摘要 利用简化的两段线性直线表示变压器铁心
曲线，推导得到以地磁感应电流（GIC）为中间变量的变压器无功功率的数学表达式。通过对中间函数的拟合分析，证明了当GIC电流小于某一数值时，其与无功功率之间是线性关系，并给出了两者之间的比例系数以及直流上限阈值的表达式。通过对特高压交流变压器、换流变压器的有限元仿真计算，证明了理论推导的正确性，并给出了适用于中国的特高压变压器GIC-Q计算的实用表达式。通过对特高压交流变压器缩比模型的实验研究，进一步证明了结论的正确，针对实验得到的比例系数与理论推导得出的系数之间的差别做出了解释说明，并给出了适用于实际特高压变压器无功功率计算的比例系数的范围。
关键词：特高压变压器 地磁感应电流 无功功率 定量分析
太阳活动引起的地磁场剧烈变化称为磁暴。时变磁场在地面感应出的电场通过输电线、中性点接地变压器和大地构成的回路产生地磁感应电流（Geomagnetically Induction Current, GIC）。由于其频率很低，一般为 0.000 1～0.01Hz[1]，所以可以当作直流电流分析。由其引起的变压器铁心半波饱和，会导致谐波、局部温升、无功损耗和振动、噪声增大等有害的干扰[2-7]。其中由于GIC电流引起的全网无功功率扰动，导致系统电压波动乃至崩溃事件已发生数次[8]。另外特高压输电工程电压等级高，导线电阻小，相同等级的磁暴下遭受的GIC电流最大[9]，再加上特高压变压器大都为单相变压器，所以其受地磁暴影响最大。因此精确预测在地磁暴期间的特高压变压器无功功率损耗就显得十分重要。目前关于GIC与变压器无功功率之间关系（以下简称为GIC-Q）的研究主要分为仿真、实验研究和理论推导计算。文献[10-11]分别利用场路耦合法和等效磁路法计算得到了1 000kV特高压变压器的无功功率特性，文献[12]则通过实验分析得到了GIC- Q之间的线性关系，并给出了不同铁心结构、不同相数变压器所对应的比例系数。但上述研究缺乏必要的理论，且结论只针对被研究的变压器，无法推广应用。GIC-Q关系的本质在于铁心励磁特性的非线性，因此文献[13]将铁心在一个周期内的动态电感等效为一个常数，推导证明了无功功率随GIC电流线性增长，并得到了比例系数的表达式。但由于将铁心非线性特性考虑得过于简化，因此其计算精度较低。文献[14-15]利用两条线性直线代表变压器磁化曲线，推导证明了GIC-Q线性化特性只在一定的GIC范围内才成立，并给出了全直流下无功功率的表达式。但该公式过于复杂，无法用于工程计算，且没有考虑特高压变压器的特殊性。
因此本文利用简化的两段线性曲线表示变压器铁心的
曲线，推导了以GIC电流为中间变量的变压器无功功率表达式。在此基础上，通过对中间函数的拟合分析，证明了当GIC电流小于某一数值时，其与无功功率之间是线性关系，并给出了两者之间的比例系数以及直流上限阈值的表达式。最后通过仿真和实验分析，验证了理论分析的正确性，修正了比例系数。根据我国所处的地理位置以及以往实测的GIC电流数值，给出了适用于我国的特高压变压器GIC-Q计算的简单实用公式。
为了降低铁心损耗，特高压变压器硅钢片的
曲线在线性区域内斜率远远大于在饱和区域的，而i-j 曲线（其中
为励磁电流，
为铁心主柱的磁通量）可通过曲线线性推导得出，因此可以用图1所示的两条线性直线表示i-j 关系，即忽略曲线在拐点附近的过渡过程。
图1 直流偏磁时变压器铁心工作状态
Fig.1 Transformer core operating condition under DC bias
图1说明了变压器在遭受GIC侵害下，铁心磁通量、励磁电流与铁心的工作状态之间的关系。图中
为饱和磁化特性的微分电感，
为非饱和磁化特性的微分电感，
为由于直流磁通引起的励磁电流偏置的直流电流，
为变压器正常时的励磁电流峰值。当变压器中流过地磁感应电流IGIC时，铁心中便会产生相应的直流磁通量
，加上原本存在的峰值为
的交流磁通量，此时铁心中总的磁通量最大值
将会超过膝点磁通
，铁心进入饱和区。图中
定义为过磁通角，直流电流越大该角度数值越大，直流为零时，
。图1中各个磁通的关系为
（1）
（2）
式中，
为工频角频率。
由图1可知，当变压器遭受GIC侵害时，一个周期内励磁电流的表达式为
（3）其中
（4）
因为对于特高压变压器而言，数值很大，所以
数值很小，可忽略。又因为远大于，可认为
。
对励磁电流进行傅里叶分解，可得其直流含量
和基频分量有效值
的表达式分别为
（5）
（6）
当变压器遭受直流侵害时铁心饱和，励磁电感迅速减小，此时单台变压器损耗的无功功率
为正常时的无功损耗
加上励磁电感消耗的无功
，对应着的两部分。假设变压器一次电压在GIC入侵期间波形保持不变，为额定基频电压，且与励磁电流的相位相差90°即忽略铁心磁滞、涡流损耗。因此直流偏磁状态下，单台变压器的无功损耗（由于特高压变压器大都由三台单相变压器组成，其三相总无功功率为单相的三倍，因此只需讨论单台变压器的无功即可，下述无功功率均为单相变压器无功功率）为
（7）式中，
、
分别为额定相电压的有效值和峰值。由式（7）结合式（5）即可得到任意地磁感应电流下，单台变压器消耗的无功损耗。但由于GIC电流只是中间变量，由式（7）无法得到无功功率与GIC电流之间的直接关系。
由第1节的分析可知，直流偏磁时变压器的无功损耗仅与过磁通角有关，其余参数均为常数，同理GIC电流也是如此。因此若是能将基频电流中的中间函数
用GIC电流中的中间函数
表示，就可以得到无功功率与直流电流之间的直接关系。
图2给出了函数和的图形，由图可以看出，两个曲线在小于某一数值的区间内有着几乎相同的变化趋势。因此假设存在一个常数
使得函数
在某一区间内差值的最大值百分数小于等于
，并且该区间的长度越大越好。具体数学表达式（由于角很小时无功功率增量也很小，求解时可忽略这一部分）为
（8）
图2 函数关系图
Fig.2 Functional diagram
经过计算得到参数的最优值为1.9，此时
的数值为0.846，即48.5°。因此当
48.5°时，可以认为
，其函数关系如图2所示。
此时单台变压器损耗的无功功率可以简化为
（9）
将式（9）中的常数0.95定义为比例系数
。将
代入式（5）中，可得到使GIC-Q成线性关系对应的GIC电流上限值。但微分电感一般不易获取，而特高压变压器铁心所用的硅钢片型号大都是27ZH095或27ZH100，因此可以用曲线在饱和段的微分磁导率表示微分电感。
特高压变压器的铁心结构一般为单相四柱，如图3所示，图中
表示铁心柱的磁场强度（假设铁心中磁场均匀分布），
表示磁路的长度。
图3 铁心结构
Fig.3 Core structure
如图1所示，用两条线性直线表示曲线，其在饱和度段的表达式为
，其中
分别表示拐点的磁感应强度和磁场强度，
为饱和段的微分磁导率。利用安培环路定理和磁通连续性定理，可得
（10）因为铁心旁柱（S2）与铁轭的截面积（S3）相同且约等于主柱截面积（S1）的一半，即
。进一步化简可得铁心主柱磁场强度
的表达式为
（11）
式中，N1、i分别为一次绕组匝数和励磁电流；
为与铁心尺寸有关的系数；
为铁心柱的截面积。结合式（11）可得铁心i-j 曲线在饱和段的斜率即微分电感为
（12）将式（12）以及代入到式（5）中，可得
（13）
式中，
为铁心结构参数。
对于特高压变压器而言，由于运输的要求，其铁心的相对尺寸基本一致，因此参数可认为是常数。而角频率、铁心饱和的微分磁导率也是定值，因此结合式（13）可知，GIC上限值
主要与变压器的额定电压峰值和一次绕组匝数有关。
由上述分析可知，当GIC小于时，特高压变压器的无功功率可按照式（9）简化计算；当GIC大于时，无功可结合式（5）和式（7）计算。
目前，我国特高压输电工程分为交流和直流两种，为了不失一般性，本节分别仿真计算了1 000kV交流变压器和800kV换流变压器在直流偏磁状态下的无功功率数值。特高压交流变压器由于下一小节有其实验研究，因此本节只仿真计算其空载状态下的无功功率。而换流变压器则利用调制波理论[16]计算得到阀侧电流，进行了负载仿真。仿真计算中用到的场路耦合法以及串联电阻减小仿真时间的方法，见参考文献[17-19]。两种变压器的参数见表1，由于特高压交流变压器为自耦变压器，因此其匝比为串联绕组匝数/公共绕组匝数，另外由于仿真中没有用到其低压绕组，因此表1中并未列出低压侧参数。
表1 特高压变压器参数
Tab.1 UHV transformer parameters
名称交流变压器换流变压器 额定容量/(MV×A)1 000/1 000321.1/321.1 额定频率/Hz5050 额定电压/kV 额定电流/A1 649/3 2991 049/3 266 绕组匝数678/678705/227 铁心结构2主柱2旁柱2主柱2旁柱 额定磁通密度/T1.6751.67 硅钢片型号27ZH09527ZH100
图4为直流偏磁下，两种变压器由于铁心饱和引起的无功增量与直流电流之间的关系图。由图4可以看出，仿真得出的无功功率数值点与理论式（9）绘制出的曲线高度吻合。换流变压器的无功功率在
A的直流范围内一直保持线性增长，而特高压交流变压器的无功线性增长的区间则较小，以2%的误差为限，其电流上限值为99A。这是因为由表1可知，换流变压器的额定峰值电压与一次绕组的匝数二次方的比值为0.87，而特高压交流变压器的数值为0.466，再结合式（13），所以特高压交流变压器的电流上限值较小。
图4 特高压变压器GIC-Q关系仿真结果
Fig.4 GIC-Q simulation diagram of UHV transformer
以仿真得到的特高压交流变压器的电流上限值99A为例，验证式（13）的正确性。其中铁心结构参数为6.18，铁心饱和微分磁导率为
，其余参数可从表1中获取，计算得到为119A，与仿真得到的数值相比，误差为20%，因此式（13）作为工程上的参考应用，其精度满足要求。
由于我国地处中低纬地区，地磁感应强度不大，所以GIC电流与高纬地区相比较小。2004年我国在500kV电网测到过最大值（变压器中性点数值）为75.5A的GIC[20]。结合仿真结果以及式（13），对于100A以内的GIC，特高压变压器的无功功率与其是线性关系。因此实际工程上计算特高压变压器由于GIC引起的无功功率，可直接使用式（9）进行简便计算。
为了进一步验证理论公式和仿真的正确性，本文根据实际特高压交流变压器的结构按照10
1的比例制作了一台缩比变压器模型，如图5所示。小变压器的额定电压为360V180V，其额定容量为5 000V·A5 000V·A，频率为50Hz，串联绕组与公共绕组匝数都为63。实验平台的布置以及直流偏磁实验的电路连接如 图6所示。图中与直流电源并联的电容器是为了保护直流源免受交流电流的侵害。直流电流是以隔离变压器的二次侧和实验变压器的一次侧为回路产生的。为了保护实验变压器和直流源，实验中所加的直流电流最大值为6A，每隔1A加入到实验变压器一次绕组中。
图5 缩比变压器实物图
Fig.5 Miniature transformer physical picture
图6 实验接线图
Fig.6 Experimental wiring picture
本文分别进行了空载和额定阻性负载下的直流偏磁实验，负载情况下直流只加到5A。由图7可以看出，负载与空载情况下无功功率的增长趋势基本一致且为线性增长（由于当直流大于0.5A时，铁心才进入饱和，所以在0～0.5A时无功为恒定值），但与式（9）中给出的比例系数相比，实验获取的曲线的斜率较小，两者存在一定的误差。若将式（9）中的比例系数由0.95修改为0.9，则两条曲线贴合得较好。
图7 实验变压器GIC-Q关系
Fig.7 GIC-Q diagram of experimental transformer
利用空载实验获取的变压器i-j 曲线，结合式（10）～式（12），可以换算出铁心的等效曲线，如图8所示。由图可以看出，与实际特高压变压器硅钢片曲线相比，实验变压器的铁心由于硅钢片的质量以及接缝气隙的影响，导致其等效曲线在工作点之前的斜率较小，因此i-j 曲线应由三条线性直线表示，当忽略时，其如图9所示，图中
分别为每一段的微分电感，
分别为相应的过磁通角。利用第1节的理论，令
（14）
图8 B-H曲线
Fig.8 B-H curves
图9 直流偏磁下实际铁心工作状态
Fig.9 Actual core operating condition under DC bias
由此可知，GIC和基频电流的表达式分别为
（15）
再由第2节的分析可知，当
°时，
，但因为
的数值较大，可假设
°，根据图2可知，此时，
。因此在这种情况下使得
成立的常数
就小于1.9，所以式（9）中的比例系数
就小于0.95，又因为电感
远大于
，所以其影响并不大。实际的特高压变压器的铁心等效
曲线是介于上述两者之间的，因此实际工程中，比例系数应在0.9～0.95之间选取。
为了在更大的直流范围内分析实验变压器的GIC-Q特性。利用图8中的等效B-H曲线对实验变压器进行空载有限元仿真计算，得到实验变压器GIC-Q关系的仿真结果如图10所示。
图10 实验变压器GIC-Q关系仿真图
Fig.10 GIC-Q simulation diagram of experimental transformer
由图10可知，当直流小于50A时无功功率与直流电流成线性关系，且比例系数与实验获取的一样都为0.9。当直流大于50A时，无功功率的增长率逐渐减小，这与理论分析的结果一致。又因为实验变压器是按照10
1的比例制作的，而铁心的截面积与半径的二次方相关，所以其铁心结构参数为实际变压器的10倍，另外其额定峰值电压与一次绕组的匝数二次方的比值为0.023，大约为实际变压器的1/20。因此其电流上限值为实际变压器的1/2，为59A。这与仿真计算得到的50A基本一致。这也说明了电压等级越低的变压器，其GIC-Q线性关系所对应的直流范围越小。
本文利用简化的变压器i-j 曲线推导了无功功率的数学表达式，在此基础上进一步化简，证明了无功功率与地磁感应电流在一定的范围内为线性关系，并给出了比例系数以及GIC上限值的表达式。通过仿真计算和实验模拟，验证了理论公式的正确性，针对实际工程上的特高压变压器，给出了简便的计算公式并修正了比例系数。该公式可为特高压输电工程预防地磁暴引起的无功扰动，提供了理论依据。
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Quantitative Analysis of Geomagnectically Induced Current-Q Relation of UHV Transformer
Abstract By using the simplified two linear lines to represent the curve of transformer core, the mathematical expression of transformer reactive power with geomagnectically induced current (GIC) as the intermediate variable is derived. Through the fitting analysis of the intermediate function, it is proved that when the GIC current is less than a certain value, the relation between the GIC and reactive power is linear, the proportional coefficient between them and the expression of dc upper limit threshold are given. Through the finite element simulation of UHV ac transformer and converter transformer, the correctness of the theoretical conclusion is proved, and a practical expression for GIC-Q calculation of UHV transformer in China is given. The conclusion is further proved to be correct through the experimental study on the ratio model of UHV AC transformer. In view of the difference between the ratio coefficient obtained from the experiment and the coefficient derived from the theory, an explanation is given and the range of the ratio coefficient applicable to the reactive power calculation of the actual UHV transformer is given.
keywords：UHV transformer, geomagnetically induction current, reactive power, quantitative analysis
中图分类号：TM41
DOI: 10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.191256
国家重点研发计划专项（2016YFC0800100）和国家自然科学基金（51677068）资助项目。
收稿日期 2019-11-19
改稿日期 2020-03-27
王泽忠 男，1960年生，教授，博士生导师，研究方向为电磁场分析计算、电力系统电磁兼容和电磁测量。E-mail: wzzh@ncepu.edu.cn
黄天超 男，1993年生，博士，研究方向为换流变压器直流偏磁电、磁场数值计算。E-mail: 17717016682@163.com（通信作者）
（编辑 郭丽军）