现两种分量在不同求解空间的矢量转化，需在前处理阶段根据绕组的分布和绕向建立方向矩阵，忽略导体电流的趋肤效应，建立关于电流的耦合方程为
（14）
式中，Nk和Sk分别为绕组匝数和截面积；Jk为场域中绕组k中的电流密度。
变压器铁心是由具有非线性及各向异性的材料制作而成，采用定点法对矢量磁位的双旋度方程进行处理时需选择适当的定点磁阻率以保证迭代的稳定性及收敛效率。J. Saitz采用真空磁阻率作为定点磁阻率即可实现收敛，但需结合牛顿拉夫逊法才能得到较好的收敛效果[30]；Li Wei通过各向异性微分磁阻率矩阵进行计算[31]，而E. Dlala指出，以各向最大和最小微分磁导率的平均值即可实现较好的局部收敛性，以避免采用各向异性矩阵引起的计算代价[32]；Ansys公司的Zhou Ping建立了对每个时间步长内采用矢量加权差分磁导率的迭代计算公式[33]，以处理磁导率在时步迭代中的误差，但该方案会导致系数矩阵在迭代中不断变化。在时间周期的问题中，其目的是计算满足周期性条件的稳态解，因此本文直接利用各时间节点的微分磁导率计算，并根据E. Dlala的局部收敛性要求[32]，在定点磁阻率选取时兼顾轧制方向和垂直轧制方向微分磁阻率，因此对定点磁阻率的处理方法如下。
在前处理阶段对变压器空间结构建模时令各心柱和铁轭区域硅钢片的轧制方向均在xy平面，ez方向为叠片堆叠方向，则对于变压器铁心，叠片堆叠方向的磁感应强度远小于xy平面的磁感应强度，其定点磁阻率选取为
（15）
式中，Bx、By和Bz分别为磁感应强度在ex、ey和ez三个坐标轴方向上的分量；Br和
分别为磁感应强度在轧制方向和垂直轧制方向上的分量；Hx、Hy和Hz分别为磁场强度在ex、ey和ez 三个坐标轴方向上的分量；Hr和
分别为磁场强度在轧制方向和垂直轧制方向上的分量；Cv为局部收敛定点磁阻率的计算系数，取Cv=1即可使方程稳定且快速收敛。
由式（15），需要根据铁心结构确定各单元对应的轧制方向，再根据轧制和垂直轧制方向的磁化曲线计算得到定点磁阻率。根据所得磁阻率及磁化曲线可计算出ex和ey方向上的类磁化强度矢量，对叠片堆叠方向上的磁化特性的计算按照硅钢片与叠片间绝缘层磁路串联方式得出[34]。以轧制方向为ex方向为例，计算类磁化强度矢量为
（16）
式中，Gx、Gy和Gz分别为类磁化强度矢量在ex、ey和ez 三个坐标轴方向上的分量；Ke 为铁心的叠片系数；v0为空气磁阻率。
由于采用2.2节所示的铁心磁阻率设置，导致式（12）是一个变系数微分方程。为求解该方程，需要通过一个完整周期的计算结果形成各时间节点对应的系数矩阵和输入矩阵的初值。在电力系统时域仿真中的常规方法是通过将初始时刻未知变量的值均设为0，但变压器会有励磁涌流现象，若电路等效串联电阻很小会导致时间常数t（t=Lk/Rk）很大，造成迭代周期数很多，从而产生较大的计算代价。因此，为减少迭代次数，需要给定一个近似稳态的解作为初值，一般可按如下方式计算：①以频域稳态解作为时域的初值；但在含次同步频率分量的条件下，各基波周期内的饱和情况有较大差异，因此频域法不再适用。②以较大串联电阻的情况作为初始算例，并不断将串联电阻减小到实际电阻；但该方法涉及串联电阻的选择问题，且当变压器含有负载或饱和现象严重时，较大串联电阻会导致加在绕组上的励磁电压较实际电压有偏移（励磁电压基波分量变小，而谐波分量增大），因此处理实际问题的效果可能受限。③以2D场路耦合模型对励磁电流计算的稳态解作为3D场域计算初值，通过3D场域有限元的磁场计算结果和2D场路耦合模型得到的绕组电流作为3D场路耦合模型的计算初值；由于2D模型的电路特性与3D模型相同，因此其绕组电流和励磁电压更接近最终稳态解，且同网格尺寸下2D模型的节点数量和矩阵维度更小，相较于3D模型，应用2D模型的计算代价很小。本文利用方案③作为初值计算方案，其中2D模型已在文献[3]中给出，对于3D磁场有限元计算，绕组电流是已知的，可利用式（9）采用时步法进行一个周期的迭代以计算矢量磁位初值；但在每个时间步的迭代中，类磁化强度G及其形成的矩阵FG需作为时变分量处理[33]，因此在每个时间步长的计算中，对FG进行多次修正，以减小在非线性磁化曲线处理中引起的误差。
本文以一台380V三相一体壳式铁心变压器的空载实验验证本文算法有效性，通过CSW5550可编程电源为实验提供基波励磁电压和次同步电压分量，并利用其内置波形采集装置测量并导出电流结果，由于变压器空载，因此该电流即为变压器的励磁电流。变压器结构及铁心磁化曲线如图2和图3所示，变压器结构参数见表1。
图2 变压器模型及其铁心结构
Fig.2 Transformer model and the core structure
文献[35]结合有限元计算和实验结果表明，在没有发生内部故障时，非对称偏磁导致变压器总平均漏感变化不超过1.1%，单侧漏感的变化不超过5%，且在空载条件下励磁电感远大于漏感，因此忽略变压器的漏感变化。经短路实验测得基波下电源内阻为1+j0.02W，变压器一次侧等效总漏抗为j0.64W（一次侧单侧电抗取j0.32W），故设置外部电路参数为R=1W，L=1.08mH。变压器空载实验电路如图4所示，次同步分量可通过CSW5550可编程电源的波形编辑器提供，并在该电路模型中以串联电压源形式接在各相电路中，在仅额定基波的算例中令该分量为0。
图3 铁心所用硅钢片的B-H曲线
Fig.3 The B-H curves of silicon steel sheet in core
表1 实验变压器结构参数
Tab.1 Parameters of transformer
参 数数值 (型号) 铁心柱高/mm60 边铁轭高/mm30 铁心柱及边铁轭宽/mm130 旁铁轭宽/mm30 公共铁轭宽/mm35 公共铁轭及旁铁轭高/mm85 铁心总厚度/mm54 硅钢片型号27ZH100 硅钢片单片厚度/mm0.27 铁心硅钢叠片数180 铁心叠片系数0.9 一次侧绕组匝数360 一次侧额定相电压/V220
1）2D与3D模型精度对比
设置相同的网格质量对2D和3D空间模型进行网格划分（即令同一区域的2D三角形网格边长和D四面体棱长近似相等），分别设置额定系统电压为额定基波电压以及含10V/5Hz的三相正序次同步电压分量，对励磁电流的计算结果如图5所示。
图4 变压器空载实验电路
Fig.4 The circuit of transformer no-load experiment
图5 2D和3D场路耦合模型励磁电流计算结果
Fig.5 Magnetizing current calculation results by field-circuit coupled time-periodic finite element method in 2D/3D space
由图5可知，在基波条件下2D和3D模型对A、C相励磁电流峰值的计算误差均较小，但2D模型对于处于中间的B相绕组励磁电流计算误差较大。施加次同步频率分量后，铁心饱和情况加剧，铁心磁导率降低（磁阻率增大），漏磁通增加，导致在原等效铁心厚度下的磁场能量偏小[36]，因此2D模型计算得到的励磁电流较实际值更小；3D模型直接根据完整铁心结构描述其磁场能量，因此在铁心过饱和时依然能得到较2D模型更准确的结果。
2）算法计算效率分析
对变压器分别施加额定电压激励以及叠加不同次同步频率分量，对比采用传统牛顿拉夫逊法、定点时步法[33]、定点时间周期法及以2D模型电流计算结果作为3D模型初值的改进初值时间周期法，各算法效率对比见表2。
表2 不同次同步分量条件下算法效率对比
Tab.2 Comparison of calculation time with different subsynchronous components
算例设置算法参数计算结果 饱和情况次同步电压有效值/V次同步电压频率/Hz时间周期/s模型选择最大励磁电流/A总计算时间/s 非饱和——0.02①0.458 251 338 ②0.448 725 638 ③0.447 824 418 ④0.447 86 720 低饱和10100.1①0.678 764 625 ②0.662 833 776 ③0.660 330 115 ④0.659 110 707 高饱和1050.2①1.05379 206 ②1.02658 219 ③1.0152 919 ④1.01713 529
注：①为传统牛顿拉夫逊法；②为定点时步法；③为定点时间周期法；④为以2D电流稳态解作3D初值的定点时间周期法。
由表2可知，在不同饱和条件下定点时间周期法均能得到很好的计算效率，并且在采用2D模型的电流稳态解为3D模型赋初值的情况下，总计算时间进一步减少60%以上。虽然计算2D模型需要花费一定的时间，但为3D模型提供了一个接近稳态的初值，因此极大地提高了总体的计算效率。
3）磁场计算
对于1）中的两种算例，选取铁心磁通在不同区域达到峰值的时刻，绘制铁心主磁通的磁感线分布（中心平面等Az线）如图6所示。
由图6可知，施加次同步分量导致变压器出现非对称饱和时，会对铁心磁通分布造成较大影响：①对比图6a、图6b可知，在铁心的A相（边相）心柱磁通达到峰值的时刻，施加次同步分量后导致铁心柱和公共铁轭处出现了局部磁感线闭合，会导致铁心漏磁通增大；②对比图6c、图6d可知，在铁心B相（中间相）心柱磁通达到峰值的时刻，额定基波激励下铁心磁感线呈左右对称分布，但施加次同步分量后铁心磁感线明显不对称（右侧大于左侧）；③对比图6e、图6f可知，在A-B相间公共铁轭中磁通达到峰值时刻，额定基波激励下A相（左侧）区域几无磁感线通过，但施加次同步分量后磁感线在A相（左侧）区域也形成了闭合回路。
图6 不同时刻铁心磁感线分布情况
Fig.6 Magnetic Induction Iine of core at different moments
图7为铁心不同区域中的节点在主磁通方向及漏磁方向（垂直主磁通方向）上磁通密度变化情况。
图7 铁心不同区域中磁通密度波形
Fig.7 Magnetic density waveforms in different areas of the core
由图7可知，施加次同步频率分量后，铁心主磁通方向磁通密度在每一个基波周期内会出现非对称偏置磁化问题，在漏磁通方向上还会出现更为明显的谐波畸变，影响变压器的正常工作。
在电力系统实际运行中，次同步振荡的频率范围涵盖4～35Hz内的多种频率[14, 18-19]，检测到主变压器上感应的次同步电压分量可达基波分量的0.9%～5.5%[37-38]。设置有效值为5～15V（相对额定基波分量的2.3%～6.8%），并考虑不同频率及相序的次同步频率分量，分析其对变压器电磁特性的影响。
1）三相次同步频率分量分析
对变压器三相绕组施加不同频率、幅值及相序的次同步电压分量，对比励磁电流峰值以及铁心最大磁通密度情况如图8所示。
图8 三相次同步分量下变压器电磁特性计算
Fig.8 Transformer electromagnetic characteristics under different three-phase subsynchronous components
由图8可知，频率越低、幅值越大的次同步频率分量，对变压器励磁电流峰值和铁心最大磁通密度影响越为显著。且三相一体式变压器还会受次同步频率分量的相序影响，正序分量在不同频率下励磁电流峰值和铁心最大磁通密度的曲线较为平滑；负序分量对变压器的影响情况与正序分量相近，但在施加10Hz以下的负序分量后，变压器铁心最大磁通密度随频率变化曲线较正序分量更陡；零序分量对变压器影响最为严重，施加15V 5Hz的零序次同步频率分量后，铁心局部最大磁通密度将达到2.22T。
2）单相次同步频率分量分析
文献[39]提出可通过单相形式的不对称串补结构抑制系统次同步振荡，以减小容量需求，此时次同步分量将仅出现在单一绕组中。
因此，选取变压器A相（边相）和B相（中间相）绕组分别施加有效值为15V、频率不同的次同步分量，对比三相励磁电流峰值结果如图9所示。
图9 单相次同步分量下变压器励磁电流计算
Fig.9 Magnetizing current under different single-phase subsynchronous components
由图9可知，对于三相一体式变压器，施加单相次同步分量时，不仅会增加本相励磁电流，还将增加临近相的励磁电流；边相（A相）含次同步分量时，该相产生的磁动势经过另一边相（C相）形成的磁路较长，因此对较远边相的影响程度很小。
1）提出考虑次同步频率分量和铁心各向异性的变压器三维场路耦合时间周期有限元模型，以分析变压器在非对称偏置磁化条件下的稳态磁特性。首先应用定点技术建立三维磁场计算模型；在前处理过程中建立绕组方向矢量矩阵以形成电流密度空间矢量参数与绕组电流标量参数之间的完整场路耦合关系；对迭代过程中的各向异性磁阻率问题进行分析，以获取叠片铁心的完整电磁特性；选择2D模型的稳态结果作为3D模型初值，提高了模型的总收敛效率。
2）结合物理变压器的算例和实验表明，3D场路耦合模型不需要对变压器在厚度方向进行简化，因此相较2D模型对励磁电流有更高的计算精度；但2D模型计算代价低，且为3D模型提供了一个接近稳态的初值，因此混合迭代方案在不同饱和情况均可提升总体迭代效率。
3）次同步频率分量会导致铁心磁感线分布的变化，包括漏磁增加、分布不对称及主磁通磁路改变；还会导致铁轭区域在漏磁方向的谐波畸变更为严重。次同步分量对变压器的影响与幅值、频率、相序和三相分布情况有关。频率低、幅值大、零序的次同步分量对变压器影响更为显著；若次同步分量出现在单一绕组中，不仅影响本绕组的励磁电流，还会增加临近绕组的励磁电流。
式（9）和式（11）中各系数矩阵及输入向量的形态及形成方式如下。
1）
计算
为定点磁阻率相关3×3矩阵，有
（A1）
式中，
和
分别表示单元e外表面与边界
和
重合的部分。
2）
计算
为3×1的矩阵，若单元e不处于绕组区域，
；若单元e处于绕组k的区域，有
（A2）
3）
计算
为与类磁化强度矢量相关的列向量，有
（A3）
式中，
为单元e中的类磁化强度矢量。
4）
计算
为与绕组匝数和分布相关的系数矩阵，有
（A4）
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3D Fixed-Point Finite Element Method for Time Periodic Problems with Subsynchronous Components and Analysis of Transformer Electromagnetic Characteristics
Abstract The injection of subsynchronous frequency components causes periodic asymmetric bias of the transformer core. Taking the 3D magnetic vector potential A and the winding current I as the unknown variables, combining the fixed-point method and the field-circuit coupled relationship, a 3D time-periodic finite element model for calculating the magnetic field of the transformer core was established to study the steady-state magnetic properties of transformer core with subsynchronous frequency components. In the pre-processing, the current density direction vector was established for each element in the winding area. During the iteration, it is necessary to select a suitable local convergence fixed-point magnetoresistance for the non-linear anisotropic core region. The steady-state current calculated by the 2D time-periodic finite element method is used as the initial value of the 3D field-circuit coupled calculation to reduce the total iteration time. The calculation and experimental results were used to verify the effectiveness of the algorithm, and the effects of different amplitudes, frequencies, phase sequences and subsynchronous frequency components of three-phase distribution on the electromagnetic characteristics of transformer were analyzed.
keywords：Subsynchronous frequency component, asymmetric bias, 3D time-periodic finite element method, field-circuit coupled, fixed-point method
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211496
中图分类号：TM41
收稿日期 2021-09-23
改稿日期 2021-10-26
孙佳安 男，1994年生，博士研究生，研究方向为电磁场数值计算与变压器暂态建模。E-mail: 1182101023@ncepu.edu.cn
李 琳 男，1962年生，教授，博士生导师，研究方向为电磁场理论及应用与电力系统电磁兼容。E-mail: lilin@ncepu.edu.cn（通信作者）
（编辑 崔文静）