0 引言
永磁电机因其高功率密度、高功率因数、高效率的优点被广泛应用在航空航天、电动汽车、家用电器等领域[1-4]。然而在永磁电机中，永磁体和定子齿槽相互作用产生的齿槽转矩，会产生额外的转矩脉动，影响电机控制精度。因此，如何降低齿槽转矩一直是永磁电机领域研究的热点之一。
对齿槽转矩的分析方法主要包括有限元法[5-6]和解析法[7-10]。有限元法计算速度快、精度高，但不能揭示齿槽转矩的产生机理。解析法通过理论推导，能够对齿槽转矩的成因进行解释，对降低齿槽转矩有一定指导意义。目前，学者们通常采用能量法对齿槽转矩进行解析分析[8]。
近年来，随着磁场调制型电机异军突起，一种与之对应的新电机理论——磁场调制理论引起了学者们的广泛关注。起初磁场调制理论仅被应用在磁齿轮电机[11-12]、游标电机[13-14]、反向磁通电机[15-16]和磁场调制型双转子电机[17-18]等几类特殊的电机当中。后来学者们渐渐发现，传统电机中的许多电磁问题都可以用磁场调制原理进行解释[19-20]。由此，发展出了一种基于磁场调制原理的新电机研究理论，为传统电机设计和分析提供了新的思路。
本文将结合能量法和磁场调制理论，提出一种新的永磁电机齿槽转矩分析方法，对永磁电机齿槽转矩的产生机理进行解释，并应用该方法对齿槽转矩表达式进行推导。之后以几种采用常见极槽配合的电机为例进行有限元仿真，对其齿槽转矩进行研究，验证理论分析的正确性。基于本文提出的齿槽转矩分析方法，可以为抑制齿槽转矩提供设计思路。
1 磁场调制原理简述
为方便后文运用磁场调制原理对齿槽转矩进行分析，本节首先对磁场调制原理进行简单的介绍。如果电机的气隙长度随圆周位置角θ 变化而变化（例如开槽电机），则气隙磁导不再是常数，而是关于θ 的周期函数。此时，气隙磁通密度可以表示成相对气隙磁导函数和均匀气隙下磁通密度函数的乘积[21]，即
式中，均匀气隙下的磁通密度函数Bslotless(θ,t)在空间上表现出的周期和其励磁磁动势的空间周期一致，相对气隙磁导函数Ggap(θ,t)的空间周期和磁导变化的周期一致。
通过傅里叶变换可以将Bslotless(θ,t)和Ggap(θ,t)表示为一系列正弦波的叠加。由三角公式可知，空间上周期数为 Bp 的正弦磁通密度函数和周期数为 Gp的正弦相对气隙磁导函数相乘，可得到两个新的正弦磁通密度函数，称为调制磁场磁通密度函数，其周期数分别为
若原磁场和气隙磁导分别以ΩB 和ΩG 的角速度旋转（对于开槽引起的交变气隙磁导，ΩG 为0），则两者作用产生的两个调制磁场的旋转速度分别为
综上所述，正弦分布的旋转磁场在交变气隙磁导的调制作用下，形成两个新的调制磁场，其周期数为原磁场周期数和气隙磁导周期数的和或差，其转速由原磁场转速和气隙磁导转速共同决定。
2 齿槽转矩机理分析
齿槽转矩是永磁电机中的特有问题，是电机绕组不通电时永磁体和有槽铁心相互作用产生的。从磁场能量变化的角度出发，可以将齿槽转矩理解为：由于定子铁心齿槽的存在，气隙磁导呈周期性分布，永磁转子转动引起气隙磁场储能周期性变化，进而产生齿槽转矩。下面基于能量法对齿槽转矩进行推导。
以表贴式永磁电机为例进行分析，表贴式永磁电机的二维简化模型如图1 所示。
图1 表贴式永磁电机示意图
Fig.1 Diagram of surface-mounted permanent magnet machine
为简化分析过程，做出如下假设：铁心磁导率无穷大；永磁体相对回复磁导率和空气一致；气隙和永磁体中的磁通密度在径向上保持一致[22]。此时电机的磁场能量几乎全部储存在气隙和永磁体中。电机内的磁共能可以表示为[10]
式中，B(θ,α)为气隙和永磁体中的合成磁通密度，由永磁磁动势和气隙磁导共同作用产生，其空间分布随着永磁体和定子齿的轴线夹角α 变化而变化；V为气隙和永磁体区域的总体积。气隙和永磁体中的磁通密度沿圆周的分布可以表示为
式中，Bslotless(θ,α)为定子不开槽时永磁磁动势在气隙产生的磁通密度函数；Ggap(θ,α)为定子开槽后气隙相对磁导函数。
Bslotless(θ,α)和Ggap(θ,α)均为周期函数，可分别对其进行傅里叶展开。定义定子齿轴线处为原点位置，则Bslotless(θ,α)和Ggap(θ,α)的傅里叶展开式为
式中， Bp 为无槽气隙磁通密度基波周期数； Gp 为相对气隙磁导基波周期数。在永磁体和定子槽均匀分布的电机中， Bp 等于永磁转子极对数， Gp 等于定子槽数。
将式（7）～式（9）代入式（6）中，得
式中，Bim(θ,α)为无槽气隙磁通密度第i 次谐波和相对气隙磁导第m 次谐波相互作用产生的调制磁场磁通密度分布函数。
将式（11）代入式（10）中，得
齿槽转矩等于电机内磁共能对转子位置α 的偏导
将式（12）代入式（13）中得
式中
从式（14）中可以看出，齿槽转矩由若干转矩分量叠加而成，各个分量具有相同的数学形式。下面对任意分量Ti,j,m,n 进行讨论。将分量Ti,j,m,n 中的体积分展开，得
式中，l 为电机的轴向长度；g为等效气隙长度；r 为气隙平均半径。
由第1 节的分析可知，调制磁场Bim(θ,α)由两个正弦分量构成，同理，调制磁场Bjn(θ,α)也由两个正弦分量构成。对式（11）运用三角变换公式，可以得到Bim(θ,α)的两个分量。
式中
由此可见，周期数为ipB 的无槽气隙磁场经过周期数为mpG 的相对气隙磁导调制，产生了周期数分别
的调制磁场，且这两个调制磁场的轴线和定子齿轴线的夹角分别为
同理，可以得到Bjn(θ,α)的两个分量为
由三角函数的正交性可知，只有当Bim(θ,α)中某一分量的周期等于Bjn(θ,α)中某一分量的周期时，式（16）中的积分才不为0。对满足上述条件下的齿槽转矩分量表达式进行计算，得到的结果见表1。从表1 可以看出，当满足条件（b）～（i）中的任意一个时，转子转动过程中会受到交变电磁力的作用，即会产生齿槽转矩。要产生周期数为Pcog 的齿槽转矩，永磁体磁场谐波次数i 和j、气隙磁导谐波次数m 和n 需满足
表1 不同条件下齿槽转矩分量表达式
Tab.1 Expressions of cogging torque components under different conditions
产生转矩的各个条件 转矩分量Ti,j,m,n 表达式 （a） 0 m n= = 0 （b）B G 0, 0, m n i j p n p=≠-= () () ( )B B 0 sin 4 i j m n lgrB B G G i j p i j p α μ-π--■ ■■ ■（c）B G 0, 0, m n i j p n p=≠+= () () ( )B B 0 sin 4 i j m n lgrB B G G i j p i j p α μ-π++■ ■■ ■ （d）B G 0, 0, m n i j p m p≠ = - = ( ) ( ) ( )B B 0 sin 4 i j m n lgrB B G G i j p i j p α μ-π--■ ■■ ■ （e）B G 0, 0, m n i j p m p≠ = + = ( ) ( ) ( )B B 0 sin 4 i j m n lgr B B G G i j p i j p α μ-π++■ ■■ ■（f）B G 0, 0, m n i j p m n p≠≠-= - () () ( )B B 0 sin 8 i j m n lgrB B G G i j p i j p α μ-π--■ ■■ ■ （g）B G 0, 0, m n i j p m n p≠≠-= + () () ( )B B 0 sin 8 i j m n lgrB B G G i j p i j p α μ-π--■ ■■ ■（h）B G 0, 0, m n i j p m n p≠≠+= - () () ( )B B 0 sin 8 i j m n lgrB B G G i j p i j p α μ-π++■ ■■ ■（i）B G 0, 0, m n i j p m n p≠≠+= + () () ( )B B 0 sin 8 i j m n lgrB B G G i j p i j p α μ-π++■ ■■ ■
由于谐波次数i、j、m、n 都是正整数，因此齿槽转矩的周期数一定是永磁转子极对数pB 和定子槽数pG 的公倍数。需要特别说明的是，在N 极和S极对称分布的电机中，永磁体产生的磁场仅含有奇次谐波，
为偶数，此时齿槽转矩的周期数为极槽的公倍数。
从齿槽转矩幅值的表达式可以看出，齿槽转矩幅值与磁密谐波幅值以及磁导谐波幅值成正比。在同一台电机中，磁通密度和磁导谐波幅值往往随着谐波次数的增加而减小，因此，构成齿槽转矩分量的谐波次数越低，齿槽转矩周期数越小，齿槽转矩幅值越大。在N 极S 极对称分布的电机中，齿槽转矩的基波周期数为极槽数的最小公倍数。
综上所述，齿槽转矩的产生机理可以用磁场调制原理去解释。永磁体产生磁场经过定子齿槽调制后，在气隙中产生了一系列正弦分布的调制磁场。若存在两个调制磁场空间分布周期相同，且二者轴线之间夹角会随着转子转动发生变化，则转子在转动过程中会受到交变电磁力作用，即产生齿槽转矩。周期相同的两个调制磁场的波峰每重叠一次，气隙的磁储能波动一次，齿槽转矩交变一次。
3 有限元分析
第2 节运用磁场调制原理对永磁电机的齿槽转矩进行了分析。本节将对几种不同极槽配合的电机进行有限元仿真，对前述理论进行验证，并给出降低永磁电机齿槽转矩的方法。
3.1 整数槽绕组电机
在整数槽绕组电机中，定子槽数是永磁转子极对数的整数倍，由之前的分析可知，电机齿槽转矩的基波周期数将等于定子槽数。下面以48 槽8 极电机为例对整数槽绕组电机的齿槽转矩成因进行分析。
电机的模型如图2 所示，其中转子采用表贴式结构，定子采用矩形槽结构。齿槽转矩波形如图3 所示。
图2 48 槽8 极电机有限元模型
Fig.2 Finite element model of 48 slots/8 poles machine
图3 48 槽8 极电机齿槽转矩
Fig.3 Cogging torque of 48 slots/8 poles machine
从图3 可以看出，48 槽8 极电机齿槽转矩的周期为7.5°。转子转过一周，齿槽转矩波动48 次，恰好等于定子槽数。从表1 可以得出，要产生周期数为48 的齿槽转矩，永磁体磁场谐波次数i 和j，气隙磁导谐波次数m 和n 需满足
由于永磁体磁场谐波幅值和气隙磁导谐波幅值随着谐波次数的增加而减小，因此在齿槽转矩中起主要作用的是永磁体磁场的基波、11 次谐波和13次谐波以及气隙磁导的基波和平均分量。
由磁场调制原理可知，永磁转子的基波磁场和基波气隙磁导作用产生出44 对极和52 对极的调制磁场。同时，永磁转子的11、13 次谐波磁场和气隙平均磁导作用也会产生44 对极和52 对极的调制磁场。因此气隙中的44 对极磁场和52 对极磁场将各由两个分量构成，见表2 和表3。从表2 和表3 可以看出，转子转动一周，44 对极磁场的两个分量波 峰与波峰交错48 次，52 对极磁场的两个分量波峰与波峰亦交错48 次，气隙磁储能波动48 次，齿槽转矩会变化48 个周期。
下面对电机气隙磁场分布进行有限元分析。某一转子位置下电机的径向气隙磁通密度如图4 所示，对应的气隙磁场谐波分析如图5 所示。不同转子位置下，各谐波磁场幅值的变化规律如图6 所示。作为对比，图7 给出了定子不开槽时，气隙磁场各次谐波幅值随转子位置的变化规律。
表2 48 槽8 极电机中44 对极调制磁场组成分量
Tab.2 Components of modulated magnetic field with 44 pole pairs in 48 slots/8 poles machine
原磁场 极对数 原磁场 轴线位置 磁导 周期数 调制磁场 极对数 调制磁场轴线位置4 α 48 44 -α/11 44 α 0 44 α
表3 48 槽8 极电机中52 对极调制磁场组成分量
Tab.3 Components of modulated magnetic field with 52 pole pairs in 48 slots/8 poles machine
原磁场 极对数 原磁场 轴线位置 磁导 周期数 调制磁场 极对数 调制磁场轴线位置4 α 48 52 α/13 52 α 0 52 α
图4 48 槽8 极电机径向气隙磁通密度
Fig.4 Radial component of air-gap flux density of 48 slots/8 poles machine
图5 48 槽8 极电机气隙磁场谐波分析
Fig.5 Harmonic analysis of air-gap flux density of 48 slots/8 poles machine
图6 48 槽8 极电机气隙谐波磁场幅值随转子位置 变化规律
Fig.6 Amplitudes of air-gap harmonic magnetic fields of 48 slots/8 poles machine versus rotor position
图7 无槽8 极电机气隙谐波磁场幅值随转子位置 变化规律
Fig.7 Amplitudes of air-gap harmonic magnetic fields of 8 poles slotless machine versus rotor position
由图4 和图5 可知，48 槽8 极电机气隙中主要含有极对数为4 及4 的奇数倍的谐波磁场。由图6 和图7 可知，同不开槽的8 极电机相比，气隙磁场部分谐波幅值发生了较大变化。其中11 次谐波磁场和13 次谐波磁场幅值均比开槽前大很多，且会随着转子转动发生变化，变化周期和齿槽转矩一致。这说明气隙中的11 次谐波磁场和13 次谐波磁场均至少由两个分量构成，且这两个分量的轴线夹角会随着转子位置发生变化，验证了上述分析的正确性。
由此可见，在整数槽绕组电机中，定子槽数是永磁转子极对数的整数倍，此时由气隙磁导的平均分量和基波分量调制得到的调制磁场将对齿槽转矩起主要作用。因为磁导的平均分量和基波分量幅值往往都比较大，所以此时齿槽转矩较为明显。
3.2 分数槽绕组电机
下面对12 槽10 极分数槽绕组电机齿槽转矩进行研究。电机的气隙直径和轴向长度与前述48 槽8极电机一致。12 槽10 极电机齿槽转矩波形如图8 所示。可见，12 槽10 极电机齿槽转矩的周期为6°。转子转过一周，齿槽转矩波动60 次，其幅值比48槽8 极电机小很多。
图8 12 槽10 极电机齿槽转矩
Fig.8 Cogging torque of 12 slots/10 poles machine
从表1 可以得出，要产生周期数为60 的齿槽转矩，永磁磁场谐波次数i 和j，气隙磁导谐波次数m和n 需满足
由于永磁磁场谐波幅值和气隙磁导谐波幅值随着谐波次数的增加而减小，因此在齿槽转矩中起主要作用的是永磁磁场的基波、11 次谐波和13 次谐波以及气隙磁导的5 次谐波和平均分量。
由磁场调制原理可知，永磁转子的基波磁场和5 次谐波磁导作用产生出55 对极和65 对极的调制磁场。同时，永磁转子的11 次、13 次谐波磁场和气隙平均磁导作用也会产生55 对极和65 对极的调制磁场。因此气隙中的55 对极磁场和65 对极磁场将各由两个分量构成，见表4 和表5。从表4 和表5 可以看出，转子转动一周，55 对极磁场的两个分量波峰与波峰交错60 次，65 对极磁场的两个分量波峰与波峰亦交错60 次，气隙磁储能波动60 次，齿槽转矩会变化60 个周期。
表4 12 槽10 极电机中55 对极调制磁场组成分量
Tab.4 Components of modulated magnetic field with 55 pole pairs in 12 slots/10 poles machine
原磁场 极对数 原磁场 轴线位置磁导 周期数 调制磁场 极对数 调制磁场轴线位置5 α 60 55 -α/11 55 α 0 55 α
表5 12 槽10 极电机中65 对极调制磁场组成分量
Tab.5 Components of modulated magnetic field with 65 pole pairs in 12 slots/10 poles machine
原磁场 极对数 原磁场 轴线位置磁导 周期数 调制磁场 极对数 调制磁场轴线位置5 α 60 65 α/13 65 α 0 65 α
下面对电机气隙磁场分布进行有限元分析。某一转子位置下电机的径向气隙磁通密度波形如图9所示，对应的磁场谐波分析如图10 所示。
从图9 和图10 可以看出，气隙中除了含有极对数为永磁转子奇数倍的谐波磁场外，还存在极对数 为3、7、17、19 和41 的谐波磁场。这些新的磁场是由原永磁磁场经定子齿槽调制产生的。对气隙中主要谐波磁场幅值变化规律进行研究，得到不同转子位置下谐波磁场幅值的变化情况如图11 所示。
图9 12 槽10 极电机径向气隙磁通密度
Fig.9 Radial component of air-gap flux density of 12 slots/10 poles machine
图10 12 槽10 极电机气隙磁场谐波分析
Fig.10 Harmonic analysis of air-gap flux density of 12 slots/10 poles machine
图11 12 槽10 极电机气隙谐波磁场幅值随转子位置 变化规律
Fig.11 Amplitudes of air-gap harmonic magnetic fields of 12 slots/10 poles machine versus rotor position
从图11 可以看出，在12 槽10 极电机气隙中，大部分谐波磁场幅值不随转子位置变化或变化很小，而55 对极和65 对极磁场幅值有较明显的变化，且变化周期与齿槽转矩周期一致。这说明55 对极磁场和65 对极磁场确实由至少两个分量构成，验证了之前的理论分析的正确性。
由此可见，在分数槽绕组电机中，齿槽转矩的基波周期是定子槽数的整数倍，往往是气隙磁导的高次谐波和平均分量对齿槽转矩起主要作用。因为谐波磁导幅值较小，故调制后的磁场幅值较小，产生的齿槽转矩也较小。
3.3 极槽最小公倍数相同的电机对比
对于极槽最小公倍数相同的电机，通常很难直接对齿槽转矩的大小进行比较。基于本文提出的分析方法，可以对参与产生齿槽转矩的磁场谐波次数和磁导谐波次数进行分析，进而可以在极槽最小公倍数相同的情况下对电机齿槽转矩进行比较。本节以48 槽4 极、48 槽8 极和48 槽16 极电机为例对其齿槽转矩进行分析和比较。
由前文分析可知，48 槽8 极电机齿槽转矩的周期数为48。对齿槽转矩起主要作用的是永磁体磁场的基波、11 次谐波和13 次谐波以及气隙磁导的基波和平均分量。对于48 槽4 极和48 槽16 极电机，齿槽转矩周期数同为48。
在48 槽4 极电机中，要产生周期数为48 的齿槽转矩，永磁磁场谐波次数i 和j，气隙磁导谐波次数m 和n 需满足
考虑到永磁磁场谐波幅值和气隙磁导谐波幅值随着谐波次数的增加而减小，因此在齿槽转矩中起主要作用的是永磁体磁场的基波、23 次谐波和25次谐波以及气隙磁导的基波和平均分量。
由磁场调制原理可知，永磁转子的基波磁场和基波气隙磁导作用产生出46 对极和50 对极的调制磁场。同时，永磁转子的23、25 次谐波磁场和气隙平均磁导作用也会产生46 对极和50 对极的调制磁场。因此气隙中的46 对极和50 对极磁场将各由两个分量构成，见表6 和表7。从表6 和表7 可以看 出，转子转动一周，46 对极磁场的两个分量波峰与波峰交错48 次、50 对极磁场的两个分量波峰与波峰亦交错48 次，气隙磁储能波动48 次，齿槽转矩会变化48 个周期。
表6 48 槽4 极电机中46 对极调制磁场组成分量
Tab.6 Components of modulated magnetic field with 46 pole pairs in 48 slots/4 poles machine
原磁场 极对数 原磁场 轴线位置磁导 周期数 调制磁场 极对数 调制磁场轴线位置2 α 48 46 -α/23 46 α 0 46 α
表7 48 槽4 极电机中50 对极调制磁场组成分量
Tab.7 Components of modulated magnetic field with 50 pole pairs in 48 slots/4 poles machine
原磁场 极对数 原磁场 轴线位置 磁导 周期数 调制磁场 极对数 调制磁场轴线位置2 α 48 50 α/25 50 α 0 50 α
在48 槽16 极电机中，要产生周期数为48 的齿槽转矩，永磁磁场谐波次数i 和j，气隙磁导谐波次数m、n 需满足
考虑到永磁磁场谐波幅值和气隙磁导谐波幅值随着谐波次数的增加而减小，因此在齿槽转矩中起主要作用的是永磁磁场的基波、5 次谐波和7 次谐波以及气隙磁导的基波和平均分量。
由磁场调制原理可知，永磁转子的基波磁场和基波气隙磁导作用产生出40 对极和56 对极的调制磁场。同时，永磁转子的5、7 次谐波磁场和气隙平均磁导作用也会产生40 对极和56 对极的调制磁场。因此气隙中的40 对极磁场和56 对极磁场将各由两个分量构成，见表8 和表9。从表8 和表9 可以看出，转子转动一周，40 对极磁场的两个分量波峰与波峰交错48次，56 对极磁场的两个分量波峰与波峰亦交错48 次， 气隙磁储能波动48 次，齿槽转矩会变化48 个周期。
从48 槽4 极，48 槽8 极和48 槽16 极三种电机齿槽转矩分析结果来看，基波气隙磁导和平均气隙磁导均对齿槽转矩起到了至关重要的作用。但对这三种电机而言，参与产生齿槽转矩的永磁磁场次数不同，其中48 槽16 极电机中参与产生齿槽转矩的磁场谐波次数最低，因而齿槽转矩幅值会最大。48 槽4 极电机中参与产生齿槽转矩的磁场次数最高，因而齿槽转矩幅值会最小。可见在整数槽绕组电机中，增大槽数和极数的比值，可以有效降低齿槽转矩。下面进行有限元仿真分析。
通过有限元仿真，得到48 槽4 极、48 槽8 极和48 槽16 极的齿槽转矩波形如图12 所示。由图可见，三种电机的齿槽转矩周期均为7.5°，转子转动一周，齿槽转矩波动48 次。从幅值来看，48 槽16 极电机的齿槽转矩幅值最大，其次是48 槽8 极电机，48 槽4 极电机齿槽转矩幅值最小。
表8 48 槽16 极电机中40 对极调制磁场组成分量
Tab.8 Components of modulated magnetic field with 40 pole pairs in 48 slots/16 poles machine
原磁场 极对数 原磁场 轴线位置 磁导 周期数 调制磁场 极对数 调制磁场轴线位置8 α 48 40 -α/5 40 α 0 40 α
表9 48 槽16 极电机中56 对极调制磁场组成分量
Tab.9 Components of modulated magnetic field with 56 pole pairs in 48 slots/16 poles machine
?
图12 不同极槽配合的电机齿槽转矩
Fig.12 Cogging torque of machines with different pole/slot combinations
对三种电机的气隙磁场进行分析，得到48 槽4极和48 槽16 极电机气隙磁场频谱分析如图13 和图14 所示。从图中可以看出，48 槽4 极和48 槽16 极电机气隙中仅含有与永磁转子极对数相同及其奇数倍的谐波磁场。48 槽4 极电机和48 槽16 极电机各谐波磁场幅值随转子位置变化规律如图15 和图16 所示。
图13 48 槽4 极电机气隙磁场谐波分析
Fig.13 Harmonic analysis of air-gap flux density of 48 slots/4 poles machine
图14 48 槽16 极电机气隙磁场谐波分析
Fig.14 Harmonic analysis of air-gap flux density of 48 slots/16 poles machine
图15 48 槽4 极电机气隙谐波磁场幅值随转子位置 变化规律
Fig.15 Amplitudes of air-gap harmonic magnetic fields of 48 slots/4 poles machine versus rotor position
图16 48 槽16 极电机气隙谐波磁场幅值随转子位置 变化规律
Fig.16 Amplitudes of air-gap harmonic magnetic fields of 48 slots/16 poles machine versus rotor position
在48 槽4 极电机中，23 次谐波磁场和25 次谐波磁场幅值随转子位置发生明显变化，且变化周期与齿槽转矩一致。在48 槽16 极电机中，5 次谐波磁场和 7 次谐波磁场幅值随转子位置变化波动很大，且周期与齿槽转矩一致。这与上述分析结果相一致。需要特别说明的是：图16 中5 次谐波磁场幅值在不同位置角下呈现出非正弦分布，这是由于在48 槽16 极电机中，5 次谐波磁场除了含有表8 列出的两个调制磁场分量外，还含有其他调制磁场分量。表8 中所列出的两个磁场分量仅是对磁场幅值波动贡献最大的两个分量，也是造成转矩波动的主要成分。其他磁场分量随转子的转动造成了图16 中5 次谐波磁场幅值的非正弦分布。
综上所述，通过磁场调制理论可以分析出参与产生齿槽转矩的永磁磁场谐波次数和气隙磁导谐波次数，这为研究齿槽转矩的抑制方法提供了理论基础。根据之前的分析，降低齿槽转矩可以从三个角度出发：①降低永磁磁场谐波幅值，如优化永磁体形状、采用Halbach 充磁等；②降低气隙磁导谐波幅值，如优化槽口宽度、开辅助槽、优化齿形等；③提高参与产生齿槽转矩的永磁磁场谐波次数和气隙磁导谐波次数，如选取合理极槽配合等。
4 结论
本文基于磁场调制原理对永磁电机齿槽转矩产生机理进行了分析，得出了如下结论：
1）永磁磁场经定子齿槽调制，会产生一系列调制磁场，其极对数取决于原磁场极对数和相对气隙磁导周期数，其轴线位置由原磁场轴线位置、原磁场极对数和相对气隙磁导周期数共同决定。齿槽转矩由一系列转矩分量构成，每一分量可看成是两个极对数相同的调制磁场相互作用的结果。转子转动一周，齿槽转矩分量的波动次数等于两个调制磁场波峰与波峰的交错次数。
2）通过本文提出的齿槽转矩分析方法，可以对任意齿槽转矩分量的成因进行分析。要产生周期数为Pcog 的齿槽转矩，永磁磁场谐波次数i 和j、气隙磁导谐波次数m 和n 需满足式（23）。
3）齿槽转矩幅值和参与产生转矩的谐波永磁磁场幅值以及谐波气隙磁导幅值有关，可以通过提高参与产生齿槽转矩的磁场及磁导谐波次数，降低谐波磁场和谐波磁导幅值来抑制齿槽转矩。在整数槽绕组电机中，提高定子槽数和转子极数的比值可以有效降低齿槽转矩。
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