0 引言
双有源桥（Dual-Active-Bridge, DAB）变换器具有高效率、能量双向传输及电气隔离等优势，近年来在直流电能传输及变换领域受到了广泛的关 注[1-3]。此外，DAB变换器还主要被应用于储能设备、电动汽车、光伏及能量路由器等场合[4-6]。为改善DAB变换器的抗干扰能力及输入电流质量，具有LC输入滤波的DAB变换器（LC-DAB）级联型拓扑近年来受到了关注[7]。然而，LC-DAB级联型系统较易出现振荡和不稳定问题。鉴于LC滤波器自身所存在的特征谐振点及LC与DAB变换器阻抗之间的相互作用，易造成LC-DAB级联系统的输入电容电压发生振荡现象，且类似的问题也出现在其他直流和交流级联系统中[8-11]，因此分析LC-DAB级联系统的稳定性尤为重要。
基于阻抗的稳定性判据最早被R. D. Middlebrook提出，已成为分析级联系统稳定性的基础之一[12]。然而，Middlebrook稳定性判据相对保守，要求负载变换器的输入阻抗在全频率范围内均大于源变换器的输出阻抗，在实际应用中较为严苛。因此，相关学者提出了最小环路增益Tm的概念，即源变换器的输出阻抗与负载变换器的输入阻抗之比应满足奈奎斯特稳定性判据[13-14]，以确保级联系统的稳定性。相关技术已经被提出用于改善源变换器的输出阻抗和负载变换器的输入阻抗。目前的主要解决方案可分为无源阻尼方式和有源阻尼方式[15]两大类。
无源阻尼方式需在原来电路的基础上增加一个或多个无源元件，如在直流母线滤波器侧并联电阻或电容用以改变源变换器的阻抗[16]，然而这会增加额外成本和功率损耗。此外，由于电解电容预期寿命较短，所以在高可靠性应用中需避免使用较大的电解电容[17]。
有源阻尼控制策略研究方面，文献[18]通过在源和负载变换器之间引入缓冲变换器以优化输入和输出阻抗之间的相互影响，但需重新设计主电路，这对于模块化设计的电路十分耗时。文献[19-20]通过有源阻尼方法降低源变换器的输出阻抗从而满足基于阻抗模型的稳定性判据，减小系统振荡的同时增强了稳定性。文献[21]通过控制手段在负载变换器中添加虚拟电阻或电容器进而改变负载变换器的输入阻抗，使得系统重新恢复至稳定状态。但上述解决方案在LC-DAB级联系统中的应用少有文献 研究。
为改善LC-DAB级联系统的稳定性，本文首先建立了DAB变换器状态空间平均化小信号数学模型，并验证了所推导的闭环输入阻抗模型的正确性。基于此，分析了LC-DAB级联系统振荡现象产生原因及LC滤波器参数对系统稳定性的影响，分别提出了一种基于DAB变换器一次侧电容电压的并联虚拟阻抗（Parallel Virtual Impedance, PVI）和一次电流的串联虚拟阻抗（Series Virtual Impedance, SVI）控制策略。最终使得LC-DAB级联系统在全功率范围内均无振荡且能够稳定运行，并通过实验对上述理论及控制进行验证。
1 LC-DAB级联系统
图1为LC-DAB级联系统主电路拓扑，与典型DAB变换器相比，在电源侧串联接入滤波电感Lf及内阻Rf，与一次侧电容Cf构成二阶LC低通滤波器，进而形成级联系统。前级为LC滤波器，后级为DAB变换器，Uin与iin分别为电源电压和LC-DAB的输入电流。DAB变换器主要由两个H桥（H1和H2）和隔离变压器T组成。其中，一次侧和二次侧电容电压分别为Udc和Uout。一次电流和二次电流分别为iLp和iLs。iL和iout分别为电感电流和负载电流，H1输出电压和H2输入电压分别为Uab和Ucd，一次侧电容和二次侧电容电流分别为iCf和iCout。规定图1中箭头方向为电流正方向，L为变压器漏感和辅助电感之和，Cout为二次侧电容，RL为负载等效电阻，变压器电压比为n。
图1 LC-DAB拓扑
Fig.1 Topology of LC-DAB
由图1可知，用以描述LC-DAB级联系统的电路微分方程可分别表示为
DAB变换器在单移相（Single Phase Shift, SPS）控制下的工作波形如图2所示，其中，定义Ths为半个开关周期，D为H1与H2之间的移相比，0≤D≤1。
由图2可知，在稳态运行工况下，DAB变换器的传输功率Pt与移相比D之间的关系[22]为
图2 SPS控制下DAB变换器工作波形
Fig.2 Working waveforms of DAB converter under SPS control
其中
式中，fs为开关频率。
2 LC-DAB系统阻抗模型与稳定性分析
2.1 DAB变换器平均化小信号阻抗模型
通过对DAB变换器一次电流iLp平均化，在一个开关周期内可得
同理，一个开关周期内，二次侧平均输出电流ILs可表示为
因此根据式（6）和式（7），可得到DAB变换器降阶平均化模型的等效电路如图3所示。
图3 DAB变换器平均值模型等效电路
Fig.3 A verage model of DAB converter
同时将式（6）和式（7）分别进行小扰动和线性化得到DAB变换器的小信号数学模型为
式中，
和
分别为一次、二次电流的扰动分量；
和
为一次、二次侧电容电压的扰动分量；ˆd 为移相比D的扰动分量。
可得到DAB变换器小信号模型的等效电路如图4所示。
图4 DAB变换器小信号模型等效电路
Fig.4 Small signal model of the DAB converter
根据图4可得到DAB变换器的开环小信号输出阻抗ZoutDAB_OL(s)为
由此，可得DAB变换器的小信号模型控制框图如图5所示，图中，GvDAB(s)为输出电压控制器，本文采用PI控制。
图5 DAB变换器小信号模型控制框图
Fig.5 Small signal model control block diagram of DAB converter
进而可推导得出闭环控制下DAB变换器的输入导纳YinDAB_CL(s)为
其中
式中，Kp和Ki分别为PI控制器比例系数和积分系数。
由此可得到DAB变换器的闭环输入阻抗ZinDAB_CL为
2.2 DAB阻抗模型验证
为验证所推导阻抗模型的正确性，本文采用测试信号法。通过在DAB变换器一次侧电容电压Udc侧叠加小信号干扰源
，测量一次电流iLp的小信号响应，最后计算得到在各个频率点的阻抗并与理论推导阻抗模型进行对比。阻抗测量及LC-DAB级联系统小信号简化电路如图6所示。其中，阻抗测量电路如图6a所示，LC-DAB级联系统仿真参数见 表1。
图6 阻抗测量及LC-DAB级联系统小信号简化电路
Fig.6 Impedance measurement and LC-DAB cascaded system small signal simplification circuit
DAB变换器闭环输入阻抗小信号模型与仿真测量阻抗特性曲线如图7所示。实线为根据数学模型推导得到的理论分析值，米字状为通过电路仿真所得到的输入阻抗测量值，从图中可知，仿真测试与理论分析结果基本一致。验证了所推导的输入阻抗模型的正确性，对进一步分析LC-DAB级联系统的振荡及稳定性具有重要的指导意义。
表1 LC-DAB仿真参数
Tab.1 The simulation parameters of LC-DAB
参 数 数值(型号) 开关频率fs/kHz 10 输入电压Uin/V 55 输出电压Uout/V 200 输出电容Cout/μF 2 000 电感L/μH 90 IPM模块 PM75RL1A120 变压器磁心 EE110 变压器电压比n 1/4 滤波电感Lf/mH 10 滤波电容Cf/μF 2 000 负载电阻RL/Ω 130
图7 DAB变换器理论分析与仿真测量阻抗对比
Fig.7 Theoretical analysis and simulation measurement impedance comparison diagram of DAB converter
2.3 LC-DAB稳定性分析
LC-DAB的稳定性可根据级联系统阻抗模型稳定性判据进行分析。当源变换器为电压控制时，阻抗比Tm可表示为Tm=Zout/Zin；当源变换器为电流控制时，Tm的表达式为Tm=Zin/Zout。若Tm满足奈奎斯特稳定性判据，则级联系统稳定；否则级联系统不稳定。本文级联系统小信号简化电路如图6b所示，因此LC-DAB级联型拓扑的阻抗比TmDAB可表示为
式中，ZoutLC为LC滤波器输出阻抗，可根据式（1）和式（2）推导得出，有
同时可得到LC滤波器的谐振频率fr可表示为
DAB变换器闭环输入阻抗与LC滤波器输出阻抗特性曲线如图8所示。当DAB变换器运行在半载工况下时，输入阻抗|ZinDAB_CL|恒大于LC输出阻抗|ZoutLC|，两者曲线完全分离不存在交截，因此在此运行工况下级联系统稳定；但是当运行在全载工况下时，|ZinDAB_CL|减小并且与|ZoutLC|存在交叉，|ZoutLC|最大交叉点值所对应频率为LC谐振频率fr=35.58Hz；同时因为在阻抗幅值的交叉范围内，两者相位差的绝对值恒大于180°，因此LC-DAB级联系统在全载运行工况下易发生振荡及不稳定。
图8 LC-DAB级联系统ZinDAB_CL与ZoutLC阻抗特性曲线
Fig.8 Impedance characteristics of ZinDAB_CL and ZoutLC in the cascaded system of LC-DAB
同样，根据阻抗比TmDAB可得到LC-DAB级联系统的Nyquist曲线如图9所示。当LC-DAB运行在半载工况下时，Nyquist曲线整体位于（−1, j0）点右侧，未包围（−1, j0）点，根据稳定性判据可知级联系统处于稳定状态。但是，当LC-DAB运行在全载工况下时，Nyquist曲线包围了（−1, j0）点，因此级联系统在全载运行工况下会出现振荡甚至发散。以上两种分析方法均说明了LC-DAB级联系统在全载工况下运行时易出现振荡及不稳定的问题。
为解决上述振荡及不稳定问题，首先分析了LC滤波器参数对LC-DAB系统稳定性的影响。级联系统随着滤波电感Lf与滤波电容Cf变化的Nyquist曲线分别如图10a和图10b所示。由图10a可知，随着Lf的逐渐增加，Nyquist曲线越容易包围（−1, j0）点，LC-DAB级联系统越容易发生振荡和不稳定。 由图10b可知，随着Cf的逐渐增大，Nyquist曲线越远离（−1, j0）点，LC-DAB级联系统越稳定。
图9 LC-DAB级联系统Nyquist曲线
Fig.9 Nyquist curves of LC-DAB cascaded system
图10 不同参数下LC-DAB级联系统Nyquist曲线
Fig.10 Nyquist curves of LC-DAB cascaded system under different parameters
由此可知，在设计LC滤波器时，当其截止频率确定后，选取电感和电容参数时应该在合适的范围内增加Cf、减小Lf，从而在硬件设计的源头上降低LC-DAB级联系统的振荡并增强其稳定性。
调整LC滤波器硬件参数的方法较为简单，但实际系统的实施难度大。另一种方式为采用优化LC-DAB级联系统控制环路的思路，使得在特定频率范围内令输入阻抗幅值增加（输入导纳减小），最终实现两者阻抗幅值曲线完全分离，调节级联系统重新恢复至稳定状态。此方案只需对系统的控制策略进行优化，并不需要硬件设备的更换，在具有更好经济性的同时提高了控制系统的灵活性。因此本文后续重点对其展开研究和分析。
由图8可知，级联系统阻抗幅值特性曲线的交叉主要出现在中低频范围内，故优化DAB变换器中低频段的输入阻抗十分重要。可通过在原控制回路中增加一个前馈或者反馈路径，因为前馈或者反馈路径可以分别改变输入阻抗的分母或分子。基于以上思路，本文分别提出了PVI和SVI控制策略。
3 LC-DAB系统稳定性优化
3.1 并联虚拟阻抗控制
根据图5所示的DAB变换器小信号模型控制框图，可知从一次侧电容电压dcˆu到一次电流存在两条前馈路径。若再增加一个前馈路径，则可能在一定程度上减小YinDAB_CL(s)的幅度，从而增大输入阻抗的幅值，使得与LC输出阻抗幅值特性曲线完全分离。
LC-DAB级联系统并联虚拟阻抗控制策略如图11所示，附加基于一次侧电容电压的PVI控制环被引入。其中，前馈控制器由Gpvir(s)表示，可得加入PVI之后的DAB变换器输入导纳Yinpvir_DAB_CL(s)可表示为
其中
图11 LC-DAB级联系统并联虚拟阻抗控制策略
Fig.11 Parallel virtual impedance control strategy for LC-DAB cascaded system
式中，Ypvir_DAB(s)为与DAB变换器中YinDAB_CL(s)所并联的等效虚拟导纳。
因此可得到加入PVI控制环之后的DAB变换器输入阻抗Zinpvir_DAB为
由图8可知，ZoutLC的最大值出现在LC滤波器谐振频率fr处，当频率超过fr时，LC滤波器输出阻抗幅值开始下降，最终将会保持在−20dB/dec的下降速度。然而DAB变换器输入阻抗幅值在中高频率（f≥1kHz）范围内以+20dB/dec上升，因此在高频率范围内两者阻抗值一定不会再次出现交叉，从而不会再次导致级联系统的振荡及不稳定。可知在中低频率范围内增加DAB变换器的输入阻抗十分重要，使得两者阻抗幅值曲线完全分离。因此可得在中低频率范围内Ypvir_DAB(s)应满足
综合考虑控制系统的复杂程度及数字芯片的处理能力，本文采用典型一阶低通滤波器实现PVI控制器Gpvir(s)，具体表达式为
式中，Kpvir为PVI调节系数；ωpr为PVI低通滤波器截止角频率。
由上述分析可得，加入PVI控制器之后，LC- DAB级联系统阻抗特性曲线如图12所示。当Kpvir从0逐渐增加至0.12时，Zinpvir_DAB的阻抗特性曲线逐渐向上平移，阻抗幅值逐渐增加。当Kpvir＞0.06时，输入阻抗Zinpvir_DAB与LC输出阻抗ZoutLC完全分离，系统振荡消失且由不稳定状态重新恢复至稳定。因此理论分析证明了本文所提出的PVI控制策略的有效性。
3.2 串联虚拟阻抗控制
同理根据图5所示的DAB变换器小信号模型，并且由第2.1节的分析可知，从一次侧电容电压
到一次电流存在两条前馈路径。若再增加一个反馈路径，则可能在一定程度上增加ZinDAB_CL的幅度，使得LC-DAB级联系统的Nyquist曲线远离（−1, j0）点，从而降低系统振荡并优化其稳定性。
图12 LC-DAB级联系统Zinpvir_DAB与ZoutLC的 阻抗特性曲线
Fig.12 Impedance characteristics of Zinpvir_DAB and ZoutLC in the cascaded system of LC-DAB
LC-DAB级联系统串联虚拟阻抗控制策略如图13所示，附加的基于一次电流的SVI控制环被引入。其中，反馈控制器由Gsvir(s)表示，可得加入SVI之 后的DAB变换器输入阻抗Zinsvir_DAB_CL 可表示为
其中
式中，Zsvir_DAB为与DAB变换器中ZinDAB_CL所串联的等效虚拟阻抗。
图13 LC-DAB级联系统串联虚拟阻抗控制策略
Fig.13 Series virtual impedance control strategy for LC-DAB cascaded system
类似地，由前述分析可得在中低频率范围内Zsvir_DAB应满足
同样地，采用典型一阶低通滤波器实现SVI控制器Gsvir(s)，具体表达式为
式中，Ksvir为SVI调节系数；ωsr为SVI低通滤波器截止角频率。
由此可得加入SVI控制器之后，LC-DAB级联系统的Nyquist曲线如图14所示。当Ksvir从0逐渐增加至1.2时，Nyquist曲线逐渐呈现从包围（−1, j0）点向与（−1, j0）点完全分离的变化趋势。当Ksvir＞0.8时，Nyquist曲线完全不包围（−1, j0）点，根据奈奎斯特系统稳定性判据可知，LC-DAB级联系统由不稳定状态重新恢复至稳定。因此理论分析同样证明了SVI控制策略的有效性。
图14 不同SVI调节系数下的LC-DAB级联系统 Nyquist曲线
Fig.14 Nyquist curves of LC-DAB cascaded system with different SVI adjustment factors
根据以上分析可知，两种控制策略均能够有效地调节DAB变换器的输入阻抗，减小了LC-DAB级联系统的振荡并提升了其稳定性。其中，两种控制的不同之处为PVI控制需要一个额外的电压传感器测量DAB变换器的一次侧电容电压Udc，而SVI控制需要电流传感器测量DAB一次电流iLp。下面分别对PVI和SVI控制进行验证。
4 实验验证
为验证本文所提出的PVI和SVI控制策略的有效性，本文以TMS320F28335为主控芯片搭建了LC-DAB级联系统小功率实验样机。其中，实验参数与仿真参数一致，可见表1。
4.1 LC-DAB系统振荡现象
当LC-DAB系统输入电压Uin=55V，半载运行（功率为150W）和全载运行（功率为300W），在均未采用PVI和SVI控制策略时，电压电流波形如图15所示。
图15 未采用PVI和SVI控制时，半载和全载工况下LC-DAB级联系统电压电流实验波形
Fig.15 Voltage and current experimental waveforms of LC-DAB cascaded system under half load and full load conditions without PVI and SVI control
由图15a可知，当未采用PVI和SVI控制，LC-DAB级联系统在半载工况下运行时，一次侧电容电压Udc、二次侧电容电压Uout及负载电流iout均保持恒定，并未出现振荡不稳定现象。但是当运行在全载工况下时，Udc出现振荡，且振荡频率约为35.5Hz，和理论分析LC谐振频率fr=35.58Hz基本一致，系统出现振荡不稳定现象。同前述对LC-DAB级联系统的稳定性分析相对应，进一步验证了理论分析的正确性。
4.2 PVI与SVI控制验证
加入PVI或SVI控制前后LC-DAB级联系统电压电流实验波形如图16所示。输入电压Uin=55V时，LC-DAB级联系统全载运行，当运行至t1时刻，加入PVI控制，电压电流波形如图16a所示。同理可得在相同运行工况下，当运行至t2时刻，加入SVI控制，电压电流波形如图16b所示。
图16 加入PVI或SVI控制前后LC-DAB级联 系统电压电流实验波形
Fig.16 Voltage and current experimental waveforms of LC-DAB cascaded system before and after adding PVI or SVI control
由图16a可知，在t1时刻前未加入PVI控制时，LC-DAB系统中电压Udc发生振荡。在t1时刻加入PVI控制后，可看出电压和电流的振荡完全被抑制，LC-DAB系统的稳定性得到了改善；SVI控制加入前后的实验波形如图16b所示，可知加入SVI控制后，电压电流振荡消失，系统逐渐调节至稳定状态。由此验证了本文所提PVI和SVI控制策略的有效性。
全载运行条件下，典型DAB变换器与采用PVI和SVI控制的LC-DAB级联系统的电压电流波形如图17所示，其中，iinacr为输入电流iin的交流分量。
典型DAB变换器的电压电流实验波形如图17a所示，可知，DAB变换器电压电流基本保持稳定，但其输入电流存在较大的波动，电流峰峰值为1.50A，其方均根值为266mA。当运行在加入PVI控制的LC-DAB级联系统时，可知系统电压电流同样保持恒定不变，但是输入电流波动明显减小，电 流峰峰值为520mA，相比典型DAB变换器降低了65.33%，电流方均根值为53.1mA，较典型DAB变换器减小了80.04%。当运行在SVI控制时，DAB变换器输入电流峰峰值为540mA，与典型DAB变换器相比减小64%，电流方均根值为56mA，较典型DAB变换器降低了78.94%。由以上分析可知，加入PVI或SVI控制的LC-DAB系统不但有效地减小了电流谐波进入前级电源和后级DAB变换器，同时增强了LC-DAB系统的抗干扰能力。
图17 典型DAB与LC-DAB级联系统的 电压电流实验波形
Fig.17 Voltage and current experimental waveforms of typical DAB and LC-DAB cascaded system
4.3 动态特性对比实验
当负载功率由全载切换至半载运行一段时间后重新切换至全载。典型DAB变换器与LC-DAB级联系统的电压电流实验波形如图18所示。
图18 负载变化时典型DAB变换器与LC-DAB级联 系统的电压电流实验波形
Fig.18 Voltage and current experimental waveforms of typical DAB converter and LC-DAB cascaded system when load changes
由图18可知，当负载功率变化时，加入PVI或SVI控制策略的LC-DAB系统电压电流始终能够保持稳定。并且当负载功率突降时典型DAB变换器的输出电压动态调节时间约为390ms，而在PVI控制下，LC-DAB系统输出电压调节时间约为350ms，较典型DAB变换器快40ms，同时在SVI控制下，调节时间为约375ms，较典型DAB变换器快15ms。当负载功率突增时典型DAB变换器的输出电压动态调节时间为490ms，而在PVI控制下时，调节时间约为370ms，较典型DAB变换器快120ms，在SVI控制下时，调节时间约为400ms，较典型DAB变换器快90ms。由此可得，加入PVI或SVI控制的LC-DAB系统不仅改善了输入电流质量，而且缩短了输出电压的动态调节时间。
5 结论
本文通过对LC-DAB级联系统小信号数学模型的推导，建立了阻抗模型并对其进行验证。针对LC-DAB所出现的振荡及稳定性问题，分别提出了PVI和SVI控制策略，理论分析和实验结果表明：
1）PVI和SVI控制策略的加入，优化了DAB变换器的输入阻抗，抑制LC-DAB级联系统振荡的同时增强了稳定性。
2）引入PVI和SVI控制能有效改善LC-DAB级联系统的输入电流质量，减小输入电流的波动范围，进而提高系统稳定裕度。
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