0 引言
电工钢片是构成电磁装置磁路结构的重要磁性材料，其磁滞与磁致伸缩特性决定了电磁装置的损耗与振动性能。电工钢片的损耗、磁滞和磁致伸缩应变对机械应力较为敏感，机械应力会引起磁致伸缩和磁滞回环的变形，导致损耗的增加以及振动幅度的增大。因此机械应力下准确预测电工钢片磁滞与磁致伸缩回环特性对变压器、电机的优化设计具有重要意义。
电工钢片磁滞特性模拟常用的模型有Preisach[1-5]模型，Jiles-Atherton（J-A）[6-9]模型等。磁滞模型发展方向主要为电工钢片在复杂工况下（如：谐波、直流偏磁、高频等情况）磁滞特性的模拟。另一方面，电工钢片磁致伸缩特性模拟[10-11]是以分析实验和数据为主，并以此建立数学关系式实现的。近年来旋转磁场下的磁致伸缩特性和机械应力对磁致伸缩的影响成为磁致伸缩特性模拟研究的热点问题。然而，电工钢片的磁滞特性与磁致伸缩特性紧密相关，在材料的磁化过程中，90°畴壁的运动会产生磁致伸缩应变，而作为内应力磁致伸缩应变的产生必然会影响磁畴的结构，从而影响磁化过程。当机械应力作用在磁性材料上时，会导致材料内部90°畴壁数量的改变，进而影响材料磁致伸缩应变的产生和磁化过程。因此，建立能同时表征电工钢片磁滞与磁致伸缩特性，且考虑其机械应力敏感性的数学模型更能真实反映材料的磁化机理。
目前，能够同时模拟机械应力下电工钢片磁滞和磁致伸缩回环滞后特性的数学模型还处在探索阶段。近年来，从材料磁化过程中动态变化的磁畴能量出发，并将磁畴结构与晶体磁性纹理等考虑在内，基于晶粒内部磁畴总能量极小值的原理，提出了磁畴结构模型(Assembled Domain Structure Model,ADSM)[12]、多尺度模型[13-14]等介观尺度模型。文献[12]通过使用ADSM 来对多晶体的磁滞和磁致伸缩特性进行预测，通过引入钉扎能对磁滞和磁致伸缩回环滞后特性进行描述，但该模型仅简单地描述了磁致伸缩与磁通密度的关系曲线，在轧制和垂直轧制方向上未能有效地模拟出磁致伸缩回环，反映出钉扎能对磁致伸缩回环的滞后效应描述能力尚待完善，并且传统ADSM 未考虑机械应力的影响。多尺度模型[14]基于无磁滞多尺度模型[13]对单轴应力下磁滞和磁致伸缩特性进行了模拟，该模型通过将不可逆场添加到无磁滞磁场来模拟磁滞行为，并预测单轴应力下的磁滞回环和磁致伸缩回环，模拟结果具有较高的精度，但该模型在引入滞后效应过程中需要额外确定kr、cr、ka 和kg 四个参数，这些参数与材料有关，进而造成参数辨识过程复杂，不便于工程应用。
为了模拟电工钢片在机械应力下磁滞与磁致伸缩动态回环滞后特性，本文基于ADSM 磁畴能量极小值思想，提出用磁滞能量代替传统ADSM 的钉扎能，从磁矩旋转的角度描述电工钢片磁滞行为，进而提高ADSM 对于磁致伸缩和磁滞回环的模拟精度。同时引入磁弹性能来描述磁滞-磁致伸缩应变-机械应力的耦合关系，通过晶粒尺度磁特性平均值来获取机械应力下电工钢片的磁致伸缩回环和磁滞回环。最后，通过将实验测得的磁滞回环和磁致伸缩回环与改进ADSM 模拟的回环进行对比，验证了所提模型的有效性，为电工钢片物理磁滞模型的进一步工程实用性研究奠定基础。
1 机械应力下电工钢片磁滞与磁致伸缩特性
本文借助保变天威集团输变电技术研究院的一台激光磁致伸缩测试仪，测量了机械应力下电工钢片的磁特性。该测试仪通过激光传感器以10nm/m的分辨率检测微米级的磁致伸缩应变信号，实验样品为宽100mm、长500mm 带状电工钢样品。激光磁致伸缩测试仪实物如图1 所示。
图1 激光磁致伸缩测试仪实物图
Fig.1 Physical image of laser magnetostrictive tester
图2 描绘了机械应力作用下通过激光磁致伸缩测试仪沿电工钢片轧制方向磁化测得的磁致伸缩曲线和损耗曲线，被测样品为无取向电工钢片，其中 正值代表拉应力，负值代表压应力。
图2 机械应力作用下测得磁致伸缩曲线和损耗曲线
Fig.2 Magnetostrictive curves and loss curves measured under mechanical stress
在图2a 中，B 峰值为1.1T 时，相比于无应力情况下，在机械应力分别为-7MPa、-4MPa、4MPa、7MPa 时，磁致伸缩应变值分别为2.848、2.073、0.898、0.724 和0.384，可以看出：拉应力具有减小磁致伸缩应变的趋势，而压应力使磁致伸缩应变增大。同样地，在图2b 中，压应力增加了损耗，拉应力减少了损耗。究其原因，机械应力会改变磁畴的结构，在施加拉应力的情况下，一些磁畴会转换为与拉应力方向平行的180°磁畴，在施加压应力时会迫使磁畴转换为垂直于外部应力平面90°的磁畴。当沿着拉应力方向施加磁场时，180°磁畴仅需通过简单的畴壁移动就可以完成磁化过程，磁滞损耗主要发生在磁矩旋转的过程中[15]，因此施加拉应力时会减小损耗，且180°畴壁移动对磁致伸缩没有贡献，因此磁致伸缩应变相对较低。相比之下，当沿着压应力方向施加磁场时，90°磁畴磁化过程中在畴壁移动的基础上还会产生磁矩旋转，因此施加压应力会增大磁滞损耗，且90°畴壁运动是磁致伸缩产生的主要原因，因此在压应力下的磁致伸缩应变比无应力时更大。
图3 分别描绘了机械应力下B 峰值为1.1T 和1.6T 时磁致伸缩回环和磁滞回环。
图3 机械应力作用下测得的磁致伸缩回环和磁滞回环
Fig.3 Magnetostrictive loops and hysteresis loops measured under mechanical stress
图3a 为机械应力分别为-7MPa、0MPa、7MPa时的磁致伸缩回环，相比于无应力情况下的磁致伸缩回环，-7MPa、7MPa 作用下分别使得磁致伸缩回环形状发生拉伸和压缩。对于图3b，0MPa 的磁滞回环面积小于-10MPa。可见，外加应力改变了电工钢片磁滞与磁致伸缩回环的形状，影响磁化过程中磁畴的移动与磁矩的转动，因此，磁性材料磁特性的研究需要采用能够反映材料物理磁化机理的模型有效地模拟动态磁化过程，才能获得更加准确的磁特性模拟结果。
2 改进的ADSM
第1 节的测量结果表明，机械应力的作用改变了磁畴的结构，进而引起磁畴能量的变化，本文为了模拟机械应力作用下磁滞与磁致伸缩动态回环特性，提出了改进的ADSM。
2.1 ADSM 的基本思想
磁化过程实质上是磁畴壁的移动以及磁畴磁矩的旋转，磁化过程是产生磁致伸缩的主要原因，在此过程中会涉及多个能量的动态变化。从热力学的观点看，磁致伸缩回环以及磁滞回环上每一个点皆对应磁畴总能量极小值的状态[16]。电工钢片为立方晶体结构，由若干晶粒组成，易轴方向为<100>。因此根据ADSM 方案，每一个晶粒的内部皆由六个沿着晶体易轴方向的磁畴构成，结构示意图如图4a所示。在ADSM 中，通过将晶粒内六个磁畴的塞曼能、磁晶各向异性能、静磁能、钉扎能等相加得到的总能量取极小值来获得每个磁畴的单位磁化矢量的θi 和iφ 以及每个磁畴出现概率ri。其中引入钉扎能是为了模拟磁性材料的磁滞行为。钉扎类型的磁滞主要是由畴壁运动过程中遇到缺陷或是位错而产生的[17]。
图4 多晶结构与磁畴单位磁化矢量示意图
Fig.4 Schematic diagram of polycrystalline structure and magnetic domain unit magnetization vector
在磁化过程中，每个磁畴的磁矩方向可以用图4b 的单位磁化矢量表示，在极坐标中第i 个磁畴的单位磁化矢量mi 可表示为
式中，θi 为单位磁化矢量与晶体易轴[0 0 1]的夹角；φi 为单位磁化矢量在（1 1 0）平面投影与晶体易轴[1 0 0]的夹角。
2.2 机械应力下ADSM 的改进
为了提高ADSM 对磁致伸缩动态滞后特性的表征能力，本文在磁畴尺度用磁滞能量代替钉扎能，从磁矩旋转的角度描述电工钢片磁滞行为；同时为了对机械应力下磁致伸缩回环和磁滞回环进行模拟，在磁畴尺度引入磁弹性能来描述磁滞-磁致伸缩应变-机械应力的耦合关系。
磁化过程即是磁畴结构发生改变的过程，而磁畴的结构是磁畴总能量极小值的结果，本文中磁畴总能量包括：①静磁能Wst；②磁晶各向异性能Wan；③磁弹性能Wσ；④塞曼能Wzeeman；⑤磁滞能量Wh。图5 所示为磁化过程中磁畴能量作用示意图。图5中静磁能的加入使得整块磁性材料分成若干自发磁化到饱和状态的小区域（磁畴），磁晶各向异性能的存在让磁畴的磁矩均按照晶体易轴排布，磁弹性能改变了磁畴的结构，塞曼能的出现令磁性材料内部磁畴均沿着外磁场方向排布，磁滞能量的引入使得撤去外磁场时，磁畴的磁矩将沿着与外磁场方向接近的易轴方向排布。静磁能、磁晶各向异性能及塞曼能的计算公式汇总在表1，同传统ADSM[12]，下面详细介绍引入的磁滞能量和考虑磁滞-磁致伸缩应变-机械应力耦合关系的磁弹性能。
图5 磁畴能量作用示意图
Fig.5 Schematic diagram of domain energy effect
表1 部分磁畴能量计算公式
Tab.1 Partial domain energy calculation formula
机械应力的出现会导致磁畴的结构被改变。在退磁状态下，外部应力会成为一个新的各向异性源，使磁矩更加偏向于某些易轴对齐，这将会对材料的磁特性产生影响。为了考虑磁滞-磁致伸缩应变-机械应力的耦合关系，磁弹性能被引入磁畴总能量中，该能量的作用类似于各向异性能，第i 个磁畴的磁弹性能被描述为
式中，(γ1,γ2,γ3)为应力与晶体的三个易轴的余弦值；λ100 和λ111 分别为沿着[100]和[111]方向的饱和磁致伸缩常数；σ 为外部应力。
磁滞现象发生的过程为[18]：磁滞回环在第一象限从饱和磁场强度减小到零，由于此时材料仍然具有内部磁场（剩磁），因此磁矩的可逆旋转得以保持。从第二象限开始对材料施加负方向的磁场，此时的磁场是外部磁场与内部磁场的总和，因此材料的净磁化强度仍然是正的，随着负方向磁场强度的增加，最终导致磁矩的可逆旋转不能继续保持。此时，在各向异性（材料、机械应力）的作用下，磁矩逐渐转向接近初始磁场方向的易磁化轴，从而引起磁滞现象。从磁滞现象发生的过程可知：磁化过程取决于磁化历史、磁场强度和应力，磁化曲线上任何具有相同磁化历史、磁场强度和应力的点都会重叠；机械应力的出现，将会影响晶体织构中的优选易磁化方向。因此只有从磁矩的角度解释磁滞行为并且考虑机械应力作用下磁化历史影响的角度来描述磁滞行为，才能准确模拟材料的磁滞特性。引入磁滞能量原因如下[19]：
（1）与钉扎类型的磁滞相区别，磁滞能量是从磁矩旋转的角度对磁滞现象进行了解释。
（2）磁滞能量考虑了前一时刻在外磁场与机械应力作用下的磁化分布对当前磁化状态的影响，通过先前的磁化状态确定了容易对齐的易磁化轴。本文引入的第i 个磁畴的磁滞能量密度函数定义为
式中，χ0 为初始磁化率；mx-p、my-p、mz-p 分别为上一时刻的单位磁化矢量和在[1 0 0]、[0 1 0]和[0 0 1]上的分量。
晶粒中磁畴皆沿着晶体易轴排布且自发磁化到饱和状态。在磁畴总能量极小化过程中，6 个磁畴仅代表了在晶粒内部存在的六种不同方向的磁畴，因此本文使用ADSM 参数ri 对一个晶粒中第i 种磁畴沿着晶体某个方向出现的概率进行表示。采用遗传算法求解磁畴能量极小值来对每个晶粒中对应于六种磁畴的θ、φ、r 进行求解。求解能量极小值过程中涉及的磁畴总能量为一个晶粒内六种磁畴的能量总和，表示为
在一个晶粒中总磁化强度和磁致伸缩的表达式分别为
式中，Mgrain 为晶粒中总磁化强度；Mi 为晶粒中第i个磁畴的磁化强度张量，其与第i 个磁畴的单位磁化矢量mi 的关系为
εgrain为晶粒中总磁致伸缩应变；εi 为沿着轧制方向的磁致伸缩应变；β1、β2 和β3 分别为磁化方向与三个易轴的夹角，公式为
改进的ADSM 最后一步是对多个晶粒的磁特性进行均匀化处理。在多晶材料中每个晶粒都是取向的且与相邻晶粒不同的单个晶体，因此，可以将多晶体视为许多单个晶体的聚集体[20]。于是多晶体电工钢片的磁特性可表示为多晶体中各个晶粒的磁特性之和并取平均值
式中，N 为可以模拟多晶体磁特性的晶粒数量，为待定参数。磁滞回环和磁致伸缩回环上的每个点由遗传算法随机计算N 次求和且取平均值进行表示。
3 机械应力下改进ADSM 参数动态辨识与实验验证
3.1 多尺度模型动态参数辨识
饱和磁化强度Ms 与外部磁场强度H 关系通过计算式表示为
式中，Bs 为根据实验测得的磁滞回环得出的饱和磁感应强度。各向异性常数K1 为3.8×104J/m，K2 项忽略不计[21]。饱和磁致伸缩常数λ100 取2.6×10-7[21]，λ111 项忽略不计。去磁因子(kx,ky,kz)与样片的几何形状和大小有关，三个去磁因子依次为4.378 2×10-3，3.060 4×10-3，0.925 613 94。
在单晶中χ0 随磁场方向变化而变化，但是在多晶体中，各个晶粒的方向杂乱分布[21]，因此根据计算大致给出，χ0 取值为18.63H/m,其计算公式为
式（10）与式（11）中晶粒数量N 取值会影响模拟精度，在同时考虑到精度和效率的情况下N 取20。
将上述参数值代入改进的ADSM，再利用遗传算法求取能量极小值后得到描述单位磁化矢量的三个变量θi 和φi 及ri 的值。图6a 给出了沿着[1 0 0]和[-1 0 0]方向施加磁场时模型模拟出的磁滞回环，图6b～图6g 为晶粒内部六个磁畴的单位磁化矢量的φ值在极坐标中的矢量图，分别对应于图6a 中A、B、C、D、E、F 点的磁场强度。
图6 计算得到晶粒内部6 个磁畴单位磁化矢量φ 值在极坐标中的矢量图
Fig.6 Calculate the vector diagram of the unit magnetization vector φ value of the 6 magnetic domains inside the crystal grain in polar coordinates
如图6 所示，图6b～图6g 中的箭头分别表示一个晶粒内部6 个磁畴的单位磁化矢量在（110）平面上的投影（图中多个箭头重合处参考表2 中的φi 值），点线箭头表示接近[100]方向磁场的磁畴磁矩，点画线箭头表示垂直于磁场方向的磁畴磁矩，实线箭头表示接近[-100]方向磁场的磁畴磁矩。磁化过程是磁畴磁矩逐渐转向外磁场方向的过程，当达到饱和时材料中的磁畴磁矩均朝向外磁场方向排布，结合图6a～图6g 可以看出，磁场强度由A 点动态变化到F 点，磁矩方向由[-100]方向的饱和状态逐渐旋转到[100]方向的饱和状态。
表2 计算得到的6 个磁畴单位磁化矢量的φi 值
Tab.2 The calculated iφ value of the unit magnetization vector of the 6 magnetic domains（单位：°）
用以绘制6a 中的A、B、C、D、E、F 点对应的6 个磁畴单位磁化矢量的φi 值。
3.2 模型验证
为了验证模型的有效性，图 7 给出改进的ADSM 在B 峰值为1.6T 时模拟出的磁滞回环与实测回环分别在0MPa 和-10MPa 时的对比情况。从图7 中可以看出测量值与模拟值吻合度较高，可见改进ADSM 对磁滞回环滞后特性的拟合精度较高。
图7 改进ADSM 模型磁滞回环精度验证
Fig.7 Accuracy verification of the improved ADSM model hysteresis loop
另一方面，为了考察改进ADSM 对磁致伸缩回环滞后特性的模拟效果，图8 给出了在B 峰值为0.7T 时用改进ADSM（引入磁滞能量）和传统ADSM（引入钉扎能）分别计算得到的磁致伸缩回环与测量数据的对比情况。
由图8 可以看出，相较于传统ADSM 使用钉扎能模拟出的磁致伸缩滞后特性[9]，改进ADSM 引入磁滞能量后磁致伸缩回环滞后特性的表征能力明显提高。但是从模拟回环与实测的回环比较来看，二 者吻合并不是很好，这归因于：本文并未考虑晶粒尺度复杂的耦合关系，即机械应力从多晶体到每个晶粒的转换与晶粒间的相互碰撞作用。
图8 B 峰值为0.7T 时改进ADSM 模型、传统ADSM模型计算的磁致伸缩回环与测量数据的对比
Fig.8 Comparison of the magnetostrictive loop calculated by the improved ADSM model and the traditional ADSM model with the measured data when the peak B is 0.7T
图9 给出了B 峰值为1.1T 时改进ADSM 模拟出的磁致伸缩回环与实测回环分别在-7MPa、7MPa、-4MPa 和4MPa 的对比情况。图10 给出了B 峰值为1.4T 时改进的ADSM 模拟出的磁致伸缩回环与实测回环分别在-7MPa、7MPa 的对比情况。
图9 B 峰值为1.1T 改进ADSM 模型磁致伸缩回环 精度验证
Fig.9 Verification of magnetostrictive loop accuracy of improved ADSM model with peak B of 1.1T
从图9 和图10 中可以看出，改进的ADSM 可以模拟出不同B 峰值下的磁致伸缩滞后特性，并且可以较为准确地预测机械应力对磁致伸缩峰值的影响。但是精度方面还需进一步提高，这也是后续待完善的工作。
图10 B 峰值为1.4T 改进ADSM 模型磁致伸缩回环 精度验证
Fig.10 Verification of magnetostrictive loop accuracy of improved ADSM model with peak B of 1.4T
4 结论
本文提出改进的ADSM 实现了机械应力作用下电工钢片磁滞与磁致伸缩回环滞后特性的表征。通过引入磁滞能量，从磁矩旋转的角度描述和解释磁滞现象。通过引入磁弹性能来描述磁滞-磁致伸缩应变-机械应力的耦合关系。该模型基于宏观测量来获取模型所需要的关键参数进而构造模型，通过均匀化的方法来对多晶尺度的机械应力下磁特性进行表示，从而模拟出机械应力下电工钢片的磁致伸缩回环和磁滞回环。得到的结论如下：
1）通过引入磁滞能量来代替传统ADSM 中的钉扎能，从磁矩的角度对磁致伸缩回环和磁滞回环进行模拟，从而提高了ADSM 描述磁致伸缩动态回环滞后行为的能力。
2）通过引入磁弹性能来描述磁滞-磁致伸缩应力-机械应力的耦合关系，从而模拟出机械应力下电工钢片的磁致伸缩回环和磁滞回环。
3）对多个单晶的磁特性进行求解，通过进行均匀化处理来对机械应力下电工钢片的磁滞和磁致伸缩进行表示。
研究结果表明本文改进的ADSM 模型能够较为准确地模拟出不同机械应力下的磁滞回环。磁滞能量的引入改善了ADSM 对磁致伸缩滞后效应的描述能力，提高了磁致伸缩回环滞后特性的模拟精度。后续工作会从电工钢片的晶体结构出发，考虑晶粒间复杂的耦合关系，对提高磁致伸缩回环精度进行研究。
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