0 引言
近几年，随着分布式电源广泛接入配电网，传统的被动配电网转变为调度资源丰富的主动配电网[1-2]。
20 世纪60 年代提出的最优潮流（Optimal Power Flow, OPF）是基于数学的最优化理论[3]。OPF 是一个非凸非线性问题，其求解思路一般是将非凸问题进行凸松弛转换成凸问题以保证可靠求解[4-5]。基于凸优化理论的凸规划不但保证了计算结果为全局最优解，还能够为非凸问题提供较好的上下边界[6-7]。
在电力系统中应用最为广泛的凸优化方法是二阶锥规划（Second Order Cone Programming, SOCP）和半正定规划（Semi-Definite Programming, SDP），以及近几年提出的二次凸松弛技术（Quadratic Convex Relaxation, QC Relaxation），前两者的求解方法大多是基于内点法[8]。文献[9-10]中首次提出了SOCP 模型在环网和辐射网潮流问题中的应用，并且验证了模型的有效性，模型结果与牛顿法的求解结果非常相近。文献[11]建立了SOCP 的拓展模型，以解决环网中电压的相位差无法应用SOCP 约束的问题，这一变化是锥理论从潮流问题跨入最优潮流问题的重要一步。文献[12]提出了考虑电压稳定约束的最优潮流模型，将SOCP 松弛应用于电压稳定控制中。文献[13]构建了以最优能量流为目标函数的电气-天然气综合能源系统详细模型，并采用二阶锥规划将非凸规划问题转换为凸规化问题求解。文献[14-16]使用SOCP 松弛，系统性地将原支路最优潮流模型转换为SOCP，保证模型所获得的解为全局最优解。文献[17-18]通过计算不同系统发现SOCP 对于大规模的电力系统有较高的求解效率。文献[19]提出了一种基于SOCP 松弛的配电网动态最优潮流模型，并讨论了在接入不同配电网元件的情况下凸松弛模型的计算准确性。文献[20]建立了交直流混合系统最优潮流的SOCP 模型，提出一种考虑可再生能源不确定性的可调鲁棒优化方法。文献[21]建立了直流系统中的最优潮流SOCP 松弛模型，并提出一种采用交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）的分布式计算方法。文献[22]建立了配电网的三相无功优化模型，并且将混合整数法与SOCP 结合，得到的松弛模型既满足准确性要求又具有较高的计算效率。虽然SDP 松弛的精确程度较高，但计算较为复杂，增加了问题的求解难度。随着问题规模的增大，SOCP 在迭代计算上具有更大的优势[23]。
综合考虑国内外现有研究，与主动配电网相关的凸松弛研究较少，且现有研究并没有给出分布式电源、有载调压器等元件的详细凸松弛模型。此外，现有关于Distflow 模型凸松弛的研究文献，并没有对元件的物理特性进行分析[24-25]。输电网的凸松弛最优潮流模型无法很好地应用于主动配电网，因此寻求更加准确高效的主动配电网最优潮流计算方法十分重要[26-27]。
本文首先提出含三相分布式电源、不同接线方式的有载调压器、交直流混合系统换流器等模型的主动配电网SOCP 松弛模型，相比于Distflow 模型的凸松弛，本文考虑相间耦合，同时给出了分布式电源、有载调压器等元件的物理特性；然后采用SOCP 松弛求解器求解，对比分析了不同求解器的计算效率差异。
1 模型介绍
由于一般最优潮流模型约束中含有大量的非凸约束，不利于最优模型求解，而引入SOCP 凸松弛方法，可将非凸约束转换为凸约束条件，保证所得最优解为全局最优解。
1.1 普通三相支路
在一般潮流约束方程中，母线电压、支路功率、支路电流一般满足
分别
式中，i、j 分别为第i、j 个三相母线；为母线i、j 的三相电压； Zij 为母线i、j 之间的三相线路阻抗；I˙ij 为母线i 流向母线j 的电流。
在凸松弛的模型中，需要重新定义待求变量，重新定义的变量为二次型变量，与原模型的变量间存在一定的关系，但对于凸松弛模型，仅有重新定义的二次型变量为待求变量。定义二次型变量X 为电压、电流组成的矢量乘以该矢量的厄米尔特转置所得到的厄米尔特矩阵为
式中，H 表示厄米尔特转置，即先对矩阵取转置，再对矩阵中的每一个元素取共轭；
表示对复数相量
取共轭；变量
为厄尔米特矩阵，需满足
，其中 Wi 和 li j为3 × 3矩阵。
对于重新定义的变量矩阵X，不仅需要满足半正定约束，同时需要满足秩1 约束，即变量矩阵的秩为1。秩1 约束是非凸约束，因此一般是将秩1约束松弛掉，即去掉秩1 约束进行求解，并将所求结果代入秩1 约束进行检验。若解满足秩1 约束，则说明松弛是精确的，若解不满足秩1 约束，则所求得的解无法还原出凸松弛前原模型的解，即所求解无意义。根据文献[28-29]，若变量矩阵X 为厄米尔特矩阵且X≥0，则其所有的主子矩阵（principal submatrix）满足行列式大于等于零的条件。因此将
进行SOCP 松弛后，需满足矩阵X 的所有2 ×2 的主子矩阵行列式大于等于零的条件，即
式（3）是一个2 ×2 厄尔米特矩阵，使用Sylvester准则，式（3）可以转换成
，进而可得到SOCP 的一般约束表达式
或SOCP 的标准约束形式
文献[18]证明了上述转换后的松弛条件与SOCP 松弛条件等价。
本文中的SOCP 约束应转换为
式中，( i , j )表示
矩阵中的第i 行，第j 列。
经过凸松弛后，式（1）变为
式（5）为式（2）中元素的线性组合。
1.2 分布式电源
分布式电源一般采用序分量模型，具有对称的结构参数，因此线路中的分布式电源需满足潮流约束。
其中
式中，
分别为零序、正序、负序电压分量；
分别为零序、正序、负序电流分量；
为分布式电源的三相电压；I
为分布式电源的三相电流；A 为相序转换矩阵，其中
分布式电源接线图如图1 所示。
图1 分布式电源接线
Fig.1 Wiring diagram of distributed generation
这里，由于分布式电源采用三角形接线方式的调压器隔离了零序电流，线路中零序电流为零，即
式中，
分别为零序电流
的实部和虚部。
分布式电源如果不增加负序电流控制，负序电压和电流关系符合阻抗特性，表示为阻抗方程，即
式中，
分别为负序电流、负序电压； Zg为负序阻抗。
分布式电源的三相功率总和为常量，即
式中， S g为分布式电源三相功率；
表示对矩阵 Sg 的所有元素求和； St 为已知三相功率总和。
同样，定义分布式电压、电流、功率凸松弛后的待求变量
为
式中，U G、I G、SG 为厄尔米特矩阵变量，且
。与1.1 节相似，松弛后的变量需满足
式中，( i , j )为
矩阵中的第i 行，第j 列。
定义“ IG[1,1]表示矩阵 IG 中的第1 行，第1 列的元素”，则一般潮流约束（7）、（8）、（9）转换为
1.3 直流部分
对于交直流混合系统，也需要满足基尔霍夫电流定律，以图2 中的交直流混合系统为例，在交流区域1 中，对于母线2，有如下约束条件：
式中， 1S 交流区域1 中母线2 的三相注入功率； 1PΔ为母线2 与直流支路节点1 之间的线路损耗；
为计算直流支路损耗的系数； Pc1 为直流支路中节点1 的功率。
图2 交直流混合系统电路拓扑图
Fig.2 Circuit topology of AC-DC hybrid system
在直流区域中，直流支路满足如下功率约束：
式中， Pc2 为直流支路中节点2 的功率； Uc2 为直流支路中节点2 的电压； Ic 为直流电流。
在交流区域2 中，对于母线3，满足如下约束：
式中， 2S 为交流区域2 中母线3 的三相注入功率，2PΔ 为直流支路节点2 与母线3 之间的损耗； Pc2 为直流支路中节点2 的功率。
在交流区域2 中必须将一个节点设定为参考节点来保证潮流系统的可解性，因此将母线3 设为恒定电压源。
在直流部分，凸松弛的定义与普通三相支路相同，凸松弛后变量定义为
式中，Y 为厄尔米特矩阵变量，且Y≥0；Wc1、Wc2为电压二次型变量，且Wc1=Uc1Uc1，Wc2=Uc2Uc2；Sc1、Sc2 为功率二次型变量，且Sc1=Uc1Ic，Sc2=Uc2Ic；lc 为电流二次型变量，且lc=IcIc。变量Y 应满是
式（15）～式（17）中的约束是变量矩阵（18）中元素的线性组合，对于部分一次项，需要做相应的变换，如，电压约束
，可在等式两边同时乘上 I c，方程变换为
该等式约束是变量矩阵（18）中元素的线性组合，且与原电压约束等价。
1.4 有载调压器
对于有载调压器来说，其连接方式主要有Y 联结和D 联结两种，这里以Y-Y 联结和Y-D 联结两种联结形式为代表。其中调压器电压比如果作为可控变量，会出现变量乘积的形式，即
式中，Um 为调压器一次电压；Uj 为调压器二次电压；y 为调压器电压比。
需要注意的是，如果调压器电压比为未知，则为两个变量相乘，由文献[30]可知，式（20）可凸松弛为
式中，y l、 yu和
、
分别为变量y 和U j的上、下界。
1.4.1 Y-Y 联结
Y-Y 联结如图3 所示，在本模型中将调压器的三相内阻抗折算到一次侧，内阻抗均满足普通支路约束方程。
图3 Y-Y 型联结有载调压器
Fig.3 Y-Y connection group diagram of transformer
在一般潮流约束中，一、二次电压、电流关系为
式中，
分别为一、二次侧复数电压；
分别为一、二次侧复数电流；T 为有载调压器三相电压比；⊙表示点乘。
在凸松弛之后的模型中，定义变量
；定义参数变量
、
分别为变量 u1 的上下界，
、
分别为变量 u2 的上、下界。式（22）将转换为
式中， S1 、S 2分别为一、二次侧的支路功率。在一般潮流约束中，由电压、电流约束可推出功率约束，但在凸松弛后的模型中，变量定义有所不同，电压、电流约束并不能推出功率约束，故需增加有载调压器一次侧与二次侧的功率约束方程，才能保证约束条件的完整性。
1.4.2 Y-D 联结
Y-D 联结如图4 所示。在本模型中，将有载调压器的三相内阻抗折算到一次侧，内阻抗均满足普通支路约束方程。
图4 Y-D 联结有载调压器
Fig.4 Y-D connection group diagram of transformer
对于Y-D 型有载调压器，在一般潮流约束中，一、二次电压、电流关系为
其中
式中，
分别为有载调压器一次电压与二次支路电压；A、B 为系数矩阵；
为二次支路电流。
类似地，将式（24）进行凸松弛后可转换为
式中
分别为变量 u1 的上、下界；
分别为变量 u b的上、下界； t u、 t l 分别为变量t的上、下界； S1 、S b 分别为一次侧和二次侧支路的功率。
1.5 目标函数
本文的目标函数设为系统有功功率损耗，即网络中有功功率损耗之和。
式中， ΔW 为网络有功功率损耗之和；式（26）中左边项包括所有交流支路，即所有全相、两相、单相运行的交流支路；
为3 × 3对角线矩阵，该矩阵对角线元素与列向量
元素对应行相等，非对角线元素值为零；Y ij 为母线i 和母线j之间的导纳矩阵；式（26）右边项包括所有直流线路，
为第k 条直流线路电流；
为第k 条直流线路电阻； Nc 为直流线路总数。
2 算法分析
原始-对偶内点法是求解SOCP 模型的有效方法之一，具有多项式时间复杂性，可以快速有效地求解大规模优化问题[31]。原始-对偶内点法对初始点的严格可行性要求较高，而实际问题中直接找到严格可行点并不容易，故改进现有的原始-对偶内点法对SOCP 的求解有着重要意义。光滑算法是近年来求解SOCP 问题的新方法，该方法是基于互补问题发展而来，不仅在理论上具有好的收敛性，而且实际计算效果也很好，也是求解SOCP 问题的常用方法之一[32]。
3 算例分析
3.1 IEEE 13 节点系统
为了验证SOCP 模型的松弛精度，本文使用基于IEEE 13 节点的交直流混合系统进行测试。系统结构及参数详细说明见文献[33]。在测试算例中，将有载调压器电压比、分布式电源的功率等结果作为已知条件代入一般潮流算法中，所得到的一般潮流结果与凸松弛的优化结果进行比较。测试用的求解器是SCS。凸松弛模型的误差分析主要有两个指标：第一个是方均根误差（Root Mean Squared Error,RMSE），其定义为预测值与真实值偏差的二次方和与观测次数比值的二次方根，在本文中为二阶锥规划凸松弛所求各母线电压结果与一般潮流各母线电压结果的差的二次方和与母线个数的比值的二次方根；第二个是最大绝对误差（Maximum Absolute Error, MAE），一般用来衡量绝对误差的范围，即二阶锥规划凸松弛所求各母线电压结果与一般潮流各母线电压结果的绝对误差的最大值。两个指标相结合，合理表征凸松弛模型的计算精度。具体公式为
式中，N 为系统节点总数；
为第i 个母线所求电压幅值；
为第i 个母线的电压幅值。
3.1.1 交直流混合系统
本节采用基于IEEE 13 节点的交直流混合系统进行测试，分别针对有载调压器电压比是否已知、模型的目标函数是否为线路有功功率损耗以及平衡节点是否存在有载调压器来改变模型，并将凸松弛模型的计算结果代入一般潮流算法中计算，对比一般潮流算法与凸松弛算法的求解结果。具体的模型调整方式如下：
（1）有载调压器电压比已知且凸松弛模型的目标函数为0，将凸松弛模型中的分布式电源无功功率的计算结果代入一般潮流算法。
（2）有载调压器电压比未知且凸松弛模型的目标函数为线路有功功率损耗，将凸松弛模型中的有载调压器电压比和分布式电源的无功功率计算结果代入一般潮流算法。
（3）有载调压器电压比已知且凸松弛模型的目标函数为线路有功功率损耗，将凸松弛模型中的分布式电源无功功率的计算结果代入一般潮流算法。
（4）有载调压器电压比未知且凸松弛模型的目标函数为0，将凸松弛模型中的有载调压器电压比和分布式电源的无功功率计算结果代入一般潮流算法。
（5）去掉平衡节点处的有载调压器且凸松弛模型的目标函数为0，将凸松弛模型中的分布式电源无功功率的计算结果代入一般潮流算法。
（6）去掉平衡节点处的有载调压器且凸松弛模型的目标函数为线路有功功率损耗，将凸松弛模型中的分布式电源无功功率的计算结果代入一般潮流算法。
将凸松弛模型的优化结果作为已知量代入原有的一般潮流计算模型中，计算结果与原有一般潮流模型的电压计算结果进行比较，将原有一般潮流模型的电压计算结果作为真实值，对比结果见表1。
表1 SOCP 凸松弛优化计算精度对比分析
Tab.1 Comparative analysis of the accuracy of SOCP relaxation optimization
条件 标准差（RMSE）最大绝对误差（MAE）调压器电压比已知优化损耗 4 3.48 10−× 3 1.56 10−×无优化 4 5.19 10−× 3 2.17 10−×调压器电压比未知优化损耗 4 3.46 10−× 3 1.52 10−×无优化 2 2.70 10−× 2 3.77 10−×优化损耗 4无调压器2.82 10−× 3 1.02 10−×无优化 4 4.70 10−× 3 1.65 10−×
由表1 可知，SOCP 凸松弛模型所得的结果与原始一般潮流模型中所解得的结果较为接近，说明求解器所计算的结果具有一定的准确性与合理性，同时也证明本文中所提出的 SOCP 凸松弛模型的有效性。
为了验证凸松弛之后所得最优解在原约束下的等式精确性，定义原等式约束的二阶锥松弛偏差矢量无穷范数为
式中，D 为二阶锥松弛偏差矢量无穷范数；E L 、E R分别为表示凸松弛前等式约束的等号左边项与等式约束的等号右边项。
在上述六种工况的最优解处，有
由式（30）可以看出，本文所提出的二阶锥规划凸松弛模型是精确的，模型具有一定的合理性。
3.1.2 计及分布式电源反送功率
本节在3.1.1 节的基础上进一步分析当分布式电源容量大于负荷时，分布式电源向电网反送功率对主动配电网潮流计算结果的影响。本节中，增加分布式电源的有功功率上、下边界约束，下边界设定为正常容量（不反送功率时的容量）的5 倍，上边界设定为正常容量的6 倍，使其向电网反送功率，利用3.1.1 节中六种工况进行测试，结果见表2。
表2 计及分布式电源反送功率的SOCP 凸松弛优化计算精度对比分析
Tab.2 Comparative analysis of the accuracy of SOCP relaxation optimization considering the reverse power of
distributed generator
条件 标准差（RMSE）最大绝对误差（MAE）调压器电压比已知优化损耗 3 2.36 10−× 3 6.53 10−×无优化 3 2.54 10−× 3 7.04 10−×调压器电压比未知优化损耗 2 2.17 10−× 2 2.98 10−×无优化 2 3.20 10−× 2 4.41 10−×优化损耗 3无调压器2.53 10−× 3 6.54 10−×无优化 3 2.89 10−× 3 7.40 10−×
由表2 可知，与分布式电源不反送功率时的运行结果相比，当分布式电源的容量超过负荷时，分布式电源向电网反送功率对凸松弛优化计算结果影响较小，说明在分布式电源出现反送功率的情况下，本文所提模型依然有效，进一步证明本文所提模型的合理性与有效性。
3.1.3 对比不同求解器的求解效率
本文基于YALMIP 平台上的商用和非商用求解器进行简单的求解效率对比。对比测试的电力系统分别为基于IEEE 13 节点的交直流混合系统及IEEE 123 节点系统，本文使用的Matlab 版本为R2018b，内存为16.0GB，CPU 为3.40GHz。本文主要比较的是各求解器对相同SOCP 凸松弛模型的运算时间，并简短讨论求解器的求解精确度。
表3 是使用不同的求解器求解IEEE 13 节点的交直流混合系统凸松弛模型的求解结果，其中求解器SCS 的表现最好，求解时间最短，且求得的电压幅值与实际潮流的结果相近。ECOS 的表现次之，求解的时间稍长，求解结果与SCS 的求解结果相近，但精度稍差。SeDuMi 和SDPT3 两者的表现相近，计算时长相近，且计算结果也相似，计算精度与ECOS 相似。因为测试的算例规模较小，只有13 个节点，因此并不能看出哪个求解器有特别突出的求解能力。MOSEK 求解器无法求解。SCS 求解器高效且准确的求解能力是因为它使用ADMM 分布式方法，提高了运算效率，因此在求解大规模的二阶锥规划问题上SCS 求解器有更明显的优势。
表3 不同求解器求解基于IEEE 13 节点的交直流混合系统时间对比
Tab.3 Time comparison of different solvers for solving AC-DC hybrid system based on IEEE 13 nodes
求解器 求解时间/s SCS 12.118 0 SeDuMi 18.615 7 ECOS 12.515 5 SDPT3 17.674 1 MOSEK 失败
表4 是IEEE 123 节点系统测试结果，比较了9种不同求解的运算时间，其中商用求解器MOSEK的表现最好，其次是SDPA 求解器，但是其求解结果与实际潮流结果存在较大差异。SDPT3 和SCS 算法表现相似，计算时间较短，且准确率较高，其他求解器表现一般，均存在计算误差较大或计算时间较长等问题。
表4 不同求解器求解IEEE 123 节点系统时间对比
Tab.4 Time comparison of different solvers for IEEE 123 nodes system
求解器 求解时间/s SCS 51.603 5 SeDuMi 55.334 4 DSDP 91.121 4 CSDP 51.375 4 SDPA 45.658 7 SDPLR 10 836.688 5 SDPNAL 67.296 1 SDPT3 50.9842 MOSEK 35.2916
由表3 和表4 可知，针对本文IEEE 13 节点系统和IEEE 123 节点系统，不同求解器的计算效率存在差异。在求解相关问题时，多数文献只是固定地选择MOSEK 求解器，并没有具体讨论不同求解器的求解效率，根据本文分析结果，说明对于不同的问题MOSEK 不一定总是表现最好，应根据实际问题合理地选择求解器。
4 结论
本文提出了考虑分布式电源、不同接线方式的有载调压器、交直流换流器等三相模型的二阶锥规划凸松弛模型，考虑相间耦合，同时给出了分布式电源、有载调压器等元件的物理特性，并采用多种二阶锥规划求解器求解，松弛后的优化模型能够保证得到全局最优解。在求解电力系统最优潮流时，可作为控制的最终控制结果，也可以作为非凸优化求解器初值以更快得到全局最优解，具有一定的实用性。通过IEEE 13 节点系统和IEEE 123 节点系统的计算验证了本文模型的有效性和可行性。
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