轴超前
轴90°电角度，则电磁推力
表示为摘要 针对永磁直线同步电机（PMLSM）伺服系统位置跟踪精度易受参数变化、负载扰动、摩擦力等不确定性因素影响的问题，提出自适应反推全局快速终端滑模控制（ABGFTSMC）方法。首先，建立含有不确定性的PMLSM动态数学模型。然后，采用反推控制将复杂的非线性系统分解成低阶子系统，并利用全局快速终端滑模控制将系统状态快速收敛到平衡点，提高系统的响应速度，增强系统的鲁棒性；再结合自适应控制实时调整切换控制增益值，以便获得合适的切换增益，从而削弱了抖振现象。从理论上证明了该控制方案能够使系统获得快速收敛性和良好的跟踪性。最后，通过系统实验证明了所提出的控制方案不仅具有更快的收敛性，而且具有更快的跟踪性和更强的鲁棒性。
关键词：永磁直线同步电机 反推全局快速终端滑模控制 自适应 抖振 鲁棒性
永磁直线同步电机（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）具有推力大、结构简单、动态响应快、精度高等优点，广泛应用于高精度激光雕刻机、机器人设备、数控机床和XY平台等自动化设备，是高速度高精度设备的首选[1-3]。PMLSM采用直驱的结构，减小了传统机械结构的弹性形变，提高了传动系统的刚度。与此同时，传统机械结构间的各种摩擦力、负载扰动和参数变化等不确定因素都会直接作用于PMLSM动子上，结构上的简化导致了PMLSM控制难度的增加[4-5]。因此，必须设计强鲁棒性控制器对这些不确定性进行抑制，提高系统的控制性能。
近年来，反推控制受到了广泛关注[6]。反推控制是一种基于李雅普诺夫稳定性理论对于严格反馈非线性系统稳定性分析的一个递推过程。反推控制的思想是将复杂的非线性系统分解为一系列低阶子系统，然后为每个子系统分别设计Lyapunov函数和中间虚拟控制输入。在之后的每一步设计中，都可以根据前一步设计中的虚拟控制律得到一个新的虚拟控制律。然而，反推控制需要被控对象的精确建模信息且无法克服扰动[7]。滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）以其响应速度快、暂态性能好、对不确定性具有不敏感等优点在非线性不确定系统的控制中广泛应用[8-9]。为了满足可达性条件，切换增益应大于不确定性的上界。然而，选择一个大的切换增益可能会导致严重的抖振问题[10]。因此，自适应控制是解决切换增益的有效方法。为解决抖振问题，国内外相关学者进行研究并取得一些成果。文献[11]通过在线性滑模中加入非线性项，设计了一种快速终端滑模控制方法，削弱了抖振，保证了系统误差在有限的时间内收敛到零，但当外部干扰过大时，系统的跟踪性能被破坏，系统稳定性得不到保证。文献[12]采用自适应快速终端滑模控制方法，对系统的切换增益参数进行估计，系统跟踪性能得到提高，保证了系统的收敛速度，但当系统状态接近平衡状态时，其收敛速度比较慢。文献[13]提出了一种自适应反推控制方法，用反推控制方法将非线性电机动态方程表示出来，并在此基础上进行递推设计，利用自适应对系统不确定性进行估计，并在控制过程中提供必要的补偿，提高了系统的跟踪性能，但系统的跟踪误差不能在有限时间内收敛为零。
为此，本文设计了自适应反推全局快速终端滑模控制（Adaptive Backstepping Global Fast Terminal Sliding Mode Control, ABGFTSMC）方法。利用反推控制能更好地将复杂的非线性系统分解成低阶子系统，使系统对参数不确定性和外部扰动具有强鲁棒性；采用全局快速终端滑模控制能改善系统的动态响应，使系统状态在接近平衡状态时能够更快地收敛到平衡点；自适应控制能够实时在线调整以获得合适的切换增益，来削弱抖振现象。实验结果表明，该方法能够削弱抖振，提高系统的跟踪性能和鲁棒性能。
本文选用非凸极型PMLSM，其中PMLSM采用dq轴电流控制，轴超前轴90°电角度，则电磁推力表示为
（1）式中，
、
为、轴电流，
、
为、轴电感；
为极对数；
为极矩；
为基波磁链。
根据磁场定向原理，取
，为了设计方便，假设
，电磁推力可简化为
（2）
（3）
式中，
为电磁推力常数。
PMLSM的机械运动方程为
（4）式中，
为PMLSM的动子总质量；
为动子速度；
为粘滞摩擦因数；
为非线性扰动，包括系统外部扰动、非线性摩擦力和系统参数变化等。
不考虑扰动时，动态方程为
（5）式中，
为动子位置；
；
；
为控制器输出，即推力电流
。
考虑扰动时，动态方程为
（6）
式中，
；
、
和
分别为系统参数和所引起的不确定量。
（7）这里，假设
有界，即
，
为不确定性总和的上界，为一正常数。
基于ABGFTSMC的PMLSM伺服系统框图如图1所示。图1中，ABGFTSMC采用BGFTSMC和自适应控制相结合的方法设计，参考位置输入信号
与PMLSM系统实际位置输出信号
生成的跟踪误差信号
用于BGFTSMC的第一步。然后，将生成的虚拟控制输入
用于BGFTSMC的第二步。BGFTSMC实现系统在有限时间内收敛，提高系统状态接近平衡点时的快速性；自适应控制在线实时估计系统的切换增益，削弱抖振，进一步提高系统的鲁棒性。
图1 基于ABGFTSMC的PMLSM伺服系统框图
Fig.1 Block diagram of PMLSM servo control system based on ABGFTSMC
为了提高系统的鲁棒性和使系统状态能够快速地收敛到平衡点，将反推控制和滑模控制结合起来，设计出BGFTSMC。该控制器设计的目的是找到一个适当的控制律，从而满足下列渐近跟踪条件：①
；②闭环系统是稳定的。
反推设计方法包括两个步骤。首先，利用Lyapunov函数
构造虚拟控制输入。在此基础上，得到实际的输入控制律。设计程序如下。
（1）定义位置跟踪误差为
（8）
（9）
为保证稳定性，构造第一个Lyapunov函数为
（10）
（11）
虚拟控制输入为，则
（12）式中，
为一个非零正常数；
为滑模面。
将式（12）代入式（11）得
（13）当
时，
（14）
综上，由Lyapunov定理证明了位置跟踪误差的稳定性。
（2）选择合适的滑模控制，并证明其稳定性。
采用全局快速终端滑模控制，将得到的实际控制信号作用于PMLSM。滑模控制的设计包含两个基本阶段：第一阶段，保证系统的所有状态量到达滑模面；第二阶段，使状态量保持在滑模面上，以达到期望值。
定义全局快速终端滑模面为
（15）式中，
为非零正常数；
。
设
到
的时间为
，然后有
，
是一个正常数。也就是说，系统状态可以在内到达滑模面。在达到滑模面的瞬间
，设到
的时间为
，在此阶段，
，即
（16）通过选取合适的参数
就能使系统状态在有限时间收敛到平衡状态。接下来开始设计控制系统的控制律，对式（15）求导得
（17）
为了证明系统状态的稳定性，同时保持状态始终在终端滑模面上，定义整个系统的李雅普诺夫函数为
（18）对
求导得
（19）
将式（9）、式（12）代入式（19）得
（20）
由式（20）得BGFTSMC的等效控制律为
（21）
为了提高系统对扰动和参数不确定性的鲁棒性，选择切换控制律为
（22）式中，
为符号函数；
为切换增益，
，通过选择合适的值，可以减少抖振现象。
因此，总的控制律为
（23）
将式（23）代入式（20）得
（24）在BGFTSMC设计中，的上界是已知的。选择合适的值为
（25）
式中，
是正常数。因此，
是负的，由Lyapunov稳定性定理可知系统渐近稳定。
在实际应用中，的上界是很难得到的。于是，在BGFTSMC中引入自适应控制实时估计系统不确定性的上界值。
在式（23）中用
代替，则ABGFTSMC的控制律为
（26）
式中，是的估计值。
设计自适应律为
（27）式中，
是非零正常数。
为了确定和证明系统的稳定性，令
和构造Lyapunov函数为
（28）对
求导得
（29）将式（26）代入式（29）得
（30）将式（27）代入式（30）得
（31）
这表明
是负半定函数，而是正定函数。因此，在有限时间内状态量能够到达滑模面并保持在滑模面上。此外，从
到
对式（30）积分得
（32）根据Barbalat引理，因为
是有界的，所以可知
。也就是说
渐近收敛于零。最后，ABGFTSMC能够保证系统渐近稳定和使输出的跟踪误差在有限时间内衰减到零。
基于DSP的PMLSM控制系统结构如图2所示。选用TMS320F2812A的DSP作为核心控制单元，整流器和IPM组成的主电路作为PMLSM的供电电路。电流传感器和直线光栅尺作为检测电路，将检测到的信号传送给DSP进行实时监测处理。一旦系统发生故障，DSP就会立即产生故障保护信号进行处理。
图2 基于DSP的PMLSM控制系统结构
Fig.2 Structure diagram of PMLSM control system based on DSP
实验中PMLSM的参数：
，
，
，
，
，
，
。实验中对系统参数进行多次调试以获得最优的系统性能。SMC的参数：
，
，
。BGFTSMC的参数：
，
，
，
，
，
。ABGFTSMC的参数：，，，，，
。
分别对采用SMC、BGFTSMC和ABGFTSMC的PMLSM控制系统进行实验研究，验证所提出的ABGFTSMC方案的有效性。首先，给系统输入两种不同的信号进行三组实验：①幅值为1mm的阶跃信号，在0.5s给系统突加
的负载扰动；②幅值为1mm，频率为0.16Hz的正弦信号；③幅值为1mm的阶跃信号，给系统突加变化的负载扰动。然后，通过系统实验对比验证PMLSM控制系统的跟踪性和鲁棒性。
在情况①下，采用三种控制方法的系统位置跟踪曲线如图3a所示。由图可知，BGFTSMC和ABGFTSMC虽然都有一定的超调量，但是在0.08s时系统已经达到稳定状态，收敛速度都比SMC快。在0.5s系统突加外部扰动的情况下，ABGFTSMC能够在短时间内使系统快速恢复到稳定状态，从而使系统具有更强的鲁棒性。其位置误差曲线如图3b所示，在0.5s突加扰动后采用ABGFTSMC方法的位置跟踪误差能够快速地收敛到零，而采用BGFTSMC和SMC方法的位置跟踪误差不仅没有快速地收敛到零，而且位置跟踪误差反而变大了，导致系统的鲁棒性进一步变差。综上所述，ABGFTSMC提高了PMLSM伺服系统的跟踪性能和鲁棒性能。
图3 阶跃输入的SMC、BGFTSMC和ABGFTSMC系统位置曲线
Fig.3 Position curves of SMC, BGFTSMC and ABGFTSMC system for step input
在情况②下，采用三种控制方法的系统位置跟踪曲线如图4a所示，从波谷的局部放大图看出，采用ABGFTSMC方法的位置跟踪曲线基本上和给定信号曲线完全重合，而BGFTSMC方法的位置跟踪曲线在给定信号曲线上下浮动，SMC方法的位置跟踪曲线跟踪给定信号的能力最差。系统位置跟踪误差曲线分别如图4b～图4d所示。由图可知，采用ABGFTSMC方法的位置跟踪误差比其他两种方法都小。SMC的位置跟踪误差最大，误差稳定在10mm左右，BGFTSMC的位置跟踪误差稳定在3mm左右，这两种控制方法渐近收敛于零的速度比较慢。而ABGFTSMC在电机刚起动时位置跟踪误差最大为2mm，随后位置跟踪误差就朝着逐渐收敛于零的趋势快速收敛，抖振现象明显改善；与BGFTSMC相比，表明自适应控制实时在线估计PMLSM伺服系统中的不确定性，能够削弱抖振。综上所述，ABGFTSMC系统有更高的跟踪精度，响应速度更快且抖振现象有明显改善。
在情况③下，系统突加的变负载扰动曲线如图5a所示，系统位置跟踪曲线如图5b所示，在0.5s突加10N负载后，只有SMC曲线开始偏离期望位置轨迹。随着负载进一步变大到20N时，ABGFTSMC和BGFTSMC曲线才开始偏离期望位置轨迹，但两种曲线很快就被调节朝着期望轨迹靠近，其中ABGFTSMC只需0.2s就又重新回到了平衡位置，表现出较强鲁棒性。随着负载的减小，在1.5s时BGFTSMC和SMC曲线也开始朝着平衡位置运动，明显看出BGFTSMC比SMC先回到平衡位置，表现出较强的快速性。系统的位置误差曲线如图5c所示，随着负载不断变化，ABGFTSMC的位置跟踪误差较小，跟踪误差趋近零的响应速度更快。综上所述，ABGFTSMC具有更强的鲁棒性能。
图4 正弦波输入的SMC、BGFTSMC和ABGFTSMC系统位置曲线
Fig.4 Position curves of SMC, BGFTSMC and ABGFTSMC system for sinusoidal input
图5 阶跃输入的SMC、BGFTSMC和ABGFTSMC系统位置曲线
Fig.5 Position curves of SMC, BGFTSMC and ABGFTSMC system for step input
通过分析PMLSM伺服系统存在参数变化和负载扰动等不确定性因素的问题，设计了BGFTSMC和ABGFTSMC两种控制方案。在BGFTSMC控制方案的基础上设计了一种自适应律来估计系统中不确定性参数的上界。对于PMLSM伺服系统，考虑了两种不同输入和外部扰动的情况，研究了所设计控制器的性能。通过对比分析系统实验结果得出，与传统SMC相比，采用全局快速终端滑模面能使系统状态和位置跟踪误差分别收敛到平衡点和零点，速度更快；与BGFTSMC相比，ABGFTSMC具有更强的鲁棒性。
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Adaptive Backstepping Global Fast Terminal Sliding Mode Control for Permanent Magnet Linear Synchronous Motor
Abstract The position tracking accuracy of permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM) servo system is easily affected by uncertain factors, such as parameters change, load disturbance and friction and so on. Therefore, an adaptive backstepping global fast terminal sliding mode control (ABGFTSMC) method is proposed. Firstly, the PMLSM dynamic mathematical model with uncertainty is established. Then, the complex nonlinear system is decomposed into low order subsystems by the backstepping control, and the state of the system is rapidly converged to the equilibrium point by the global fast terminal sliding mode control, which can improve the response speed and robustness of the system. In order to obtain the appropriate switching gain, the chattering phenomenon is reduced by adjusting the gain value of the switching control with adaptive control in real time. It is proved theoretically that the control scheme can make the system obtain fast convergence and good tracking performance. Finally, the system experiments show that the proposed control scheme not only has faster convergence, but also has faster tracking and stronger robustness.
keywords：Permanent magnet linear synchronous motor, backstepping global fast terminal sliding mode control, adaptive, chattering, robustness
中图分类号：TP273；TM351
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.181971
辽宁省自然科学基金计划重点项目（20170540677）和辽宁省教育厅科学技术研究项目（LQGD2017025）资助。
收稿日期2018-12-28
改稿日期 2019-05-29
付东学 男，1992年生，博士研究生，研究方向为电机控制、智能控制。E-mail: 18629974521@163.com
赵希梅 女，1979年生，教授，博士生导师，研究方向为电机控制、机器人控制、智能控制等。E-mail: zhaoxm_sut@163.com（通信作者）
（编辑 赵 鹏）