0 引言
移相变压器在多重叠加逆变系统中起着重要作用，将多个逆变器的输出进行叠加，可以有效消除低次谐波，提高输出波形质量。目前移相变压器主要分为心柱式、圆形和直线式移相变压器三类。为了实现正确的移相，心柱式移相变压器的绕组个数随输出相数的增加而增多，绕组间的联结方式和匝数比设计过程复杂，繁杂的设计过程带来的误差累计引起变压器电气性能下降，当功率较大时，变压器的体积和质量巨增，铁心利用率较低。
为此，国内研究人员借鉴感应电机工作原理，将移相变压器设计为与感应电机相似的电机式结构[1]，分别为直线式移相变压器和圆形移相变压器。文献[2]提出一种新型结构的圆形移相变压器，将定子作为一次侧，转子作为二次侧，一次侧通入三相交流电后，气隙中形成旋转磁场，二次侧感应产生三相电流，由于同一侧绕组匝数相同且分布于同一圆周上，磁路与电路完全对称，电磁性能优越，但气隙磁场难以控制，不易拓展。文献[3]借鉴直线电机的结构和原理，提出直线式移相变压器，其一次、二次侧铁心长度相等且固定不动，一次侧通入三相交流电后在气隙内形成行波磁场，二次侧产生感应电流，具有结构简单、散热性能好、易于模块化和便于拓展等特点。文献[4]研究了忽略边端效应影响的直线式移相变压器磁场分布，并用于十二相整流装置，减小了直流输出电压的纹波系数，验证了设计的有效性。文献[5]分析了三相不对称对直线式移相变压器性能的影响，并用于多重化逆变系统，减小了输出谐波含量，优化了输出性能。文献[6]提出了一种基于解析计算法的建模方式，从变压器的电压方程与等效电路入手，通过求解微分方程来验证直线式移相变压器的各项性能指标基本符合要求。直线式移相变压器的能量转换主要是通过气隙磁场实现的，然而变压器两端开断，磁路不对称，边端效应的存在对气隙磁场和工作性能产生影响。文献[7]分析了直线式移相变压器边端效应产生的原因，并通过近似处理得到了边端效应影响下感应电动势等电量参数，进而得到影响边端效应的两个主要参数：边齿宽度及气隙大小。文献[4]通过仿真分析了气隙磁场的磁力线分布，得出端部气隙磁场没有明显畸变的结论。但现有的研究都没有推导气隙磁场表达式，不能精确描述畸变的气隙磁场。
本文介绍了直线式移相变压器的工作原理；研究了第一类纵向边端效应影响下三相电流不平衡及气隙磁动势的分布，推导出第二类纵向边端效应影响下气隙磁场表达式，得到影响气隙磁场畸变程度的变压器设计参数，量化分析了设计参数对边端效应的影响。通过有限元仿真和样机实验分析了基于直线式移相变压器的多重叠加逆变系统的输出性能，证明通过合理选取变压器设计参数可以有效削弱两类纵向边端效应对变压器气隙磁场和电磁性能的影响，为完善直线式移相变压器电磁设计、推导考虑边端效应的等效电路提供理论支撑。
1 直线式移相变压器基本原理
1.1 工作原理
直线式移相变压器工作原理与直线感应电机类似，图1为移相变压器结构示意图。直线式移相变压器一次、二次侧铁心长度相等且固定不动，其内分别嵌入三相和N相绕组，通过改变N的数值，可以实现移相角度的灵活选取。铁心之间开有可以调节大小的气隙。由于一次、二次侧固定不动，直线式移相变压器可以等效为转差率为 1、二次侧带负载的直线感应电机，在多重叠加逆变等大功率场合中应用广泛[8-10]。
图1 直线式移相变压器结构
Fig.1 Linear phase-shifting transformer
下文以12/3相直线式移相变压器为例阐述基本原理。直线式移相变压器一次侧嵌放四套三相绕组，构成12相绕组，相邻两套绕组间相位差为15°，变压器二次侧嵌放一组三相绕组，采用星形联结，图2表示一次侧12相绕组的空间相位关系。用于多重叠加逆变系统时，将逆变电路输出的三相互差 120°的四组六阶梯波连接一次侧12相绕组，叠加形成正弦度极高的24阶梯波，气隙中产生行波磁场，二次侧从中感应出三相交流电。
图2 一次侧12相空间相位关系
Fig.2 Primary side phase position of 12-phase windings
1.2 边端效应简介
直线式移相变压器具有结构简单、可以实现任意角度移相和便于模块化拓展等优点，但自身直线型结构产生的边端效应对变压器的工作特性有一定影响。与直线感应电机结构类似，直线式移相变压器铁心也是不连续的，左端称为“入端”，右端称为“出端”，这两个开断点的存在将产生许多附加磁场，使气隙磁场发生畸变，产生边端效应[11-13]。
由于一次、二次侧铁心的宽度和长度均相等且气隙极小，横向边端效应的影响可以忽略不计。将一次侧三相励磁电流不平衡的影响定义为第一类纵向边端效应；将纵向端面磁通的影响定义为第二类纵向边端效应。直线式移相变压器纵向边端效应的影响体现在引起气隙磁场畸变，这是直线式移相变压器的固有问题[14-17]。
2 第一类纵向边端效应
直线式移相变压器磁路结构不对称，导致一次侧三相阻抗不对称，造成一次侧三相励磁电流不平衡，产生第一类纵向边端效应。
如图1所示，在铁心长度方向的中间画一条中心线 OO′，C相绕组沿中心线是左右对称的，而 A相和 B相绕组沿中心线是左右不对称的，这样 A、B、C各相绕组所交链的磁通量随绕组位置的变化而变化，因此各相绕组的自感和互感并不完全相同，一次回路参数不对称。但A相和B相两个绕组之间是关于OO′左右对称的，所以各相互感参数满足
式中，LAB、LBA、LAC、LCA、LBC、LCB为一次绕组间互感；K为一次侧A、B两相的互感值与A、C两相（或者B、C两相）互感值之间的比值。
下面求解一次侧励磁电流和气隙合成磁动势的数学表达式。直线式移相变压器一次侧三相绕组采用星形联结，如图3所示，可得电压方程为
图3 三相绕组的星形联结
Fig.3 Star connection of three phase winding
式中，UAB、UBC、UCA为一次侧线电压；IA、IB、IC为励磁电流；ZA=ZB=ZB=Z为一次侧各相绕组阻抗；Xm为BC间和AC间的互感抗。
由式（4）可知，即使一次侧三相绕组的极对数、匝数、节距等结构参数完全一致，也无法保证三相绕组的互感相同，进而无法保证三相励磁电流平衡。三相不平衡电流的一般化模型可表示为
式中，im为电流幅值；a1、a2、θ1、θ2、MA、MB、MC为系数；三相平衡电流幅值相等，a1、a2为三相不平衡时幅值的倍数关系；三相平衡电流相位依次滞后120°，θ1、θ2为三相不平衡时相位偏差角度；三相平衡电流的直流平移量应相等，MA、MB、MC表示三相不平衡时电流的平移量不相等。
直线式移相变压器一次侧三相绕组在空间角度上互差120°，以C相绕组中心线作为空间坐标原点，则在某一瞬间t时刻，距离C相绕组中心线x处，三相绕组磁动势FA、FB、FC分别为
合成磁动势F0表示为
式中，β=π/τ为每极距长度对应电角度，τ为极距。
将合成磁动势重新分解得到
式中，F1为正向推进行波磁动势；F2为反向推进行波磁动势；F3为脉振磁动势，其表达式见附录式（A2）～式（A10）。
分析附录中式（A2）～式（A10）可知：直线式移相变压器合成磁动势由两个幅值不等、推移方向相反的行波磁动势及脉振磁动势组成，分别对应三相不平衡电流的正序、负序和零序分量。脉振磁动势F3由两个中心点不在同一水平线上的脉振磁动势组成，其形成的原因是不平衡的三相励磁电流存在上下偏移现象，中心点不在同一水平线。
3 第二类纵向边端效应
由电工理论基础可知，用于分析直线式移相变压器的麦克斯韦方程组为
式中，B为磁通密度；H为磁场强度；E为电场强度；j1为一次侧导体电流密度； j2为二次侧导体从行波磁场中感应出来的电流密度；σ为二次侧电导率；μ0为铁心磁导率。
为简化分析，特作以下假设：①不计铁心饱和的影响，认为电导率σ和磁导率μ在各个方向都是相同的，且认为σ =0，μ=∞；②磁通密度B和磁场强度 H仅有 y分量，电流密度 j1和 j2仅有 z分量；③忽略一次、二次侧槽口的影响，使用无槽口等效气隙代替实际气隙；④忽略铁心的磁滞损耗及二次侧导体的趋肤效应；⑤各电磁参数均仅为空间位置x的函数，且随时间t正弦变化。
根据上述假设建立直线式移相变压器模型，如图 4所示。模型采用平面坐标系，坐标原点为 O，x轴与气隙中心线重合，y轴与变压器铁心左边线重合。整个模型可以分成如图 4所示的三个区域，有效区域 1（0＜x＜2pτ）、无效区域 2（x＜0）和无效区域3（x＞2pτ）。区域1为一次、二次侧铁心所在区域，区域 2、3为一次、二次侧铁心之外的区域。其中，p为极对数。纵向端面磁通在铁心两端开断处经过一次侧铁心-区域1内气隙-区域2（3）-二次侧铁心形成闭合回路。
图4 直线式移相变压器模型
Fig.4 Linear phase shifting transformer model
在有效区域1中，气隙磁场是在一次、二次电流共同作用下形成的，根据安培环路定理得
式中，B1为区域1中气隙磁通密度；δ′为有效电磁气隙长度。
一次侧电流密度 j1可由行波电流层表示为
式中，J1为行波电流密度幅值；ω为角速度。
将式（9）～式（11）联立求解，可以得到有效区域1中的气隙磁通密度B1的表达式为
式中，Bδm、α见附录式（A14）～式（A16）；λ、τe见附录式（A22）和式（A23）；C1、C2为待定系数。
为了确定C1、C2，还需求出无效区域2和区域3中磁通密度表达式，再利用边界条件和磁通连续性定理进行求解。
由于移相变压器结构的对称性，纵向端面磁场在区域2和3中的分布是对称的，可以看做沿铁心方向运动的气隙磁场在不同时刻的不同状态。区域2和3内气隙磁通密度B2和B3可分别表示为
式中，Bm为待定常数，表示磁通密度幅值。
边界条件为
由磁通连续性定理得
联立式（13）～式（17）可以得到C1、C2和Bm的值，具体表达式见附录式（A24）～式（A28）。
将系数 C1、C2代入式（12），得到带载工况下考虑第二类纵向边端效应影响时有效区域1的气隙磁场表达式。分析式（12）可知：
（1）带载时，直线式移相变压器有效区域1中气隙磁场的分布与直线电机类似，均由三种行波磁场叠加而成，既有半波长为 τ的正向基本行波磁场，又有半波长为 τe、衰减系数为 λ的前进和后退的两种衰减行波磁场。直线电机中，将Bδ2和Bδ3分别称为入端行波和出端行波，也叫做动态边端效应。
（2）直线式移相变压器固定不动，一次、二次侧铁心之间没有相对运动，Bδ2和Bδ3的产生是由铁心直线型结构导致行波磁场在入端和出端存在突变，类似于直线电机中的“电瞬态”现象，不同点在于移相变压器中 Bδ2和 Bδ3的幅值和衰减系数相同且较小，而由电机相关理论可知，衰减系数越小，行波衰减越快，气隙磁场畸变程度越小。
空载工况下二次侧感应电流 j2=0，参考二次侧带载时气隙磁场求解方法，可以得到空载时气隙磁场表达式为
其中，系数Bδ和Bmz分别为
分析式（18）可知，空载时有效区域1中气隙磁场由基本行波磁场和脉振磁场组成。这是由于空载时二次侧感应电流为 0，气隙磁场主要由一次电流产生，在纵向边端处，磁场路径由一次、二次侧铁心和气隙组成，产生交变的脉振磁场。
不管是两种衰减行波磁场还是脉振磁场，其振幅均与极距、气隙长度、极对数有关，通过合理选取以上三个参数可有效减小第二类纵向边端效应造成的气隙磁场畸变。
4 仿真与实验分析
4.1 仿真分析
根据第1节所述直线式铁心结构，建立12/3相直线式移相变压器有限元模型。表1为移相变压器主要参数，变压器铁心由硅钢片DW465-50叠压而成，磁化曲线如图5所示，“膝点”约为1.8T，其电阻率为 44μΩ·cm，密度为 7.7g/cm3。图6为直线式移相变压器绕组分布。
表1 模型主要参数
Tab.1 Main parameters of the model
参 数 数 值额定功率PN/kW 1一次侧相数二次侧相数一次侧匝数二次侧匝数12 3 344 210极对数铁心长度L/mm铁心高度H/mm 1 300 40铁心叠加厚度D/mm槽间距bs/mm槽宽/mm槽深/mm气隙长度/mm 100 6 12 25 0.3
图5 DW465-50磁化曲线
Fig.5 Magnetization curve of DW465-50
图6 直线式移相变压器绕组分布
Fig.6 Winding distribution of linear phase-shifting transformer
图7为二次侧空载时，一次侧通入对称的三相交流电时产生的三相励磁电流。由于直线式移相变压器磁路开断，三相阻抗不相等，导致三相电流不对称较为明显，可以表示为
图7 一次侧三相不平衡励磁电流示意图
Fig.7 Three-phase unbalanced excitation current of primary side
将式（21）对照式（5）分解，可得到 θ1=0.056π、θ2=-0.056π、MA=-1.32、MB=0.79、MC=0.72、im=-1.32A、a1=0.98、a2=0.97，代入式（A2）～式（A10）中可求得气隙合成磁动势F0。第一类纵向边端效应影响下磁动势如图8所示，可以看出虽然三相电流不平衡较为明显，但合成磁动势畸变程度较低。
图8 第一类纵向边端效应影响下磁动势
Fig.8 The first kind of longitudinal side effects influence the magnetic potential graph
第二类纵向边端效应导致气隙中除正常的行波磁场外还产生干扰磁场，其值与极对数、气隙长度、极距三个参数有关。表2～表4分别为带载时两种衰减行波磁场的衰减系数 λ、磁通密度幅值Bδ2、Bδ3，空载时脉振磁场幅值 Bmz与极对数、气隙长度和极距的关系，其他参数与本节移相变压器模型一致。
表2 第二类纵向边端效应与极对数的关系
Tab.2 The relationship between polar logarithm and the second kind of longitudinal side effect
极对数 λ Bδ2/T Bδ3/T Bmz/T 1 0.039 2 2.37×10-8 3.84×10-6 -0.012 4 2 0.039 2 4.24×10-13 6.92×10-11 0.006 2 3 0.039 2 7.83×10-18 1.33×10-15 -0.004 1
表3 第二类纵向边端效应与气隙长度的关系
Tab.3 The relationship between air gap distance and the second kind of longitudinal side effect
气隙/mm λ Bδ2/T Bδ3/T Bmz/T 0.1 0.022 6 6.51×10-13 4.82×10-9 -0.012 4 0.2 0.032 0 8.84×10-10 4.67×10-7 -0.012 4 0.3 0.039 2 2.37×10-8 3.84×10-6 -0.012 4 0.4 0.045 2 1.62×10-7 1.39×10-5 -0.012 4 0.5 0.050 6 5.86×10-7 2.91×10-5 -0.012 4 1 0.071 5 1.63×10-5 2.89×10-4 -0.012 3
表4 第二类纵向边端效应与极距的关系
Tab.4 The relationship between the polar distance and the seco nd kind of longitudinal side effect
极距/mm λ Bδ2/T Bδ3/T Bmz/T 213 0.039 2 2.37×10-8 3.84×10-6 -0.012 4 320 0.039 2 6.52×10-11 1.64×10-8 -0.012 4 426 0.039 2 4.27×10-13 6.32×10-11 -0.012 4
分析表2～表4可知：①随着极对数的增加，Bδ2、Bδ3、Bmz均减小，λ保持不变，表明极对数的增加使得干扰磁场幅值下降，但干扰磁场衰减速度不变；②随着气隙长度增大，Bδ2、Bδ3、λ增大，Bmz基本不变，表明气隙长度越大，干扰磁场幅值越大，气隙磁场畸变程度越大；③随着极距增大，Bδ2、Bδ3减小，λ、Bmz保持不变；④极对数、气隙、极距在合理范围内变化时，Bδ2、Bδ3、Bmz和 λ均较小，即干扰磁场幅值远远小于正常行波磁场，且干扰磁场衰减较快，只在边端很短的部分起作用。
图9表示带载时入端及出端行波、气隙磁场、空载时脉振磁场、气隙磁场与空间和时间的关系。
图9 第二类纵向边端效应影响下气隙磁场
Fig.9 The second type of longitudinal end effect affects the air gap magnetic field
分析图 9可知：①由图9a、图 9b可知，带载时入端和出端行波幅值较小，分别由两端端部向内快速衰减，只在边端极短的部分存在；②由图9c可知，由于纵向端面磁通的影响，带载时气隙磁场发生畸变，但由于入端和出端衰减的行波幅值较小且衰减较快，气隙磁场的畸变程度很小，在一个周期内仍旧可以看做沿着铁心方向移动的行波磁场；③由图9d可知，空载时，纵向端面磁通将会在气隙中产生沿y方向随时间t周期变化的脉振磁场，但观察图 9d、图 9e可知，脉振磁场幅值只有气隙磁场幅值的1%左右；④由图9e可知，空载时脉振磁场的存在导致气隙磁场发生畸变，但脉振磁场幅值较小，对气隙磁场的干扰可以忽略不计。
图 10为一个周期内直线式移相变压器磁力线分布情况，图11为一个周期内气隙磁场分布图。
图10 一个周期内四个时刻的磁力线分布情况
Fig.10 Distribution of magnetic field lines at four times in a period
图11 一个周期内气隙磁场示意图
Fig.11 Schematic diagram of air gap magnetic field in a period
由图10和图11可以看出，一个周期内，直线式移相变压器的气隙磁场畸变程度很低，仍旧可以看作是沿气隙正弦形式前进的行波磁场。表明直线式移相变压器磁路不封闭，导致两类纵向边端效应的产生，造成气隙磁场畸变，但通过合理地选取极距、气隙长度和极对数三个参数，可以有效地削弱纵向边端效应对气隙磁场的畸变程度。
将直线式移相变压器用于多重叠加逆变系统，图12表示空载、50%负载和额定负载工况下二次侧输出电压仿真波形及谐波分析，图13为不同负载工况下A相输出电压仿真波形对比。
图12 逆变系统输出三相电压波形及谐波分析
Fig.12 Inverter system output three-phase voltage waveforms and harmonic analysis
图13 不同负载工况下A相输出电压仿真波形对比
Fig.13 A phase output voltage simulation waveform comparison under different load conditions
分析不同负载工况下输出性能，选取谐波含量THD、系统效率EF、电压调整率VR和三相不平衡度IF为性能指标，表5为主要性能指标随负载的变化规律，图14为性能指标曲线。
表5 不同负载工况下移相变压器性能分析
Tab.5 Performance analysis of phase shifting transformer under different load conditions（%）
负载 THD EF VR IF 100 2.85 91.8 6.79 0.26 80 3.54 91.9 4.91 0.18 50 3.96 92.6 3.24 0.16 30 4.46 91.3 2.96 0.14 0 8.95 — — 0.12
图14 性能指标随负载的变化
Fig.14 Performance indicators vary with load
分析图12～图14，输出电压基波幅值和THD随着负载的增加而减小，额定负载时为2.85%，EF均在91%以上，IF随着负载的增加而增大，满载时达到 0.26%，均满足国家使用标准；满载时，VR为6.79%，远远低于圆形移相变压器[18]，稳压性能较好。仿真结果表明，基于直线式移相变压器的多重叠加逆变系统输出性能较优，符合使用要求。
4.2 实验分析
本节设计了1kW样机，样机参数与仿真模型一致。搭建多重叠加逆变平台，分析了不同负载工况下输出电压谐波含量和系统效率，验证逆变系统输出性能满足要求。图15为直线式移相变压器逆变平台，由左至右依次为控制电路、逆变电路、直线式移相变压器和负载电路。控制电路由F28335核心板和信号放大电路组成，信号放大电路主要使用TLP559光耦模块和LM555时基电路集成模块；逆变电路由四组型号为 6MBP15RH060的三相桥式逆变器组成；逆变器所需的直流母线电压由SKBPC3516三相桥式整流模块得到，其值大小可以由自耦变压器调节。
图15 多重叠加逆变实验平台
Fig.15 Multiple superposition invert platform
图16所示为空载、50%负载和额定负载工况下二次侧输出电压实验波形及谐波分析。图17为不同负载工况下A相输出电压实验波形对比。
图16 二次侧A相电压实验波形及FFT分析
Fig.16 The waveforms of A phase voltage and FFT analysis of secondary side
图17 不同负载工况下A相输出电压实验波形对比
Fig.17 A phase output voltage experimental waveform comparison under different load conditions
分析图 16和图 17可知：①空载时输出电压基波幅值为251.2V，谐波畸变率为9.38%，额定负载时输出电压基波幅值为241.7V，谐波畸变率为2.92%，除空载外谐波含量均小于5%，满足使用要求；②随着负载增加，输出电压幅值和谐波含量降低，这是由于绕组材料为感性，电流经过时，绕组起到分压和滤波的作用。负载越大，外接阻抗的阻值就越小，绕组内的电流就越大，分压和滤波作用就越明显。
谐波含量随负载变化的仿真与实验对比如图18所示。实验结果与有限元仿真结果一致性较好，但仍存在一些误差：①分析图18可知，输出电压谐波含量实验结果略大于仿真结果，这是由于样机制作时，存在加工误差，导致气隙大小不均匀及齿槽结构不对称等因素使得实验值稍大；②由图 12可知，有限元仿真时，三相输出电压谐波主要集中在5、7、11、13、17、19次，而偶次谐波及3的倍数次谐波很少，可以忽略不计，在样机实验中，9、15次谐波以及偶次谐波明显增多，这是由于变压器在制作过程中，铁心很难做到绝对均匀，三相绕组不对称更加明显，导致出现偶次谐波及3的倍数次谐波。
图18 谐波含量随负载变化的仿真与实验对比
Fig.18 Simulation and experimental comparison of harmonic content with load change
额定负载时，逆变系统直流母线电压为 180V，直流侧输入电流为 5.812A，输出相电压幅值为241.7V，相电流幅值为2.624A，故系统效率为90.9%，满足使用要求；实验时系统效率与仿真结果 91.8%相比略低，这是由于实验时考虑逆变器开关损耗和变压器制造工艺误差等因素造成的。
通过样机实验分析不同负载工况下输出电压谐波含量和额定负载下逆变系统效率，并与有限元结果进行对比，表明基于直线式移相变压器的多重叠加逆变系统性能符合要求，验证了合理选取变压器设计参数可以有效削弱两类纵向边端效应对直线式移相变压器电磁性能的影响这一结论。
5 结论
本文针对直线式移相变压器磁路开断产生两类纵向边端效应这一固有问题，分析了第一类纵向边端效应影响下三相电流不平衡现象以及气隙磁动势的分布，推导出第二类纵向边端效应影响下气隙磁场的解析表达式，制作了小型样机，开展了仿真和实验研究。得到以下结论：
1）第一类纵向边端效应影响下，即使一次侧三相绕组的极对数、匝数、节距等结构参数完全一致，一次侧三相励磁电流仍旧不平衡，气隙合成磁动势发生畸变；畸变的气隙合成磁动势由正向行波磁动势、反向行波磁动势和脉振磁动势组成，但畸变程度较小，仍可看作是正弦前进的行波磁动势。
2）第二类纵向边端效应将导致气隙磁场畸变，产生干扰磁场；带载时气隙磁场由标准行波磁场、衰减的前进及后退行波磁场组成；空载时由标准行波磁场和脉振磁场组成；干扰磁场的幅值和衰减速度与极距、气隙长度、极对数有关；通过合理选取上述参数可以有效削弱气隙磁场畸变程度和纵向边端效应对移相变压器电磁性能的影响。
3）直线式移相变压器结构简单，基于直线式移相变压器的逆变系统效率、电压调整率、三相不平衡度和谐波含量等性能指标均符合使用要求。
附 录
将第一类纵向边端效应影响下气隙合成磁动势重新分解得到
式中，F1为正向推进行波磁动势；F2为反向推进行波磁动势；F3为脉振磁动势，分别为
针对第二类纵向边端效应影响下气隙磁场开展计算分析，由法拉第电磁感应定律可得
式中，σs为二次侧表面电导率，σs=2dσ，σ为二次侧电导率，2d为二次侧厚度。
对正文式（10）中x求偏导，整理可得
解非线性偏微分方程式（A12），其解由特解Bδs和通解Bδg组成。特解是一次侧电流密度 j1激励下的强制分量，故二者形式相似，设
将式（A13）代入式（A12），通过比较系数法，可以得到特解表达式。其中
式（A12）齐次方程为
设Bδg=X(x)T(t)，代入式（A17），整理得
式中，η=jω为任意常数。式（A18）可分解为
求解式（A19）、式（A20）可得通解为
式（A21）中系数如下，C1、C2由边界条件确定。
联立正文中式（13）～式（17）可以得到 C1、C2和Bm的值，表达式为
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