0 引言
使用单边短初级直线感应电机作为牵引电机的轨道交通车辆，将电机初级安装在转向架下方，次级感应板铺设在轨道上。直线轮轨系统显著的特点是直线驱动，即不需要任何中间传动装置，克服了轮轨之间黏着力的限制，因此其爬坡能力较强，转弯半径更小，带来的优势是选线更为灵活。车辆高度相对较低，使得隧道截面小、建设成本低。随着城市人口的持续增长和建设面积的不断扩张，城市轨道交通系统的建设如火如荼地展开，直线轮轨系统因其自身独特的优势，在交通领域的应用日益广泛，目前全世界建成的商业运行线路超过 20条[1-2]。
为保证直线轮轨车辆的安全稳定运行，直线感应电机的气隙较大，一般为8～10 mm，致使电机能量传递效率较低。直线感应电机具有独特的端部效应和法向力，尤其是纵向动态端部效应会产生一个与运行方向相反的阻力，使其性能表现进一步恶化[3]。目前针对交通领域直线感应电机的研究，多数是围绕提高工作效率、减少运行损耗展开的，主要方法是电机的本体结构优化和控制策略优化[4-9]。
本体研究几乎针对的都是次级结构的优化设计。文献[10]提出的笼型结构次级，可以规范涡流路径和横向气隙磁场，从而提高电机推力。文献[11]将实心和叠片式两种次级结构应用于直线轮轨系统中，对推力、次级损耗等进行对比研究。文献[12]对比分析了笼型和梯形两类格栅型次级，并研究了不同槽配合下的气隙磁场、次级涡流、净推力和法向力。
通过优化控制策略来提高电机运行效率主要有两个方向：基于损耗模型的策略和最小输入功率的在线搜索策略。文献[13]提出了综合考虑电机和逆变器损耗的直线轮轨系统运行损耗的数学模型，从而得到损耗最小时的励磁磁链。文献[14]考虑端部效应实现了推力和磁通的解耦，分析了法向力的特性，结合最优化理论，在实现了推力满足要求的前提下，法向力造成的损耗和电机铜耗之和最小。
上述关于直线感应电机本体结构和控制策略方面的研究已较为成熟，但针对的都是次级感应板完整的情况。然而直线轮轨系统在转弯、道岔和进出库路段，次级感应板无法连续铺设，会出现次级断续的工况，如图1所示。直线感应电机的初级电流、推力和法向力会产生剧烈波动，容易造成牵引传动单元的功率开关管短路和轮对的不规则磨损，给列车的安全稳定运行造成了极大的挑战。目前对次级断续工况的研究很有限。文献[15]分析了电机电感随初级、次级耦合情况的变化，提出一种互感在线辨识算法来检测初级是否进入断续区域，从控制层面解决次级缺失的不利影响。文献[16]通过过电流抑制和过电流保护两个手段，分别实现抑制电机过电流和过电流时保护牵引传动单元的目的，更多的是从工程角度来应对过电流。目前的研究缺乏对次级断续时电机本身的电磁特性进行深入的探讨，没有对初级、次级相对运动的过程进行细致的研究。本文基于断续工况运动过程，充分考虑了初级铁心长度、半填充槽、端部效应和趋肤效应的影响，对次级断续工况下电机的等效电路和电磁特性进行了深入的研究。
图1 直线轮轨系统次级断续区域
Fig.1 The region of discontinuous secondary in linear wheel rail system
1 物理模型及运动过程分析
次级断续时直线感应电机的物理分析模型如图2所示。根据轨道交通系统中次级感应板断续区域的实际铺设情况，设置缺失区域长度小于初级长度。v为初级运动速度，t表示运动时刻，其中t=0时刻初级与断续区域的距离为lc，lp为初级长度，ls为缺失区域长度，坐标系固定不动。起始时刻初级仅与次级板1耦合，随着初级的向前运动，初级先后进入次级缺失区域和次级板 2。次级板的缺失和纵向端部效应影响了感应涡流和纵向气隙磁通密度的分布，为了细致刻画初级经过次级断续区域的动态过程，充分考虑初级半填充槽和初级出口端外侧次级感应涡流的影响，根据初级半填充槽、全填充槽和出口端涡流计算区域与次级板1、2的耦合情况，整个运动过程如图3所示。图中t0和t10为正常运行时刻，t1～t9为断续工况的九个特殊时刻，其中 t6和t9为出口端外侧涡流计算区域边界与次级板边缘重合时刻，t1～t5、t7和 t8为初级边缘或半填充槽与全填充槽交界处与次级板边缘重合时刻，它们将运动过程划分成九个阶段。
图2 次级断续时直线感应电机的物理模型
Fig.2 Physical model of linear induction motor with discontinuous secondary
图3 初级通过断续次级的过程
Fig.3 The process of passing through the discontinuous secondary
2 次级断续时的分段式等效电路
2.1 等效电路模型
由于直线感应牵引电机的气隙较大、气隙磁通密度幅值较小，因此可忽略初级铁心损耗，并且次级漏感可看作为0，次级断续时可得等效电路[17]如图4所示。图4中
分别为初级电阻和初级漏感，
为励磁电感，
分别为表征次级涡流损耗和输出的机械功率的电阻。根据能量守恒和电路原理，可得到
图4 分段式等效电路
Fig.4 Piecewise equivalent circuit
式中，ω1为初级电流频率；I1、I2、Im分别为初级电流、次级电流、励磁电流；
分别为次级断续时的次级涡流损耗、输出机械功率、无功功率、励磁电感中储存能量的瞬时值，解得
式中，s为转差率；vs为同步速度；
为推力。
2.2 初级支路参数
次级连续时的 R1和 L1可直接通过电机的尺寸参数求解，表达式为[18]
式中，ρ为初级绕组的电阻率；Lcp为每匝的长度；Zph为初级绕组每相串联导体数；A为导线截面积；L1s、L1e、L1t、L1h分别为初级槽漏感、端部漏感、齿端漏感、谐波漏感。
次级断续时，初级支路中的电阻 R1保持不变，即
初级槽漏感和端部漏感保持不变[19]，齿端漏感和谐波漏感会变化，为减少分析的复杂程度，认为二者随初级、次级耦合面积成线性变化，则有
式中，上标“1”为次级完整时的值；上标“0”为无次级时的值；lr为初、次级耦合区域长度。当lr=0时，
可通过多层行波理论求解[20]。
式中，m1为相数；0μ为真空磁导率；a为初级铁心半长；W1为初级绕组每相串联匝数；kw1为绕组因数；p和τ分别为极对数和极距；k=π/τ。
2.3 次级和励磁支路参数
通过电磁场理论计算次级断续工况下动态变化的
根据式（5）～式（9）可求出次级和励磁支路参数
轨道交通用单边长次级直线感应电机的一维分析模型如图5所示，笛卡尔坐标系的原点设置在初级入口处的次级表面。初级、次级间的气隙划分为五个区域：初级入口处外侧、入口半填充槽下方、全填充槽下方、出口半填充槽下方、初级出口处外侧。根据电机的理想化分析模型，列写麦克斯韦方程，结合电机实际的边界条件求解，进而计算次级涡流、推力、次级损耗、无功功率、效率以及次级和励磁支路参数。
图5 电机的一维分析模型
Fig.5 One dimensional analysis model of motor
本文的推导基于理想化的模型，为了减少分析的复杂程度并与工程实际相结合，做出以下假设[21-22]：
（1）空间各场量均随时间正弦变化。
（2）气隙在y方向无衰减。
（3）所有电流的方向均与xOy面垂直。
（4）初级绕组中的电流用初级下表面的电流层代替，初级相电流有效值为 I1，全填充、半填充绕组下方的面电流幅值分别为Jm和Jm/2，其中
（5）横向端部效应和趋肤效应使次级电导率减小，修正后的次级等效电导率的表达式为
式中，σal为次级铝板电导率；Ktr为横向端部效应系数；Ksk为趋肤效应系数[23]，即
（6）初级开槽和横向端部效应使等效气隙增大，气隙漏磁通使之减小，修正后的等效气隙宽度为
式中，g0=gm+d，gm为机械气隙宽度；Kc为卡氏系数；Kl为气隙漏感系数；Kmt为横向端部效应的电抗修正系数[17]。
式中，KR、KX的表达式见文献[17]；τt和 Ws分别为齿距和槽口宽度。
直线感应电机运动过程中初级会不断地进入新的次级区域，根据楞次定律，入口端和出口端次级板感应涡流和气隙磁场作用产生的力会分别妨碍初级进入新的区域、阻止初级离开旧的区域，因此初级铁心的长度会对电机性能产生较大的影响。在区域⑤的次级上方添加一个虚拟电流层 V5(x)来考虑初级铁心有限长对气隙磁密的影响。
在区域 i（i=1,2,3,4,5）中，设气隙磁场强度为Hi，初级电流为 j1i，次级感应涡流为 j2i，电场强度为Ei，列写麦克斯韦方程组为
虚拟电流层不产生能量损耗，仅起传递能量的作用，因此区域⑤虚拟电流层的电导率可设为 jσ5，则各区域中，有
式中，eσ为等效电导率；1γ和2γ分别为纵向端部效应波前、后向衰减系数，且1γ≫2γ[24]，因此区域①的气隙磁密很小，初级铁心的中断对此处气隙磁密的影响很小，而对区域⑤处的影响很大。为保证气隙磁场强度在x3处连续，可设
次级板完全缺失时，
故可求得
由式（18）可根据Hi求出次级感应涡流为
至此推导出各区域气隙磁通密度和次级涡流的表达式，气隙场强和次级涡流在x= 0 ,x1,x2,x3处连续，由此可得以M1、M21等八个系数为变量的8阶线性方程组。
求出各区域气隙场强和次级涡流分布，为减少运算的复杂程度，次级断续时仅考虑初级、次级耦合区域和出口端外侧积分区域，断续区域的气隙磁密和无功功率密度通过修正初级漏感来考虑。忽略初级入口端外侧的部分。根据断续工况每个阶段的耦合情况，各阶段积分区间的上、下限见表1，未提及的区域与次级连续时一致，不需要修正。次级断续时各物理量的表达式为
式中，“—”的变量表示取其共轭，i=2,3,4,5分别对应区域②③④⑤，ai和bi分别为各区域按照表1修正后的积分上、下限。
表1 各阶段的积分区间
Tab.1 The integral interval in each stage
初级位置 各区域积分区间的修正0≤vt≤lc -lc＜vt≤lc+x1 区域②: (vt-lc, x1)lc+x1＜vt≤lc+ ls区域②:不积区域③: (vt-lc, x2)lc+ ls＜vt≤lc+ ls+x1区域②: (0,vt-lc-ls)区域③: (vt-lc, x2)lc+ ls+x1＜vt≤lc+x2 区域③: (x1,vt-lc-ls)∪(vt-lc, x2)lc+x2＜vt≤lc+lp区域③: (x1, vt-lc-ls)区域④: (vt-lc, x3)lc+lp＜vt≤lc+lp+0.1区域③: (x1,vt-lc-ls)区域④: 不积区域⑤: (vt-lc, x3+0.1)
（续）
初级位置 各区域积分区间的修正lc+lp+0.1＜vt≤lc+ls+x2 lc+ls+x2＜vt≤lc+ls+lp区域③: (x1, vt-lc-ls)区域④⑤: 不积区域④: (x2, vt-lc-ls)区域④⑤: 不积lc+ls+lp＜vt≤lc+ls+lp+0.1 区域⑤: (x3, vt+x3-lc-ls-lp)vt＞lc+ls+lp+0.1 -
3 电磁特性分析与实验验证
3.1 电磁特性分析
基于表2所示直线感应电机的结构尺寸，使用Matlab软件编写m文件，次级断续时初级下方区域次级电流和推力沿运行方向的分布如图6所示。
表2 直线感应电机的结构尺寸
Tab.2 Structure and size of linear induction motor
参 数 数 值 参 数 数 值额定电压/V 380 每极每相槽数 2额定频率/Hz 50 极距/mm 60额定电流/A 3.45 初级重量/kg 20级数 6 铁心槽深/mm 35机械气隙/mm 2 铁心槽宽/mm 6.5铝板厚度/mm 3 铁心齿宽/mm 3.5铝板宽度/mm 120 铁心槽距/mm 10铁轭厚度/mm 14 线圈距 2/3铁轭宽度/mm 120 铁心叠片厚度/mm 77初级长度/mm 410 铁心高度/mm 50
纵向端部效应使得气隙磁通密度和次级涡流在初级入口端较小，在出口端较大且衰减得较慢。入口端磁场和涡流的电磁感应力妨碍初级进入新的次级区域，出口端则阻止初级离开旧的次级区域，因此入口端和出口端的推力值均为负值。断续区域和初级入口端外侧区域的感应涡流和推力密度为0。
图6 次级电流和推力沿运行方向分布
Fig.6 Distribution of secondary current and thrust along running direction
图7 等效电路参数的变化
Fig.7 Change of equivalent circuit parameters
根据推力、次级损耗、无功功率的瞬时值，可求出励磁支路的
和次级支路
的瞬时值变化曲线如图7所示，三者变化趋势近似为V形，随着初级、次级非耦合区域长度的增加而减小。其中不同转差率下的
差距不大，
差别最大，主要是由于
表征输出的机械功率，受运行速度直接影响。
3.2 实验结果对比
仿照轨道交通中直线感应牵引电机的应用场景，实验装置平台如图8所示（电机尺寸参数同表2）。小车通过滑块安装在滑轨上，初级固定在小车上，次级可设置成断续和连续形式。电机由一台高性能变频器驱动，测量部分由力传感器和数据采集器（IMC）构成。为了验证磁通密度、涡流和推力等物理量计算方法的正确性，将次级连续时不同频率、速度下推力的计算结果与实验台测量结果进行对比，如图9所示。可看出计算的推力与实验测量结果比较接近，且变化趋势相同，推力的平均误差为10.16%。
图8 直线感应电机实验台
Fig. 8 Test rig of linear induction motor
图9 不同频率、速度下的推力
Fig.9 Thrust at different frequencies and speeds
根据图3对运动过程的分析和表1对积分区间的修正，可得到次级断续时推力和效率的暂态变化曲线。为验证前文分析和推导的正确性，使用图 8所示的直线感应电机实验台，测量初级通过次级断续区域过程中的推力和效率变化。推力和效率的计算结果与实验测量结果的对比如图10所示，可以看出计算结果与实验结果趋势很接近，推力和效率的平均误差较小，计算结果比较精确，并且能细致地刻画运动过程中电机特性的实时变化情况。
图10 推力和效率的变化曲线
Fig.10 Change curve of thrust and efficiency
初级通过次级断续区域，推力和效率变化曲线总体是V形，计算结果与实验结果很接近，验证了本文提出的次级断续时分段式等效电路和特性分析的正确性。当初级进入缺失区域时，二者逐渐减小；当初级入口处进入另一块感应板时，达到最小值，因为此时全部的次级缺失区域在初级下方，即初级、次级非耦合区域达到最大；之后随着初级离开缺失区域，二者逐渐增大恢复到正常水平，其变化的主要原因是次级缺失区域无感应涡流。注意到初级末端离开缺失区域时，推力会有一个小幅度的先增加后减小的过程，这是因为出口端外侧即区域⑤在次级缺失位置，消除了纵向端部效应的反向制动力。断续工况时推力和效率均会减小，电机的运行性能会恶化，且次级缺失区域长度越大，性能恶化越明显。
4 结论
本文在考虑初级有限长、横向端部效应、初级半填充槽和趋肤效应的前提下，综合分析初级与断续次级的耦合情况和纵向端部效应，提出了次级断续工况下直线感应电机的分段式等效电路模型，并分析了电机的运行特性。结果表明，初级通过断续次级区域时推力、效率、等效电路中表征次级损耗的电阻R2、表征机械功率的电阻Rm、励磁电感Lm均会先减少后增加，与非耦合区域面积负相关。推力和效率的计算结果与实验测量结果非常接近、变化趋势相同，准确细致地刻画了电机电磁特性的变化情况。次级断续时电机的运行性能会恶化，且缺失区域越长恶化越明显。本文提出的分段式等效电路，准确描述了初级通过次级断续区域的暂态过程，为实现在次级断续工况下消除初级电流、推力和法向力突变的高性能控制打下基础。
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