0 引言
永磁直线同步电机（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）以其优异的性能在交通运输、无绳电梯直驱系统、精密运动控制等工业领域具有广阔的应用前景[1-3]，吸引了越来越多的科研院校和企业科研人员从事PMLSM 的研发。随着PMLSM 理论研究的不断深入和完善，对其磁场解析准确度要求越来越高，传统解析方法已不能满足电磁参数解析精度的要求，而解决这一问题关键就在于要考虑所有齿槽效应对电机气隙磁场的影响。针对传统PMLSM 解析理论在齿槽效应对气隙磁场影响的求解上存在局限性，为得到PMLSM 的精确磁场分布，本文建立PMLSM 精确子域模型，旨在解决所有齿槽效应对永磁直线同步电机复杂气隙磁场的影响，对进一步完善传统PMLSM 理论具有重要指导意义。
1 PMLSM 的磁场解析模型
PMLSM 中传统磁场分析方法主要采用以下几种模型：
（1）等效磁路模型[4-5]，具有物理概念直观、简洁等优点，常用于电机的初始设计中。由于PMLSM具有气隙大、漏磁显著、磁路复杂等特点，此方法因结构参数表达式不够详细，计算误差较大，难以处理复杂电磁场理论。
（2）等效磁网络模型[6-7]，计算精度高于等效磁路法，能考虑磁路局部饱和，但相邻节点的磁导求解困难，节点移动前后数据处理计算量大，模型缺乏通用性。
（3）分层模型法[8-9,11]，广泛应用于永磁直线电机电磁场解析。分层时齿槽区域采用卡氏系数模型[8]、齿槽区磁导率线性模型[9]、二维气隙相对磁导函数模型[10-11]考虑齿槽效应的影响。卡氏系数模型和齿槽区磁导率线性模型仅考虑了齿槽区域的平均磁通密度，不能反映齿槽在空间位置上对气隙磁通密度的影响。二维气隙相对磁导函数模型能正确反映结构参数对电磁参数的影响，是目前考虑齿槽影响应用最广的模型，但该模型仍存在一定局限性：以单槽为分析模型，忽略了相邻槽之间的影响，结构上假设槽为无限深，且无法准确计算齿槽效应对切向磁通密度造成的影响。
（4）保角变换模型[12-14]，能准确计及齿槽开槽影响的法向磁通密度和切向磁通密度，但其计算方法类似数值解法，结构参数与电磁参数之间难以用关系式表示，在直线电机中应用不多。
（5）精确子域模型[15-23]。前四种模型均为永磁直线电机经典解析法中常采用的分析方法，未能准确考虑所有槽与槽在空间位置上对气隙磁通密度的影响。精确子域模型是一种处理复杂电磁场问题的精确解析方法，它将求解场域分为若干子域，如永磁体、气隙、定子槽子域，直接求解各子域控制方程，从而可以精确地处理开槽引起的复杂磁场问题，近些年广泛用于旋转电机电磁场分析[15-21]。Liu Z.J.等提出由一极一槽构成的单元区域精确子域模型，得到了计及单一齿槽效应时的精确磁场分布，但未能考虑相邻齿槽之间的相互影响[15]。文献[16]建立了平行、径向磁化旋转永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）矢量磁位精确子域模型，考虑了永磁体相对于磁导率、槽深和槽与槽之间相互作用对磁场分布的影响，适用于每极整数槽结构。文献[17-18]建立了平行、径向磁化，内外转子PMSM 在任意极槽配合下的开口槽精确子域模型，计及所有槽与槽之间共同作用对气隙磁场的影响，进一步完善了PMSM 理论，精度更高，应用范围更广。考虑到槽型实际结构，文献[19]对电机解析模型进一步改进，分析了更接近实际的PMSM半闭口槽结构。为计及更复杂结构情况下转子开槽的影响，文献[20]对PMSM 定转子双边开槽各子域空载磁场进行了解析计算。为减小计算量，文献[21]将周期性边界条件引入精确子域模型，建立了考虑磁性槽楔的PMSM 磁场解析模型。以上文献多采用极坐标系以矢量磁位求解PMSM 磁场。文献[22-23]采用矢量磁位精确子域模型精确计算计及端部效应的PMLSM 磁阻力，采用极坐标系将直线电机等效成旋转电机，将直角坐标系变换为极坐标系以方便分析计算。本文对PMLSM 空载磁场精确计算将更有益于研究其推力及磁阻力。
针对PMLSM 传统解析理论在齿槽效应对气隙磁场影响的求解上存在局限性，为得到精确的磁场分布，本文提出建立PMLSM 精确子域解析模型。考虑永磁体相对磁导率、槽深和槽与槽之间相互作用对磁场分布的影响，在直角坐标系下用标量磁位建立永磁体、气隙和槽子域拉普拉斯方程，并分析端部等效模型，解析计算出各子域磁位和磁场分布。有限元结果证明了解析解的精确性。
2 精确子域模型解析
2.1 基本假设
对PMLSM 做如下基本假设：①定动子铁心磁导率为无穷大，不计铁心饱和影响；②永磁体相对磁导率为其实际磁导率，槽为开口槽；③忽略端部效应。
PMLSM 精确子域模型如图1 所示。图中， Lm为磁极长，τ 为极距， hm 为永磁体高，δ 为气隙长度， hs 为槽高， bs 为槽宽， bt 为齿宽， ts 为齿距，总槽数为 z1 。
图1 PMLSM 精确子域模型
Fig.1 Accurate subdomain model of PMLSM
令 
空气和永磁体区域磁感应强度B 和磁场强度H 的关系如下。
在空气区域
在永磁体区域
式中，M 为永磁体磁化强度； 0μ 为空气磁导率； rμ为永磁体相对磁导率。
磁场强度为
式中，φ 为标量磁位。
一对极下槽数为
式中，p 为极对数。
将二维直角坐标系固定在定子上，以第 pz 槽的中心为初始位置，则第i 槽的初始位置定义为
2.2 各子域标量磁位通解
分三个子域：永磁体子域1、气隙子域2、槽子域3 i
各子域之间相互影响。
采用直角坐标系，以标量磁位为变量计算磁场，以上三个子域均为拉普拉斯方程。各子域控制方程如下。
永磁体子域1：
磁化强度分布函数如图2 所示，将永磁体等效成磁化强度分布函数M(x)，对其傅里叶级数展开得 
其中
式中， pα 为永磁体极弧系数，
为永磁体磁化强度
为永磁体剩磁， 0μ 为空气磁导率；
图2 磁化强度分布函数
Fig.2 Magnetization distribution function
永磁体等效电流密度为
式中， pm( )xJ 为永磁体等效电流密度。
令永磁体极间中心移动位置为 xΔ ，则
式中
气隙子域2：
第
个槽子域3 i：
由此可知永磁体子域1、气隙子域2 和槽子域3 i 的标量磁位通解如下。
永磁体子域1[15]标量磁位通解为
气隙子域2[15]标量磁位通解为
第i 槽子域：根据图1，各槽域边界磁位为
式中， s( , )x yφ 为齿槽表面磁位。
由式（14）和式（15）可知
可表示为
式中，
m 为槽谐波次数。
因
得第i 槽子域标量磁位通解为
2.3 边界条件
根据各子域边界之间的关系，建立各边界条件系数方程。各子域交界处边界条件如下。
定子轭和永磁体边界
永磁体和气隙边界
气隙和各个齿槽边界
由边界条件式（20）得
由边界条件式（21）得
由边界条件式（22）得
由边界条件式（23）可知槽口表面和气隙边界磁位连续，得
根据式（29）可知
槽口表面磁位为
式中
齿表面磁位为
为了求解式（29），将 s( , )x yφ 进行傅里叶级数展开得
由式（29）、式（30）、式（33）、式（34）和式（35）得
由边界条件式（24）可知，气隙子域和齿槽子域表面边界处法向磁通密度连续：
由式（19）知槽子域气隙磁密与磁位关系为
式中
为了求解式（24），将式（41）在第i 个槽口区
作傅里叶级数展开得
式中
Csi(m)为积分系数，由式（44）和式（45）确定。化简Csi(m)得
由式（24）、式（43）和式（44）知
2.4 积分系数方程及磁场系数确定
根据各边界系数方程之间的联系，可以建立积分系数方程，从而确定磁场方程各个系数。
由式（25）～式（27）和式（40）推出
由式（48）～式（50）得到谐波系数
可由式（51）解出。
式中， j=1, 2,···, M，为槽子域谐波次数；l=1, 2, ···, pz 。式（51）考虑了一对极下所有槽与槽之间标量磁位的影响。为方便计算，将式（51）写成矩阵形式为
式（52）又可以写为
式中，
因此系数 C3t为
又为了防止计算溢出，由式（31）和式（48）得
令
由式（55）得
将式（56）转换为矩阵形式
可知
因此
由式（51）和式（53）知 As(n) 和 Bs(n) 写成矩阵形式为
因此可求出n 行1 列矩阵 As 、 Bs ，提取其中的元素。
又由式（40）、式（49）和式（50）推出磁场方程系数 A2(n) 、 B2(n) 、 C2(n) 、 D2(n) 、 A1(n) 、 B1(n) 、
由式（62）和式（63）两式得到
A1(n) 、 B1(n) 、 C1(n) 和D1(n) 由式（25）和式（26）推导出
从而得到
3 各子域磁场解析
1）磁位求解。将 A1 ( n) 、 B1 ( n )、C 1 ( n )、 D1 ( n) 、A2 ( n )、B 2 ( n )、C 2( n )和 D2 ( n )代入到 φ1( x , y)、φ 2( x, y)和 φ3 i ( x, y)中得到各子域磁位。
2）各子域磁密求解
永磁体子域：
气隙子域：
第i 槽子域：
令 s 0h= ，则得到不考虑齿槽效应时的气隙磁通密度 
因
得到
即由精确子域模型同样可得到不考虑齿槽效应时各区域的气隙磁场。因此考虑齿槽效应时，积分系数
中包含了所有齿槽效应对气隙磁场的影响信息。
3）端部区域磁密求解
端部磁场分析是将电枢铁心等效成一矩形块，用许-克变换法和高斯逼近法得到端部气隙磁场和端部等效气隙长度分别为[24]
式中， end( )B x 为端部气隙磁密；
为无齿槽时的气隙磁通密度； eg 为定动子耦合区域等效气隙长度，
为端部等效气隙长度，其值随x 的增加而逐渐增大。由
知电机端部等效模型如图3 所示，电机最右端齿边界处选为坐标原点，整个电机端部磁场等效成以下三个区域：
图3 端部等效模型
Fig.3 Equivalent model of end area
（1）定动子耦合区域磁场（ x ≤ -ge ）。此区域内磁场不受端部开断的影响，磁通密度即为式（67）、式（68）。
（2）端部作用区域磁场（ - g e ≤ x ≤ 1.25ge ）。受端部开断的影响，等效为图中虚线所示的定动子耦合区域，因此用 δen d( x)替代式（67）和式（68）无齿槽磁密解析式 
和 
中的等效气隙
，得到端部作用区域磁场
和
（3）永磁开路区域磁场（ x ≥ 1.25ge ）。永磁体与电枢已不耦合，气隙为无穷大，端部磁场为永磁体开路磁场。令
，气隙很大相当于永磁磁场为开域场，而气隙中心磁通密度仍取距磁极表面δ /2 处，将
替代式 
和 
中的等效气隙得到永磁开路区域磁场
和
上述区域构成了PMLSM 整个右端部区域磁场分布。左端部磁场分析方法类似，此处不再叙述。电机为整数槽时，左右端部磁场具有对称性。
4 磁场分布
以一台PMLSM 为例，样机主要结构参数见表1，以此得到电机气隙磁通密度。
表1 PMLSM 结构参数
Tab.1 The structure parameters of PMLSM
参 数 数 值 电枢齿数 1z 18 极对数p 3 极距τ/mm 39 槽宽 tb /mm 8 槽高 sh /mm 28 齿距 st /mm 13 永磁体高 mh /mm 7 永磁体长 mL /mm 27 永磁体相对磁导率 rμ 1.05 永磁体剩磁 rB /T 1.2 气隙δ/mm 5
4.1 各子域标量磁位分布
根据PMLSM 结构参数和磁位解析式（12）、式（13）和式（19），得到气隙中心磁位、气隙与磁极交界表面磁位、气隙与齿槽交界表面磁位如图4a 所示，图中初始位置选取在磁极极间轴线与槽中心重合处。移动动子，磁极极间轴线与齿中心重合处磁位如图4b 所示。
图4 标量磁位分布
Fig.4 Scalar potential distribution
由图4 可知，磁位随着动子移动进行了相应的移动。三个交界面磁位随气隙增大逐渐下降。在一对极距内，相邻磁极极性相反，磁位一半为正，一半为负。因考虑了所有槽与槽之间的相互影响，越靠近齿槽，磁位波形畸变越明显，动子移动后各交界磁位波形随齿槽位置不同明显变化。气隙与齿槽表面交界处所有齿部表面磁位基本为0，与理论分析一致。
4.2 各子域磁通密度分布
初始位置选取在槽中心，磁极极间轴线对齐槽中心位置时，永磁体表面、气隙与齿槽交界表面、气隙中心处的法向和切向磁通密度如图5 所示。
图5 磁通密度分布
Fig.5 Flux density distribution
由图5 可知，在永磁体表面、齿槽表面和气隙中心处，精确子域解析模型得到的各子域磁通密度和有限元结果基本重合，证明了解析法的精确性。从以上图形可以看出电枢开槽引起气隙磁导变化，气隙磁通密度变化综合考虑了所有槽效应影响，越靠近齿槽表面，齿槽效应越显著。
4.3 端部区域磁密分布
解析法和有限元法得到的端部区域磁通密度如图6 所示，两种方法吻合较好。 x= 0处为动子右端部边界。 x ≤ -12mm 为定动子耦合区域， -1 2mm＜ x≤ 15mm 为端部作用区域磁场，磁场逐渐向开路磁场过渡， x＞1 5mm 为永磁开路区域磁场。可以看到端部磁场不对称，从而产生了端部力。
图6 端部区域磁通密度分布
Fig.6 Flux density distribution of end area
由此可知，精确子域法可精确快速计算出各个结构参数对磁通密度的影响，其解析精度几乎与有限元数值解一致。与传统分层模型相比，分层模型思路直观、求解方便，而精确子域是分层模型求解区域的进一步细化。与有限元法相比，无需考虑模型剖分、各媒质区域剖分疏密合理程度、结构参数优化、后处理等造成的大量时间、精力投入，使计算效率大幅提高。总之，精确子域法计算速度同磁路法，计算精度同有限元法，是一种处理复杂场域问题的高效解法，对电机后期优化设计具有重要意义。
5 结论
1）提出的PMLSM 精确子域模型可以解决齿槽效应引起的复杂磁场分析问题。该解析模型综合考虑了永磁体相对磁导率、槽高和槽与槽之间相互作用对不同媒质区域磁场分布的影响，建立了磁极、气隙和槽子域的控制方程。
2）推出了PMLSM 精确子域模型标量磁位和磁密解析式，给出了各媒质区域相应的磁场分布，指出系数方程 s( )A n 和 s( )B n 包含了所有齿槽效应对气隙磁场的影响。有限元结果表明解析结果精度较高，解决了所有槽与槽之间的齿槽效应及端部区域对气隙磁场的影响问题，为分析电机其他电磁参数及其电磁性能奠定了基础。
3）从磁通密度方程式中的系数方程 As(n)和Bs(n)可知气隙磁通密度的准确性在很大程度上除了与齿槽效应的影响有关外，还取决于永磁磁化强度分布函数的准确性。
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